Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
|
|
- Niels Holst
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.
2 Indhold Problem 1 3 Problem 2 4 Problem 3 5 Problem 4 7 Problem 5 10 Problem 6 12 Problem 7 13 Problem 8 14 Problem 9 15 Problem Problem Problem Problem Problem Problem
3 Problem 1 Lad A = [a 1 a 2 a 3 a 4 ] være en matrix med 3 rækker, og lad B = [b 1 b 2 b 3 ] være sådan, at C = AB er deneret. Hvor mange rækker har matricen B? Efersom A har 3 rækker og 4 søjler, er A en 3 4-matrix. B har 3 søjler. Vi skal altså have, at størrelsen af AB = (3 4)(m 3), hvor m er antallet af rækker i B, er deneret. Derfor skal m være 4 før dimensionerne passer. Hvor mange rækker har matricen C? Eftersom C = AB, hvor A står yderst til venstre, så vil C have samme antal rækker som A, altså 3. Hvordan kan anden søjle i C bestemmes? Da søjlenummeret i C = AB er bestemt af søjlenummeret i matricen yderst til højre, B, kan vi blot gange anden søjle i B, b 2, på A, hvorfor c 2 = Ab 2. INDHOLD 3
4 Problem 2 Lad A være en 3 n matrix, og lad E være elementærmatricen givet ved E = Hvordan fremkommer matricen EA fra A? Svar: Den letteste måde at se dette på, hvis man har lidt problemer, er ved at betragte A = I 3. Vi har selvfølgelig EA = EI 2 = E. Vi skriver på fuld form: EA = = Fra venstre til højre er der sket det, at der er blevet lagt 2 gange række 3 til række 2. Dvs. vi skal "addere 2 gange række 3 til række 2". INDHOLD 4
5 Problem Lad A = og b = 1. Det oplyses om matricen følgende reducerede række echelon form har a) Søjle 1 er pivot-søjle i A. Sandt, da der er en pivot-indgang i første søjle! 1b) Søjle 2 er pivot-søjle i A. Sandt, da der er pivot-indgang i anden søjle. 1c) Søjle 3 er pivot-søjle i A. Falsk, da der ikke er pivot-indgang i tredje søjle. 1d) Søjle 4 er pivot-søjle i A. Sandt - jeg tror, I har fattet hvorfor. 2. Hvad er nulliteten af A? Det er antallet af ikke-pivot-søjler i A. Husk på, at den sidste række i den reducerede række echelon form ikke tilhører A, men blot er b. Derfor er nulliteten af A lig med Lad x være en løsning til Ax = b. Hvad er x 4? Vi aæser i den matrix, der er på den reducerede række echelon form, at x 4 = 2. (Vi nder 4. søjle, da denne er en pivot-indgang, og så kigger vi yderst til højre for at aæse værdien). 4a) Enhver løsning x til Ax = b opfylder x 1 = x 3. Sandt, da første række i matricen på den reducerede række echelon form indikerer, at x 1 x 3 = 0, hvorfor x 1 = x 3. 4b) Løsningsmængden til Ax = b er et underrum af R 4. Falsk, så længe sidste søjle ikke er nul-vektoren, kan dette ikke lade sig gøre. Et af kravene for et underrum er, at vi skal kunne gange en konstant på en vilkårlig løsningsvektor, og så vil denne ligge i underrummet. Lad x være løsning til Ax = b, hvor b ikke er nulvektoren. Og lad c R være vilkårligt (skal det være for at opfylde INDHOLD 5
6 underrumskriterierne). Vi har A(cx) = c(ax) = cb b. Altså kan cx ikke være en løsning for et vilkårligt c, når b ikke er nulvektoren. INDHOLD 6
