Betonelementbyggeriers statik

Betonelementbyggeriers statik

Beton element byggeriers statik Redigeret af Jesper Frøbert Jensen

Betonelementbyggeriers statik Redigeret af Jesper Frøbert Jensen 1 udgave, 1 oplag 010 Copyright 010, Polyteknisk Forlag, Lyngby ISBN10 87-50-0995-7 ISBN13 978-87-50-0995-9 Ingen del af denne bog må gengives, lagres i et søgesystem eller transmitteres i nogen form eller med noget middel, grafisk, elektronisk, mekanisk, fotografisk, indspillet på plade eller bånd, overført til databanker eller på anden måde, uden forlagets skriftlige tilladelse. Enhver kopiering fra denne bog må kun ske efter reglerne i lov om ophavsret. Omslag: PHY Grafisk Omslagsfoto: Jens Landorph, PHY Grafisk Tryk: InPrint Printed in Latvia 010 Polyteknisk Forlag Anker Engelunds Vej 1 800 Lyngby Tel.: 77 4 43 8 Fax: 77 4 43 54 e-post: forlag@polyteknisk.dk hjemmeside: www.polyteknisk.dk

Indhold 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 1 1. Teori og beregninger i praksis 14 1.3 Dokumentation for bærende konstruktioner 15 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 19.1 Beton 0. Armeringsstål 36.3 Forspændingsstål 37 3 LODRETTE LASTVIRKNINGER 39 3.1 Lodrette laster 40 3. Lastkombinationer 44 3.3 Lodret lastnedføring 47 3.4 Lastspecifikationer 56 3.5 Beregningsprogrammer 68 4 HOVEDSSTABILITET 73 4.1 Generelt 74 4. Vandret lastfordeling 76 4.3 Opstilling af generaliseret model 96 4.4 Beregningsprogram 108 5 SKIVESTATIK 109 5.1 Dækskiver 110 5. Vægskiver 134 5.3 Beregningsprogram 15 6 ARMEREDE BJÆLKER 153 6.1 Brudgrænsetilstande 154 6. Anvendelsesgrænsetilstande 189 6.3 Beregningsprogram 07

7 FORSPÆNDTE ELEMENTER 09 7.1 Principper ved forspændte elementer 10 7. Indledende projektering med forspændte elementer 1 7.3 Tværsnitsanalyse, rektangulært tværsnit 17 7.4 Vilkårligt tværsnit med forspænding 73 7.5 Beregningsprogram 50 8 SØJLE- OG VÆGELEMENTER 53 8.1 Brudgrænsetilstande 54 8. Anvendelsesgrænsetilstande 81 8.3 Beregningsprogrammer 90 8.4 Skæv bøjning 9 9 BRAND 97 9.1 Materialeegenskaber under brand 98 9. Bjælker i brandtilstanden 311 9.3 Beregningsprogram 34 9.4 Søjler og vægge i brandtilstanden 34 9.5 Beregningsprogram 338 10 DETAILSTATIK 339 10.1 Detailberegning ved gitteranalogien 341 10. Forankringer 349 10.3 Særlige anvendelser 358 10.4 Udstøbningssamlinger 37 11 TVANGSDEFORMATIONER 379 11.1 Geometriændringer 380 11. Luftfugtighedens betydning 381 11.3 Temperaturens betydning 38 11.4 Lastens betydning 383 11.5 Anvendelseseksempler 384 1 TOLERANCER 391 1.1 Håndtering af tolerancer 39 1. Anvendelseseksempler 397 INDEX Detaljeret indholdsfortegnelse 405

FORORD Danmark har førerpladsen i Europa, når der tales om anvendelse af betonelementer til nybyggeri. En sådan position er ikke opstået af sig selv, men er et resultat af en samfundsmæssig bevidst satsning på industrialiseret byggeri og en stærk brancheorganisation, Betonelement-Foreningen, der har som målsætning at gøre det ukompliceret at designe og projektere betonelementkonstruktioner. For at sikre at betonelementer også i fremtiden er det naturlige valg af byggemateriale, har Betonelement-Foreningen besluttet at medvirke til, at overgangen fra DS-normerne til EuroCodes ikke alene forløber gnidningsfrit og uden at kompromittere sikkerheden, men også åbner mulighederne for at indhøste og synliggøre de kapacitetsmæssige landvindinger, der ligger i anvendelsen af EuroCodes. Denne bog er et af Betonelement-Foreningens fællesværktøjer. Ud over en opdatering på områder vedrørende hovedstabilitet, skivestatik, detailstatik mv. præsenterer bogen en lang række nyskabelser. Først og fremmest er det lykkedes at skabe praktisk anvendelige beregningsmetoder til brug for dimensionering af bjælker, søjler og vægge på grundlag af EuroCode s generelle, ulineære model for betonens materialeegenskaber. Dette gælder både for den sædvanlige statik og for konstruktioner under brandpåvirkning. Sammenligning med forsøg har vist overordentlig god overensstemmelse mellem forsøgsresultaterne og beregning med anvendelse af de udviklede metoder. Samtidig er det en bærende idé gennem bogen at adskille beregning af lastvirkninger i konstruktionerne fra beregningen af konstruktionernes 7

0 Forord BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK bæreevner. Dermed kan praktikeren opnå en væsentlig effektivisering under design og dokumentation af konstruktionerne. Dels fordi relativt få beregninger kan dække større puljer af ensartede konstruktionselementer, dels fordi løbende revisioner af lastvirkninger og geometri under projekteringen kan håndteres uden gentagne bæreevneeftervisninger. I sammenhæng hermed er der udviklet en fast og præcis struktur for bestemmelse af lastvirkninger ned gennem bygningen, så det bliver enkelt og sikkert at specificere netop de lastvirkninger, der skal sammenholdes med konstruktionselementernes beregnede bærevener. For de forspændte konstruktioners vedkommende præsenteres en sammenhængende metodik for design i praksis, og der gennemgås for første gang en komplet teoretisk model til håndtering af forspændte tværsnit med vilkårlig tværsnitsform på basis af de grundlæggende materialemodeller for beton og forspændingsstål. Endelig er bogens teori og beregningseksempler tæt knyttet til en hel buket af digitale beregningsmoduler, der frit kan hentes fra Betonelement-Foreningens hjemmeside til direkte anvendelse i statiske beregninger. Dermed fungerer bogen også som baggrundsdokumentation og vejledning til brugen af alle disse beregningsmoduler. Samlet forventes bogen med de tilhørende beregningsmoduler at føre til væsentlige besparelser i fremtidige betonelementprojekter. Både i form af tidsmæssige besparelser under projekteringen og i form af materialemæssige besparelser, fordi de projekterende hurtigt og sikkert kan finde frem til det optimale design af elementerne. Det er Betonelement-Foreningens håb, at resultaterne hurtigt vil vinde udbredelse i praksis og dermed understøtte udviklingen frem mod mere og mere bæredygtigt byggeri. 8

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 0 Forord Foreningen ønsker at takke de mange særligt sagkyndige både fra medlemskredsen og udefra for deres inspirerende og udfordrende indslag. Foreningen ønsker i særdeleshed at takke bogens redaktør og hovedforfatter, civilingeniør, lic. techn. Jesper Frøbert Jensen uden hvis utrættelige indsats og dybe indsigt i normer og i betonelementkonstruktioner projektet næppe ville være blevet realiseret. Den samlede forfattergruppe er fra ALECTIA A/S og har ud over redaktøren omfattet: Anna Hvidberg-Hansen, Lars Zenke Hansen og Mikkel Christiansen Betonelement-Foreningen, juni 010 Claus Bering Formand Poul Erik Hjorth Direktør 9

0 Forord BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 10

1 GENERELT 1 GENERELT 1.1 Introduktion 1. Teori og beregninger i praksis 1.3 Dokumentation af bærende konstruktioner 1.3.1 Overordnede statiske beregninger 1.3. Bygningsdelsberegninger

1 Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 1.1 Introduktion De fælleseuropæiske normer, EuroCodes, er i disse år ved at blive implementeret i praksis. Danmark overgik som et af de første lande i januar 009 til det nye normgrundlag, og Betonelement-Foreningen iværksatte allerede i 007 en række initiativer for at forberede branchen til overgangen. Et af initiativerne handlede om at etablere en række brugervenlige beregningsmoduler til projektering af almindeligt forekommende konstruktioner i etagebyggerier baseret på EuroCodes. Beregningsmodulerne har siden 1. januar 009 været frit tilgængelige for alle på Betonelement-Foreningens hjemmeside, www.bef.dk. I denne sammenhæng har følgende EuroCodes med tilhørende danske nationale annekser naturligt haft særligt fokus: EC0: DS/EN 1990. EuroCode 0: Projekteringsgrundlag for bærende konstruktioner. EC1: DS/EN 1991-1-1. EuroCode 1: Last på bærende konstruktioner Del 1-1: Generelle laster Densiteter, egenlast og nyttelast for bygninger. DS/EN 1991-1-4. Eurocode 1: Last på bygværker Del 1-4: Generelle laster Vindlast. EC: DS/EN 199-1-1. EuroCode : Betonkonstruktioner Del 1-1: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner. DS/EN 199-1-. EuroCode : Betonkonstruktioner Del 1-: Generelle regler Brandteknisk dimensionering. Betonnormerne, EC, rummer et grundlag for udvikling af nye beregningsmetoder på basis af grundlæggende materialemodeller. Dette gælder både for den sædvanlige statik og for statikken i brandsituationen. Normerne introducerer hermed et godt grundlag for udvikling af IT-baserede beregningsmetoder; men synes åbenbart ikke at finde disse metoder egnet som grundlag for metoder til beregninger under daglig projektering. I stedet introduceres til brug for håndbe- 1

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt 1 regninger en del tilnærmede beregningsmetoder, der imidlertid rummer en del inkonsekvenser og unøjagtigheder dog generelt på den sikre side. Indledende analyser viste, at man for sædvanlige konstruktionselementer af beton rent faktisk kan komme meget langt ved anvendelse af de grundlæggende materialemodeller. For både bjælker, søjler og vægge kan de nye normers matematiske udtryk for betonens ulineære arbejdslinjer i kold og varm tilstand omsættes direkte til operationelle formler til anvendelse i tværsnitsanalyser. Yderligere viser det sig, at beregningsresultaterne baseret herpå giver særdeles god overensstemmelse med eksisterende forsøgsresultater både i kold tilstand og under brand. Se nærmere i dokumentationsrapporten hørende til beregningsmodulerne for søjler og vægge på www.bef.dk. Med denne lærebog har det været ønsket at demonstrere, hvorledes de grundlæggende materialemodeller i de nye EuroCodes kan anvendes til opstilling af et sæt konsistente beregningsmetoder, der bredt dækker behovet ved sædvanlige betonelementbyggerier. Bogen rummer alle væsentlige aspekter af de statiske beregninger, der almindeligvis skal udføres i forbindelse med gennemførelse af et betonelementprojekt. Se afsnit 1.3. I hvert kapitel præsenteres de teoretiske metoder, der føres frem til direkte anvendelige designformler, og resultaterne demonstreres anvendt på taleksempler. Yderligere er forbindelsen til beregningsmodulerne på www.bef.dk illustreret ved programudskrifter med samme inddata som anvendt i eksemplerne. På den måde fremkommer en klar linje, lige fra de grundlæggende materialemodeller, gennem de teoretiske metoder og designformler, over taleksemplerne og helt frem til beregningsmodulerne. Når der i bogens forskellige afsnit henvises til EC0, EC1 og EC, menes forannævnte EuroCodes med tilhørende danske nationale annekser gældende pr. 1. januar 010. Med bogens udgangspunkt i de grundlæggende materialemodeller 13

1 Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK forventes kommende revisioner af normgrundlaget ikke at få væsentlig betydning for bogens indhold. 1. Teori og beregninger i praksis Designformler kan ikke ændre på, at moderne betonstatik er meget omfattende som følge af de mange forhold, der skal undersøges. De fleste bygningsdele vil derfor fremover hovedsagelig blive dimensioneret under anvendelse af ITværktøjer. Dette fratager dog ikke den projekterende ansvaret for beregningernes rigtighed. Med den foreliggende bog og de tilknyttede beregningsmoduler på www.bef.dk har praktikeren nu flere midler til rådighed for sin kvalitetssikring: Direkte dimensionering og beregningsmæssig eftervisning med brug af beregningsmodulerne på www.bef.dk: Bogens eksempler rummer direkte anvisning på, hvorledes beregningsresultater overkommeligt kan stikprøvekontrolleres ved håndberegning. Nye IT-redskaber: Bogens teoretiske resultater kan sammen med eksemplerne og beregningsmodulerne på www.bef.dk anvendes som grundlag for både udvikling og kontrol af nyt programmel, eller til brug for godkendelseskontrol af nyindkøbte programmer. Praktisk anvendelse af integrerede design- og beregningsprogrammer: Beregningsmodulerne kan anvendes til brug for uafhængige parallelberegninger, hvilket er et væsentligt element i kvalitetssikringen af resultaterne fra komplekse modelberegninger. Med henblik på ovenstående er der ved udviklingen af beregningsmodulerne på www.bef.dk lagt særlig vægt på at resultaterne præsenteres med angivelse af udvalgte delresultater, der netop gør det enkelt at foretage de nødvendige kontroller. 14

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt 1 1.3 Dokumentation af bærende konstruktioner 1.3.1 Overordnede statiske beregninger Med årene har der i Danmark udviklet sig en praksis for struktureringen af den statiske dokumentation hørende til en byggesag, se SBI-anvisning 3: Dokumentation af bærende konstruktioner, der opdeler den statiske dokumentation i følgende hovedbestanddele: A. Konstruktionsdokumentation: A1. Projektgrundlag A. Statiske beregninger A3. Konstruktionstegninger og modeller A4. Konstruktionsændringer B. Projektdokumentation: B1. Statisk projekteringsrapport B. Statisk kontrolrapport B3. Statisk tilsynsrapport Nærværende bog fokuserer heraf på indholdet af del A. Statiske beregninger, der i praksis opdeles i: A.1. Statiske beregninger Bygværk, hvis formål er at dokumentere bygværkets overordnede sikkerhed og anvendelse, fx udtrykt ved fordeling af laster, snitkræfter og reaktioner. A.. Statiske beregninger Konstruktionsafsnit, hvis formål er at dokumentere de enkelte konstruktionsafsnits sikkerhed og anvendelse, fx udtrykt ved fordeling af snitkræfter samt eftervisning i brud- og anvendelsesgrænsetilstand. De Statiske Beregninger Bygværk varetages af den såkaldt bygværksprojekterende. De detaljerede bygningsdelsberegninger hørende under Statiske beregninger Konstruktionsafsnit udføres ofte af andre parter, dog stadig med den 15

1 Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK bygværksprojekterende som ansvarlig for koordineringen, og de skal altid udføres i nøje overensstemmelse med forudsætningerne fastlagt i A1. Projektgrundlag og A.1 Statiske beregninger Bygværk. 1.3. Bygningsdelsberegninger Ved mange betonelementbyggerier leveres en del af bygningsdelsberegningerne efter aftale af elementleverandøren. Det kan eksempelvis være beregninger vedrørende dæk- eller bjælkeelementer. Et sammenhængende sæt af bygningsdele svarer til et såkaldt Konstruktionsafsnit, jf afsnit 1.3.1. For hvert konstruktionsafsnit skal forudsætningerne stilles klart op, før man går videre med beregningerne. Klart formuleret opgavebeskrivelse, materialeforudsætninger og lastforudsætninger er nødvendig for en sikker kommunikation, hvor flere parter samarbejder, og er helt afgørende for den bygværksprojekterendes mulighed for at varetage koordineringen og den overordnede kvalitetssikring. Projektgrundlag - Konstruktionsafsnit Dette indledende afsnit i de statiske beregninger vedrørende et konstruktionsafsnit bør indeholde en opgavebeskrivelse med entydig henvisning til byggesagen, og en klar afgrænsning af de omfattede bygningsdele. De anvendte materialer specificeres også i dette afsnit med angivelse af deres mekaniske egenskaber. Desuden angives hvilke særlige standarder, beregningsmetoder, beregningsværktøjer osv., der anvendes i beregningerne. Hovedstatik for konstruktionsafsnit Her bestemmes belastningsforudsætningerne for beregningerne af de enkelte konstruktionsdele. Lastforudsætningerne kan være en opstilling af de basale laster, eventuelt suppleret med en oversigt over de grupper af elementer der beregningsmæssigt slås sammen. 16

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Generelt 1 I mange tilfælde vil det på dette sted være bekvemt kun at oplyse de forudsatte lasters karakteristiske værdi med samtidig angivelse af lastkategori i henhold til EC1. Bestemmelse af de regningsmæssige belastninger knyttes ofte med fordel til de enkelte bygningsdelsberegninger, da den farligste lastkombination normalt varierer fra bygningsdel til bygningsdel. Under lastforudsætninger hører også oplysninger om konsekvensklasse og krav til brandmodstandsevne. Hvor et konstruktionsafsnit omfatter samvirkende bygningsdele fastlægges i dette afsnit hvorledes snitkræfter overføres mellem de enkelte bygningsdele. I den sammenhæng bør også redegøres for størrelsen af tvangslaster fra bevægelser i lejer etc. Eftervisning af ydeevne Dette afsnit opdeles i underafsnit svarende til de konstruktionsdele, der er indgår i konstruktionsafsnittet. For hver konstruktionsdel beskrives virkemåden ved tekst og eventuelt skitser, og det eftervises ved statiske beregninger, at alle krav til sikkerhed og funktion er opfyldt; se SBi-anvisning 3 kap..3 om udarbejdelse og opbygning af af de statiske beregninger samt fremgangsmåde ved eftervisning af ydeevne for konstruktionsdelene. I en række tilfælde vil der på baggrund af resultaterne fra konstruktionsafsnittes hovedstatik kunne foretage en gruppering af statisk set ensartede konstruktionsdele, hvor det for en sådan gruppe er muligt at gennemføre eftervisningen samlet. Dette er almindeligvis enkelt at gøre for simpelt understøttede dæk og bjælker; mens der normalt kræves en særlig systematik for lodret bærende elementer, hvor belastningsforholdene ofte er mere komplekse. Se eksempelvis afsnit 3.4, der anviser, hvordan dette kan gøres systematisk for søjler og vægge. 17

1 Generelt BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 18

GRUNDLÆGGENDE MATERIALE MODELLER GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER.1 Beton.1.1 Middelarbejdslinje.1. Brudgrænsetilstande.1.3 Tværsnitsanalyse generel metode.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande.1.5 Krybning og svind.1.6 Eksempel Beregning af slutkrybetal og slutsvind. Armeringsstål.3 Forspændingsstål

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK.1 Beton Arbejdslinjen er et nyttigt redskab til at karakterisere et materiales egenskaber, der angiver sammenhængen mellem spændinger og tøjninger. For beton er arbejdslinjen imidlertid ikke en entydig størrelse. Den afhænger af betonens styrke, krybning i betonen som følge af langtidsvarende lastpåvirkninger og af temperaturpåvirkninger i tilfælde af brand. For temperaturpåvirkninger i tilfælde af brand henvises til kapitel 9..1.1 Middelarbejdslinje Først ses på betonens middelarbejdslinje for korttidspåvirkninger i kold tilstand. I det generelle tilfælde er givet et analytisk udtryk for sammenhængen mellem betonens trykspænding, σ c, og betonens tryktøjning, ε c : ε ε c c k ε c1 ε c1 σ c = fcm εc εcu ε c 1+ ( k ) ε c1 hvor ε c1 er den tøjning, der svarer til toppunktet på arbejdslinjen f cm er betonens middelcylindertrykstyrke ε cu er betonens brudtøjning, og parameteren k er bestemt ved: k 1,05 E ε cm c1 = hvor E cm er sekantelasticitetsmodulet. f cm Sekantelasticitetsmodulet, E cm, defineres i EC som hældningen af sekanten mellem arbejdslinjens begyndelse og punktet ved 0,4 f cm, hvor f cm er betonens middelcylinderstyrke 0

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller For betoner med karakteristisk trykstyrke op til og med f ck = 50 MPa anfører EC følgende udtryk for de indgående parametre til fuldstændig fastlæggelse af middelarbejdslinjen som funktion af f ck : fcm = fck + 8MPa E cm 0, 3 [( f ) /10 = 000 cm ] E cm og f cm i MPa ε c1 = 0,0007 f ε cu = 0,0035 0,31 cm Dermed kommer en typisk middelarbejdslinje for betonen til at se ud som vist på figur -1. Det ses, at sammenhængen mellem spændinger og tøjninger ikke er lineær. σ c (MPa) 50 45 40 35 f cm 30 5 0 15 10 5 0 ε c1 0 0,001 0,00 0,003 0,004 ε c Figur -1: Typisk middelarbejdslinje for beton, f ck = 5 MPa 1

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK.1. Brudgrænsetilstande Ved beregninger i brudgrænsetilstande anvendes formlerne til bestemmelse af arbejdslinjen for betoner med trykstyrke op til og med karakteristisk trykstyrke f ck = 50 MPa på følgende form: ε ε c c k ε c1 ε c1 σ c = fcd εc εcu ε c 1+ ( k ) ε c1 Parameteren k er i brudgrænsetilstanden bestemt ved: k 1,05 Ecd ε = f cd c1 hvor betonens regningsmæssige trykstyrke og sekantelasticitetsmodul i forhold til udtrykket for middelarbejdslinjen findes ved reduktion med partialkoefficienten γ C : f = f / γ cd ck C [ ] 0,3 E = 000 ( f + 8 MPa) /10 / γ cd ck C For arbejdslinjen vist på figur - er regnet med en partialkoefficient på γ C = 1,4. Til brug for tværsnitsdimensionering anviser EC forskellige forenklede udtryk for betonens arbejdslinje. For betonelementer har valget af udtryk for arbejdslinjen i praksis kun betydning ved beregning af momentpåvirkede elementer. I de senere kapitler 6-8 er det vist, at der ikke er særlige problemer med at anvende de generelle udtryk for arbejdslinjen i praktisk dimensionering. Det er derfor til brug i brudgrænsetilstande valgt at se bort fra de forenklede udtryk for arbejdslinjen og i stedet opnå fordelene ved en samlet konsistent model, der har vist sig at føre til resultater i fin overensstemmelse med forsøg.

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller σ c (MPa) 30 5 0 f cd 15 10 5 ε 0 c1 0 0,001 0,00 0,003 0,004 Figur -: Typisk regningsmæssig arbejdslinje for beton, f ck = 5 MPa ε c Det skal understreges, at udtrykkene i dette afsnit alene gælder for korttidspåvirkninger. Når undersøgelser i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden omfatter langtidspåvirkninger, skal der også tages hensyn til betonens krybning, jf. afsnit.1.5..1.3 Tværsnitsanalyse generel metode For bjælker, vægge og søjler, behandlet i kapitlerne 6, 7 og 8, bestemmes armeringens bidrag og ligningerne for statisk ækvivalens opstilles og løses. Som input til disse ligninger skal placeringen og størrelsen af betonspændingernes resultant kendes. Netop disse to størrelser bestemmes i dette afsnit som funktion af tøjningen ε 0 i toppen af tværsnittet samt tøjningen i bunden af tværsnittet, der dog er givet ved andre parametre. For brudgrænsetilstanden antages, at betonens trækstyrke er nul. 3

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK y ε 0 N c h ε c σ c y x Figur -3: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Spændingsfordelingen i betontværsnittet bestemmes ud fra arbejdslinjen i brudgrænsetilstanden, jævnfør afsnit.1.. Tværsnittets tøjning varierer lineært, og ved den ene betonkant fås tøjningen ε 0. Spændingsvariationen fås ved at indføre tøjningen ε c som betegner betonens tøjning i et givet punkt i tværsnittet. Nullinjens dybde betegnes x. Hermed kan σ c omskrives til formen angivet nedenfor. Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket giver ε c = tε 0. σ c c c1 ε c ε k ε c1 ε = ε 1+ ε cd c1 c ( k ) 1+ ( k ) c1 f =... = ε 0 1 kε t tε ε 0 c1 ε 0 tk ε c1 f cd hvor parameteren k er angivet i afsnit.1. for brudgrænsetilstanden. For overskuelighedens skyld indføres følgende konstanter: A ε 0 = og B = ( k) kεc1 ε0 ε c1 4

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller Herved reduceres udtrykket for betonspændingen til: ε0 1 At ε 0 t σ c = kt fcd = k fcd t ( A B) εc 1 1 Bt εc 1 1 Bt Ud fra ovenstående udtryk er det muligt at bestemme resultanten af betontrykspændingerne ved integration over trykzonen: c 1 N = bx σ dt ζ c hvor b er betontværsnittets bredde, h er tværsnittets højde og 0 ζ = x h x for x h for x > h Indsættes udtrykket for σ c i udtrykket for betonens trykresultant fås: 1 cdζ ε 0 t Nc = bxk f t ( A B) dt... ε c1 1 Bt ( ) 1 ε A B 0 1 B Nc = bxk fcd ζ + ( ζ ) + ( ζ ) + ε 1 B 1 B 1 ln 3 ζ c1 B 1 B På dimensionsløs form kan trykresultanten skrives som: N N c = bxf c cd hvilket giver: ( ) 1 ε A B 1 B = 1 ζ + ( 1 ζ ) + ( 1 ζ ) + ln 1 ζb 0 Nc k 3 B B εc 1 B 5

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Herefter kan afstanden y fra resultantens placering til nullinjen bestemmes. Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinjen: yn = bx tσ dt c 1 ζ c 1 3 ε 0 t yn c = bx k fcd t ( A B) dt... εc1 1 Bt ζ ( ) 1 ε A B 0 3 3 3 1 B yn c = bx k fcd ζ ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) ε 1 B 1 3B 1 6B 1 6ln 4 3 ζ c1 B 1 B Betonresultantens moment om nullinjen kan tilsvarende skrives dimensionsløst: N = c y ' N c bx fcd hvilket giver: ( ) '' 1 ε 3 A B 0 3 3 1 B Nc = k 1 ζ 4 B ( 1 ζ ) 3B ( 1 ζ ) 6B( 1 ζ ) 6ln 3 ε c1 B 1 Bζ Resultantens placering målt fra nullinjen kan herved bestemmes som: yn c bx fcdnc Nc y = = = x Nc bxf N N cd c c.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande Ved beregning af spændinger og nedbøjninger i anvendelsestilstanden kan med god tilnærmelse anvendes en lineærelastisk model, hvor der for betonen ved korttidspåvirkninger anvendes følgende elasticitetsmodul for danske betoner: E c, K = 0,7 51000 f ck fck + 13 På figur -4 er den lineære arbejdslinje vist i forhold til den ikke-lineære. 6

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller σ c (MPa) 50 45 40 35 f cm 30 5 0 15 10 5 0 σ c c = 0,7 E c,k E ε cok c e c ε c1 0 0,001 0,00 0,003 0,004 ε c Figur -4: Den lineære arbejdslinje vist i forhold til en typisk middelarbejdslinje for beton, f ck = 5 MPa Ved beregningerne anvendes ofte transformerede tværsnit, hvor armeringens elasticitetsmodul, E s, benyttes som reference-elasticitetsmodul. For et punkt i betontværsnittet med en given tøjning, ε c, udtrykkes den tilhørende betonspænding typisk på formen: σ = / c ε c Es α K hvor α K = E s / Ec, K For langtidspåvirkninger skal der tages hensyn til effekten af krybning, hvilket kan ske ved at anvende følgende værdi af betonens elasticitetsmodul: E = Ec, K /( 1+ ϕ (, 0)) c, L t Hvor krybetallet, ϕ(,t 0 )=ϕ 0 på tidspunktet t= for en konstant trykspænding, σ c, påført på et tidspunkt udtrykt ved betonens modenhedsalder, t 0, findes som 7

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK beskrevet i afsnit.1.5. Ved tværsnitsanalysen medfører dette, at der svarende til rene langtidspåvirkninger benyttes: σ = / c ε c Es α L Hvor α L = α ( 1+ ϕ(, t0 )) K For betonelementer kan ofte forudsættes en mindste typisk tværsnitsdimension af størrelsen 00 mm, at betonens alder ved påføring af den permanente last mindst er t 0 =8 døgn, og at den relative luftfugtighed mindst er af størrelsen RH = 50 %. Til praktiske beregninger af spændinger og deformationer i anvendelsesgrænsetilstanden kan derfor normalt tages udgangspunkt i værdierne for α anført i nedenstående tabel. f ck 0 MPa 5 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa α K 9, 8,5 8,0 7,7 7,4 7, 7,1 α L 35,8 31,1 7,0 3,7 1,3 19,5 18,1 Figur -5: Sædvanlige værdier af α for betonelementer i anvendelsesgrænsetilstande I eksemplet, afsnit.1.6, er vist, hvorledes slutkrybetallet bestemmes for et vilkårligt tværsnit. En given lastvirkning, eksempelvis et moment, M, kan regnes sammensat af en langtidsandel, M L, og en korttidsandel, M K, på følgende form: M = M L + M K Ved beregningerne kan anvendes en effektiv værdi, α eff, bestemt ved vægtning: α eff α L M = L + α K M M K 8

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller Alternativt kan man først finde spændinger og udbøjninger for den rene langtidsandel, dernæst gentage beregningerne svarende til den rene korttidsandel og sluttelig summere resultaterne. Dette er dog en mere omstændelig metode, der ikke kan forventes at føre til mere præcise resultater end metoden baseret på α eff..1.5 Krybning og svind Når beton belastes til en trykspænding af størrelsen σ c, opstår der straks en tøjning i betonen af størrelsen ε c = ε c (σ c ), som kan aflæses af betonens arbejdslinje gældende for korttidspåvirkninger. Hvis trykspændingen opretholdes gennem længere tid, vil denne tøjning langsomt øges. Dette fænomen betegnes krybning. Med tiden vil tøjningen asymptotisk nærme sig slutværdien, der almindeligvis udtrykkes på formen: ε cc, = (1 + ϕ0) ε c hvor ϕ = ϕ ( t, RH, f, h, ct) 0 0 0 c 0 betegnes slutkrybetallet, der ved normale driftstemperaturer er en funktion af følgende parametre: t 0 RH f c h 0 ct er betonens alder på tidspunktet for påføringen af spændingen σ c er omgivelsernes relative fugtighed er betonstyrken er et teoretisk dimensionsmål, h 0 = A c / u, hvor A c er tværsnitsarealet og u er tværsnittes omkreds er cementtypen For betonelementer vil man med god tilnærmelse kunne regne med, at betonens alder ved tidspunktet for påføringen af de langtidsvirkende spændinger er af størrelsen t 0 = 8 døgn. Sædvanligvis kan for danske betoner desuden normalt regnes med, at der anvendes cementtyper af styrkeklasse N. Med dette ud- 9

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK gangspunkt kan slutkrybetallet for betonelementer overslagsmæssigt aflæses af figur -6. 3,0,8,6,4,,0 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 ϕ 0 ϕ 0 h 0 = 100 mm RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0 30 40 50 3,0,8 h 0 = 150 mm,6 RH=50%,4 RH=60%, RH=70%,0 RH=80% 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 f ck 0 30 40 50 f ck 3,0,8,6,4,,0 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 ϕ 0 ϕ 0 h 0 = 50 mm RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0 30 40 50 f ck 3,0,8,6,4,,0 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 h 0 = 500 mm RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0 30 40 50 f ck Figur -6: Slutkrybetal for sædvanlige danske betoner for belastningsstart ved t 0 = 8 døgn For betonelementer kan effekten af krybningen eksempelvis være, at bjælkers nedbøjninger øges med tiden, eller at søjler og vægges bæreevne med tiden reduceres, fordi udbøjningerne og dermed normalkraftens udbøjningstillæg øges. For forspændte elementer vil krybningen desuden medføre, at elementerne med tiden forkortes som følge af de tilhørende aksiale trykkræfter i elementet, hvilket kan have stor betydning for forholdene ved samlinger mellem elementer. 30

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller I anvendelsesgrænsetilstanden, skal der foruden krybning også tages hensyn til betonens svind, der dels forårsages af betonens udtørring med tiden, dels af de kemiske processer i forbindelse med betonens hærdning. Svindet har primært betydning for betonbjælker, der er armeret med forskellig træk- og trykarmering. For praktisk anvendelse er det sædvanligvis tilstrækkeligt at kende slutsvindet udtrykt ved svindtøjningen til tiden t= : ε cs, = εcs, ( RH, fc, h0, ct) Svindet er således en funktion af stort set de samme parametre, som indgår ved bestemmelse af krybetallet. Svindtøjningen er en empirisk bestemt størrelse, der overslagsmæssigt kan aflæses af figur -7 for cementklasse N. 0,00060 ε cs, 0,00060 ε cs, h 0 = 100 mm 0,00050 0,00040 0,00030 RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0,00050 0,00040 0,00030 h 0 = 150 mm RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0,0000 0,0000 0,00010 0,00010 0,00000 0 30 40 50 f ck 0,00000 0 30 40 50 f ck 0,00060 ε cs, 0,00060 ε cs, h 0 = 50 mm 0,00050 0,00050 h 0 = 500 mm 0,00040 0,00030 0,0000 RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0,00040 0,00030 0,0000 RH=50% RH=60% RH=70% RH=80% 0,00010 0,00010 0,00000 0 30 40 50 f ck 0,00000 0 30 40 50 f ck Figur -7: Slutsvind for sædvanlige danske betoner 31

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK.1.6 Eksempel Beregning af slutkrybetal og slutsvind I dette eksempel udregnes slutkrybetal og slutsvind for et 300 mm x 40 mm betontværsnit. Beregningen sker ved hjælp af formelsættet angivet i EC og sammenlignes med kurverne figur -6 og figur -7. Beregningsforudsætninger Tværsnit 300mm x 40 mm Betonstyrke f ck = 35 MPa, cementklasse N Den relative luftfugtighed sættes til 50 % Tværsnittet belastes først efter hærdning dvs. 8 døgn Krybning Slutkrybning afhænger af en række faktorer som her beregnes i henhold til EC. Elementets teoretiske dimensionsmål: Ac 300mm 40mm h0 = = = 175mm u 300mm+ 40mm ( ) α-faktorer: 0,7 0,7 35 35 α1 = = 0,866 f = cm 35 + 8 0, 0, 35 35 α = = 0,960 f = cm 35 + 8 0,5 0,5 35 35 α3 = = 0,90 f = cm 35 + 8 Den relative fugtigheds indvirken på krybetallet: 1 RH /100 1 50 /100 ϕrh = 1 + α1 α = 1 + 0,866 0,960 1,70 3 3 = 0,1 h0 0,1 175 Hvis fcm 35 MPa benyttes ϕ RH 1 RH /100 = 1+ 0,1 3 h 0 da fcm > 35. MPa 3

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller Faktor for betonstyrken: 16,8 16,8 β ( fcm ) = = =,56 f 35 + 8 cm Der tages højde for cementtypen ved at regulere betonens alder ved belastning, t 0. Dette gøres med følgende formel: α 0 9 9 t0 = t0, T + 1 8døgn 1 8døgn 1, = + = 1, t + + 8 0, T hvor α er en potens, der afhænger af cementtypen: α = -1 for cementklasse S α = 0 for cementklasse N α = 1 for cementklasse R t 0,T er den temperaturtilpassede alder i døgn ved belastning givet ved: 0, T n i= 1 ( 4000/ ( 73 T( ti )) 13,65) t = e + Δ Δ t hvor t 0,T er betonens temperaturtilpassede alder T(Δt i ) er temperaturen i C i tidsrummet Δt i. Δt i er antallet af døgn, hvor temperaturen T er fremherskende. Der tages højde for betonens alder ved belastningstidspunktet: 1 1 β = = = 0, 49 ( t ) ( 0,1+ t0 ) ( 0,1+ 8 ) 0 0,0 0,0 i Slutkrybetallet fås nu som: ( f ) ( t ) ϕ0 = ϕrh β cm β 0 = 1,70,56 0, 49 =,13 Den endelige krybetøjning afhænger nu af slutkrybetal og betonspænding. 33

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Et alternativ til beregning af slutkrybetallet er at aflæse diagrammerne i figur -6. Slutkrybetallet for dette eksempel fås ved at interpolere mellem graferne for h 0 = 150 mm og h 0 = 50 mm.,04, 0 ϕ0 = ( 175 150 ) +,0 =,16 50 150 Forskellen på det udregnede og det aflæste krybetal er uden praktisk betydning. Svind Svind bestemmes som en sum af to bidrag: - Autogent svind, ε ca, der hovedsagligt forekommer når betonen hærder de første par dage efter støbning. - Udtørringssving, ε cd, der udvikler sig langsomt i takt med, at vandet forsvinder fra den hærdende beton. Autogent svind Autogent svind afhænger af betonstyrken: ε ca ( ) ( f ) ( ) =,5 10 10 =,5 35 10 10 = 0,06 ck 6 6 0 00 Det autogene svinds afhængighed af tiden t i døgn fås af: () β as t = 1 10 0,5 0,t I dette eksempel benyttes β as ( ) = 1 Det samlede autogene svind er givet ved: ( ) = ( t 0 0 ) ( ) = 1 0,06 = 0,06 ε β ε ca as ca 00 00 Udtørringssvind Udtørringssvindet afhænger af tværsnittets teoretiske dimensionsmål h 0, givet ved faktoren k h, som bestemmes ved interpolering i følgende tabel: h 0 100 00 300 500 k h 1,0 0,85 0,75 0,70 For h 0 = 175 mm fås: 34 k h 0,85 1,00 = ( 175 100 ) + 1,00 = 0,89 00 100

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller Tidsafhængigheden udtrykkes ved følgende faktor: β ds ( tt, ) s = ( t ts ) ( ) + t t 0,04 h s 3 0 hvor t er betonens alder i døgn på det betragtede tidspunkt. t s er betonens alder i døgn ved begyndelsen af udtørringssvindet. Dette er normalt ved slutningen af hærdningen. I dette eksempel benyttes β ds (, 8) = 1. Den nominelle værdi af uhindret udtørringssvind fås af: hvor ε α β fcm αds fcmo 6 cd,0 = 0,85 ( 0 + 110 ds1) e 10 RH = 0,85 ( 0 + 110 4) e 10 1,36 = 0, 455 35+ 8 0,1 10 6 0 00 β RH 3 3 RH 50 = 1, 55 1 = 1, 55 1 = 1, 36 RH0 100 f cm er middelstyrken i MPa f cmo = 10 MPa α ds1 er en koefficient, der afhænger af cementtypen = 3 for cementklasse S = 4 for cementklasse N = 6 for cementklasse R α ds er en koefficient, der afhænger af cementtypen = 0,13 for cementklasse S = 0,1 for cementklasse N = 0,11 for cementklasse R RH er den omgivende relative fugtighed i % RH 0 = 100 % 35

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tøjning fra udtørringdssvind fås nu af: () (, ) ( ) ε t = β t t k ε ε cd ds s h cd,0 cd = 1 0,89 0,455 = 0,405 0 0 00 00 Det samlede slutsvind ε cs,, fås som summen af autogent svind og udtørringssvind: εcs, = εcd + εca = 0,405 + 0,06 = 0,467 0 0 0 00 00 00 Som ved slutkrybetallet kan det samlede slutsvind bestemmes på alternativ vis ved aflæsning af diagrammerne i figur -7. Slutsvindet for dette eksempel fås ved at interpolere mellem graferne for h 0 = 150 mm og h 0 = 50 mm. 0,40 0,480 ε 50mm 150mm 0 0 00 00 0 0 cs, = ( 175mm 150mm) + 0, 480 00 = 0, 465 00 Forskellen på det udregnede og det aflæste slutsvind er uden praktisk betydning, specielt da en faktor som det nominelle svind ε cd,0 er et udtryk for en middelværdi med en variationskoefficient på ca. 30 %. Eksempel slut. Armeringsstål I kold tilstand regnes i henhold til EC for armeringen generelt med et regningsmæssigt elasticitetsmodul på: E = E = 00000MPa s sk gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor E sk er den karakteristiske værdi af armeringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk op til flydespænding: f f / γ = i brudgrænsetilstande yd yk S f yd = f i anvendelsesgrænsetilstande yk 36

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Grundlæggende materialemodeller Ved praktiske beregninger ses sædvanligvis bort fra tøjningshærdningen, der betyder at spændingen svarende til meget store tøjninger i armeringen kan blive større end armeringens flydespænding. Armeringen regnes således at være et idealt elastisk-plastisk materiale med typiske arbejdslinjer som vist på figur -8 ved dimensionering i kold tilstand. σ s (MPa) (MPA) 600 Anvendelsesgrænsetilstande, f yd = f yk 500 400 Brudgrænsetilstande, f yd = f yk / γ s 300 00 σ s = ε s E sd 100 0 0 0,005 0,01 0,015 0,0 0,05 ε s Figur -8: Typiske arbejdslinjer for armering i kold tilstand f yk = 550 MPa, γ S = 1, For armering uden udpræget flydegrænse som eksempelvis kolddeformeret stål anvendes samme arbejdslinje, idet man sætter f yk = f 0,k, hvor f 0,k er den karakteristiske 0, %-spænding, dvs. den spænding, hvor armeringen ved en førstegangsbelastning opnår en blivende forlængelse på 0, %..3 Forspændingsstål I forspændte betonelementer anvendes normalt forspændingsstål i form af spændliner. I kold tilstand regnes i henhold til EC for spændliner generelt med et regningsmæssigt elasticitetsmodul på: 37

Grundlæggende materialemodeller BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK E = E = 195000MPa p pk gældende både i brud- og anvendelsesgrænsetilfælde, hvor E pk er den karakteristiske værdi af armeringens elasticitetsmodul. Armeringen regnes lineærelastisk op til flydespænding: f f γ f = i brudgrænsetilstande pd p0,1 k / S = f i anvendelsesgrænsetilstande pd p0,1k Hvor f p0,1k er den karakteristiske 0,1 %-spænding, dvs. den spænding, hvor armeringen ved en førstegangsbelastning opnår en blivende forlængelse på 0,1 %. For linerne indregnes sædvanligvis tøjningshærdningen som en lineær tilvækst op til spændingen ved linernes brudtøjning, ε ud. Uden nøjagtigere materialedata sættes ε ud = 0,0, og den tilhørende spænding kan sættes til f p0,1k = f pd /0,9. Dermed kommer typiske arbejdslinjer for spændlinerne til at se ud som vist på figur -9. σ s s (MPA) (MPa) 000 Anvendelsesgrænsetilstande, f pd = f p0,1k 1500 1000 Brudgrænsetilstande, f pd = f p0,1k / γ s 500 σ s = ε s E pd 0 0 0,005 0,01 0,015 0,0 0,05 ε s Figur -9: Typiske arbejdslinjer for spændliner i kold tilstand f p0,1k = 1600 MPa, γ S = 1, 38

3 LODRETTE LASTVIRKNINGER 3 LODRETTE LASTVIRKNINGER 3.1 Lodrette laster 3.1.1 Nyttelast 3.1. Sne- og vindlast 3.1.3 Brand og ulykke 3. Lastkombinationer 3..1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde 3.. Ulykkesdimensioneringstilfælde 3.3 Lodret lastnedføring 3.3.1 Excentriciteter 3.3. Lodret last på søjler og vægge 3.3.3 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde 3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde 3.3.5 Eksempel Lastnedføring 3.4 Lastspecifikationer 3.4.1 Fastlæggelse af søjle- og væglaste 3.4. Tværlast hidrørende vind på søjler og vægge 3.4.3 Normalkraft fra lastnedføring 3.4.4 Lasttilfælde 3.4.5 Eksempel Fastlæggelse af søjlelaste 3.5 Beregningsprogrammer 3.5.1 Modul til lastnedføring 3.5. Moduler til specifikation af søjle- og væglaste

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 3.1 Lodrette laster Belastningen på en almindelig bygning består af følgende lasttyper: Egenlast Nyttelast Naturlast, som vind og sne Ulykkeslast, som eksempelvis brand Også andre laster kan være aktuelle, så som jord- og vandtryk. De lodrette laster på dækkene kan variere fra etage til etage og fra område til område i bygningen. Dette kan bekvemt defineres ved hjælp af nøgleplaner for de forskellige etager, hvor der A B C Tag over 4. sal 1 4 7 F1 F1 16,8 m 16,8 m 6,0 m 8,0 m for hvert område refereres Dæk over 3. sal til et skema, der specificerer lasterne i det pågæl- F dende område, se eksem- F plerne figur 3-1 til 3-5. Dæk over 1. og. sal F3 F3 Dæk over kælder og F3 F3 Figur 3-1: Eksempel på nøgleplaner for lodrette laster 40

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 LASTSPECIFIKATION NR.: F Lodrette laster karakteristiske værdier Bunden, permanent last Egenvægt, dækelement - kn/m Egenvægt, tagkonstruktion 1,0 kn/m 1,0 kn/m Fri, permanent last Gulvopbygning - kn/m Lette skillevægge - kn/m Installationer - kn/m Nedhængt loft 0,5 kn/m Tagopbygning mv. 0,40 kn/m 0,65 kn/m Nyttelast, kategori N Fladelast - kn/m Punktlast 1,50 kn Naturlast Snelast 0,7 kn/m Vindsug - kn/m Figur 3-: Eksempel på lastspecifikation tag LASTSPECIFIKATION NR.: F Lodrette laster karakteristiske værdier Bunden, permanent last Egenvægt, dækelement 3,10 kn/m Egenvægt, tagkonstruktion - kn/m 3,10 kn/m Fri, permanent last Gulvopbygning 1,00 kn/m Lette skillevægge 1,00 kn/m Installationer - kn/m Nedhængt loft - kn/m Tagopbygning mv. - kn/m,00 kn/m Nyttelast, kategori A Fladelast 1,50 kn/m Punktlast,00 kn Naturlast Snelast - kn/m Vindsug - kn/m Figur 3-3:Eksempel på lastspecifikation huldæk for bolig LASTSPECIFIKATION NR.: F3 Lodrette laster karakteristiske værdier Bunden, permanent last Egenvægt, dækelement 3,65 kn/m Egenvægt, tagkonstruktion - kn/m 3,65 kn/m Fri, permanent last Gulvopbygning 1,00 kn/m Lette skillevægge 0,50 kn/m Installationer 0,5 kn/m Nedhængt loft 0,5 kn/m Tagopbygning mv. - kn/m,00 kn/m Nyttelast, kategori B Fladelast,50 kn/m Punktlast 3,00 kn Naturlast Snelast - kn/m Vindsug - kn/m Figur 3-4: Eksempel på lastspecifikation huldæk for kontor og lettere erhverv LASTSPECIFIKATION NR.: F4 Lodrette laster karakteristiske værdier Bunden, permanent last Egenvægt, dækelement 3,65 kn/m Egenvægt, tagkonstruktion - kn/m 3,65 kn/m Fri, permanent last Gulvopbygning 1,00 kn/m Lette skillevægge 1,00 kn/m Installationer 0,5 kn/m Nedhængt loft 0,5 kn/m Tagopbygning mv. - kn/m,50 kn/m Nyttelast, kategori E Fladelast 7,50 kn/m Punktlast 7,00 kn Naturlast Snelast - kn/m Vindsug - kn/m Figur 3-5: Eksempel på lastspecifikation huldæk for erhverv 41

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hvordan de forskellige laster skal kombineres og med hvilke partialkoefficienter, fremgår af EC0 og EC1 samt de tilhørende nationale annekser. Det har dog været nødvendigt at lave en fortolkning af EC0 og EC1 for at få en konsistent løsning for lodret lastnedføring. I de følgende afsnit beskrives de fortolkninger, der er foretaget. 3.1.1 Nyttelast Nyttelast inddeles i forskellige kategorier afhængig af anvendelse: Kategori A: Kategori B: Kategori C: Kategori D: Kategori E: Kategori F: Kategori G: Kategori H: Boliger Kontorer Samlingslokaler Butikslokaler Erhverv (tungere) Parkerings- og trafikarealer (lettere) Parkerings- og trafikarealer (tungere) Tagarealer Når en dominerende nyttelast virkende på flere etageadskillelser kan henføres til samme kategori, tillader EC1, at der foretages en reduktion af den samlede lastvirkning på de lodret bærende konstruktioner, når der er tale om nyttelast inden for én af kategorierne A D. I EC1 introduceres til dette formål n -metoden, hvor den resulterende lastvirkning af en dominerende nyttelast inden for samme kategori (A D) virkende på n etager over den betragtede konstruktionsdel reduceres med faktoren: n = (1 + (n 1) 0 )/n Denne metode kan eksempelvis ikke uden videre anvendes i situationer, hvor en lastandel A q virkende på delarealet A resulterer i forskellige snitkræfter i den betragtede konstruktionsdel afhængigt af, hvilket etagedæk lastandelen påsæt- 4

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 tes. Dette er generelt tilfældet for lodret bærende elementer som søjler og vægge, hvor en lastandel påført etagedækket lige over elementet resulterer i helt andre momentvirkninger end samme lastandel påført højereliggende etagedæk. Derfor ses her på situationen, hvor en dominerende nyttelast, q Ed = q k, virker på et delareal, A, på n etagedæk over hinanden. Den resulterende lodrette lastvirkning på den underliggende konstruktion bliver da: N Ed = n n A q k = (1 + (n 1) 0 ) A q k = A q k + A (n 1) 0 q k Det ses, at denne resulterende lastvirkning netop svarer til, at nyttelasten virkende på et etagedæk betragtes som dominerende; mens nyttelasterne inden for samme kategori på de øvrige etagedæk betragtes som ledsagende. For at tage hensyn til momentvirkningernes afhængighed af lastandelenes placering er der i denne fremstilling derfor valgt en stramning af n -metoden på følgende form: Når en dominerende nyttelast, q k, inden for én af kategorierne A-D virker på flere etagedæk, påsættes belastningen q k på ét etagedæk og belastningen 0 q k på de øvrige etagedæk, idet den underliggende konstruktion altid skal undersøges for belastningen q k påsat det etagedæk, der fører til den ugunstigste virkning. Denne regel for anvendelsen af lastreduktion inden for samme kategori kan med fordel også anvendes som en generaliseret metode til komplekse konstruktioner. 3.1. Sne- og vindlast I dimensioneringstilfælde, hvor nyttelaster virker samtidig med andre variable laster, for eksempel vind eller sne, skal den totale nyttelast i lasttilfældet betragtes som en enkelt last. Dette betyder, at hvor vind eller sne er den dominerende last, må alle nyttelaster reduceres med 0. Omvendt må sne- og vindlasten reduceres, når nyttelasten er dominerende, hvilket den ofte er. 43

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Vindlast vil næsten altid give en opadrettet last i form af sug på taget. Det er derfor som oftest ikke relevant at medtage vindlasten i den lodrette lastnedføring, og det vil ikke blive gjort her. 3.1.3 Brand og ulykke I ulykkestilfældet påføres konstruktionen en dominerende ulykkeslast, eksempelvis påkørsel eller brand. Den dominerende ulykkeslast er ikke en del af lastnedføringen, men har betydning for hvilke partialkoefficienter, der skal bruges ved lastnedføringen. De variable nyttelaster opdeles i primær og andre. Dette fortolkes på samme måde som dominerende og øvrige variable laster i forbindelse med den almindelige lastnedføring for vedvarende og midlertidige dimensioneringstilstande. I overensstemmelse hermed påføres maksimal nyttelast på én etage for hver lastkategori A-D, mens nyttelast på de øvrige etager reduceres. For lastkategori E-G reduceres der som udgangspunkt ikke. I brandtilfældet benyttes faktoren ψ 1 ved områder med maksimal nyttelast og ψ for områder, hvor nyttelasten reduceres. For ulykkestilfælde i øvrigt bruges faktoren ψ begge steder. 3. Lastkombinationer 3..1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde Lastnedføringen gennemføres for STR-grænsetilstande, som er karakteriseret ved: STR: Indvendigt svigt eller meget stor deformation af konstruktionen eller konstruktionsdele, herunder fundamenter, pæle, kældervægge osv., hvor styrken af konstruktionsmaterialerne er bestemmende. Last på de forskellige etager kombineres ved lastkombinationer i henhold til EC0. 44

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Vedvarende og Permanente laste Dominerende Øvrige midlertidige variabel last variable laste dimensioneringstilfælde Ugunstige Gunstige (Formel 6.10a) K FI Gj,sup G kj,sup Gj,inf G kj,inf (Formel 6.10b) ξ K FI Gj,sup G kj,sup Gj,inf G kj,inf K FI Q,1 Q k,1 K FI Q,i ψ 0,i Q k,i Figur 3-6: Regningsmæssige lastværdier, STR og GEO, jf. EC0 DK NA, tabel A1.(B) Reduktionsfaktoren ξ sættes til 1,0 for STR-grænsetilstande. Værdier af ψ-faktoren og partialkoefficienten,, samt karakteristiske nyttelaster, Q k, fremgår af de nationale annekser. K FI afhænger af konsekvensklassen. Talværdien for K FI findes ligeledes i det nationale anneks. Se mere om konsekvensklasse i afsnit 3..1.1. Lastvirkningen på et konstruktionselement fra nyttelast virkende på flere etager udregnes ved at påføre den fulde nyttelast på én etage for hver lastkategori A- D, mens nyttelasten reduceres på de øvrige etager. På de etager, hvor der påføres fuld nyttelast, bestemmes nyttelasten ved: qk KFI Q,1 Q k,1 På de etager, hvor nyttelasten reduceres, bestemmes nyttelasten ved: qk KFIQ, i0, iqk, i Den farligste kombination på hvert etageniveau skal undersøges. 45

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 3..1.1 Konsekvensklasse Som det fremgår af det forrige afsnit afhænger størrelsen af bidraget fra både permanent last og variabel last af, hvilken konsekvensklasse konstruktionen kan henføres til. Definitionen på de forskellige konsekvensklasser er angivet i EC0. Der kan vælges mellem CC1, CC og CC3 og klasserne er kendetegnet ved henholdsvis lille, moderat og stor konsekvens ved et eventuelt svigt. Konsekvensklassen har kun betydning i vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde. I Danmark benyttes følgende værdier for konsekvensfaktoren, K FI : Konsekvensklasse CC1 CC CC3 K FI 0,9 1,0 1,1 3.. Ulykkesdimensioneringstilfælde Lastnedføringen gennemføres for ulykkestilfælde i henhold til EC0 afsnit 6.4.3.3. Last på de forskellige etager kombineres ved lastkombinationer i henhold til EC0 DK NA:007 tabel A1.3. Værdier af ψ-faktoren samt karakteristisk nyttelast, Q k, fremgår af de nationale annekser. Ulykkesdimensionerings- Permanente laste Domi- Ikke- tilfælde nerende dominerende Ugunstige Gunstige ulykkes- Eventu- Andre last el pri- Brand (Formel 6.11a/b) G kj,sup G kj,inf A d ψ 1,1 Q k,1 ψ,i Q k Ulykke i øvrigt (Formel G kj,sup G kj,inf A d ψ,1 Q k,1 ψ,i Q k *) Variable laster er de laster, der er indeholdt i tabel A.1.1 Figur 3-7: Regningsmæssige lastværdier til brug ved lastkombinationer ved ulykkesdimensioneringstilfælde, jf. EC0 DK NA, tabel A1.3 Lastvirkningen på et konstruktionselement fra nyttelast virkende på flere etager udregnes ved at påføre den maksimale nyttelast på én etage for hver lastkategori A-D, svarende til primær variabel last, mens nyttelasten reduceres på de øvrige etager. 46

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 På de etager, hvor der påføres maksimal nyttelast, bestemmes nyttelasten ved: q k 1,1 Q k,1 for brand q Q for ulykke i øvrigt k,1 k,1 På de etager, hvor nyttelasten reduceres, bestemmes nyttelasten ved: q Q k, i k, i Den farligste kombination på hvert etageniveau skal undersøges. 3.3 Lodret lastnedføring 3.3.1 Excentriciteter Lodrette laster vil altid være placeret med en excentricitet i forhold til søjler og vægges centerlinjer. Excentriciteten skyldes dels forsætning af elementernes midterplaner fra etage til etage, og dels de enkelte elementers afvigelse fra den plane form. Excentriciteterne resulterer i en tværpåvirkning i form af et moment på søjler og vægge. Samtidig skal der tages højde for excentriciteter stammende fra vederlag for dæk og bjælker. For huldæk regnes reaktionen at kunne angribe i det farligste tredjedelspunkt i vederlaget svarende til en trekantet spændingsfordeling. Herudover skal der tages hensyn til tolerancen, ± ½ T, på vederlagsdybden. For denne er det sædvanligt at regne med en tolerance på 0 mm, det vil sige ±10 mm. Ydergrænserne for reaktionens placering i forhold til teoretisk placering kan hermed findes som vist på figuren. Det ses, at ydergrænserne for reaktionsplaceringen for en given teoretisk vederlagsdybde, c, fastlægges ved at oplyse tolerancen ± ½ T. 47

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK ½ T ½ T Venstre yderstilling: a min = 1/3 (c -½T) Venstre yderstilling: a min = 1/3 c - ½ T a min = a 0 (1/6 c + ½ T) a min a min Teoretisk placering: a 0 = ½ c Teoretisk placering: a 0 = ½ c a 0 c ½ T a 0 c Højre yderstilling: a max = /3 (c + ½ T) Højre yderstilling: a max = /3 c + ½ T a max = a 0 + (1/6 c + ½ T) a max a max ½ T Figur 3-8: Vederlag ved direkte oplægning Figur 3-9: Vederlag ved oplægning på mellemlægsplader For elementer oplagt på mellemlægsplader i vederlaget er det normalt tilstrækkeligt at oplyse tolerancen på mellemlægspladens placering. Med et passende disponeret vederlag vil mellemlægspladen altid kunne få fuldt anlæg. Også her regnes reaktionen angribende i farligste tredjedelspunkt, hvorved afvigelsen fra teoretisk placering er givet ved ± ½ T som anført på figur 3-9. Vederlagstolerancerne kan eventuelt oplyses på de nøgleplaner, der omtales i afsnit 3.1. 48

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 3.3. Lodret last på søjler og vægge Den lodrette last på en søjle eller væg inddeles i tre bidrag: 1. n 0 er last fra overliggende etager inklusiv søjlen/væggen i det pågældende snit. n 0 angriber søjlen/væggen med en excentricitet e 0.. n v er last fra det venstre dæk umiddelbart over søjlen/væggen, angribende med en excentricitet e v. 3. n h er last fra det højre dæk umiddelbart over søjlen/væggen, angribende med en excentricitet e h. e v e 0 e h n v n 0 n h Figur 3-10:Definition af excentriciteter og normalkræfter på søjle og væg Inddelingen er nødvendig for at kunne bestemme den samlede excentricitet af den normalkraft, hvormed søjlen/væggen belastes. For hver etage skal de minimale, reducerede og maksimale værdier af n 0, n v og n h udregnes. Dette gøres for at bestemme den farligste lastkombination. Maksimale lastværdier svarer til, at den pågældende last betragtes som dominerende. Ved reducerede lastværdier reduceres lasten med faktoren 0. For minimale lastværdier medtages kun den bundne last. 3.3.3 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde De maksimale, reducerede og minimale lastværdier udregnes på følgende vis for de vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilstande: 49

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Maksimalværdier, n v og n h : n K ( g g ) q 0,5L FI k fri, k g,sup k q K (, ),sup ( - ) FI Gk G L s fri k G Qk Q L Reducerede værdier, n v og n h : n K ( g g ) q 0,5L FI k fri, k g,sup k q 0 K ( ) FI ( Gk Gfri, k ) L s G,sup Qk Q 0 L Minimalværdier, n v og n h : n g 0,5 L k g,inf G,inf ( L- s) k G L Hvor L er dækkets spændvidde og s er afstanden fra en linjelast til bærelinjen. Fladelaste betegnes g og q, mens G og Q betegner bidrag fra linjelast. Maksimalværdier, n 0 : For maksimalværdier bestemmes lasten fra overliggende etager ved som tidligere nævnt ved at påføre fuld nyttelast på én etage, mens de øvrige etager fra samme kategori påføres en reduceret nyttelast. Alle kombinationer af lastopstillinger beregnes, så den farligste kan findes. Når den samlede maksimallast n 0 bestemmes, skal to dimensioneringstilfælde undersøges. 1. Dominerende snelast n K G K Q K Q o,max FI Gj,sup kj,sup FI sne k, sne FI Q, i 0, i k, nytte, i. Dominerende nyttelast n K G K Q o,max FI Gj,sup kj,sup FI sne 0, sne k, sne K Q K Q FI Q,1 k, nytte,1 FI Q, i 0, i k, nytte, i 50

