Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig gældende indenfor enkel trigonometri. Som lærer man f.eks. sætte nogle af følgende læringsmål: Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kunne foretage højdemålinger ved at tegne ligedannede trekanter i korrekt forhold. Kunne bruge lommeregnerens tangensfunktion til at beregne højder. Kunne beregne ukendt vinkler i retvinklede trekanter. Vide at sinus og cosinus er definerede størrelser. Kunne redegøre for sætninger vedr. sinus og cosinus og retvinklede trekanter. Et forløb kan bestå at gennemgang af nedenstående ark, relevante forløb på EMU (se link nedenfor og artikel fra MATEMATIK) og opgaver fra forløbet i faghæftet (vedlagt). Som evaluering kan bruges oplæg fra forløbene på EMU eller opgave 14 fra forløbet i faghæftet. Ark 1: Højdemåling med ligedannede trekanter Ark 2: Højdemåling med tan knappen på lommeregneren Ark 3: Vinkelberegning i trekanter Ark 4: Sinus og cosinus med enhedstrekanten Ark 5: Enhedscirklen Ark 6: Tabel med værdier for sin, cos og tan Ark 7: Sinus og cosinus i retvinklede trekanter Ark 8: Blandede opgaver Kassen indeholder: 1 stk. enhedstrekant (hyp = 1 meter) kan bruges med ARK 4. 10 stk. clinometre kan bruges med ark 1. 10 stk. målebånd (50 meter) kan bruges med ark 1. Herværende lærervejledning indbefattende: Artikel til læreren: GeoGebra som redskab til forståelse af trigonometri fra Matematik december 2009. 8 elevark Uddrag af Fælles Mål 2009 Side fra formelsamlingen om trigonometri Forløbene på EMU findes på: http://www.emu.dk/gsk/fag/mat/uvforloeb/tan.html http://www.emu.dk/gsk/fag/mat/uvforloeb/sin_cos.html Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 2
GeoGebra som redskab til forståelse af trigonometri fra MATEMATIK december 2009. Faktaboks Appletter En applet er et lille program skrevet i Java, som kører i et Internetprogram (browser) som f.eks. Microsoft Internet Explorer. Bankernes netbanker er som regel lavet på denne måde. For at vise appletter skal browseren have en lille Java udvidelse, som er gratis. Skolens computere vil almindeligvis have denne udvidelse. Stort set alle Internetbrugere har brugt appletter måske uden at vide det! GeoGebra filer kan umiddelbart bruges som appletter, idet GeoGebra er et Java program. Trigonometri i Fælles Mål efter 9. klasse i arbejdet med geometri at arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og beregne sider og vinkler. Om GeoGebra GeoGebra er ikke bare et stykke dynamisk geometrisoftware det er en international bevægelse. Ved den 1. Internationale GeoGebra konference, som blev afholdt i juli i Østrig var der i den arbejdsgruppe som forfatteren af denne artikel deltog i 32 matematiklærere fra 17 lande! Projektet startede som et stykke forskningsarbejde for Marcus Hohenwater. Helt fra begyndelsen har det været gratis at bruge GeoGebra på skoler. I øjeblikket er der en snes programmører, der hele tiden udvider mulighederne for brugere af programmet. Bare i år er det blevet muligt at animere (noget man ellers før skulle bruge kommercielle programmer som f. eks. GeoMeter til), at tilpasse funktioner til punkter og der er indbygget regneark. Set med danske didaktiske briller er GeoGebras store potentiale dets evne til at lade elever eksperimentere med et nærmest uendeligt antal specialtilfælde uden at skulle foretage en masse trivielle beregninger. De kan dermed holde fokus på det begreb, som læreren ønsker, at de skal. Det er meget nemt at lære at bruge programmet, så eleverne kan efter kort tid selv tilrettelægge deres undersøgelser. Erik Vangsted beskrev GeoGebra i MATEMATIK nr. 4 2008 i denne artikel vil jeg fokusere på noget vores udenlandske kolleger er begejstrede for: muligheden for at lave interaktive læremidler. Det vil sige hjemmesider (eller filer), hvor eleven kan ændre parametre og direkte se konsekvenserne. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 3