7 Problem Lad q 1 = , q 2 = , q 3 = , q 4 = , A = , og lad Q = [q 1 q 2 q 3 q 4 ]. Man kan se, at B = {q 1, q 2, q 3, q 4 } er en ortonormal basis for R 4. 1a) Q er en ortogonal matrix. Sandt, da Q er sammensat af 4 ortonormale vektorer, der udgør en basis for R 4. 1b) Q er en symmetrisk matrix. Vi har Q = Q = = Q Altså er dette sandt. 1c) Q 1 = Q. Falsk. Da Q er en ortogonal matrix er Q 1 = Q. Vi ved desuden, at Q er symmetrisk, hvorfor Q = Q. Altså er Q 1 = Q, hvormed spørgsmålet lyder: Q 1 = Q Q = Q Q + Q = 2Q = 0. Den eneste måde, at en matrix ganget med 2 kan give en matrix bestående af nuller, er, hvis matricen i forvejen var en matrix bestående af 0'er. Altså falsk. 1d) Q 1 = Q. Sandt - se svar i 1c. 2. Hvad er determinanten af Q? Der er her givet en række tal. Da determinanten af en ortogonal matrix kun kan være 1 eller 1 går denne opgave blot ud på at spotte den af dem, der er en mulighed. I dette tilfælde er determinanten 1. T betegner nu den lineære operator med standardmatrix A. Lad C = [T ] B være matrixrepræsentationen af Der er to umiddelbare metoder til denne opgave. En slideopgave og en tænkeopgave. Begge to involverer formlen (husk fra opgave 1d, at Q 1 = Q): C = Q 1 AQ = QAQ. INDHOLD 7
8 Første metode Jeg har lyst til at regne. Vi ved, at C = QAQ, og hvis vi vil have første række og første søjle af C, så skal vi blot vælge første række i første matrix i multiplikationen, samt første søjle i sidste matrix i multiplikationen. Kort sagt, kan vi nde c 11 = q 1 Aq 1. Vi får: c 11 = 1 [ ] c 11 = 1 [ ] = c 11 = 1 [ ] = 1 [ ] = 1 ( ) 4 = 1 (4 2) 4 = Anden metode Jeg har ikke lyst til at regne mere, så giv mig lidt teori. Vi ved, at A er symmetrisk. Derfor kan vi skrive A = P DP 1, hvor P er en matrix bestående af egenvektorer, og D er en diagonalmatrix med de dertilhørende egenværdier. Omskrivning giver: AP = P D. Betragtes kun første søjle af P svarer dette til: Ap 1 = p 1 D = λ 1 p 1, hvor λ 1 er en skalar, som selvfølgelig er egenværdien til p 1. "JAMEN MIKKEL!?!? HVAD BETYDER DET?!?!" Jo nu skal du høre min lille mus. Det betyder, at vi faktisk ikke behøver, at vericere, at Q = P (dvs. alle søjler i Q er egenvektorer til A). Vi behøver kun at tjekke, om q 1 (da denne er først i Q) er en egenvektor til A. Er dette tilfældet, så er den tilhørende INDHOLD 8
9 egenværdi også værdien i c 11, eftersom C svarer til D så Aq 1 = = = = = 2q Altså er q 1 en egenvektor med egenværdien 2, hvorfor 2 er værdien i c 11. INDHOLD 9
10 Problem 5 Det karakteristiske polynomium af A = er t(t 2)(t + 2)(t 4). 1. Hvilken af tallene 1, 4, -4 eller 16 er en egenværdi for A? Man nder egenværdierne ved at se på, hvilke værdier af t, der får det karakteristiske polynomium til at blive 0. Dvs. t(t 2)(t + 2)(t 4) = 0. Hvis vi sætter t=4, så bliver den sidste parentes til 0, og så er det ligegyldigt, hvad resten af parenteserne giver, da 0 ganget alt andet er 0. Altså er 4 en egenværdi. 2. Hvilken af følgende er en egenvektor for A? = 0 0, a 1 = 2 1, b = 1 1, c = Vi skal blot gange vektorerne på og se, om vi får samme vektor ud bare ganget med en konstant, altså Av = λv, hvor v er en af ovenstående vektorer. Bemærk dog, at 0 per denition aldrig kan være en egenvektor (et ondt trickspørgsmål), så denne ses der bort fra. For a haves Aa = = Vi kan simpelthen ikke nde en skalar λ, så Aa = λa. For b haves Ab = = = ( 1) + 0 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) + 1 ( 1) ( 1) + 2 ( 1) = 1 3 λa = Altså er Ab = 2b, hvorfor b er en egenvektor med egenværdi 2. Der er kun én løsning til hver opgave, hvorfor vi stopper her. INDHOLD =