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Reducerede og minimale værdier, n 0 : Last fra overliggende etager bestemmes for reducerede og minimalværdier ved simpel summering af last fra dæk på de enkelte etager samt egenvægt i bærelinjer. 3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde De maksimale, reducerede og minimale lastværdier udregnes på følgende vis i brandtilfældet: Maksimalværdier, n v og n h : n g g q 0,5 L k fri, k k 1 G, 1 ( - ) k G L s fri k Qk L Reducerede værdier, n v og n h : n g g q 0,5 L k fri, k k G ( ) k G L s fri, k Qk L Minimalværdier, n v og n h : n g 0,5 L k g,inf G,inf ( L- s) k G L Hvor L er dækkets spændvidde og s er afstanden fra en linjelast til bærelinjen. Fladelaste betegnes g og q, mens G og Q betegner bidrag fra linjelast. Som udgangspunkt sættes g,inf lig 1,0, da EC0 ikke opererer med denne faktor i ulykkestilfælde. Last fra overliggende etager, n 0, bestemmes efter samme principper som for vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilstande. 51

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 3.3.5 Eksempel Lastnedføring 3.3.5.1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringsttilfælde I nærværende eksempel foretages en gennemregning af en lastnedføring for en 5-etages bygning for vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde. Der benyttes laster svarende til lastspecifikationer og nøgleskema i afsnit 3.1. Bærelinjen modul B/4-5 betragtes. figur 3-11 og figur 3-1 viser en sammenfatning. Egenvægt, g,sup = 1,00 g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: K FI = 1,00 Fladelaste g k g fri,k q k q 0 Kategori (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) F1 Tagflade, sne 1,0 0,65 0,7 1,50 0,60 N F Boligarealer 3,10,00 1,50 1,50 0,50 A F3 Kontorer 3,65,00,50 1,50 0,60 B F4 Kontor med arkiv 3,65,50 7,50 1,50 1,00 E Figur 3-11: Belastninger og partialkoefficienter for beregningseksempel På figur 3-1 vises geometri af lastopland, samt hvilke flade- og linjelaste de forskellige etager er belastet af. Derudover vises også egenlasten i bærelinjen. 4. sal-v F1 F1 4. sal-h g k = 8,0kN/m 3. sal-v F F 3. sal-h g k = 8,0kN/m. sal-v F F. sal-h g k = 8,0kN/m 1. sal-v F3 F4 1. sal-h g k = 8,0kN/m Stue-v F3 F4 Stue-h g k = 15kN/m Kld. 8,0m 6,0m Figur 3-1: Visuel præsentation af etager og lastopland, lodret snit 5

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Da det er for omfattende at vise beregningen af den samlede lastnedføring i dette eksempel, gennemføres blot beregningerne for bestemmelse af lastvirkningerne på den bærende konstruktion i 1. sal. De øvrige lastvirkninger bestemmes på tilsvarende vis. Der snittes umiddelbart over dæk mellem stue og 1. sal. Af figur 3-1 fremgår det, at der på etagerne over. sal er etager med nyttelast fra kategori A og 1 etage med last fra kategori N (snelast). Nyttelasten er dominerende i forhold til snelasten. For at bestemme den maksimale reaktion fra overliggende etager, n 0, på. sal, skal der derfor kun påføres fuld nyttelast på én etage med nyttelast, kategori A. Etagen med snelast, kategori N, og den anden etage med nyttelast, kategori A, skal påføres reduceret nyttelast. Maksimalværdier: n n n v h 0 1,0 1,0 3,10,00 1,0 1,50 1,500,5 8,00 9, 4kN/m 1,0 1,0 3,10,00 1,0 1,50 1,500,5 6,00,1kN/m 1, 0 1, 0 1,0 0, 65 1, 0 0,7 1,50 0, 6 0,5 8, 00 6, 00 1,01,0 (3,10,00) 1,0 1,50 1,500,5 8,00 6,00 1,0 1,0 3 8,00 1,0 9,9kN/m Reducerede værdier: n n n v h 0 1, 0 1, 0 3,10, 00 1, 0 1,50 0,50,5 8, 00 4, 9kN/m 1, 0 1, 0 3,10, 00 1, 0 1,50 0,50,5 6, 00 18,7kN/m 1,0 1,0 1,0 0,65 1,0 0,7 1,5 0,6 0,5 8,00 6,00 1,01,0 (3,10,00) 1,0 1,50 1, 50,50,5 8,00 6,00 1,01,038,001,0 85,1kN/m 53

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Minimalværdier: n n v h 3,10 0,90 0,5 8,00 11,kN/m 3,10 0,90 0,5 6,00 8, 4kN/m n 1,0 0,90 0,5 8,00 6,00 0 3,10 0,90 0,5 8,00 6,00 3 8,0 0,90 48,7kN/m Det sidste led ved summation af last fra overliggende etager, n 0, består af egenvægt i bærelinjen. I dette eksempel regnes med et bjælke-/søjlesystem med en egenvægt på 8 kn/m. For reaktionen fra. sal skal der medregnes i alt 3 bjælker fra etagerne: Tag, 3. sal og. sal. 3.3.5. Ulykkesdimensioneringstilfælde Ovenstående eksempel beregnes nu for brandtilfældet. Bemærk at faktorerne K FI, ξ og q alle sættes til 1, da disse faktorer ikke indgår i beregningen for ulykkestilfældet. g,inf sættes som udgangspunkt ligeledes til 1. Egenvægt, g,sup = 1,00 g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: K FI = 1,00 Fladelaste g k g fri,k q k q 0 Kategori (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) F1 Tagflade, sne 1,0 0,65 0,7 0,0 0,00 N F Boligarealer 3,10,00 1,50 0,30 0,0 A F3 Kontorer 3,65,00,50 0,40 0,0 B F4 Kontor med arkiv 3,65,50 7,50 0,80 0,70 E Figur 3-13: Inddata for beregningseksempel Som i afsnit 3.3.5.1 gennemføres beregningen for bestemmelse af reaktioner kun for reaktionerne fra. sal. Der snittes umiddelbart over dæk mellem stue og 1. sal. Geometri for de forskellige etager og lastpåførsel fremgår af figur 3-1. 54

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Maksimalværdier: n n n v h 0 3,10,00 1,50 0,30 0,5 8,00,kN/m 3,10,00 1,50 0,300,5 6,00 16,7kN/m 1,0 0,65 0,7 0,00 0,5 8,0 6,0 3,10,00 1,50 0,30 0,5 8,0 6,0 3 8, 00 75, 8kN/m Reducerede værdier: n n n v h 0 3,10, 00 1,50 0, 0 0,5 8, 0 1, 6kN/m 3,10, 00 1,50 0, 0 0,5 6, 0 16,kN/m 1,0 0,65 0,7 0,00 0,5 8,0 6,0 3,10,00 1,50 0,0 0,5 8,0 6,0 3 8,00 74,8kN/m Minimalværdier: n n v h 3,10 1, 0 0,5 8, 0 1, 4kN/m 3,10 1, 0 0,5 6, 0 9, 3kN/m n 0 1, 0 1, 0 0,5 8, 0 6, 0 3,10 1,0 0,5 8,0 6,0 8, 0 1, 0 3 57,1kN/m Eksempel slut 55

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 3.4 Lastspecifikationer 3.4.1 Fastlæggelse af søjle- og væglaste Ved dimensionering af søjler og vægge gælder det om at finde de farligste kombinationer af maksimal, minimal og reducerede lastværdier i sammenhæng med eventuelle tværlaster, eksempelvis vind. Endvidere kan det for større byggerier være hensigtsmæssigt at gruppere søjler og vægge og på denne måde undersøge flere bygningsdele på samme tid. Ved dimensionering er det i praksis kun nødvendigt at se på tilfælde, hvor tværlasten påføres i samme retning som den forudsatte udbøjningsretning. For søjler betegnes det som hovedtilfælde I, når der forudsættes udbøjning på tværs af bjælkeaksens retning. Dette underinddeles i hovedtilfælde I-a og I-b afhængigt af den forudsatte udbøjningsretning. Tilsvarende svarer hovedtilfælde II-a og II-b til udbøjning på i bjælkeaksens retning. Principielt skal alle disse fire hovedtilfælde undersøges, men alene ud fra symmetribetragtninger vil man ofte kunne nøjes med at gennemregne de to af hovedtilfældene. For vægge er der kun to relevante hovedtilfælde, I-a og I-b, da det forudsættes, at en væg altid er stabil overfor udbøjning i sin egen plan. Der skal udarbejdes en separat lastnedføring for brandtilfældet. 3.4. Tværlast hidrørende vind på søjler og vægge Den maksimale og den reducerede tværlast bestemmes i henhold til EC0. Maksimal vindlast fås eksempelvis til: wd, max K FI Q, 1 w k Reduceret vindlast fås til: w d, red K FI Q,1 0, i w k 56

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 3.4.3 Normalkraft fra lastnedføring I beregningerne er normalkræfterne defineret således, at N 1 og N 0 bidrager med moment med samme fortegn som den påsatte tværlast, mens N virker stabiliserende. Det vil sige, at lastnedføringens resultater n v og n h indgår forskelligt i beregningen af N 1 og N afhængigt af udbøjningsretningen. e e 0 e 1 N 0 w N N 1 Figur 3-14:Definition af vindlast i forhold til normalkræfter på søjle og 3.4.3.1 Søjler (bjælkeakse) y B1 dækfelt 1-v dækfelt 1-h B dækfelt -v dækfelt -h x Udbøjningsretninger i hovedtilfælde: II-b I-a I-b II-a Figur 3-15: Lastnedføring på en søjle, (iht. www.bef.dk, Specifikation af søjlelaste) med udbøjningsretninger i de 4 hovedtilfælde vist 57

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Figur 3-15 viser lastnedføring for en søjle. Strækningen B1 kan være belastet på en måde, og strækningen B på en anden. Længderne B1 og B er den halve afstande mellem søjlerne i søjlerækken. Et lastnedføringsskema, som vist i afsnit 3.5.1, kan bruges til at uddrage den maksimale reducerede værdi af n v, n h og n 0, den maksimale værdi af n v, n h og n 0 og den mindste minimale værdi af n v, n h og n 0, for den pulje af vægge som ønskes analyseret i en og samme beregning. Dette bevirker, at beregningen udføres ud fra det værste tilfælde af værdierne n v, n h og n 0. Disse værdier behøver nødvendigvis ikke at høre sammen. Blot beskriver de lasten inden for den pulje af vægge, som er valgt. Afhængig af tværlastens retning bestemmes N 1, N og N 0 efter følgende formler i de fire hovedtilfælde: Hovedtilfælde I-a N n B1n B 1 h, dækfelt1 h, dækfelt N n B1n B 0 0, dækfelt1 0, dækfelt N n B1n B v, dækfelt1 v, dækfelt Hovedtilfælde I-b N n B1n B 1 v, dækfelt1 v, dækfelt N n B1n B 0 0, dækfelt1 0, dækfelt N n B1n B h, dækfelt1 h, dækfelt Hovedtilfælde II-a N n B1n B1 1 h, dækfelt1 v, dækfelt1 N n B1n B 0 0, dækfelt1 0, dækfelt N n Bn B h, dækfelt v, dækfelt Hovedtilfælde II-b N n Bn B 1 h, dækfelt v, dækfelt N n B1n B 0 0, dækfelt1 0, dækfelt N n B1n B1 h, dækfelt1 v, dækfelt1 58

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 3.4.3. Vægge dækfelt v dækfelt h I-a I-b B1 n v + n 0 + n h B1 = b n v + n 0 + n h n 0 b b Typisk vægsektion med vinduesåbninger etc. Figur 3-16: Lastnedføring på en væg b er den effektive vægbredde anvendt i vægberegningen Typisk endesektion i stabiliserende væg Figur 3-16 viser lastnedføring for en væg. Bredden b er her defineret som den massive del af væggen. Herved er det muligt at tage hensyn til huller. Belastningen findes fra et af lastnedføringsskemaerne vist i afsnit 3.5.1. Her bestemmes den maksimale reducerede værdi af n v, n h og n 0, den maksimale værdi af n v, n h og n 0 og den mindste minimale værdi af n v, n h og n 0. Som i søjleberegningen kan vægberegningen laves for en pulje af vægge udregnet på baggrund af de værste tilfælde af værdierne n v, n h og n 0. Som for søjlerne behøver disse værdier ikke at være sammenhørende men blot repræsentere den pulje af vægge, brugeren ønsker at slå sammen i en beregning. Afhængig af tværlastens retning bestemmes N 1, N, N 0 efter følgende formler i de to hovedtilfælde: 59

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedtilfælde I-a N n B1 1 h, dækfelt N n B1 0 0, dækfelt N n B1 v, dækfelt Hovedtilfælde I-b N n B1 1 v, dækfelt N n B1 0 0, dækfelt N n B1 hdækfelt, 3.4.4 Lasttilfælde Alle relevante lasttilfælde for en søjle eller en væg skal undersøges. Her vises 9 lasttilfælde, der definerer det nødvendige undersøgelsesomfang inden for hvert hovedtilfælde. Hvert lasttilfælde er benævnt med et bogstav fra A til I og er for en søjle og en væg bestemt ud fra samme filosofi. Filosofien er først at bestemme det punkt, der ligger tættest på ordinataksen. Dette gøres ved at påsætte maksimal vindlast på søjlen/væggen samtidig med minimale værdier af normalkræfterne. Herefter øges normalkraften ved at påsætte reduceret værdi af N 1 kombineret med minimal værdi af N 0 og N. Normalkraften øges endnu mere ved at medtage reduceret værdi af N 1 og N 0. Sluttelig påsættes reduceret værdi af N 0, N 1 og N sammen med maksimalværdi af vinden. Herved falder momentet, mens normalkraften stiger. Dette giver i alt fire punkter A, B, C og D, som angivet i figur 3-17. 400 350 M (knm) 300 50 00 150 B E C F H D G I Reduceret vindlast 100 50 A Maksimal vindlast 0 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 N (kn) Figur 3-17: Konstruktion af lasttilfælde 60

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Efterfølgende arbejdes der med reducerede værdier af vindlasten, som først kombineres med maksimal værdi af N 1 og minimale værdier af N 0 og N. Dette beskriver det punkt, der ligger tættest ordinataksen for reduceret vindlast. Herefter øges normalkraften ved i kombination af maksimal N 1 at have reduceret værdi af N 0 og minimal værdi af N. Ved flere overliggende etager kan tilfældet, hvor man har maksimal værdi af N 0 kombineret med maksimal værdi af N 1 og minimal værdi af N give et punkt, der er mere kritisk. Den maksimale normalkraftpåvirkning findes i et af to lasttilfælde. Det første hvor maksimal værdi af N 1 og N kombineres med reduceret værdi af N 0. Det andet hvor alle tre værdier er maksimale. Ovenstående er det, der kendetegner lasttilfældene E, F, G, H og I. I tilfælde af bygninger med samme lastkategori på alle etager, for eksempel boliger, bortfalder lasttilfælde H og I, da enten N 1 eller N 0 kan reduceres. De enkelte lasttilfælde kan i kort form skrives som: A. Min N 1 +min N 0 + min N B. Reduc N 1 +min N 0 + min N C. Reduc N 1 +reduc N 0 +min N Med maksimal vindlast D. Reduc N 1 +reduc N 0 +reduc N E. Max N 1 + min N 0 + min N F. Max N 1 + reduc N 0 + min N G. Max N 1 + reduc N 0 + max N Med reduceret vindlast H. Max N 1 + max N 0 + min N I. Max N 1 + max N 0 + max N På figur 3-18 angiver punkterne A - I to indhyldningskurver, som altid skal ligge inden for den tykt optegnede bæreevnekurve, her vist for en slank søjle. 61

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 1 10 M (knm) 8 6 A B E C D F H G I 4 0 0 50 100 150 00 50 300 350 400 450 N (kn) Figur 3-18: Indhyldningskurverne skal ligge inden for bæreevnekurven ikke blot punkterne Det er vigtigt i analysen af søjler og vægge, at N 1 er den normalkraft, der er drivende i forhold til udbøjningsretningen. Det er dog ikke altid til at forudse udbøjningsretningen, for eksempel kan de termiske udbøjninger ændre udbøjningsretningen ved brand på træksiden. Her kan det være farligere at antage, at værdien, som er angivet for N, er den drivende normalkraft. Dette betyder, at det er nødvendigt at undersøge alle 9 lasttilfælde for udbøjning i alle retninger for at være sikker på, at de kritiske lasttilfælde er dækket. Dette svarer til de føromtalte fire hovedtilfælde for søjler og to hovedtilfælde for vægge. 6

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 3.4.5 Eksempel Fastlæggelse af søjlelaste I dette afsnit gives et eksempel på, hvordan lasttilfældene opstilles for en søjle. Som udgangspunkt benyttes søjlen i modul B/4 fra figur 3-1. Lastnedføringsresultaterne i modullinje B er angivet i afsnit afsnit 3.5.1. Der ønskes en lastopstilling, der gælder for søjlerne på 1. til 3. sal. Søjlen vil være belastet i dækfelt 1 på både højre og venstre side af bjælken samt i dækfelt på venstre side, mens højre side af dækfelt er uden for bygningen. 1 4 7 5,6m 5,6m A 8,0m Dækfelt -v Dækfelt 1-v B 6,0m Dækfelt -h Dækfelt 1-h y C B B1 x Figur 3-19: Belastningsområde for søjlen modul B/4 3.4.5.1 Vedvarende og midlertidige dimensioneringstilstande Fra lastnedføringstabellen i afsnit 3.3.5.1 fås værdier for dækfelt 1,. sal umiddelbart. For dækfelt er n v -værdierne de samme som for dækfelt 1, da belastningen er ens. Højre side af dækfeltet er ubelastet og last fra højereliggende dæk n 0 fås ved at summere n v -værdierne efter reglerne beskrevet i afsnit 3.3.3 og lægge egenlast i bærelinjen til. Hele lastnedføringen for linje B er beregnet i afsnit 3.5.1, og resultaterne fra lastnedføringen for Modul 1-5 er gengivet i figur 3-0 og figur 3-1. 63

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Etage maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Tag 11,7 8,0 0,0 10,0 8,0 0,0 4,3 7, 0,0 3. sal. sal 1. sal 9,4 9,4 37,6 7,7 63,4 96,3 0,0 0,0 0,0 4,9 4,9 31,6 6,0 58,9 91,8 0,0 0,0 0,0 11, 11, 13,1 18,7 37,1 55,4 0,0 0,0 0,0 Stue 37,6 148,9 0,0 31,6 138,4 0,0 13,1 8,1 0,0 Kld. 180,5 170,0 95, Figur 3-0: Lastnedføring for Linje B, Modul 1-4 (Dækfelt ). Reaktioner på underliggende konstruktion. Etage maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Tag 11,7 8,0 8,8 10,0 8,0 7,5 4,3 7, 3, 3. sal 9,4 36,5,1 4,9 33,5 18,7 11,,0 8,4. sal 9,4 9,9,1 4,9 85,1 18,7 11, 48,7 8,4 1. sal 37,6 144,5 5, 31,6 136,6 5, 13,1 75,4 9,9 Stue 37,6 49,3 5, 31,6 35,4 5, 13,1 111,9 9,9 Kld. 333,1 319, 134,9 Figur 3-1: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Dækfelt 1). Reaktion på underliggende konstruktion Idet der ønskes at minimere antallet af søjle beregninger puljes. og 3. sal, resultatet fremgår af figur 3-. maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) Dækfelt 1 9,4 9,9,1 9,4 85,1 18,7 11,,0 8,4 Dækfelt 9,4 63,4 0,0 4,9 58,9 0,0 11, 18,7 0,0 Figur 3-: Opsummering af reaktionerne fra dækfelt 1 og. Reaktioner på underliggende konstruktion (i 1. sal) 64

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Herunder udregnes de resulterende normalkræfter N 1, N 0, og N for hovedlasttilfældene I og II. Tilfælde I-b dækker bøjning om modulllinje B, med et resulterende moment mod modullinje C. Tilfælde II-a dækker bøjning om modullinje 4, med et resulterende moment mod modullinje 1. Søjlen bør ligeledes dimensioneres for lasttilfældene I-a og II-b, men det vil ikke blive vist i dette eksempel. Hermed kan de 9 lasttilfælde for hovedtilfælde I-b og II-a opstilles Hovedtilfælde I-b N n B1n B 1 v, dækfelt1 v, dækfelt N n B1n B 0 0, dækfelt1 0, dækfelt N n B1n B h, dækfelt1 h, dækfelt Hovedtilfælde II-a N n B1n B1 1 h, dækfelt1 v, dækfelt1 N n B1n B 0 0, dækfelt1 0, dækfelt N n Bn B h, dækfelt v, dækfelt Efter nogen regning findes resultaterne gengivet på figur 3-3. Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) Tværlast w Hovedtilfælde I - b : A: Min N 1 + min N 0 + min N 63 114 4 Max B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 139 114 4 Max C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 139 403 4 Max N o D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 139 403 5 Max N 1 N E: Max N 1 + min N 0 + min N 165 114 4 Reduceret x F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 165 403 4 Reduceret G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 165 403 6 Reduceret w H: Max N 1 + max N 0 + min N 165 438 4 Reduceret I: Max N 1 + max N 0 + max N 165 438 6 Reduceret Hovedtilfælde II - a : A: Min N 1 + min N 0 + min N 55 114 31 Max B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 1 114 31 Max C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 1 403 31 Max N o D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 1 403 70 Max N N 1 E: Max N 1 + min N 0 + min N 144 114 31 Reduceret y F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 144 403 31 Reduceret G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 144 403 8 Reduceret w H: Max N 1 + max N 0 + min N 144 438 31 Reduceret I: Max N 1 + max N 0 + max N 144 438 8 Reduceret Figur 3-3: Lasttilfælde A-I, hovedtilfælde I-b og hovedtilfælde II-a. 3.4.5. Ulykkesdimensioneringstilfælde Fra lastnedføringstabellen i afsnit 3.3.5. fås værdier for dækfelt 1,. sal umiddelbart. For dækfelt er n v -værdierne de samme som for dækfelt 1, da belastningen er ens. Højre side af dækfeltet er ubelastet og last fra højereliggende dæk n 0 fås ved at summere n v -værdierne efter reglerne beskrevet i afsnit 3.3.3 65

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK og lægge egenlast i bærelinjen til. Hele lastnedføringen for linje B er beregnet i afsnit 3.5.1, og resultaterne fra lastnedføringen for, Modul 1-5 er gengivet i figur 3-4 og figur 3-5. Etage maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Tag 8,0 8,0 0,0 7,4 8,0 0,0 4,8 8,0 0,0 3. sal, 4,0 0,0 1,6 3,4 0,0 1,4 0,8 0,0. sal, 53,6 0,0 1,6 53,0 0,0 1,4 41, 0,0 1. sal 6,6 83, 0,0 4,6 8,6 0,0 14,6 61,6 0,0 Stue 6,6 14,8 0,0 4,6 1, 0,0 14,6 91, 0,0 Kld. 149,4 146,8 105,8 Figur 3-4: Lastnedføring for Linje B, Modul 1-4 (Dækfelt ). Reaktioner på underliggende konstruktion Etage maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Tag 8,0 8,0 6,0 7,4 8,0 5,6 4,8 8,0 3,6 3. sal, 30,0 16,7 1,6 9,0 16, 1,4 4,4 9,3. sal, 75,8 16,7 1,6 74,8 16, 1,4 54,1 9,3 1. sal 6,6 11,6 36,5 4,6 10,6 34, 14,6 83,8 11,0 Stue 6,6 199,7 36,5 4,6 194,4 34, 14,6 14,4 11,0 Kld. 58,5 53, 149,9 Figur 3-5: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Dækfelt 1). Reaktioner på underliggende konstruktion Idet der ønskes at minimere antallet af søjleberegninger puljes. og 3. sal, resultatet fremgår af figur 3-6. 66

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 maksimalværdier reducerede værdier minimalværdier n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) Dækfelt 1, 75,8 16,7 1,6 74,8 16, 1,4 9,4 9,3 Dækfelt, 53,6 0,0 1,6 53,0 0,0 1,4 0,8 0,0 Figur 3-6: Opsummering af reaktionerne fra dækfelt 1 og for brandtilfældet. Reaktioner på underliggende konstruktion (i 1. sal) Herunder udregnes de resulterende normalkræfter N 1, N 0, og N for hovedlasttilfældet I-b, som svarer til bøjning om modullinje B, med et resulterende moment mod modullinje C. Søjlen bør ligeledes dimensioneres for lasttilfældene I-a, II-a og II-b, men det vil ikke blive vist i dette eksempel. Hermed kan de 9 lasttilfælde for hovedtilfælde I-b opstilles, som vist i afsnit 3.4.3.1. Efter nogen regning findes resultaterne gengivet på figur 3-3. Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) Tværlast w Hovedtilfælde I - b : A: Min N 1 + min N 0 + min N 69 17 6 - B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 11 17 6 - w N o N 1 N C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 11 358 6 - D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 11 358 45 - E: Max N 1 + min N 0 + min N 14 17 6 - x F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 14 358 6 - G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 14 358 47 - H: Max N 1 + max N 0 + min N 14 17 6 - I: Max N 1 + max N 0 + max N 14 17 47 - Figur 3-7: Lasttilfælde A-I, hovedtilfælde I-b, brandtilfælde Eksempel slut 67

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 3.5 Beregningsprogrammer 3.5.1 Modul til lastnedføring Nedenfor ses den samlede udskrift fra lastnedføringsprogrammet på www.bef.dk med inddata for vedvarende og permanente lastkombinationer med inddata svarende til linje B, modul 4-5 fra eksemplet i afsnit 3.3.5. Sag: Emne: Betonelementhuset Nr.: Linie B, modul 4-5 Init: Vedvarende dimensioneringstilstande (kombination 6.10b) 3-4545 JFJ Lastnedføring version.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 009 venstre dækfelt L1 højre dækfelt L Egenvægt, g,sup = 1,00 g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: K FI = 1,00 Fladelaste g k g fri,k q k q 0 Kategori (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) s v s h F0 0,00 0,00 0,00 Tag-v F1 F1 Tag-h L v L h Tagflade, sne F1 1,0 0,65 0,7 1,50 0,60 N Boligarealer L1 og L betegner linielaste. F 3,10,00 1,50 1,50 0,50 A 3. sal-v F F 3. sal-h Kontorer L v og L h er dækkenes spændvidder. F3 3,65,00,50 1,50 0,60 B Kontor med arkiv Resultanter på underliggende væg F4 3,65,50 7,50 1,50 1,00 E. sal-v F F. sal-h eller bjælke: F5 1,50 1,00 E n o NB: EC1 3.3.1()P fjerner reelt lastreduktion for kategori E-G i normale lastkombinationer n v n h 1. sal-v F3 F4 1. sal-h Linielaste g k g fri,k q k q 0 Kategori (kn/m) (kn/m) (kn/m) Stue-v F3 F4 Stue-h L0 0,00 0,00 0,00 n v og n h : Laste fra dæk i etagen L1 1,50 0,50 A Kld. n o : Last fra højereliggende dæk og L 1,50 0,60 B fra egenvægte i bærelinie Etage Egenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdier g k g fri,k L v Fladelast Linielast s v L h Fladelast Linielast s h n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (m) (m) (m) (m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 11,7 8,0 8,8 10,0 8,0 7,5 4,3 7, 3, 3. sal 8,00 0,00 8,00 F L0 0,00 6,00 F L0 0,00 9,4 36,5,1 4,9 33,5 18,7 11,,0 8,4. sal 8,00 0,00 8,00 F L0 0,00 6,00 F L0 0,00 9,4 9,9,1 4,9 85,1 18,7 11, 48,7 8,4 1. sal 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 144,5 5, 31,6 136,6 5, 13,1 75,4 9,9 Stue 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 49,3 5, 31,6 35,4 5, 13,1 111,9 9,9 Kld. 15,00 0,00 333,1 319, 134,9 Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 3-8:Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 I eksemplet er der i linje B, modul 5-7 regnet med, at søjle/bjælke-systemet er ændret til en 180 mm tyk betonelementvæg. Dette er indlagt i den efterfølgende udskrift fra lastnedføringsprogrammet, idet egenvægtene i bærelinjen er øget til g k = 15 kn/m. Dette betyder en del for størrelsen af n 0 ; mens n v og n h er uændrede i forhold til det ovenfor gennemgåede. 68

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Sag: Emne: Betonelementhuset Linie B, modul 4-5 Branddimensioneringstilstande Nr.: Init: 3-4545 JFJ Lastnedføring version.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 009 venstre dækfelt L1 højre dækfelt L Egenvægt, g,sup = 1,00 g,inf = 1,00 Konsekvensklasse: KFI = 1,00 Fladelaste g k g fri,k q k 1 Kategori (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) s v s h F0 0,00 0,00 0,00 Tag-v F1 F1 Tag-h L v L h F1 Tagflade, sne 1,0 0,65 0,7 0,0 0,00 N L1 og L betegner linielaste. F Boligarealer 3,10,00 1,50 0,30 0,0 A 3. sal-v F F 3. sal-h L v og L h er dækkenes spændvidder. F3 Kontorer 3,65,00,50 0,40 0,0 B Resultanter på underliggende væg F4 Kontor med arkiv 3,65,50 7,50 0,80 0,70 E. sal-v F F. sal-h eller bjælke: F5 0 0,00 0,00 0,00 0,80 0,70 E n o 1. sal-v F3 F4 1. sal-h n v n h Linielaste g k g fri,k q k 1 Kategori (kn/m) (kn/m) (kn/m) Stue-v F3 F4 Stue-h L0 0,00 0,00 0,00 n v og n h : Laste fra dæk i etagen L1 0 0,00 0,00 0,00 0,30 0,0 A Kld. n o : Last fra højereliggende dæk og L 0 0,00 0,00 0,00 0,40 0,0 B fra egenvægte i bærelinie Etage Egenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdier g k g fri,k L v Fladelast Linielast s v L h Fladelast Linielast s h n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (m) (m) (m) (m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 8,0 8,0 6,0 7,4 8,0 5,6 4,8 8,0 3,6 3. sal 8,00 0,00 8,00 F L0 0,00 6,00 F L0 0,00, 30,0 16,7 1,6 9,0 16, 1,4 4,4 9,3. sal 8,00 0,00 8,00 F L0 0,00 6,00 F L0 0,00, 75,8 16,7 1,6 74,8 16, 1,4 54,1 9,3 1. sal 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 6,6 11,6 36,5 4,6 10,6 34, 14,6 83,8 11,0 Stue 8,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 6,6 199,7 36,5 4,6 194,4 34, 14,6 14,4 11,0 Kld. 15,00 0,00 58,5 53, 149,9 Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 3-9: Lastnedføring for Linje B, Modul 4-5 (Brand) Sag: Emne: Betonelementhuset Nr.: Linie B, modul 5-7 Init: Vedvarende dimensioneringstilstande (kombination 6.10b) 3-4545 JFJ Lastnedføring version.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 009 venstre dækfelt L1 højre dækfelt L Egenvægt, g,sup = 1,00 g,inf = 0,90 Konsekvensklasse: K FI = 1,00 Fladelaste g k g fri,k q k q 0 Kategori (kn/m ) (kn/m ) (kn/m ) s v s h F0 0,00 0,00 0,00 Tag-v F1 F1 Tag-h L v L h Tagflade, sne F1 1,0 0,65 0,7 1,50 0,60 N Boligarealer L1 og L betegner linielaste. F 3,10,00 1,50 1,50 0,50 A 3. sal-v F F 3. sal-h Kontorer L v og L h er dækkenes spændvidder. F3 3,65,00,50 1,50 0,60 B Kontor med arkiv Resultanter på underliggende væg F4 3,65,50 7,50 1,50 1,00 E. sal-v F F. sal-h eller bjælke: F5 1,50 1,00 E n o NB: EC1 3.3.1()P fjerner reelt lastreduktion for kategori E-G i normale lastkombinationer n v n h 1. sal-v F3 F4 1. sal-h Linielaste g k g fri,k q k q 0 Kategori (kn/m) (kn/m) (kn/m) Stue-v F3 F4 Stue-h L0 0,00 0,00 0,00 n v og n h : Laste fra dæk i etagen L1 1,50 0,50 A Kld. n o : Last fra højereliggende dæk og L 1,50 0,60 B fra egenvægte i bærelinie Etage Egenvægt i bærelinie Laste på højre dækfelt reducerede værdier Laste på venstre dækfelt maksimalværdier minimalværdier g k g fri,k L v Fladelast Linielast s v L h Fladelast Linielast s h n v n o n h n v n o n h n v n o n h (kn/m) (kn/m) (m) (m) (m) (m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) 0,00 F0 L0 0,00 0,00 F0 L0 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Tag 0,00 0,00 8,00 F1 L0 0,00 6,00 F1 L0 0,00 11,7 15,0 8,8 10,0 15,0 7,5 4,3 13,5 3, 3. sal 15,00 0,00 8,00 F L0 0,00 6,00 F L0 0,00 9,4 50,5,1 4,9 47,5 18,7 11, 34,6 8,4. sal 15,00 0,00 8,00 F L0 0,00 6,00 F L0 0,00 9,4 113,9,1 4,9 106,1 18,7 11, 67,6 8,4 1. sal 15,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 17,5 5, 31,6 164,6 5, 13,1 100,6 9,9 Stue 15,00 0,00 8,00 F3 L0 0,00 6,00 F4 L0 0,00 37,6 77,3 5, 31,6 63,4 5, 13,1 137,1 9,9 Kld. 15,00 0,00 361,1 347, 160,1 Vejledning: PC-statik: Lodret lastnedføring efter EC0 + EC1 Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 3-30: lastnedføring for Linie B, Modul 5-7 69

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 3.5. Moduler til specifikation af søjle- og væglaste Nedenfor er vist en udskrift af programmet søjlelaste på www.bef.dk med data svarende til eksemplet i afsnit 3.4.5.1. Eksemplet puljer reaktioner på søjleelementerne i 1. til. sal, og værdierne for n v, n 0 og n h er afpasset hermed ved overførslen af data fra lastnedføringsskemaet. De resulterende 9 lasttilfælde er for hvert af de 4 hovedtilfælde opstillet, så de er klar til direkte overførsel til søjleberegningen, se afsnit 8.3. Under søjleberegningen suppleres de resulterende lodrette laster, N 1, N 0 og N, med oplysning om deres respektive excentriciteter målt fra søjlens midterakse. Disse excentriciteter skal i hvert lasttilfælde ansættes til den farligste værdi inden for de mulige tolerancer, jf. afsnit 3.3.1. Det vil i praksis betyde, at excentriciteterne for N 1 og N 0 i hvert lasttilfælde vælges størst mulige, og at excentriciteten for N vælges mindst mulig, da det er denne kombination, der resulterer i det størst tænkelige moment i søjlen for den pågældende udbøjningsretning. SØJLELASTE, version.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 009 Sag: Betonelementhuset Nr.: 3-4545 Emne: Søjle i modul B/4, 1. -. sal (STR 6.10b) Init: JFJ Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N1 (kn) N0 (kn) N (kn) Hovedtilfælde I - a : A: Min N 1 + min N 0 + min N 4 114 63 B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 5 114 63 C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 5 403 63 (bjælkeakse) y No D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 5 403 139 N N1 E: Max N 1 + min N 0 + min N 6 114 63 F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 6 403 63 x B1 G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 6 403 165 dækfelt 1-v dækfelt 1-h w H: Max N 1 + max N 0 + min N 6 438 63 x I : Max N 1 + max N 0 + max N 6 438 165 B dækfelt -v dækfelt -h Hovedtilfælde I - b : A: Min N 1 + min N 0 + min N 63 114 4 B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 139 114 4 C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 139 403 4 N o D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 139 403 5 N 1 N E: Max N1 + min N0 + min N 165 114 4 F: Max N1 + reduc N0 + min N 165 403 4 x G: Max N1 + reduc N0 + max N 165 403 6 w H: Max N1 + max N0 + min N 165 438 4 I : Max N1 + max N0 + max N 165 438 6 Lastbredder Dækfelt 1: B1 =,80 m Dækfelt : B =,80 m Hovedtilfælde II - a : A: Min N1 + min N0 + min N 55 114 31 Modul B / 4-5 Modul B / 1-4 Lastnedføringsskema B: Reduc N1 + min N0 + min N 1 114 31 Lodrette laste: n v n o n h n v n o n h C: Reduc N1 + reduc N0 + min N 1 403 31 (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) No D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N 1 403 70 N N 1 Største maksimalværdier 9,4 9,9,1 9,4 63,4 0,0 E: Max N1 + min N0 + min N 144 114 31 Største reduc. værdier 4,9 85,1 18,7 4,9 58,9 0,0 F: Max N1 + reduc N0 + min N 144 403 31 y Mindste minimalværdier 11,,0 8,4 11, 18,7 0,0 G: Max N1 + reduc N0 + max N 144 403 8 w Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b II - a II - b H: Max N1 + max N0 + min N 144 438 31 - linielaste på side af søjle (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) I : Max N1 + max N0 + max N 144 438 8 Maksimal tværlast, w max 3,60 3,60 0,00 0,00 Hovedtilfælde II - b : A: Min N1 + min N0 + min N 31 114 55 Reduc. tværlast, wreduc 1,80 1,80 0,00 0,00 B: Reduc N1 + min N0 + min N 70 114 55 Vejledning: C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 70 403 55 No Inddata vedrørende lodrette last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 70 403 1 Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning på tværs N 1 N E: Max N 1 + min N 0 + min N 8 114 55 af bjælken; medens II - a og II - b svarer til udknækning på langs med bjælken. For hvert F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 8 403 55 y hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 8 403 144 w E, F, G, H og I skal kombineres med reduc. tværlast ved eftervisning af søjlens bæreevne. H: Max N 1 + max N 0 + min N 8 438 55 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker I : Max N1 + max N0 + max N 8 438 144 Figur 3-31: Lastspecifikationer for søjle i modul B/4, 1-. sal (STR 6.10b) 70

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodrette lastvirkninger 3 Sag: Betonelementhuset Emne: Søjle i modul B/4, 1. -. sal; BRAND B1 B dækfelt -v dækfelt -h Nr.: Init: dækfelt 1-v dækfelt 1-h 3-4545 JFJ x (bjælkeakse) y SØJLELASTE, version.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 009 Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) Hovedtilfælde I - a : A: Min N 1 + min N 0 + min N 6 17 69 B: Reduc N1 + min N0 + min N 45 17 69 C: Reduc N1 + reduc N0 + min N 45 358 69 N o D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N 45 358 11 N N1 E: Max N 1 + min N 0 + min N 47 17 69 F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 47 358 69 x G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 47 358 14 w H: Max N1 + max N0 + min N 47 36 69 I : Max N1 + max N0 + max N 47 36 14 Hovedtilfælde I - b : A: Min N1 + min N0 + min N 69 17 6 B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 11 17 6 C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 11 358 6 No D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 11 358 45 N1 N E: Max N 1 + min N 0 + min N 14 17 6 F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 14 358 6 x G: Max N1 + reduc N0 + max N 14 358 47 w H: Max N1 + max N0 + min N 14 36 6 I : Max N1 + max N0 + max N 14 36 47 Lastbredder Dækfelt 1: B1 =,80 m Dækfelt : B =,80 m Hovedtilfælde II - a : A: Min N 1 + min N 0 + min N 61 17 35 Modul B / 4-5 Modul B / 1-4 Lastnedføringsskema B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 106 17 35 Lodrette laste: n v n o n h n v n o n h C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 106 358 35 (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) No D: Reduc N1 + reduc N0 + reduc N 106 358 60 N N 1 Største maksimalværdier, 75,8 16,7, 53,6 0,0 E: Max N1 + min N0 + min N 109 17 35 Største reduc. værdier 1,6 74,8 16, 1,6 53,0 0,0 F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 109 358 35 y Mindste minimalværdier 1,4 4,4 9,3 1,4 0,8 0,0 G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 109 358 6 w Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b II - a II - b H: Max N 1 + max N 0 + min N 109 36 35 - linielaste på side af søjle (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) I : Max N1 + max N0 + max N 109 36 6 Maksimal tværlast, w max 0,00 0,00 0,00 0,00 Hovedtilfælde II - b : A: Min N1 + min N0 + min N 35 17 61 Reduc. tværlast, w 0,00 0,00 0,00 0,00 B: Reduc + min N + min N 60 17 61 reduc 0 N 1 Vejledning: C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 60 358 61 No Inddata vedrørende lodrette last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 60 358 106 Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning på tværs N 1 N E: Max N 1 + min N 0 + min N 6 17 61 af bjælken; medens II - a og II - b svarer til udknækning på langs med bjælken. For hvert F: Max N1 + reduc N0 + min N 6 358 61 y hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde G: Max N1 + reduc N0 + max N 6 358 109 w E, F, G, H og I skal kombineres med reduc. tværlast ved eftervisning af søjlens bæreevne. H: Max N 1 + max N 0 + min N 6 36 61 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker I : Max N1 + max N0 + max N 6 36 109 Figur 3-3: Lastspecifikation for søjle i modul B/4, 1-. sal (ulykkeslast, brand) Med excentriciteterne oplyst sammen med de lodrette lastandele kan resultaterne fra de 9 lasttilfælde, A-I, under et hovedtilfælde omsættes til 9 sæt sammenhørende værdier af normalkraft og moment, (N ed,m 0Ed ), der ved søjleberegningen sammenholdes med søjlens bæreevnekurve i et (N,M)-diagram svarende til den pågældende udbøjningsretning. Dette er ofte tilstrækkeligt at gennemføre for ét af de to hovedtilfælde I-a og I-b samt for ét af de to hovedtilfælde II-a og II-b. Af udskriften ses eksempelvis, at det er I-b og II-a, der bliver de farligste tilfælde, da de giver større værdier af N1 end henholdvis I-a og II-b. Ved ethvert niveau af den samlede normalkraft giver de dermed også de største momenter om søjlens to hovedakser. På www.bef.dk findes også et tilsvarende beregningsprogram til specifikation af de dimensionsgivende belastninger på vægge. For vægge er kun de to udbøjningsretninger vinkelret på væggens plan aktuelle, svarende til hovedtilfældene I-a og I-b. Til gengæld skal man være opmærksom på, om væggen indgår i bygningens stabiliserende system, da der i væggens endesektioner så vil ske en forøgelse af 71

3 Lodrette lastvirkninger BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK de lodrette belastninger i forhold til den rene, lodrette lastnedføring som følge af, at væggen samtidig optager de væltende momenter på bygningen som en skive, se afsnit 5.. Dette kan håndteres ved i væggens endesektioner at introducere et tillæg til normalkræfterne fra den lodrette lastnedføring i særlige datafelter hertil, som på programudskriften i dette tilfælde er nulstillede. Det viste eksempel illustrerer et tilfælde svarende til, at der i modul B/5-7 i eksemplet fra afsnit 3.4.5 er indlagt en betonelementvæg med en 1,0 m bred vægpille mellem to døre, der hver har bredden 1,0 m. For vægpillen fås dermed B1 =,0 m. Eksemplet puljer samtlige reaktioner fra vægelementer fra kælder til 3. sal, og værdierne for n v, n 0 og n h er afpasset hermed ved overførslen af data fra lastnedføringsskemaet. Sag: Emne: Betonelementhuset Væg B/6-7, kld.-3. sal (STR 6.10b) Nr.: Init: 3-4545 JFJ VÆGLASTE, version.0 / EC Udgivet af Betonelement-Foreningen mar. 009 Resulterende lasttilfælde, lodrette lastandele N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) Hovedtilfælde I - a : A: Min N 1 + min N 0 + min N 6 7 9 dækfelt h dækfelt v B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 104 7 9 N o N C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 104 57 9 N 1 D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 104 57 63 dækfelt v dækfelt h E: Max N 1 + min N 0 + min N 104 7 9 F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 104 57 9 G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 104 57 75 B1 B1 = b w H: Max N 1 + max N 0 + min N 104 555 9 n v + n 0 + n h n v + n 0 + n h I : Max N 1 + max N 0 + max N 104 555 75 Hovedtilfælde I - b : A: Min N 1 + min N 0 + min N 9 7 6 B: Reduc N 1 + min N 0 + min N 63 7 6 n 0 N o C: Reduc N 1 + reduc N 0 + min N 63 57 6 N 1 N D: Reduc N 1 + reduc N 0 + reduc N 63 57 104 dækfelt v dækfelt h b E: Max N 1 + min N 0 + min N 75 7 6 b F: Max N 1 + reduc N 0 + min N 75 57 6 G: Max N 1 + reduc N 0 + max N 75 57 104 Typisk vægsektion med b er den effektive Typisk endesektion i w vinduesåbninger etc. vægbredde anvendt i H: Max N 1 + max N 0 + min N 75 555 6 stabiliserende væg vægberegningen I : Max N 1 + max N 0 + max N 75 555 104 stabilitetsberegning fra masselast Lastbredde B1 =,00 m Evt. tillæg til lodret last fra fra vindlast 5-1 Lastnedføringsskema Modul B / I hovedtilfældene er max n 0 kombineret med reduc n 0 reduc. max reduc. max Lodrette laste fra lastnedføringsskema n v n o n h og reduc n 0 kombineret med max n 0 i de tilfælde, hvor n o n o n o n o (kn/m) (kn/m) (kn/m) n 0 kommer fra vindlast - og omvendt ved masselast. (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) Største maksimalværdier 37,6 77,3 5, Normalkraft ved dimensionsgivende vandret last 0,0 0,0 0,0 0,0 Største reduc. værdier 31,6 63,4 5, Normalkraft ved samme lodrette last, men uden vandret last 0,0 0,0 0,0 0,0 Mindste minimalværdier 4,3 13,5 3, Resulterende tillæg til lodret last 0,0 0,0 0,0 0,0 Tværlaste i hovedtilfælde I - a I - b Vejledning: Fladelaste på væg: (kn/m ) (kn/m ) Inddata vedrørende lodret last kan overføres fra modulet "lodret lastnedføring". Ved undersøgelse af ende- Maksimal tværlast 0,40 0,40 sektioner i stabiliserende vægge kan tillægget til de lodrette laste hentes fra modulet "stabilitet". På den sikre Reduc. tværlast 0,0 0,0 side kan herfra benyttes max-værdierne også i kolonnerne "reduc." Hvis det vælges at bruge værdier svarende Resulterende tværlaste på vægside: (kn/m) (kn/m) reduc. vind på bygningen ved undersøgelse af en væg, skal forholdene ved masselast også kontrolleres Maksimal tværlast, w max 0,80 0,80 Under resulterende lasttilfælde svarer hovedtilfælde I - a og I - b til udknækning ud af væggens plan. For hvert Reduc. tværlast, w reduc 0,40 0,40 hovedtilfælde skal lasttilfælde A, B, C og D kombineres med maksimal tværlast. Lasttilfælde E, F, G, H og I skal NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker kombineres med reduc. tværlast. Figur 3-33: Lastspecifikation for væg i linje B modul 5-7, kælder til 3. sal (STR 6.10b) 7

4 HOVEDSTABILITET 4 HOVEDSTABILITET 4.1 Generelt 4. Vandret lastfordeling 4..1 Eksempel - Hal efter kassesystemet 4.. Eksempel - Hal efter skeletsystemet 4..3 Eksempel - Tværvægsbyggeri 4.3 Opstilling af generaliseret model 4.3.1 Eksempel - Kombinationsbygning 4.4 Beregningsprogrammer

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 4.1 Generelt Enhver bygning skal være stabil over for alle forekommende kombinationer af lodrette og vandrette belastninger. For hver aktuel lastkombination eftervises bygningens stabilitet ved at eftervise, at følgende tre betingelser alle er opfyldte: 1. Hver enkelt bygningsdel er i stabil ligevægt.. Hver enkelt bygningsdel kan modstå de påførte kræfter. 3. Samlingerne mellem de enkelte bygningsdele kan overføre de fornødne kræfter fra bygningsdel til bygningsdel. Vindtryk W sug W tryk W W W tryk Figur 4-1: Lodret snit Figur 4-: Dækplan W tryk For de lodrette belastninger svarer punkt 1 blot til den sædvanlige lastnedføring gennem bygningen. Dette fører for hver bygningsdel til et antal laster, som bygningsdelen skal undersøges for i forskellige kombinationer. 74

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 Nogle af bygningsdelene vil endvidere være aktive ved optagelse af vandrette belastninger på bygninger, eksempelvis således: a: Facadeelementerne optager vindlasten ved pladevirkning, idet de fører vindlasten videre til etagedækkene. Samtidig optager facadeelementerne lodret last. b: Etagedækkene fører ved skivevirkning vindlasten videre til stabiliserende skivevægge. Samtidig optager etagedækkene lodret last. c: De stabiliserende skivevægge fører ved skivevirkning kombinationen af vindlastresultanterne og samtidigt virkende lodret last ned til fundament. Redegørelsen for optagelse af vandrette belastninger fører således til et ekstra sæt lastkombinationer, som de pågældende bygningsdele skal undersøges for, på linje med lastkombinationerne for lodret last alene. W 1 Hovedstabilitet W W 3 W Figur 4-3: Vægopstalt N RES Bygningsdelsstatik Detailstatik - etagekryds - dækskiver - fuger - vægskiver - beslag - dækelementer - elementdetaljer - bjælker - søjler - facadeelementer - fundamenter Figur 4-4: Principdiagram for statisk beregning 75

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Principielt rummer hovedstabiliteten således hele den statiske beregning. En sikker gennemførelse af den statiske beregning vil imidlertid sædvanligvis kræve, at den udarbejdes i en overskuelig struktur. Eksempelvis som illustreret i det følgende diagram hvor pilene repræsenterer videregivelse af belastninger. Oplysningerne kan alternativt gå modsat de viste pile i form af oplysning om modstandsevner. I denne sammenhæng er emnet hovedstabilitet herefter begrænset til at omfatte en fastlæggelse af belastningerne på de forskellige bygningsdele. 4. Vandret lastfordeling De vandrette belastninger på bygningen er som regel enten vindlast eller masselast og eventuelt jordtryk på kældervægge. Foruden den farligste vindlast virkende direkte på de enkelte bygningsdele, er det også nødvendigt at bestemme vindlastens resultanter på bygningen for at kunne vurdere bygningens overordnede stabilitet. Ved denne beregning ses bort fra indvendige vindtryk, da disse ikke giver nogen resulterende vandret belastning på bygningen. Vindlastens resultanter angives normalt som linjelaster på dækskiverne svarende til forskellige vindretninger, idet vandret last på tagopbygning føres til tagdæk og vandret last på hver etages facader fordeles ligeligt til de omgivende dæk. 76

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 W 1 1 W W 3 3 Figur 4-5: Linielaster på dækskiver Den overordnede stabilitet skal også vurderes for seismisk last. Det seismiske dimensioneringstilfælde håndteres ved at vurdere konstruktionerne for vandret masselast. Den vandrette masselast er en ulykkeslast, der både dækker virkninger af skævheder i opførelsen samt mindre jordrystelser. Lastens størrelse beregnes normalt i Danmark som 1,5% af de regningsmæssige lodrette belastninger, hvor det er tilladt at se bort fra snelast og reducere nyttelastens bidrag, da der ikke regnes med fuld nyttelast på alle etager samtidig. Ligesom vindlastens resultanter angives den vandrette masselasts resultanter sædvanligvis som linjelaster på dækskiverne. Masselasten varierer meget fra byggeri til byggeri, men normalt vil en overslagsmæssig beregning med følgende regningsmæssige værdier af bidraget til den vandrette masselast pr. m etageareal være dækkende: Tagdæk: A d = 0,15 kn/m Etagedæk, boliger A d = 0,15 kn/m Etagedæk, kontor A d = 0,15 kn/m Etagedæk, tungt erhverv A d = 0,0 kn/m 77

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK I de fleste tilfælde vil disse værdier kunne reduceres en del ved en nøjere efterregning af den aktuelle bygning. Den vandrette masselast regnes at kunne virke i enhver retning, idet resultanten på de forskellige dækskiver alle virker i samme retning på samme tid. I bygninger med kælder forekommer der vandrette laster udover vindlast og masselast. De udvendige kældervægge påvirkes af jordtryk og eventuelt også af vandtryk. For den overordnede stabilitet har dette specielt betydning, hvis der er forskel i terrænniveauet mellem husets facader. I så tilfælde vil dækket over kælderen blive påvirket af en resulterende vandret last, svarende til forskellen i jordtryk på de to sider af bygningen. Figur 4-6: Tværsnit i kælder med ensidigt jordtryk Der eksisterer flere modeller til bestemmelse af reaktionernes fordeling; modeller, der sikrer, at reaktionerne holder dækskiven i ligevægt, og som samtidig fordeler reaktionerne i forhold til de stabiliserende vægges forskellige stivheder. For byggerier indtil 5-6 etagers højde med stabiliserende vægskiver er bestemmelse af vægskivernes stivhed meget usikker, fordi bevægelse i fundament og glidning i samlinger bidrager væsentligt til de samlede flytninger. Bestemmelse af reaktionsfordelingen baseres derfor ofte på en skønsmæssig vurdering af de enkelte vægskivers stivhed. Disse forhold betyder, at visse dele af konstruktionen vil blive belastet til kapacitetsgrænsen før andre, når lasten vokser op. Hvis konstruktionen disse steder var af sprød karakter, ville videre belastning her 78

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 føre til brud, før de sidste stabiliserende bygningsdele nåede den forudsatte udnyttelse. Derfor er det altid nødvendigt med gennemgående sammenhængsarmering i dækskiverne, ligesom samlingerne i det stabiliserende system bør udformes på en måde, så sprødbrud undgås. Dette er da også en klar forudsætning for de følgende eksemplers enkle metoder til bestemmelse af reaktions- fordelingen. For analyse af byggerier, der ikke dækkes af de gennemgående eksempler, kan henvises til: Skivebygningers statik, 1985, forelæsningsnotat nr. 68 fra Instituttet for Husbygning, DTH. Ved analyse af den overordnede stabilitet kan der spares en del regnearbejde, hvis man tidligt kan vurdere om det er vindlast eller masselast, der er dimensioneringsgivende. Det skyldes, at man så ikke skal lave detailberegninger for både vindlast og vandret masselast. Vindlast (EQU/STR) Vandret masselast (Ulykkeslast) K w f FI k 0,9G l v d (1,0 G1,0 N ) l l x l x Figur 4-7: Last på vægge 79

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Under forudsætning af at egenlasten sikrer stabiliteten, kan der for glidning og moment opstilles efterfølgende forsimplede udtryk, hvor man med sikkerhed kan sige, at vindlast er dimensioneringsgivende. Udtrykket er opstillet ud fra figur 4-7. f KFI wk vd vd 0,9 G 1, 0 G 1, 0 N 1, 0 G K w 0,9 v Q FI k d hvor Q er partialkoefficienten på vindlast K FI er en koefficient, der afhænger af konsekvensklassen w k er den karakteristiske værdi af vindlastens resultant på dækskiven v d er den vandrette masselast på dækskiven målt udjævnet pr. løbende meter af dækskiven Der kan opstilles en lignende øvre grænse for, hvornår masselasten er dimensioneringsgivende. Det sker ved at antage, at den karakteristiske nyttelast aldrig overstiger 1,8 gange egenvægten. Q KFI wk vd vd 0,9 G 1,0 G1,0 N 1,0 G1,0 0,7 1,8 G K w 0,4 v ; N 1,8 G Q FI k d Herved kan nedenstående udtryk benyttes som sikre grænser, der beskriver, hvornår hhv. vindlast eller vandret masselast er dimensioneringsgivende. K w 0,4 v Masselast er dimensioneringsgivende Q FI k d K w 0,9 v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k d 80

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 Denne grænses kan beregnes mere præcist i tilfælde, hvor nyttelasten kendes bedre. F.eks. for en kontor- eller boligblok gælder: K w 0,5 v ; N 1, G & Nyttelast i kategori A eller B Q FI k d Når det er det indre arbejde i væggen, der er dimensioneringsgivende, vil grænsen afhænge af partialkoefficienten. Der kan indgå forskellige partialkoefficienter, men for at opstille grænsen for hvornår masselast er dimensioneringsgivende, skal den største partielkoefficient benyttes. Den største værdi er 1,45, idet det antages, at væggen altid er minimumsarmeret og ikke regnes i lempet kontrolklasse. Q KFI wk 1 K w 0,7 v v d c Q FI k d Tilsvarende kan opstilles for vindlasten Q KFI wk 1 K w 0,9 v v d s Q FI k d Ovenstående betyder i praksis, at for kontorbygninger og boligbyggeri bliver vindlast normalt dimensioneringsgivende for tværstabilitet, hvis bredden er mindre end 0m. For stabilitet i bygningens længderetning vil masselasten ofte være dimensioneringsgivende. Når dækskivernes farligste vandrette lastresultanter er bestemt i de forskellige retninger, er næste opgave at bestemme de tilhørende vandrette reaktioner på dækskiven ved de stabiliserende vægge eller søjler. 81

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 4..1 Eksempel - Hal efter kassesystemet B = 19, m L = 33,6 m H y x Figur 4-8: Isometri Bygningen forudsættes beliggende i et område med nogen bebyggelse, så hastighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse II og med z = 7,5 m: qw 0, 66 kn / m² Facader og gavle er over for vindlast simpelt understøttet ved terræn og tagdæk. Ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med c t = 0,04 for tangentiel vindlast på taget, bliver den karakteristiske vindlastresultant på dækskiven for vind på langs ad bygningen: 0,5H w ( c c ) q Lc q x 1 w t w Hi 0,5 7,5 (0,7 0,3) 0,66 33,6 0,04 0,66 6,5,86 0,89 3, 74 kn / m 8

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 c 1 = 0,7 c = 0,3 H i = 6,5m H = 7,5m Figur 4-9: Tværsnit i hal Figur 4-10: Længdesnit i tag med ovenlys For vind på tværs af bygning er formfaktoren for tangentiel vindlast på taget c t = 0,04, så den karakteristiske værdi af vindlastresultanten på tværs af bygningen bliver 0,5H w ( c c ) q Lc q x 1 w t w Hi 0,5 7,5 (0,7 0,3) 0,66 19, 0,04 0,66 6,5,86 0,51 3,36 kn / m For den vandrette masselast på tagdækskiven kan regnes med en regningsmæssig værdi af størrelsen Ad 0,15 kn / m ² Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven: 1. På langs ad bygning: w K w 1,5 1, 0 3, 74 5, 61 kn / m xd, Q FI k v L A 33,6 0,15 5,04 kn / m xd, d K w 0,9 v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k d 83

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK. På tværs af bygning: w K w 1,5 1, 0 3,36 5, 04 kn / m yd, Q FI k v B A 19, 0,15,88 kn / m yd, d K w 0,9 v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k d For vind på langs ad bygningen regnes tagdækskiven simpelt understøttet af de langsgående facader. Reaktionen på hver facade bliver R 0,5 Bw 0,5 19, 5, 61 53,9kN xd, xd, som fordeles videre til facadeelementerne. R x,d W x,d Figur 4-11: Dækskive R x,d 84

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 V y H i H b =,4 m Figur 4-1: Tilsvarende fås for vind på tværs: R 0,5 Bw 0,5 33, 6 5, 04 84, 7kN yd, yd, som i dette tilfælde kan fordeles jævnt over gavlelementerne i hver gavl. For det enkelte gavlelement fås b, 4 Vyd, Ryd, 84, 7 10, 6 kn / element B 19, Herefter skal styrken af væg- og tagskive samt samlingerne mellem skiverne og stabilitet som væg eftervises. Bemærk at der ved den overordnede stabilitetsberegning er set bort fra eventuelt sug/tryk på inderside af facadernes opkanter over tag. 85