Billedtekst: Pernille Peiter, Holluf Pile Skole måler højden på skolens flagstang Pædagogisk merværdi Højdemålingsopgaver har traditionelt dannet udgangspunkt for arbejdet med trigonometri. Det skal der ikke nødvendigvis laves om på, bare fordi der kan bruges computer. Computeren skal selvfølgelig kun bruges der, hvor det giver en pædagogisk merværdi. Det er typisk i situationer, hvor vi gerne vil have eleverne til at udforske og eksperimentere samtidig med, at vi holder deres fokus på det faglige begreb, vi ønsker og ikke en masse beregninger og konstruktioner. I dette forløb ønsker vi, at eleverne kan fokusere på forholdet mellem sider og vinkler i trekanter uden at skulle tegne og regne. Vi får altså computeren til at tage slæbet, så vi frigør elevens resurser til de egentlige læringsmål. Denne artikel beskriver et forløb, hvor computeren er brugt langt under halvdelen af tiden. Vi startede og sluttede med at måle højder af flagstang og træer. Undervejs blev der tegnet mange trekanter på tavlen! Forudsatte begreber Som altid må undervisningen starte med at afdække, hvordan eleverne står i forhold til de begreber, som er fundamentet for nye begreber. I tilfældet trigonometri kan man fokusere på ligedannede trekanter, forholdstal samt brøker og decimaltal som repræsentationer for det samme tal. Figur 1 viser en applet (Javaprogram der kører i en browser som f.eks. Internet Explorer) lavet med Geo Gebra. Her kan eleven flytte punktet B og iagttage brøk og decimal ændre sig, samtidig med at der er et forhold til tallinjerne. Man kan tale med eleverne om, at de er vant til at betragte geometrien som støtte ved multiplikation, men at der her ses på forhold mellem tal eller division. En sammenligning med skærme (4:3, 16:9, 16:10) kan være nyttig. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 4
Figur 1: http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/broek.html En anden nyttig sammenligning (se figur 2) er hældningstal for rette linjer, som netop fremkommer ved at betragte selvsamme forhold. Igen kan eleverne ændre punktet B og iagttage ligningen forandre sig. Her er det lærerens opgave at få fokus på trekanten under den rette linje og forholdet mellem siderne. Der kan spørges: Kan I lave andre trekanter, hvor ligningen er den samme? osv. Figur 2: http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/haeldning.html Tangens Nu mangler vi bare at få sat en vinkel på (figur 3). Så kan vi se, at der til hver vinkel hører et bestemt forhold (udtrykt som decimaltal). Nu kan eleverne ved at flytte rundt på punktet B og dermed variere vinklen udfylde en tabel med tangensværdier for 10, 20 osv. Samtidig kan man taste samme vinkler ind i lommeregneren og sammenligne resultaterne Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 5
Figur 3: http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/tan2.html Sinus og cosinus I faghæftet tages der udgangspunkt i drageflyvning, som praktisk indgang. Her kan eleven ændre vinklen og aflæse dragens højde og afstand. Læreren kan eksempelvis spørge: Hvad sker der med højden, hvis vi gør snoren gøres dobbelt så lang? Hvad med afstanden? Figur 4: http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/drage.html Næste skridt (og det er svært at gøre realistisk med drageeksemplet) kan være at forestille sig, at snoren kun er én meter lang og derpå fjerne dragen, så vi har en slags enhedstrekant. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 6
Figur 5: http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/enhed.html Det afgørende spring kommer, når vi kalder længden af siden a for sinus til vinklen v. Og længden af siden b for cosinus til vinklen v. Figur 6: http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/stor_enhed.html Da eleverne har lavet en tabel med tangens til et antal vinkler, kan de lave samme øvelse med sinus og cosinus. Det er der ikke noget nyt i, men med en applet kan de koncentrere sig om forholdet mellem vinklerne og værdierne og ikke tænke på vinkelmåler, millimeterpapir osv. Som en bonus fremkommer enhedscirklen, når der trækkes i B! Sammenfatning Som det står i faghæftet: Det interessante er ikke, at computeren kan tegne. Det interessante