Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
|
|
- Frida Thomsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter, og i disse trekanter kan vinklerne og siderne beregnes ved hjælp af trigonometri (= trekantsmåling). I trigonometri benyttes primært tre funktioner, som beskriver forhold mellem siderne og vinklerne. Disse funktionerne betegnes sinus, cosinus og tangens. Der findes også andre funktioner, men dem vil vi ikke behandle i folkeskolen. for 9. klasse Kopi fra Wikipedia Trigonometri (fra græsk trigonon = tre vinkler og metro = måle) er en gren af matematikken der behandler relationen mellem sider og vinkler i trekanter. Hertil er knyttet de trigonometriske funktioner sinus (forkortet sin), cosinus (forkortet cos), tangens (forkortet tan) og cotangens (forkortet cot). Alle fire funktioner er defineret i enhedscirklen. Geert Cederkvist
2 Cosinus og sinus På et millimeterpapir er tegnet en enhedscirkel med radius 1 dm. Med toppunkt i (0,0) og x-aksen som højre ben er der afsat en vinkel på 40/. Skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og enhedscirklen kaldes for P. Punktet P har koordinaterne (0,64 ; 0,77). P s x-koordinat kaldes for cosinus til vinklen på 40/, mens P s y-koordinat kaldes for sinus til vinklen på 40/. Det skrives således sin(40/) = 0,64 cos(40/) = 0,77 Du kan tegne andre vinkler og på samme samme måde bestemme disse vinklers cosinusværdi, og sinusværdi ved at aflæse henholdsvis x-koordinaten og ykoordinaten til skæringspunktet med enhedscirklen. Generelt gælder det for en vinkel v, der er tegnet med højre ben ud af x-aksen, at dens venstre ben skærer enhedscirklen i et punkt P, der har koordinaterne (x,y) = (cos(v), sin(v)). Enhedscirkel En enhedscirkel er en cirkel med radius = 1 1 Tegn vinkler på 30/, 45/ og 60/ og aflæs deres cosinus- og sinusværdier. Bestem også cosinus og sinus til 0/ og 90/. 2
3 På de mest almindelige lommeregnere, som f.eks. Texas TI-30, kan cosinus til en vinkel bestemmes ved at trykke på [COS]-tasten og derefter indtaste vinklen, og sinus til en vinkel kan på samme måde findes ved at bruge [SIN]-tasten. 2 Brug en tegning eller lommeregneren til at bestemme cos og sin, så du kan udfylde tabellen herunder. v cos (v) sin(v) v cos (v) sin(v) 4 Brug sætningen til at beregne den præcise, uafrundede værdi af cos(30/), når det vides at sin(30/) = 0,5. Brug ikke lommeregner. Arccos og Arcsin (omvendt cosinus og omvendt sinus) Herover kan du se hvordan cosinus og sinus til vinklerne kan aflæses på henholdsvis x-aksen og y-aksen ud fra vinklens skæringspunkt med enhedscirklen. 3 Bevis at det gælder at (sin(v)) 2 + (cos(v)) 2 = 1 Sætningen i opgave 3 kan f.eks. bruges til at beregne sin(v), når cos(v) kendes eller omvendt. Med lommeregneren kan du også bestemme en vinkels størrelse, hvis du kender vinklens cosinus- eller sinusværdi. Du skal bruge [2nd][COS]- og [2nd][SIN]- tasterne. Det omtales som det omvendte til cosinus og det omvendte til sinus. Du kan se på lommeregneren at [2nd][COS] betegnes cos -1 (v) og at [2nd][SIN] betegnes sin -1 (v) Du skal dog lægge mærke til, at der kun angives én løsning, selv om f.eks. sin(v) = 0,5 passer både til v = 30/ og v = 150/. Ligeledes passer cos(v) = 0,5 både til v = 60/ og v = 300/. Derfor skal du altid kigge på din tegning og skønne hvor stor vinklen er, og vælge den værdi, der passer til dit skøn. 3
4 5 Find følgende vinkler ud fra deres sinus- og cosinusværdier. sin(a) = 0,4 sin(b) = 0,25 sin(c) = 0,8 sin(d) = 0,3 pa er spids pb er spids pc er spids pd er stump cos(e) = -0,7 pe < 180/ cos(f) = -1 cos(g) = 0,75 pg < 180/ cos(h) = -0,09 ph < 180/ Cosinus og sinus i den retvinklede trekant Den retvinklede trekant ABC er anbragt i et koordinatsystem med enhedscirklen. AC skærer enhedscirklen i punktet P. Den vinkelrette fra P skærer x-aksen i punktet Q. Begrund hvorfor AP = 1 AQ = cos(a) PQ = sin(a) Da trekant APQ er ligedannet med trekant ABC gælder følgende sætninger for den retvinklede trekant: Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig med den hosliggende katete divideret med hypotenusen. Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig med den modstående katete divideret med hypotenusen. 4