11 3. Kan A diagonaliseres? Eftersom der kun er forskellige egenværdier, så kan A diagonaliseres. 4. Har A en invers matrix? Nej, eftersom 0 er en egenværdi, da t = 0 får t(t 2)(t + 2)(t 4) = 0. INDHOLD 11
12 Problem Lad v 1 = 2 2, v 2 = 2 2 og lad W = span{v 1, v 2 }. Lad u = 3 0 og lad w være ortogonal projektionen af u på W. 1. Er v 1 og v 2 ortogonale? Vi skal blot tjekke, om prikproduktet er 0. v 1 v 2 = ( 2) = = 0. Da prikproduktet er 0, er de ortogonale. 2. Hvad er 2. komponenten af w (dvs. w 2 )? Vi skal bruge formlen: w = u v 1 v 1 2 v 1 + u v 2 v 2 2 v 2. Da det kun er andenkomponenten i w, der betragtes, kan vi også blot betragte andenkomponenten i både v 1 og v 2, der ikke står på brøken. Lad os først udregne prikprodukterne samt længderne kvadreret: u v 1 = = = 9, u v 2 = ( 2)+3 1 = = 9, v 1 2 = = = = 9, v 2 2 = ( 2) = ( 2) = = 9. Vi får altså, at w 2 = = = Lad z være ortogonale projektionen af u på W. Hvad er 2. komponenten af z (dvs. z 2 )? Vi har, at u = w + z, hvorfor z = u w, hvilket igen betyder, at z 2 = u 2 w 2. Vi har altså: z 2 = 3 4 = Hvad er dimensionen af W? Da W er udspændt af 2 uafhængige vektorer i R 4. Så er dim(w ) = 2. Da dim(r 4 ) = 4, samt dim(r 4 ) = dim(w ) + dim(w ), har vi: dim(w ) = dim(r 4 ) dim(w ) = 4 2 = 2. INDHOLD 12
13 Problem 7 Lad A = [ ] 0 1. Er A en rotationsmatrix? I så fald hvilken? 1 0 Svar: Rotationsmatricen er givet ved [ ] cos θ sin θ. sin θ cos θ Dette betyder, at cos θ = 0. Dette er kun 90 og 270, der opfylder dette. Derudover skal der gælde, at sin θ = 1. Dette gælder kun for θ = 90. Vi har med θ = 90 : [ ] [ ] cos 90 sin sin 90 cos 90 = = A. 1 0 INDHOLD 13
14 Problem Lad A = og B = Lad C = AB. Hvad er tallet c 23? Vi kan blot vælge at betragte 2. række i A samt 3. søjle i B. Vi har: c 23 = [ ] 1 1 = ( 1) = = INDHOLD 14
15 Problem 9 Lad A og B være 5 5-matricer med det A = 3 og det B = Hvad er det( 2A)? Da A er en 5 5-matrix, har vi: det( 2A) = ( 2) 5 det A = 32 3 = Hvad er det AB? Vi kan splitte determinanten ad i produkter. Vi har: det(ab ) = det A det B = det A det B = 3 2 = Hvad er det AB 1? Vi bruger egenskaberne for determinanten: det AB 1 = det A det B 1 = det A(det B) 1 = det A det B = 3 2. INDHOLD 15
16 Problem Lad A = Hvad er determinanten af A? Svar: Vi benytter reduktion af matricen. Vi husker, at vi gerne må lægge et multiplum af en række til en af de andre uden, at der sker noget. Hvis vi bytter rundt på to rækker, skal determinanten ganges med -1. Ganges en række med et tal k, skal determinanten ganges med 1/k. Vi har: det A = det = det = 1 det = 1( 1 5 1) = Hvor vi husker, at determinanten af en trekantsmatrix blot er alle diagonalindgangene ganget sammen. INDHOLD 16
17 Problem 11 T : R n R m er en lineær transformation med standardmatrix A = Det oplyses, at A med elementære rækkeoperationer kan omskrives til A = Hvad er værdien af n? n er antallet af søjler i matricen, hvilket er Hvad er væriden af m? m er antallet af rækker i matricen, hvilket er Hvad er rangen af A? Dette er antallet af pivotindgange i A. Vi ser fra omskrivningen af A, at søjle 1, 2 og 3 er pivotsøjler. Altså er rangen af A Hvad er dimensionen af nulrummet af T? Dette er antallet af ikke-pivot-søjler, hvilket er de resterende 3. Altså er nulrummets dimension Er T entydig (en-til-en, injektiv)? Nej, fordi nulrummet er ikke 0-dimensionelt. Det vil sige, at ere vektorer end nulvektoren kan blivet afbilledet over i nulvektoren. 6. Er T på (surjektiv)? Ja, da der er pivotindgange i alle rækker. INDHOLD 17