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lokale vindkræfter Det indvendige sug eller overtryk har betydning for vindbelastningen på de enkelte dele af facaderne og taget. Den karakteristiske fladelast på de enkelte bygningsdele bestemmes ved wk ( ci cy) qw hvor c i og c y er formfaktoren for vindlast på henholdsvis inder- og yderside af bygningsdelen. Største opadrettede vindlast på taget svarer til indvendigt overtryk, c i = 0, sammen med udvendigt sug, c y = 1,4: wk (0,,0) 0,66 1,06 kn / m² Største udadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt overtryk, c i = 0, sammen med udvendigt sug, c y = 0,7: wk (0,0,7) 0,66 0,46 kn / m² Største indadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt undertryk, c i = 0,3 sammen med udvendigt tryk, c y = 0,9: wk (0,31,) 0,66 0,99 kn / m² Disse fladelaster indgår i de forskellige lastkombinationer, der skal undersøges for hver enkelt bygningsdel. Eksempel slut 86

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 4.. Eksempel - Hal efter skeletsystemet Bygningen forudsættes beliggende nær en fjord, så hastighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse I og med z = 8,0 m: qw 0,81 kn / m ² Facader og gavlpartier er over for vindlast understøttet ved fundament og tag. Alle søjler regnes indspændt i fundament og i toppen forbundet til et uendeligt stift tagdæk. c 1 = 0,7 c = 0,3 H = 8,0 m H i = 6,8 m Figur 4-13: Tværsnit i hal Der ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med c t = 0,0 for tangentiel vindlast på taget. Herved bliver den karakteristiske vindlastresultant på dækskiven for vind på langs ad bygningen: 0,5H w ( c c ) q Lc q x 1 w t w Hi 0,5 8,0 (0,7 0,3) 0,8 48,0 0,0 0,81 6,8 3,810, 78 4,59 kn / m 87

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK og for vind på tværs: 0,5H w ( c c ) q Lc q y 1 w t w Hi 0,5 8,0 (0,7 0,3) 0,8 8,8 0,0 0,81 6,8 3,810, 47 4, 8 kn / m For den vandrette masselast på tagdækskiven kan anvendes en regningsmæssig værdi af størrelsen Ad 0,15 kn / m ² Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven: 1. På langs ad bygning: w K w 1,5 1, 0 4,59 6,88 kn / m xd, Q FI k v L A 48 0,15 7, 0 kn / m xd, d K w 0,9 v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k d. På tværs af bygning: w K w 1,5 1, 0 4, 8 6, 4 kn / m yd, Q FI k v B A 8,8 0,15 4,3 kn / m yd, d K w 0,9 v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k d 88

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 L = 48 m y x Figur 4-14: Isometri af bærende system B = 8,8 m Den vandrette lastresultant fordeles af dækskiven til søjletoppene i forhold til søjlernes stivhed. I eksemplet regnes søjlerne i de to facadelinjer at være ens med stivhederne og for udbøjning henholdsvis på langs og på tværs af bygningen. Søjlerne i midterlinjen regnes at have de tilsvarende stivheder og. For den aktuelle bygning forudsættes ( EI / l ) L ( EI / l ) B L ( EI / l ) L B( EI / l ) B L 1, 8 B Med n = 5 søjler i hver linje på langs af bygningen fås følgende reaktion på dækskiven ved hver søjletop for vind på langs ad bygningen: Facadesøjle: R Bw EI xd, l L xd, xd, EI EI EI n L n L l L l L l L Bw 8,8 6,88 10,4kN 5 1,8 89

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Midtersøjle: R xd, EI Bw xd, L l Bw L EI EI EI n L 5 1,8 n L l L l L l L Tilsvarende fås for vandret last på tværs af bygningen: xd, L 8,8 6,88 1,8 18,8 kn Facadesøjle: R yd, Lw n 5 1,8 yd, 48,0 6,4 16, B kn Midtersøjle: R yd, Lw 48, 0 6, 4 1,8 n 5 1,8 yd, L L 9,kN Ud over de anførte vandrette laster fra vind og masselast skal søjlerne beregnes for vandrette bremsekræfter fra eventuelle kraner. R d W H i Figur 4-15: Skivelastens overføring til søjlerække Figur 4-16: Opstalt af søjler Eksempel slut 90

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 4..3 Eksempel - Tværvægsbyggeri H = 16.0 m L = 50,4 m B=9,6m Figur 4-17: Isometri c 1 = 0,8 c = 0,5 he =,8 m Figur 4-18: Tværsnit i nederste etage Bygningen forudsættes beliggende i bymæssig bebyggelse, så hastighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse III og med z = 16,0 m: qw 0, 6 kn / m² Der regnes med tangentiel vindlast svarende til c t = 0,04 på facader og gavle. Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på dækskive mellem etagerne bliver derved for vind på langs ad bygning: 91

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK w Bh ( c c ) q Lh c q x e 1 w e t w 9, 6,8 (0,8 0,5) 0, 6 50, 4,8 0, 04 6, 1,67kN 3,50kN 5,17kN For vind på tværs af bygning føres den tangentielle vindlast på gavlene direkte til fundament af gavlskiverne. Den karakteristiske vindlastresultant på en dækskive mellem etagerne er dermed for vind på tværs af bygning: w h ( c c ) q y e 1 w,8 (0, 7 0,3) 0, 6 1, 74 kn / m For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes svarende til bolig med en regningsmæssig værdi af størrelsen Ad 0,15 kn / m ² For hver dækskive mellem etagerne fås dermed følgende regningsmæssige vandrette laster: 1. På langs ad bygning: w K w 1,5 1, 0 5,17 37, 75 kn / m xd, Q FI k v L A 9, 6 50, 4 0,157,58 kn / m xd, d Idet nyttelasten er mindre end 1,4 gange egenvægten, og nyttelasten henføres til lastkategori A, ses det, at masselasten er dimensioneringsgivende, idet: K w 0,7 v Q FI k d. På tværs af bygning: w K w 1,5 1, 0 1, 74, 60 kn / m yd, Q FI k v B A 9, 6 0,15 1, 44 kn / m yd, d K w 0,9 v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k d 9

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 c' 1 = 0,7 c' = 0,3 a = 45 Figur 4-19: Tagets kontur En tilsvarende bestemmelse af lastresultaterne på dækskiven under taget afhænger af tagets udformning. 1. På langs ad bygningen er masselasten i det viste eksempel afgørende, så der kan regnes med W ' 1,0 W x, d x, d. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende: w 0,5 w 0,5 B tan ( c c ) q y y 1 w 0,5 1, 74 0,5 9, 6 1, 0 (0, 7 0,3) 0, 6 3,84 kn / m idet tagets højde er 0,5 B tan wyd, f KFI wy 1,5 1, 0 3,84 5, 77 kn / m For last på langs ad bygningen fordeler dækskiven lastresultanten ligeligt til de n = 3 stabiliserende længdevægge ved trapperummene. 93

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Fordelingen kan anvendes, selv om længdevæggen ikke står i lastresultantens angrebslinje, idet excentricitetsmomentet på dækskiven blot optages via reaktioner ved tværvæggene. Reaktionen på hver dækskive mellem etagerne bliver ved hver af de stabiliserende længdevægge R xd, v 7,6 3 xd, n 4, kn De vandrette kræfter på en stabiliserende længdevæg kan dermed optegnes som vist på vægopstalten, hvor faktoren k x betegner forholdet mellem den vandrette last på tagdæk skiven og den vandrette last på de øvrige dækskiver. Aktuelt er regnet med k x = 1,0 jævnfør det for W xd angivne. 7,,4 7, 7,,4 W x,d Figur 4-0: Plan Stabiliserende længdevæg For vandret last på tværs af bygningen kan dækskiven regnes at føre lasten ind til tværvæggene svarende til en simpel fordeling efter afstandene mellem tværvæggene. For en indvendig tværvæg nr i, der ligger med afstandene l i-1 = 7, m og l i =,4 m til de to nabotværvægge bliver R 0,5 ( l l ) w i yd, i1 i yd, 0,5 (7,, 4), 60 1,5kN 94

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 De vandrette kræfter på den enkelte tværvæg bliver som vist på opstalten, idet k y w yd, w yd, 5,77,60, 1 Herefter skal de enkelte vægskivers styrke og stabilitet eftervises, jfr. afsnit 5.. k R 4,4kN x R R R x, d xd, xd, xd, 4,4kN 4,4kN 4,4kN he he he he Figur 4-1: Vægopstalt, længdevæg k R 7,7kN x x, d R R R xd, xd, xd, 1,5kN 1,5kN 1,5kN Figur 4-: Vægopstalt, tværvæg Eksempel slut 95

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 4.3 Opstilling af generaliseret model Dækskiven betragtes nu med systemet af stabiliserende vægge indtegnet: Figur 4-3: Plan af dækskive W Dækskiven forudsættes at være uendelig stiv. Dækskivens bevægelse vil være sammensat af en vandret translation,, og en drejning,, om systemets vridningscentrum. De stabiliserende vægges deformation forudsættes at vokse proportionalt med den vandrette last. Dækskive Figur 4-4: Opstalt, stabiliserende væg 96

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 y R x,i R y,j y i X y 0 X x 0 x i Figur 4-5: Beskrivelse i (x,y) koordinatsystem Dækskiven med systemet af stabiliserende vægge beskrives i et sædvanligt (x,y) koordinatsystem. Dækskivens reaktion ved vægge parallelt med x-aksen betegnes R xi, og den enkelte af disse vægges stivhed betegnes i D, hvor D er en fælles referenceværdi. Værdien bliver således den enkelte vægs relative stivhed. i Tilsvarende for vægge parallelt med y-aksen betegnes dækskivens reaktion R yj, og de tilsvarende stivheder betegnes j D De relative stivheder, i og j, kan i mange tilfælde fastlægges ved et rent skøn, blot dette skøn afspejler størrelsesordenen af den enkelte vægs stivhed. Det afgørende er at nå frem til en reaktionsfordeling, der er i ligevægt med de ydre kræfter. 97

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK For den vandrette resultant W x af kræfterne på dækskiven i x-aksens retning angribende i systemets vridningscentrum bliver dækskivens bevægelse en ren translation,, i x-aksens retning. De tilhørende reaktioner bliver R ( W ) D xi x i Den samlede reaktion er n W D D D n x i i n i1 i1 W i1 x i hvilket indsat i udtrykket for R xi (W x ) giver i Rxi( Wx) W n x i1 i Betingelsen for at resultanten W x angribende i afstanden y o fra x-aksen netop angriber i systemets vridningscentrum er, at det resulterende moment af kræfterne R xi om et punkt med y-koordinaten y o er nul. Denne betingelse kan skrives: n n i Rxi yi y0 n i1 i1 i yi y0 i1 i i 0 i i 0 i i1 i1 i1 y 0 ( ) 0 ( ) 0 n n n ( y y ) 0 y y 0 n i1 n y i1 i i i 98 4.3-1

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 Tilsvarende fås for kræfter i y-aksens retning: j Ryi ( Wy ) W m y x 0 j1 n j j1 j1 m x j j j 4.3- En vilkårlig vandret resultant på dækskiven kan ækvivaleres med en resultant gennem systemets vridningscentrum plus et moment, M w, om dette vridningscentrum. For et rent moment, M w, på systemet bliver dækskivens bevægelse en ren drejning,, om systemets vridningscentrum. Reaktionen ved de enkelte vægge bliver da: R ( M ) ( y y ) D xi w i 0 i R ( M ) ( x x ) D yj w i 0 j Disse reaktioners resulterende moment om vridningscentret kan skrives således: n M ( y y ) D ( y y ) w i 0 i i 0 i1 n ( x x ) D ( x x ) j1 j 0 j j 0 M D y y x x n m w i( i 0) j( j 0) i1 j1 Indføres systemets relative vridningsstivhed ved n m w i( i 0) j( j ) i1 j1 4.3-3 I y y x x 0 kan det resulterende vridningsmoment skrives 99

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK M w Mw D Iw D I w Indføres dette i udtrykkene for reaktionerne ved de enkelte vægge bliver: M w Rxi( Mw) ( yi y0) I M R ( M ) ( x x ) w i w yi w j 0 j Iw Endelig summeres bidragene fra translation og vridning, så reaktionerne på de enkelte vægge i alt bliver: i MW Rxi Wx ( yi y0) n i IW i1 i M R W ( x x ) j W yi m y j 0 j IW j j1 4.3-4 4.3-5 Vridningsmomentet, M w, bestemmes for en vilkårlig vandret lastresultant W som M w Wz hvor z er den vandrette lastresultants momentarm om vridningscentret (x o,y o ). z y (x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) Wx zx W y Figur 4-6: Vandrette lastresultanter på dækskive 100

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 For bygninger indtil 5-6 etagers højde vil væggenes reelle stivhed kunne antages at være proportional med deres respektive modstandsevner. For sådanne bygninger kan den relative stivhed for en stabiliserende væg anslås som den mindste af værdierne 1, og 3 i henhold til det viste skema. For 1 og betragtes det mest kritiske element i væggen, idet h o regnes op til tagdæk fra underside af det pågældende element. a 0 1 3 1,0 1,5,0 h h h0 /30 l 1 a0 h l1 l h0 /30 h 0 h 1 h h,0 Ikke bærende væg Bærende væg 1 Skemaets angivelser er kun skønsmæssige, og størrelserne er valgt for at undgå helt urimelige reaktionsfordelinger. I visse tilfælde vil det være formålstjentligt at vælge andre parameterværdier Figur 4-7: Skønnede værdier for relative stivheder 101

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 4.3.1 Eksempel - Kombinationsbygning H = 14,6 m y x L = 36 m B = 11,6 m Figur 4-8: Isometri Kombinationsbyggerier er gerne kendetegnet ved forholdsvis få stabiliserende vægge, der koncentrerer sig omkring trappetårne og andre skakte. I dette eksempel præsenteres anvendelsen af den generaliserede model til bestemmelse af lastfordelingen på de stabiliserende vægge. Bygningen forudsættes beliggende i et kvarter med spredt erhvervsmæssig bebyggelse, så hastighedstrykket findes af EC1 svarende til terrænklasse II og med z = 14,6 m: qw 0,8 kn / m ² 10

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 c 1 = 0,8 c = 0,5 h' = 1,0 m he = 3,4 m he = 3,4 m he = 3,4 m he = 3,4 m Figur 4-9: Tværsnit i bygning Der regnes med tangentiel vindlast svarende til c t = 0,0 på facader og gavle. Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på en dækskive mellem etagerne bliver dermed for vind på langs ad bygningen: W Bh ( c c ) q Lh c q x e 1 w e t w 11,6 3,4 (0,8 0,5) 0,81 38,0 3,4 0,0 0,81 41,5 4, 45,7kN Tilsvarende for vind på tværs: W Lh ( c c ) q Bh c q x e 1 w e t w 38 3,4 (0,8 0,5) 0,81 11,6 3,4 0,0 0,81 136,0 1,3 137,3kN 103

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Det skal bemærkes, at bidraget fra tangentiel vindlast er relativ beskedent. For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes svarende til tungt erhverv med en regningsmæssig værdi af størrelsen Ad 0, 0 kn / m ² Den regningsmæssige totale vandrette lastresultant på hver dækskive mellem etagerne bliver da: 1. På langs ad bygning: w K w 1,5 1, 0 45, 7 68,57 kn / m xd, Q FI k v L A 11, 6 36, 0 0, 0 83,5 kn / m xd, d Det kan ikke umiddelbart vurderes hvilken af de to tilfælde, der er dimensioneringsgivende, men for at forsimple eksemplet udføres beregningerne kun for masselast.. På tværs af bygning: w K w 1,5 1, 0 137,3 06, 0kN yd, Q FI k v B A 0,9 11, 6 36, 0 0, 0 83,5kN yd, d K w 0,9 K v Vindlast er dimensioneringsgivende Q FI k FI d En tilsvarende bestemmelse af lastresultanterne på dækskiven under taget afhænger af tagets udformning: 1. På langs ad bygning udføres en gennemregning for masselasten, og idet tagetagen regnes udnyttet svarende til taglast med A d = 0,15 kn/m fås 0,15 vx, d vx, d 0,75 v x, d 0, 0 104

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende, så her fås dækskive under tag: w 0,5 ( h h) w 0,5 (34 1,0) e yd, yd, wyd, 0,84 w xd, he he 3, 4 3, 4 næstøverste dækskive: w 0,5 ( h) w 0,5 (1, 0) * yd, yd, 1 1 wyd, 0,96 w xd, he he 3, 4 3, 4 De her anførte lastresultanter vil for den skitserede bygning angribe i bygningens midterakser. Ved mere uregelmæssige bygninger eller ved store bygninger, der kræves undersøgt for vridning, vil de vandrette lastresultanter kunne angribe langs andre linjer. Med eksemplets regulære form på bygningen er det naturligt at indlægge (x,y)- systemet med akse i facade- og gavllinje. Som vist på planen regnes væggene parallelt med x-aksen at være bærende, medens væggene parallelt med y-aksen ikke er bærende. y 4,0 x 7, W x 5,8 4,8 3,6 1 y 1 x 31, 9,6 y 3,6,4 3 y 4,0 3 x x W y 18,0 Figur 4-30: Plan af dækskive 105

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Først findes hver vægs relative stivhed og placering i (x,y)-systemet. Væg nr. i y i 1 x 0,140 4,8m x 0,173 9,6m 3 x 0,173,4m Væg nr. j x j 1 y 0,187 0,0m y 0,070 7,m 3 y 0,047 31,m idet de stabiliserende vægges højde er 13,6 m og de alle regnes massive. 0, 486, 0,304 i y, 75 m, x 3,36m i i j j y 5,65 m, x 11,08m I 0 0 w 64,8 m², j For vandret last på langs ad bygningen fås for normaletager: Wxd, 83,5kN Mw83,5 (5,8 5, 65) 1,19kNm For vandret last på tværs af bygningen fås for normaletager: Wyd, 06, 0kN Mw06 (18 11, 08) 146kNm Reaktionen på de stabiliserende vægge fra hvert etagedæk findes nu af formlerne 4.3-4 og 4.3-5. Væg nr. for R xi R yi for Væg nr. for for W x,d W y,d 1 x 4,1 kn,6 kn x 9,9 kn -15,1 kn 3 x 9,6 kn 1,4 kn W x,d W y,d 1 y 0,4 kn 81,1 kn y -0, kn 7,4 kn 3 y -0, kn 5,4 kn 106

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedstabilitet 4 Da både W xd og W yd kan skifte fortegn, findes farligste reaktion af skemaet som den numerisk største reaktion for hver væg. For masselast reduceres reaktionerne fra tagdækket med faktoren 0,75 mens reaktionerne fra vindlast, på de øverste etager, reduceres med faktorerne 0,84 og 0,96, jævnfør den første del af eksemplet. Herefter består opgaven i stabilitets- og styrkeeftervisning for hver vægskive for belastninger som anført nedenfor. Hvis det nu viser sig, at væg 3 y ikke kan modstå de beregnede reaktioner, kan det forsøges at omregne den vandrette last fordeling med en mindre værdi af j for denne væg. Dette har dog kun mening, hvis den første gennemregning fører til at de øvrige vægge ikke udnyttes fuldt ud. I det aktuelle eksempel specielt væg y. 18,0kN 67,9kN 4,1kN 77,6kN 4,1kN 81,1kN 4,1kN 81,1kN Figur 4-31: Vægopstalter x y Væg nr. 1 Væg nr. 1 Eksempel slut 107

4 Hovedstabilitet BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 4.4 Beregningsprogrammer Stabilitetsanalyser bliver ofte ret omfattende, og det er oplagt at anvende færdige beregningsprogrammer til brug herfor. På www.bef.dk findes et beregningsmodul, der foretager vandret lastfordeling og undersøgelse af vægskivernes stabilitet for bygninger i op til 6 etager. Nedenstående udskrift viser beregningsmodulets brugerflade under en beregning af samme bygning som gennemgået i foregående afsnit. Som det ses af delresultaterne for væg 1, der svarer til det foregående eksempels væg 1 y, stemmer de resulterende vandrette reaktioner, V, på væggen fra vindlasten overens med resultaterne Ryi fra eksemplet. Endvidere ses, at der med det valgte system af stabiliserende vægge er behov for at forankre væggene til bygningens basis, og programmet gør opmærksom på, at der for væg 1 og 3 skal ses nærmere på risikoen for glidning af det øverste vægelement. Se nærmere om disse forhold i afsnit 5.. Væg 1. endepunkt. endepunkt dim. væghøjde rel. stivh. Etage Højde Laste på dækskiver over etager Udskriv beregningsresultater x1 y1 x y t etager a0 Ankre h_etg y_wx W_x x_wy W_y Definer etagekonturer nr. (m) (m) (m) (m) (m) (antal) til basis (m) (m) (KN) (m) (KN) 1 0,00 0,00 0,00 4,80 0,4 4 1,5 1004 kn! 6 0,00 0 0,00 0 Definer lasttilfælde 7,0 4,00 7,0 7,60 0,4 4 1,0 734 kn 5 0,00 0 0,00 0 3 31,0 0,00 31,0,40 0,4 4 1,5 567 kn! 4 3,40 6,00 0 18,00 17 Lasttilf: 7, Vind: + W_y 4 0,00 4,80 3,60 4,80 0,4 4,0 3 3,40 6,00 0 18,00 197 7, Vind: + W_y 5 14,00 9,60 18,00 9,60 0,4 4,0 3,40 6,00 0 18,00 06 Etage 4 6 31,0,40 35,0,40 0,4 4,0 1 3,40 6,00 0 18,00 06 Vis vægplan: Etage 4 7 NB: se væg ved mrk.! 8-10 -5 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 9 5 10 11 0 1 13 14 15 15 16 5 10 17 W 18 4 5 19 1 6 0 1 11 78910 3 6 5 4 3 1 0 19 18 17 16 15 14 13 7 (0,0) 0 1-5 3 4 5-10 6 7-15 Generelle parametre for vægge Væg 1 Stabilitet af væg nr. 1 Rediger væg Godkend væg Nulstil vægge n_max = 1440 kn/m Maks. normaltryk s_max 6,00 Mpa Etage r_1 r_ p P1 P V T N n Egenvægtsfaktor _g 0,80 (m) (m) (kn/m) (kn) (kn) (kn) (kn) (kn) (kn/m) 6 0,00 0,00 0,0 0 0 0 0 0 0 5 0,00 0,00 0,0 0 0 0 0 0 0 Sag : Betonelementhuset 4 0,00 0,00 0,0 0 0 68 97 1440 Sag nr.: 0-101 3 0,00 0,00 0,0 0 0 78 166 316 1440 Init: JFJ 0,00 0,00 0,0 0 0 81 466 69 1440 1 0,0 0 0 81 1004 1305 1440 Figur 4-3: Beregningsprogram 108

5 SKIVESTATIK 5 Skivestatik 5.1 Dækskiver 5.1.1 Homogen huldækskive 5.1. Huldækskive beregnet ved stringermetoden 5.1.3 Eksempel Regneeksempel 5. Vægskiver 5..1 Vægopstalter 5.. Enkeltelementers skivestyrke 5..3 Eksempel Væg bestående af flere vægelementer 5.3 Beregningsprogram

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 5.1 Dækskiver Eftervisning af dækelementers evne til at overføre vandrette skivekræfter adskilles almindeligvis fra beregningen af dækelementerne for lodret last. For overskuelighedens skyld betragtes dækskiven i denne sammenhæng derfor som en selvstændig bygningsdel. Dækskivens fugearmering fastlægges ved beregningen for vind- og masselast. Dog vil det for bygninger, der i henhold til sikkerhedsnormen kræves at kunne modstå ulykkeslast, normalt være nødvendigt med yderligere fugearmering. Desuden skal der altid sikres en minimum sammenhængsstyrke i dækskiven i form af gennemgående armeringsforbindelser. Dette kan opnås ved, at der i alle fuger etableres gennemgående trækforbindelser, så der både i tvær- og længdesnit i den enkelte dækskive kan overføres en gennemsnitlig trækkraft på 15 kn pr. løbende meter af tværsnittet for normal konsekvensklasse og 30 kn pr. løbende meter af tværsnittet for høj konsekvensklasse. I randfugerne skal der altid indlægges en gennemgående randstringer rundt langs hele dækkets periferi. Denne randstringer bør normalt bestå af to armeringsjern, hvert med en diameter på mindst 1 mm. Ved alle stød i randstringeren bør fugearmeringen omsluttes af lukkede bøjler svarende til det sædvanlige krav om tværarmering for stød. Stødlængden bør mindst regnes som svarende til stød i samme snit, dvs. den normale forankringslængde øget med 50%. Anvendes fugearmering med f yk = 550 MPa, og regnes f ck = 0 MPa for fugebeton, fås stødlængder som anført i skemaet. Fugearmering Stødlængde Anbefalet tværarm. i randstringer Y1 800 mm 5 bjl R5/stød Y14 1000 mm 7 bjl R5/stød Y16 1100 mm 9 bjl R5/stød 110

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 I længdefuger er det som regel tilstrækkeligt at anordne fugearmering ved elementender, idet elementernes hovedarmering kan fungere som trækforbindelse. For at kunne regnes aktiv, skal fugearmeringen forankres effektivt ved elementende. Ved randfuger er det nødvendigt at støde en U-bøjle ind vinkelret på randfugen, således at fugearmeringen i randfugen er omsluttet af U-bøjlen. Y1 Randfuger Y1 Y1 Tværfuge Y1 U-bjl. Y10 Længdefuger 10x1, m U-bjl. Y10 Y1 Figur 5-1: 7.3.1/1 Fugearmeringsplan lan la Figur Figur 5-: 7.3.1/ Armeringsføring Armeringsføring ved længdefuge/randfuge ved længdefuge/randfuge 111

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK For at sikre en god forankring af fugearmeringen i dækelementernes forskydningszone under brand bør armeringen i længdefugerne mindst overholde følgende krav: a) Fugearmering skal altid mindst være Y1 i alle længdefuger, dog U-bøjler Y10 i alle længdefuger ved dækrande b) Fugearmeringen skal føres mindst l a = 1,5 m ind i længdefugen på hver side af tværfugen og ligge i et tilstræbt niveau omkring dækmidte. c) De to vandrette ben i U-bøjlerne, der omslutter randstringeren, skal føres mindst l a = 1,5 m ind i længdefugen og ligge symmetrisk om et tilstræbt niveau i dækmidte. Placeringen af fugearmeringen og dennes omstøbning skal sikres under udførelsen, eventuelt ved anvendelse af afstandsholdere. Ved ribbedæk kan dækskivens sammenhæng opnås ved hjælp af et armeret overbetonlag på dækelementerne, eller ved svejsesamlinger hvor svejsepladerne forankres med tværarmering i det enkelte element. 5.1.1 Homogen huldækskive I grundtilfældet betragtes en dækskive med jævnt fordelt vandret last w. Dækskiven forudsættes simpelt understøttet ved de to gavlvægge. W h L Figur 5-3: Dækskive 11

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Dækelementerne regnes i dette tilfælde at spænde fra facade til facade. Momentet ved skivemidte er M w L 8 og regnes med en indre momentarm på z = 0,9 h skal randstringeren i facadefugen således kunne optage en træk kraft af størrelsen N at wl Nc 8 z Den tilsvarende trykkraft i toppen af skiven skal kunne overføres som et jævnt fordelt tryk vinkelret på dækelementerne, svarende til at N c fordeles over en trykzonehøjde y = 0, h. W C L V I 0,1 h 0,1 h Nc 0,9 h ½ L N at Figur 5-4: Snitkræfter i dækskive Ved forskydningsundersøgelsen deles skiven op i et passende antal felter, og hvert felt undersøges for sig. 113

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK W C L V I Felt I Felt II Figur 5-5 1 4 L 1 4 L I det viste eksempel deles hver halvdel af dækskiven op i to felter, I og II. Da en væsentlig del af skivelasten, w, kan virke som et træk i læsiden, dimensioneres hvert felts forskydningsarmering for den maksimale forskydningskraft, der optræder i feltet. Disse kræfter er for henholdsvis felt I og II: V I,max wl wl VI I,max 4 Forskydningsarmeringen, der udgøres af fugearmeringen mellem dækelementer, dimensioneres efter diagonaltrykmetoden, jfr. betonnormen, idet der anvendes cot 1. Med den indre momentarm z skal fugearmeringen i felt I dermed kunne optage følgende trækkraft pr. længdeenhed i et snit parallelt med facaden: n I t VI,max wl z cot z Med dækelementbredden b giver dette et fugearmeringsareal pr. dækfuge på A I t wlb zf yd hvor f yd er fugearmeringens regningsmæssige flydespænding. 114

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Eventuelt kan fugearmeringen koncentreres som A t i hver anden fuge. I de fleste tilfælde er dækelementernes hovedarmering tilstrækkelig til også at kunne fungere som skivens forskydningsarmering. Der skal så blot sørges for U- bøjleforankringer ved fugeender og for stødjern over tværfuger. I felt II i det viste eksempel kræves kun halvt så meget fugearmering som i felt I. Også forskydningsoverførslen mellem to dækelementer skal undersøges. I det viste eksempel er det i denne forbindelse igen V I, der er dimensionsgivende. Uafhængigt af dækelementtypen må den dimensionerende forskydningskraft i en dækfuge eller dæk-element ikke overstige 5 kn/m. Denne værdi opnås næsten uden armering, når kohæsionsbidraget tages i regning. Det anbefales dog altid, at støbeskellet armeres for en kraft på 5 kn/m. Armeringen af støbeskellet på 5 kn/m må godt bruges til bøjning, brand og robusthed. A f s h yd 5 kn / m I flerskibsbygninger, hvor to dækelementender støder op til en tværfuge, skal stringerarmeringen dimensioneres svarende til det samlede bidrag fra de to dækelementer. V V Asf yd 1 A 1 sf yd + A sf yd Asf yd Figur 5-6: Armering i tværfuge ved ét- og ved flerskibsbygninger 115

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK W g (As + A ' s)f yd As f yd h Hårnålebøjler ved stød Figur 5-7: Forhold ved gavl (As + A ' s)f yd Til den ovenfor beregnede værdi af A s skal der ved gavle lægges et bidrag ' A s : hw ' g s f yd A hvor w g er resultanten på dækskiven for vindens sug på gavlen. Armeringskraften (A s + A s) f yd skal være effektivt forankret ved gavlhjørner, hvilket sædvanligvis sikres ved hjælp af en vinkelbøjle i gavlhjørnet. Dækskiven bør normalt ikke designes med en smal breddevariant i dækket liggende helt ud til en gavl eller tilsvarende. Dette skyldes, at det yderste dækelement skal virke som en vandret bjælke. Bjælken skal dels optage normaltrykket i fugen ind mod næste dækelement stammende fra forskydningsoverførslen (A s f yd ), dels eventuelt vindsug (A sf yd ). Se figur 5-7. Uden for designet af selve dækskiven ligger en eftervisning af, at de vandrette reaktioner kan overføres fra dækskive til vægskiver. Dette emne behandles i afsnit 5.. 116

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 5.1. Huldækskive beregnet ved stringermetoden Skiver med mere kompleks geometri må opdeles i regulære felter, der hver for sig kan designes ved hjælp af metoderne fra den homogene dækskive. Her er stringermetoden i en udgave baseret på plasticitetsteorien et effektivt hjælpemiddel. Ved denne metode inddeles skiven, eller en del af skiven, i en række rektangulære felter med et net af stringere. Stringerne er idealiserede træk-/trykstænger og de rektangulære felter mellem stringerne betragtes som rene forskydningsmembraner. Ofte er det kun en del af skiven, der undersøges ved hjælp af stringermetoden. Eksempelvis, hvis den midterste del af skiven er homogen, kan skiven på midterstrækningen designes for moment og forskydning på sædvanlig måde. Siden designes så gavlsektionerne for sig, hvor der for eksempel kan være tale om større skakthuller. Q Q Figur 5-8: Dækskive med huller I de sektioner, der skal undersøges ved hjælp af stringermetoden, vil det normalt være en stor beregningsmæssig hjælp at regne med sektionens maksimale forskydningskraft konstant over hele sektionen. Dette vil ikke føre til væsentligt merforbrug af fugearmering. 117

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tilsvarende kan det være en fordel at tegne nogle af de rektangulære felter lidt mindre end de egentlig er, hvis der derved kan vindes symmetri i sektionens opdeling. Ved opdelingen nummereres alle stringerne (1,, 3... og a, b, c...) og alle forskydningsmembranerne (I, II, III...) a a a d S d 0 b I II III b c b Q IV V Q b VI VII VIII a 1 3 4 S a 0 Figur 5-9: Stringersystem Stringerkræfterne, S, regnes konsekvent positive som træk, og for forskydningsspændingerne i forskydningsmembranerne regnes med den sædvanlige fortegnskonvention for forskydningsspændinger. 118

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 S S Figur 5-10: Fortegnsdefinition Mellem forskydningsmembraner og stringere sker kraftoverførslen ved ren forskydning. II III II III b Figur 5-11: Beregning af kræfter i stringer S = b( III - II ) For den udskårne sektion af dækskiven opstilles den over ordnede ligevægt. Forudsættes kraften i stringer b og c at være lig med nul ved krydset med stringer 4, fås S 3 Q 5b a 0 S a d 0 Herefter kan ligningerne, til bestemmelse af forskydningsspændingerne i forskydningsmembranerne opstilles. Dette gøres ved at opstille forskydningsligevægt for hver af de viste snit (A, B, C og X, Y, Z). 119

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK X Y Z b A I II III 3a 5b Q Q b B IV V Q b C VI VII VIII 3a 5b Q Figur 5-1: Indlagte snit a a a Disse ligevægte giver i det viste eksempel, når membrantykkelsen sættes til t = 1: I II III 3a A: a a a Q 5 b IV V 3a B : a a Q 5b C: VI VII VIII 3a a a a Q 5b X : I IV a a VI a Q Y : II VII a a Q Z : III V VIII a a a Q Disse ligninger er ikke lineært uafhængige. Der vil altid være én ligning for meget, når den ydre ligevægt er opfyldt. Dette kan indses ved at betragte en situation med kun ét membranfelt. 10

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 De to påførte stringerkræfter sikrer momentligevægten af feltet, Forskydningsligevægt i snit A og X giver da enslydende Q 1 b hvilket svarer til den sædvanlige betingelse for forskydningsspændinger, xy yx X' A' Q' Q' a' b' Q' b' a' b' Q' a' Figur 5-13: Situation ved ét membranfelt Af de seks ligninger i eksemplet er der således kun fem uafhængige. Da der er otte ubekendte forskydningsspændinger vælges de tre derfor frit. Ved regulære skiver vil det ofte være bekvemt at vælge de ubekendte forskydningsspændinger svarende til felterne beliggende langs to naborande som antydet ved skravering nedenfor. Hermed kan de ubekendte forskydningsspændinger sædvanligvis findes uden at kræve løsning af et egentligt ligningssystem. 11

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK I II III IV V Figur 5-14: Forslag til valg af felter med uafhængige ubekendte VI VII VIII Vælges eksemplets forskydningsspændinger i område I, II, III, IV og VI som ubekendte skønnes først de resterende tre forskydningsspændinger: V VII VIII Q 0,30 b Q 0, 5 b Q 0, 0 b Som overtallig ligning vælges nu forskydningsligevægten i snit X, der går gennem flere felter med ubekendte forskydningsspændinger. Også snit A går gennem flere felter med ubekendte forskydningsspændinger og løses derfor til sidst. De resterende fire ligninger løses nu let: B: IV Q a IV Q a a0,3 0, 6 Q 0,30 b b b C: VI Q Q a VI Q a a0, 5 a0, 0, 6 Q 0,15 b b b b Y : II Q VI Q b b0, 5 Q 0, 5 b b III Q Q III Q Z : b b0,30 b0, 0 Q 0,15 b b b 1

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Hermed løses også den sidste ligning let: I Q Q a I Q A: a a0, 5 a0,15 0,6 Q 0,0 b b b b I ligning X kan de fundne forskydningsspændinger eventuelt indsættes som kontrol. Fordelingen af forskydningsspændingerne bliver da i alt som vist på figuren: - 0, - 0,5-0,15-0,3-0,3-0,15-0,5-0,0 Figur 5-15: Forskydningsspændinger, faktor Q/b De skønnede forskydningsspændinger kan give uforholdsmæssigt store værdier for enkelte af de ubekendte ved løsning af ligningerne. I så fald kan det vælges at ændre på nogle af de skønnede værdier, og derefter prøve om løsning af ligningerne fører til en gunstigere fordeling af forskydningsspændingerne. Nu kan stringerkræfterne bestemmes. Dette gøres sikrest ved at opstille ligevægt sektion for sektion for hver stringer. 13

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK S = 0-0, - 0,5 I II - 0, - 0,5 S = b[-(-0,)+(-0,5)] Q = -0,1Q b - 0,3 IV - 0,3 Q S = -0,1Q+b[-(-0,3)] = 0,Q b - 0,15-0,5 VI VII - 0,15-0,5 Q S = 0,Q+b[-(-0,15)+(-0,5)] = 0 b Figur 5-16: Kraftbestemmelse i stringer Den sidste bestemmelse af S = 0 fungerer som kontrol af randbetingelsen for stringeren. For oversigtens skyld tegnes stringerkræfterne op som vist, idet det for stringer 4's vedkommende bemærkes, at kraften V forudsættes ophængt nederst i strin- 14

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 geren, svarende til at denne stringer virker som vederlag for den resterende dækskive ind mod midten. 1 3 4 d -0,1 0, 0, -0,1-0,1 0,15 0,15-0,1-0,6 c b +0,6 Faktor Q 1,0 Faktor a b Q a Figur 5-17: Optegning af stringerkræfter Stringer 1 er forudsat kraftfri, idet forskydningskraften fra membranerne I, IV og VI regnes ført direkte ind i vægskiven i gavlen. I fugerne indlægges fornøden armering til at optage de beregnede stringerkræfter. Hertil skal så yderligere indlægges fugearmering i hvert af felterne I-VIII svarende til reglerne for en homogen dækskive med V t h hvor er den beregnede forskydningsspænding i det enkelte felt. Membrantykkelsen, t, var i eksemplet sat til 1. 15

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 5.1.3 Eksempel Regneeksempel Ø V b 1 = 6,0 m b = 4,8 m W d = 3,0 kn/m,4 m L = 43, m Figur 5-18: Dækskive En bygnings etageplan er som vist på figuren, hvor vind på tværs af bygningen føres ud til gavlene via dækskiven. Dækelementerne spænder fra facade til facade, dog ved skakt fra facade til længdeskillevæg. Fugearmeringen skal fastlægges, idet der overalt anvendes armering med flydespænding 550 f yk 550MPa f yd 458MPa 1, og idet der forudsættes normal kontrolklasse. Armeringsjern betegnes ved Yaa, hvor Y angiver armeringskvaliteten og aa jernets diameter i mm. Som randstringer anvendes Y1 hele vejen rundt om dækskiven. Denne randstringer har armeringsarealet As 6mm 16

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 og dermed en regningsmæssig trækstyrke på S A f 104kN ud s yd Robusthed I et snit på tværs af dækskiven kan der således optages en gennemsnitlig trækkraft af størrelsen n ud Sud 19, kn / m b b 1 OK Moment Moment ved skivemidte kræver optagelse af en trækkraft i randstringeren: wd L S d 7kN Sud 8 0,9 ( b b ) 1 OK Forskydning Ved gavl Ø kræver forskydningsoverførslen i dækskiven, at der etableres tværgående forskydningsarmering pr. dækelement svarende til A t 0,5 wd Lb 0,9 ( b b ) f 1 yd 17,4 mm² / dækfuge hvor der regnes med dækelementbredden b = 1, m. Der indskydes U-bøjler, Y10 i hver fuge mellem dækelementerne, så randstringeren omsluttes af U-bøjlerne. Disse har armeringsarealet A 157 mm² / dækfuge At 17

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK U-bøjlerne overfører trækkraften til dækelementerne. Med så beskedent behov for tværarmering som i det aktuelle tilfælde, kan der regnes med at dækelementernes hovedarmering sikrer den nødvendige tværforbindelse mellem facaderne. Støbeskel Den maksimale forskydningsoverførsel er størst ude ved gavlen. Hvis forskydningskraften her er mindre end 5 kn/m, kan støbeskellet overføre lasten, såfremt støbeskellet armeres for 5 kn/m. 0,5 w d L As fyd 6 kn / m 5 kn / m 5 kn / m b b b b 1 1 hvilket giver: A f 7,0kN s yd Forankring af gavl På gavlen forudsættes samtidig et vindsug svarende til et udadrettet træk i dækskiven af størrelsen wg 3, 5 kn / m Dette giver et bidrag til randstringerens mindste trækkapacitet på A f 0,5 w ( b b ) 17,6kN s yd g 1 Kombineret støbeskel og forankring af gavl Nær bygningshjørnet skal randstringeren dermed i alt kunne optage en trækkraft af størrelsen ( A A ) f 44,6kN s S yd 18

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Der indlægges Y1 hjørnejern i hvert bygningshjørne for at sikre randstringerens forankring. Gavl V Ved gavl V undersøges dækskiven ved hjælp af stringermetoden. 1 3 S c 0 c I II b 1 = 6,0 Q d b III b = 4,8 S a 0 a Q d a 1 = 4,8 a = 3,6 Figur 5-19: Stringersystem Der regnes med konstant værdi af forskydningskraften over hele området: Q d 0,5 w L64,8kN d Momentligevægt giver da: S S a 0 a 0 Qd ( a1a) 50,4kN b b 1 50,4kN 19

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Lodret forskydningsligevægt i snit gennem område II: II Qd 10,8 kn / m b 1 Vandret forskydningsligevægt i snit gennem område III: a III Ss 10,5 kn / m a 1 Lodret forskydningsligevægt i snit gennem område I og III: I Q b III d 1 b, 4 kn / m Som overtallig ligning er således valgt vandret forskydningsligevægt i snit gennem område I og III. Forskydning (Gavl V) Største forskydningsspænding optræder i område II. Der kræves her tværgående forskydningsarmering pr. dækelement svarende til A t II b 8 mm² / dækfuge f yd U-bøjlerne Y10 udgør således også her sammen med dækelementernes hovedarmering tilstrækkelig tværforbindelse i bygningen. 130

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Stringer 1 I modellen fordres stringer 1 at kunne optage hele forskydningskraften. Dette kræver armeringsarealet Qd A1 141mm f yd Der indlægges 1Y16~01 mm² i den pågældende fuge. Stringer Stringer skal ved krydset med stringer b kunne optage en trækkraft af størrelsen b III S b 50,4kN hvilket også kunne findes som S b b1 ( II I ) 50,4kN Dette kræver et armeringsareal på A t b S 110 mm ² f yd Der indlægges Y16~01 mm i den pågældende dækfuge. Bemærk at stringer netop er flyttet en dækelementbredde ind fra skakten for at sikre denne stringers forankring i en sædvanlig dækfuge. 131

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Stringer b Stringer b skal i krydset med stringer optage en trækkraft på II Sb a 38,9kN svarende til armeringsarealet: A b s s Sb 85 mm ² f yd Fugearmering ved stringer Hertil skal lægges fornøden armering til også at sikre optagelse af de tværgående forskydningskræfter langs stringer. Uanset størrelsen af forskydningskræfter, skal støbeskellet armeres for 5 kn/m III AS fyd III III 10,5 kn / m 5 kn / m 5,0 kn / m AS 6 mm² b svarende til bidraget fra den nederste del af dækskiven og I AS fyd III III, 4 kn / m 5 kn / m 5, 0 kn / m AS 33 mm² b 1 fra den øverste del af dækskiven. I fugen ved stringer skal således mindst ligge en fugearmeringsmængde af størrelsen b I III A A A A 144 mm² b s s s Der indlægges Y1 ~ 6 mm. 13

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Også forskydningskraftoverførslen i etagekrydsene ved gavlene skal sikres. Se nærmere i afsnit 10.. Vedrørende fastholdelse af gavlen for vindsug i denne ende af bygningen bemærkes at kræfterne, der skal overføres til fugearmeringen, på grund af længdevæggen bliver væsentlig mindre end i modsatte bygningsende. Y1 Y1 Y16 Y16 Y1 Y1 Y1 U-bjl Y8 10 Stød 5 bjl R5 1500 800 Stødjern Y1 3000 Hjørnejern Y1 1000 1000 Figur 5-0: Stringersystem Eksempel slut 133

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 5. Vægskiver Beregning af vægskiver omfatter i denne sammenhæng undersøgelse af kraftforløbene i skivens plan. For beregning af de enkelte vægelementers søjlestyrke henvises til kapitel 8. Skiveundersøgelserne kan dels dreje sig om hele vægopstalter, dels om enkeltelementer med komplekse understøtnings-, belastnings- eller udsparingsforhold. 5..1 Vægopstalter Der betragtes en vægopstalt med vandrette og lodrette laster som vist. De vandrette laster H er reaktionerne på væggen fundet ved den vandrette lastfordeling. q H 1 e 1 V 1 G V' 1 H H 3 H 4 Figur 5-1: Skivekræfter på væg 134

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 De lodrette laster G er de enkelte vægges egenvægt, og de fordelte laster q er belastningen fra de enkelte etagedæk. I mange tilfælde vil den farligste lastkombination svare til maksimal vandret last samtidig med minimal lodret last. Andre lastkombinationer kan være farligere. Eksempelvis hvis væggen er hårdt udnyttet som søjle, eller hvis der er dørhuller i den ene side. Da vil det også være relevant at undersøge forholdene for vandret last sammen med maksimal lodret last på en del af, eller eventuelt hele konstruktionen. Sådanne vægges sikkerhed mod væltning kan være forskellig i de to retninger. På opstalten er vist nogle lodrette laster V. Disse svarer til eventuel kraftoverførsel mellem den betragtede væg og nabovægge. min q max q G Figur 5-: Vægelement med destabiliserende lodret last over dørhul q 1 H 1 element 1 V1' V 1 G 1 H q element V' V G T Figur 5-3: Stabilitetsundersøgelse N ' x A 135

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Stabilitetsundersøgelsen omfatter principielt følgende punkter, a-e, for hvert H * i enkelt element i opstalten, hvor og betegner den resulterende vandrette forskydningskraft og den resulterende ydre normalkrat på elementet: a: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelementet og ovenliggende dæk. Dette støbeskel regnes normalt glat, så for element 1 vist på figur 5-3 fås: H ( N A f ) F, N G q 1 L * 1 1 t yd 1 1 N i Her er friktionskoefficienten i støbeskellet µ = 0,5, N 1 er den samlede ydre normalkraft, der kan regnes til gunst i støbeskellet, A t f yd er et normalkraftbidrag fra opragende bøjler eller anden effektivt forankret armering gennem støbeskellet, og ΔF er et eventuelt bidrag til forskydningskapaciteten fra dorne etc. i elementets overside. Se nærmere i afsnit 10.. b: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement et og underliggende dæk svarende til det i pkt. a gennemgåede. Hvis der i pkt. a ikke er medregnet bidragene µ A t f yd eller ΔF, kan pkt. b normalt springes over. Eller skal det normalt eftervises at: H N, N q L * 1 1 1 1 c: Væltningsundersøgelse i snittet mellem vægelementet og underliggende dæk Dette foretages eksempelvis som vist for element ved at opstille momentligevægtsligning omkring punkt A, idet x er afstanden fra punktet A til resultanten af den samlede normalkraft i snittet svarende til den undersøgte lastkombination. Normalkraften N kan som regel regnes jævnt fordelt over længden x målt fra punktet A svarende til linjelasten: n N x Denne linjelast må hverken overstige elementets søjlestyrke eller trykstyrken af etagekrydset. 136

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 I visse tilfælde kan væltningssikkerheden øges ved hjælp af en lodret armering, der kan overføre en trækkraft T til den underliggende konstruktion. Det skal da sikres, at den underliggende konstruktion kan optage trækkraften T. Den lodrette armering i væggene kan etableres ved hjælp af stigbøjlesamlinger eller ved hjælp af armering indstøbt i korrugerede rør indstøbt i elementerne. I indledende beregninger er det en fordel at regne forankringskraften placeret i væggens midterlinje. Herved har man efterfølgende mulighed for en central forspænding af væggen, samtidig med at en slap trækforankring ved elementets kant er på den sikre side, da det giver mindre normalkraft. Hvis trækforankring er nødvendig kan for trykzonen i væggens underside regnes med en fuld udnyttelse af væggens eller etagekrydsets bæreevne n i over bredden x. Lodret ligevægt medfører, at reaktionen i trykzonen øges i forhold til den lodrette normalkraft i væggen: * * Ni Ni Ti ni xi Ti Ni N i Hvorefter moment om punkt A giver N * i L L M ni 4 ni ih Hvor M ih er det væltende moment d: Styrkekontrol af samlingerne ved eventuel kraftoverførsel mellem vægelementer.herunder også kontrol af at kræfterne V kan føres videre i nabovæggene. e: Kontrol af elementets egen skivestyrke. Se nærmere i det følgende. Det kan fra tilfælde til tilfælde variere meget, hvor mange af de beskrevne undersøgelser det er nødvendigt at gennemføre for hvert enkelt element. 137

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 5.. Enkeltelementers skivestyrke For massive vægelementer, der indgår i de stabiliserende vægge, er der to hovedtilfælde. I første hovedtilfælde overføres al lodret last i etagekrydsene, hvor også de vandrette laster overføres til elementet. Under forudsætning af at sikkerheden mod væltning er tilfredsstillende alene ved udnyttelse af konstruktionens egenvægte (G og q), kan kræfterne altid føres ned som rent tryk gennem elementet uden at fremkalde brud. I det andet hovedtilfælde overføres der lodrette kræfter langs elementets sidekanter. I så fald er det nødvendigt at indlægge særlig skivearmering i elementet, da der ellers kan optræde væltning i forbindelse med trækbrud i betonen. Skivearmeringens udformning afhænger af, hvorledes de lodrette kræfter V føres ind i elementet. Overføres kræfterne via udragende hårnålebøjler med låsejern i de lodrette vægfuger kan skivearmeringen bestå af simple armeringsnet, der kan overføre trækkræfterne i hårnålebøjlerne, som skal føres mindst en forankringslængde ind i elementet. Hvis kræfterne V føres ind i elementet via stigbøjlesamlinger eller lodret stødarmering indstøbt i korrugerede rør, indlægges der normalt særlig lodret armering, hvortil kræfterne regnes overført. Endvidere indlægges U-bøjler omkring denne lodrette armering for at sikre, at kræfterne kan drejes ned mod elementets fodpunkt. Endelig indlægges simple armeringsnet for at føre kraften T = V cotθ på tværs over til den modsatte side af skiven, hvor forankringen af kraften T modsvares af en drejning af trykkraften ned gennem elementet. 138

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 Figur 5-4: Første hovedtilfælde x x V' V Figur 5-5: Brudrisiko ved andet hovedtilfælde T V T V Figur 5-6: Indre kræfter i andet hovedtilfælde VT 139

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Ved mere komplekse elementgeometrier kan stringermetoden anvendes til at analysere elementet. Dette kan både være aktuelt for elementer, der indgår i stabiliserende vægge, og for selvbærende vægskiver der virker som høje bjælker. Forskydningsspændinger og stringerkræfter findes som beskrevet i afsnit 5.1. Stringermetodens styrke består i at være en rationel måde at angribe opgaven på. Ofte vil arbejdet med stringermodellen føre frem til, at man kan gennemskue en simpel statisk virkemåde for elementet. For vægelementerne knytter der sig nogle særlige forhold til anvendelsen af stringermetoden. Først og fremmest må stringerne indlægges i passende afstande fra elementrande og udsparinger. En afstand mellem stringer og fri kant på ca. 10 % af forskydningsfelternes størrelse vil ofte være passende. Hvis afstanden mellem to parallelle stringere bliver forholdsvis lille, kan det være rimeligst at slå de to stringere sammen til én. Dette kan eksempelvis være tilfældet ved vinduesoverliggere med klemt geometri. De ydre kræfter på elementet ækvivaleres med enkeltkræfter, der angriber langs stringerakserne. Dette betyder, at vinduesoverliggere mv. skal undersøges særskilt, når det overordnede kraftforløb i elementet er bestemt via stringer metoden. I det viste tilfælde er stringerne indlagt, så der dannes 8 forskydningsfelter. Der kan opstilles i alt 7 ligninger svarende til forskydningsligevægt i snittene A, B, X, Y, Z, Æ, Ø. Da der altid er én overtallig ligning, må der arbejdes med 6 ubekendte forskydningsspændinger. 140

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 X Y Z Æ Ø P 1 P P 3 P 4 P 5 P 6 a H 1 3 4 5 6 B I II III b 1 b A IV V VI VII VIII c a 3 Figur 5-7: Vægskive med stringersystem For eksempel kan det vælges at skønne forskydningsspændingerne i felterne II og III. Er der nogenlunde symmetri i den lodrette belastning, vil det i et tilfælde som det viste normalt give rimelige løsninger hvis man sætter II H a 3 hvilket giver en god udnyttelse af felt II. III For felt III vil en positiv værdi af modsvare opbygning af en trykkraft i den III øverste, vandrette stringer. Vælges = 0, vil situationen svare til at kun vægdelen mellem de to nederste stringere medvirker ved overføring af lodret last ud til understøtningerne. 141

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK a III III Figur 5-8: Forhold i øverste hjørne For III kan vælges størrelsen III P5 T b 1 hvor T er trækkapaciteten af stringer 5. Dette valg vil netop svare til fuld udnyttelse af stringer 5 ved det nederste vindueshjørne. P 5 5 III b 1 Figur 5-9: Udnyttelse af stringer 5 T III De resterende forskydningsspændinger findes nu af ligevægtsligningerne. Det vil være bekvemt at vælge ligningen svarende til forskydningsligevægt i snit A som 14

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 overtallig og at løse ligningen svarende til snit X sidst. De øvrige snit går hver især netop gennem et felt med ubekendt forskydningsspænding. t Tryktværsnit Figur 5-30: Udnyttelse af trykstringer Fri rand Stringerakse Der indlægges trækarmering til optagelse af positive stringerkræfter. For negative stringerkræfter kontrolleres det, at et symmetrisk betontværsnit indlagt omkring den teoretiske stringerakse kan optage de tilsvarende trykspændinger. Til optagelse af forskydningsspændingerne i felterne kan indlægges jævnt fordelt armering, der dimensioneres efter diagonaltrykmetoden med cot 1. N b N t N b s Figur 5-31: Forskydningsarmering i felt N t s Med afstanden a mellem armeringsjernene kræver vandret ligevægt at Nt Nb cos 143

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK medens lodret ligevægt kræver Nb sin a Af disse to ligninger fås N t cot a N a for cot 1 t Med cot 1 skal forskydningsarmeringen kunne optage samme kræfter i lodret og vandret retning. N t kan fordeles på ét eller to armeringsnet efter ønske. Det er yderst vigtigt, at forskydningsarmeringen forankres effektivt. Det kan enten gøres ved at udforme forskydningsarmeringen som bøjler, der omslutter stringerne, ved at støde forskydningsarmeringsjernene med U-bøjler der omslutter stringerne, eller ved at føre forskydningsjernene en forankringslængde l a ud over de felter hvor den er aktiv. Eksempelvis som vist på figuren, U-bøjle Figur 5-3: Eksempel på armering af felt Lukket bøjle hvor forskydningsarmeringen i et felt under et vindue udgøres af lukkede bøjler i lodret retning og af U-bøjler i vandret retning. 144

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 5..3 Eksempel Væg bestående af flere vægelementer Eksemplet benytter beregningsmetoden i afsnit 5..1 og behandler en stabiliserende væg, der som vist på figur 5-33 er belastet af nedenstående regningsmæssige laste: i [-] 1 3 4 h i [m] 3,6 3,6 3,6 4,0 q i [knm] 15 15 15 15 Q i [kn] 93,3 93,3 93,3 103,6 H i [kn] 70 50 50 50 H 1 H H 3 Element 1 Element Element 3 G 1 G G 3 q 1 q q 3 h 3 = 3,6m h = 3,6m h 1 = 3,6m H 4 Element 4 G 4 q 4 h 4 = 4,0m L = 4,8m Figur 5-33: Stabilitetsundersøgelse eksempel 145

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK a: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement og overliggende dæk Støbeskellet mellem vægelement og overliggende dæk skal undersøges for forskydning. Det ses nedenfor, at støbeskellet for element 3 og 4 kan holde uarmeret, og at element 1 og skal armeres. For beregning af etagekryds henvises til afsnit 10.. H H 70 * 1 1 N q L15 4,87kN 1 1 H N 0,5 7 36 kn Støbeskellet skal armeres * 1 1 H H H 70 50 10kN * * 1 N N G q L7 93,3 15 4,8 37kN 1 1 H N 0,5 37 119kN Støbeskellet skal armeres * H H H 10 50 170kN * * 3 3 N N G q L 37 93, 3 15 4,8 403kN 3 3 H N 0,5 403 01kN Bæreevne OK * 3 3 H H H 170 50 0kN * * 4 3 4 N N G q L40393,3 15 4,8 568kN 4 3 3 4 H N 0,5 568 84kN Bæreevne OK * 4 4 b: Forskydningsundersøgelse i støbeskellet mellem vægelement og underliggende dæk Støbeskellet mellem vægelement og underlæggende dæk skal ligeledes undersøges for forskydning. Det ses nedenfor, at alle støbeskel kan holde uarmeret. N G q L 93, 3 15 4,8 165kN 1 1 1 H N 0, 5 165 83 kn Bæreevne OK * 1 1 N NG q L 165 93, 3 15 4,8 331kN 1 H N 0,5 331 165kN Bæreevne OK * 146

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 N N G q L 33193, 3 15 4,8 495kN 3 3 3 H N 0,5 496 48kN Bæreevne OK * 3 3 N NG q L 37 103, 6 15 4,8 67kN 4 3 4 4 H N 0, 5 67 336kN Bæreevne OK * 4 4 c: Væltningsundersøgelse. Hver enkelt væg skal undersøges for væltning. For væg element 1 og ses, at det ikke er nødvendigt at forankre væggene. For element 3 og 4 skal elementerne forankres, derfor indledes beregningerne for element 3 og 4 direkte med at bestemme forankringskraften, der regnes at virke i midten af elementet. M ½NL½ 165 4,8 397 knm (Stabiliserende moment) 1N 1 M Vh 70 3, 6 5kNm 1H 1 1 N H x M M / N 397 5 /165 0,875m 1 1 1 n N / x 165/ 0,875 94 kn/ m 1 1 M ½NL½ 331 4,8 793kNm N H 1H 1 1 N H (Væltende moment) 10 MPa 50mm 500 kn / m OK M M Vh 5 10 3,6 684kNm x M M / N 793684 / 331 0,331m n N / x 331/ 0,331 499 kn / m 10 MPa 50mm 500 kn / m OK n 10 50 500 kn / m 3 M M V h 684 170 3,6 196kNm 3H H 3 3 * L L M 3H 4,8 (4,8) 196 N3 n3 500 567 4 n 3 4 500 T N N 567 496 71 * 3 3 3 * 1 N3 1 567 x3 0,113 n 500 3 147

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK n 4 10 50 500 kn / m M M V h 196 0 4, 0 176kNm 4H 3H 4 4 * L L M 4H 4,8 (4,8) 176 N4 n4 500 988kN 4 n 4 4 500 T N N 988 67 316kN * 4 4 4 * x M M / N 371176 / 988 0,198m 4 4N 4H 4 Sikres trækforankringen ved forspænding vil resultanten ofte være placeret midt i væggen, da væggene skal kunne optage last i begge retninger. Benyttes derimod slap armering vil man ofte kun regne armeringsstangen i den ene side aktiv. Sikres det her at momentkapaciteten for denne forankring er den samme som momentkapaciteten for den centralt placerede forankring, er løsningen på den sikre side, da normalkraften bliver mindre end beregnet ovenfor. For element 3 og 4 kan der således alternativt vælges at benytte slap armering, som placeres 0,5 m fra elementets rand. Herved findes den nødvendige trækarmering som T T 3a 4a T ½L x ½ 4,8 0,11 3 3 71 kn 39kN 1Y1 La3a x3 4,8 0,5 0,11 ½L x ½ 4,8 0,19 4 ( T4 T3) (316 71) kn 131kN 1Y5 La4a x4 4,8 0,5 0,19 d: Styrkekontrol af samlingerne ved eventuel kraftoverførsel mellem vægelementer Den nederste vægs højde på 4,0 m vil medføre, at væggen ofte skal leveres i to dele, såfremt det er en elementvæg. Det lodrette støbeskel i væggen skal derfor eftervises. 148