er derimod, at eleverne får øgede muligheder for at arbejde med tegning, undersøgelser, analyser og ræsonnementer i tæt sammenhæng. Læreren har altså fået et undervisningsmiddel, der virkelig understøtter det læringssyn, vi har i Danmark. Trigonometri er et abstrakt emne, hvor vi kan bruge al den hjælp, der er. Appletterne i denne artikel er alle online. Det vil sige, at der ikke skal installeres noget program på computeren bortset fra Java, som de fleste computere har i forvejen. Appletterne giver altså på en meget nem måde eleverne mulighed for at nyde fordelene ved udforske og eksperimentere med dynamisk geometri. Det kunne give både lærere og eleverne mod på at arbejde videre med denne type program. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 7
ARK 1: Højdemåling med ligedannede trekanter Opgave: Læringsmål: I hver af de følgende situationer skal du tegne situationen på papir i passende forhold. Ud fra tegningen skal du svare på opgaverne. Du skal bruge en vinkelmåler og noget ternet papir. Du skal indse, at trekanten på papiret er ligedannet med trekanten i virkeligheden. Derfor er forholdet mellem siderne det samme i de to trekanter. 1. 12 meter fra en kirke måler du en vinkel til toppen på 40. Hvor høj er kirken? 2. 15 meter fra et træ måler du en vinkel på 35. Hvor højt er træet? 3. 11 meter fra et hus måler du en vinkel på 17. Hvor højt er huset? 4. Formuler selv tre opgaver til en af dine kammerater NB: Brug målebånd og klinometre til at lave jeres egne målinger. Se på filmen påhttp://www.emu.dk/gsk/fag/mat/uvforloeb/tan.html, om hvordan det kan gøres. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 8
ARK 2: Højdemåling med tan knappen på lommeregneren Opgave: Beregn højden i følgende situationer med lommeregner. Du skal svare fuldstændigt. Det vil sige, at du skal: a) Definere opgaven b) Opstille en ligning (et regnestykke) med det tal, du kender c) Regne stykket d) Svare på det der bliver spurgt om, så det kan forstås af en, som ikke har læst opgaveteksten Læringsmål: Du skal indse, at tangens bruges til at beregne højder. 1. 12 meter fra et træ måler du en vinkel til toppen på 40. Hvor højt er træet? 2. 15 meter fra et kirketårn måler du en vinkel på 35. Hvor højt er kirketårnet? 3. 11 meter fra et hus måler du en vinkel på 11. Hvor højt er huset? 4. Formuler selv tre opgaver til en af dine kammerater Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 9
ARK 3: Vinkelberegning i trekanter (2 sider) Opgave: På lommeregner kan du også regne baglæns med tan knappen. Det vil sige, at du ved at indtaste en brøk, der beskriver et forhold mellem to højden af en trekant og længden af dens grundlinje kan beregne den tilhørende vinkel. tan 1 (a/b), hvor a er højden og b er længden af grundlinjen Læringsmål: Du skal indse, at invers tangens bruges til at beregne vinkler, når sidelængderne er kendte. Alle side og vinkler skal beregnes i nedenstående trekanter Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 10
Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 11
ARK 4: Sinus og cosinus i enhedscirklen Her ses en cirkel med en radius på 1. Det hedder en enhedscirkel. For hver vinkel har retvinklede trekant inden i en vis højde og længde. Højden kalder man for sinus til vinklen. Sin(40 )=0,64 Længden kalder man for cosinus til vinklen. Cos(40 )=0,77 Opgave: Læringsmål: Udfyld skemaet (ARK 6) ved enten at bruge GeoGebra, http://www.emu.dk/elever7 10/fag/mat/geogebra/stor_enhed.html eller papir, vinkelmåler og blyant. Hvis du ikke kan ramme vinklerne præcist, skal du rette vinkelværdierne. Du skal indse, at sinus og cosinus til en vinkel blot er definerede størrelser. NB: Brug også den store enhedstrekant til at definere størrelserne. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 12
