Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 9. februar, 4. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider med ialt opgaver. Der må gøres brug af bøger, noter, fotokopier mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. De anførte procenter angiver med hvilken vægt de enkelte opgaver tæller ved den samlede bedømmelse. Eksamenssættet har to uafhængige dele. Del I indeholder almindelige opgaver. I forbindelse med del I er det vigtigt at du forklarer tankegangen bag opgavebesvarelsen, og at du medtager mellemregninger i passende omfang. Del II indeholder multiple choice opgaver. Del II skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Husk at skrive jeres fulde navn samt studienummer på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på. side af besvarelsen. God arbejdslyst! NAVN: STUDIENUMMMER: HOLDNUMMER: Aalborg HOLD (v. Mikkel H. Brynildsen). Aalborg HOLD (v. Olav Geil). Aalborg HOLD 3 (v. Leif Kjær Jørgensen. Aalborg HOLD 4 (v. Morten Nielsen). Aalborg HOLD 5 (v. Jacob Broe. AAU-Cph, Dansk hold (v. Iver Ottosen). Esbjerg, Dansk hold (v. Ulla Tradsborg). Side af 8
Del I ( almindelige opgaver ) Opgave (9%). Lad A = [ 5 og b = [.. Find samtlige løsninger til ligningen Ax = b. Opgave (9%). Lad A = [ [, B = [, C = 3 og d = 3. Afgør i hvert af følgende fire tilfælde, om udtrykket giver mening. For hvert udtryk, der giver mening, beregn værdien. Hvis udtrykket ikke giver mening, skriv da giver ikke mening.. Ad. (A + B)d 3. BC 4. CB. Opgave 3 (7%). Lad A =.. Bring A på trappeform (echelonform).. Find determinanten af A. Side af 8
Opgave 4 (8%). Lad W = Span 3,. Find en basis for W.. Argumenter for, at 3. Argumenter for, at 4 6 4, ligger i W. ikke ligger i W. Opgave 5 (%). Lad A = [.. Find egenværdierne for A.. Find en basis for hvert af de tilhørende egenrum. Opgave 6 (%). Underrummet W af R 4 har basis, 4 3, 5.. Bestem en ortogonal basis for W ved hjælp af Gram-Schmidt processen. Side 3 af 8
Opgave 7 (9%). Lad A = [ [, B =. Argumenter for, at A er en ortogonal matrix.. Argumenter for, at B er en ortogonal matrix. 3. Svarer A til en rotation? (Husk at argumentere for dit svar). 4. Svarer B til en rotation? (Husk at argumentere for dit svar). 5. Svarer AB til en rotation? (Husk at argumentere for dit svar).. Opgave 8 (8%). B =,,. Lad B =. Lad v = er en basis for R3.. Find B.. Bestem [v B. Side 4 af 8
Opgave 9 (6%). Del II ( multiple choice opgaver) Lad A være en matrix, hvis reducerede trappeform er R = Besvar følgende tre sand/falsk opgaver: a. A er invertibel (non-singulær, regulær). b. Søjlerne i A er lineært uafhængige. c. Rækkerne i A er lineært afhængige. Side 5 af 8
Opgave (8%). A er en 5 5 matrix med determinant det A = 5. Afkryds for hvert af følgende fire spørgsmål det rigtige svar: det(a 3 ) = 5 5 5 5 det(a ) = -5 5 5 det ( (A T ) ) = -5 5 5 Antallet af vektorer i en basis for Col A er lig 3 4 5 Side 6 af 8
Opgave (8%). Lad u =, u =, u 3 = og lad W = Span{u, u, u 3 }. Besvar følgende fire sand/falsk opgaver: a. {u, u, u 3 } er en udspændende (også kaldet genererende eller frembringende) mængde for W. b. {u, u, u 3 } er en basis for W. c. {u, u } er en basis for W. d. {u, u 3 } er en udspændende (også kaldet genererende eller frembringende) mængde for W. Side 7 af 8
Opgave (8%). Lad A = [ 4 5 [, B =. Besvar følgende tre sand/falsk opgaver: a. Der gælder T A : R R. b. Der gælder T B : R R 3. c. For alle x i R 3 gælder der T A (T B (x)) = T AB (x) Side 8 af 8