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 a 4b a 4a V 4a V 4b T N H 4a H 4b Element 4a Element 4b L 4a L 4b B h 4 A Støbeskel L/ L/ Figur 5-34: Lodret støbeskel i stabiliserende væg Elementet er påvirket af følgende lodrette laste. V 4a 131kN N ½( G q L) ½(103, 6 15 4,8) 88kN 4b 4 4 149

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Den vandrette last fordeles således, at den skrå trykresultat rammer den lodrette trykresultant i bunden af væggen se figur 5-34. La x 4,8 0,5 0,19 4a 4 H4a T4a 131 135k h4 4,0 La x 4,8 1, 0,19 4b 4 H4b N4b 88 75kN h4 4,0 N De to tryklinjer rammer støbeskellet i punkterne A og B, der målt fra toppen af elementet har afstanden L 4a og L 4b. L L 4a 4b 131 1, 9 1,84 m 135 88 1, 1, 41m 75 Den fælles trykresultant er placeret i afstanden e res fra toppen. eres 135 1,84 75 1,41 1, 69 m 135 75 Den effektive højde, som støbeskellet kan regnes at virke over, er: l eff eres min 3,39m ( h eres ) Det fortandede areal vurderes at være ca. 0,5 x 50mm x 3,39m svarende til 84.740mm². Herved er støbeskellet belastet af følgende laster: (135 75) / 84740,58MPa v n Ed (13188) / 84740, 47MPa Herved findes forskydningsbæreevnen af det fortandede støbeskel uden armering til 150

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Skivestatik 5 v cf f 0,5 f, Rd cdt n yd cd 1,1 0 v Rd 0,5 0,9,58 0 0,5 1, 45 0 1, 45 v 0,38,3, 70MPa3, 08MPa Rd f ck Herved kan det ses, at bæreevnen af støbeskellet er tilstrækkelig uden armering idet v Ed v Rd, 47MPa,70MPa e: Kontrol af elementets egen skivestyrke Skivestyrke af element 1, og 4b er i orden, da der er rent tryk i elementet. For element 3 og 4a, der trækforankres, skal der, jævnfør figur 5-5 indlægges en armeringsstang i toppen eller et net, der sikrer, at element ikke bryder. Dette sikres ved at indlægge følgende armering. Element 3 4,8 0,5 0,11 Tv,3a T3 a cot3 39 45kN Y10 3, 6 Element 4 T T cot H 135kN Y16 v,4a 4a 4a 4a Da element 4 er delt af en lodret fuge, skal der i etagekrydset over element 4 mindst indlægges en tilsvarende fugearmering, Y16, som fører kraften T 4a vandret hen over den lodrette fuge. Eksempel slut 151

5 Skivestatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 5.3 Beregningsprogram Nedenfor ses et udsnit fra den del af udskriften fra stabilitetsprogrammet på www.bef.dk, der vedrører vægskivernes stabilitet. Det er samme program, som er introduceret i afsnit 4.3, der således i tilknytning til den vandrette lastfordeling automatisk foretager en beregning af vægskivernes stabilitetsforhold, og herunder bestemmer eventuelt nødvendige lodrette forankringskræfter. Sammenlignes med eksemplet i afsnit 5.. ses umiddelbart at være overensstemmelse i beregningen af forankringskræfterne, T, og at trykzonebredderne, b_ = x også stemmer overens. H_i-1 Lastvirkningerne H_i regnes positive i retningen fra væggens endepunkt (x1, y1) mod endepunkt (x, y) V1 V For hver etage skal defineres følgende H_i p: stabiliserende linielast på væg excl væggens egenlast V1: lodret, last ved endepunkt (x1, y1) V: lodret, last ved endepunkt (x, y) (x1,y1) (x,y) Ved H_i > 0 virker V1 stabiliserende og V destabiliserende Ved H_i < 0 virker V stabiliserende og V1 destabiliserende Ved H_i > 0 overføres trykresultanten N (normalt) over længden b_ T N Ved H_i < 0 overføres trykresultanten N (normalt) over længden b_1 b_1 b_ T er den samlede, nødvendige lodrette trækforbindelse - symmetrisk i kontaktflade ned mod underliggende væg. Længden af kontaktfladen betegnes L_eff. Væg Etage h t r_1 r_ L_eff H_i H_i* G q V1 V T N b_1 b_ n n_max nr. 1 (m) (m) (m) (m) (m) (kn) (kn) (kn) (kn/m) (kn) (kn) (kn) (kn) (m) (m) (kn/m) (kn/m) 6 0,00 0,00 4,80 0 0 0,00 0,0 0 0 0 0 4,80 0,00 0 500 5 0,00 0,00 4,80 0 0 0,00 0,0 0 0 0 0 4,80 0,00 0 500 4 3,60 0,5 4,80 70 70 93,31 15,0 0 0 0 165 0,00 1,75 94 500 3 3,60 0,5 4,80 50 10 93,31 15,0 0 0 0 331 0,00 0,66 499 500 3,60 0,5 4,80 50 170 93,31 15,0 0 0 71 567 0,00 0,3 500 500 1 4,00 0,5 4,80 50 0 103,68 15,0 0 0 316 988 0,00 0,40 500 500 Figur 5-35: Beregningsprogram Det bør bemærkes, at beregningsprogrammet af tekniske grunde anvendes en anden notation for etagerne end benyttet i gennemregningen i afsnit 5.. 15

6 ARMEREDE BJÆLKER 6 ARMEREDE BJÆLKER 6.1 Brudgrænsetilstande 6.1.1 Bøjning 6.1. Forskydning 6.1.3 Vridning 6.1.4 Kombineret vridning og forskydning 6.1.5 Beregning af forankringskraft 6.1.6 Eksempel Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden 6. Anvendelsesgrænsetilstande 6..1 Udbøjning 6.. Revnevidder 6..3 Eksempel Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden 6.3 Beregningsprogram

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1 Brudgrænsetilstande I dette afsnit beskrives beregning af slapt armerede bjælker i det regningsmæssige brudstadie. Afsnittet omhandler dimensionering af bjælker udsat for bøjning, forskydning og vridning. Desuden angives en beregningsmetode til bestemmelse af den forankringskraft, som skal anvendes ved eftervisning af armeringens forankring ved vederlaget. 6.1.1 Bøjning I forbindelse med styrkeeftervisning af slapt armerede betonbjælker anvendes den generelle metode for tværsnitsanalyse i EC. Den generelle metode baserer sig på en ikke-lineær arbejdskurve af betonen og en lineær-elastisk idealplastisk arbejdskurve af armeringen. 6.1.1.1 Tværsnitsanalyse generel metode Ved tværsnitsanalyse af en bjælke i brudgrænsetilstanden anvendes resultaterne fra afsnit.1.3. Her blev resultanten af betonspændingerne, N c, i tværsnittets trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt. For en bjælke uden normalkraft gælder det altid at 0. Dette kan reducere ligningerne fra afsnit.1.3 til: A B ) 3 1 1 ln(1 0 Nc k B B B c1 B N N c bxf c cd og med denne resultants moment om nullinien givet ved: 154 A B 4 ) '' 1 0 3 Nc k 1 B 3B 6B6ln(1B 3 c 1 B N c yn ' c bx fcd

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 så resultantens placering målt fra nullinien kan bestemmes som: yn c bx fcdnc Nc y x Nc bxf N N cd c c I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet, og ligevægtsligningerne for en bjælke og løses. c c N c ac 0 N c y x c h N at M Rd N at1 c 1 b Figur 6-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal A sc og to lag trækstænger med arealerne A st1 og A st og med den geometriske placering givet ved c c, c 1 og c. For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i tryklaget sc og i træklagene st1 og st skrives som: x cc sc 0 x h x c1 st1 0 x h x c st 0 x Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved: 155

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Trykarmeringen N ac x cc 0 AscE min x A f sc yd s Trækarmeringen N N at1 at hxc1 0Ast1E min x A f st1 yd hxc A min x A f st yd 0 st s E s Hvor f yd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Det er nu muligt at opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne. Projektionsligningen: 0 Nac Nat1 Nat N c Momentligningen om tværsnittets nullinje: M y N x c N h x c N h x c N Rd ' c c ac 1 at1 at Hvor y er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som nævnt ovenfor. M Rd er tværsnittets momentkapacitet. Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen, som anvendes i det generelle tilfælde: 1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0.. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen. 3. Tværsnittets samlede momentkapacitet M Rd fås af momentligningen om tværsnittets nullinje. 4. En ny værdi af kanttøjningen vælges og det undersøges om resultatet for M Rd er gunstigere. 156

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6.1.1. Kanttøjning I stedet for at udføre iterationen som beskrevet i foregående afsnit, har det vist sig rimeligt at antage, at kanttøjningen er lig med betonens brudtøjning, dvs. 0 = cu. figur 6- viser kurver for arealet under spændingsblokken, N c, og placering af trykresultanten, N c. De fuldt optrukne kurver er bestemt ud fra antagelsen om, at kanttøjningen er lig brudtøjningen. For de stiplede kurver er kanttøjningen blevet optimeret, så tværsnittets momentkapacitet bliver så stort som muligt. Forskellen på kurverne med kanttøjning sat lig brudtøjningen og kurverne med optimeret kanttøjning ses at være meget lille, hvorfor det ved praktisk dimensionering er rimeligt at antage 0 = cu. Hermed kan iterationen af kanttøjningen springes over, og nullinjens beliggenhed, x, bestemmes direkte af projektionsligningen og momentkapaciteten, M Rd, af momentligningen. 0,9 0,8 0,74 0,7 ' N c 0,6 0,5 0,4 '' N c 0,3 0, 0,1 0,0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 f ck [MPa] Figur 6-: N' c og N'' c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0 157

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering Trykarmering i en bjælke har normalt meget lille betydning for brudmomentet, og det er derfor ofte rimeligt at se bort fra den i brudgrænsetilstanden. Derimod har trykarmeringen langt større betydning ved beregninger i anvendelsesgrænsetilstanden. For en bjælke uden trykarmering kan der opstilles en simpel formel for momentkapaciteten på baggrund af tværsnittets armeringsgrad,. Armeringsgraden er givet ved: Af s bdf yd cd Hvor d er afstanden fra trækarmeringen til betonkanten. c c N c ac 0 N c y x c h N at M Rd N at1 c 1 b Figur 6-3: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse Betonens trykresultant N c, arealet under spændingsblokken, N c, og placering af trykresultanten, N c er beskrevet i afsnit 6.1.1.1. Herved kan projektionsligningen stilles op, og trykzonens udbredelse bestemmes som: d 0 Nat Nc 0 bdfcd bxfcd Nc ' x N ' c 158

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Resultantens placering målt fra nullinien fås til: Nc '' y' x N ' c Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen d x N ' c udnyttes: z '' ' '' Nc Nc Nc h c x y' d x 1 d 1 d 1 0, 55 ' ' Nc Nc Værdien ' '' ' ( Nc Nc)/( Nc) 0, er valgt som en konservativ betragtning på baggrund af en antagelse om, at den kanttøjning, der giver den største momentbæreevne, er brudtøjningen cu. Værdien ses at være rimelig ud fra figur 6- ( N N )/( N ) 55 ' '' ' 4, hvor c c c er optegnet for et bredt spektrum af betonstyrker. Den kraftigt optrukne linje er udregnet for en kanttøjning lig brudtøjningen. Den stiplede linje angiver de tilsvarende værdier for et tværsnit, hvor kanttøjningen er optimeret. Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed fås kun et bidrag fra trækarmeringen, og momentkapaciteten kan bestemmes direkte: 1 0,55 M Rd znat bd fcd for st sy Ovenstående udtryk gælder kun, når der er flydning i armeringen. Dette kontrolleres ved at undersøge, om tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den balancerede armeringsgrad. Den balancerede armeringsgrad, bal, er et udtryk for den armeringsgrad, der netop giver flydning i armeringen. bal 159

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Sammenhængen mellem tøjning og armeringsgrad kan skrives: ' ' d x d dn c Nc st cu cu 1cu 1cu 1 x x d 0,60 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 N ' c N ' N c '' c 0,5 0,51 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 f ck [MPa] Figur 6-4: N ' N '' c N ' c c optegnet for 0 = cu og for optimeret 0 Herved fås den balancerede armeringsgrad ved at erstatte armeringstøjningen, st, med armeringens flydetøjning, sy : bal ' Nc sy 1 cu 160

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 På den sikre side kan der regnes med følgende værdier; se også figur 6-: ' N 0,74 for f 50 MPa c 0,003 for f 600 MPa sy ck yk En armeringsgrad på den sikre side fås således til: 0,74 0,003 1 0,0035 0,40 6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering En armeret betonbjælke skal ifølge EC minimum have et armeringsareal, A s,min, for den langsgående trækarmering givet ved: A s,min fctm 0, 6 bd t max f yk 0,0013bd t b t er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås b t = b. f ctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke. f ctm 3 ck 0,30 f for betoner med f ck 50 MPa Armeringen begrænses i EC også med et maksimum for træk- eller trykarmeringens tværsnitsareal, A s,maks : As, maks 0,04Ac Udtrykket gælder uden for områder med stød. 161

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1. Forskydning En bjælkes forskydningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde forskydningskraften V Ed med forskydningskapaciteten V Rd. Når en bjælkes reaktioner er fastlagt, findes forskydningskraften i et snit ved at kræve ligevægt for en af de to bjælkedele, som det pågældende snit deler bjælken i. Ved bestemmelse af forskydningskraftkurven er det vigtigt at tage hensyn til, om lasten er bunden eller fri, da forskydningskraften i visse snit øges ved at fjerne last fra dele af bjælken. Dette gælder især ved store enkeltkræfter. Den farligste lastopstilling kan findes på følgende måde: - Al last opfattes på den sikre side som fri last. - Forskydningskraften i et givent snit bestemmes henholdsvis umiddelbart til venstre og til højre for snittet, idet lasten opfattes som fri for den betragtede bjælkedel. Den maksimale værdi af forskydningskraften for de to beregninger benyttes. For bjælken figur 6-5 bestemmes den kritiske forskydningskraft i snit A. Venstre bjælkedel betragtes ved at opfatte lasten på stykket x som fri: 1 V R p Ed, venstre A Ed L x L p Ed A R A x A R B L Figur 6-5: Bestemmelse af forskydningskraften for en bjælke 16

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Højre bjælkedel betragtes og nu opfattes lasten på stykket l-x som fri: 1 V R p Ed, højre B Ed x L Forskydningskraften i snit A fås nu som den største værdi af forskydningskraften henholdsvis til venstre og til højre for snittet. V Ed VEd, venstre max VEd, højre Bestemmes forskydningskraftkurven på almindelig vis for udelukkende bunden last, vil kurven for bjælken i figur 6-5 danne en ret linje med et nulpunkt på midten. Ved at benytte ovenstående metode til bestemmelse af forskydningskraftkurven, fås en forskydningskraftkurve på den sikre side uden nulpunkter, som vist på figur 6-6. 140 10 VEd[ kn] 100 80 60 40 0 0 Figur 6-6: Forskydningskraftkurve for en bjælke Forskydningskræfter i kn : : 163

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1..1 Diagonaltrykmetoden For armerede betonbjælker bestemmes forskydningskapaciteten ved diagonaltrykmetoden. Det forudsættes i det følgende, at bjælken er forsynet med lodret forskydningsarmering, i form af lukkede bøjler. Figur 6-7: Forskydningsarmering udført som lukkede bøjler og opbøjede stænger Ved bestemmelse af bjælkens forskydningskapacitet i snit A betragtes det viste rombeformede udsnit af bjælken. Udsnittet overfører de lodrette kræfter som vist på figur 6-8, mens vandret ligevægt og momentligevægt sikres via kræfter i bjælkens trykzone N c og i tyngdepunktet af hovedarmeringen N at. Trykzone og trækzonen regnes her koncentreret i deres respektive tyngdepunkter. A N c V z N at b w A Figur 6-8: Placering af udsnit i bjælkekrop 164

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 A P Ed N c N c* N t N t = N t - ap Ed z N t N t N at N t N t N at* s A zcot Figur 6-9: Udsnit med diagonale tryklameller Selve bjælkekroppen tænkes nu opdelt i en række diagonale tryklameller, der som vist på figur 6-9 forbinder et knudepunkt mellem en bøjle og hovedarmeringen på den ene side af snit A med et tilsvarende knudepunkt mellem bøjle og trykzone på den anden side af A. Forskydningskraften V Ed skal nu optages af de n bøjler over trækningen z cotfor at passere snit A, hvor z er den indre momentarm. Som en tilnærmelse kan z = 0,9d normalt benyttes. d er afstanden fra trækarmeringen til den trykkede betonkant. V n Ed N t Bemærk at n ikke nødvendigvis er et heltal. Med bøjleafstanden s bliver n: n z cot s 165

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Den lodrette trækkraft i den enkelte bøjle findes til: s s bw Nt VEd Nt z cot cot Hvor forskydningsspændingen i tværsnittet er indført ved følgende udtryk: VEd bz w Hvor b w betegner betonkroppens tykkelse. For et rektangulært tværsnit fås b w = b. Det ses, at jo større cot vælges, jo mindre bliver trækket i bøjlerne. Imidlertid kan cot ikke vælges vilkårlig stor, hvilket kan indses ved at betragte en enkelt tryklamel. b N b N t T T + N b cos s Figur 6-10: Forhold i knudepunkt mellem bøjle og hovedarmering 166

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Den skrå kraft i tryklamellen fås ved at kræve lodret ligevægt af knudepunktet mellem bøjle og hovedarmering: Nt Nt Nb' sin 0 Nb' sin Kraften N b optages som enaksede betontrykspændinger i den skrå tryklamel: Nb' Nt Nt c b' b b' b sin sb sin w w w Idet tryklamellens bredde er b =s sin. Herefter indsættes det tidligere fundne udtryk for N t : sb w cot 1 cot c 1 sb cot w 1 cot Hvor det ved indsætningen er benyttet, at sin 1. 1 cot I henhold til EC skal trykspændingen i de skrå tryklameller overholde følgende: f c v cd Effektivitetsfaktoren v bestemmes for forskydning i henhold til det nationale anneks: fck v 0,7 00 Derfor må cotikke vælges større ende at følgende ulighed er opfyldt: 1 cot v cot fcd 167

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Er dette overholdt findes den nødvendige forskydningsarmering over strækningen z cot ud mod vederlaget fra det betragtede snit A ved at kræve N A f t sw ywd A sw f ywd er forskydningsarmeringens tværsnitsareal i snittet, det vil sige for bøjlearmering snittes gennem begge bøjlens ben er forskydningsarmeringens regningsmæssige flydespænding. Med det fundne udtryk for N t må bøjleafstanden ikke vælges større end s A f sw ywd b cot w For slapt armerede bjælker med lodrette bøjler skal cot desuden holdes inden for følgende intervaller: 1cot,5 1cot,0 for afkortet hovedarmering (normalt ikke interessant for elementer) Forskydningsbæreevnen kan kort opsummeres med følgende formler, hvor den første gælder flydning i forskydningsarmeringen, og den anden svarer til det skrå betontrykbrud: Asw zf ywd cot s VRd min bz w vfcd 1 cot cot 168

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6.1.. Minimumsarmering I det nationale anneks til EC stilles nogle minimumskrav til forskydningsarmeringsforholdet og afstanden mellem forskydningsarmeringen. Forskydningsarmeringsforholdet er givet ved: A sw w hvor w w,min sbw 0, 063 fck f ywk f ck f ywk er betonens karakteristiske trykstyrke er forskydningsarmeringens karakteristiske flydespænding Den maksimale afstand mellem forskydningsarmering målt langs bjælkeaksen må ikke overstige s max. Bøjlearmering: s,max 0, 75d Opbøjede stænger: s,max 0, 6d l b Desuden må tværafstanden mellem benene i en række af bøjler ikke overstige s t,max : st,max 0, 75d 600mm 169

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1..3 Dimensioneringsforløb 0 1 V = 0 z 0 1 zcot 0 zcot 1 l 1 l Figur 6-11: bjælke med forskellige trykhældninger Ved dimensionering efter diagonaltrykmetoden findes først den maksimale forskydningskraft i bjælken, hvilket normalt i bjælkeelementer vil være ude ved et vederlag. Bøjleafstanden kan vælges konstant langs hele bjælkeaksen, svarende til den maksimale forskydningskraft. Dette er naturligvis på den sikre side. For større bjælker kan det imidlertid være hensigtsmæssigt at optimere bøjleafstanden lidt mere. Her vælges en bøjleafstand over strækningen l 1, bestemt på baggrund af forskydningen V 1 i snit 1, og en anden bøjleafstand over l bestemt på baggrund af forskydningen i snit. Dimensioneringen forløber på følgende vis. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget, cot vælges så begge nedenstående udtryk opfyldes: 1 cot v fcd og 1 cot,5 cot 170

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Afstanden mellem bøjlearmeringen over strækningen l 1 bestemmes af s A f zcot sw ywd 0 1, s1 sm a x V1 hvor A sw er en bøjles tværsnitsareal, f ywd er bøjlens regningsmæssige flydespænding, og V 1 er forskydningskraften i afstanden z cotfra vederlaget. På tilsvarende vis findes bøjleafstanden s over strækningen l. Som vist er det tilladt at regne med forskellig værdi af cot hen langs bjælkeaksen. I så fald bestemmes cot 0 ved V 0, cot 1 ved V 1, osv. 0 1 P V = 0 z 1 0 l l l l 1 l Figur 6-1: bjælke med større enkeltkræfter Større koncentrerede laster, P, kræver ekstra forskydningsarmering. Dette kan der tages hensyn til ved eksempelvis at bestemme bøjleafstanden over strækningen l svarende til, at der i snit regnes med en formel forskydningskraft af 171

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK størrelsen V + P, hvor V er den reelle forskydningskraft i snit. Over strækningen l findes således bøjleafstanden: s ' A f zcot sw V ywd P 1, s sm a x På strækningen l -l bestemmes bøjleafstanden svarende til den reelle forskydningskraft V i snit. 6.1.3 Vridning En bjælkes vridningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde vridningsmomentet, T Ed, med vridningskapaciteten, T Rd. Vridning i en bjælke opstår eksempelvis, hvis forskydningskraften eller reaktionen er placeret excentrisk i forhold til bjælkeaksen. Bestemmelse af vridningsbæreevnen er baseret på diagonaltrykmetoden og minder i høj grad om bestemmelse af forskydningsbæreevnen. Vridningsmomentet forudsættes optaget som et lodret og et vandret kraftpar, V l og V v, som vist på figur 6-13. Snitkræfterne antages at fordele sig svarende til en jævn fordelt forskydningsspænding t over et tyndfliget tværsnit rundt langs bjælkens periferi. V v h V l V l T bv hv l v V v b Figur 6-13: Indre kraftpar 17

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 t ef h = h t ef b = b t ef Figur 6-14: Tyndfliget tværsnit Den effektive vægtykkelse af det tyndfligede tværsnit sættes til: t ef A u hvor A er tværsnittets totale areal, inklusive hulrum, og u er den udvendige omkreds: A bh u bh t ef bør ikke regnes mindre end to gange afstanden mellem betonens yderkant og længdearmeringens midtpunkt. For vridningsmomentet T fås forskydningsspændingen i en væg i tværsnittet til: T t At k ef 173

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK hvor Ak b tef h tef er arealet omsluttet af midterlinjerne i det tyndfligede tværsnit, inklusive hulrum. Forskydningsspændingen t omskrives til forskydningskræfter i tværsnitsvæggene:, V t ht V t b t l t ef ef v t ef ef Eftervisningen af vridningsmomentets optagelse er nu reduceret til en opgave bestående i at eftervise forskydningsoptagelsen i det tyndfligede tværsnits vægge. Løsningen af denne opgave er helt analog til eftervisningen af bjælkens forskydningsbæreevne ved hjælp af diagonaltrykmetoden. Asw f ywd cot VlRd, V vrd, s min htef btef bz w v fcd cot 1/ cot Herefter kan vridningsbæreevnen findes: Asw A k f ywd cot s TRd Vl, Rd btef Vv, Rd htef min tef Ak t fcd cot 1/ cot Armeringsarealet A sw det samme som ved forskydningsberegningen, det vil sige for en bøjle snittes gennem begge bøjlens ben. Effektivitetsfaktoren for vridningspåvirkning er i det nationale anneks til EC givet ved: fck t 0,70,7 00 174

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6.1.4 Kombineret vridning og forskydning Når bjælken påvirkes af kombineret forskydning og vridning, skal det eftervises, at nedenstående udtryk er opfyldt. T T Ed Rd V V Ed Rd 1 Vridningsmomentet udtrykkes ved forskydningskraften T Ed = V Ed e. Ved indsættelse i ovenstående og isolering af V Ed fås: TEd VEd TRd VRd 1, 0... VEd T V V e T Rd Rd Rd R d Hermed fås en reduktion af tværsnittets forskydningskapacitet, som kan sammenlignes direkte med forskydningskraftkurven. Excentriciteten e varierer gennem bjælken. På den sikre side kan den maksimalt forekommende excentricitet, e max, anvendes i alle bjælkesnit. Alternativt laves en beregning for hvert kritisk snit, med anvendelse af den nøjagtige excentricitet i snittet. 6.1.5 Beregning af forankringskraft Forskydnings- og vridningspåvirkning af en bjælke giver anledning til trækkræfter i længdearmeringen, se eksempelvis figur 6-15. Ved dimensionering af længdearmeringen er det tilstrækkeligt at vælge en armeringsmængde svarende til det maksimale moment. Ved vederlaget, hvor forskydningen ofte er størst, er det imidlertid vigtigt at sikre, at længdearmeringen er forankret for den trækkraft, som forskydning og vridning er årsag til. I dette afsnit bestemmes forankringskraften for henholdsvis forskydning og vridning, hvorefter de kombineres. 6.1.5.1 Forankring ved ren forskydning Forankringskraften for forskydningspåvirkning bestemmes ved simpel momentligevægt. Der tages moment om trykresultanten i afstanden zcot fra vederlaget. Under forudsætning af at der er tilstrækkeligt med bøjler, og at de er jævnt 175

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK fordelt, kan forskydningsresultanten antages at angribe ½zcot fra vederlaget. Det ses, at den lodrette kraft, der skal beregnes for, er forskydningskraften ved vederlaget, V 0. 1 1 Vzcot Vzcot F z F V cot Momentligevægt: 0 0 td td 0 1/ z cot() V 0 F c z F td V 0 z cot() Figur 6-15 Forankringskraft ved ren forskydning 6.1.5. Forankring ved ren vridning Ved vridningsoptagelse kan tværsnittet opfattes som et tyndfliget tværsnit med forskydningsspændinger i de tynde vægge som vist på figur 6-16. Forankringskraften for længdearmering ved vridning kan herefter findes for de enkelte tynde vægge som forankring ved forskydning, afsnit 6.1.5.1. Dette giver en trækforankringskraft i hvert af tværsnittets hjørner. Den længdearmering, der tilføres tværsnittet af hensyn til vridning bør fordeles over sidelængden, men for mindre tværsnit kan den koncentreres i hjørnerne. 176

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 t ef h F td,l F td,v b F td,v F td,l Figur 6-16: Tværsnit påvirket til vridning Forskydningsspændingerne i en enkelt tynd væg,, kan bestemmes jævnfør afsnit 6.1.3 som: t TEd TEd At h t b t t k ef ef ef ef Forskydningskraften i hver af de fire vægskiver kan nu bestemmes af V t z Ed, i t ef i, hvilket giver følgende forskydningskræfter i henholdsvis de lodrette og vandrette vægge: TEd TEd VL ( t htef) t ( ht )( bt ) ( bt ) ef ef ef ef TEd TEd VV tef ( btef) t ( ht )( bt ) ( ht ) ef ef ef ef 177

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forankringskraften i de fire hjørner fås af 1 Ftd V cot : F F td, L td, V TEd cot( ) 4( b t ) ef TEd cot( ) 4( h t ) ef Forankringskraften i det ene hjørne kan være forskellig fra forankringskraften i det andet hjørne, afhængigt af tværsnittets dimensioner. 6.1.5.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning Som udgangspunkt bestemmes den samlede forankringskraft for vridning og forskydning som summen af de to bidrag. Forankringskraften i bunden af bjælken fås således principielt til: F F F F, td, bund td td, L td V Tilsvarende fås forankringskraften i toppen af bjælken principielt til: F F F td, top td, L td, V Da forankringskraften ikke nødvendigvis er ens i hjørnerne, bør kræfterne på den sikre side bestemmes som vist nedenfor, således at forankringskraften kan fordeles ligeligt mellem de to hjørner. F F max F ; F td, bund td td, L td, V td, top td, L td, V F max F ; F 178

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6.1.6 Eksempel Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetilstanden. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning, forskydning, vridning og forankring. 6.1.6.1 Beregningsforudsætninger Tværsnit 40 mm x 300 mm Karakteristisk betontrykstyrke f ck = 35 MPa Regningsmæssig betontrykstyrke f cd = 35/1,4 = 5 MPa Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. A sc = 40 mm A st = 40 mm c = 40 mm Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen f yk = 500 MPa Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen f yd = 500/1, = 417 MPa Forskydningsarmering bøjler Y6. A sw = 8 mm Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen f yk = 410 MPa f yd = 410/1, = 34 MPa Bjælkelængde L = 5000 mm stk. Y16 40 mm Bjl. Y6 pr. Q d = 35 kn p d = 14,0 kn/m 300 mm stk. Y16 a=0,7 m L=5,0 m Figur 6-17: Bjælketværsnit og statisk system 179

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1.6. Bøjning Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen figur 6-17. Momentkurven er givet ved: 1 L x 1 1 Qa d M x pdxlxqda pdx pdl xq d a L L Punktet for momentmaksimum findes: 1 Qa d M ' x0 pdx pdl 0 L 1 Qa 1 350,7 d pl 14 5,0 d L 5,0 x,15m p 14 d Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven: M Ed 1 5, 0,15 14,15 5,0,15 35 0,7 56,9 knm 5, 0 Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 6.1.1.3 benyttes. Armeringsgrad: 0, 4 Af s yd 40417 0, 0588 bdf 3003805 cd ; det vil sige, at armeringsgraden er mindre end den balancerede armeringsgrad. Der er således flydning i armeringen, og nedenstående udtryk for momentkapaciteten kan anvendes. 180

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Momentkapacitet: M M Rd Rd 10,55 bd fcd 0, 058810,550, 0588 300 380 5 61, 6kNm Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig: M 56,9kNm M 61, 6kNm Ed Rd Den indre momentarm bestemmes til brug for forskydningsberegningen: z d 10,55 380 10,550,0588 367,7mm 6.1.6.3 Forskydning Tværsnittet forsynes med bøjlearmering bestemt efter diagonaltrykmetoden. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget vælges til cot = 1,5, hvilket er inden for intervallet 1cot,5. Vinklen holdes konstant i hele bjælkens længde. zcot 367, 710 1,5 0,55m 3 Bjælken inddeles i længder af. Minimumsarmeringsgrad og den maksimale bøjleafstand findes: 0, 063 fck A f sw ywk 8 410 w w,min s 05mm fywk bw 0, 063 f 300 ck 0, 063 35 sl,max 0,75d 0,75380 85mm Det vil sige, at bøjlerne placeres pr. maksimum 00 mm. Herudover tjekkes, om tværsnittet er så bredt, at der behøves mere end én bøjle pr. snit: st,max 0, 75d 0, 75380 85mm 600mm 181

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Afstanden mellem bøjlebenene fås til: 300 40 6 08mm s 85mm, hvilket er ok. Der behøves kun én bøjle pr. snit. t,max Forskydningskraften bestemmes for hvert område. Princippet fra afsnit 6.1. benyttes. l 1 l l l Q d = 35 kn p d = 14,0 kn/m V 1 V V 3 a=0,7 m L=5,0 m Figur 6-18: Bestemmelse af forskydningskræfter V 1 (x=0,55m) V 1, venstre 1 Lx Q La d pd L L 1 5,0 0,55 355,0 0,7 14 7,7 30,1 57,8 kn 5,0 5,0 1 x 1 0,55 d 14 0,4 V1, højre p kn L 5,0 V1, venstre 57,8kN V1 max max 57,8kN V1, højre 0, 4kN 18

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Afstand mellem armeringsbøjler: A f zcot 834367,71,5 s 183 mm sw ywd 0 1 3 V1 57,810 s s mm 1 max 00, Bøjleafstanden vælges til 150 mm. V (x=1,10m) Lx 5, 0 1,10 1 1 V, venstre pd 14 1,3 kn L 5,0 1 x Qa 1 1,1 d 350,7 V, højre pd L L 5,0 5,0 V 14 1, 7 4,9 6, 6kN V, venstre 1,3kN max max 1,3kN V, højre 6,6kN Punktlasten Q d er beliggende på strækningen l. Derfor skal forskydningsarmeringen øges på strækningen l. Her regnes med forskydningskraften V + Q d. Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l : s A f zcot 834367,71,5 496mm sw ywd 1 3 V 1,3 10 s s mm max 00, Bøjleafstanden er givet ved s max og sættes til 00 mm. Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l : A f zcot 834367,71,5 s' 188mm sw ywd 1 3 3 V Qd 1,3 10 3510 s ' s 00mm max, Bøjleafstanden vælges til 150 mm. 183

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK V 3 (x=4,45m) I den modsatte ende af bjælken bestemmes forskydningskraften V 3 beliggende 0,55 m fra understøtningen. Snit 3 er det snit, der giver den største forskydningskraft for den resterende del af bjælken. Lx 5,0 4, 45 1 1 V3, venstre pd 14 0,4 kn L 5,0 1 x Qa 1 4, 45 d 350,7 V3, højre pd L L 5,0 5,0 V 3 14 7, 7 4,9 3, 6kN V3, venstre 0, 4kN max max 3, 6kN V3, højre 3,6kN Afstand mellem armeringsbøjler: s A f zcot 834367,71,5 34mm sw ywd 3 3 V3 3,610 s s mm 3 max 00, Bøjleafstanden er givet ved s max og sættes til 00 mm, og den resterende del af bjælken forskydningsarmeres ligeledes med minimumsarmering. Til slut undersøges om trykstyrken i betonen overskrides for den valgte vinkel : Største forskydningsspænding: Effektivitetsfaktor for forskydning: Følgende udtryk ligning skal opfyldes: 3 VEd 57,810 0,5MPa bz 300367,7 w fck 35 v 0, 7 0, 7 0,55 00 00 1cot 11,5 v cd 0,5 1,1 0,55 5 13,1 f MPa MPa MPa cot 1,5 Der er således ikke problemer med betontrykket i forhold til diagonaltrykkets vinkel. 184

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Forskydningskapaciteten udregnes for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 00 mm og for trykbrud i beton. Disse kapaciteter er praktiske i forhold til den følgende undersøgelse af kombineret vridning og forskydning. Bøjler pr. 150 mm: V Rd Asw 8 z fywd cot 367,7341,5 70,4kN s 150 Bøjler pr. 00 mm: V Rd Asw 8 z fywd cot 367, 7341,5 5,8kN s 00 Trykbrud i beton: V Rd bz w v fcd 300367,70,555 668,kN cot 1/ cot 1,5 1/1,5 6.1.6.4 Vridning De påsatte laster antages nu at angribe bjælken med en excentricitet, hvilket giver en vridningspåvirkning. Excentriciteten for den jævnt fordelte last p d sættes til 0 mm, mens den for enkeltkraften Q d sættes lig 50 mm. Vridningsmomentet bestemmes i de samme tre snit, som vist i eksemplet afsnit 6.1.6.3. Vridningsmomentet er givet ved TEd VEd e, hvilket giver følgende værdier for vridningsmoment og samlet excentricitet i de tre snit vist på figur 6-18:,1 T1 V1, pep V1, QeQ 7,7 0 30,150,1kNm e1 36mm 7,7 30,1 T V e V e 1,3 0 0,4kNm e 0mm, p p, Q Q 0,8 T3 V3, pep V3, QeQ 7,7 0 4,9 50 0,8kNm e3 5mm 7,7 4,9 Det kritiske snit ses at være snit 1, både med hensyn til vridningsmoment og excentricitet. I den videre beregning benyttes det maksimale vridningsmoment på TEd,1kNm og den maksimale excentricitet på emax 36mm. 185

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK De geometriske parametre bestemmes. Tværsnitsareal: A bh 30040 16000mm u bh 300 40 1440mm Udvendig omkreds: Effektiv tykkelse: Tværsnitsareal: t ef A 16000 87,5mm u 1440 Hvilket er større end c40mm 80mm 300 87,540 87,5 70656 A bt ht mm k ef ef Effektivitetsfaktoren for vridning er fck 35 t 0,70,7 0,70,7 0,368 00 00 Vridningskapaciteten for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 00 mm og for trykbrud i beton fås nu af: Bøjler pr. 150 mm: Asw 8 TRd Ak fywd cot 70656341,5 13,5kNm s 150 Bøjler pr. 00 mm: Asw 8 TRd Ak fywd cot 70656341,5 10,1kNm s 00 Trykbrud i beton: T Rd tef Ak t fcd 87,5706560,3685 5,5kNm cot 1/ cot 1,5 1/1,5 Det ses at vridningskapaciteten set isoleret er fuldt tilstrækkelig, da T Ed =,1 knm T Rd for begge bøjleameringsgrader. 186

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6.1.6.5 Kombineret vridning og forskydning Vridning og forskydningskapaciteterne skal kombineres, hvilket giver en reduceret forskydningskapacitet, der kan sammenlignes direkte med V Ed i det pågældende snit. På den sikre side benyttes e = 36 mm for alle snit. Bøjler pr. 150: V Ed TRd VRd 13,5 70,4 59,3kN V et 70,4 0,036 13,5 Rd Rd På strækningen l 1 fås V 1 = 57,8 kn 59,3 kn OK! På strækningen l fås V + Q d = 1,3 kn + 35 kn = 56,3 kn 59,3 kn OK! Bøjler pr. 00: V Ed TRd VRd 10,15,8 44, 4kN V et 5,80, 036 10,1 Rd Rd På strækningen l fås V = 1,3 kn 44,4 kn På strækningen l 3 fås V 3 = 3,6 kn 44,4 kn OK! OK! Den nødvendige forskydningsarmering for en kombineret påvirkning med forskydning og vridning er vist på figur 6-19. l 1 l l l Q d = 35 kn / e= 50 mm p d = 14,0 kn/m / e = 0 mm V 1 V V 3 0,7 m 4,3 m Bjl. Y6 pr. 150 mm Bjl. Y6 pr. 00 mm Figur 6-19: Nødvendig bøjlearmering for kombineret forskydning og vridning 187

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6.1.6.6 Forankringskraft Længdearmeringen skal forankres for vridning og forskydning. Forankringen skal ske for den maksimale forskydningskraft, hvilket i dette tilfælde er V 0 ved vederlaget nærmest enkeltkraften. V 0 bestemmes og derefter det tilhørende vridningsmoment: 355,0 0,7 1 Qd L a 1 V0 pd L 14 5, 0 35 30,1 65,1 kn L 5,0 T 35 kn 0, 00m30,1 kn 0, 050m, knm Ed Forankring ved ren forskydning: 1 1 Ftd V0 cot 65,1kN 1,5 48,8kN Forankring ved ren vridning: F F td, L td, V TEd, cot( ) 1,5 3,9kN 4( bt ) 4 300 87,5 ef TEd, cot( ) 1,5,5kN 4( ht ) 4 40 87,5 ef Forankring ved kombination af forskydning og vridning: td, bund td td, L td, V td, top td, L td, V F F max F ; F 48,8kN 3,9kN 56,6kN F max F ; F 3,9kN 7,8kN Eksempel slut 188

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6. Anvendelsesgrænsetilstande I anvendelsesgrænsetilstanden er der principielt to væsentlige emner, nemlig udbøjning og revnevidder. Der stilles normalt krav til udbøjningernes maksimale størrelse, dels af æstetiske årsager, men også rent funktionelt, hvor konstruktionen bygges sammen med andre og mere følsomme bygningsdele, eksempelvis en glasfacade. Revnevidder har betydning for betonens holdbarhed og modstandsevne mod vandindtrængning. 6..1 Udbøjning Der er mange faktorer, der spiller ind, når der laves en tværsnitsanalyse i anvendelsesgrænsetilstanden. Størrelsen på udbøjninger er betinget af belastningens størrelse samt krybning og svind. Krybning afhænger af lastens varighed, mens svind relaterer sig til betonens alder. Begge dele er detaljeret beskrevet i afsnit.1.5 samt i afsnit 6..1.1 og 6..1.. Beregningerne vanskeliggøres yderligere, fordi betonens stivhed varierer afhængig af, hvorvidt tværsnittet er revnet eller urevnet. I anvendelsesgrænsetilstanden regnes med en lineærelastisk arbejdslinje for betonen, hvor trækstyrken tages med i regning. Det urevnede tværsnit besidder således en trækkapacitet, mens der ikke kan overføres træk gennem et fuldt revnet tværsnit. I praksis befinder mange tværsnit sig i grænsetilstanden mellem urevnet og fuldt revnet tværsnit, hvor trækkapaciteten er begrænset, men dog til stede. Tension stiffening er et udtryk for denne effekt i grænsetilstanden. Ved analyse af udbøjninger er det oftest nødvendigt at lave en beregning både for det urevnede og det revnede tværsnit, hvorefter effekten fra tension stiffening kan vurderes og den endelige udbøjning bestemmes. Dette vises i afsnit 6..1.3. 6..1.1 Krybning Ved langvarig belastning kryber betonen, det vil sige, at betonens tøjning øges, mens spændingen forbliver konstant. Dette har betydning for betonens stivhed og dermed størrelsen af udbøjninger. Den letteste måde at tage højde for kryb- 189

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK ning i anvendelsesstadiet er ved at benytte faktoren, som angiver forholdet mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul. Grunden til at dette er den mest rationelle måde, er at belastninger ofte består af en kombination af korttids- og langtidslaste, hvor kun langtidslasten giver anledning til krybning. Første skridt i en udbøjningsanalyse er således at skønne hvor stor en andel af belastningen, der er henholdsvis langtids- og korttidslast og dermed bestemme. Dette er nærmere beskrevet i afsnit.1.4. 6..1. Svind Svindets bidrag til udbøjningen kan beregnes med følgende formel: u s 1 S cs 10 I a T L u s er udbøjningstillægget fra svind cs er svindtøjningen, der bestemmes iht. afsnit.1.5 S a I T L er armeringens statiske moment om tværsnittets tyngdepunktsakse er tværsnittets transformerede inertimoment er forholdet mellem armeringens elasticitetsmodul og betonens elasticitetsmodul, som beskrevet i afsnit 6..1.1 er bjælkens spændvidde For symmetriske urevnede tværsnit ses svindbidraget at falde bort, da det statiske moment af armeringen om tyngdepunktet er nul. 6..1.3 Tension stiffening Konstruktionselementers udbøjning afhænger af, om tværsnittet er revnet eller urevnet. I overgangstilstanden mellem det urevnede og det fuldt revnede tværsnit er der en reduceret trækkapacitet omkring de begyndende revner. Effekten af dette kaldes tension stiffening. Grafen figur 6-0 viser en udbøjningsberegning dels for et urevnet og et revnet tværsnit samt overgangen mellem de to kurver givet ved en beregning, hvor tension stiffening medregnes. 190

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 00 M 0Ed [knm] 180 160 140 10 100 80 60 40 Flydning i armering begynder Beregnet udbøjning Urevnet stivhed Revnet stivhed u tension stiffening 0 u [mm] 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 Figur 6-0: Udbøjning for revnet og urevnet tværsnit, samt tension stiffening Udbøjningen under hensyntagen til tension stiffening bestemmes ud fra følgende formel: u u 1 u revnet urevnet er fordelingskoefficient, der tager hensyn til tension stiffening og den bestemmes ved 1 sr s For urevnet tværsnit er =0. På den sikre side kan ses bort fra tension stiffening (i.e. =1), og u urevnet er i så fald ikke nødvendig at beregne. er en koefficient, der tager hensyn til lastvarigheden. For vægge og søjler, hvor en stor andel af lasten som regel er egenvægt, skal sættes til 0,5. For en enkelt forekommende korttidslast sættes. 191

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK s er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt revnet. sr er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse af revnet tværsnit, men påvirket af den last, der netop forårsager den første revne. sr bestemmes ud fra det moment, der fremkalder spændingen f ctm i den nederste betonfiber, når tværsnittet er påvirket af den normalkraft, der er antaget i anvendelsesstadiet. u revnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt revnet, dvs. trækstyrken af betonen ikke længere har nogen betydning. u urevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om, at tværsnittet er urevnet. For urevnet tværsnit sættes =0, hvilket betyder at der ikke er en kontinuert overgang mellem revnet og urevnet tværsnit for = 0,5. Det er vigtigt at gøre sig klart, at bidraget til udbøjningen fra tension stiffening gør, at de beregnede udbøjninger og tværsnitsspændinger ikke giver en statisk ækvivalent løsning. Endvidere skal der som nævnt i afsnit 6..1. tillægges et udbøjningsbidrag fra svind. Også for dette udbøjningsbidrag anvendes formlen for tension stiffening, nu på formen: u s 1 S S sc 1 10 I I a, revnet a, urevnet T, revnet T, urevnet L Med fortegnet på u s tages hensyn til, at tværsnitskonstanterne i denne fremstilling beskrives i et koordinatsystem med y-aksen opad. 19

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Bestemmelse af sr Det moment, der netop revner tværsnittet, M r, fås ved at sætte betonspændingen i den trækpåvirkede betonkant lig trækstyrken f ctm. Momentet bestemmes ved hjælp af Navier, på baggrund af antagelse om urevnet tværsnit: M h f y M f r ctm T r ctm IT, urevnet I T, urevnet h y T f ctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke. f ctm 3 ck 0,30 f for betoner med f ck 50 MPa I T,urevnet er det transformerede inertimoment for urevnet tværsnit, som bestemmes i afsnit 6..1.5. y T er afstanden fra tværsnittets centerlinje til tyngdepunktsaksen, ligeledes bestemt i afsnit 6..1.5. Bemærk fortegnsregningen. sr er spændingen i trækarmeringen bestemt på baggrund af antagelse om revnet tværsnit. Momentet M r påføres tværsnittet, og der udføres en tværsnitsanalyse som beskrevet i afsnit 6..1.4. Hvis tværsnittet har mere end et trækarmeringslag, kan spændingen sr bestemmes som en vægtet værdi af trækarmeringsspændingerne. 6..1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit Nedenfor opstilles den statiske ækvivalens for et betontværsnit med trykarmering samt to lag trækarmering påvirket af moment. I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje, hvor forholdet mellem spændingerne i beton og armering er givet ud fra tværsnittets geometri samt størrelsen. 193

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK c c c 0 (1+ ef ) sc / x c h st / st1 / M Ed c 1 b Figur 6-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser giver hermed armeringsspændingerne: x cc sc c x h x c1 st1 c x h x c st c x Ligevægtsligningerne kan nu opstilles. Projektionsligningen: 1 0 bx A A A c sc sc st1 st1 st st Momentligningen om tværsnittets centerlinje: 1 h x h h h M Ed bxc sc Asc cc st1ast1 c1st Ast c 3 194

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i projektionsligningen. Dette giver en.grads-ligning, der kan løses for x. Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændingen c findes ved indsættelse af x i momentligningen, og armeringsspændingerne fås til slut af de geometriske betingelser ved at indsætte c. Bjælkens udbøjningskurve antages at være parabelformet. Udbøjningen kan tilnærmelsesvis skrives: 1 u L 10 hvor er bjælkens krumning ved moment maksimum. Udtrykkes krumningen ved hjælp af betonkantspændingen fås: u revnet 1 10 c Es x L For revnet tværsnit findes tværsnitkonstanterne ved at se bort fra betonarealet i trækzonen, og det revnede tværsnits angrebspunkt vil altid ligge i nullinjen svarende til afstanden x fra oversiden bestemt ovenfor. Til brug for beregninger af svindbidraget til udbøjningen i revnet tilstand fås da S A ( xc ) A ( hxc ) A ( hxc ) a, r evnet sc c st1 1 st I bx A ( xc ) A ( hxc ) A ( hxc ) 1 3 t, r evnet 3 sc c st1 1 st Og tillægget fra svind bliver u s, revnet 1 S sc 10 I a, revnet t, revnet L 195

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6..1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit Når betontværsnittet er urevnet er spændings og udbøjningsbestemmelsen end del lettere end for revnet tværsnit. Beregningerne for urevnet tværsnit baseres på transformeret tværsnit, hvor areal, statisk moment og inertimoment bestemmes. Armerings- og betonspændinger kan herefter findes ved hjælp af Navier s formel. I denne fremstilling påvirkes tværsnittet af både et bøjende moment og en normalkraft. Den anvendte metodik gælder derfor både for bjælker og søjler. y c c 0(1+ ef ) c sc/ tyngdepunktsakse ½ h y T N Ed M Ed x c st/ c 1 st1/ Figur 6-: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse For et rektangulært tværsnit med et lag trykarmering og to lag trækarmering kan tværsnitskonstanterne opstilles på følgende vis. A A A A ( A A A ) Transformeret areal: T C S C sc st1 st Transformeret statisk moment om centerlinjen: h h h ST SC SS 0 Asc cc Ast1 c1ast c 196

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 y T angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets centerlinje: y T S A T T Bemærk at y T her regnes positiv, når den ligger over centerlinjen. Dette betyder, at y T ofte vil være negativ. Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen: 1 3 h h h T C S T sc T c st1 T 1 st T I I I bh bhy A y c A y c A y c 1 Udbøjningen for en given momentpåvirkning M Ed er nu tilnærmelsesvis: u urevnet 1 10 M Ed ES I T L hvor bjælkens krumning er udtrykt ved det påførte moment og det transformerede inertimoment: M Ed Es I T For det rektangulære tværsnit med beregningerne at svindbidraget til nedbøjningen: S T S S / y ( A A A I aur, evnet T t sc st1 st tur, evnet I T bestemt som ovenfor fås til brug for ) og tillægget bliver 197

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK u s, urevnet 1 S sc 10 I a, urevnet t, urevnet L Armeringsspændinger og betonkantspændingen for urevnet tværsnit findes af Navier s formel: NEd MEd h c yt A I T T NEd MEd h sc yt cc AT IT N M h y c Ed Ed st1 T 1 AT IT N M h y c Ed Ed st T AT IT N Ed er lig nul for bjælker uden normalkraft, men er som nævnt medtaget her af hensyn til senere søjle/væg beregninger. 6.. Revnevidder Revnevidder bestemmes i henhold til EC. Revnevidderne bestemmes for langtidslast ud fra en antagelse om, at tværsnittet er fuldt revnet. Dette betyder, at de beregnede udbøjninger og revnevidder ikke svarer til den samme spændingstilstand. Den maksimale revnevidde er givet ved: w k s r, maks sm cm s r,maks sm cm er den maksimale revneafstand. er middeltøjningen i armeringen under den relevante lastkombination, inklusiv virkningen af tvangsdeformationer og under hensyntagen til virkningen fra tension stiffening. er middeltøjningen i betonen mellem revnerne. 198

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Forskellen mellem sm og cm kan beregnes som: sm fct, eff s kt 1ep, eff peff, s cm 0,6 E E s s s f ct,eff e p,eff k t er en faktor, der afhænger af belastningens varighed. k t = 0,4 for langtidslast. er spændingen i trækarmeringen under antagelse af revnet tværsnit. er middelværdien af betonens effektive trækstyrke på det tidspunkt, hvor revnerne tidligst kan forventes at opstå. For betonelementer og andre betonkonstruktioner hvor revnedannelsen først forventes efter 8 døgn fås: f ct,eff = f ctm. er forholdet E s /E cm er armeringsforholdet bestemt som peff, A st Ast 3Ast A st max ; ; Aceff, b,5c bhx bh s r,maks er den maksimale revneafstand som beregnes af: srmaks, k3c k1kk4 9,1c 0,17 1,3 hx 1/3 peff, peff, Her er koefficienterne sat til: k 1 = 0,8 for armering med stor vedhæftning k = 0,5 for bøjning k 3 = 3, 4(5 /( c / )) k 4 = 0,45 anbefalet værdi er armeringsdiameteren for trækarmeringen /3 199

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 6..3 Eksempel Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden Bjælken fra afsnit 6.1.6 betragtes i anvendelsesgrænsetilstanden. Lastopstillingen er den samme som ved brudgrænsetilstanden, dog regnes med følgende karakteristiske laster: p Q k k 1,0kN m 35kN Det maksimale moment fås af momentkurven: 1 L x 1 1 Qa k M x pkxlxqka pkx pkl xq k a L L Punktet for momentmaksimum findes: 1 Qa k M ' x0 pkx pkl 0 L 1 Qa 1 350,7 k pl 1 5,0 k L 5,0 x,09m p 1 k Det maksimale moment fås ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven: M Ed 1 5,0, 09 1,09 5,0,09 35 0,7 50,8 5,0 For beton med en karakteristisk trykstyrke på 35 MPa foreslås i afsnit.1. følgende -værdier: Langtidslast: 4, Korttidslast: 7,7 L K 00

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast, mens de resterende 5% skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved vægtning: 4,0,75 7,7 0,5 0 eff 6..3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit De geometriske betingelser fås til: x c x 40mm sc c 0c x x h xc 40mmx40mm 380mmx st c 0c 0c x x x Dette indsættes i projektionsligningen og x bestemmes: 1 1 0 bxc scasc stast 300x c x40 380 x 0c 40 0c 40 x x 0 150x 16080x3376800 x 105,7mm For en forenklet tilnærmelse anvendes denne værdi af x i nærværende eksempel både for langtids og korttidslast. Betonkantspændingen findes ved at tage moment om tværsnittets centerlinje: 1 h x h h MEd bxc sc Asc cst Ast c 3 1 40 105, 7 105, 7 40 40 3 105,7 380 105,7 40 0 c 40 40 105, 7 50,8kNm c 7,1MPa 6 3 7,167 10 mm 50,8kNm 300 105,7 c 0 c 40 40 01

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Der er ikke brud i betonen da c fcd 5 MPa Armeringsspændingerne fås af de geometriske betingelser: x 40 105,7 40 sc 0c 07,1 88MPa x 105,7 380 x 380 105,7 st 0c 07,1 369MPa x 105,7 Der er ikke flydning i armeringen da s f yd 417 MPa. Hvis der havde været flydning i armeringen, må nullinje og tværsnitsspændinger bestemmes forfra, hvor armeringsspændingen sættes lig flydespændingen. Udbøjningen for revnet tværsnit bestemmes: u revnet 1 1 7,1a L x 105,7 0 5000 16,8mm c 5 10 Es 10,010 a For svindbidragets vedkommende anvendes svindtøjningen fra eksemplet i afsnit.1.6 sc sc, 0,465 0 00 Tværsnitskonstanterne bliver i denne sammenhæng S A ( xc ) A ( hxc ) a, revnet sc c st 1 40(105,7 40) 40(40 105,7 40) 83,9 10 mm 3 I bx A ( xc ) A ( hxc ) 1 3 t, revnet 3 sc c st 1 1 6 4 3 300 105,7 0 40(105,7 40) 0 40(40 105,7 40) 758 10 mm 0

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Udbøjningsbidraget for svind bliver dermed u 1 10 srevnet, sc, S S arevnet, trevnet, L 3 1 3 83,9 10 0, 465 10 0 5000, 6mm 6 10 758 10 6..3. Udbøjning for urevnet tværsnit For urevnet tværsnit findes udbøjningen ved hjælp af transformeret inertimoment. Transformeret areal: A A A 30040 040 14080mm T C S Tværsnittet er symmetrisk, hvorfor tyngdepunktsaksen er sammenfaldende med tværsnittets centerlinje. Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen: 1 3 h h T C S sc c st st I I I bh A c A c 1 3 9 1 40 40 300 040 40,317 10 mm 1 4 Udbøjningen for en given momentpåvirkning M Ed er nu for urevnet tværsnit tilnærmelsesvis givet ved: u urevnet 1 M 1 50,8 L 5000 5,9mm Ed 5 10 ES I 10,010 9 T,31710 0 03

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Da tværsnittet er symmetrisk bliver Sa, urevnet 0, og nedbøjningen fra svind er derfor u surevnet, 0 mm 6..3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet Tværsnittet befinder sig et sted mellem fuldt revnet og urevnet. Den faktiske udbøjning i denne tilstand findes ved at tage hensyn til tension stiffening. Det moment, der netop revner tværsnittet og armeringsspændingen sr svarende hertil, bestemmes jævnfør afsnit 6..1.3. Trækstyrken fås til: 3 3 f 0,30 f 0,3035 3, MPa ctm ck Revnemoment udregnes på baggrund af urevnet tværsnit: 9 IT, urevnet,317 10 M r fctm 3, 35,3kNm h 40 y ' 0 Betonkantspændingen bestemmes på baggrund af revnet tværsnit, hvor nullinjedybden er givet ved x = 105,7 mm. Der sættes ind i momentligningen: 1 h x h h Mr bxc sc Asc cst Ast c 3 1 40 105,7 105,7 40 40 3 105,7 380 105,7 40 0 c 40 40 105,7 35,3 c 4,9MPa 6 7,177 10 35,3 300 105,7 c 0 c 40 40 04

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 Armeringsspændingen findes ved de geometriske betingelser: sr 380 x 380 105,7 0c 04,9 54MPa x 105,7 Fordelingskoefficienten, der tager hensyn til tension stiffening bestemmes af: sr 54MPa 1 10,65 0,704 s 369MPa hvor 0,5 0,510, 75 0, 65 svarer til, at belastning vurderes at bestå af 75 % langtidslast og 5 % korttidslast. Den samlede, resulterende udbøjning af bjælken bliver derved u ( u u ) 1 ( u u ) revnet s, revnet revnet s, revnet 0,704 (16,8,6) 10,704 (5,9 0) 15, 4mm 6..3.4 Revnevidder Revnevidden for langtidslast bestemmes jævnfør afsnit 6... Først findes forholdet sm - cm, idet der for langtidstilstanden anslås en armeringsspænding af størrelsen: Kontrol: sl, 0,75 369 77MPa fct, eff 3, s kt 1ep, eff 77 0, 4 17,7 0,0134 peff, 0, 0134 sm cm 0, 00086 5 E,010 sm s s 77 cm 0,6 0,6 0,00083 5,010 E s 05

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Følgende hjælpestørrelser er benyttet i beregningen: fct, eff fctm 3, MPa udregnet i afsnit 6..3.3. Es e k 7,7 E peff, cm A st Ast 3Ast A st max ; ; Aceff, b,5c bhx bh 40 340 40 max ; ; 300,540 30040 105, 7 30040 max 0, 0134;0, 018;0, 0064 0, 0134 Den maksimale revneafstand udregnes: srmaks, k3c k1kk4 9,1c 0,17 1/3 1/3 peff, peff, 16 16 9,140 0,17 95,3 0,0134 Kontrol: s h x, 1,3 1,3 40 105,7 408,6mm rmaks Den maksimale revnevidde for langtidstilstanden alene bliver således: wk sr, maks sm cm 95,30,00086 0,6mm Eksempel slut 06