18 Problem Lad A = og b = Er b i Col A? Vi skal se, om denne kan skrives som en linearkombination af vektorerne i A: Ligningssystemet er konsistent, hvilket betyder, at b ligger i Col A. 2. Er b indeholdt i Null A? Vi nder ( 6) Ab = b =? =? =? ??? Vi ser, at den resulterende vektor ikke er nul-vektoren (derfor jeg kun har udregnet den ene indgang). Dermed er b ikke i Null A. 3. Er b indeholdt i (Row A) (Row A) er det samme som Null A. Altså nej. INDHOLD 18
19 Problem 13 Hvor mange løsninger har ligningssystemet x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 3 = 0 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 9. Vi opstiller matricen for dette ligningssystem: Denne har altså uendeligt mange løsninger, da der er en nulrække og dermed en fri variabel. Bemærk desuden, at en et lineær ligningssystem aldrig kan have mulighed for 2 løsninger. INDHOLD 19
20 Problem 14 T : R 5 R 3 er en lineær transformation. 1. Hvad er den mindst mulige dimension af nulrummet af T? Der kan være min(5, 3) = 3 pivot-søjler i T, hvorfor nulrummet mindst kan være 5 3 = Hvad er den størst mulige dimension af nulrummet af T? Hvis vi betragter nulmatricen, så vil alle vektorer resultere i nulvektoren. Altså er den størst mulige dimension af nulrummet af T lig 5, da dette er antallet af søjler. INDHOLD 20
21 Problem 15 I MATLABs Command Window er der indtastet følgende matrix: A = [1 1 1; 1 1 2; 1 2 2]; Det oplyses, at A har en invers matrix B. Hvilken kommando bruges til at bestemme den korrekte inverse af A? Svar: Vi skal lave en matrix: [A I 3 ], hvor denne skal rækkereduceres til reduceret echelon form. Det sker ved: C=rref([A eye(3)]). Når [A I 3 ] er rækkereduceret til reduceret echelon form vil A 1 være på pladsen, hvor I 3 startede, hvilket vil sige de 3 sidste søjler (ergo søjle 4, 5 og 6). Disse tre søjler tages ud fra C med kommandoen: B=C(:,4:6). INDHOLD 21
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. februar, 3. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereMCG - 2. Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor.
MCG - 2 Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor. (v 0, v 1,..., v n 1 )+(w 0, w 1,..., w n 1 ) = (v 0 +w 0, v 1 +w 1,..., v n 1 +w n 1
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereÆstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge
Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik?...................... Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering...........................
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereUndervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =
Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet
Læs mereSandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereCarl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 9. februar, 4. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mere