5 6 Tegn en retvinklet trekant ABC, hvor AC = 8 cm, BC = 6 cm og AB = 10 cm. Beregn sin(a), sin(b), cos(a) og cos(b) og størrelserne af pa og pb Beregn vinklerne med 1 decimal. Mål efter og kontroller på din tegning. 7 Tegn et koordinatsystem og afsæt følgende punkter: A (1,2), B (13,7) og C (13,2). Tegn trekanten ABC. Beregn længden af kateterne AC og BC og brug Pythagoras til at beregne længden af hypotenusen AB. Beregn pa og pb ved enten at finde sinusværdierne eller cosinusværdierne til vinklerne. Den retvinklede trekants vinkler Hvis du kender en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant kan du beregne den anden. F.eks. gælder det at og pa = 90/ - pb pb = 90/ - pa Længden af kateterne Hvis du i en retvinklet trekant kender længden af hypotenusen og en af de spidse vinkler, kan du beregne kateternes længde ved at sætte de tal, du kender, ind i en af formlerne for cosinus eller sinus og løse dem som en ligning. Det gælder således at og Resultatet kan formuleres i følgende sætninger. Længden af en katete i en retvinklet trekant er produktet af hypotenusen og cosinus til den hosliggende vinkel eller produktet af hypotenusen og sinus til den modstående vinkel. 8 I trekant ABC er pa = 30/, pc = 90/ og AB = 12 cm. Tegn trekanten. Beregn længden af kateterne. 9 I trekant DEF er pe = 54/, pf = 90/ og DE = 8 cm. Tegn trekanten. Beregn længden af kateterne. 10 Af sikkerheds grunde bør en stige stå, således at vinklen mellem stigen og underlaget er ca. 70/, og når en person arbejder alene bør stigen ikke være længere end 5 m. Hvor højt kan en stige på 5 meter nå op af husmuren, når den placeres forsvarligt? Hvor langt står stigen fra muren? 11 En dreng holder en drage i en 25 m lang snor. Snoren holdes 1 meter over jorden i en vinkel på 20/ med jorden. Hvor højt over jorden er dragen? 5
6 Tangens I koordinatsystemet tegnes en tangent til enhedscirklen gennem punktet (1,0). Med toppunkt i (0,0) og x-aksen som højre ben er der afsat en vinkel på 40/. Skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og tangenten kaldes for P. Punktet P har koordinaterne (1; 0,84). Dette punkts y-koordinat kaldes for tangens til vinklen på 40/. Det skrives således tan(40/) = 0,84 Ved vinkler der er større end 90/ er det det punkt, hvor venstre bens forlængelse skærer tangenten, der bestemmer tangens til vinklen. 12 Tegn en enhedscirkel og tangenten gennem (1,0) på mm-papir. Lad f.eks. 1 svare til 5 cm og sørg for at (0,0) er midt på papiret. Tegn vinkler på 30/, 60/ 120/ og 150/ og bestem tangensværdien til vinklerne ved aflæsning. 13 Hvor stor er vinkel v, når tan(v) = 1? 14 Hvordan går det med tangensværdien, når vinklen nærmer sig 90/? Ligesom sinus og cosinus, kan tangens bestemmes ved hjælp af lommeregneren. Du skal bruge [TAN] tasten til at finde tan(v), og til den omvendte beregning bruges [2nd][TAN] til at finde tan-1(v). 6
7 15 Brug en tegning eller lommeregneren til at bestemme tangens så du kan udfylde tabellen herunder. tan (v) v ,9 tan (v) v 90, Tangens i den retvinklede trekant Den retvinklede trekant ABC er anbragt i et koordinatsystem med enhedscirklen. AC skærer tangenten gennem (1,0) i punktet P. Den vinkelrette fra P skærer x-aksen i punktet Q = (1,0). Begrund hvorfor AQ = 1 PQ = tan(a) Da trekant APQ er ligedannet med trekant ABC gælder følgende sætning om tangenten til en spids vinkel i en retvinklet trekant Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig med den modstående katete divideret med den hosliggende katete. For vinkel B gælder 16 Tegn et koordinatsystem og afsæt følgende punkter: A (1,1), B (9,7) og C (9,1). Trekant ABC er retvinklet. Beregn længden af kateterne AC og BC og beregn derefter tan(a) og bestem vinkel A. Beregn også vinkel B. Det er ofte nemmere at bruge disse sætninger, når vinkler skal beregnes i koordinatsystemet, da du ikke behøver at beregne hypotenusen først. 17 Tegn en retvinklet trekant, hvor længden af kateterne er 6,5 cm og 10 cm. Beregn størrelserne af de spidse vinkler. 7