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Armerede bjælker 6 6.3 Beregningsprogram På www.bef.dk kan frit hentes et beregningsprogram, der håndterer samtlige beregninger svarende til ovenstående afsnit 6.1 og 6.. Nedenfor ses dette programs brugerflade/udskrift med bjælken fra regneeksemplet indlagt. Der ses at være god overensstemmelse i resultaterne, og små forskelle som eksempelvis resulterende nedbøjning (15,4mm og 15,8mm) skyldes mere præcises beregningsmodeller anvendt i programmet. BJÆLKE, version 3.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 010 Sagsnavn: Betonelementhuset Sag nr.: 3-4545 Bygningsdel: Bjælke i modul D-E/1, stueetage Dato: 010-03-01 Emne: Normale lastkombinationer Init: JFJ Spændvidde Tværsnit h 40 mm 80 60 L 5,00 m b 300 mm 70 Længdearmering c' = 40 mm b eff 300 mm 50 60 d (mm) c (mm) antal 40 50 Tryklag t 16 40 30 40 Træklag 1 14 100 0 30 Træklag 16 40 0 0 Bøjler d (mm) a (mm) cot 10 10 Type 1 6 150 1,50 0 0 Type 6 00 1,50 : Momenter i knm Forskydningskræfter i kn V Ed Partialkoefficienter Længdearmering : M V L : Rd,1 M c kar : V Rd, 1,40 f yk 500 MPa : M Ed,max 56,9 knm < M Rd z cot s 1,0 f yd 417 MPa : : M Ed : L / 10 Beton Bøjlearmering Jævnt fordelte laste Punktlaste f ck 35 MPa f yk 410 MPa p 1 p p 3 P 1 P P 3 f cd 5,0 MPa f yd 34 MPa Langtidsværdi (kn/m) 9,0 0,0 0,0 (kn) 8 0 0 Nedbøjninger Krybetal Kar. værdi (kn/m) 1,0 0,0 0,0 (kn) 35 0 0 u L 13,1 mm RH 55% Regnm. værdi (kn/m) 14,0 0,0 0,0 (kn) 35 0 0 u kar 15,8 mm t o 8 døgn Excentricitet, exc. (mm) 0 0 0 (mm) 50 0 0 Revnevidder o,04 x 1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,70 0,00 0,00 w k,l 0,6 mm Svindtøjning x (m) 5,00 0,00 0,00 w k,kar 0,33 mm cs 0,45 o/oo c' x 1 Kontrolparametre Langtid Brudstadie Momentkapacitet Forskydningskapacitet tryklag t c M (knm) 38,8 6,1 M Rd 6,1 knm v/ trykbrud i krop: V Rd,0 457 kn x knm x (mm) 111, 35, EI L,revnet 7397 v/ type 1 bøjler: V Rd,1 60 kn P p knm træklag 1 (o/oo) 0,19 3,15 EI kort,revnet 8678 v/ type bøjler: V Rd, 45 kn c træklag c st (MPa) 8 417 Forskydningskraftens største excentricitet, exc.: 36 mm c måles til midte jern L z (mm) - 366 Forankringskrav til hovedarmering over lejer, N a : 57 kn Vejledning PC-statik: Bjælkeberegning efter EC Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 6-3: Beregningsprogram Det bemærkes, at forskydningskapaciteten i udskriften er beregnet under hensyntagen forskydningskraftens excentricitet, altså inkl. effekten af vridning. 07

6 Armerede bjælker BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 08

7 FORSPÆNDTE ELEMENTER 7 FORSPÆNDTE ELEMENTER 7.1 Principper ved forspændte elementer 7.1.1 Udførelse 7. Indledende projektering med forspændte elementer 7.3 Tværsnitsanalyse rektangulært tværsnit 7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande 7.3. Brudgrænsetilstande 7.3.3 Eksempel RB-bjælke 7.4 Vilkårligt tværsnit med forspænding 7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand, tværsnitsanalyse 7.4. Brudgrænsetilstand, tværsnitsanalyse 7.5 Beregningsprogram

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 7.1 Principper ved forspændte elementer Der findes både før- og efterspændte betonkonstruktioner, og for begge typer kan der benyttes retlinede eller kantede/krumme armeringstræk. Denne gennemgang beskriver alene førspændte konstruktioner. 7.1.1 Udførelse For at forklare hvordan førspændte bjælker virker, tages der udgangspunkt i produktionen af bjælker med rette liner. Undervejs beskrives de tab i armering, som der skal tages højde for ved bestemmelse af den regningsmæssige forspændingskraft. 1. Først spændes linerne op i formen.. Betonen udstøbes i formen, hvor de opspændte liner befinder sig. 3. Når betonen er hærdet til det foreskrevne niveau, kappes linerne. 4. Idet linerne kappes, trækker linerne sig ind i betonen, til der er ligevægt mellem forskydningsspændingerne, der kan overføres mellem liner og beton. Hermed er det først et stykke inde i betonen, at den fulde forankringskraft er opnået. 5. Når linerne er forankret, vil der i forankringszonen overføres en kraft til betonen, som medfører et tryk i betonbjælken. Dette vil medføre, at betonen trykkes sammen, til den modsvarer kraften i linerne. Samtidig med at betonen trykkes sammen, vil linerne blive forkortet, og kraften i linerne minimeres. 6. Er linerne placeret excentrisk, vil bjælken samtidig begynde at krumme til en tilstand, hvor der er momentligevægt. Ved beregning af denne momentligevægt skal egenvægten medtages. 10

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 1) ) 3) 4) P 5) 6) Figur 7-1: Principper for førspændte elementer På grund af materialedeformationerne bliver den effektive forspændingskraft i det færdige element mindre end opspændingskraften benyttet under elementfremstillingen. For gængse linetyper kan regnes med en effektiv forspændingskraft pr. line som anført nedenfor. Linedimension 9,3 mm 1,3 mm 15 mm Areal 63 mm 93 mm 150 mm Effektiv forspænding 65 kn 100 kn 160 kn 11

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 7. Indledende projektering med forspændte elementer Langt de fleste forspændte elementer i byggeriet er baseret på standardtværsnit, der kan findes i leverandørernes kataloger. Almindeligvis vil de forskellige leverandører kunne tilbyde gængse elementer med samme hovedmål på tværsnittene. For den projekterende vil det især være elementernes maksimale ydeevner, der indledningsvist har interesse for hver af de mulige tværsnitsstørrelser. Almindeligvis vil det samlet set føre til den billigste løsning, hvis man for den aktuelle elementtype vælger det mindste tværsnit, der kan opfylde funktionskravene. I den sammenhæng fokuserer den projekterende på oplysninger om: g: Elementets egenvægt (kn/m) V Rd : Elementets regningsmæssige forskydningsstyrke i brudgrænsetilstanden (kn) M Rd : Elementets regningsmæssige momentkapacitet i brudgrænsetilstanden (knm) M bal : Balancemomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet, som netop udligner forspændingens momentvirkning, M P. Størrelsen M bal = - M P anvendes ved nedbøjningsvurderingerne, se senere. (knm) M OO : Dekompressionsmomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet, som netop svarer til, at spændingen i den mindst trykkede fiber i betonen antager værdien 0. (knm) M cr : Revnemomentet, der er det moment fra ydre laster på elementet, som netop svarer til at spændingen ét sted i betontværsnittet antager en værdi svarende til betonens karakteristiske trækstyrke. (knm) 1

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 EI k : Elementets stivhed overfor korttidslast, som med en korrektion også kan anvendes til vurdering af nedbøjningerne over for langtidslast. (knm²) f: Elementets typiske pilhøjde ved levering. De funktionskrav, som den projekterende på baggrund af ovennævnte informationer vil sikre sig opfyldt er normalt, som anført nedenfor, idet førspændte elementer vil være simpelt understøttede i konstruktionen. Tværsnitskontroller: Sikring af tilstrækkelig forskydningsbæreevne: V Ed V Rd hvor V Ed er det størst forekommende forskydningskraft fra ydre laster i brudgrænsetilstanden. Sikring af tilstrækkelig momentbæreevne: M Ed M Rd hvor M ed er det størst forekommende moment fra ydre laster i brudgrænsetilstanden. Sikre mod vedvarende dekompression: M Eq M 00 hvor M Eq er det størst forekommende moment fra ydre, quasipermanente laster i anvendelsesgrænsetilstanden. Sikre mod revnedannelse i tværsnittet: M Ek M cr hvor M Ek er det størst forekommende moment fra ydre karakteristiske laster i anvendelsesgrænsetilstanden. Indledende kontrol af deformationsegenskaberne: M Eq 1,6 M bal 13

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK For så vidt angår deformationsegenskaberne tilrådes at udføre nogle lidt mere detaljerede vurderinger af deformationsegenskaberne før det endelige valg af tværsnit. Ved disse vurderinger tages hensyn til, at elementers stivhed over for langtidslast er mindre end stivheden over for korttidslast pga. betonens krybning. Da krybningseffekten yderligere afhænger af tidspunktet for belastningens påførsel benyttes efterfølgende tre værdier af elementets stivhed: Over for elementets egenvægt og forspænding: EI k /(1 ) (overslagsmæssigt kan anvendes EI /3,0) p k Over for øvrige quasipermanente laster: EI k /(1 ) (overslagsmæssigt kan anvendes EI /,3) q k Over for korttidslaster: EI k I ovenstående er p og q slutkrybetallene for betonen svarende til henholdsvis belastning påført ved tidspunktet for aktivering af forspændingen og belastningen påført som permanent last efter elementets indbygning. ( t, ) 0,50,00 1,50 1,00 Forspænding aktiveres ( t, ),0 P 0 p Langtidslast påsættes ( t, ) 1,3 q 0q 0,50 0,00 0 50 100 150 00 50 300 350 400 Figur 7-: Slutkrybetal t 0 (dage) 14

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Ved deformationsvurderingen kan der med god tilnærmelse regnes med, at et moment, M, fra den ydre belastning på et simpelt understøttet element med spændvidde, L, og stivhed, EI, vil modsvares af en nedbøjning af størrelsen: u E 1 M l 10 EI medens udbøjningen fra forspændingsmomentet, der er konstant over elementets længde, vil være omkring: u P 1 8 M P l EI Hermed kan de forskellige belastningers bidrag til den resulterende nedbøjning opgøres således: Bidrag fra forspænding: 1 (1 p ) M up 8 EI K bal l Bidrag fra elementets egenvægt. 1 (1 p) M g ug l 10 EI K hvor M g er momentet fra egenvægten. Bidrag fra øvrig langtidslast: 1 (1 q) M q uq l 10 EI K hvor M q er momentet fra den quasipermanente belastning ekskl. elementets egenvægt. Bidrag fra korttidslast: 1 M M M uk 10 EI k q g K l hvor M k er momentet på den samlede karakteristiske last. 15

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Ved deformationsvurderingen sammenholdes disse resultater typisk med følgende funktionskrav: Virkningen af de samlede langtidsbelastninger bør ikke føre til synlige nedbøjninger, dvs.: uq up ug uq 0 Virkningen fra korttidsbelastning bør overholde: L uk 400 Pilhøjden ved levering på byggepladsen skal ligge inden for en rimelig grænse svarene til, hvad der kan udlignes i den påtænkte gulvopbygning. Pilhøjden er i denne forbindelse synonym med den negative værdi af nedbøjningen på leveringstidspunktet og er for et maksimalt forspændt tværsnit, erfaringsmæssigt af størrelsesordenen: f u u 0 ( ) 50% 3 p g I praksis vil elementleverandøren arbejde på at optimere forspændingen svarende til de præcise forhold i det aktuelle projekt. I forhold til det maksimalt forspændte tværsnit vil en reduktion af forspændingen umiddelbart resultere i mindre værdier af M bal og dermed mindre pilhøjde. Dette skal til gengæld afvejes med, at M Rd, M 00 og M cr samtidig reduceres. Disse sammenhænge kan analyseres i detaljer via de metoder, der præsenteres i afsnit 7.3 og 7.4. I tilknytning til udbøjningsforhold skal sluttelig nævnes, at elementernes stivhed, spændvidde og egenvægt har betydning for byggeriets vibrationskomfort. Sædvanligvis undgås problemer med svingninger fra almindelig gangtrafik på etagedækkene, når der vælges dæk, der overholder: L 35 á 40 gange dæktykkelsen 16

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Se nærmere om vibrationskomfort i EN1990 DK NA:007. På grund af betonelementernes store egenvægt, vil det ofte kunne eftervises, at resonansfrekvenser omkring 6Hz er tilfredsstillende ved brug af den almene teori for bygningsdynamik. 7.3 Tværsnitsanalyse rektangulært tværsnit som det fremgår af afsnit 7. er det for forspændte elementer i høj grad anvendelsesgrænsetilstande, der fordrer beregningsmæssig opmærksomhed. I denne fremstilling tages i afsnit 7.3 og 7.4 derfor afsæt i anvendelsesgrænsetilstanden, før forholdene i brudgrænsetilstanden præsenteres. Dels fordi det ofte vil være forholdene i anvendelsesgrænsetilstanden, der vil være dimensionsgivende, dels fordi forfatterne har vurderet, denne rækkefølge af begreberne vedrørende forspændte elementer er hensigtsmæssig. 7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande I anvendelsesgrænsetilstanden antages forspændte betonelementer at være urevnede. Da beregningsmodellen baseres herpå, skal denne antagelse verificeres i forbindelse med beregninger ved at kontrollere, at den største trækspænding i betonen ikke overstiger betonens trækstyrke. Til analyse af urevnede tværsnit anvendes den tekniske elasticitetsteori for transformeret tværsnit. Konventionelt arbejdes for betonelementer med, at betontrykspændinger regnes positive, og at et tværsnit beskrives i et retvendt koordinatsystem for beskueren. Yderligere regnes momenter positive, når de giver tryk i elementets overside. For at imødekomme denne tradition er der til denne fremstilling valgt at benytte orientering af koordinatsystemet og en fortegnsregning som angivet på følgende figur. 17

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Figuren viser et tværsnit i en forspændt bjælke med hovedmålene b h. Endvidere ses én af forspændingslinerne, den j te med tværsnitsarealet A j og koordinaterne (x j, y j ) i det valgte (x, y)-system. y t u y My h y o N Mx ux s y j A j xj x o b x Figur 7-3: Principper for førspændte elementer Den enkelte line regnes i det færdige element at have en effektiv forspæn- p dingskraft af størrelsen eff, j. Når der ikke optræder ydre normalkræfter i elementet, vil normalkraften, N, være i projektionsligevægt med den resulterende forspænding i linerne: m N p N j1 eff, j P 18

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Spændingen i den j te line hidrørende fra forspændingen er: p eff, j p, j (positiv som træk) Aj Dermed bliver den resulterende trækspænding i linen ved de aktuelle snitkræfter: N M M x y s, j p, j tj s j AT I1 T IT idet akserne i (s, t)-systemet er tværsnittets 1. og. hovedakse. Til brug for tværsnitsanalysen er nu opgaven at bestemme de transformerede tværsnitskonstanterne A T, I 1,T og I,T og at finde hovedaksernes placering ( x, y ). I første omgang bestemmes bestemt ved tværsnittets tyngdepunkt 0 0 tværsnitskonstanterne i (x, y)-systemet, idet betonens elasticitetsmodul anvendes som referencemodul. I det transformerede tværsnit indgår forspændingsstålet derfor med vægten E / E. s c m m 1 T j x 3 j j1 j1 A bh A I bh y A m m 1 1 3 x j j y 3 ja j j1 j1 S bh y A I b h x m 1 y j j j1 S b h x A j Tværsnittets tyngdepunkt er da: x S Sx y A y 0 0 At t 19

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK og inertimomentet om akserne gennem tyngdepunkter bliver: I I y A I I x A x0 x 0 t y0 y 0 t Ved beregningen af disse tværsnitskonstanter anvendes almindeligvis for førspændte elementer en fast værdi af, eksempelvis: 1 Den resulterende tryknormalkraft, N P, i projektionsligevægt med forspændingen virker i: m xp ( xp, yp), Np j eff, j j eff, j j1 j1 m yp N p Dette er statisk ækvivalent med normalkraften N P virkende i tværsnittets tyngdepunkt sammen med momenterne: Mxp ( yp y0) N p M ( x x ) N yp p 0 p I en bjælke med rektangulært tværsnit primært beregnet for optagelse af lodrette belastninger vil forspændingeslinerne almindeligvis være placeret symmetrisk om tværsnittets lodrette midterakse. Dermed bliver x P = x o og M P = 0. Yderligere er standardelementer altid simpelt understøttede, så for den projekterende vil det være forholdene knyttet til optagelse af de positive momenter ved bjælkemidte, der har interesse. Svarende til det i afsnit 7. gennemgåede vil det for en sådan bjælke blive følgende ydeevner, der beregnes til brug for undersøgelser i anvendelsesgrænsetilstanden: 0

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 M ( y y ) N M bal p 0 p 1P N M M I M : ( y 0) ( y ) 0 M M p 00 bal 1, T p 00 c 0 00 bal AT I1, T y0 AT K ck 1, T Np Mcr Mbal I1, T Np M cr : c ( y 0) ( y0) fct Mcr Mbal fct AT I1, T y0 AT EI E I N I tillæg hertil vil leverandøren i sine detaljerede beregninger foretage en række yderligere kontroller af spændingsniveauer i både beton og i forspændingslinerne ved forskellige snit langs bjælkens længdeakse og ved forskellige belastningssituationer. Eksempelvis vil en kraftig forspænding i en situation, hvor bjælken kun er belastet af sin egenvægt, kunne udløse store trækspændinger i bjælkens overside. Nær understøtningen vil det ydre moment være negligibelt, så betonspændingen bliver: N p M bal c ( y h) ( h y0 A I ) T 1, T For at undgå overskridelse af betonens trækstyrke i denne situation, vil leverandøren ofte være nødt til at indlægge ekstra forspændingsliner øverst i elementet eller opbøje en del af forspændingslinerne ud mod elementenderne, så det resulterende negative moment i tværsnittet reduceres. For standardelementer vil disse forhold være indarbejdet, når leverandøren oplyser ydeevnerne. 7.3. Brudgrænsetilstande I dette afsnit beskrives beregning af forspændte armerede bjælker i det regningsmæssige brudstadie. De forhold, der skal bestemmes i brudstadiet, er brudmomentet M Rd, forskydningskapaciteten V Rd, hvor der tages højde for en eventuel excentrisk placering af lasten samt den nødvendige forankringskraft, for at kunne optage forskydning og vridning. Først beskrives rektangulære bjælker med vandret nullinje, og efterfølgende for mere komplicerede former med skrå nullinje er beskrevet under afsnittet vilkårlige tværsnit. 1

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK For beregning af forskydning og vridning samt nødvendig forankringskraft, kan for rektangulære bjælker henvises til afsnit 6.1. Forskydning, 6.1.3 Vridning, 6.1.4 Kombineret vridning og forskydning og 6.1.5 Forankring, da beregningerne er identiske med dem for slapt armerede bjælker. Beregningen af momentkapaciteten foregår helt analogt til beregningen for slapt armerede bjælker, med den væsentlige undtagelse, at der skal tages højde for forspændingstøjningerne i spændarmeringen. 7.3..1 Bøjning I forbindelse med styrkeeftervisning af forspændte betonbjælker anvendes den generelle metode for tværsnitsanalyse i EC. Den generelle metode baserer sig på en ikke-lineær arbejdskurve af betonen og en lineær-elastisk ideal-plastisk arbejdskurve af armeringen. 7.3.. Tværsnitsanalyse generel metode Ved tværsnitsanalyse af en bjælke i brudgrænsetilstanden anvendes resultaterne fra afsnit.1.3. Her blev resultanten af betonspændingerne, N c, i tværsnittets trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt ved: 1 A B 0 1 B N c k 1 3 B 1 B1 ln c 1 B 1B Nc N c bxf cd og med denne resultants moment om nullinien givet ved: '' 1 3 A B 0 3 3 1 B Nc k 1 4 B 1 3B 1 6B1 6ln 3 c 1 B 1 B Fejl! Objekter kan ikke oprettes ved at redigere feltkoder. så resultantens placering målt fra nullinjen kan bestemmes som:

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 yn c bx fcdnc Nc y x Nc bxf N N cd c c I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet, og ligevægtsligningerne for en bjælke løses. c c N c ac 0 N c y x c h N at M Rd N at1 c 1 b Figur 7-4: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag liner i trykzonen med et areal A sc og to lag liner i trækzonen med arealerne A st1 og A st og med den geometriske placering givet ved c c, c 1 og c. For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i tryklaget sc og i træklagene st1 og st skrives som følgende, idet der tages hensyn til forspændingen af armeringen: x cc Psc sc 0 x A E hxc1 Pst1 x AE st1 0 hxc x st 0 c s 1c t s Pst A E Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved: s 3

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Trykarmeringen N ac Trækarmeringen N N at1 at f pd ac AscEs for 0 ac Es min 1/9 fpd fpd Asc fpd 1 ac for ac 0 0,0 fpd / E s Es Es f pd at1ast1es for 0 at1 Es min 1/9 fpd fpd Ast 1 fpd 1 at 1 for at 0,0 fpd / E 1 0 s Es Es A E for 0 min 1/9 f f A f for at st s at pd pd st pd 1 at at 0,0 fpd / E s Es Es f E pd s 0 0 00 0 00 0 00 Hvor f yd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Bemærk at det i ovenstående er valgt at regne kræfterne i trykarmeringen i bjælkeoversiden positive som tryk. Dette er alene gjort af hensyn til analogien med forholdene i slapt armerede bjælker, der i kapitel 6 blev gennemgået efter sædvanlige konventioner for jernbetonbjælker med trykarmering. Det er nu muligt at opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne. Projektionsligningen: 0 Nac Nat1 Nat N c Momentligningen om tværsnittets nullinje: M y' N xc N hxc N hx c N Rd c c ac 1 at1 at 4

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 hvor y er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som bestemmes i afsnit.1.1. M Rd er tværsnittets momentkapacitet. Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen: 1. Det antages, at kanttøjningen i toppen af bjælken er lig brudtøjningen.. Herefter gættes på tøjningsfordelingen ved at gætte på placeringen af nullinjen. 3. Det undersøges, om der er vandret ligevægt, hvis ikke gættes en ny nullinje dybde 4. Tværsnittets samlede momentkapacitet M Rd fås af momentligningen om tværsnittets nullinje. 7.3..3 Minimum- og maksimumarmering Der skal sikres, at der ikke kan forekommer et skørt brud i bjælken. Det skal sikres ved at armere bjælken med minimumsarmering. Minimumsarmering A s,min for en den langsgående trækarmering er ifølge EC givet ved: A s,min 0, 6 ctm t max f p0,1k f 0,0013bd t bd b t er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås b t = b. f ctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke. f ctm 3 ck 0,30 f for betoner med f ck 50 MPa Armeringen begrænses i EC også med et maksimum for træk- eller trykarmeringens tværsnitsareal, A s,maks : As, maks 0,04A c Udtrykket gælder uden for områder med stød. 5

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 7.3.3 Eksempel RB-bjælke I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetilstanden. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning. For forskydning, vridning og forankring henvises til fremgangsmåden for slapt armerede bjælker. 7.3.3.1 Beregningsforudsætninger Tværsnit 40 mm x 300 mm Karakteristisk betontrykstyrke Regningsmæssig betontrykstyrke f ck = 40 MPa f cd = 40 MPa/1,4 = 8,6 MPa Armering 10 stk. liner der hver har et tværsnitsareal på 93mm². A sc = 186 mm C c = 50 mm A st, = 37 mm C = 90 mm A st,1 = 37 mm C 1 = 50 mm Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen f yk = 1600 MPa Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen f yd = 1600 MPa/1, = 1333 MPa Effektiv forspænding: 100 kn/line liner 40 mm Bjl. Y6 pr. 150/00 x4 liner 300 mm Figur 7-5: Bjælketværsnit og statisk system 6

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Bjælken regnes belastet af følgende jævnt fordelte linjelaster p p g L 3, 0 kn / m p 4, 0 kn / m 18,0 kn / m p 30,0 kn / m k R Derudover forudsættes, at linerne kappes efter døgn, og at bjælken ind til da er opbevaret ved en relativ luftfugtighed på 80%. Herved bestemmes krybetallet til,35. Derudover forudsættes det, at lasten påføres efter 8 døgn, og at bjælken opbevares ved en gennemsnitlig luftfugtighed på 50%. Herved bestemmes krybetallet til 1,83. Ved levering, som antages at være efter to dage, findes krybetallet til 0,90. 0,90,,35, 1,86 Levering Lager Langtid 7.3.3. Brudgrænse, bøjning Momentkapaciteten bestemmes ud fra en antagelse af, at tøjningen i toppen af bjælken er lig brudtøjningen. Det er i afsnit 6.1.1. vist, at dette er en fornuftig antagelse, når der benyttes massive rektangulære tværsnit. Derudover gættes der på at nullinjen er placeret x = 171,6mm fra toppen af bjælken. Dette giver anledning til følgende tøjninger i linerne jævnfør afsnit 7.3... x cc Psc sc 0 x A E c 3,5 0 00 1 st1 0 st 1 0 00 x A1 ces 1 st1 0 st 0 00 x A1 ces s 3 171,6 50 100 10 171,6 93 195.000 3 hxc P 40 171, 6 50 100 10 3,5 171,6 93 195.000 3, 03 (pos. som træk) 3 hxc P 40 171, 6 90 100 10 3,5 8,75 0 00 (pos. som træk) 171,6 93 195.000 0 00 9,56 (pos. som træk) 0 00 7

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Ud fra tøjningerne linierne kan kræfterne i stålet bestemmes f 1600 /1, 3, 03 6,8 ac 0 pd 0 00 00 Es 195.000 N A E 3,03 93 195.000 110,1 kn (pos. som træk) ac ac sc s 0 00 f E N pd s at 1 1333 6,8 8,75 0 195.000 0 0 0 00 00 00 1/9 1333 93 4 1333 1 8,75 0 00 (pos. som træk) 0, 0 1333/195.000 195.000 504,0kN f E N pd s at 1 1333 6,8 9,56 0 195.000 0 0 0 00 00 00 1/ 9 1333 93 4 1333 1 9,56 0 00 (pos. som træk) 0, 0 1333/195.000 195.000 507, 4kN Betonbidraget bestemmes jf. afsnit 6.1.1. til: N f 40MPa 0,763 N N bxf 0,763 300 179,3 8,6 1175kN c c c c cd Som kontrol af den gættede placering af nullinjen undersøges, om der er vandret ligevægt: 0 N N N N ac at1 at c 0 110,1504,0 507, 4 111,5kN Det ses at den gættede placering af nullinjen var korrekt, så omregning er ikke nødvendig, og brudmomentet kan nu bestemmes ved at tage moment om nullinjen 3 3 M y' N xc N hxc N hxc N Rd c c ac 1 at1 at 0,58 171,6 111,5 10 (171,6 50) 110,1 10 40 171,6 90 504,0 10 111,9 13,4 79,9 100,7 79,0kNm 40 171,6 50 507,4 10 3 3 8

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 7.3.3.3 Anvendelsesgrænse, tværsnitskonstanter Transformeret areal: A A ( A A A ) 300 40 1(186 37 37) 137 10 T C sc st1 st 3 Transformeret statisk moment om centerlinjen: h h h ST A sc c c A st1 c 1 A st c 40 40 40 1 186 5037 9037 50 893 10 mm 3 3 y T angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets centerlinje: y T 3 ST 893 10 6,5mm 3 A 137 10 T Bemærk at y T her regnes positiv, når tyngdepunktsaksen ligger over centerlinjen. Dette betyder, at y T ofte vil være negativ. Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen: 1 3 h h h 1, T T sc T c st1 T 1 st T I bh bhy A y c A y c A y c 1 1 300 40 3 300 40 ( 6,5)² 1 40 40 40 1 186 6,5 50 37 6,5 90 37 6,5 50 6 08 10 mm 4 9

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 7.3.3.4 Laster på tværsnittet Snitkræfter for forspændingen er givet ved. NP 10 100 1000kN M P 3 40 40 40 100 10-50+6,5-4 -90-6,5-4 -50-6,5 73,5kNm Snitkræfter for ydre laster er: M M M g L k 1 8 3, 0 (7, ) 19 1 8 18, 0 (7, ) 117 1 8 4, 0 (7, ) 156 knm knm knm 7.3.3.5 Anvendelsesgrænse, spændingsbestemmelse Ved levering er bjælken belastet af forspændingen og sin egenvægt, hvilket giver betonspændingerne: M M 3 6 6 NP g p h 1000 10 19,6 10 73,5 10 40 cbund, yt 3 6 6,5 1,6 AT I1, T 137 10 08 10 M M 3 6 6 NP g p h 1000 10 19,6 10 73,5 10 40 ctop, yt 3 6 6,5 1,69 AT I1, T 137 10 08 10 MPa MPa I langtidstilstanden vil bjælken være belastet af forspændingskraften og langtidslasten. Her vil spændingerne være som følger: N M M h 3 6 6 P L p 1000 10 117 10 73,5 10 40 c, bund yt 3 6 6,5 3,07 AT I1, T 137 10 08 10 N M M h 3 6 6 P L p 1000 10 117 10 73,5 10 40 ctop, yt 3 6 6,5 11,8 AT I1, T 137 10 08 10 MPa MPa 30

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Når de karakteristiske spændinger beregnes skal bjælken regnes belastet af forspændingskræften og den karakteristiske last. M M 3 6 6 NP k p h 1000 10 156 10 73,5 10 40 cbund, yt 3 6 6,5 0,73 AT IT 137 10 08 10 M M 6,5 3 6 6 NP k p h 1000 10 156 10 73, 5 10 40 ctop, yt 3 6 AT IT 137 10 08 10 MPa 15,8MPa 7.3.3.6 Anvendelsesgrænse, udbøjningsbestemmelse Udbøjninger uden hensyn til krybning er givet nedenfor, for henholdsvis, forspænding, egenlast, langtidslast og karakteristisk last: 1 M p 1 73,5 up L (7,) 8,49mm 6 8 EI 8 6934 08 10 k 1 M g 1 19,4 ug L (7,) 1,81mm 6 10 EI 10 6934 08 10 k 1 M L 1 116,6 ul L (7,) 10,78mm 6 10 EI 10 6934 08 10 k 1 M k 1 155,5 uk L (7,) 14,37mm 6 10 EI 10 6934 08 10 k Ud for ovenstående udbøjninger for de forskellige laster kan udbøjningerne for levering, langtidslast og karakteristisk last bestemmes. u ( u u ) (1 ) Levering g p Levering (1,818, 49) (1 0,90) 1,7mm u ( u u ) (1 ) ( u u ) (1 ) Langtid g p Lager L g Langtid (1,818, 49) (1,35) (10,78 1,81) (1 1,83) 3, 0mm u ( u u ) (1 Karakteristisk g p Lager ) ( u u ) (1 ) ( u u ) (10) L g Langtid K L (1,818, 49) (1,35) (10,78 1,81) (1 1,83) (14,37 10,78) (1 0) 6,6mm Eksempel slut 31

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 7.4 Vilkårligt tværsnit med forspænding Beregning af denne type tværsnit kræver mange delberegninger, der bedst egner sig for IT. I dette afsnit præsenteres de principper og matematiske modeller, som IT-programmer til ingeniørmæssig anvendelse ofte baseres på. Se også afsnit 7.5. 7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand, tværsnitsanalyse For et tværsnit med det transformerede tværsnitsareal A T og med hovedinertimomenterne I 1,t og I,t om hovedakserne s og t kan betonspændingen i ethvert punkt findes af formlen: E N M t M c 1 c E 0 AT I1, T I, T s idet normalkræfter og spændinger i beton konventionelt regnes positive som tryk. E 0 er det transformerede tværsnits referencemodul, der med fordel kan vælges som betonens E-modul. Nedenstående er kun gældende, så længe tværsnittet er urevnet, dvs. at den mindste betonspænding er større end betonens trækstyrke. Som vist på figuren er M 1 og M de resulterende momenter om tværsnittets hovedakser med normalkraften henført til tværsnittes tyngdepunkt. I tværsnittet ligger desuden spændarmering i form af et antal forspændte stålliner. Den enkelte line med arealet A j regnes i det færdige element at have en effektiv forspændingskraft af størrelsen, eff j. Når der ikke optræder ydre normalkræfter i elementet vil normalkraften N være i projektionsligevægt med den resulterende forspænding i linerne. m N p N j1 eff, j p 3

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 y t s v. y o M x sj N y j M 1 Aj tj b xj x o My M x Figur 7-6: Principper for førspændte elementer med vilkår- Spændingen i den enkelte line hidrørende fra forspændingen er: p eff, j p, j (positiv som træk) Aj Dermed bliver den resulterende trækspænding i linen ved de aktuelle snitkræfter: N M t M s p x y eff, j s, j p, j j j AT I1, T I, T Aj 33

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Til brug for tværsnitsanalysen er det nu opgaven at bestemme tværsnitskonstanterne A T, I 1,T og I,T og at finde hovedakserne (s, t) bestemt ved tværsnittets tyngdepunkt (x o, y o ) og drejningsvinklen, v 1 i forhold til det (x, y)- koordinatsystem, der vælges til at beskrive tværsnittet i. I første omgang bestemmes tværsnitskonstanterne i forhold til dette (x, y)- koordinatsystem. Med betonens elasticitetsmodul, E c0, som referencemodul for det transformerede tværsnit bliver det transformerede tværsnitsareal: t Ac m A da A j1 j kan hvor A c er betonarealet i tværsnittet. Fladeintegraler af typen f ( xyda, ) med brug af Stokes sætning, omsættes til et kurveintegral langs tværsnittets rand på følgende form: A f ( xyda, ) Fxydy (, ) hvor F( xy, ) f( xy, ) K x A Endvidere regnes med, at tværsnittets omkreds består af n lineære stykker. Dermed kan udtrykket for betonens andel af det transformerede tværsnitsareal omskrives således: n A i 1 c K ki da xdy xdy Det i te kurvestykke, K i, er et linjestykke, der løber mellem punkterne (x 1i, y 1i ) og (x i, y i ). Det kan dermed beskrives ved en parameter, r, der løber mellem værdierne 0 og 1, på følgende form: x x r( x x ) 1i i 1i y y r( y y ) dy ( y y ) dr 1i i 1i i 1i 34

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Denne parameterfremstilling indsættes i kurveintegralet: ki 1 1 xdy [ x r( x x )]( y y ) dr 0 ( x x )( y y ) 1i i 1i i 1i i 1i i 1i Dermed kan det transformerede tværsnitsareal alt i alt udtrykkes som simple summationer direkte ved koordinaterne til hjørnepunkterne i tværsnittes omkreds og lineplaceringerne i det valgte (x, y)-system. n m 1 T ( i 1i)( i 1i) i1 i1 A x x y y A j Samme metodik anvendes for de øvrige tværsnitskonstanter i (x, y)-systemet. Først de statiske momenter: S xda x A yt j j A j1 c m n m 1 xdy i1 K j1 i xa j n 1 m 1 ( 1i ( i 1i)) ( i 1i) j i1 0 j1 n m 1 6 ( x1 i xi xix1 i) ( yi y1 i) xjaj i1 j1 j x rx x y y dr xa j S yda y A xt j j A j1 c n i1 K j1 i n 1 m xydy m y A j j ( x rx ( x))( y ry ( y))( y y) dr ya j 1i i 1i 1i i 1i i 1i j i1 0 j1 n m 1 6 (xiyi xiy1 i x1 iyi x1 iy1i)( yi y1 i) yjaj i1 j1 m 35

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Derefter inertimomenterne: m yt j j A j1 c I x da x A n m 1 3 3 xdy j i1 K j1 i xa n 1 m 1 3 3 ( 1i ( i 1i)) ( i 1i) j i1 0 j1 x r x x y y dr x A n m 1 3 3 1 ( i i 1i i 1i 1i) ( i 1i) j i1 j1 x x x x x x y y x A m xt j j A j1 c I y da y A n m xy dy j i1 K j1 i n 1 m 3 ( 1i ( i 1i))( 1i ( i 1i)) ( i 1i) j i1 0 j1 n 1 1 i1 y A x r x x y r y y y y dr y A ( x x 3x y x y y x y y 3 x y x y ) ( y y ) Endvidere centrifugalmomentet: i 1i i i i 1i i 1i 1i i 1i 1i 1i i i 1i m j1 ya j Z xyda x y A xyt j j j A j1 c n 1 m 1 ( x1 i r( xi x1 i)) ( y1 i r( yi y1 i))( yi y1 i) dr xjyjaj i1 0 j1 n 1 4 i1 m n m 1 xydy i1 K j1 i xya j j j ( x y 3x y x x y x x y 3 x y x y ) ( y y ) i 1i i i 1i i 1i 1i i i 1i 1i 1i i i 1i m j1 x ya j j j 36

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Når tværsnitskonstanterne i (x, y)-systemet er fundet, bestemmes tværsnittes tyngdepunkt af: S yt S ( x0, y0), AT A xt T Herefter henføres tværsnitskonstanterne til et koordinatsystem med akser parallelle med x- og y-aksen og med origo i tværsnittets tyngdepunkt, idet størrelsen af A T ikke påvirkes heraf: I I x A y0t yt 0 T x0t xt 0 T I I y A Z Z xya xy0t xyt 0 0 T I dette koordinatsystem er de statiske momenter 0 S xt S. yt Endelig bestemmes tværsnittes hovedinertimomenter: Ix0TIy0T Ix0TIy0T 1T Zx y0t I I Ix0TIy0T Ix0TIy0T T Zx y0t og drejningen af tværsnittes hovedakser i forhold til (x, y)-systemet bliver: v Z 1 xy0t arctan Ix0T I y0t 37

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Drejningsvinklen benyttes til at transformere snitmomenter kendt i (x, y)- koordinatsystemet til momenter efter tværsnittes hovedakser: M M cos( v) M sin( v) 1 M M sin( v) M cos( v) x x y y Dette gælder både momenter hidrørende fra ydre kræfter og fra forspændingen. Den resulterende tryknormalkraft, N p, i projektionsligevægt med forspændingen virker i: m xp ( x, ), p j eff, j j eff, j j1 j1 p y p m m m yp p eff, j eff, j j1 j1 Dette er statisk ækvivalent med normalkraften N p virkende i tværsnittets tyngdepunkt sammen med momenterne: M xp ( yp y0) N P M ( x x ) N yp p 0 P svarende til følgende forspændingsmomenter virkende i hovedakserne: M { ( y y )cos v( x x )sin v} N 1p p 0 p 0 M { ( y y )sin v( x x )cos v} N p p 0 p 0 P P 38

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Ved analyse af forspændte elementer undersøges forholdene almindeligvis ved følgende lastniveauer i anvendelsesgrænsetilstanden: A. Forspænding plus elementets egenvægt, svarende til momentvirkningerne M 1p + M 1g og M p + M g. B. Forspænding plus samlet, quasipermanent last, svarende til momentvirkningerne M 1p + M 1q og M p + M q. C. Forspænding plus samlet, karakteristisk last, svarende til momentvirkningerne M 1p + M 1k og M p + M k. For et af hjørnepunkterne i tværsnittes omkreds med koordinaterne (x i, y i ) i (x, y)-systemet bliver koordinaterne i forhold til hovedakserne: s ( y y )cos v( x x )sinvn i i 0 i 0 t ( y y )sin v( x x )cosvn i i 0 i 0 P P Betonspændingen i hjørnepunktet bliver dermed i de tre nævnte lastniveauer: A: N M M M M t 1p 1g p g ca, i i At I1 t It s B: N M M M M t 1p 1q p q cb, i i At I1 t It s C: N M M M M t 1p 1k p k cc, i i At I1 t It s 39

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tilfælde A svarer til situationen, når forspændingslinerne kappes under elementproduktionen. Derfor kontrolleres normalt at: f ct, k c, A 0,7 f ck hvor f ck og ct, k f er betonens karakteristiske tryk- og trækstyrke på afformningtidspunktet. I tilfælde B ønskes normalt hverken trykspændinger på mere end omkring 70 % af betonens trykstyrke eller trækspændinger i betonen. Derfor sikres, at 0 0, 7f cb, ck hvor f ck er betonens karakteristiske trykstyrke efter 8 modenhedsdøgn I tilfælde C accepteres normalt, at betonspændingerne holder sig inden for følgende interval: f,, 0,7 f ct k c C ck hvor f ck og ct, k f er betonens karakteristiske tryk- og trækstyrke efter 8 modenhedsdøgn. Ovennævnte grænser skal overholdes i alle omkredsens hjørnepunkter. For forspændingsarmeringen vil man i alle tilfælde stræbe efter, at armeringsspændingen ikke overstiger proportionalitetsgrænsen i nogen af linerne. Dette volder ved sædvanlig elementproduktion normalt ingen vanskeligheder. 40

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 7.4. Brudgrænsetilstand, tværsnitsanalyse I brudgrænsetilstanden er det nødvendigt at udføre tværsnitsanalysen som en iterationsproces. Ved denne iterationsproces skønnes placeringen af snitlinjen, eksempelvis givet ved nullinjens skæring, y o med y-aksen og drejningsvinklen, v, i forhold til x-aksen. y t max y c Nc v. s M x y a M 1 Na xa xc x Figur 7-7: Principper for førspændte elementer med vilkårlige tværsnit i brudgrænsetilstanden Til brug for analysen indlægges for hvert skridt i iterationsprocessen et (s, t)- koordinatsystem som vist i figur 7-7 med s-aksen liggende i den skønnede nullinje. Da der i brudgrænsetilstanden ikke regnes med trækspændinger i betonen, optræder i betontværsnittet kun trykspændingerne i trykzonen, hvis areal benævnes A c, der på figuren er vist skraveret. 41

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK I den hårdest trykkede fiber i tværsnittet svarende til ordinaten t max vælges betontryktøjningen, 0, hvorefter tøjningerne overalt i tværsnittet kan bestemmes ved: 0 t t max Ved praktiske anvendelser kan på den sikre side og uden væsentlig fejl benyttes 0 cu Hermed kan også spændingerne i ethvert punkt i tværsnittet bestemmes ved hjælp af arbejdskurverne for beton og forspændingsstål. Disse spændinger vil være ækvalente med en trykkraft i betonen, N c, angribende i (x c, y c ) samt en trækkraft i armeringen, N a, angribende i (x a, y a ). Det forudsættes nu, at den ydre normalkraft er N Ed = 0, og at momentet om y- aksen er givet som M Edy. Iterationsprocessen til bestemmelse af brudmomentet om x-aksen kan så gennemføres efter følgende skema i figur 7-8: Processen forenkles en del, hvis elementet fastholdes mod udbøjninger i x- aksens retning, da man så kan sætte v = 0. I så fald er M Edy ikke givet, men bestemmes af M Edy = N c (x c x a ). Dette kan anvendes til at bestemme hvor store reaktioner i x-aksens retning, der skal til for at fastholde elementet mod udbøjning i denne retning. I det generelle tilfælde bliver beregningerne ganske omfattende, men de kan uden større vanskelighed automatiseres, når det grundlæggende formelsæt til beregninger inden for et iterationstrin er på plads. Opstilling af dette formelsæt gennemgås i det følgende som en dokumentation af den teoretiske baggrund for de praktiske beregningsværktøjer. 4

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 y 0 og v skønnes Kontroller at N c -N a =0 Ja Nej Ny værdi af y 0 skønnes Kontroller at N c (x c -x a )=M y Ja Nej Ny værdi af v skønnes Brudmomentet om x-aksen bestemmes M ud =M x =N c (y c -y a ) Figur 7-8: Procesdiagram For en given placering af (s j, t j )-systemet svarer til et sæt (x j, y j )-koordinater til: s x cos v( y y )sin v j j j t x sin v( y y )cos v j j j 0 0 Denne transformation foretages for hver enkelt forspændingslines koordinater, hvor den j te forspændingslines koordinater i (s, t)-systemet betegnes (s j, t j ). Endvidere foretages transformationen for hvert enkelt hjørnepunkt i den trykke- 43

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK de zones stykkevist lineær omkreds. For det i te lineære kurvestykke rundt langs omkredsen betegnes begyndelsespunkt og slutpunkt henholdsvis (s 1i, t 1i ) og (s i, t i ). Det gælder således, at (s 1i+1, t 1i+1 ) = (s i, t i ). For den enkelte forspændingsline kan tøjningen nu bestemmes af: p eff, j j a, j 0 AE j s tmax t Ved tøjninger over flydegrænsen regnes med tøjningshærdningen som anført i afsnit.3. Dermed bliver trækkraften i linen: N aj f pd jae s aj for 0 aj Es min 0,1 ajes f pd fpd Af 1 for 0,9 ud Ec fpd / 0,9 Es j ud aj ud Den resulterende trækkraft i forspændingslinerne bliver så: N a m N j1 aj og denne resultant angriber i punktet (s a, t a ): s a m sn j aj j aj j1 j1 ta Na Na m tn 44

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Næste skridt er at finde resultanten N c, af betonspændingerne svarende til den skønnede placering af nullinjen. Jævnfør afsnit.1 kan betonspændingen skrives således som funktion af betontryktøjningen, c som følger: k c c1 c c ( k ) c c1 c 1 Med 0 c og hjælpekonstanterne: max t t A B 0 k t c1max 0 ( k) t c1max 0 D k fcd c1max t kan udtrykket for betonspændingen skrives: t Dt ( AB), t 0 c 1 Bt 0, t 0 Betontrykkets resultant findes nu som fladeintegralet over den trykkede del af tværsnittet, A c : t Nc cda D ( t( AB) da 1 Bt Ac Ac 45

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK I dette tilfælde anvendes Stokes sætning, så fladeintegralet omskrives til et kurveintegral: A f ( xyda, ) Fxydy (, ) hvor F( xy, ) f( xy, ) K x Dermed omskrives fladeintegralet for N c til: t Nc D st( AB) dt K 1 Bt m t D st( AB) dt i1 K 1 Bt for det i te kurvestykke, der løber lineært fra (s 1i, t 1i ) til (s i, t i ) på den trykkede zones rand anvendes nu med fordel t som parameter, så parameterfremstillingen ved t 1i t i bliver for linjestykket: t t1 i s s1 i ( si s1 i) t t t t i 1i Med de lokale konstanter st st s s s s i 1i i i 1i i 1i i ti t1 i ti t1 i kan udtrykket for s i parameterfremstillingen omskrives til: s s st i i 46

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Dermed bliver linjestykkets bidrag til N c : ti t Nci, D ( s ist i ) t( AB) dt t1i 1 Bt AB AB 1 Bt Nci, D s ln 3 i s 4 i B B 1 Bt AB AB s s ( 3 i ti t1 i) B B A A B s s ( i ti t1 i) B B N 0 A s ( t t ), t t 3B for t t c, i 1i i i 1i 3 3 i i 1i 1i i Betontrykresultanten er hermed bestemt: N c n i1 N c, i Denne resultant ligger i afstanden t c fra s-aksen: 3 tn c c t cdat ( AB) dt Ac Ac 1 Bt t ( ) 1 Bt n 3 D s t A B dt i1 Ki t 47

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Med samme parameterfremstilling som anvendt ovenfor, bliver det i te linjestykkes bidrag: 3 ti t ( tn c c) i D ( s i st i ) t ( AB) dt t1i 1 Bt AB AB 1 Bti ( tn c c) i D s ln 4 i s 5 i B B 1 Bt1 i AB AB s ( 3 i s 4 i ti t1 i) B B AB AB s ( i s 3 i ti t1 i) B B A A B 3 3 s i s i ( ti t1 i) 3B 3B, ( tn) 0 for t t c c i 1i i A s ( t t ), t t 4B 4 4 i i 1i 1i i Dermed bliver: t c n i1 ( tn ) N c c i c Endelig bestemmes udtrykket for betontrykresultantens afstand fra t-aksen: t t s N s da s t A B dt D s t A B dt Bt n 1 c c c ( ) ( ) 1 Bt i 1 1 Ac A c Ki 48

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 Der anvendes atter samme parameterfremstilling, så bidraget fra det i te kurveintegral bliver: ti t ( sn c c) i D ( s i st i ) t( AB) dt t1i 1 Bt ( sn) D AB s AB ss AB s 1 Bt ln AB AB AB s ( i ss 3 i i s 4 i ti t1 i) B B B A AB AB s i ss i i s 3 i ( ti t1 i) 4B B 4B A A B 3 3 ss ( 3 i i s i tit1 i) 3B 6B i c c i 3 i 4 i i 5 i B B B 1 Bt1 i ( sn) 0 for t t c c i 1i i A s ( t t ), t t 8B 4 4 i i 1i 1i i Dermed bliver: s c n i1 ( sn ) N c c i c Koordinaterne til resultanterne af kræfterne i armering (s a, t a ) og i betonen (s c, t c ) regnes nu tilbage til (x, y)-systemet: x s cos( v) t sin( v) a y y s sin( v) t cos( v) a 0 a a x s cos( v) t sin( v) c y y s sin( v) t cos( v) c 0 a a a a a a Hermed er alle størrelser til brug i et iterationstrin i proceduren beskrevet i oversigtsskemaet fastlagt på en form, der er egnet til programmering. Det er denne metodik, der er anvendt i beregningsprogrammet, vist i følgende afsnit. 49

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 7.5 Beregningsprogram På www.bef.dk kan frit hentes et beregningsprogram, der håndterer samtlige beregninger svarende til ovenstående afsnit 7.,7.3 og 7.4. Nedenfor ses dette programs brugerflade/udskrift med bjælken fra regneeksemplet fra afsnit 7.3.3 indlagt. Der ses at være god overensstemmelse i resultaterne. Figur 7-9: Beregningsprogram Forspændte betonelementbjælker udføres ofte med asymmetriske tværsnit. Et eksempel herpå er vist i figur 7-10, hvor den første udskrift svarer til en situation, hvor en bjælke med det viste tværsnit påvirkes af rent lodrette linjelaste. Som det fremgår af udskriften, medfører tværsnittets form, at der for lodret last opstår både lodrette og vandrette udbøjninger, og at nullinjen i brudstadiet ligger skråt ned gennem tværsnittet. På figur 7-11 er de lodrette linjelaste suppleret med fornødne vandrette kræfter til fastholdelse af bjælken i vandret retning både for langtidslast, for karakteristisk last og for brudlast. I anvendelsestilstanden ses, at den vandrette fasthol- 50

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Forspændte elementer 7 delse både aflaster spændingerne i tværsnittet og reducerer de lodrette udbøjninger. FORSP. BJÆLKE, ver. beta-1 Betonelement-Foreningen maj 009 Sagsnavn: Betonelementhuset Sag nr.: 3-4545 Bygningsdel: Bjælke i modul D-E/1, stueetage Dato: 008-03-01 Emne: Normale lastkombinationer, spændingsanalyse ved s = 4,80 m Init: JFJ Element med hovedakser ved fagmidte Styrker f k f d Krybedata Lager Langtid 350 Beton 40 MPa 1,40 8,6 MPa RH 80% 55% Forskydningskræfter i kn : V Ed Liner 1600 MPa 1,0 1333 MPa t o døgn 8 døgn 300 Bøjler 500 MPa 1,0 417 MPa o,7 1,73 50 : V Rd,1 Forspændingsarmering Neutralisering ved s = 1,90 m Lineantal Linedata (pr. line) 00 M x y (mm) x- (mm) x+ (mm) max. min. A (mm ) N f (kn) : 150 V Rd, Lag øv. 650 75 85 6 6 93 100 Retning for u x Lag ml. 50 85 50 93 100 og tværlast 100 : z cot Lag 4 0 0 0 0 0 0 0 50 Lag 3 130 85 105 5 3 93 100 Lag 90 85 105 5 3 93 100 0 : L / 10 Lag 1 50 85 00 7 5 93 100 Bøjler d (mm) a (mm) cot Samlet forspændingskraft LODRETTE Jævnt fordelte laste Punktlaste Tværsnitsgeometri - alle mål i mm Type 1 10 100,00 N f = 500 kn LASTE p 1 p p 3 P 1 P P 3 Krop: h 0 = 700 b 0 = 50 Type 10 15,00 y f = 34 mm Langtidslast (kn/m) 43,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 Hjørneblokke: Forskydningskapacitet Momentkapacitet Kar. Last (kn/m) 48,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 b 1 b h h 3 v/ trykbrud i krop: V Rd,0 9 kn M Rd 901 knm Regnm. Last (kn/m) 55,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 Blok A 00 00 150 150 v/ type 1 bøjler: V Rd,1 70 kn Regningsmæssigt max. moment Excentricitet (mm) 30 0 0 (mm) 0 0 0 Blok B v/ type bøjler: V Rd, 16 kn M Ed 634 knm s 1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,00 0,00 0,00 Blok C Tværsnitskonstanter kort = E s / 0,7*E cok = 7, s (m) 9,60 0,00 0,00 g = 6,00 kn/m, skal med i p 1 Blok D 15 175 300 300 A t,78e+05 mm spændingsanalyse 1,0 TVÆRLAST v / langtidslast 0,0 kn/m Yderste liner i hvert lag mål- I 1,t 1,49E+10 mm 4 Drejning af akser fra (x,y)-system: b 1 b 1 v / kar. last 0,0 kn/m sættes fra kropmidte: x- og x+ I,t 3,9E+09 mm 4 v = 0,369 rad c v / brudmoment 0,0 kn/m Lodret målsættes hvert lag liner Snitanalyse i s = 4,80 m Forsp. Egenvægt Langtidslast Kar. last Blok A Blok B fra bjælkebund: y M h x (knm) -58 69 495 553 h SPÆNDVIDDE L = 9,60 m M y (knm) 1 0 0 0 ½ ½ h 3 h 0 h 3 b b M 1 (knm) -36 64 46 516 Krop M (knm) 104-5 -178-199 s 1 b b Max. betonspændinger (MPa) 1,0 18,0 18,9 1,5 s 1 h 3 h 3 s - optræder ved: Blok C Blok C Blok B Blok B h h Min. betonspændinger (MPa) -3, -0, -0,6-3,1 p P y Blok C Blok D - optræder ved: Blok B Blok B Blok C Blok C Nedbøjninger Levering Langtid Kar. last Lodret, u y (mm) -14,5 1,6 14,5 L x- x+ b 1 b 0 b 1 Vandret, u x (mm) -13,9 6,4 8,0 Bemærk: Beregningsmodulet er en beta-version. Der foreligger dermed ingen dokumenteret kvalitetsikring. NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 7-10: Beregningsprogram I brudtilstanden ses, hvorledes nullinjen drejes til vandret for den påførte tværlast samtidig med, at momentkapaciteten over for lodret last stiger fra 901 knm til 1087 knm. Til gengæld ses, at der fordres ganske store tværkræfter for at fastholde en bjælke med denne tværsnitsform mod vandret udbøjning i et niveau omkring 35 % af den lodrette linjelast. Dette skal man være opmærksom på, fordi kræfter af denne størrelse kan være vanskelige at overføre gennem dækskiven. I det aktuelle eksempel overføres en trækforankringskraft til dækket, som hviler på bjælkekonsollen i højre side, af størrelsen 0 kn/m, hvilket betyder, at der til hver bjælkeende skal overføres en vandret trykkraft af størrelsen: F 9,6m0 kn / m96kn x 1 51

7 Forspændte elementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK samtidig med at dækket langs bjælken skal fungere som en vandret bjælke. Snitkræfter af denne type kan ofte være vanskelige at overføre. En praktisk løsning vil ofte være, at der sikres mulighed for at overføre de fornødne vandrette kræfter til fastholdelse af bjælken mod vandret udbøjning i anvendelsestilstanden; medens man lader bjælken bøje vandret ud i brudtilstanden. FORSP. BJÆLKE, ver. beta-1 Betonelement-Foreningen maj 009 Sagsnavn: Betonelementhuset Sag nr.: 3-4545 Bygningsdel: Bjælke i modul D-E/1, stueetage Dato: 008-03-01 Emne: Normale lastkombinationer, spændingsanalyse ved s = 4,80 m Init: JFJ Element med hovedakser ved fagmidte Styrker f k f d Krybedata Lager Langtid 350 Beton 40 MPa 1,40 8,6 MPa RH 80% 55% Forskydningskræfter i kn : V Ed Liner 1600 MPa 1,0 1333 MPa t o døgn 8 døgn 300 Bøjler 500 MPa 1,0 417 MPa o,7 1,73 50 : V Rd,1 Forspændingsarmering Neutralisering ved s = 1,90 m Lineantal Linedata (pr. line) 00 M x y (mm) x- (mm) x+ (mm) max. min. A (mm ) N f (kn) : 150 V Rd, Lag øv. 650 75 85 6 6 93 100 Retning for u x Lag ml. 50 85 50 93 100 og tværlast 100 : z cot Lag 4 0 0 0 0 0 0 0 50 Lag 3 130 85 105 5 3 93 100 Lag 90 85 105 5 3 93 100 0 : L / 10 Lag 1 50 85 00 7 5 93 100 Bøjler d (mm) a (mm) cot Samlet forspændingskraft LODRETTE Jævnt fordelte laste Punktlaste Tværsnitsgeometri - alle mål i mm Type 1 10 100,00 N f = 500 kn LASTE p 1 p p 3 P 1 P P 3 Krop: h 0 = 700 b 0 = 50 Type 10 15,00 y f = 34 mm Langtidslast (kn/m) 43,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 Hjørneblokke: Forskydningskapacitet Momentkapacitet Kar. Last (kn/m) 48,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 b 1 b h h 3 v/ trykbrud i krop: V Rd,0 30 kn M Rd 1087 knm Regnm. Last (kn/m) 55,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 Blok A 00 00 150 150 v/ type 1 bøjler: V Rd,1 84 kn Regningsmæssigt max. moment Excentricitet (mm) 30 0 0 (mm) 0 0 0 Blok B v/ type bøjler: V Rd, 7 kn M Ed 634 knm s 1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,00 0,00 0,00 Blok C Tværsnitskonstanter kort = E s / 0,7*E cok = 7, s (m) 9,60 0,00 0,00 g = 6,00 kn/m, skal med i p 1 Blok D 15 175 300 300 A t,78e+05 mm spændingsanalyse 1,0 TVÆRLAST v / langtidslast -, kn/m Yderste liner i hvert lag mål- I 1,t 1,49E+10 mm 4 Drejning af akser fra (x,y)-system: b 1 b 1 v / kar. last -3,6 kn/m sættes fra kropmidte: x- og x+ I,t 3,9E+09 mm 4 v = 0,369 rad c v / brudmoment -0,0 kn/m Lodret målsættes hvert lag liner Snitanalyse i s = 4,80 m Forsp. Egenvægt Langtidslast Kar. last Blok A Blok B fra bjælkebund: y M h x (knm) -58 69 495 553 h SPÆNDVIDDE L = 9,60 m M y (knm) 1 0 5 41 ½ ½ h 3 h 0 h 3 b b M 1 (knm) -36 64 471 531 Krop M (knm) 104-5 -155-161 s 1 b b Max. betonspændinger (MPa) 1,0 18,0 17,4 19,0 s 1 h 3 h 3 s - optræder ved: Blok C Blok C Blok B Blok B h h Min. betonspændinger (MPa) -3, -0, 1,0-0,5 p P y Blok C Blok D - optræder ved: Blok B Blok B Blok C Blok C Nedbøjninger Levering Langtid Kar. last Lodret, u y (mm) -14,5 10,8 1, L x- x+ b 1 b 0 b 1 Vandret, u x (mm) -13,9 0,0 0,0 Bemærk: Beregningsmodulet er en beta-version. Der foreligger dermed ingen dokumenteret kvalitetsikring. NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 7-11: Beregningsprogram 5

8 SØJLER OG VÆGELEMENTER 8 SØJLER OG VÆGELEMENTER 8.1 Brudgrænsetilstande 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metode 8.1. Dannelse af bæreevnekurver ved brug af designdiagrammer 8.1.3 Minimum og maksimum armering 8.1.4 Eksempel Søjleberegning i brudgrænsetilstanden 8. Anvendelsesgrænsetilstande 8..1 Eksempel urevnet tværsnit 8.. Udbøjning for revnet tværsnit 8.3 Beregningsprogrammer 8.4 Skæv bøjning 8.4.1 Eksempel, skæv bøjning

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 8.1 Brudgrænsetilstande I dette afsnit beskrives beregning af søjler og vægge i brudgrænsetilstanden. Den generelle metode for tværsnitsanalyse gennemgås, og det demonstreres, hvorledes der kan opstilles en rationel interationsprocedure til brug for nøjagtig bestemmelse af søjler og vægges kapacitet over for kombinationer af excentrisk virkende normalkraft og tværbelastning. Det vises, hvordan en bæreevnekurve kan dannes ved hjælp af designdiagrammer, og der præsenteres en række dimensionsløse designdiagrammer, der direkte kan anvendes i praktisk projektering. Endvidere behandles tilfældet for skæv udbøjning, hvor udbøjningen sker i en anden retning end tværsnittets hovedakser. Dette er primært relevant for søjler. 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metode Ved tværsnitsanalyse af en søjle eller en væg i brudgrænsetilstanden anvendes resultaterne fra afsnit.1.1. Her blev resultanten af betonspændingerne, N c, i tværsnittets trykzone for en given betonkantspænding, 0, bestemt ved: 0 Nc k 3 B B c 1 B 1 A B 1 B 1 1 1 ln 1B N N c bxf c cd og med denne resultants moment om nullinjen givet ved: '' 1 3 A B 0 3 3 1 B Nc k 1 4 B 1 3B 1 6B1 6ln 3 c 1 B 1 B yn ' c N c bx f cd 54