ARK 6: Tabel med værdier for sin, cos og tan Eksempel: Indstil enhedstrekanten på computeren (eller den store enhedstrekant) til den ønskede vinkel. Det er ikke altid muligt at ramme den præcise vinkel på computeren så må du rette arket ved at strege ud og skrive nyt. Nedenfor er 10 streget ud, og der er skrevet 9,92 i stedet, fordi det er det tætteste, man kan komme. A a b c Sin(A) Cos(A) Tan(A) 10 9,92 0,17 0,99 1 0,17 0,17 0,99 0,17 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 A a b c Sin(A) Cos(A) Tan(A) Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 13
ARK 7: Sinus og cosinus i retvinklede trekanter Læringsmål: Du skal kunne redegøre for sætninger vedr. sinus og cosinus og retvinklede trekanter. Fra drage til formel Hvad er dragons højde (a)? Når c=1 er Når c 1 er Altså er sin sin sin Lav det tilsvarende ræsonnement for længden (b) Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 14
ARK 8: Blandede opgaver Opgave: Læringsmål: Beregn alle længder og vinkler i nedenstående trekanter Du skal kunne bruge sinus til at beregne højder i retvinklede trekanter, når kun en sidelængde er kendt. Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 15
Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 16
Facitliste Ark 1 1. 2. tan40 12 10.07 3. tan35 15 10.50 Ark 2 tan17 11 3.36 Eksempel på opstilling med vægt på kommunikationsværdi: 1. Kirkens højde Idet: Indsætter jeg de kendte værdier og beregner: tan tan40 12 12 tan40 10.07 Kirken er ca. 10 m høj Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 17
Ark 3 tan 3 5 tan 4 3 tan 3 5 30.96 tan 4 3 53.13 tan 1 4 tan 1 4 tan 3 3 45 14.04 tan 3 6 tan 2 5 tan 1 2 26.57 tan 2 5 21.80 tan 2 2 45 tan 3 2 tan 3 2 56.31 tan 5 2 tan 5 3 tan 5 2 68.20 tan 6.4 4 4 tan 39 5 51.32 tan 5 3 59.04 tan 5.1 1 1 tan 2501 10 78.69 Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 18
Ark 8 sin24.41 2.26 cos24.41 4.98 5.47 5.47 180 90 24.41 65.59 tan50.66 3.88 3.18 sin50.66 3.88 5.02 180 90 50.66 39.34 sin35.98 2.86 cos35.98 3.94 4.87 4.87 180 90 35.98 54.02 tan32.6 2.98 4.66 sin32.6 2.98 5.53 180 90 32.6 57.4 tan39.16 4.2 3.42 cos39.16 4.2 5.42 180 90 39.16 50.84 tan27.09 2.24 4.38 cos27.09 4.38 4.92 180 90 27.09 62.91 Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 19
sin68.96 5.46 cos68.96 2.10 5.85 5.85 180 90 68.96 21.04 tan45.74 3.12 3.04 sin45.75 3.12 4.36 180 90 45.74 44.26 sin 2.48 5.28 28.01 5.28 2.48 4.66 180 90 28.01 61.99 tan55.46 4.30 2.96 cos55.46 2.96 5.22 180 90 55.46 34.54 sin16.01 1.44 cos16.01 5.02 5.22 5.22 180 90 16.01 73.99 sin 3.58 4.79 48.36 4.79 3.58 3.18 180 90 48.36 41.64 Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 20
Trigonometri i faghæfte 12: Matematik (2009) Trinmål efter 9.klasse :: Matematiske emner geometri (s. 9) arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og beregne sider og vinkler Læseplan 3. forløb 7. 9. klassetrin :: Matematiske emner (s. 27) Arbejdet med målestoksforhold, ligedannethed og kongruens danner baggrund for trigonometrien, der bygger på elevernes undersøgelser af sammenhængen mellem vinkler og sidelængder i retvinklede trekanter. It og lommeregner indgår i dette arbejde, hvorimod der ikke sigtes på anvendelse af tabeller. Det er vigtigt, at arbejdet med trigonometri knyttes tæt til konkrete aktiviteter, så det bliver tydeligt, at det er en bekvem beregningsmåde, der knytter vinkler og sider i en retvinklet trekant sammen. Hvor man på mellemtrinnet fx kan arbejde med at finde højden af en flagstang ved at måle afstanden hen til den og vinklen op til toppen og derefter tegne i et passende målestoksforhold, så kan man nu med samme konkrete udgangspunkt beregne højden vha. af trigonometri. I arbejdet med måling og beregning sigtes både på løsning af praktiske og teoretiske problemstillinger og på elevernes forståelse af de formler, der indgår, herunder Pythagoras sætning. Bl.a. dette sigte giver mulighed for at arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser. Undervisningsvejledning (s. 60) Trigonometri I de nye Fælles Mål er undersøgende arbejde med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter blevet et trinmål i 9. klasse. Emnet kræver, at eleverne har arbejdet med fx ligedannethed, målestoksforhold, retvinklede trekanter og Pythagoras sætning. Udgangspunktet vil være praktiske problemer, hvor