8 Længden af en katete i en retvinklet trekant er produktet af den anden katete og tangens til den modstående vinkel eller den anden katete divideret med tangens til den hosliggende vinkel. 18 Brug tegningen af vinkel v i enhedscirklen herover til at bevise at 19 Tegn i et koordinatsystem en linie, der går gennem (-2,1) og (5,5). Beregn liniens vinkel med x-aksen. Længden af den anden katete Hvis du i en retvinklet trekant kender længden af en katete og en af de spidse vinkler, kan du beregne den anden katetes længde ved at sætte de tal du kender ind i en formlen for tangens og ved at løse dem som en ligning beregne længden af kateten. Derefter kan hypotenusens længde beregnes ved hjælp at Pythagoras sætning. Det gælder således at eller 20 I 1992 blev de olympiske sommerlege afholdt i Barcelona i Spanien. Ved telekommunikationstårnet foran OL-stadion på Montjuicbjerget måles fra et punkt 110 m fra tårnet en vinkel til toppen på 50/. Beregn højden af tårnet. 21 Klokketårnet Campanilen står på Markuspladsen i Venedig. 46 meter fra midterlinien måles en vinkel på 65/ op til tårnets top. Hvor højt er tårnet? 8
9 Blandede opgaver 22 Korden AB spænder over en bue på 80/ i cirklen herover og danner sammen med de to radier CA og CB en ligebenet trekant, hvor vinkelhalveringslinien fra C samtidig er højde og deler trekant ABC i to kongruente, retvinklede trekanter. Beregn længden af AM og derefter længden af korden AB. 24 Amalienborg Slotsplads i København har omtrent form som en regulær ottekant med sidelængden 48 m. Beregn arealet af slotspladsen. Trekant ABC er en vilkårlig trekant, der deles af højden h b i to retvinklede trekanter. Forklar hvorfor h b = sin(a), og at trekantens areal derfor kan beregnes således: 23 Femkanten herover har sidelængden 5 cm. Beregn vinkler og derefter højden i den markerede trekant. Beregn derefter arealet af trekanten. Beregn arealet af hele femkanten. Beregn radius af femkantens omskrevne cirkel. 25 I trekant ABC er AB = 8,5 cm, AC = 12 cm og pa = 35/. Tegn trekanten. Beregn arealet af trekanten. 9
10 London Eye London Eye er verdens største pariser hjul og blev opført i London på Themsens sydlige bred ved Jubilee Gardens tæt ved Waterloo Station og stod klar til årtusindskiftet. Hjulet har en diameter på 135 m, er for synet med 32 gondoler, hver med plads til 28 passagerer. Hjulet foretager en omdrejning i løbet af 30 minutter. 26 Når man stiger på, befinder gondo len sig 0 meter over indstignings platformen. Hvor mange grader drejer hjulet i løbet af 1 minut? Tegn en model af hjulet, som en cirkel i målestoksforholdet 1:1000. Kald centrum O. På cirklen skal du markere et punkt P, som er en gondols placering ved indstigningen og et punkt A, som er dens placering efter 3 minutter. Du kan tegne en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er AO og kateter ne dannes af en linie lodret gennem O og en anden linie vandret gen nem A. Kald skæringspunktet mellem kate terne for C. Ved at bruge sætningen om sinus i den retvinklede trekant, skal du be regne længden af OC og derpå længden af CP, som er gondolens højde over indstigningsplatformen. 