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 kan resultantens placering målt fra nullinjen bestemmes som: yn c bx fcdnc Nc y x Nc bxf N N cd c c I det følgende findes bidraget fra spændingerne til snitkræfterne i tværsnittet, og ligevægtsligningerne for en søjle/væg opstilles og løses. Ved beregning af armeringsbidraget, skal der tages hensyn til krybningen. Det gøres ved at øge betonens tøjning med faktoren (1 + ef ), hvor ef er det effektive krybetal givet ved: ef moment fra langtidslast 0 moment fra samlet last På denne måde medtages kun krybning fra den del af lastpåvirkningen, der er langvarig. Bidraget fra krybning får ikke indflydelse på betonens spændingsblok, men på de samhørende armeringstøjninger og udbøjninger. c c ef 0 N ac N c y x h N Rd M Rd N at c b Figur 8-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse 55

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Det viste tværsnit er armeret med et lag tryk/træk-stænger i hver side, med armeringsarealerne A sc og A st. Armeringen er placeret i afstanden c fra betonkanten. De geometriske betingelser for armeringstøjningerne er: x c sc 1ef 0 x h x c st 1ef 0 x Dermed kan tryk/trækkræfterne i armeringen udtrykkes ved: x c 1 ef Trykarmeringen: min 0 N ac x A sc f A h x c 1 ef Trækarmeringen: min 0 N at x A st yd f yd sc E s A st E s Det er nu muligt at opstille ligningerne for den statiske ækvivalens, som fører frem til bestemmelse af tværsnittets bæreevne, der for en given ydre normalkraft, N Ed, udtrykkes ved det maksimale lastfremkaldte 1. ordens moment, som søjlen samtidig kan optage. For en given kanttøjning, 0, og given ydre normalkraft, N Ed, repræsenterer projektionsligningen, NEd Nc Nac N at for x < h en andengradsligning til bestemmelse af nullinjedybden x, eftersom det fundne udtryk for N c er uafhængigt af x, når = 0. Ved store normalkraftniveauer bliver x > h, og udtrykket for N c bestemmes da først med skønnet værdi af = (h x)/x, hvorefter en ny værdi af x findes ved løsning af andengradslig- 56

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 ningen. Hertil hører en ny værdi af, der indsættes i udtrykket for N c, og andengradsligningen løses på ny. Denne iterationsproces konvergerer i løbet af ret få skridt. Når x er bestemt ved projektionsligningen, findes det totale tværsnitsmoment o mkring søjlens centerlinje af momentligningen: M Rd 1 h x y' N c 1 h c N ac 1 h c N at hvor y er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant. Ved at opstille momentligningen omkring tværsnittets centerlinje frem for omkring nul- opnås et momentudtryk, der er velegnet til lineær linjen programmering Momentbelastningen på en søjle/væg udgøres af to bidrag. Dels det lastfremkaldte 1. ordens moment M 0Rd fra en tværlast og / eller en excentrisk placeret normalkraft. Dels. ordens momentet hidrørende fra momentforøgelsen når søjlen deformeres ud fra sit lodrette plan, N Ed u. For en given kanttøjning, 0, og given ydre normalkraft, N Ed, kan det maksimale lastfremkaldte moment, M 0Rd, som søjlen/væggen kan belastes med, findes ud fra søjlens ligevægtsligning: M M N u Rd 0Rd Ed 1 1 M M N L 10 x ef 0 0Rd Rd Ed s Her udnyttes at søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet, med en formfaktor for krumningsforløbet på ca. 10. Det vil sige, at udbøjningen er givet ved: 1 u maxl s 10 57

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hvor L s er søjlelængden og krumningen, max, udgør forholdet mellem kanttøjningen og dennes afstand til nullinjen: max 1 ef 0 x Hermed er alle de nødvendige udtryk til en iterativ bestemmelse af søjlens bæreevne klar. Iterationsprocessen kan med given ydre normalkraft, N Ed, resumeres således: 1. Først vælges en værdi for kanttøjningen 0.. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen. 3. Tværsnittets samlede momentkapacitet M Rd fås af momentligningen om tværsnittets centerlinje. 4. Momentkapaciteten med hensyn til det lastfremkaldte 1.-ordens moment M 0Rd fås ved at trække udbøjningstillægget fra den samlede momentkapacitet. 5. En ny værdi af kanttøjningen vælges, og det undersøges om resultatet for M 0Rd er gunstigere. Ved at gennemføre denne proces for et antal forskellige værdier af N Ed, findes en række sammenhørende punkter (N Ed, M 0Rd ), der tilsammen definerer søjlens eller væggens bæreevnekurve i et (N Ed,M 0rd )-diagram. Det er den her beskrevne metode, der ligger til grund for beregningsmodulerne præsenteret i afsnit 8.3. 8.1. Dannelse af bæreevnekurver ved brug af designdiagrammer Det er især som følge af de ulineære effekter, at det i praksis er hensigtsmæssigt at danne en bæreevnekurve for den søjle eller væg som betragtes. Når bæreevnekurven fremstilles i et (N d,m 0rd )-diagram kan man enkelt kontrollere mange lasttilfælde blot ved at sikre, at punkterne svarende til de værdier af N Ed og M 0Ed, som søjlen eller væggen belastes af, ligger inden for bæreevnekurven. 58

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 Som nævnt kan bæreevnekurven dannes ved at gennemregne et antal punkter ud fra den generelle metode, som er angivet i afsnit 8.1.1. Denne iterative beregningsprocedure er omstændelig at anvende som en håndregningsmetode. Derfor præsenteres i det efterfølgende en række designdiagrammer i form af dimensionsløse (N Ed,M 0rd )-diagrammer, som i mange tilfælde vil være tilstrækkelige til brug for en bæreevneeftervisning. Diagrammerne med armeringens centerafstand c < 0,1 h vil normalt være velegnede til vægge og søjler med tværsnitsdimensioner på mindst 300 mm; mens diagrammerne med c < 0, h primært er tænkt til anvendelse ved vægge og vægsøjler med mindre tværsnitsdimension. På figur 8- er vist, hvorledes bæreevnekurven kan se ud, og hvorledes en simplificeret beregning danner en bæreevnekurve på den sikre side. Af figuren ses, at det ofte vil være tilstrækkeligt at omsætte designdiagrammerne til en bærevenekurve ud fra ganske få repræsentative punkter. Ved at trække rette linjer mellem disse punkter dannes en konservativ bæreevnekurve. Designdiagrammerne i figur 8-3 til figur 8-13 giver en simpel måde at bestemme bæreevnen af en søjle eller væg for en given lastkombination. Ved at betragte 3-4 repræsentative lastkombinationer kan en konservativ bæreevnekurve optegnes. Designdiagrammerne angiver en enhedsløs sammenhæng mellem normalkraften på en søjle eller væg og den dertil hørende momentkapacitet. Kurverne afhænger af tværsnittets armeringsgrad, som for trækarmeringen defineres: ' t A f st bhf yd cd Trykarmeringens armeringsgrad fås på tilsvarende vis. 59

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 180 160 140 10 M (knm) 100 80 60 40 0 0 DCBAEFGHI 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 N (kn) 70 60 50 M (knm) 40 30 0 10 0 DCBAEFGHI 0 100 00 300 400 500 600 700 N (kn) Figur 8-: Nøjagtig bæreevnekurve (stiplet) i forhold til simplificeret bæreevnekurve dannet ved hjælp af designdiagrammer (sort). Øverst er vist bæreevnekurven for en kort søjle og nederst er vist bæreevnekurven for en slank søjle. 60

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 8.1..1 Søjler Diagrammerne er ikke gældende for vilkårlige tværsnit. Forudsætninger for brug af diagrammerne er følgende: Tværsnitsform: Gælder for rektangulære tværsnit Betonstyrke: 0 MPa f ck 50 MPa Armeringsstyrke: 400 MPa f ck 600 MPa Afstand fra betonkant til center af hovedarmering, c h/10 Effektivt krybetal: ef = 1,6 svarende til tørt indeklima. Lavere værdier af det effektive krybetal giver bæreevner på den sikre side. Herunder ses designdiagrammer for armeringsgraderne = 0,05, = 0,075, = 0,10 og = 0,15. M 0Rd /bh f cd 0,0 0,18 c = t = 0,05 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 L s /h = 10 L s /h = 5 0,06 L s /h = 15 0,04 L s /h = 5 L s /h = 0 0,0 L s /h = 30 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 N/bhf cd Figur 8-3: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler 61

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK M 0Rd /bh f cd 0,0 0,18 c = t = 0,075 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 L s /h = 0 L s /h = 15 L s /h = 10 L s /h = 5 0,0 L s /h = 35 0,00 L s /h = 5 L s /h = 30 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 N/bhf cd Figur 8-4: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler M 0Rd /bh f cd 0,0 0,18 0,16 0,14 c = t = 0,10 Ls/h = 5 0,1 0,10 0,08 0,06 L s /h = 15 L s /h = 10 L s /h = 0 0,04 L s /h = 5 0,0 L s /h = 30 Ls/h = 35 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 N/bhf cd Figur 8-5: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler 6

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 M 0Rd /bh f cd 0,0 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 c = t = 0,15 L s /h = 5 L s /h = 10 L s /h = 15 0,06 L s /h = 0 0,04 L s /h = 5 0,0 L s /h = 30 L s /h = 35 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 N/bhf cd Figur 8-6: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for søjler 8.1.. Tyndere vægge og vægsøjler Mange vægge udføres med en tykkelse på 10, 150 eller 180 mm. I så fald kan diagrammerne i afsnit 8.1..1 ikke umiddelbart anvendes, fordi den lodrette armerings centerafstand til vægoverfladen bliver større end h/10. I de efterfølgende diagrammer er vist designdiagrammer til brug for den type vægge og søjler med følgende forudsætninger: Betonstyrke: Armeringsstyrke: Afstand fra betonoverside til center armering: 0 MPa f ck 50 MPa f yk = 500 MPa c 0, h Diagrammerne er afstemt med forholdene svarende til tørt indeklima (RH = 50%) og med et forhold mellem momenter svarende til henholdsvis quasipermanent last og brudlast (M 0Ed / M Eq ) af størrelsen 75%. 63

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Da betonelementvægge ofte udføres med armering kun svarende til den nødvendige transportarmering, er i diagrammerne medtaget bæreevnekurver helt ned til mekaniske armeringsgrader på c = t = 0,015. M/bh f cd 0,10 0,09 c = t = 0,015 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 /h = 16 Ls /h = Ls Ls/h = 6 /h = 0 Ls 0,01 /h = 4 Ls /h = 18 Ls 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 N/bhf cd Figur 8-7: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og vægsøjler 64

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 M/bh f cd 0,10 0,09 c = t = 0,05 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 /h = Ls /h = 16 Ls /h = 4 Ls /h = 0 Ls 0,01 /h = 18 Ls Ls/h = 6 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figur 8-8: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og vægsøjler N/bhf cd M/bh f cd 0,10 0,09 c = t = 0,050 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 /h = 0 Ls /h = 16 Ls 0,01 Ls /h = 4 /h = Ls /h = 18 Ls Ls/h = 6 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figur 8-9: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og vægsøjler N/bhf cd 65

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK M/bh f cd 0,10 0,09 c = t = 0,075 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 /h = 0 Ls /h = Ls /h = 18 Ls 0,0 /h = 16 Ls /h = 4 Ls 0,01 Ls/h = 6 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figur 8-10: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og vægsøjler N/bhf cd M/bh f cd 0,10 0,09 c = t = 0,100 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 /h = Ls /h = 0 Ls /h = 18 Ls 0,0 /h = 16 Ls 0,01 /h = 4 Ls Ls/h = 6 0,00 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 N/bhf cd Figur 8-11: Designdiagram til bestemmelse af bæreevne for vægge og vægsøjler 66

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 8.1.3 Minimum og maksimum armering I dette afsnit refereres nogle af de regler, der er anført i EC, for minimum og maksimum armering af betonsøjler og vægge. 8.1.3.1 Søjler Længdearmering Længdearmeringen skal placeres, så der er mindst én armeringsstang i hvert af søjletværsnittets hjørner. For cirkulære søjler benyttes mindst fire længdearmeringsstænger. Længdearmeringen i en søjle bør ikke være under 8 mm i diameter. Den totale mængde længdearmering skal være større end A s,min : A s,min 0,10NEd max f yd 0,00A c N Ed f yd A c er den regningsmæssige normalkraft er den regningsmæssige flydespænding for armeringen er tværsnitsarealet af betontværsnittet Samtidig bør arealet af længdearmeringen ikke overstige A s,maks : As, maks 0,04Ac Udtrykket gælder uden for områder med stød. Ved stød kan A s,maks = 0,08A c benyttes. 67

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tværarmering Diameteren for tværarmeringen bør være mindst 6 mm eller en fjerdedel af længdearmeringsstængernes største diameter. Afstanden mellem tværarmeringen bør ikke overstige s cl,maks givet ved: s cl, maks 0 gange diameteren af længdearmeringen min Den mindste søjledimension 400 mm 8.1.3. Vægge Lodret armering Arealet af den lodrette armering bør være mellem A s,vmin og A s,vmaks givet ved: As, vmin 0,00A As, vmaks 0,04A c c Hvis minimumsarealet er dimensionsgivende, bør halvdelen af dette areal placeres ved hver overflade. Afstanden mellem to tilstødende lodrette stænger må hverken overstige 3 gange vægtykkelsen eller 400 mm. Vandret armering Arealet af den vandrette armering bør være mindst A s,hmin givet ved: A sh, min 5% af den lodrette armering max 0,001Ac Afstanden mellem to vandrette de vandrette armeringsstænger bør ikke være større end 400 mm. 68

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 8.1.4 Eksempel Søjleberegning i brudgrænsetilstanden I dette eksempel ses på hjørnesøjlen i modul B/4 fra lastnedføringseksemplet afsnit 3.5.5. Søjlen dimensioneres for udbøjning om begge akser samt en kombination heraf. 8.1.4.1 Beregningsforudsætninger Tværsnit 40 mm x 300 mm Karakteristisk betontrykstyrke f ck = 35 MPa Regningsmæssig betontrykstyrke f cd = 35 MPa/1,4 = 5 MPa Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne: A sc = 40 mm A st = 40 mm c = 40 mm Karakteristisk flydespænding f yk = 500 MPa Regningsmæssig flydespænding f yd = 500 MPa/1, = 417 MPa Søjlelængde L s = 3500 mm om begge akser. A 4 1 7 B C stk. Y16 40 mm Bjl. Y6 pr. 00 mm stk. Y16 300 mm Figur 8-1: Søjleplacering og tværsnit 69

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 8.1.4. Udbøjning om den stærke akse Designdiagrammerne afsnit 8.1. benyttes til at danne en bæreevnekurve for tværsnittet. Armeringsgrad og forholdet mellem søjlelængde og tværsnitshøjde udregnes: Af yd 40417 t ' c' 0,053 bhf 300405 cd L s h 3500 8,3 40 Der vælges nogle repræsentative værdier af den dimensionsløse størrelse N d /(bhf cd ) N bhf Ed N bhf cd Ed N bhf cd Ed cd 0,000 N 0,000300405 0kN Ed 0,440 N 0, 440300405 1386kN Ed 0,760 N 0,760300405 394kN Ed Herefter aflæses kurverne for armeringsgraderne ' 0,05 og ' 0,075 der interpoleres mellem de aflæste værdier: N bhf Ed cd 0,000 M 0Rd ' 0, 05 0, 040 bh f cd M 0Rd ' 0, 075 0, 060 bh f M bh f cd 0Rd cd, og 0,053 0,050 ' 0, 053 0, 040 0, 060 0, 040 0, 04 0,075 0,050 70

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 N bhf Ed cd 0,440 M 0Rd ' 0, 05 0,1 bh f cd M 0Rd ' 0, 075 0,140 bh f M bh f cd 0Rd cd 0,053 0,050 ' 0, 053 0,1 0,140 0,1 0,14 0,075 0,050 N bhf Ed cd 0,760 M 0Rd ' 0, 05 0, 06 bh f cd M 0Rd ' 0, 075 0, 073 bh f M bh f cd 0Rd cd 0,053 0,050 ' 0, 053 0, 06 0, 073 0, 06 0, 063 0,075 0,050 Søjlens momentkapacitet svarende til normalkraftpåvirkningerne bliver nu: M0 Rd N Ed 0kN 0, 04300 40 5 56kNm M0 Rd N Ed 1386kN 0,14300 40 5 164kNm M0 Rd N Ed 394kN 0, 063300 40 5 83kNm I Figur 8-13 er søjlens bæreevnekurve vist sammen med den tilnærmede defineret ved punkterne A, B og C. 71

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK M 0Rd (knm) 180 160 B 140 10 100 80 C 60 40 A 0 0 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 N Rd (kn) Figur 8-13: Bæreevnekurve (iht. www.bef.dk, Søjleelementer) og tilnærmet bæreevnekurve, bøjning om stærk akse (punkteret) Søjlen undersøges for lasttilfælde A - I fra hovedtilfælde I-a som beskrevet i kapitlet om lodrette lastvirkninger afsnit 3.5.5. Søjlen regnes tværbelastet af vindlast på facaden med en lastbredde på,8 m. Vindlasten udregnes i henhold til EC1. Maksimal vind: w K q z c lastbredde e FI p e pe Reduceret vind: kn 1,0 1,5 0,7 0,8 0,,8,94 m e FI 0 p e pe w K q z c lastbredde kn 1,0 1,5 0,30,7 0,8 0,,8 0,88 m 7

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 Derudover skal der tages højde for det moment, der fremkommer ved, at normalkræfterne er placeret excentrisk i forhold til søjlens centerlinje. N 0 er reaktionen fra overliggende etager. N 1 og N stammer fra bjælken i modullinje B, se lastnedføringseksemplet afsnit 3.5.5. e 0 N 0 e e 1 N N 1 w 40 mm Figur 8-14: Belastning og geometri for bøjning om stærk akse Følgende excentriciteter fås ved anvendelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1, idet den generelle udførelsestolerance T sættes til 0 mm. Endvidere skal det bemærkes, at lastandelene N 1 og N fra dækket over den betragtede søjle påvirker søjlen indirekte via bjælkerne i bærelinjen, og at excentriciteterne e 1 og e 73

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK derfor svarer til afstanden fra søjle-/bjælkesystemets centerplan ud til placeringen af dækkenes lodrette reaktion på bjælken: e 0mm 0 e 33mm 1 e 00mm Nedenstående skema giver en opsummering af søjlens brudlasttilfælde under hovedtilfælde I-b svarende til den farligste udbøjningsretning omkring den stærke akse. N 1 N 0 N w N Ed M 0Ed A 63 114 4,94 00 16,7 B 139 114 4,94 77 34,6 C 139 403 4,94 566 40,4 D 139 403 5,94 595 34,6 E 165 114 4 0,88 30 37,3 F 165 403 4 0,88 591 43,1 G 165 403 6 0,88 630 35,4 H 165 438 4 0,88 66 43,8 I 165 438 6 0,88 664 36,1 Figur 8-15: Opsummering af søjlens lasttilfælde, stærk akse N Ed er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som: NEd N1N0 N Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M 0Ed fås som en sum af momentbidraget fra de excentrisk placerede normalkræfter og momentbidraget fra tværlasten. 1 M 0Ed Ne 1 1Ne 0 0 Ne wl 8 74

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 På Figur 8-16 er de 9 lasttilfælde vist i et M-N-diagram sammen med søjlens bæreevnekurve. M 0Rd (knm) 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 E B A C D F G H I 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 N Rd (kn) Figur 8-16: Søjlens lasttilfælde vist i et M-N diagram 8.1.4.3 Udbøjning om den svage akse Bæreevnekurven for udbøjning om den svage akse dannes ligeledes ved brug af designdiagrammerne afsnit 8.1.. Armeringsgrad og forholdet mellem søjlelængde og tværsnitshøjde udregnes: Af yd 40417 t ' c' 0,053 bhf 403005 cd L s h 3500 11,7 300 75

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Der vælges nogle repræsentative værdier af den dimensionsløse størrelse N d /(bhf cd ) N bhf Ed N bhf cd Ed N bhf cd Ed cd 0,000 N 0,000403005 0kN Ed 0,400 N 0,400403005 160kN Ed 0,740 N 0,740403005 331kN Ed Herefter aflæses kurverne for armeringsgraderne ' 0,05 og ' 0,075 der interpoleres mellem de aflæste værdier:, og N bhf Ed cd 0,000 M 0Rd ' 0, 05 0, 040 bh f cd M 0Rd ' 0, 075 0, 060 bh f M bh f cd 0Rd cd 0,053 0,050 ' 0, 053 0, 040 0, 060 0, 040 0, 04 0,075 0,050 N bhf Ed cd 0,400 M 0Rd ' 0, 05 0, 096 bh f cd M 0Rd ' 0, 075 0,117 bh f M bh f cd 0Rd cd 0,053 0,050 ' 0, 053 0, 096 0,117 0, 096 0, 099 0,075 0,050 76

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 N bhf Ed cd 0,740 M 0Rd ' 0, 05 0, 034 bh f cd M 0Rd ' 0, 075 0, 048 bh f M bh f cd 0Rd cd 0,053 0,050 ' 0, 053 0, 034 0, 048 0, 034 0, 036 0,075 0,050 Søjlens momentkapacitet svarende til normalkraftpåvirkningerne bliver nu: M0 N 0kN 0, 0440300 5 40kNm Rd Ed M0 Rd N Ed 160kN 0, 09940300 5 94kNm M0 N 331kN 0, 03440300 5 3kNm Rd Ed I Figur 8-17 er bæreevnekurven vist sammen med den tilnærmede defineret ved punkterne A, B og C. 77

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK M 0Rd (knm) 10 100 B 80 60 40 0 A C 0 0 500 1000 1500 000 500 3000 N Rd (kn) Figur 8-17: Bæreevnekurve (iht. www.bef.dk, Søjleelementer) og tilnærmet bæreevnekurve, bøjning om svag akse Søjlen undersøges for lasttilfældene A - I fra hovedtilfælde II-a som beskrevet i kapitlet om lodrette lastvirkninger afsnit 3.4.5. Der regnes ikke med tværlast på søjlen. Derimod tages højde for det moment, der fremkommer ved, at normalkræfterne er placeret excentrisk i forhold til søjlens centerlinje. N 0 er reaktionen fra overliggende etager. N 1 og N stammer fra bjælken i modullinje B, se lastnedføringseksemplet afsnit 3.4.5, hovedtilfælde II-a. Bjælkerne understøttes på hver deres konsol på søjlen. Geometrien er vist på figur 8-18. 78

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 e 0 5 mm N 0 5 mm 150 mm 150 mm e 1 e N 1 N 00 mm 300 mm 00 mm Figur 8-18: Belastning og geometri for bøjning om svag akse Følgende excentriciteter fås ved anvendelse af retningslinjerne fra afsnit 3.3.1, i det den generelle udførelsestolerance T sættes til 0 mm: e0 T 0mm h 1 300 1 e1 5 c' T 5 150 08mm 3 3 h 1 1 300 1 1 e 5 c' T 5 150 0mm 3 3 Hvor c er vederlagspladen, som har en bredde på 150 mm og placeres midt på konsollen. 79

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Nedenstående skema giver en opsummering af søjlens lasttilfælde. N 1 N 0 N (kn) (kn) (kn) (kn/m) (kn) (knm) A 55 114 31 0 00 10,8 B 1 114 31 0 67 9,7 C 1 403 31 0 557 35,5 D 1 403 70 0 595 7,0 E 144 114 31 0 90 36,0 F 144 403 31 0 579 41,8 G 144 403 8 0 630 30,5 H 144 438 31 0 613 4,5 I 144 438 8 0 664 31,1 Figur 8-19: Opsummering af søjlens lasttilfælde, svag akse w N Ed M 0Ed N Ed er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som: NEd N1N0 N Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M 0Ed fås som en sum af momentbidraget fra de excentrisk placerede normalkræfter. M Ne Ne Ne 0Ed 1 1 0 0 På Figur 8-0 er de 9 lasttilfælde vist i et M-N-diagram sammen med søjlens bæreevnekurve. 80

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 M 0Rd (knm) 10 100 80 60 40 0 0 E A B FH C GI D 0 500 1000 1500 000 500 3000 N Rd (kn) Figur 8-0: Søjlens lasttilfælde vist i et M-N diagram Eksempel slut 8. Anvendelsesgrænsetilstande I dette afsnit fokuseres udelukkende på udbøjningsbestemmelse for søjler og vægge i anvendelsesgrænsetilstanden. Revneviddeberegning er tit ikke relevant for søjler og vægge, da normalkraftpåvirkning gør, at tværsnittet ofte forbliver urevnet. Det kan eftervises, at et tværsnit er urevnet ved at vise, at normalkraftens resultant befinder sig indenfor kernen af tværsnittet. Dette gøres i eksemplet, afsnit 8..1. Udbøjningsanalyse af søjler og vægge i anvendelsesgrænsetilstanden er principielt det samme som for bjælker. Betragtningerne omkring krybning, svind og tension stiffening fra afsnit 6..1.1, 6..1. og 6..1.3 er derfor gældende. Ved tværsnitsanalyserne for revnet og urevnet tværsnit skal søjlen/væggens normalkraft medtages i ligevægtsligningerne. For det revnede tværsnit betyder 81

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK dette, at normalkraften giver anledning til 3. gradsligning, hvis løsning vises i afsnit 8... For det urevnede tilfælde regnes med transformeret tværsnit som vist i afsnit 6..1.5, og spændingerne bestemmes ved hjælp af Navier s formel, som vist i eksemplet afsnit 8..1. 8..1 Eksempel urevnet tværsnit Der benyttes samme tværsnit og lastopstilling som fra eksemplet afsnit 8.1.4. Størrelsen af udbøjningen om den stærke akse ønskes fundet. e 0 N 0 e e 1 N N 1 w 40 mm Figur 8-1: Lastopstilling for karakteristisk last 8

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 De karakteristiske laster kan bestemmes ved en lastnedføring som vist i kapitel 3. I dette eksempel skønnes en værdi for de lodrette laster, ligesom forholdet mellem langtids- og korttidslast beror på et skøn. De karakteristiske lodrette laster N 0, N 1 og N sættes til i alt 470 kn. Lastens excentricitet er den samme som i det tidligere eksempel, det vil sige 0 mm. Karakteristisk vind udregnes i henhold til EC1: e 0 p e pe w q z c lastbredde kn 0,30,7 0,8 0,,8 0,59 m N Ed er søjlens samlede regningsmæssige lodrette belastning og fås som: NEd N1N N0 110 30 40 470kN Søjlens regningsmæssige 1.-ordens-moment M 0Ed fås som en sum af momentbidraget fra de excentrisk placerede normalkræfter og momentbidraget fra tværlasten. 1 M0Ed N1e1Ne N0e0 wl 8 1 1110, 33 300, 0 400, 0 0,593,5 4,9kNm 8 Søjletværsnit er ofte urevnede på grund af de store normalkræfter. Hvis den resulterende normalkraft er placeret inden for tværsnittets kerne, er tværsnittet urevnet. Kernens udstrækning fra tværsnitscenteret er 1/6 af tværsnitsdimensionen. 83

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK H = 40 mm 1/6 H = 70 mm N ed e 1/6 B = 50 mm B = 300 mm Figur 8-3: Placering af den påførte normalkraft i forhold til kernen Normalkraftens excentricitet om den stærke akse svarende til det samlede 1. ordensmoment udregnes: M e N 470 0Ed 4,9 10 3 5,9mm Ed Normalkraften ses umiddelbart at ligge inden for kernen. Denne excentricitet er ikke normalkraftens reelle excentricitet, da bidraget fra søjleudbøjning og eventuelt svind mangler. Dog giver det en god indikation af normalkraftens placering. Dette tværsnit formodes derfor at være urevnet. 84

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 Udbøjningsbidrag fra krybning medtages ved at benytte faktoren, der indirekte giver betonens elasticitetsmodul. For beton med en karakteristisk trykstyrke på 35 MPa foreslås i afsnit.1. følgende -værdier: Korttidslast: 7,7 K Langtidslast: 1 1,13 7,7 4, L 0 K I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast, mens de resterende 5% skyldes korttidslast. Den effektive -værdi bestemmes ved vægtning: eff 4, 0,75 7,70,5 0 Tværsnitsanalysen for et urevnet tværsnit sker ved at udregne det transformerede areal og inertimoment. Det betragtede tværsnit er symmetrisk, hvorfor tyngdepunktsaksen ligger i tværsnittets centerlinje. Dette betyder samtidig, at der ikke vil komme bidrag til udbøjningen fra svind. stk. Y16 40 mm 40 mm Bjl. Y6 pr. 00 mm stk. Y16 300 mm Figur 8-4: Søjletværsnit AT AC A S 40300 04 16 14085mm 4 85

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK IT IC I S 1 4 1 40 3 300 0 4 16 170,317 10 9 mm 4 Udbøjningen midt på søjlen fås af: 1 M N u M u E L u E T N d u 0Ed Ed urevnet 0Ed urevnet S urevnet 10 S 10 SI IT LS urevnet 4,9 10,010,317 10 5 9 0 3500 1, 4mm 470 E Det undersøges, om antagelsen om urevnet tværsnittet er korrekt ved at addere udbøjningen midt på søjlen og normalkraftens excentricitet og kontrollere, at den resulterende normalkraft stadig befinder sig inden for kernen. 1 1 euurevnet 5,9 1, 4 54,3mm h 40 70mm 6 6 Hvis tværsnittet havde haft udbøjning fra svind, skal dette udbøjningstillæg lægges til u urevnet, når udbøjning og tværsnitsspændinger bestemmes. Udbøjninger om tværsnittets svage akse findes på tilsvarende vis. Ønskes armeringsspændinger og betonkantspænding bestemt, kan de for urevnede tværsnit findes af Navier s formel for bøjning om to akser, hvor udbøjningens tillæg til momenterne medregnes. 8.. Udbøjning for revnet tværsnit I dette afsnit betragtes en søjle/væg i anvendelsesgrænsetilstanden ved revnet tværsnittet. Tværsnittet er armeret med et lag trykarmering og et lag trækarmering. I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje, 86

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 hvor forholdet mellem spændingerne i beton og armering er givet ud fra tværsnittets geometri samt størrelsen. Betonens kantspænding benævnes c. De geometriske betingelser fører til: x c sc c x h x c st c x Ligevægtsligningerne kan nu opstilles, idet den samlede normalkraft virkende på tværsnittet betegnes N Ed, og den samlede 1. ordens momentvirkning betegnes M 0Ed. Projektionsligningen: 1 NEd bxc sc Asc st Ast NEd c 1 xc hxc bx Asc As t x x Omskrivningen fås ved indsættelse af de geometriske betingelser i projektionsligningen. Momentligningen om tværsnittets centerlinje: M M N u Ed 0Ed Ed i 1 h x h h M Ed bxc sc Asc c st Ast c 3 hvor u i er et gæt på udbøjningen. Udtrykkene for c, sc og st indsættes i momentligningen og leddene samles: 87

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 1 1 M 0 x 6h x 4 hned 3 Ed Asc h Ast h Asc Ast M Ed 6h c c x bh bh bh bh NEd Asc Ast h Asc Ast M 6h c hc c c hc bh bh bh bh N Ed Ed Dette er en 3. gradsligning i x på formen x a x a xa. Ligningen har 3 1 3 0 én reel løsning: 1 1 1 1 1 1 x q q p q q p 4 7 4 7 3 3 3 3 Hvor p og q er givet ved: 1 pa a1 3 1 q a aa 7 3 3 1 1 a 3 Hermed kan trykzonehøjden x findes, og betonkantspændingen, c, kan umiddelbart bestemmes ved indsættelse i momentligningen, hvilket giver: M c bh Ed 88

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 Hvor c c 1 1 1 1 Asc 1 c h Ast 1 c h 3 bh h bh h x h, Armeringen skal undersøges for flydning. Armeringsspændingerne findes af de geometriske betingelser. Hvis armeringen flyder benyttes armeringens flydespænding i ligevægtsligningerne i stedet for sc / st, og nullinjedybde og spændinger må bestemmes på ny. Udbøjningen kontrolleres nu: u i1 1 10 c Es x L s Hvis u i+1 afviger væsentligt fra u i gentages beregningerne med u i+1 som næste gæt på udbøjningen. Denne iteration fortsættes til tilfredsstillende overensstemmelse er opnået. Det bør bemærkes, at ovenstående ligningssystem kræver stor præcision i de indgående talværdier for at give en fornuftig løsning. Revnevidden findes på baggrund af spændingen i trækarmeringen på samme måde som for en bjælke, se afsnit 6... Eksempel slut 89

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 8.3 Beregningsprogrammer Nedenfor ses en udskrift fra søjleprogrammet på www.bef.dk med inddata svarende til det gennemgåede eksempel i afsnit 8.1.5.3 med udbøjning om den svage akse. Data for belastningerne er direkte overført fra programmet beskrevet i afsnit 3.4.6, hovedtilfælde II-a. Som vist i eksemplet stemmer denne bæreevnekurve overens med bæreevnerne i de beregnede punkter på den tilnærmede bæreevnekurve baseret på designdiagrammerne. Som en vigtig facilitet for kvalitetssikringen giver programmet mulighed for at trække delresultater frem fra de forskellige brudlasttilfælde, på den aktuelle udskrift er valgt tilfælde E, F og H. Delresultaterne betegnes kontrolparametre og omfatter blandt andet oplysning om den optimerede værdi af kanttøjningen, 0, med tilhørende nullinjedybde, x, svarende til momentbæreevnen, M 0Rd, ved den givne normalkraft. Med disse oplysninger kan en bruger relativ nemt kontrollere programmets resultater uden selv at skulle gennemføre en iterationsproces. Sagsnavn: Bygningsdel: Emne: M (knm) 10 100 80 60 40 0 0 Betonelementhuset Søjle i modul B/4, 1.-. sal, hovedtilfælde II-a Normale lastkombinationer E B A FH C GI D Sag nr.: Dato: Init: 3-4545 010-03-01 JFJ 0 500 1000 1500 000 500 3000 N (kn) SØJLE, version.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 008 Materialer f ck 35 MPa Regningsmæssige parametre f yk 500 MPa f cd 5,0 MPa c 1,40 f yd 417 MPa s 1,0 E cd 4341 MPa Søjlelængde L s 3500 mm Krybetal Tværsnit h 300 mm RH 50% b 40 mm t o 8 døgn c 40 mm o,13 Trykarm. d a 16 mm M 0Eqp/M 0Ed 0,75 Antal stk ef 1,60 Trækarm. d a 16 mm Bøjler Generelt: ø 6 / 300 mm Antal stk Top og bund: ø 6 / 180 mm Anvendelsestilstand Kritisk last (central) I anvendelsestilstand skønnes crd 1,37 MPa til en passende værdi afhængig af c 0,3% forholdet mellem lang- og kort- t 0,3% tidslast: anv. = 15 N cr 834 kn Kontrolparametre Brudlasttilfælde Anv. - Brudlasttilfælde N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) w (kn/m) E F H tilfælde A 55 114 31 0,00 e 0 N Ed (kn) 90 579 613 470 B 1 114 31 0,00 N0 M 0Ed (knm) 36 4 4 36,0 C 1 403 31 0,00 N N1 e e1 M 0Rd (knm) 63 8 84 - D 1 403 70 0,00 b u (mm) 19,8 4,5 5,0 3, E 144 114 31 0,00 c w k (mm) - - - urevnet F 144 403 31 0,00 N 0 / (1+) (o/oo) 0,70 1,04 1,07 - G 144 403 8 0,00 M h c0 (Mpa) 14,1 18,6 19,0 8,6 H 144 438 31 0,00 st (Mpa) 417 417 417 6 I 144 438 8 0,00 c sc (Mpa) 34 378 395 108 Anvendelsestilfælde: 10 330 0 w Lodret snit Tværsnit x (mm) 113 134 137 urevnet Excentriciteter (mm) : 8 0 Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 8-5: Beregningsprogram 90

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 For søjlen i det aktuelle eksempel svarer hovedtilfælde II-a til udbøjning om den svage akse. I eksemplet har søjlen samtidig momentvirkning om den stærke akse, svarende til hovedtilfælde I-b. Dette kræver en særskilt undersøgelse af den kombinerede virkning af bøjning om de to akser, kaldet skæv bøjning. Se nærmere i afsnit 8.4. Til anvendelse ved denne analyse i eksempel 8.4.1 er nedenfor vist resultaterne fra beregningen af søjlen svarende til hovedtilfælde I-b. Det vil af dette eksempel fremgå, at søjlens bæreevneoverskud er væsentlig mindre, end hvad der umiddelbart kunne forventes ud fra resultaterne i de tilfælde, hvor der kun ses på udbøjning i én retning ad gangen. Sagsnavn: Bygningsdel: Emne: 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 M (knm) Betonelementhuset Søjle i modul B/4, 1.-. sal, hovedtilfælde I-b Normale lastkombinationer BE A CF H D GI Sag nr.: Dato: Init: 3-4545 010-03-01 JFJ 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 N (kn) SØJLE, version.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 008 Materialer f ck 35 MPa Regningsmæssige parametre f yk 500 MPa f cd 5,0 MPa c 1,40 f yd 417 MPa s 1,0 E cd 4341 MPa Søjlelængde L s 3500 mm Krybetal Tværsnit h 40 mm RH 50% b 300 mm t o 8 døgn c 40 mm o,13 Trykarm. d a 16 mm M 0Eqp/M 0Ed 0,75 Antal stk ef 1,60 Trækarm. d a 16 mm Bøjler Generelt: ø 6 / 300 mm Antal stk Top og bund: ø 6 / 180 mm Anvendelsestilstand Kritisk last (central) I anvendelsestilstand skønnes crd 3,00 MPa til en passende værdi afhængig af c 0,3% forholdet mellem lang- og kort- t 0,3% tidslast: anv. = 0 N cr 3051 kn Kontrolparametre Brudlasttilfælde Anv. - Brudlasttilfælde N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) w (kn/m) E F H tilfælde A 63 114 4,94 e 0 N Ed (kn) 30 591 66 470 B 139 114 4,94 N 0 M 0Ed (knm) 37 43 44 4,9 C 139 403 4,94 N N 1 e e 1 M 0Rd (knm) 100 13 135 - D 139 403 5,94 b u (mm) 17,6 1, 1,5 1,4 E 165 114 4 0,88 c w k (mm) - - - urevnet F 165 403 4 0,88 N 0 / (1+) (o/oo) 0,78 1,15 1,0 - G 165 403 6 0,88 M h c0 (Mpa) 15,3 19,8 0,3 5,6 H 165 438 4 0,88 st (Mpa) 417 417 417-9 I 165 438 6 0,88 c sc (Mpa) 89 417 417 104 Anvendelsestilfælde: 110 30 40 0,59 w Lodret snit Tværsnit x (mm) 141 173 177 urevnet Excentriciteter (mm) : 33 0 00 Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 8-6: Beregningsprogram Efterfølgende er endvidere vist et eksempel på en udskrift fra det tilsvarende program til brug for beregning af betonelementvægge på www.bef.dk. Dette program fungerer helt analog til søjleprogrammet. I eksemplet er indlagt en armering svarende til transportarmeringen: et net ø5/150 mm i begge sider af elementet. 91

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Sagsnavn: Bygningsdel: Emne: M (knm) 5 0 15 10 5 0 Betonelementhuset Væg modul B/6-7, kld.-4. sal (STR 6.10b) Normale lastkombinationer A B E C F H D G I Sag nr.: Dato: Init: 3-4545 010-03-01 JFJ 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 1800 N (kn) VÆG, version.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 009 Materialer f ck 5 MPa Regningsmæssige parametre f yk 500 MPa f cd 17,9 MPa c 1,40 f yd 417 MPa s 1,0 E cd 483 MPa Søjlelængde L s 3500 mm Krybetal Tværsnit h 180 mm RH 50% b 1000 mm t o 8 døgn c 30 mm o,77 Trykarm. d a 5 mm M 0Eqp/M 0Ed 0,75 Antal 6,67 ef,07 Trækarm. d a 5 mm Hvis væggen kun forsynes med ét lag Antal 6,67 armering, skal det være træklaget. Anvendelsestilstand Kritisk last (central) I anvendelsestilstand skønnes crd 13,08 MPa til en passende værdi afhængig af c 0,07% forholdet mellem lang- og kort- t 0,07% tidslast: anv. = 0 N cr 385 kn Kontrolparametre Brudlasttilfælde Anv. - Brudlasttilfælde N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) w (kn/m) B C I tilfælde A 6 7 9 0,80 e 0 N Ed (kn) 140 670 764 70 B 104 7 9 0,80 N 0 M 0Ed (knm) 9 0 17 4,1 C 104 557 9 0,80 N N e 1 e 1 M 0Rd (knm) 14 3 3 - D 104 557 63 0,80 b u (mm) 5,8 1,1 0,8 1,0 E 104 7 9 0,40 c w k (mm) - - - urevnet F 104 557 9 0,40 N 0 / (1+) (o/oo) 0,35 0,6 0,66 - G 104 557 75 0,40 M h c0 (Mpa) 6,8 10,6 11,1 1,1 H 104 585 9 0,40 st (Mpa) 417 137 106 I 104 585 75 0,40 c sc (Mpa) 86 76 30 18 Anvendelsestilfælde: 49 9 1 0,60 w Lodret snit Tværsnit x (mm) 50 110 119 urevnet Excentriciteter (mm) : 7 0 40 Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 8-7: Beregningsprogram Med den valgte bredde i eksemplet på 1000 mm, giver udskriften således en umiddelbar fornemmelse af, hvor store belastninger en helt almindelig betonelementvæg (h = 180 mm) kan optage selv med ganske beskeden armering. Eksemplet svarer med en armeringsgrad på c = t = 0,017 stort set til bæreevnekurven for L s /h = 0 i det første diagram i afsnit 8.1.. Belastningerne i de 9 brudlasttilfælde er overført fra eksemplet på en lastspecifikation for vægge fra afsnit 3.4.6. 8.4 Skæv bøjning Ovenstående designdiagrammer kan bruges til beregning af udbøjning om henholdsvis den stærke og den svage akse. Det er også nødvendigt at undersøge tilfældet med skævbøjning, hvor udbøjningen sker i et andet plan end søjlens to symmetriplaner. 9

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 Det er muligt, om end besværligt, at lave en nøjagtig teoretisk løsning af tværsnitsligningerne for tilfældet med skævbøjning. I praksis kan på den sikre side anvendes følgende bæreevnekriterium for den kombinerede påvirkning a a M M 0Edz 0Edy M 0Rdz M 0Rdy 1 M 0Ed,I og M 0Ed,II M 0Rd,I og M 0Rd,II a N Ed N Rd er den lastfremkaldte momentbelastning om tværsnittets to hovedakser. er tværsnittets momentkapacitet om de to akser over for det lastfremkaldte moment. Det vil sige den samlede momentkapacitet fratrukket momenttillægget fra søjlens udbøjning er en eksponent, der afhænger af normalkraftniveauet N Ed /N Rd N Ed /N Rd < 0,1 0,7 1,0 a = 1,0 1,5,0 med lineær interpolation for mellemliggende værdier. er den regningsmæssige værdi af normalkraften = A c f cd + A s f yd, hvor A c og A s er henholdsvis betontværsnittets bruttoareal og armeringens tværsnitsareal. I et momentdiagram kan dette bæreevnekriterium afbildes som vist nedenfor. Det ses, at den relative udnyttelsesgrad af søjlens momentkapacitet ved kombineret påvirkning øges med stigende normalkraftniveau. Når en gruppe af lasttilfælde svarer til omtrent samme normalkraftniveau tages inden for gruppen den største udnyttelsesgrad for momenterne for hver af de to udbøjningsretninger (M 0Ed,I / M 0Rd,I henholdsvis M 0Ed,II / M 0Rd,II ). Eksponenten, a, vælges svarende til det laveste normalkraftniveau inden for gruppen. 93

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK M 0Ed,II / M 0Rd,II 1 0,8 0,6 N ed /N Rd : = 0,7 = 0,6 = 0,5 = 0,4 = 0,3 = 0, < 0,1 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 M 0Ed,I / M 0Rd,I Figur 8-8: Interaktionsdiagram for skæv bøjning ved forskellige niveauer af normalkraft 8.4.1 Eksempel, skæv bøjning Af programudskrifterne i afsnit 8.3 ses, at brudlasttilfældene E, F og H bliver de farligste, både i hovedtilfælde I-b og II-a. Til brug for bestemmelsen af eksponenten a i bæreevnekriteriet findes først: N Rd = A c f cd + A s f yd = (300 40 5,0 + 4 01 417)/1000 = 3485 kn Herefter kontrolleres den samlede udnyttelsesgrad for skæv bøjning: Hovedtilfælde I-b Hovedtilfælde II-a Kontrol af samlet udnyttelsesgrad Lasttilfælde N Ed M Ed,I M 0Rd,I Lasttilfælde N Ed M Ed,II M 0Rd,II Min(N Ed /N Rd ) a (M ed,i /M Rd,I ) a + (M Ed,II /M Rd,II ) a (kn) (knm) (knm) (kn) (knm) (knm) E 30 37 100 E 90 36 63 0,083 1,000 0,94 F 591 43 13 F 579 4 8 0,166 1,055 0,80 H 66 44 135 H 613 4 84 0,176 1,063 0,78 Figur 8-9: Resultat af skæv bøjning 94

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjler og vægelementer 8 Den største udnyttelsesgrad for skæv bøjning ses at være 0,94 < 1,0. Selv om udnyttelsesgraderne for hovedtilfælde I og II hver for sig er beherskede, så er søjlen stort set fuldt udnyttet for den kombinerede bøjningspåvirkning. Eksempel slut 95

8 Søjler og vægelementer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 96

9 BRAND 9 BRAND 9.1 Materialeegenskaber under brand 9.1.1 Beton 9.1. Zonemetoden 9.1.3 Armering 9.1.4 Forspændingsstål 9.1.5 Eksempel Temperaturbestemmelse og styrkereduktion 9. Bjælker i brandtilstanden 9..1 Bøjning 9.. Forskydning 9..3 Eksempel Bjælke i brandtilstanden 9.3 Beregningsprogram 9.4 Søjler og vægge i brandtilstanden 9.4.1 Udbøjning fra krybning 9.4. Termiske udbøjninger 9.4.3 Søjle/vægreaktionens forsætning under brand 9.4.4 Eksempel Søjle i brandtilstanden 9.5 Beregningsprogram

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9.1 Materialeegenskaber under brand 9.1.1 Beton Når betonkonstruktioner udsættes for brand, ændrer materialeegenskaberne sig både for beton og armering. Dette giver andre arbejdslinjer end i kold tilstand. Følgende udtryk bruges for arbejdslinjen for betonkonstruktioner udsat for brand: c c1, 3 c fc, c 3 ( ( ) ) c1, f c, c1, er betonens énaksede trykstyrke ved betontemperaturen er tøjningen svarende til toppunktet på betonens arbejdslinje ved betontemperaturen. Se efterfølgende tabel i figur 9-3. Arbejdslinjerne ser typisk ud som vist på figur 9-1. c (MPa) 30 5 f c, 0 M= 400 o C 15 10 M =00 o C 5 0 c1, M = 0 o C 0 0,005 0,01 0,015 0,0 c Figur 9-1: Typiske arbejdslinjer for beton ved forhøjede temperaturer under brand 98

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Det skal bemærkes, at arbejdslinjen gældende ved branddimensionering for M =0 o C ikke er den samme, som den der benyttes i kold tilstand. I helt generel form vil tværsnitsanalyse af betonkonstruktioner være meget komplekse, fordi temperaturen varierer hen over tværsnittet. Dermed kommer udtrykket for arbejdslinjen også til at variere hen over tværsnittet. Til brug for praktisk dimensionering ved brandpåvirkninger svarende til standardbrandkurven er derfor udviklet den såkaldte zonemetode, der også er beskrevet som en mulig beregningsmodel i EC. 9.1. Zonemetoden Ved zonemetoden opdeles et rektangulært tværsnit i et antal (n x n) lige store rektangulære felter, hvor n 3. Til tidspunktet, t, efter standardbrandens begyndelse bestemmes temperaturen ij midt i hvert af disse felter. 9.1..1 Temperaturbestemmelse Temperaturen i centerpunktet for hvert felt bestemmes jævnfør EC ud fra nedenstående formler. Et tværsnit angribes ofte af brand fra flere sider. Formlerne angiver, hvordan temperaturbidraget fra brand på flere overflader beregnes. Temperaturen i tværsnittet må ikke regnes mindre end 0C og temperaturtilvæksten skal altid være positiv. Ensidigt påvirket tværsnit -1,9 k ( t ) x 1( x, t) 31 log 10(8 t 1) e sin( - k( t) x ) x er afstanden fra overfladen i m og t er tiden i minutter. Temperaturen 1 kan ikke regnes mindre end 0 C. Faktoren k(t) er givet ved: kt () c p 750 t 99

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK hvor = 300 kg/m 3 er betonens densitet c p = 1000 J/kg C er den specifikke varmekapacitet = 0,75 W/m C er varmeledningsevnen t er tiden i minutter Sinusfunktionen regnes i radianer Tosidigt påvirket tværsnit 1(0, t) ( xt, ) 1( xt, ) 1(w- xt, ) (0, t) ( w, t) 1 1 må ikke regnes mindre end 0 C. For 1 anvendes udtrykket for ensidigt påvirket tværsnit, idet 1 = 0 dog anvendes for alle x-værdier større end den mindste x-værdi, der giver 1 = 0. Tresidigt påvirket tværsnit ( x, t) ( y, t) 1 3( x, y, t) ( x, t) 1( y, t) (0, t) 1 Hvor t er tiden i minutter, x og y er afstanden fra overfladen i m og w er tværsnitstykkelsen. 3 må ikke regnes mindre end 0 C. Principperne fra tosidigt påvirket tværsnit for bestemmelse af 1 er gældende både for 1 og. Et firesidet påvirket tværsnit kan for betonelementer i praksis behandles som sammensat af to tresidigt påvirkede tværsnit. Se også afsnit 9.1.5. Armeringens temperatur bestemmes på tilsvarende vis. For længdearmering benyttes koordinaterne for centeret af hver enkelt armeringsstang. Temperaturen for bøjlearmering findes ved at tage middelværdien af temperaturen i eksempelvis ti punkter jævnt fordelt på den nederste halvdel af bøjlen. 300

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 9.1.. Tværsnits- og styrkereduktion I brandtilstanden regnes betontværsnittet svækket dels i form af en skadet randzone, der ikke tages med i regning, og dels ved at reducere styrken af beton og armering. I hvert felt bestemmes herefter betonens styrkereduktionskoeffient, k c svarende til den fundne temperatur: k c, / fc f ck For sædvanlige danske betoner med tilslag af sø- eller bakkematerialer eller af granit kan styrkereduktionskoefficienterne findes af tabellen, figur 9-3. Der kan interpoleres retlinet mellem tabellens værdier. Styrkereduktionsfaktorerne i tabellen for danske betoner er beskrevet i artiklen Concrete strength for fire safety design af Kristian Hertz i Magazine of Concrete Research, vol. 57, no. 8, 005. 1 j... n 1... i... n ij M k c c1 cu ( o C) 0 1,000 0,005 0,000 100 0,991 0,0040 0,05 00 0,965 0,0055 0,050 300 0,95 0,0070 0,075 400 0,867 0,0100 0,0300 500 0,77 0,1500 0,035 600 0,609 0,500 0,0350 700 0,39 0,500 0,0375 800 0,07 0,500 0,0400 900 0,099 0,500 0,045 1000 0,045 0,500 0,0450 1100 0,00 0,500 0,0475 w w 100 0,000 - - Figur 9-: Tværsnitsopdeling, n = 3 Figur 9-3 Styrkereduktionskoefficienter,typiske danske betoner. 301

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK For et tværsnit med brand på alle 4 sider er middelreduktionskoefficienten givet ved: k 1 0,/ n n n k ( ) cm, c ij ( n) i1 j1 Herefter beregnes tykkelsen, a z, af en nominel skadet randzone, der ved beregning af tværsnittet i brandtilfældet regnes inaktiv langs de sider af tværsnittet, der er eksponeret for brand. For bjælker, plader og andre elementer, hvor der ikke skal tages hensyn til. ordens effekter bruges udtrykket: a z kcm, w1 kc( M) hvor M er temperaturen i tværsnittes midtpunkt, og w er det halve af tværsnittets mindste dimension. For søjler, vægge og andre elementer, hvor. ordens effekter er af væsentlig betydning for bæreevnen, anvendes følgende udtryk for den skadede randzone: a w 1 k cm, z kc( M) 1,3 Hvis tværsnittet kun er brandpåvirket på nogle af overfladerne ændres beregningen af k c,m som vist på figur 9-4; medens formlerne for a z er uændrede. I disse tilfælde skal temperaturer og styrkereduktioner kun beregnes for de markerede felter. Ved den videre tværsnitsanalyse ses bort fra betonen i de skadede randzoner og for det resterende tværsnit anvendes betonstyrke og arbejdslinje svarende til temperaturen, M, i tværsnittets midtpunkt, M: 30 f, k ( ) f c c M ck

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 M M M k Tresidig brand Tosidig brand Énsidig brand 1 0, / n n n c, m kc( ij ) n i1 j 1 k 1 0, / n n c m kc(, i n ) i1 k 1 0, / n n c, m kc( i) n i1 Skadede randzoner Skadede randzoner Skadet randzone a z Figur 9-4: Middelreduktionsfaktor og skadede randzoner ved tre-, to- og énsidig brand (n=3) hvor k c ( M ) fortsat aflæses af tabellen i figur 9-3. Fra denne tabel aflæses nu også c1 ( M ), hvorefter betonens arbejdsline er fastlagt. 9.1.3 Armering Ved dimensionering af betonelementer udsat for brand skal der tages hensyn til armeringens ændrede styrkeparametre ved forhøjede temperaturer. Temperaturkurverne for en standardbrand fra afsnit 9.1..1 benyttes til at bestemme temperaturen,, i tværsnittets enkelte armeringsjern. Når armeringens temperatur er bestemt, findes den tilhørende regningsmæssige værdi af armeringens flydespænding, f sy, og elasticitetsmodul, E s, af tabellen i figur 9-5. Tabellen viser styrkeværdier for tre forskellige typer armeringsstål. Den mest brugte armeringstype i danske betonelementer er bratkølet stål. I tabellen interpoleres ved mellemliggende værdier af temperaturen. 303

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK -stål Varmtvalset stål Bratkølet stål Kolddeformeret stål ( o C) f sy, /f yk E s, /E sk f sy, /f yk E s, /E sk f sy, /f yk E s, /E sk 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 100 0,96 1,00 0,98 1,00 0,99 1,00 00 0,88 0,90 0,94 1,00 0,95 0,87 300 0,77 0,80 0,89 0,99 0,89 0,7 400 0,65 0,70 0,78 0,96 0,78 0,56 500 0,47 0,60 0,55 0,79 0,57 0,40 600 0,7 0,31 0,7 0,48 0,30 0,4 700 0,13 0,13 0,10 0,1 0,1 0,08 800 0,05 0,09 0,00 0,08 0,05 0,06 900 0,0 0,07 0,00 0,03 0,0 0,05 1000 0,01 0,04 0,00 0,00 0,01 0,03 1100 0,01 0,0 0,00 0,00 0,00 0,0 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Figur 9-5: Reduktionskoefficienter for armering ved forhøjede temperaturer under brand I tabellen betegner f yk og E sk henholdsvis armeringens karakteristiske flydespænding og elasticitetsmodul i kold tilstand. Desuden er benyttet, at partialkoefficienten for armeringens mekaniske egenskaber under brandpåvirkning, s,fi, sættes til 1,0. 9.1.4 Forspændingsstål For spændliner kan de regningsmæssige styrker og elasticitetsmoduler ved forhøjede temperaturer findes af figur 9-6. -stål f p0,1, /f p0,1k f p,0, /f yp,0k E s, /E sk kolddeformerede bratkølede ( o C) liner liner 0 1,00 1,00 1,00 1,00 100 0,89 0,9 0,99 0,98 00 0,71 0,84 0,87 0,95 300 0,53 0,75 0,7 0,88 400 0,33 0,5 0,46 0,81 500 0,15 0,1 0, 0,54 600 0,05 0,06 0,10 0,41 700 0,0 0,0 0,08 0,10 800 0,01 0,01 0,05 0,07 900 0,00 0,00 0,03 0,03 1000 0,00 0,00 0,00 0,00 Figur 9-6: Reduktionskoefficienter for spændliner ved forhøjede temperaturer under brand 304

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 9.1.5 Eksempel Temperaturbestemmelse og styrkereduktion I dette eksempel bestemmes temperatur, styrkereduktionsfaktor og skadet randzone for et betontværsnit og armering ved en standardbrand af 60 minutters varighed. Der regnes med samme tværsnitsdimensioner og armering som benyttet ved søjle- og bjælkeeksemplerne afsnit 6.1.6 og 8.1.4. Temperaturfordelingen bestemmes dels for et tresidigt brandpåvirket tværsnit, dels for et firesidigt brandpåvirket tværsnit. Førstnævnte svarer til en bjælke, der ved oversiden afskærmes af et betondæk. Sidstnævnte svarer til en fritstående søjle. 9.1.5.1 Beregningsforudsætninger Tværsnit: Karakteristisk betontrykstyrke Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne: Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen Forskydningsarmering bøjler Y6. Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen 40 mm x 300 mm f ck = 35 MPa c = 40 mm f yk = 500 MPa f yk = 410 MPa 9.1.5. Beton Det betragtede tværsnit er 300 mm bredt og 40 mm højt. Med n = 3 fås en tværsnitsinddeling som vist på figur 9-7. Temperaturen i centerpunktet for hvert felt bestemmes: Faktoren k(t) er givet ved: c 300 1000 (60 min) p k 14, 63 750 t 750 0,75 60 Kanttemperaturen beregnes Kanttemperaturer ved brandpåvirket kant: -1,9 14,63 0,0 1(0,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,0) 836,8 C Kanttemperatur ved modstående kant: -1,9 14,63 0,300 1( 150,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,300) 0,0 C 305

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 35 mm 70 mm 70 mm 70 mm 70 mm 70 mm 35 mm 5 mm 50 mm 50 mm 50 mm 50 mm 50 mm 5 mm Figur 9-7: Tværsnitsinddeling Det ses, at en brand på den ene side af tværsnittet ikke giver anledning til temperaturforøgelse på den modstående kant. Temperaturen i nederste venstre felt beregnes Felttemperatur ved brand fra venstre: -1,914,630,05 1(5,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,05) 390,0C Felttemperatur ved brand fra højre: -1,914,630,75 1( 150 5,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,75) 0,3C 0,0C Summering af de to første bidrag: 1(0, 60) (5,60) (5,60) ( 150-5,60) 1 1 (0,60) ( 150,60) 1 1 836,8C 390,0C 0,0C 390,0C 836,8C 0,0C 306

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Felttemperatur ved brand nedefra: -1,9 14,63 0,035 1(35,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,035) 75,7 C Totaltemperatur fås ved summering af alle tre bidrag: (5,60) 1(35,60) 3(5,35,60) (5,60) 1(35,60) (0, 60) 390,0C 75,7C 390,0C 75,7C =537,C 836,8C 1 På samme måde findes temperaturen i de øvrige felter for et tresidigt brandpåvirket tværsnit, angivet i skemaet herunder, figur 9-8, idet de resterende temperaturkurver aldrig kan blive mindre end 0ºC. y.x 5 mm 75 mm 15 mm 175 mm 5 mm 75 mm 385 mm 390,0 C 47,5 C 0,0 C 0,0 C 47,5 C 390,0 C 315 mm 390,0 C 47,5 C 0,0 C 0,0 C 47,5 C 390,0 C 45 mm 390,0 C 47,5 C 0,0 C 0,0 C 47,5 C 390,0 C 175 mm 390,0 C 47,5 C 0,0 C 0,0 C 47,5 C 390,0 C 105 mm 390,9 C 49,0 C 0,0 C 0,0 C 49,0 C 390,9 C 35 mm 537, C 307,6 C 75,7 C 75,7 C 307,6 C 537, C Figur 9-8: Skema over felttemperaturer, brandpåvirkning fra tre sider Det undersøges nu, om tværsnittet er så højt, at en temperaturforøgelse fra brand nedefra når tværsnittets centerfelter. Felttemperatur ved brand nedefra: -1,9 14,63 0,175 1(175,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,175) 5, 4C 0,0C Tværsnittets center ses ikke at være påvirket af branden. Temperaturfordelingen ved et firesidet brandpåvirket tværsnit kan derfor uden problemer findes ved at spejle nederste halvdels felttemperaturer ved tresidet brandpåvirket tværsnit om midteraksen, se figur 9-9. 307