eleverne får mulighed for at arbejde med afstande, der ikke kan måles på en simpel måde med et målebånd. Eleverne i 8. klasse arbejder med at finde højden på skolens flagstang eller et træ i skoven på forskellige måder: Med redskaber som teodolit eller klinometer kan vinklen mellem stangens top og fod måles i en bestemt afstand fra flagstangen. Redskaberne kan med fordel fremstilles af eleverne. Når eleverne har målt en vinkel og afstanden hen til objektet, kan de tegne situationen på papir eller i et dynamisk geometriprogram i et passende målestoksforhold og måle højden af flagstangen. Med middelalderens jacobstav eller den simple pind kan en beregning ud fra viden om ligedannede trekanter føre frem til en beregning af højden. Udgangspunktet for at arbejde med trigonometri er altså en række praktiske eksempler, som drejer sig om retvinklede trekanter, og at der endvidere i klassen tidligere er arbejdet med ligedannethed og tegning i målestoksforhold. At introducere trigonometri forenkler disse beregninger og giver en større indsigt i sammenhængen mellem sider og vinkler i retvinklede trekanter. Arbejdet med trigonometri kan også rumme en undersøgelse af enhedscirklen eller den retvinklede enhedstrekant. Til dette undersøgende arbejde vil et dynamisk geometriprogram være en oplagt hjælp. Gennem en sammenligning af enhedstrekanten med andre trekanter fra ovenstående praktiske situationer kan eleverne opleve, at trigonometrien kan give adgang til lette beregninger af sider og vinkler. Begreberne sinus, cosinus og tangens kan introduceres og anvendes til beregninger vha. computer og/eller lommereg Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 21
ner. Der arbejdes ikke med tabeller. I hovedafsnittet med undervisningseksempler gives konkrete forslag til arbejdet med trigonometri. Undervisningsvejledning (s. 61) Dynamiske geometriprogrammer I dag findes en række dynamiske geometriprogrammer, som gratis kan hentes på internettet. En stor del af det traditionelle arbejde med at konstruere fx trekanter med givne egenskaber vil naturligt foregå på computeren. Ligesom lommeregner og computer har fjernet behovet for træning af standardalgoritmer i forbindelse med arbejdet med tal og algebra, ændrer anvendelsen af dynamiske geometriprogrammer i forbindelse med arbejdet med geometri også behovet for at udvikle tegnemetoder til geometriske konstruktioner på papir. Og samtidig åbnes der for mange nye muligheder for at udvide elevernes arbejde med geometrisk konstruktion, undersøgelser med henblik på forståelse af geometriske regler og ræsonnementer. Arbejdet med dynamiske geometriprogrammer kræver derimod ofte, at en række geometriske begreber er kendte. Med disse begreber på plads kan eleven relativt nemt konstruere en trekants omskrevne cirkel ved at tegne en trekant, herefter tegne midtnormaler og endelig tegne cirklen med centrum i midtnormalernes skæringspunkt og med den givne radius. Herefter kan eleven ved at trække i punkter og linjestykker undersøge, hvad der sker med midtnormalerne og den omskrevne cirkel, når trekanten ændrer form. Det interessante er ikke, at computeren kan tegne. Det interessante er derimod, at eleverne får øgede muligheder for at arbejde med tegning, undersøgelser, analyser og ræsonnementer i tæt sammenhæng. Også i forbindelse med arbejdet med geometriske mønstre rummer computeren store muligheder på alle klassetrin. I forbindelse med et sådant arbejde er det oplagt at gennemføre ræsonnementer omkring linjer ved trekanter, cirkler, vinkler, flytninger, symmetri osv. Computeren rummer også særlige muligheder for at arbejde i et tilsyneladende 3 dimensionalt rum, og det kunne fx være oplagt at lade eleverne stifte bekendtskab med et program af den slags. I et sådant program kan man opgive mål for rumlige figurer og meget hurtigt sammensætte disse figurer og betragte dem fra forskellige vinkler som en perspektivtegning. Undervisningsforløb (s. 80 89) Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 22
Ole Haubo Christensen, oleh@viauc.dk version 1.0 23