27 Fortsæt beregningerne fra opgave 15, idet du udregner, hvor højt oppe gondolen befinder sig for hvert tred je, af de 30 minutter turen varer. Afsæt punkterne i et koordinatsy stem med en passende inddeling. (For at få en pænere kurve kan du eventuelt supplere med beregning af højden for hvert eller hvert andet minut.) Angiv en forskrift, der kan beskrive højden som en funktion af tiden. London Eye set fra Victoria Embankment Daglængden Dagens længde afhænger af Jordens position i forhold til Solen, og hvor på Jorden, du befinder dig. 28 Find en kalender, hvor der er angivet solopgang og solnedgang for udvalgte dage her i Danmark. Udregn daglængden for hver anden eller hver tredje uge, startende så tæt som muligt ved forårsjævndøgn og sluttende med forårsjævndøgn det næste år. (Du kan godt regne med at daglængden for en bestemt dato er den samme hvert år). Tegn et koordinatsystem, hvor du afbilder daglængden som en funktion af datoen. 10
11 Sinusrelationen 29 Tegn en stor vilkårlig trekant ABC i dit hæfte. Mål vinklerne og sidelængderne så nøjagtigt som muligt og udfyld skemaet herunder. a b c Sinusrelationen består i virkeligheden af tre selvstændige ligninger, der kan bruges ved beregning af sider og vinkler i trekanter, hvor der kendes mindst en vinkel og den modstående sides længde samt yderligere en vinkel eller en sidelængde pa pb pc sin(a) sin(b) sin(c) Udregn følgende forhold med 1decimal: 30 I trekanten herover fås ved indsætning i sinusrelationens ligning 1 = = = Hvad kan der siges om de tre resultater? Hvis du har været omhyggelig, skulle de tre resultater gerne være (næsten) lige store. Vis at a = 3,19 cm. Beregn også længden af c. Tegn trekanten og mål efter. 31 Konstruer en trekant ABC, hvor pa = 35/, AC = 8 cm og BC = 5 cm. Beregn størrelsen af pb, pc og siden AB. Udsagnet, der udtrykker, at de tre forhold er ens kaldes for sinusrelationen. 32 Konstruer en trekant ABC, hvor AC = 9 cm, pa = 60/ og pc = 40/. Beregn størrelsen af pb samt siderne AB og BC. 11
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereTrigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt
Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereUndervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereMatematik A1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereMatematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne
Læs mereM A T E M A T I K A 1
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9b & 9c)
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereM A T E M A T I K B 1
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereM I K E A U E R B A C H. c a
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05
Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereA U E R B A C H. c h A H
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereGEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2
GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereKære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):
Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereTRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.
TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse
Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTrigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet
Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereTrigonometri - Facitliste
Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis
Læs mereGeometri med Geometer II
hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs mereGeogebra Begynder Ku rsus
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereVejledende besvarelse
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereMine matematik noter C
Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs mereMatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter
Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereDet grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.
Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:
Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave
Læs mere