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK y.x 5 mm 75 mm 15 mm 175 mm 5 mm 75 mm 385 mm 537, C 307,6 C 75,7 C 75,7 C 307,6 C 537, C 315 mm 390,9 C 49,0 C 0,0 C 0,0 C 49,0 C 390,9 C 45 mm 390,0 C 47,5 C 0,0 C 0,0 C 47,5 C 390,0 C 175 mm 390,0 C 47,5 C 0,0 C 0,0 C 47,5 C 390,0 C 105 mm 390,9 C 49,0 C 0,0 C 0,0 C 49,0 C 390,9 C 35 mm 537, C 307,6 C 75,7 C 75,7 C 307,6 C 537, C Figur 9-9: Skema over felttemperaturer, brandpåvirkning fra fire sider For en 3-sidet brandpåvirket bjælke vil det være på den sikre side at betragte nederste halvdel af bjælken. Det er her, at størrelsen på den skadede randzone har størst betydning for bæreevnen. Middelreduktionsfaktoren bestemmes derfor ud fra tværsnittets nederste halvdel, betragtet som 3-sidet brandpåvirket. Reduktionsfaktoren k c () for betonens trykstyrke kan nu findes ud fra temperaturerne ved interpolation mellem værdierne i figur 9-. For nederste venstre felt fås således: kc 0,609 0,77 537, 537, 500 0,77 0,711 600 500 C For de øvrige felter på nederste tværsnitshalvdel fås følgende reduktionsfaktorer angivet i Figur 9-10: y.x 5 mm 75 mm 15 mm 175 mm 5 mm 75 mm 385 mm 315 mm 45 mm 175 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873 105 mm 0,87 0,997 1,000 1,000 0,997 0,87 35 mm 0,711 0,91 0,935 0,935 0,91 0,711 Figur 9-10: Skema over reduktionsfaktorer for bjælke brandpåvirket fra tre sider For firesidet brandpåvirkning fås reduktionsfaktorerne vist i figur 9-11. 308

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 y.x 5 mm 75 mm 15 mm 175 mm 5 mm 75 mm 385 mm 0,711 0,91 0,935 0,935 0,91 0,711 315 mm 0,87 0,997 1,000 1,000 0,997 0,87 45 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873 175 mm 0,873 0,997 1,000 1,000 0,997 0,873 105 mm 0,87 0,997 1,000 1,000 0,997 0,87 35 mm 0,711 0,91 0,935 0,935 0,91 0,711 Figur 9-11: Skema over reduktionsfaktorer, brandpåvirkning fra fire sider Middelreduktionsfaktoren for begge tilfælde fås til: k 1 0,/ n n n k ( ) cm, c ij ( n) i1 j1 1 0,/3 0,711 4 0,91 4 0,935 4 0,87 4 0,873 4 0,997 8 1,000 8 3 0,861 Den skadede randzone kan nu bestemmes. For bjælker og plader: kcm, 0,861 az w1 150 1 0,9 ( ) 1 mm kc M For søjler og vægge: 1,3 1,3 k cm, 0,861 az w1 1501 6,5mm kc( M) 1 Tværsnittet dimensioneres for brand ved at benytte reduceret tværsnit samt reduceret styrke og elasticitetsmodul for armeringen. Betontemperaturen midt i tværsnittet ses at være 0,0 C, hvilket betyder, at betonstyrken ikke skal reduceres. 309

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9.1.5.3 Armering Temperatur og styrkereduktion for længdearmering Temperatur og styrkereduktion for længdearmeringen bestemmes. Der benyttes samme temperaturkurver som for betontværsnittet. Længdearmeringens center befinder sig 40 mm fra betonkanten. Felttemperatur ved brand fra venstre: -1,914,630,040 1(40,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,040) 9,5C Felttemperatur ved brand fra højre: -1,914,630,60 1( 150 40,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,60) 0,5C 0,0C Summering af de to første bidrag: 1(0, 60) (40,60) 1(40,60) 1( 150-40,60) (0,60) ( 150,60) 1 1 836,8C 9,5C 0,0C 9,5C 836,8C 0,0C Felttemperatur ved brand nedefra: -1,914,630,040 1(40,60) 31 log 10(8 60 1) e sin( - 14,63 0,040) 9,5C Totaltemperatur ved summering af alle tre bidrag: (40,60) 1(40,60) 3(40, 40, 60) (40, 60) 1(40, 60) (0, 60) 9,5C 9,5C 9,5C 9,5C =396,1C 836,8C 1 Længdearmeringens reduktionsfaktorer findes ved at interpolere mellem værdierne i tabellen, Figur 9-5. Der bruges varmvalset armeringsstål: 0,65 0,77 fsy, 396,1 300,0 0,77 fyk 0,65 500 MPa 37 MPa 400 300 0,70 0,80 5 5 Es, 396,1 300,0 0,80 Es 0,70,0 10 MPa 1,41 10 MPa 400 300 310

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Temperatur og styrkereduktion for bøjlearmering Temperaturen af bøjlearmeringen findes som en middelværdi af 10 punkter på den nederste halvdel af bøjlen. Armeringsbøjlens center befinder sig 9 mm fra betonkanten. Der regnes med et tværsnit, der er påvirket af brand fra tre sider. Felttemperaturerne rundt på armeringsbøjlen findes præcis som felttemperaturerne for betonen afsnit 9.1.5.. De fundne værdier er vist i skemaet, Figur 9-1. y.x 9 mm 75 mm 15 mm 175 mm 5 mm 71 mm 175 mm 340,6 C 340,6 C 105 mm 341,5 C 341,5 C 9 mm 54,6C 368,8 C 340,6 C 340,6 C 368,8 C 54,6 C Figur 9-1: Skema over felttemperaturer for bøjlearmering, brandpåvirkning fra tre sider Armeringsbøjlens middeltemperatur fås til: 1 middel 54,6C 368,8C 341,5C4 340,6C386,8C 10 Bøjlearmeringens reduktionsfaktorer findes ved at interpolere mellem værdierne i tabellen, Figur 9-5. Der bruges varmvalset armeringsstål: 0,65 0,77 fsy, 386,8 300,0 0,77 fyk 0,67 410 MPa 75 MPa 400 300 0,70 0,80 5 5 Es, 386,8 300,0 0,80 Es 0,71,0 10 MPa 1, 4 10 MPa 400 300 Eksempel slut 9. Bjælker i brandtilstanden Analysen af betontværsnit ved brand forløber i princippet som for kolde tværsnit jævnfør afsnit.1.1.1. Dog er der den afgørende forskel, at betonens arbejdslinje under brand er anderledes end arbejdslinjen for kold beton. 311

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9..1 Bøjning 9..1.1 Tværsnitsanalyse Generel metode, betonbidrag I det følgende gennemgås, hvordan betonens trykbidrag til tværsnittets ligevægtsligninger bestemmes. Betonens trykbidrag er det samme for både bjælker, søjler og vægge. Dette afsnit kan derfor også anvendes ved søjleanalyse. I det følgende afsnit findes armeringens bidrag ved bjælkeanalyse og ligningerne for den statiske ækvivalens opstilles og løses. Det antages, at betonens trækstyrke er nul. y 0 N c h c c y x Figur 9-13: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Spændingsfordelingen i det reducerede betontværsnit bestemmes ud fra arbejdslinjen under brandpåvirkning, jævnfør afsnit 9.1.1. Tværsnittets tøjning varierer lineært. Ved den ene betonkant fås tøjningen 0, som benyttes som iterationsparameter. Spændingsvariationen fås ved at indføre tøjningen c, som betegner betonens tøjning i et givet punkt i tværsnittet. Trykzonens højde er variabel og angivet som x. Hermed kan c omskrives til den dimensionsløse form angivet nedenfor. Ved omskrivningen benyttes substitutionen t = y/x, hvilket giver c = t 0. 31

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Trykspændingen i betonen kan med samme notation som anvendt ved den kolde beregning, skrives som: 0 t 3 f t c... 3 f 3 f c c c, c1, c1, 3 3 c, 3, 0 c 0 3 c1, 3 c1, t t c1, c1, 0 Følgende konstanter indføres: 3 c1, A, 0 B 3 0 c1, Hermed kan udtrykket for betonspændingen skrives som: c B A t t 3 3 f c, Resultanten af betonens trykspændinger bestemmes ved integration over trykzonen: N b' x dt c 1 c Hvor b er betontværsnittets reducerede bredde og 0 for x h' x h' for x h' x Indsættes udtrykket for c fås: 313

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 1 t N b' xbf dt... c c, 3 3 A t B 1 1A A A A 1 A A Nc b' x f c, ln ln arctan arctan A 6 1 A A 3 A 3 A 3 Trykresultanten udtrykkes dimensionsløst: Nc B 1 1 A A A A 1 A A N ' c ln ln arctan arctan bxf ' c, A 6 1 A A 3 A 3 A 3 Herefter kan afstanden y fra resultantens placering til nullinjen bestemmes. Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinjen. 1 yn ' bx ' t dt c 1 t ' c ' c,... 3 3 A t yn bxbf dt 3 1 A 1 bxbfc, 3 3 yn ' c ' ln 3 A c Betonresultantens moment om nullinjen skrives ligeledes dimensionsløst: N'' c yn bxf ' 3 3 ' c 1 A 1 Bln 3 3 c, A Resultantens placering målt fra nullinjen kan herved bestemmes som: yn ' bx ' f, '' c c N c N ' y' x N b' xf N' N c c, c c ' c 9..1. Tværsnitsanalyse Generel metode, armeringsbidrag Armeringsbidraget bestemmes på samme måde som ved den kolde beregning. 314

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 c c c N ac N c y 0 x c h N at M Rd c 1 b N at1 Figur 9-14: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal A sc og to lag trækstænger med arealerne A st1 og A st og med den geometriske placering givet ved c c, c 1 og c : c ' c a c c c ' c a 1 1 c ' c a z z z Bemærk, at den skadede randzone kun trækkes fra, hvis der er brandpåvirkning på den pågældende side. For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i tværsnitskanten 0, kan de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i tryklaget sc og i træklagene st1 og st skrives som: x cc ' sc 0 x h' xc1 ' st1 0 x h' xc ' st 0 x 315

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved: Trykarmeringen N ac x cc ' A E min x A f sc 0 sc s, sy, Trækarmeringen N N at1 at h' xc1 ' A E min x A f st1 sy, h' xc ' A min x A f st sy, 0 st1 s, E 0 st s, Hvor f sy, er armeringens flydespænding ved temperaturen. Det er nu muligt at opstille ligevægtsligningerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne. Projektionsligningen: 0 Nac Nat1 Nat N c Momentligningen om tværsnittets nullinje: M y' N xc ' N h' xc ' N h' x c ' N Rd c c ac 1 at1 at hvor y er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant. M Rd er tværsnittets momentkapacitet. 316

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 9..1.3 Bøjning uden trykarmering I brandtilstanden gælder samme simple formel for en bjælkes momentkapacitet, for bjælker uden trykarmering, som er gældende i kold tilstand. Armeringsgraden er givet ved: Af s bd ' ' f sy, c, hvor d er afstanden fra trækarmeringen til trykkanten af det reducerede betontværsnit. c 0 d d h N c y x M Rd N at c b Figur 9-15: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse Betonens trykresultant N c, arealet under spændingsblokken, N c, og placering af trykresultanten, N c findes som beskrevet i afsnit 9..1.1, med nullinjens placering beliggende inden for tværsnittet, dvs. x h. Projektionsligningen stilles op, og trykzonens udbredelse bestemmes: d ' 0 Nat Nc 0 b' d' fc, b' xfc, N' x N ' c Resultantens placering målt fra nullinjen fås jævnfør afsnit 9..1.1: Nc '' y' x N ' c 317

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK x d N Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen / c udnyttes: '' ' '' ' ' ' ' 1 N c ' 1 Nc Nc z h c x y d x d d ' N ' ' 1 0,55 c N c Brøken ( N N ) ( N ) er optegnet på figur 9-16 i forhold til kanttøjningen. ' '' ' c c c Kanttøjningen for betontværsnittet vælges ved tværsnitsanalysen til den værdi, hvor momentkapaciteten er størst. Dette svarer til minimum af størrelsen ' '' ' ( Nc Nc) ( Nc). Dette minimum viser sig at ligge på ' '' ' ( Nc Nc) ( Nc) 0, 55 for samtlige temperaturer, præcis som i det kolde ' '' ' tilfælde. Ved minimum af N N ) ( N ) kontante hver for sig: N ' 0, 714 c N '' 0,434 c ( er værdierne af N c og N c samtidig c c c 1,4 1, N ' c N ' N c '' c T = 0 o C T = 100 o C T = 00 o C T = 300 o C 1 T = 400 o C 0,8 T = 500 o C 0,6 0,4 0, 0 0 0 0,005 0,01 0,015 0,0 0,05 0,03 0,035 0,04 Figur 9-16: ' '' ' til kanttøjningen 0 N N / N optegnet for forskellige temperaturer i forhold c c c 318

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed fås kun et bidrag fra trækarmeringen og momentkapaciteten kan bestemmes direkte: 1 0,55 M Rd znat bd fc, for st, sy Ovenstående gælder kun ved flydning i armeringen. Dette kontrolleres ved at undersøge hvorvidt tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den balancerede armeringsgrad. Den balancerede armeringsgrad er et udtryk for den armeringsgrad, der netop giver flydning i armeringen. Den balancerede armeringsgrad bestemmes ved: bal N ' c 1 sy, 0 0 aflæses af Figur 9-16 ved minimum af grafen hvor N c = 0,714 ( N N ) ( N ' '' ' c c c ) ved den pågældende betontemperatur. For = 0 C fås 0 = 0,0035. For varmvalset og bratkølet stål ses af tabellen, figur 9-5, at reduktionskoefficienterne altid er mindre for stålstyrken end for elasticitetsmodulet. Med en maksimal stålstyrke, f yk = 600 MPa i kold tilstand vil sy, 0,003 dermed altid gælde, så på den sikre side fås i brandtilfældet: 0,714 bal 0,38 0,003 1 0,0035 Dette er normalt opfyldt i brandtilfældet, hvis grænsen for normalarmeret tværsnit ( 0,40) er overholdt i kold tilstand, på grund af de forskellige partialkoefficienter for beton og armering. 319

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9.. Forskydning EC håndterer bæreevnen af armerede betonbjælker udsat for brand på to måder: dels via brug af tabeller, dels ved anvendelse af zonemetoden, der dog i Danmark for bjælker kun er gældende for beregning af bøjningsbæreevnen. Anvendes tabelværdierne ved design af armerede betonbjælker, er der ingen krav til yderligere undersøgelser vedrørende bøjning, forskydning, vridning eller forankring. Den projekterende kan desuden selv justere tabelværdierne ved at se på de aktuelle temperaturforhold i bjælken under brand og vælge et arrangement af længdearmeringen, så der sikres en tilstrækkelig bøjningsbæreevne. I grænsen svarer dette i det alt væsentlige til det resultat, man opnår ved anvendelse af zonemetoden til bøjningsberegningen. Uden en undersøgelse af forskydningsbæreevnen kan der efter forfatterens opfattelse opstå risiko for, at bjælker udformes, så der stort set ingen forskydningsbæreevne er tilbage i brandtilfældet, fordi temperaturen i bøjlerne hurtigt kan blive meget høj på grund af dæklagsforholdene. I mangel af bedre, dokumenteret beregningsmodel foreslås derfor, at bøjningsundersøgelsen i brandtilfældet suppleres med en forskydningsundersøgelse baseret på diagonaltrykmetoden som i kold tilstand, idet der anvendes en reduceret flydespænding for bøjlearmeringen pga. temperaturen og et reduceret betontværsnit som ved bøjningsundersøgelsen. Minimumskravene til kropbredden bør fortsat opfyldes, så det her foreslåede fungerer som et supplement til normens krav. 9..3 Eksempel Bjælke i brandtilstanden Bjælken fra eksemplet afsnit 6.1.6 betragtes i brandtilstanden. Bjælkens bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning og forskydning. Tværsnittet påvirkes af 60 minutters brand fra tre sider. Temperatur i beton og armering er bestemt i eksemplet afsnit 9.1.5. 30

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 9..3.1 Beregningsforudsætninger Tværsnit 40 mm x 300 mm Skadet randzone a z = 0,9 mm b = 300 mm 0,9 mm = 58, mm h = 40 mm 0,9 mm = 399,1 mm d = 40 mm 40 mm = 380 mm Da bjælken ikke er brandpåvirket oppefra Karakteristisk betontrykstyrke Betontemperatur midt i tværsnittet Regningsmæssig betontrykstyrke f ck = 35 MPa = 0,0 C f c, = 35 MPa Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. A sc = 40 mm A st = 40 mm c = 40 mm Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen f yk = 500 MPa Længdearmeringens temperatur = 396,1 C Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen f sy, = 37 MPa Regningsmæssigt elasticitetsmodul E s, = 1,4110 5 MPa Forskydningsarmering bøjler Y6 A sw = 8 mm Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen f yk = 410 MPa Bøjlearmeringens temperatur = 386,8 C Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen f sy, = 75 MPa Regningsmæssigt elasticitetsmodul E s, = 1,410 5 MPa Bjælkelængde L = 5000 mm 31

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK stk. Y16 40 mm Bjl. Y6 pr. 150/00 p d = 10,0 kn/m stk. Y16 300 mm L=5,0 m Figur 9-17: Bjælketværsnit og statisk system 9..3. Bøjning Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen Figur 9-17. Momentmaksimum er givet ved: 1 1 10 5,0 d 31,3kNm MEd p L 8 8 Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 9..1.3 benyttes. Armeringsgrad: Af 4037 bd ' ' f 58, 38035 s sy, c, 0,038 Ovenstående udtryk gælder kun ved flydning i trækarmeringen. Fra den kolde bæreevneberegning, afsnit 6.1.4. haves bal, hvilket vil sige, at der også er flydning i armeringen i brandttilstanden, og nedenstående udtryk for momentkapaciteten kan anvendes. Momentkapacitet: MRd 10,55bd fc, 0, 03810,55 0, 038 58, 380 35 48, 6kNm Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig: M 31, 3kNm M 48, 6kNm Ed Rd 3

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Den indre momentarm bestemmes: z d ' 10,55 380 10,550,038 37,1mm 9..3.3 Forskydning Det undersøges, om den fundne bøjlearmering fra eksemplet i afsnit 6.1.6.3 er tilstrækkelig i brandtilfældet. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget vælges til cot, 0, hvilket er inden for intervallet 1 cot,5. Vinklen holdes konstant i hele bjælkens længde. Forskydningskraften, V 1, for x zcot 37,1mm, 0 0, 74m bestemmes. V 1 (x=0,74m) V 1, venstre Lx 5,0 0,74 1 1 pd 10 18,1kN L 5,0 1 x 1 0,74 V1, højre pd 10 0,5kN L 5,0 V1, venstre 18,1kN V1 max max 18,1kN V1, højre 0,5kN Forskydningsbæreevnen bestemmes for en bøjleafstand på 00 mm. Bøjler pr. 00 mm: V Rd Asw 8 z fyw, cot 37,175,0 57,3kN s 00 Trykbrud i beton: V Rd ' bz v fc, 58, 37,10,5535 706kN cot 1/ cot,0 1/,0 Hvor effektivitetsfaktoren for forskydning er givet ved: fck 35 v 0,7 0,7 0,55 00 00 Det ses, at en bøjlearmering Y6 pr. 00 mm er tilstrækkelig i brandtilfældet. Eksempel slut 33

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9.3 Beregningsprogram Bjælkeprogrammet på www.bef.dk rummer også en modul til beregning af bjælker i bandsituationen. Nedenstående udskrift viser resultaterne af en beregning svarende til eksemplet i afsnit 9.4.3. I beregningseksemplet blev ved momentdimensioneringen set bort fra trykarmeringen, som derfor er nulstillet i programmet. En sammenligning af resultaterne viser overensstemmelse med gennemregningen i afsnit 9..3. BJÆLKE, version.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 009 Sagsnavn: Betonelementhuset Sag nr.: 3-4545 Bygningsdel: Bjælke i modul D-E/1, stueetage Dato: 008-03-01 Emne: Brandlastkombinationer Init: JFJ Spændvidde Tværsnit h 40 mm 70 40 L 5,00 m b 300 mm 35 60 Længdearmering c' = 40 mm b eff 300 mm 30 50 d (mm) c (mm) antal 5 Tryklag t 16 40 0 40 0 Træklag 1 14 100 0 30 15 Træklag 16 40 0 10 Bøjler d (mm) a (mm) cot 10 5 Type 1 6 00,00 0 0 Type 6 00,00 Momenter i knm : Forskydningskræfter i kn V Ed Partialkoefficienter Længdearmering V : Rd,1 M kar : V Rd, c 1,00 f yk 500 MPa : M Ed,max = 31,3 knm < M Rd z cot s 1,00 f yd 500 MPa M Ed : : : L / 10 Beton Bøjlearmering Jævnt fordelte laste Punktlaste f ck 35 MPa f yk 410 MPa p 1 p p 3 P 1 P P 3 f cd 35,0 MPa f yd 410 MPa Brand, tid: 60 min Stålreduktioner Kar. værdi (kn/m) 1,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 Bund: JA f sy, / f yk E s, / E s Regnm. værdi (kn/m) 10,0 0,0 0,0 (kn) 0 0 0 Sider: JA Tryklag t: 1,00 1,00 Excentricitet, exc. (mm) 0 0 0 (mm) 0 0 0 Betonreduktioner Træklag 1: 1,00 1,00 x 1 (m) 0,00 0,00 0,00 (m) 0,70 0,00 0,00 Randzone: 1 mm Træklag : 0,65 0,70 x (m) 5,00 0,00 0,00 k c,m 1,00 Bøjlearmering: 0,67 c' tryklag t x 1 M (knm) 49,0 M Rd 49,0 knm v/ trykbrud i krop: V Rd,0 707 kn x 1 Kontrolparametre Momentkapacitet Forskydningskapacitet c x x (mm) 0,4 Tilslag: Søsand / granit v/ type 1 bøjler: V Rd,1 58 kn P p træklag 1 (o/oo) 3,5 Stål: Varmvalset v/ type bøjler: V Rd, 58 kn c træklag c st (MPa) 37 Forskydningskraftens største excentricitet, exc.: 0 mm c måles til midte jern L z (mm) 37 Forankringskrav til hovedarmering over lejer, N a : 5 kn Vejledning PC-statik: Bjælkeberegning efter EC Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 9-18: Bjælketværsnit og statisk system 9.4 Søjler og vægge i brandtilstanden Bæreevnen af søjler og vægge i brandtilstanden findes ved opstilling af ligevægtsligningerne for tværsnittet. Bæreevneeftervisningen er kompliceret, og betonens kanttøjning og trykzonens udstrækning skal itereres frem. Metoden er derfor ikke egnet til håndberegning. Det anbefales at anvende et computerprogram eksempelvis Betonelementforeningens (www.bef.dk - Søjleelementer). 34

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Tværsnitsanalysen forløber i princippet som tværsnitsanalysen for bjælker, afsnit 9..1.1 og 9..1.. Søjle- og vægberegningen vanskeliggøres af udbøjningens betydning for bæreevnen. Ud over den almindelige udbøjning skal der tages hensyn til udbøjning fra krybning i perioden op til branden, termisk udbøjning og eventuelt forsætning af søjlereaktionen under brand. I de følgende afsnit 9.4.1 og 9.4. gennemgås udbøjningsbidragene. I afsnit 9.4.4 gives et eksempel på en søjleberegning udført på computer. I eksemplet afsnit 9.4.3 vises, hvordan computerberegningen kan kontrolleres. 9.4.1 Udbøjning fra krybning En brandsituation er så kortvarig, at der ikke forekommer krybning undervejs. Til gengæld skal der ved bæreevneberegninger for søjler og vægge tages højde for den krybning, som har været op til brandtidspunktet. Den krybningsrelaterede udbøjning er generelt set meget lille, men har en mindre betydning for søjler og vægges bæreevne. Krybning i brandtilfældet kan medtages ved at beregne søjlen/væggens udbøjning for langtidslast. Beregningen foretages dels med og uden krybning. Herefter bestemmes den krybningsrelaterede udbøjning som: u u u krybning ef ef 0 Beregningen af udbøjningerne foretages ud fra en lineærelastisk betragtning under antagelse af, at tværsnittet er fuldt revnet. Beregningen foretages på baggrund af det oprindelige betontværsnit. Krybningsbidraget bestemmes på baggrund af den effektive krybefaktor, ef, der udgør en vægtet værdi af slutkrybetallet: ef moment fra langtidslast moment fra samlet last 0 Krybningsudbøjningen bør bestemmes ud fra en passende referencebelastning. Denne last kan eksempelvis sættes svarende til et lasttilfælde, hvor normalkraften N d = 0 og momentet M 0Ed som minimum sættes lig det maksimalt forekommende moment i samtlige lasttilfælde. Ved at benytte et lasttilfælde hvor N d = 0 35

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK som referencelast opnås den store fordel, at tværsnitsligningerne kan løses direkte, så iteration undgås. 0 ( ef eller 0 c sc / sc sc x N d h M 0Ed c st st / tværsnittets bredde er b Figur 9-19: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse Geometriske betingelser tilfældet med krybning: x c 0 d x 0 x x 1, 1 sc ef st ef Armeringsspændingerne findes ved at substituere / hvilket giver: og 0 / s s E s x c E h x c E ef s 1, 1 s sc c ef st c x Ecm x Ecm, c Ec m Ligevægtsligningerne kan nu opstilles. Projektionsligningen: 1 NEd bxc sc Asc st Ast 1 xc Es hxc Es 0 bxc c1ef Asc c A x E x E cm cm 1 ef st 36

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i projektionsligningen. For N Ed =0 giver dette en.grads-ligning, der kan løses for x. Momentligningen om tværsnittets centerlinje: 1 h x h M0Ed bxc csc Asc st Ast 3 M0Ed 1 h x h Es xc hxc bx c 1 A A 3 E x x c cm ef sc st Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændingen c findes ved indsættelse af x i momentligningen, og armeringsspændingerne fås til slut af de geometriske betingelser ved at indsætte c. Udbøjningen inklusiv krybning kan nu findes af: u ef 1 c 10 E 1 ef cm x L s For tilfældet uden krybning gælder samme formler, hvor det effektive krybetal sættes lig nul, ef = 0. Herefter findes udbøjningstillægget fra krybning som differencen mellem de to beregnede udbøjninger. 9.4. Termiske udbøjninger Ved brand på den ene side af en søjle/væg vil den varme side udvide sig, hvilket giver en udbøjning af søjlen/væggen. De termiske tøjninger regnes generelt ikke til gunst. For hvert hovedtilfælde med en given udbøjningsretning betyder dette, at der altid ses bort fra de termiske tøjninger i tryksiden. I brandtilfældet er det til gengæld væsentligt altid at kontrollere samtlige mulige udbøjningsretninger for at tage hensyn til muligheden for, at termiske tøjninger 37

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK kan medføre en udbøjning, hvor søjlen bøjer ud i modsat retning af, hvad der ville være forventeligt ved en isoleret vurdering af belastningstilfældene. Disse forhold optræder især, når der er tale om en hidsig brandpåvirkning Den termiske udbøjning i det enkelte hovedtilfælde bestemmes af: 1 1,110 L for revnede tværsnit 8 d ' 5 s e termisk s e termisk 5 1 1,110 r, kant kr, kant L for urevnede tværsnit s 8 h ' hvor: k r,kant = (1-,35 r,kant / f ck ), dog mindst 0 s r,kant r,kant L S er temperaturen i armeringen. Her benyttes armeringens temperaturtilvækst, det vil sige den aktuelle temperatur minus 0 C. er temperaturen i den mindst trykkede kant af det reducerede tværsnit er trykspændingen i den mindst trykkede kant før en eventuel instabilitetsberegning er søjlelængden h er højden af det reducerede tværsnit d er den effektive højde fra armeringen til den mest trykkede kant af det reducerede tværsnit I beregningsudtrykkene er det sidste led ( r,kant1 k r,kant1 ) et udtryk for den resulterende termisk betingede tøjning i søjlens trykside. I beregningerne ses der bort fra bidraget fra disse tøjninger, hvilket for bestemmelse af bæreevnen ikke har nogen væsentlig betydning, idet spændingen i tryksiden normalt er større end 0,45 f ck, så man alligevel får k r,kant1 = 0. 9.4.3 Søjle/vægreaktionens forsætning under brand Når en søjle/væg bøjer ud ved brand, kompenseres for denne udbøjning ved, at søjlereaktionen flytter sig fra tværsnitscenteret. Denne effekt reducerer virkningen af udbøjning. Ved at medregne reaktionens forsætning fås en øget bæreevne, men virkningen bør kun medregnes, hvis det samtidig sikres, at eventuelle 38

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 underliggende konstruktioner i brandtilstanden dimensioneres for den excentricitet reaktionen afleveres med. Reaktionens forsætning indgår i ligevægtsligningen på følgende vis: 0, 4 0, 4 M M N u e M M N u e Rd 0Rd Ed R 0Rd Rd Ed R Søjlen/væggens udbøjning betragtes i det øverste /5-dels punkt. Reaktionens afvigelse fra tværsnittets centerlinje er på dette sted /5e R = 0,4e R. /5 L 1/5 L 0,4e R /5 L Figur 9-0: Reaktionens forsætning under e R Reaktionens forsætning bør ikke vælges større end følgende værdier: e R 1 h a min e z termisk På denne måde sikres, at reaktionen er inden for det intakte tværsnit, og at den maksimale reduktion svarer til, at højst 80 % af den termiske udbøjning neutraliseres. 39

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9.4.4 Eksempel Søjle i brandtilstanden Bæreevneeftervisning af søjler i brandtilstanden er ikke egnet til håndberegning. Det anbefales at anvende et computerprogram, eksempelvis Betonelementforeningens (www.bef.dk - Søjleelementer). Se nærmere i afsnit 9.5. I dette eksempel vises, hvordan computerberegningen kan kontrolleres. Søjlen fra eksemplet afsnit 8.1.4 undersøges under en firesidet brandpåvirkning af 60 minutters varighed for bøjning om den stærke akse. Til eksemplet er udvalgt lasttilfælde F, jævnfør programudskriften i afsnit 9.5. 9.4.4.1 Beregningsforudsætninger Tværsnittets temperaturfordeling, skadet randzone og reduktion af materialeparametre er bestemt i afsnit 9.1.5. Tværsnit 40 mm x 300 mm Skadet randzone a z = 6,5 mm b = 300 mm 6,5 mm = 47,0 mm h = 40 mm 6,5 mm = 367,0 mm Karakteristisk betontrykstyrke Betontemperatur midt i tværsnittet Regningsmæssig betontrykstyrke f ck = 35 MPa = 0,0 C f c, = 35 MPa Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne. A sc = 40 mm A st = 40 mm c = 40 mm Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen f yk = 500 MPa Længdearmeringens temperatur = 396,1 C Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen f sy, = 37 MPa Regningsmæssigt elasticitetsmodul E s, = 1,4110 5 MPa Søjlelængde L s = 3500 mm 330

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Regningsmæssig normalkraft jævnfør afsnit 9.5 N Ed =14,3 + 357,8 + 6,0 = 508,1kN Regningsmæssigt 1. ordensmoment M 0Ed = N 1 e 1 + N 0 E 0 - N e = 14,3 0,33 + 357,8 0,00 6,0 0,00 = 30,9kNm 9.4.4. Kontrol ved opstilling af tværsnittets ligevægtsligninger Her kontrolleres beregningen ved at se, om tværsnittet er i ligevægt ved opstilling af projektionsligningen for en given belastning. Det vanskelige ved søjleberegning i brandtilstanden er de omfattende ligningssystemer, hvor ligevægten skal itereres frem ved at gætte på betonens kanttøjning. Her udnyttes, at programmet oplyser værdierne for betonens kanttøjning, 0, og trykzonens udstrækning x. Hermed kan ligevægten opstilles og kontrolleres direkte uden iteration. For lasttilfælde F fås: 0 = 0,00196 x = 117 mm Betonens bidrag til ligevægtsligningerne findes jævnfør afsnit 9..1.1. Først udregnes hjælpestørrelserne A og B: A 0,0050 1, 607 0,00196 3 c1, 3 0 c1, 0, 0050 3 3 4,881 B 0 0, 00196 Her udnyttes, at betonens centertemperatur er 0,0 C, hvorefter c1 bestemmes af tabellen figur 9-3. 331

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Betonens trykresultant fås af: B 1 1A A A A 1 A A N ', ln ln arctan arctan c b x fc A 6 1 3 3 3 A A A A 4,881 47,0117 35 1,607 1 11,607 1,607 1 1,607 1,607 ln arctan arctan 541, 9kN 6 11,607 3 1,607 3 1,607 3 hvor det udnyttes at = 0, da x h. c a z 0 c h x y N c a z Figur 9-1: Geometriske sammenhænge De geometriske betingelser for tværsnittet kan umiddelbart opstilles, idet der ikke regnes med krybning under brandforløbet: x caz sc 0 x h' xca st 0 x z Tryk/trækspændingerne i armering og betonkant er hermed givet ved: 33

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Betonkant spænding c c, c 3 3 c c1, c1, 3 f 30,0019635 0, 00196 c 0, 0050 0, 0050 c1, 33, MPa Trykarmeringen x ca z 0 s, sc min x f sy, E 117 40 6,5 0,00189 1, 41 10 5 44MPa min 117 37MPa Trækarmeringen z 0 s, st min x sy, h' x ca f E 367,0 117 40 6,5 0,00196 1,41 10 5 559MPa min 117 37MPa Der ses at være flydning i trækarmeringen. N N ac at 4440 97,9kN 37 40 131, 7kN Projektionsligningen opstilles: N N N N Ed c ac at 508,1kN 541,9 97,9 131,7 508,1kN 508,1kN Ligevægten ses at være i orden 333

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Afstanden fra centerlinjen til betonens trykresultant findes: 1 bxbf ' 3 3 c, A 1 1 46,0 117 4,88135 1,667 1 y ' ln ln 76 3 3,4mm 3 Nc A 3 541,9 1,667 Momentligningen opstilles for moment om tværsnittets centerlinje: 1 1 MRd h' x y' Nc h' c' Nac Nat 1 1 367, 0 117 76, 4541, 9 367, 0 40 6, 597, 9 131, 7116, 5kNm 9.4.4.3 Kontrol af udbøjning Den samlede udbøjning består af bidrag fra søjleudbøjning, krybning og termisk udbøjning Dette giver følgende udtryk for den totale udbøjning, u: 1 10 x 0 u Ls ukrybning etermisk I det følgende bestemmes hvert af de tre bidrag. Søjleudbøjning Søjlen/væggens krumning er tilnærmelsesvis parabelformet, med en formfaktor for krumningsforløbet på ca. 10. Det vil sige, at udbøjningen er givet ved: u L s 10 x 10 117 1 0 1 0,00196 3500 0,5mm Hvor kanttøjning og trykzonehøjden umiddelbart fås af afsnit 9.4.4.. Udbøjning fra krybning Belastningen op til brandtidspunktet vurderes at bestå af 75 % langtidslast og 5 % korttidslast. Det effektive krybetal udregnes på baggrund af slutkrybetallet, der blev bestemt i afsnit.1.3.1: ef 0,75 0,75,13 1,60 0 334

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Udbøjningen inklusiv krybning bestemmes nu for perioden op til brandtidspunktet. Der vælges en referencelast på: N M Ed 0Ed 0 30,9kNm Med krybning 1 x c Es hxc Es 0 bxc c1ef Asc c A x E x E cm cm 1 ef st Talværdierne indsættes og. gradsligningen løses for x: 5 1 x 40,010 0 300x 11, 640 x 34077 5 40 x 40,010 11, 640 x 96, 4mm x 34077 Her benyttes E cm 0,3 0,3 fcm 35 8 000 000 34077MPa 10 10 Betonkantspændingen findes ved indsættelse af x i momentligningen: M 0Ed c 1 h x h Es xc hxc bx c 1 A A 3 E x x cm ef sc st 31 1 40 96, 4 40,0 10 30096, 4 40 3 34077 c 6 3110 c 6, 5010 96, 4 40 40 96, 4 40 11,6 40 40 96, 4 96, 4 6 4,96MPa 5 335

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Udbøjningen inklusiv krybning fås til: u ef 1 ef 4,9611,6 1 c 1 Ls 3500 4,81mm 10 E x 10 3407796, 4 cm Uden krybning For tilfældet uden krybning sættes ef = 0. Trykzonehøjden fås da til: 5 1 x 40,010 0 300x 40 x 34077 5 40 x 40,010 40 67,1mm x x 34077 Betonkantspændingen fås tilsvarende til: 31 1 40 67,1 40, 010 30067,1 40 3 34077 c 6 3110 c 3,9110 67,140 40 67,140 40 40 67,1 67,1 6 7,9MPa 5 Udbøjningen uden krybning fås til: 1 1 7,9 c 0 L ef s 10 Ecmx 10 3407767,1 u 3500 4,5mm Udbøjningstillægget fra krybning giver: ukrybning u u 0 4,814, 5 0,56mm 0,6mm ef ef Termisk udbøjning Den termiske udbøjning bestemmes af nedenstående udtryk, idet tværsnittet er revnet: e termisk 5 5 1 1,110 s 1 1,1 10 376,1 3500 Ls 17,9 8 d ' 8 353,5 mm 336

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Brand 9 Hvor følgende mellemregninger er blevet benyttet: Temperatur i længdearmeringen findes af afsnit 0: s 396,1C0 C Den reducerede afstand fra længdearmering til trykket betonkant: d' hca 40 40 6, 5 353, 5mm z Samlet udbøjning Den samlede udbøjning fås ved at summere bidragene fra søjleudbøjning, krybning og termisk udbøjning: u u u e søjle krybning termisk 0,10, 6 17,9 38, 6mm 39mm 9.4.4.4 Bestemmelse af momentkapacitet M ord Det er muligt at bestemme det maksimale lastfremkaldte moment, M 0Rd, som søjlen/væggen kan belastes med ud fra søjlens ligevægtsligning: 0, 4 0, 4 M M N u e M M N u e Rd 0Rd Ed R 0Rd Rd Ed R I dette eksempel regnes reaktionens forsætning e R = 0. Momentkapaciteten fås til: M 3 0Rd 116,5 501,8 39 10 96,9kNm 97kNm Eksempel slut 337

9 Brand BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 9.5 Beregningsprogram Den samlede udskrift af brandmodulet i søjleprogrammet på www.bef.dk er vist nedenfor med inddata svarende til det gennemgåede eksempel i afsnit 9.5.4. I programmet er i stedet for brandlasttilfælde A indlagt en belastning svarende til den referencelast, der i eksemplet blev anvendt til bestemmelse af krybebidraget til udbøjningen. Sagsnavn: Bygningsdel: Emne: M (knm) 140 10 100 80 60 40 0 Betonelementhuset Søjle i modul B/4, 1.-. sal, hovedtilfælde I-b Brandlastkombinationer A E FH G I Sag nr.: Dato: Init: 3-4545 010-03-01 JFJ 0 BCD 0 500 1000 1500 000 500 3000 N (kn) SØJLE, version.0 / EC Betonelement-Foreningen mar. 008 Materialer f ck 35 MPa Regningsmæssige parametre f yk 500 MPa f cd 35,0 MPa c 1,00 f yd,tryk 37 MPa s 1,00 f yd,træk 37 MPa Søjlelængde L s 3500 mm Krybning Tværsnit h 40 mm o,13 b 300 mm M 0Eqp/M 0Ed 0,75 c 40 mm ef 1,60 Trykarm. d a 16 mm Udbøjningstillæg fra krybning: Antal stk u krybning 0,6 mm Trækarm. d a 16 mm Reduktionsparametre Antal stk Randzone: a 6 mm Brandpåvirkning, tid : 60 min Beton: k c,m 1,00 Brand, trykside JA Trykarm: f sy, / f yk 0,65 Brand, trækside JA E s, / E s 0,70 Brand, sider JA Trækarm: f sy, / f yk 0,65 Tilslag: Søsand / granit Stål: Varmvalset E s, / E s 0,70 Kontrolparametre Brandlasttilfælde Ref-last Brandlasttilfælde N 1 (kn) N 0 (kn) N (kn) w (kn/m) E F H A A 0 0 0 0,00 e 0 N Ed (kn) 77 508 513 0 B N0 M 0Ed (knm) 6 31 31 31 C N N1 e e 1 M 0Rd (knm) 75 97 97 44 D b u (mm) 34,5 39,0 39,1 8,5 E 14 17 6 0,00 c w k (mm) - - - - F 14 358 6 0,00 N 0 (o/oo) 1,34 1,96 1,97 0,58 G 14 358 47 0,00 M h c0 (Mpa) 6,1 33,1 33, 1,1 H 14 36 6 0,00 st (Mpa) 37 37 37 37 I 14 36 47 0,00 c sc (Mpa) 163 44 45 66 max exc( R ) brand w Lodret snit Tværsnit x (mm) 10 117 117 70 Excentriciteter (mm) : 33 0 00 0 mm Vejledning: PC-statik: Søjle- og vægberegning efter EC Udgivet på www.bef.dk december 008 NB: Resultaterne skal altid kontrolleres af ansvarlig statiker Figur 9-: Beregningsprogram 338

10 detailstatik 10 Detailstatik 10.1 Detailberegning ved gitteranalogien 10.1.1 Gitterløsninger med lukkede bøjler 10. Forankring af hovedarmering 10..1 Forankring med simpel retlinet armering 10.. Forankring med u-bøjle 10..3 Forankring med påsvejst tværarmering 10..4 Andre forankringstyper 10.3 Anvendelses eksempler 10.3.1 Eksempel - Vederlagsforankring 10.3. Eksempel - Bjælkehalvering 10.3.3 Eksempel - Pladehjørne 10.4 Udstøbningssamlinger 10.4.1 Støbeskel 10.4. Etagekryds

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Søjlekonsol Bjælkehalvering Skivevederlag Figur 10-1: Eksempler på gitterløsninger Detailstatikken omfatter lokale forhold i betonelementerne og ved sammenbygningsdetaljer. I betonelementsammenhæng kan detailstatikken i det væsentligste opdeles i følgende områder: Detailberegning ved gitteranalogien Beregning af udstøbningssamlinger Beregning af beslagsamlinger I det følgende tænkes ved beregningen af udstøbningssamlinger og beslagsamlinger kun på de dele, der ligger uden for betonelementerne. Den videre kraftindføring ind i betonelementerne omkring en samling behandles ved hjælp af gitteranalogien. Gitteranalogien benyttes desuden til analyse af de lokale forhold i betonelementer omkring udsparinger etc. 340

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 b Figur 10-: Trykstænger i gittermodeller 10.1 Detailberegning ved gitteranalogien De sædvanlige dimensioneringsmetoder for moment og forskydningskraft er ikke tilstrækkelige til detaljering af armeringsføring mv. For eksempel kan nævnes detaljering af søjlekonsoller, bjælkehalveringer og skivevederlag. I sådanne tilfælde er det en fremkommelig metode at indlægge et tænkt gitter i konstruktionen, hvor armeringen optager trækkræfterne, og hvor tænkte gitterstænger af beton optager trykkræfterne. I figur 10-1 er der kun vist de armeringsjern, der direkte indgår i gittermodellerne. Yderligere randarmering og minimums bøjlearmering vil almindeligvis komme på tale. De antydede forankringsplader skal i første omgang opfattes som symbolske. De skal blot ses som en understregning af, at armeringen skal være effektivt forankret i gitterets knudepunkter. Dette vil normalt kunne opnås uden anvendelse af egentlige ankerplader via en af følgende tre forankringsformer: bøjlers forankring ved hjørnejern forankring med u-bøjle forankring af retlinet, ribbestål-armering Disse forhold behandles nøjere senere i dette kapitel. 341

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK I gittermodellerne er tryklamellerne af beton markeret med en skravering inden for lamellens begrænsningslinjer. Midt i lamellerne er der desuden indtegnet en punkteret linje, der markerer trykresultantens angrebslinje. Fig. a c Fig. b c Fig. c c f cd 1 c II A A Snit A Figur 10-3: Betonprisme med plan spændingstilstand Mellem gitterets knudepunkter tegnes tryklamellens begrænsningslinjer parallelle med hinanden. Herved udgøres spændingstilstanden i lamellen af et enakset betontryk, σ c, i lamellens retning: f k c cd 1 hvor b er lamellens bredde i planen, og hvor t er konstruktionstykkelsen. Indtil videre forudsættes konstruktionen at være plan. I en plan konstruktion må betontrykket i en tryklamel aldrig overstige betonens regningsmæssige trykstyrke, f cd. Som antydet på Figur 10-3 c foregår brud i beton ved, at betondelene omkring en brudlinje bevæger sig i forhold til hinanden. Denne bevægelse er sammensat af en glidning parallelt med brudlinjen, 34

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10, og en samtidig tværbevægelse vinkelret på brudlinjen,. Bruddet kan kun opstå, hvis der er fri mulighed for en tværbevægelse, så følgende opfyldes: tan hvor φ er den såkaldte friktionsvinkel, der for beton kan regnes til 37 Fig. a c Fig. b c 1 1 c 1 c Figur 10-4: Betonprisme med treakset spændingstilstand I enhver plan konstruktion med spændingsforhold som vist på Figur 10-3 a og b, er der altid mulighed for tværbevægelse vinkelret på planen. Ved lokale, koncentrerede påvirkninger inde i en konstruktion kan forholdene imidlertid stille sig helt anderledes. Her vil den omgivende beton hindre den frie tværudvidelse, så betonen lokalt kommer under treakset tryk. 343

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Af snittet på Figur 10-4 b fremgår at tværtrykket σ 1 yder modstand mod brudbevægelsen. Det kan vises, at brud i denne situation først opstår når f k c cd 1 hvor k, der afhænger af friktionsvinklen, for beton kan regnes til ca. 4,0. Størrelsen af det tværtryk der kan regnes til gunst, kan sædvanligvis ikke beregnes direkte. Men der er vid erfaring for at tage effekten i regning. I EC indregnes effekten især i to tilfælde, nemlig ved overførsel af kræfter til almindelige bøjler og ved koncentreret last. Fig. a Fig.b N c 0 Figur 10-5: Forhold i overgang mellem bøjle og længdearmering 10.1.1 Gitterløsninger med lukkede bøjler Betragtes en sædvanlig bøjlearmeret bjælke, giver figur 10-5 b tydeligt indtryk af, at der må ske en overordentlig stor spændingskoncentration i betonen nede i bøjlens ombukning. Til almindelig brug for opstilling af gittermodeller kan betonnormens regler for forskydningsarmerede bjælker benyttes til en vurdering af, hvor store gitterkræfter der kan accepteres. I henhold til betonnormen kræves ved sædvanlig forskydningsdimensionering af bjælker, at bøjleafstanden s er mindre end 0,75 d cotθ, dog højst 0,75 d, hvor d er afstanden fra overside- 344

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 bjælke til trækarmering. Med den størst tilladte værdi af s fås da kraften i en bøjle: N t t 0,75 d, 1 cot cot t 0, 75 d cot 1, cot 1 cot hvor er den jævnt fordelte forskydningsspænding over tværsnittet svarende til forskydningskraften i bjælken. Forskydningsspændingen har følgende relation til trykspændingen σ c i tryklamellerne: cot c 1 cot Da σ c højst må antage værdien f cd ses ved at indsætte udtrykket for t i udtrykket for N t, at der altid vil kunne optages en bøjlekraft af størrelsen: N t 0,75 td f, 1 cot cd 1 cot 0,75 td cot 1, fcd cot 1 1 cot Den tilsvarende trykkraft i den skrå gitterstang bliver N sin t Nc Nt 1 cot Dette giver med den maximale værdi af N t indsat at N t 0,75 td f, 1 cot cd 1 cot 0,75 td cot 1 f, cd cot 1 1 cot 345

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Figur 10-6: Analogi til bjælkekrop Figur 10-7: Kræfter i bøjle og tryklamel Figur 10-8: Enkelt tryklamel i gitterfelt 346

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Ved optegning af en gittermodel kan tryklamellerne således forudsættes at overføre et enakset betontryk af størrelsen f cd hvis den enkelte tryklamels bredde ikke regnes større end: z 0,8 1 cot 1 cot b z cot 1 0,8 cot 1 1 cot hvor den indre momentarm er sat til z = 0,9375 d. Denne substitution er foretaget, fordi bjælkens indre momentarm kan sidestilles med en tilsvarende systemlinjeafstand i en gittermodel. Betragtes nu et gitterfelt med systemlinjeafstandene k og l, må den skrå tryklamels bredde således ikke regnes større end 0,8 b 0,8 k k l kl k l k l k l 10.1-1 I henhold til det nationale anneks til EC regnes ved gitteranalogi med 0,8 0,64 b 0,64 k k l kl k l k l k l Af hensyn til tolerancer på udførelsen bør der altid regnes med et»dæklag«på mindst 0 mm langs tryklameller, der føres forbi huller, indadgående hjørner etc. Afhængig af konstruktionsudformningen kan større»dæklag«være nødvendige for at sikre, at små skævheder ikke medfører et alvorligt bæreevnetab. 347

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Figur 10-9: Dæklag på tryklamel ved udsparing I gittermodeller optegnes knudepunkter med lukkede bøjler som vist nedenfor, hvor skæringspunktet mellem gitterstængernes systemlinjer er markeret med en stjerne. Ved knudepunktet med den vandrette tryklamel bør skæringspunktet mindst holdes i afstanden y under bøjlens vandrette gren, hvor y Nc cos tf cd Ifald den vandrette tryklamel skal optage vandrette kræfter hobet op fra flere knudepunkter, for eksempel i en bjælkeoverside, gælder reglen kun fikseringen af den enkelte skrå tryklamel. Optagelsen af den resulterende vandrette trykkraft i bjælkeoversiden sikres da ved den sædvanlige momentundersøgelse. Figur 10-10: Knudepunkt mellem bøjle og vandret tryklamel Figur 10-11: Knudepunkt mellem bøjle og længdearmering 348

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Ved knudepunkter mellem bøjler og hovedarmering henføres skæringspunktet til krydset mellem bøjlens og hovedarmeringens centerakser. Det er her vigtigt altid at sikre effektiv forankring af hovedarmeringen bag bøjlen. 10. Forankring af hovedarmering For et armeringsjern kan vedhæftningen mellem beton og armering antage at sikre en forankringskapacitet af størrelsen. sd 4 lbd fbd, s d 1 3 4 5 f yd hvor der er anvendt betegnelserne: sd spændingen i armeringen på det sted hvorfra forankringen måles armeringsjernets diameter l bd den aktuelle forankringslængde f bd vedhæftningsbrudspændingen samt korrektionsfaktorerne vedrørende 0,7 1 stangens form 1 0,7 1 betondæklag 0,7 1 tværarmering, ikke svejst 3 0,7 1 tværarmering, svejst 4 0,7 1 tværtryk 5 Det gælder endvidere at 3 5 ikke må regnes mindre en 0,7. Hvad angår den aktuelle tværforankringslængde skal man normalt overholde. l maks(10 ;100 mm) bd 349

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hvis geometrien hindrer overholdelse af l 10 bd, kan beregningen af forankringskapaciteten eventuelt baseres på en korrigeret armeringsdiameter på 1 l 10 bd Hvor armeringen indesluttes med svejst tværjern over en direkte understøtning, skal mindstekravet til forankringslængden ikke opfyldes, hvis det svejste tværjern er placeret mindst 15 mm inde bag understøtningens kant. Det generelle udtryk for korrektionsfaktorerne 1 til 5 er angivet i EC s afsnit 8.4. I de efterfølgende eksempler er det valgt at forudsætte, at de konstruktive krav til tværarmering samt til dæklag for den aktuelle stangtype netop er opfyldt. Dermed bliver 0,1 for forankring af lige jern 1 0,7 for forankring af u-bøjler 1,0 for dæklag mindst 10 for lige jern og 1, 0 3 dæklag vinkelret på u-bøjlens plan på mindst 3,0 1,0 uden svejst tværarmering 4 0,7 med svejst tværarmering 1, 0 0, 04, for 7,5MPa 5 hvor cm cm 0 er tværtrykket i MPa cm 350

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 10..1 Forankring med simpel retlinet armering 10ø Vederlagszone ø Figur 10-1: Forankring af lige jern ø ø ø For den viste situation bliver: sd1 4 lbd fbd 1 3 4 5 sd1 4 10, 5 fctd 90 fctd, cm 7,5MPa (1 0, 04 cm) (1 0, 04 cm ) 4 10,5 fctd 18, 6 fctd, cm 7,5MPa 0,7 f yd Hvor sd er armeringsspændingen ved vederlagets kant. Med partielkoefficienten 1, 4 c bliver de regningsmæssige betonstyrker: f [ MPa] f [ MPa] f [ MPa] ck cd ctd 0 14,3 1,11 5 17,9 1,8 30 1,4 1,45 35 5,0 1,60 40 8,6 1,75 45 3,1 1,90 50 35,7,04 Figur 10-13: Materiale parameter beton 351

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Endvidere indsættes 500 f yk 500MPa f yd 417MPa 1, hvorefter forankringskapaciteten målt ved sd er uafhængig af armeringsdiameteren for det forudsatte armeringsarrangement og kan aflæses af nedenstående diagram med tværtrykket, cm, over vederlaget ud af den vandrette akse. 50 sd [Mpa] 00 150 100 50 fck = 40 fck = 35 fck = 30 fck = 5 fck = 0 0 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 cm [Mpa] 8,00 Figur 10-14: Forankring af simpel retlinet armering 35

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 10.. Forankring med u-bøjle 5ø 5ø Vederlagszone 8ø 3ø Figur 10-15: Forankring af u-bøjle I dette tilfælde bliver 1 0,7, så forankringsbidraget fra vedhæftningen kan skrives: sd1 sd1 4 lbd fbd 1 3 4 5 4 1 10, 5 fctd 18,6 fctd, cm 7,5MPa 0,7 (1 0,04 cm) (1 0,04 cm ) 4 1 10, 5 fctd 183,7 fctd, cm 7,5MPa 0,7 0,7 Endvidere vil der i U-bøjlens runding blive opbygget i ringtryk i betonen, der også giver et bidrag til forankringen. Når u-bøjlens bukkecenter er placeret mindst 5ø fra vederlagets kant, vil effekten være analog til forholdene ved påsvejst tværjern, hvor der kan antages en trykspænding i betonen af størrelsen: ( f )/ y 3f 3f y f td ctd cm cd cm cd ctd Med dæklaget 3ø under armeringsjernene bliver y e 0,18( (3 ø/ ø) 1) 0,015 0,14 0, 055 Ringtrykket svarer til, at der i u-bøjlens to ben tilsammen opnås en trækkraft af størrelsen 353

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK F 8 øø btd td Bidraget til forankringsstyrken fra ringtrykket bliver da: 41 8( f ) / 0,055 93,1( f ), 0,164 f f 41 8 3 f 15,3 f, 0,164 f f sd cdt cm cdt cm cm cd ctd sd cd cd cm cd ctd Dermed kan den samlede forankringsstyrke udtrykkes som: 18,6 f 93,1( f ) 0,164 f f 1 0,04 cm 18,6 f 15,3 f 7,5MPa 1 0,04 cm 183,7 fctd 15,3 fcd cm 7,5MPa ctd ctd cm cm cd ctd f sd ctd cd cm yd Det skal desuden opfyldes at sd f yd. 500 sd [Mpa] 400 300 00 100 fck = 40 fck = 35 fck = 30 fck = 5 fck = 0 0 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 cm [Mpa] 8,00 Figur 10-16: Forankring af U-bøjle 354

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 10..3 Forankring med påsvejst tværarmering En løsning med påsvejst tværjern i samme dimension som to langsgående ankerjern, der indlægges som en samlet enhed (svarende til en u-bøjle), kan udføres således: 1½ø 5½ø Vederlagszone 3½ø 7ø 3½ø ø Figur 10-17: Forankring med påsvejst tværjern De to armeringsjern med påsvejst tværjern giver et bidrag til vedhæftningen svarende til 4 0,7, hvilket giver: sd1 sd1 4 lbd fbd 1 3 4 5 4 1 7,5f ctd 90 fctd, cm 7,5MPa 0,7 (1 0,04 cm ) (1 0,04 cm) 4 1 7,5f ctd 18, 6 fctd, cm 7,5MPa 0,7 0,7 Foran tværjernet opbygges et betontryk, der kan antages at blive: ( f )/ y 3f 3f y f td ctd cm cd cm cd ctd Med dæklaget ø under armeringsjernene bliver y e 0,18( ( ø/ ø) 1) 0, 015 0,14 =0,0965 355

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Over hvert armeringsjern kan tværjernet antages at have en effektiv bredde til optagelse af dette tryk på: l ø f l ø f 0,5 td 1,16 ( yd / td ) t 7 yd 36 td Dette vil med armeringsstyrker på f 500MPa og betonstyrker yk fck 0MPa altid være opfyldt. Betontrykket på tværjernet svarer derfor til, at der i hvert ankerjern opnås et bidrag til forankringskraften på: F 1,16 ø( f / ) ø 1,16ø f 0,5 btd yd td td yd td Bidraget til forankringskraften kan da skrives: std sd yd td 4 ø sd F 4,64 f 4,64 f ( f )/ y 4,75 f ( f ), 0,90f f 4,64 f 3 f,56 f f, 0, 90 f f yd ctd cm yd ctd cm cm cd ctd yd cd yd cd cm cd ctd For det påsvejste tværjern forudsættes forskydningskapaciteten af hver svejsesamling til ankerjernene at opfylde: 4 Fwd 0,5 ø fyd Dette skal dokumenteres ved anvendelse af løsningen, hvilket kræver særlige aftaler herom i det konkrete projekt. 356

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Dette giver en begrænsning på sd på 0,5 f yd. Den samlede resulterende forankringsstyrke for den forestående løsning kan dermed uafhængig af armeringsdimensionen skrives: sd1 sd 90 fctd, cm 7,5MPa (1 0, 04 cm) 18, 6 fctd, cm 7,5MPa 4,75 f ( f ), 0,90 f f,56 f f, 0, 90 f f sd sd1 sd yd yd ctd cm cm cd ctd yd cd cm cd ctd f 0,5 f yd Forankringsstyrken for to armeringsjern med påsvejst tværjern i samme dimension bliver som vist på nedenstående diagram. 500 sd [Mpa] 400 300 00 100 fck = 40 fck = 35 fck = 30 fck = 5 fck = 0 0 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 cm [Mpa] 8,00 Figur 10-18: Forankring med påsvejst tværjern 357

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 10..4 Andre forankringstyper Der findes andre forankringsmuligheder end de foran gennemgåede. For eksempel kan der svejses tværplade for enden af armeringsjernene, eller der kan svejses armeringsjern til en indstøbt lejeplade. I det sidste tilfælde er det vigtigt at lejepladen forsynes med modhold, så forankringsbrud i form af glidning mellem beton og lejeplade ikke kan opstå. Ankerplade Modhold Figur 10-19: Forankring med ankerplader eller modhold Som regel kræver specielle forankringer, at der udføres prøvning. På elementfabrikker udføres denne prøvning stikprøvevis som led i den løbende kvalitetskontrol. 10.3 Anvendelseseksempler 10.3.1 Eksempel - Vederlagsforankring Nærværende eksempel er en fortsættelse af bjælken fra eksempel i afsnit 6.1.5, hvor den maksimale forskydningskraft var 65,1kN, og den krævede forankringskraft blev 56,6kN. Der gennemregnes de tre forskellige forankringsdetaljer, som er behandlet ovenfor, og det ses herved, hvordan den krævede vederlag kan minimeres. Der regnes med armering med styrken: 500 f yk 500MPa f yd 417MPa 1, 358

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 10.3.1.1 Forankring med simpel retlinet armering 40mm 160mm Vederlagszone 300mm ø16 6mm Figur 10-0: Bjælkeende med lige jern 6mm 04mm 6mm Det ses, at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er: 65,1/(00 300) 1, 09MPa cm så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene sd 18 90 fctd 1, 60 150MPa f yd (1 0, 04 ) (1 0, 04 1, 09) cm Herved er forankringskapaciteten 4 F (16) 150 60,3kN OK 359

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 10.3.1. Forankring med u-bøjle 40 50 50 300 U-bjl Y10 3ø Figur 10-1: Forankring af u-bøjle Det ses, at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er: 65,1/(140 300) 1,55MPa cm Denne spænding er mindre end 0,164 f f 0,164 5 1,6,5MPa cm cd ctd så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene 18 f 9( f ) 1 0,04 sd ctd ctd cm cm 18 1, 60 9(1, 60 1,55) 508MPa 1 0,04 1,55 f yd Der kan således opnås fuld forankring, og herved er forankringskraften 4 F 10 417MPa 65, 4kN OK Den væsentligste fordel ved denne løsning er, at vederlagsdybden kan reduceres til 140 mm, hvor der med løsningen i eksempel 10.3.1.1 kræves 00 mm. 360

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 10.3.1.3 Forankring med påsvejst tværarmering 5 15 55 Ø10 300 3ø Figur 10-: Forankring med påsvejst tværjern Det ses at afstandskravene er overholdt, og at spændingen over vederlaget er: 65,1/(95 300), 8MPa cm Denne spænding er mindre end 0,164 f f 0, 9 5 1, 6 5, 65MPa cm cd ctd så der kan opbygges følgende spænding i armeringsjernene 90 f 4,8 f ( f ) 1 0,04 sd ctd yd ctd cm cm 90 550 1, 6 4,8 (1, 60, 8) 360,9MPa 1 0,04,8 1, f yd Herved er forankringskraften 4 F (10 mm) 360,9MPa 56,7kN OK Denne løsning er således kun at foretrække frem for forankring med U-bøjlen som i afsnit 10.3.1., hvis der kun kan opnås meget små vederlagsdybder. Eksempel slut 361

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 10.3. Eksempel - Bjælkehalvering F c z V r Ophængning R F F td ½ z cot a Figur 10-3: Bjælkeende ½ z cot ½a b Det forudsættes, at bjælken er forskydningsdimensioneret efter diagonaltrykmetoden. Denne dimensionering føres ud til en passende afstand, a, fra søjle konsollen. Denne afstand vælges så der bliver rimelig plads til at arrangere bøjler til ophængning af lasten V samt til at forankre hovedarmeringen. Eksempelvis kan der prøves med 1/ z cotθ, For den aktuelle bjælke forudsættes: f cd 5MPa 0,5 cot 1, 0 f 1, 8MPa z 390mm f td yd 34MPa 0,55 V 135kN t 40 mm ( Bjælkebredde) d Den anførte friktionskoefficient µ, der i en del tilfælde kan være mindre end 0,5, medfører, at tvangsdeformationer af bjælken pga. svind, krybning og temperaturbevægelser giver en vandret kraft µ R på bjælkeenden. Denne vandrette kraft kan i den aktuelle bjælke med god tilnærmelse regnes at virke i afstanden d = 160 mm fra trykzonen. Se også figur 10-15. Endvidere regnes med: a 00mm b180mm 36

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Ligevægtsligningerne giver da for den udskårne sektion af bjælken: RV R 135kN Fz ( zcot ab) Rd R t 1 1 d 1 1 1 ab d 1 00 180 160 Ft cot R Ft 1, 0 0,5 135 19 z z 390 390 kn F T R F 19 0,5 135 15kN C C, d Gittermodellen der anvendes er tegnet op på figur 10-4. N F c C1 3 c 3 N 1 1 d C N R V F t R Figur 10-4:Gittermodel 95 180 90 Afstanden mellem trykzone og vandret ankerjern fastlægges i det aktuelle tilfælde til z = 160 mm. Trykstangen mrk. C1 skal da optage kraften R b z 180 160 C1 R 135 03kN sin d 160 1 Af 10.1-1 findes lamelbredden: 160 c1 0,64 68,0mm 180 160 363

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Dette giver en trykspænding i lamellen på C 03 10 3 1 c 1,4 ct 1 68, 0 40 MPa f OK cd Det vandrette ankerjern, der er svejset til lejepladen, skal optage kraften 180 N1 Rrcot1 0,5 135 135 19kN 160 Som ankerjern anvendes 4 S16: 3 Nud 4 01 34 10 45kN N1 OK Kraften N 1 - µr skal forankres til betonen. Elementleverandørerne råder over forskellige standardløsninger, der sikrer denne forankring i normale tilfælde. I specialtilfælde kan det være aktuelt at udforme lejepladen med modhold, der kan overføre den vandrette kraft N 1 - µr til betonen, se figur 10-5. c y Figur 10-5: Eventuelt modhold på indstøbt lejeplade Modholdets højde afgøres af N R ty 1 c f cd 364

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 hvor α 1 fastlægges ud fra reglerne for koncentreret last på betonen. Modholdet skal dimensioneres så kræfterne vist på Figur 10-5 kan optages. Afstivning af modholdet kan være nødvendigt. Ophængningsbøjlerne foran vederlaget skal optage kraften N R 135kN d Der indlægges ophængningsbøjler, 3 bjl S10, som kan optage 3 Nud 3 78,5 34 10 161kN N OK Nu fastlægges længden x ved at kræve vandret ligevægt i punktet, hvor trykdiagonalerne mrk. C og C3 møder det vandrette ankerjern: N N cot V cot 1 3 x 95 x 19 135 135 x 37mm 390 160 160 Kraften i tryklamellen, mrk. C, bliver C N 37 (390 160) sin 390 160 135 35kN Af 10.1-1, findes lamelbredden (390 160) c0,64 84,7mm (390 160) 37 Dette giver en trykspænding i lamellen på: C 35 10 3 c 11,6 c t 84, 7 40 MPa f OK cd 365

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Hovedarmeringen skal bag 1. ophængningsbøjle forankres for en kraft af størrelsen 37 Ft Ncot 135 19kN 390 160 hvilket svarer til den tidligere bestemte trækkraft fundet ved momentligevægt for bjælkesektionen. Der anordnes stk. U-bøjler, S16: 18,6 sd 1,8 93,1(1,8 0) 84 MPa 1 0,04 0 Herved kan U-bøjler bære 4 Fud 4 16 84 8kN Ft OK Endelig sikres de vandrette ankerjerns forankring inde i bjælkekroppen, idet ankerjernene føres en forankringslængde forbi knudepunktet med trykdiagonalerne mrk. C og C 3 : 4 l f 16 500/1, l 741mm 4 4,5 bd bd 1 3 4 5 sd1 bd sd1 1 3 4 5 fbd idet der indsættes σ s = f yd. Ankerjernene skal således i alt have en længde på: ltot 745 95 180 90 1130mm Da bjælken i øvrigt er dimensioneret efter diagonaltrykmetoden, er yderligere undersøgelser ikke nødvendige. Kraften i tryklamellen, mrk. C 3, føres uden videre ind i den sædvanlige bøjlearmering. Eksempel slut 366

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 10.3.3 Eksempel - Pladehjørne Gitteranalogien kan også anvendes til analyse af tredimensionale problemer, eksempelvis et pladehjørnes bæreevne. Som det fremgår af gittermodellen, forudsættes armeringen i pladehjørnet at bestå af et sæt krydsende, lodretstillede U-bøjler samt en randarmering. Det er forudsat, at bøjleafstanden er den samme som bøjlernes indvendige højde, z. C 1 er et sæt skråtstillede tryklameller i pladens randzoner: C 1 P N 0 er en randarmering, der sikrer vandret ligevægt i hjørneknuden: N C P 1 0 1 C3 Z C3 N1 C1 N N 3 C 3 N3 N3 C3 Z C N1 N N C3 N1 Z N0 N0 P Z Z Figur 10-6: Pladehjørne Figur 10-7: Gittermodel 367

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK N 1 er den lodrette forskydningsarmering i pladens randzoner: N C P 1 1 1 C er et sæt skråtliggende tryklameller i pladens underside. Disse tryklameller sikrer vandret ligevægt parallelt med pladeranden i de nederste knudepunkter mellem C 1 og N 1, uden at der hobes kræfter op i randarmeringen ud over kraften N 0. C C P 1 I samme knudepunkt sikrer N herefter ligevægt vinkelret på pladeranden: N C P 1 De skråtliggende tryklameller, C 3, i pladens overside sikrer vandret ligevægt parallelt med pladeranden i de øverste knudepunkter mellem C 1 og N 1, uden at der hobes trykkræfter op i randzonens overside. C C P 3 1 Endelig findes N 3 svarende til N. N C P 1 3 3 368

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Q Z N 3 Z Vandret snit Figur 10-8: Snit i plade C 3 Q Lodret snit Z Indlægges nu et lodret snit inde i pladen parallelt med en pladerand, ses resultanten af C 3 og N 3 over snitlængden z at være ækvivalent med en forskydningskraft 1 Q C3 P idet normalkraftresultanten af C 3 og N 3 bliver 0 1 1 C N P P 3 3 Tilsvarende er C og N i pladeundersiden i snittet ækvivalent med en tilsvarende forskydningskraft Q, men modsat rettet den i oversiden. Inde i pladen er gitterkræfterne der med alt i alt ækvivalente med et vridende plademoment af størrelsen: Qz 1 mv Q mv P z I vridning tillader betonnormen at der formelt regnes med forskydningsspændinger i et tyndfliget tværsnit med en tykkelse på c. 369

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK t c h t t c Figur 10-9: Tyndfliget tværsnit c Med en trykhældning på 45, dvs. cotθ = 1, tillader EC i det tyndfligede tværsnit højst en forskydningsspænding af størrelsen 1 0,7 fcd 0,35 f cot 1/ cot cd Dermed kræves at C1 ( h c) c 0,35 fcd P0,7 ( h c) c f cd Med dette opfyldt kan pladehjørnet altså optage hjørnekraften P, hvis hver af de viste armeringsstænger kan optage en trækkraft af størrelsen 1/ P. Bøjleafstanden, z, må dog ikke overstige 0,7 h. Desuden bør afstanden mellem bøjlerne ikke være større end bøjlernes middelhøjde svarende til det aktuelle dæklag: z h c ø hvor c er det foreskrevne dæklag, og d er armeringsdiameteren. 370

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Af hensyn til bøjlernes forankring skal der også indlægges randarmering i oversiden. 10.3.3.1 Taleksempel Betragtes et hjørne i en plade med flg. specifikationer: f 1, 4MPa f 34MPa c 15mm cd 0,385 h 160mm yd kan der maximalt optages en hjørnelast af størrelsen Pud 0, 7 (160 15) 15 0,385 1, 4 11, kn Armeringsjern S8 kan optage en trækkraft på T 50,1 34 10 17, kn P OK ud 3 1 ud Bøjlerne anbringes med en afstand på højst 0, 75 (160 15) 109mm z 160 15 8 114mm 371

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 10.4 Udstøbningssamlinger Væg- og dækfuger udstøbes sædvanligvis med en særlig fugebeton, hvor den maximale stenstørrelse vælges ud fra hensynet til de trange støbeforhold. Alligevel må der ved vurderingen af disse samlingers styrke tages hensyn til risikoen for støbefejl ved indstøbning af armeringsjern med diametre, der gør, at jernet kun delvist omstøbes. 10.4.1 Støbeskel Støbeskels forskydningsstyrke har ofte afgørende betydning for bygningens overordnede stabilitet. Bæreevnen iht. EC er illustreret på figur 10-30 svarende til armeringen liggende vinkelret på støbeskellet. Ved glatte støbeskel bør der normalt ikke medregnes hele bidraget fra A s f yd på grund af deformationsforholdene. Eksempelvis kan man begrænse armeringsbidraget, så det aldrig overstiger bidraget fra normalkraften. 3,5 3,0 V A Rdi i [MPa],5,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Fortandet 0 1 3 4 5 6 7 8 Figur 10-30: Støbeskels forskydningsstyrke for beton med f ck = 0MPa N A f A i s Ru Glat Meget glat yd [MPa] 37

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 På figuren er anvendt følgende betegnelser: V d : Forskydningskraften i støbeskellet. N : Den samtidigt virkende tryknormalkraft vinkelret på støbeskellet. A s : Tværsnitsarealet af den armering gennem støbeskellet, som deltager i forskydningsoptagelsen. A i : Støbeskellets effektive areal. For fortandede støbeskel beregnes dette areal som tandarealet. Ved fastlæggelsen af A i skal der tages hensyn til, hvorledes kræfterne forløber hen over støbeskellet. Betragtes eksempelvis figur 5-3 kan udstrækningen af de vandrette støbeskels effektive areal ved elementets underside ikke regnes større end x. Ved udnyttelse af bidraget fra armeringen A s f yd skal der tages hensyn til styrken af konstruktionen omkring støbeskellet, se Figur 10-31 hvor et støbeskel skal overføre en ren forskydningskraft V d, idet der indlægges tværarmering for hver ende af støbeskellet. Spændingerne i støbeskellet bliver med skivetykkelsen t og for et meget glat, glat eller ru støbeskel, hvor A i = l t og der ikke regnes med nogen ydre kraft V As f d N bt bt yd V d ½A sf yd t V d I II N A' f yd s II l Figur 10-31: Kræfter i fuge V d ½A sf yd c 373

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Indlægges nu et vandret snit midt gennem element II ses, at element II her skal kunne optage et moment af størrelsen M t l A f l 1 1 8 N 8 s yd Optagelse heraf kræver lodret armering modsat støbeskellet, som for rimelige forhold mellem c og l kan udformes som sædvanlig randarmering: M A f A f c 1 s yd 8 s yd l c For meget hårdt påvirkede støbeskel kan det være nødvendigt at forskydningsarmere skiverne. Denne analyse viser, at der ved dimensioneringen af de enkelte elementer omkring en fuge skal tages samme hensyn til spændingerne i støbeskellet som til enhver anden ydre last på elementerne. Hvis forholdet mellem c og l bliver meget lille, kan konstruktionen omkring støbeskellet ikke sikre fuld udnyttelse af støbeskellets forskydningsstyrke mellem to tværforbindelser. Dette kan for eksempel være tilfældet hvor der etableres punktforbindelser mellem dækelementers langside og stringerarmeringen i etagekryds, eller ved boltsamlinger i væghjørner. Her kan forholdene omkring støbeskellet illustreres som på figur 10-33. 374

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 V l c l l l 0,75d c 0,50d c c d N t Figur 10-33: Punktforbindelse over støbeskel Figur 10-3: Bjælkeanalogi Der er i denne situation ingen normgivne regler for, hvor stor en længde l der kan regnes med ved bestemmelse af støbeskellets effektive areal. Støbeskelsformlerne er imidlertid baseret på forsøg med ren forskydning i støbeskellet, hvilket svarer til forholdene i et vandret snit i en bjælke midt mellem træk- og trykzone. Man vil her acceptere en afstand på 0,75 d mellem bøjlerne ved en sædvanlig forskydningsdimensionering. På den baggrund skønnes, at hver tværforbindelse kan aktivere støbeskellet over en strækning på højst c l 0, 75 1,5c 0,50 hvor c er afstanden mellem støbeskellet og punktforbindelsens forankring. Forskydningsstyrken af et støbeskel ved en punktforbindelse kan dermed beregnes til det på figur 10-34, viste for henholdsvis ru og fortandede støbeskel. På figurerne betegner A c således det effektive areal af støbeskellet målt over strækningen l = 1,5 c. Størrelsen N t er tværforbindelsens trækkapacitet med fradrag af eventuelle ydre trækkræfter, der samtidig skal optages af tværforbindelsen. 375

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 50 V Rdi[kN] Af i cd =00kN 50 [kn] V Rdi Af i cd =00kN 40 40 Af i cd =150kN Af i cd =150kN 30 30 Af i cd =100kN Af i cd =100kN 0 0 10 Af i cd =50kN 10 Af i cd =50kN 0 N A [kn] s fyd 0 0 40 60 80 Figur 10-34: Ru støbeskels styrke ved punktforbindelser (f ck = 0MPa) 0 N A f [kn] 0 0 40 60 80 Figur 10-35: Fortandet støbeskels styrke ved punktforbindelse (f ck = 0MPa) s yd c t' = c 1: Figur 10-36: Trykspredning på tværs af skiveplan ved punktforbindelse Hvor tværforbindelsen udgøres af en bolt eller en smal hårnålebøjle, bør støbeskellets effektive areal ikke regnes at have en udstrækning på mere end t' = c på tværs af skivens plan, se figur 10-36. 10.4. Etagekryds I etagekryds kræves lasten fra overliggende væg normalt ført ned gennem fugebetonen. For extruderede dæk, der er skåret lodret af i enderne, kan dækelementenden dog også regnes at overføre en del af lasten, hvis vederlaget underløbes svarende til tilfælde på Figur 10-37. 376

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Detailstatik 10 Lodret bæreevne for sædvanlige etagekryds kan beregnes ved N b a f ud ef cd hvor f cd er den mindste af væggenes og fugebetonens regningsmæssige trykstyrker, og hvor b er længden af det aktuelle etagekryds. Størrelsen a ef betegner den effektive bredde af fugebetonen i etagekrydset, jævnfør figur 10-37. N d Tilfælde 1 a Extruderede huldæk oplagt direkte på væg a ef = a a Tilfælde Extruderede huldæk oplagt med underløbning a ef = a + 100mm Tilfælde 3 Dæk ned knastvederlag oplagt direkte på væg a ef = a + 73mm a Figur 10-37: Etagekryds, standardudformninger 377

10 Detailstatik BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 000 N d [kn/m] 1600 100 800 Tilfælde Tilfælde 3 Tilfælde 1 400 0 a[mm] 0 10 0 30 40 50 60 Betonstyrke, fuge =0MPa Figur 10-38: Bæreevner for sædvanlige etagekryds jf. figur 10-37 Med en fugebeton med karakteristisk betonstyrke på fck = 0 MPa vil der normalt kunne regnes med bæreevne som vist på figur 10-38, hvor fugen i etagekrydset er opfattet som en uarmeret konstruktion. Hvis der lokalt under f.eks. dørsøjler er behov for større styrke af etagekrydset, kan det vælges at udføre dækelementerne med udsparinger. Dermed kan den effektive bredde af etagekrydset lokalt øges op til aef t T hvor t er væggens tykkelse og T er tolerancen på placeringen af væggens midterplan. Løsningen kræver, at dækelementernes dimension er valgt, så der kan tolereres en bæreevnereduktion svarende til udsparingerne. 378

11 TVANGS DEFORMATIONER 11 TVANGSDEFORMATIONER 11.1 Geometriændringer 11. Luftfugtighedens betydning 11.3 Temperaturens betydning 11.4 Lastens betydning 11.5 Anvendelseseksempler 11.5.1 Eksempel Fuge i indervæg 11.5. Eksempel Fuge mellem forplader i sandwichfacade 11.5.3 Eksempel Altanbrystning 11.5.4 Eksempel Ribbeplade i flerskibsbygning

11 Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 11.1 Geometriændringer Især ved udformningen af samlingsdetaljer skal der tages hensyn til, at betonelementerne med tiden undergår deformationer, der er en følge af de fysiske påvirkninger, som elementerne udsættes for. De fysiske påvirkninger kan udløse betydelige længdebevægelser eller gensidige vinkeldrejninger i samlingerne, og der kan være risiko for alvorlige skader, hvis der ikke tages hensyn til disse forhold under projekteringen. De vigtigste påvirkninger er i denne sammenhæng luftfugtighed, temperatur og last. Disse påvirkninger kan alle medføre en relativ længdeændring, ε, af betonen. Er påvirkningen ensartet på hele elementet, bliver elementets længdeændring: L L hvor L er elementets længde. Påvirkningerne kan også medføre en krumning af elementet, hvis de medfører forskelle i den relative længdeændring mellem to af elementtværsnittets overflader. Af den tilsvarende udbøjning, u, kan den hertil hørende vinkeldrejning af elementenderne for et element, der er simpelt understøttet i hver ende, bestemmes ved 4u L hvor L fortsat er elementlængden. Ovennævnte længdeændringer og vinkeldrejninger betegnes ofte som tvangsdeformationer, fordi de i praksis ikke kan forhindres. Forsøg herpå vil i de fleste tilfælde medføre problemer med afskalninger eller revnedannelser omkring elementsamlingerne. De fysiske påvirkningers indflydelse på betonen er nøjere gennemgået i CTO's publikation:»betonbogen«. Den følgende summariske gennemgang sigter alene på de praktiske forhold omkring betonelementer. 380

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer 11 11. Luftfugtighedens betydning Niveauet for omgivelsernes relative fugtighed betinger størrelsen af betonens svind, idet betonen med tiden afgiver vand til den omgivende luft, hvilket medfører en formindskelse af betonvolumenet. Jo lavere relativ luftfugtighed, des større vandafgivelse og dermed større svind. Betonelementerne har normalt været lagret en vis periode før montagen. Herved er det forholdsvis store begyndelsessvind overstået før elementets indbygning. Det er derfor normalt kun restsvindet efter indbygning, der har interesse for den projekterende. For indendørs konstruktioner kan der i middel sædvanligvis forudsættes en relativ luftfugtighed på 50 %. Det tilsvarende restsvind efter indbygning kan med normale betontyper til ikke-forspændte betonelementer anslås at svare til en relativ længdeændring af størrelsen s 3 ca. 0, 5 10 (indendørs) Med de betontyper der normalt anvendes til forspændte betonelementer, kan der regnes med ca. halvt så store relative længdeændringer. Fortegnet på ε s indikerer, at der er tale om en forkortelse. Betonens svind er i nogen grad reversibelt, idet betonen kan optage vand fra omgivelserne, når den relative fugtighed stiger. Dette har betydning for udendørs beton, hvor svindbevægelserne vil følge årstidsvariationerne i den relative luftfugtighed. I sommerhalvåret kan i middel regnes med en relativ luftfugtighed på ca. 60 %, medens middelværdien i vinterhalvåret kan komme op omkring 90 %. Med normale betontyper til ikke-forspændte betonelementer, kan der for udendørselementer regnes med følgende relative længdeændringer svarende til restsvindet efter indbygning: s s 3 ca. 0, 10 (udendørs, sommer) 3 ca. 0,1 10 (udendørs, vinter) 381

11 Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK For den udendørs beton regnes således med en årstidsvariation på Δε s = ± 0,05 10-3 omkring et årsgennemsnit på ε s = ca. -0,05 10-3. 11.3 Temperaturens betydning For en temperaturændring ΔT kan den tilsvarende relative længdeændring af betonen findes af 10, hvor ΔT indsættes i C. 5 T T For indendørs konstruktioner kan temperaturen normalt antages at være konstant året rundt. For udendørs konstruktioner er det sædvanligt at bedømme temperaturbevægelserne for følgende yderpunkter: T 0º C (vinter), T 50º C (sommer) MIN MAX Den meget høje temperatur i sommerperioden gælder for elementer, der kan blive udsat for direkte sollys. Den maximale temperaturforskel fra vinter til sommer bliver således 70 C, svarende til en relativ længdeændring af størrelsen T 0, 7 10 3 Der regnes således med en årstidsvariation på Δε T = ± 0,35 10-3 omkring en neutral stilling ved temperaturen T = + 15 C. Bemærk at disse temperaturbevægelser virker modsat af de reversible svindbevægelser. Den samlede årstidsvariation i temperaturbevægelser og svindbevægelser kan dermed regnes at blive af størrelsen: 0,3 10 T S 3 omkring en neutral stilling mellem sommer og vinter. For udendørs elementer der kan blive udsat for direkte sollys, regnes normalt med, at der kan opstå en temperaturdifferens på 0 C mellem sol- og skygge- 38

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer 11 side. Elementet vil svarende hertil få en udbøjning mod den varme side af størrelsen 3 0, 05 10 L / u h hvor L er elementets længde, og h er tykkelsen målt mellem den kolde og varme side. Der kan i visse tilfælde opstå en ca. halvt så stor modsat rettet udbøjning på grund af overfladeafkøling ved afgivelse af strålevarme en frostklar vinternat. 11.4 Lastens betydning Når en betonkonstruktion påføres en belastning, deformeres betonen straks. Denne deformation kaldes elastisk, idet den forsvinder, når lasten fjernes igen. Hvis belastningen opretholdes gennem længere tid, vil deformationerne langsomt øges. Dette fænomen kaldes for krybning. Krybningen kan med årene betyde, at slutdeformationerne bliver à 3 gange større end de elastiske deformationer. Hvis lasten atter fjernes, vil det kun være de elastiske deformationer, der forsvinder. I forspændte elementer er betonen udsat for en konstant aksial trykkraft hidrørende fra forspændingen, hvilket medfører, at elementet forkortes. Den elastiske del af denne deformation er udløst ved forspændingens etablering på fabrikken. Efter indbygning af elementet vil krybningseffekten betyde, at elementet yderligere forkortes med tiden. Denne mekanisme virker sammen med betonens svind, og der må for forspændte elementer efter montagetidspunktet forventes en forkortelse af størrelsen 0,3% fra svind og krybning. Endvidere er det i kapitel 7 for de sædvanlige huldæk, plader og bjælker anført, hvorledes udbøjningen kan bestemmes i form af en pilhøjdeændring svarende til de aktuelle kort- eller langtidslaster. Jævnfør det tidligere anførte kan de tilsvarende vinkeldrejninger over vederlagene herefter bestemmes. 383

11 Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 11.5 Anvendelseseksempler 11.5.1 Eksempel Fuge i indervæg 7, m 4,8 m Figur 11-1: Opstalt af indervæg Fugen i modullinje B forudsættes udstøbt ved montagen. Hvis elementernes svindbevægelser kunne foregå frit, måtte der med tiden ventes en revne i fugen af størrelsen w0, 5 10 ( 7, 4,8) 0, 0015m 3 1 1 I praksis viser revnerne sig dog at være en del mindre. Hvis der stilles betydende krav til væggens lydisolering, bør det overvejes at forsegle samlingen med en elastisk fuge der dækkes med væv, før væggen overfladebehandles eller tapetseres. Herved kan det også undgås, at tapetet revner ud for samlingen. Alternativt kan det vælges at placere samlingen, hvor der støder en let væg op til betonvæggen. Eksempel slut 384

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer 11 11.5. Eksempel Fuge mellem forplader i sandwichfacade x L L Figur 11-: Vandret snit i facade Den samlede bevægelse i fugen fra vinter til sommer kan forventes at blive: 1 1 3 x s T ( L L) 0,6 10 L En elastisk fuge kan normalt optage en deformation af størrelsen x 0, 5x MIN hvor x MIN er den mindste værdi af fugebredden i løbet af året. Hvis elementerne monteres med fugebredden x i den neutrale stilling ved omkring 15 C bliver: x x x MIN 1 x0, 5( x x) x 1 4,5 x 1 Ved montagen bør fugebredden derfor ikke være mindre end svarende til at 3 1 3 0, 6 10 L x x, 7 10 L 4,5 385

11 Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Jævnfør eksemplet i afsnit 1..1 kan man specificere en tolerance på T x = 16 mm svarende til en afvigelse på ± 8 mm på fugebredden. Med en teoretisk fugebredde på x 0 = 16 mm vil man således forvente, at der kun i ganske få tilfælde realiseres en fugebredde mindre end x 0,008m ved montagen. Denne fugebredde er således tilstrækkelig for 3 0,008,7 10 L L 3,0 m For større elementlængder må der selvfølgelig sikres en større mindstebredde af fugen. Med eksempelvis L = 4,8 m bør fugen mindst være x L m 3, 7 10 4,8 0, 013 ( 4,8 ) En tilsvarende teoretisk fugebredde på x + 1/T x mm vil normalt blive betragtet som uhensigtsmæssig stor. Derfor vælges det ofte at fastholde en teoretisk fugebredde på 16 mm, idet det så kræves at fuger, der falder under minimumsværdien, skæres op til denne minimumsværdi, dvs. eksempelvis x = 13 mm for L = 4,8 m. Når denne løsning benyttes skal man ved udformningen af forpladens kantudformning være opmærksom på, at der kan blive skåret nogle millimeter af betonen, bl.a. bør armeringens dæklag ud mod kanten øges tilsvarende. Specifikationen af den omtalte tolerance på fugebredden ved montagen begrænser størrelsen af eventuelt nødvendige opskæringer. Kravet om opskæring af for små fuger giver desuden montageentreprenøren et incitament til øget præcision i montagen, men et beskedent antal opskæringer må dog forventes ved elementbredder over L = 3,0 m. Problemet kan normalt ikke undgås ved blot at skærpe tolerancekravene over for montageentreprenøren. Eksempel slut 386

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer 11 11.5.3 Eksempel Altanbrystning h = 0,1 m Figur 11-3: Vandret snit L = 4,8 m Brystningselementets deformationer fra svind og temperatur vil i hver af samlingerne ved modullinje A og B give længdebevægelser af størrelsen: x( ) L T 3 1 1 x 0,3 10 4,8 x0,007m s idet elementet ved modullinje A og B forudsættes fastgjort til den stabile råhuskonstruktion. Samtidig kan brystningselementet ved direkte sollys forventes at få en krumning svarende til en udadrettet udbøjning ved midte på 3 4,8 u 0,05 10 0,006m 0,1 Dette svarer til en vinkeldrejning af elementenderne af størrelsen 4 0, 006 0,005 4,8 For at undgå skader skal fastgørelsen af brystningselementet udformes således, at de fundne længdebevægelser og vinkeldrejninger frit kan foregå. Eksempel slut 387

11 Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 11.5.4 Eksempel Ribbeplade i flerskibsbygning 0,50 0,06 Fuge ribbeplade 14,4 m Fuge Figur 11-4: Længdesnit Ribbepladens belastning forudsættes sammensat således: egenvægt, element + overbeton: 4,09 kn/m afretningslag mv.: 1,00 kn/m nyttelast, ψ = 1,0: 5,00 kn/m De anførte belastninger er de karakteristiske værdier. Der regnes med, at 1/3 af nyttelasten har permanent karakter. Momenter og stivheder som skal anvendes til bestemmelse af pilhøjder og udbøjninger iht. afsnit 7. bestemmes til: M M M k L g 1 8 (4, 09 1, 0 5, 0) 14, 4 6 k / 1 1 8(4,09 1,0 3 5,0) 14,4 175 k / 1 8 4, 09 14, 4 106 k / M M 7 knm/ m (leverandør oplysning) bal k P EI knm m Nm m Nm m Nm m 106000 / (leverandør oplysning) 388

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tvangsdeformationer 11 Dette giver således følgende udbøjninger for henholdsvis karakteristisk last, langtidslast, egenvægt og forspænding: M uk 10 EI 10 106000 1 k 1 6 (14,4) L 0,051 k 1 M L L 1 175 (14,4) 0,034 ul 10 EI 10 106000 k M ug 10 EI 10 106000 1 g 1 106 (14,4) L 0,01 k 1 M P L 1 7 (14,4) 0,056 up 8 EI 8 106000 k m m m m Leveringspilhøjden kan forventes at være u ( u u ) (1 ) (0,010,056) 1,9 0,064m Levering g p Levering når (1 Levering ) 1, 9. Egenvægt og anden permanent last vil sammen med forspændingen med tiden ændre pilhøjden til ca. u ( u u ) (1 ) ( u u ) (1 ) Langtid g p Lager L g Langtid (0, 010, 056) 3, 0 (0, 034 0, 01),3 0, 075m Virkningen af forspænding og permanent last udbalancerer således hinanden i det aktuelle tilfælde. Den egentlige korttidslast kan give anledning til følgende ændring af pilhøjden: u u ( u u ) 0, 051m0, 034m 0, 017m karakteristisk Langtid K L Denne pilhøjdeændring svarer til en vinkeldrejning over vederlaget på: 4 0, 017 0,005 14,4 389

11 Tvangsdeformationer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK I en fuge i oversiden af overbetonen vil dette svare til en bevægelse på x (0,500 0, 060) 0, 005 0, 003m Denne fuge vil med tiden yderligere åbne sig på grund af ribbepladens svind og krybning, der vil give elementet en længdeændring på L 3 0,3 10 14, 4 0, 004 m Denne længdeændring kan udløses ved den ene elementende alene, med mindre ribberne oplægges på neoprenelejer. Ovennævnte tvangsdeformationer, og ΔL, kan sædvanligvis accepteres for den normale vederlagsudformning med stål mod stål, hvis vederlagstrykket holdes under 10 MPa. For vederlagstryk i størrelsen 10-15 MPa kan det anbefales at anvende mellemlæg med mm tykke glidelag af bly. Anderledes stiller det sig, hvis der kan blive tale om gentagne bevægelser fra for eksempel ændringer i temperatur og luftfugtighed. Hvis ribbepladerne eksempelvis også udsættes for temperaturvariationer på 0 C, bliver de tilsvarende længdebevægelser L T 5 0 10 14, 4 0, 003 m Vederlaget bør i så fald udformes med neoprenelejer eller glidelag af teflon. I alle tilfælde gælder det, at man ikke må hindre tvangsdeformationerne ved at føre den armerede overbeton ubrudt hen over vederlagene i flerskibsbygninger med mere end to fag ribbeplader i forlængelse af hinanden. Noget sådant giver alvorlig risiko for grove revnedannelser i overbetonen eller revneskader i ribbeenderne. Eksempel slut 390

1 TOLERANCER 1 TOLERANCER 1.1 Håndtering af tolerancer 1.1.1 Betonelementers mål 1.1. Byggepladsmål 1.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber 1.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser 1. Anvendelseseksempler 1..1 Eksempel Fuge i sandwichfacade 1.. Eksempel Opstilling af vægelementer og montage af huldæk

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 1.1 Håndtering af tolerancer Kvalitetskrav med hensyn til målfasthed af betonelementer og deres placering i det færdige bygværk udtrykkes ved specifikation af tolerancer. En tolerance på et længdemål eller et målpunkt er en specificeret intervallængde med en specificeret placering af intervallet, relativt til det tilstræbte længdemål eller målpunkt. I teknisk-juridisk forstand betyder en tolerancespecifikation, at det uden indvendinger accepteres, at målfasthed er en tilstedeværende egenskab, hvis det realiserede længdemål eller målpunkt falder inden for toleranceintervallet. Tolerancebegrebet er behandlet detaljeret i DS 1050»Tolerancer i byggeriet. Anvendelse af måltolerancer«, Dansk Standard, 198, samt i Dansk Byggeri s:»hvor går grænsen? - Beton in situ, elementer og montage«, marts 007. 1.1.1 Betonelementers mål Kontrol af betonelementers hovedmål udføres som stikprøvekontrol, idet hvert hovedmål kontrolleres for sig. Et parti af betonelementer godtages da normalt, hvis kontrollen viser, at det med en passende sikkerhed (såkaldt konfidens) kan hævdes, at højst 10 % af målene falder uden for toleranceintervallerne. De nærmere betingelser for hvorledes kontrollen udføres (eksempelvis hvilke stikprøvestørrelser der vil blive anvendt) aftales mellem parterne. Som omtalt i det følgende vil produktionen normalt blive indrettet på en betydelig lavere fejlprocent end 10 %, for at stikprøvekontrollen kan få den fornødne konfidens. Der anvendes principper som angivet i DS 1050. Det deri angivne såkaldte indhyllingsprincip anvendes dog ikke ved sædvanlig produktion af betonelementer. Betonelementers hovedmål omfatter længde, højde og bredde. Afhængig af elementtype kaldes et af disse mål eventuelt elementtykkelse. Som nævnt i eksemplerne er de normale tolerancer på hovedmålene oplyst i Hvor går grænsen?, for hver af de der beskrevne elementtyper. Foruden afvigelser på hovedmålene kan også elementets afvigelse fra den ideale form være af interesse. Det kan dreje sig om krumninger, vindskævheder og vinkelafvigelser. 39

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer 1 Endelig bør den projekterende være opmærksom på målafvigelser vedrørende indstøbningsdeles placering, samt udsparingers placering og størrelse. 1.1. Byggepladsmål Afvigelse på elementernes placeringsmål fremkommer som en sum af unøjagtighed i afsætning og unøjagtighed i montagen. Søjler, vægge og facader kan normalt placeres i overensstemmelse med følgende toleranceangivelser: Vandrette placeringsmål: T = 16 mm (± 8 mm) Lodrette placeringsmål: T = 8 mm (± 4 mm) Lodstilling, vinkelafvigelse: T = 4 mm/m (± mm/m) Disse toleranceangivelser indeholder ikke bidrag fra unøjagtigheder i hovedafsætningen, svarende til en samlet translation eller rotation af bygningen. For placeringsmålene gælder toleranceangivelserne placeringen af elementets bundflade. Ved vurdering af unøjagtighederne på oversidens placering skal der også tages hensyn til betydningen af unøjagtighed med hensyn til lodstilling. Der henvises i øvrigt til de følgende eksempler. 1.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber Det er standardnotation at betegne tolerancen med T, og at angive intervallets placering ved B - pt, B + qt, hvor p og q er angivne positive tal med sum 1, og B er det tilstræbte mål, der betegnes basismålet. Som regel sættes p = q = 1/, og intervallet angives ved T B Særlige forhold kan undertiden gøre det hensigtsmæssigt at fastlægge toleranceintervallet usymmetrisk om B, altså at vælge p og q forskellige fra 1/. 393

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Som nævnt har toleranceangivelsen en klar teknisk-juridisk betydning. Nok så vigtigt i praksis er imidlertid toleranceangivelsernes rolle som etiketter for med hvilken nøjagtighed, der skal styres i fremstillingsprocessen for de forskellige betonelementtyper og i den efterfølgende monteringsmetode. At styre efter absolut overholdelse af alle toleranceangivelser er ikke blot unødvendigt, men også urimeligt fordyrende. Af samme grund bør man ved projekteringen undlade at stille ubegrundet snævre tolerancekrav. Ofte vil overskridelse af tolerancegrænserne for en mindre brøkdel af de elementer, der indgår i en sammenbygning, ikke føre til vanskeligheder, og overskridelsen vil derfor aldrig blive opdaget. Dette skyldes, at de enkelte elementers mål samspiller på statistisk vis, således at store og små indbyrdes uafhængige målafvigelser med vekslende fortegn kan tendere til at summere sig op langt mindre drastisk end den tilsvarende simple addition af tolerancetallene angiver. Aktiv justering under montageprocessen kan også ofte forhindre kassation af mindre nøjagtige elementer. Erfaringen viser, at de observerede mål meget ofte med god tilnærmelse fordeler sig omkring basismålet i overensstemmelse med den normale sandsynlighedsfordeling. Hvis dette findes ikke at være tilfældet, kan det være en indikation af manglende kontrol over produktionsprocessen. Den normale fordelings tæthedsfunktion er vist i figur 1-1. Den har en middelværdi µ, der svarer til punktet med størst tæthed. I produktions- og montageprocesserne tilstræbes dette punkt at være tæt ved basismålet, og naturligvis meget tættere end T/ for at der kan være plads til, at de fleste målafvigelser fra B falder inden for B - T/, B + T/. Hvis det forudsættes, at µ = B, bestemmer bredden af tæthedsfunktionen entydigt hvor stor en brøkdel af en stor stikprøve af mål, der kan forventes at falde i toleranceintervallet. Bredden af tæthedsfunktionen angives sædvanligvis ved afstanden σ langs mål-aksen fra punktet µ med størst tæthed til det ene eller det andet af tæthedskurvens to vendepunkter. Denne afstand er identisk med den såkaldte standardafvigelse. 394

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer 1 Basismål B T/ T/ Det skraverede areal repræsenterer fejlprocenten mål Fejlemner Fejlemner Figur 1-1: Målenes fordeling i overensstemmelse med normalfordelingens tæthedsfunktion (middelværdi µ og standardafvigelsen σ), samt illustration af basismål B og toleranceintervallet B-T/, B+T/ Hvis man måler afstanden fra punktet µ til det ene eller det andet af toleranceintervallets endepunkter i enheden σ, da er brøkdelen af de observationer der falder under, henholdsvis over, toleranceintervallet entydigt bestemt ved henholdsvis den nedre og den øvre af disse dimensionsløse afstande. I forbindelse med kontrol af tolerancers overholdelse stilles sædvanligvis det krav, at højst 10 % af observationerne i en teoretisk uendelig stor stikprøve må falde uden for toleranceintervallet. Hvis dette netop er tilfældet, og µ = B, da vil ca. 60 % af observationerne falde i den centrale halvdel af toleranceintervallet. 1.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser Det følger af det foregående, at hvis man gør den forudsætning, at produktionsog montageprocesserne styres således, at en stort set konstant procentdel af målene i det lange løb falder i det specificerede toleranceinterval, og at middelværdien µ er sammenfaldende med basismålet B, da er standard afvigelsen σ en 395

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK fast brøkdel af tolerancen T. Det betyder, at den såkaldte fejlophobningslov, der bestemmer standardafvigelsen for et sammensat mål ved standardafvigelserne for de enkelte delmål, kan formuleres direkte i tolerancerne for de enkelte delmål. Helt generelt kan man skrive et tilstræbt længdemål B, der er sammensat af n delmål, som B kb 1 1kB... kb n n hvor B 1, B,...,B n er basismålene for de enkelte delmål, og hvor faktorerne k 1, k,..., k n er bestemt ved den aktuelle geometri. Et eksempel er vist i figur 1-, hvor B er fugebredden f mellem to elementer med længderne B 1 = c, B = d og med placeringsmålene B 3 = a, B 4 = b. Konstanterne k 1,k,k 3 og k 4 bliver da henholdsvis -1/, -1/, 1 og 1. Forudsætter man, at toleranceangivelserne af alle parter i byggeprocessen anvendes med samme betydning med hensyn til hyppighed af svigtende opfyldelse af tolerancekravet, fås for det sammensatte længdemålstolerance T ( kt) ( k T )... ( k T ) 1 1 n n Venstre side udtrykker den ønskede nøjagtighed af det sammensatte mål. Tolerancerne T 1,...,T n på højre side må derfor vælges så denne ulighed er opfyldt. På den anden side bør værdierne af økonomiske grunde vælges så store som uligheden tillader. Hvis uligheder af ovenstående type ikke tages i betragtning ved projekteringen, kan man komme til at anføre tolerancekrav, der rummer indre modstrid. Eksempelvis bør tolerancen T i ovenstående ulighed ikke anføres i byggebeskrivelsen, hvis T 1,...,T n alle er givne i denne. Tolerancen T er kun et hjælpemiddel for den projekterende. Hvis der sørges for, at uligheden er tilfredsstillet ved valget af T 1,...,T n, vil nøjagtighedskravet til sammenbygningsmålet under de givne forudsætninger automatisk blive opfyldt. 396

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer 1 Det fremgår, at det er vigtigt, at der kun stilles tolerancekrav for mål, der har afgørende betydning for sammenbyggelighed, og i øvrigt at disse tolerancekrav i alle tilfælde knyttes til klart definerede basismål. Fugeeksemplet i figur 1- viser, at man med specificerede tolerancer på elementbredder og placeringsmål ikke samtidigt frit kan specificere en tolerance på bredden af fugen mellem de to elementer. Ovenstående ulighed skal opfyldes. Den projekterende må derfor beslutte sig for, hvilke mål der skal være styrende med hensyn til nøjagtighed. Er der tale om bagvægselementer til en skalmuret facade, vil det normalt være placeringsmålene a, der er vigtige med tanke på indbygning af døre og vinduer, medens fugebredden f mellem bagvægselementerne er af mindre betydning. For sandwichfacader vil det derimod normalt være fugebredden, der har betydning, medens den nøjagtige placering af vindueshuller er mindre afgørende. 1. Anvendelseseksempler 1..1 Eksempel Fuge i sandwichfacade Figur 1-: Sandwichfacade, hvor fugemålet er kritisk med hensyn til nøjagtighed For elementopstillingen i figur 1- er fugebredden det kritiske sammensatte mål, når det forudsættes at elementerne indgår i en facade. Som det ses af figuren gælder f c d a b 1 1, 397

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK eller skrevet på den formelle form B B B B B 1 1 1 3 4, således at toleranceuligheden bliver T T T T T 1 1 4 1 4 3 4 gældende under de ovenfor anførte forudsætninger. Hvor går grænsen? beskriver en række elementtyper med tilhørende angivelser af de normalt brugte tolerancer på hovedmålene. Hvis elementbredden er mellem,4 og 7, m, er den sædvanligt anvendte tolerance 16 mm. Antages at elementbredderne B 1 og B ligger i dette interval haves altså normalt, at T 1 = 16 mm og T = 16 mm. For placeringsmålene B 3 og B 4 gælder, at de under normal montagepraksis kan opfyldes med tolerancerne T 3 = T 4 = 16 mm. Uligheden giver da T 16 16 16 16 4 1 1 4 4 Det ses altså, at hvis elementmålene og placeringsmålene realiseres statistisk uafhængigt af hinanden med de givne nøjagtigheder, da må det accepteres, at fugebreddens nøjagtighed ikke kan opnås bedre end svarende til en tolerance på 4 mm. Bedre nøjagtighed kan opnås ved en ændret opstillingsprocedure. For eksempel kan alle modullinjer afsættes først, hvorefter de enkelte elementer centreres bedst muligt inden for deres modulområder. Tolerancen på afsætningen af målene k, l og m kan forudsættes at være af størrelsen 1 mm. 398

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer 1 Figur 1-3 Bemærk at dette ikke er identisk med tolerancen på modullinjernes placering, idet der også må regnes med en tilsvarende unøjagtighed i placeringen af målafsætningslinjen. Denne afvigelse er på figuren er betegnet e. Centrering af element I inden for modulområdet svarer til at tilstræbe x = 0, hvor x x1 x Dette kan normalt realiseres inden for en tolerance på 10 mm. Af figuren ses nu at x c x l k x l k c x 1 ( ) 1 1 Tilsvarende for element II y m l d y 1 ( ) 1 Fugebredden bliver således f x y ( lkcx) ( mld y) 1 1 1 1 f m k c d x y 1 1 1 1 1 1 Alle målene m, k, c, d, x og y på højre side kan forudsættes realiseret statistisk uafhængigt af hinanden. 399

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Med de tidligere anførte værdier for tolerancerne findes dermed: T 1 1 16 16 10 10 15,8 16 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 Placeringsmålet for element I i forhold til den ideelt placerede målafsætningslinje er a elx c 1 1 a el ( lkcx) c 1 1 a e l k x 1 1 1 Den tilsvarende toleranceulighed bliver T T T T T T 1 1 1 1 1 4 4 3 4 4 1 1 1 10 15,3 16 1 1 1 4 4 4 idet tolerancen på placeringen af målafsætningslinjen, der idealt svarer til e = 0, sættes til T 1 = 1 mm. Med den beskrevne opstillingsprocedure opnås altså en nøjagtighed både på fugebredden og placeringsmålet svarende til en tolerance på 16 mm. Eksempel slut 1.. Eksempel Opstilling af vægelementer og montage af huldæk Figur 1-4 viser en sammenbygning med en geometri, der medfører følgende sammenhænge mellem de viste mål: a a H 0 0 v n n b b H Ll a cb d l 1 1 0 0 h 400

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer 1 Antag at vederlagsdybderne l v og l n er de kritiske mål med hensyn til nøjagtighed. Antag desuden at montageprocessen styres ved målene a n og b n, vinklerne α og ß, samt ved forskellen r l l v h mellem venstre og højre vederlagsdybde, der tilstræbes at være 0. Der skal da udover elementmålenes tolerancer specificeres tolerancer for disse monteringsmål, således at begge vederlagsdybder med en ønsket nøjagtighed bliver det tilstræbte mål l ( La b c 1 d), 1 1 n n der fås af ovenstående ligninger ved at sætte α = ß = 0 og l = l v = l h. Figur 1-4 401

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Af ligningerne fås højre vederlagsdybde: l L a b H H c d r 1 1 1 1 1 1 1 1 h n n 4 4, eller skrevet på den generelle form: B B B B B B B B B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 5 4 6 4 7 8 for et sammensat mål. Her er B 4 = αh og B 6 = ßH. For elementmålene kan man som angivet i Hvor går grænsen? i overensstemmelse med sædvanlig praksis foreskrive følgende tolerance værdier: T1 4mm for L7, m L: T1 40mm for 7,m L14,4m T 1 60mm for L 14, 4m cd, : T T 10mm 6 7 For monteringsmålene a n og b n kan man som i forrige eksempel sætte T = T 3 = 16 mm. Desuden tillader normal monteringspraksis en lodstillingstolerance (vinkelafvigelsestolerance) på 4 mm/m. Med en væghøjde på H = 3 m fås da T 4 = T 5 = 1 mm. I det følgende vises et eksempel på valg af en rimelig tolerance T 8 på målet r, når alle delmål, der bidrager til det sammen satte mål l h realiseres statistisk uafhængigt af hinanden. Toleranceuligheden bliver: T ( T T T T T ) ( T T ) T 1 1 1 4 1 3 4 5 16 6 7 4 8 8 1 1 4 1 4 8 8 8 356,5 T for L7, m T 1,5 T 61,5 T for 7, m L14, 4m 111,5 T for L14, 4m 40

BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK Tolerancer 1 Ved projektering af en sammenbygning hvor L 7, m er basismålene valgt således at T = 0 mm kan anses for at være en tilfredsstillende nøjagtighed for vederlagsdybden. Det følger da af uligheden at T 5 skal angives således at T 8 4(400 356,5) 13, ( L 7, m ) For dækelementer af denne korte længde er det muligt at styre oplægningen med en så lille tolerance T 8, at den i regnestykket ovenfor kan sættes til nul. Det ses da, at den højst opnåelige nøjagtighed med værdien for de øvrige tolerancer som angivet er T 356,5 18,9 mm. Der opnås altså kun en ubetydelig nøjagtighedsforbedring ved at presse tolerancen ned fra en værdi på for eksempel 10 mm (der giver uligheden T 19,5 mm) til en værdi nær nul. Selv for så stor en tolerance som T 8 = 16 mm fås kun en meget lille forøgelse af ulighedens højre side. Uligheden bliver i det tilfælde T 0,5 mm. Denne ufølsomhed hænger naturligvis sammen med, at usikkerheden på vederlagsdybden er stærkt domineret af usikkerheden på de mange øvrige indgående statistisk uafhængigt realiserede delmål. Eksempel slut 403

1 Tolerancer BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK 404

Index FORORD 7 1 GENERELT 11 1.1 Introduktion 1 1. Teori og beregninger i praksis 14 1.3 Dokumentation af bærende konstruktioner 15 1.3.1 Overordnede statiske beregninger 15 1.3. Bygningsdelsberegninger 16 GRUNDLÆGGENDE MATERIALEMODELLER 19.1 Beton 0.1.1 Middelarbejdslinje 0.1. Brudgrænsetilstande.1.3 Tværsnitsanalyse generel metode 3.1.4 Anvendelsesgrænsetilstande 6.1.5 Krybning og svind 9.1.6 Eksempel Beregning af slutkrybetal og slutsvind 3. Armeringsstål 36.3 Forspændingsstål 37 3 LODRETTE LASTVIRKNINGER 39 3.1 Lodrette laster 41 3.1.1 Nyttelast 43 3.1. Sne og vindlast 44 3.1.3 Brand og ulykke 45 3. Lastkombinationer 45 3..1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde 45 3..1.1 Konsekvensklasse 47 3.. Ulykkesdimensioneringstilfælde 47 405

Index betonelementbyggeriers statik 3.3 Lodret lastnedføring 48 3.3.1 Excentriciteter 48 3.3. Lodret last på søjler og vægge 50 3.3.3 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringstilfælde 50 3.3.4 Ulykkesdimensioneringstilfælde 5 3.3.5 Eksempel Lastnedføring 53 3.3.5.1 Vedvarende eller midlertidige dimensioneringsttilfælde 53 3.3.5. Ulykkesdimensioneringstilfælde 55 3.4 Lastspecifikationer 57 3.4.1 Fastlæggelse af søjle og væglaste 57 3.4. Tværlast hidrørende vind på søjler og vægge 57 3.4.3 Normalkraft fra lastnedføring 58 3.4.3.1 Søjler 58 3.4.3. Vægge 60 3.4.4 Lasttilfælde 61 3.4.5 Eksempel Fastlæggelse af søjlelaste 64 3.4.5.1 Vedvarende og midlertidige dimensioneringstilstande 64 3.4.5. Ulykkesdimensioneringstilfælde 66 3.5 Beregningsprogrammer 69 3.5.1 Modul til lastnedføring 69 3.5. Moduler til specifikation af søjle og væglaste 71 4 HOVEDSTABILITET 73 4.1 Generelt 74 4. Vandret lastfordeling 76 4..1 Eksempel Hal efter kassesystemet 8 4.. Eksempel Hal efter skeletsystemet 87 4..3 Eksempel Tværvægsbyggeri 91 4.3 Opstilling af generaliseret model 96 4.3.1 Eksempel Kombinationsbygning 10 4.4 Beregningsprogrammer 108 5 Skivestatik 109 5.1 Dækskiver 111 5.1.1 Homogen huldækskive 113 5.1. Huldækskive beregnet ved stringermetoden 118 5.1.3 Eksempel Regneeksempel 17 406

betonelementbyggeriers statik Index 5. Vægskiver 135 5..1 Vægopstalter 135 5.. Enkeltelementers skivestyrke 139 5..3 Eksempel Væg bestående af flere vægelementer 146 5.3 Beregningsprogram 153 6 ARMEREDE BJÆLKER 153 6.1 Brudgrænsetilstande 155 6.1.1 Bøjning 155 6.1.1.1 Tværsnitsanalyse generel metode 155 6.1.1. Kanttøjning 158 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 159 6.1.1.4 Minimum og maksimumarmering 16 6.1. Forskydning 163 6.1..1 Diagonaltrykmetoden 165 6.1.. Minimumsarmering 170 6.1..3 Dimensioneringsforløb 171 6.1.3 Vridning 173 6.1.4 Kombineret vridning og forskydning 176 6.1.5 Beregning af forankringskraft 176 6.1.5.1 Forankring ved ren forskydning 176 6.1.5. Forankring ved ren vridning 177 6.1.5.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning 179 6.1.6 Eksempel Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden 180 6.1.6.1 Beregningsforudsætninger 180 6.1.6. Bøjning 181 6.1.6.3 Forskydning 18 6.1.6.4 Vridning 186 6.1.6.5 Kombineret vridning og forskydning 188 6.1.6.6 Forankringskraft 189 6. Anvendelsesgrænsetilstande 190 6..1 Udbøjning 190 6..1.1 Krybning 190 6..1. Svind 191 6..1.3 Tension stiffening 191 6..1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit 194 6..1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit 197 6.. Revnevidder 199 6..3 Eksempel Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden 01 6..3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit 0 6..3. Udbøjning for urevnet tværsnit 04 6..3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet 05 6..3.4 Revnevidder 06 6.3 Beregningsprogram 08 407

Index betonelementbyggeriers statik 7 FORSPÆNDTE ELEMENTER 09 7.1 Principper ved forspændte elementer 10 7.1.1 Udførelse 10 7. Indledende projektering med forspændte elementer 1 7.3 Tværsnitsanalyse rektangulært tværsnit 17 7.3.1 Anvendelsesgrænsetilstande 17 7.3. Brudgrænsetilstande 1 7.3..1 Bøjning 7.3.. Tværsnitsanalyse generel metode 7.3..3 Minimum og maksimumarmering 5 7.3.3 Eksempel RB bjælke 6 7.3.3.1 Beregningsforudsætninger 6 7.3.3. Brudgrænse, bøjning 7 7.3.3.3 Anvendelsesgrænse, tværsnits konstanter 9 7.3.3.4 Laster på tværsnittet 30 7.3.3.5 Anvendelsesgrænse, spændingsbestemmelse 30 7.3.3.6 Anvendelsesgrænse, udbøjningsbestemmelse 31 7.4 Vilkårligt tværsnit med forspænding 3 7.4.1 Anvendelsesgrænsetilstand, tværsnitsanalyse 3 7.4. Brudgrænsetilstand, tværsnitsanalyse 41 7.5 Beregningsprogram 50 8 SØJLER OG VÆGELEMENTER 53 8.1 Brudgrænsetilstande 54 8.1.1 Tværsnitsanalyse generel metode 54 8.1. Dannelse af bæreevnekurver ved brug af designdiagrammer 58 8.1..1 Søjler 61 8.1.. Tyndere vægge og vægsøjler 63 8.1.3 Minimum og maksimum armering 67 8.1.3.1 Søjler 67 8.1.3. Vægge 68 8.1.4 Eksempel Søjleberegning i brudgrænsetilstanden 69 8.1.4.1 Beregningsforudsætninger 69 8.1.4. Udbøjning om den stærke akse 70 8.1.4.3 Udbøjning om den svage akse 75 8. Anvendelsesgrænsetilstande 81 8..1 Eksempel urevnet tværsnit 8 8.. Udbøjning for revnet tværsnit 86 8.3 Beregningsprogrammer 90 8.4 Skæv bøjning 9 8.4.1 Eksempel, skæv bøjning 94 408

betonelementbyggeriers statik Index 9 BRAND 97 9.1 Materialeegenskaber under brand 99 9.1.1 Beton 99 9.1. Zonemetoden 300 9.1..1 Temperaturbestemmelse 300 9.1.. Tværsnits og styrkereduktion 30 9.1.3 Armering 304 9.1.4 Forspændingsstål 305 9.1.5 Eksempel Temperaturbestemmelse og styrkereduktion 306 9.1.5.1 Beregningsforudsætninger 306 9.1.5. Beton 306 9.1.5.3 Armering 311 9. Bjælker i brandtilstanden 31 9..1 Bøjning 313 9..1.1 Tværsnitsanalyse Generel metode, betonbidrag 313 9..1. Tværsnitsanalyse Generel metode, armeringsbidrag 315 9..1.3 Bøjning uden trykarmering 318 9.. Forskydning 31 9..3 Eksempel Bjælke i brandtilstanden 31 9..3.1 Beregningsforudsætninger 3 9..3. Bøjning 33 9..3.3 Forskydning 34 9.3 Beregningsprogram 35 9.4 Søjler og vægge i brandtilstanden 35 9.4.1 Udbøjning fra krybning 36 9.4. Termiske udbøjninger 38 9.4.3 Søjle/vægreaktionens forsætning under brand 39 9.4.4 Eksempel Søjle i brandtilstanden 331 9.4.4.1 Beregningsforudsætninger 331 9.4.4. Kontrol ved opstilling af tværsnittets ligevægtsligninger 33 9.4.4.3 Kontrol af udbøjning 335 9.4.4.4 Bestemmelse af momentkapacitet MoRd 338 9.5 Beregningsprogram 339 409

Index betonelementbyggeriers statik 10 Detailstatik 339 10.1 Detailberegning ved gitteranalogien 341 10.1.1 Gitterløsninger med lukkede bøjler 344 10. Forankring af hovedarmering 349 10..1 Forankring med simpel retlinet armering 351 10.. Forankring med u bøjle 353 10..3 Forankring med påsvejst tværarmering 355 10..4 Andre forankringstyper 358 10.3 Anvendelseseksempler 359 10.3.1 Eksempel Vederlagsforankring 359 10.3.1.1 Forankring med simpel retlinet armering 359 10.3.1. Forankring med u bøjle 360 10.3.1.3 Forankring med påsvejst tværarmering 361 10.3. Eksempel Bjælkehalvering 36 10.3.3 Eksempel Pladehjørne 367 10.3.3.1 Taleksempel 371 10.4 Udstøbningssamlinger 373 10.4.1 Støbeskel 373 10.4. Etagekryds 377 11 TVANGSDEFORMATIONER 379 11.1 Geometriændringer 380 11. Luftfugtighedens betydning 381 11.3 Temperaturens betydning 38 11.4 Lastens betydning 383 11.5 Anvendelseseksempler 384 11.5.1 Eksempel Fuge i indervæg 384 11.5. Eksempel Fuge mellem forplader i sandwichfacade 385 11.5.3 Eksempel Altanbrystning 387 11.5.4 Eksempel Ribbeplade i flerskibsbygning 388 410

betonelementbyggeriers statik Index 1 TOLERANCER 391 1.1 Håndtering af tolerancer 39 1.1.1 Betonelementers mål 39 1.1. Byggepladsmål 393 1.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber 393 1.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser 395 1. Anvendelseseksempler 397 1..1 Eksempel Fuge i sandwichfacade 397 1.. Eksempel Opstilling af vægelementer og montage af huldæk 400 411