Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant. For større udsving vokser svingningstiden. Måling af svingningstid: Pendulets svingningstid måles ved hjælp af en fotocelle. Fotocellen sender en spænding på nul volt til computeren, når den er afbrudt; mens spændingen er fem volt, når lyset kan passere frit. Grafisk afbildes spændingen som vist nedenfor. Der sættes et punkt, når fotocellens tilstand ændres. Punktets andenkoordinat er den værdi, som tilstanden ændres til. Mere logisk ville det måske være, at tegne en graf som den stiplede, der viser fotocellens tilstand til ethvert tidspunkt. Men det er mere præsist, at måle på en spids end; at måle på et hjørne - måske er det årsagen til, at Datastudio er indrettet sådan. 1 Datadrev/Fysik/Mekanik/Pendul 070910.wpd
Ud fra grafen kan vi foruden svingningstiden også bestemme loddets hastighed. Ved hjælp af hastigheden kan vi så igen beregne udsvingets størrelse under antagelse af energibevarelse. Så har vi både svingningstid og udsvingets størrelse. Sådan er de afbildede måledata bestemt. t 1: Loddets højre kant afbryder fotocellen. Loddet er på vej mod B. t 2: Loddets venstre kant afbryder fotocellen. Loddet fortsætter mod B. t 3: Loddets venstre kant afbryder fotocellen. Loddet er på vej mod A. t 4: Loddets højre kant afbryder fotocellen. Loddet fortsætter mod A. t 5: Loddets venstre kant afbryder fotocellen. Loddet er på vej mod B. Pendulets svingstid og hastighed er givet ved: hvor d er loddets diameter. Pendulets bevægelsesligning Ser vi bort fra friktion, er den mekaniske energi bevaret, når et pendul svinger. Pendulets laveste punkt vælges som nulpunkt for den potentielle energi, og den mekaniske energi kaldes E. Vi får så jævnfør figuren:
Et pendul foretager en del af en cirkelbevægelse, men bevægelsen er ikke jævn. Ved enhver - ikke nødvendigvis jævn cirkelbevægelse - gælder: der er gjort rede for denne sammenhæng i det matematiske appendiks sidst i noten. Kombineres de to sidste ligninger ovenfor fås: Ligning 1 Differentialligningen kan ikke løses eksakt, men for små vinkler gælder approximationen: I denne approximation har differentialligningen løsningen: Ligning 2 2 hvor A, B og C er konstanter. Bevægelsen bliver altså harmonisk med den konstante svingningstid: Ligning 3 sinusapprocimationen er kun gyldig for små vinkler. Det samme gælder så formlen for svingningstiden. Ved større udsving kan vi ikke løse diffrentialligningen analytisk, men svingningstiden kan bestemmes ved hjælp af FPR- 2 Konstanten foran t er med vilje ikke kaldt ù, da B ö(t).
3 programmer. Beregning af udsvinget ud fra V max Hvis vi sætter den potentielle energi til nul, når pendulet er i sin laveste position, vil der gælde: 3 Pensvtid.fpr og pendul01.fpr.
Opgaver 1 Kontroller, at funktionen givet i ligning 2 virkelig er løsning til differentialligningen ( ligning 1), når sin( ) erstattes med. Opgave 2 Udregn sin( ) og den relative afvigelse mellem og sin( ) for nedenstående værdier af og drag en konklusion. Husk, at skal regnes i radianer. {1;0.1;0.01;0.001} Opgave 3 Kontroller udtrykket for svingningstiden. Opgave 4 a) Fremstil et FPRO-program, der kan simulere pendulbevægelsen. Uden sinusapproximation. b) Udvid programmet, så det kan tegne den relevante harmoniske funktion til sammenligning. c) Varier amplituden, og undersøg afvigelsen fra harmonisk bevægelse. d) Hvor stor skal amplituden være, før svingningstiden afviger med 1% fra formel 3.
Matematisk appendiks 1 Ved en ikke nødvendigvis jævn cirkelbevægelse gælder følgende sammenhæng mellem fart og vinkelhastighed: dette indses ved at udtrykke de cartesiske koordinater ved radius og vinklen og dernæst differentiere udtrykket.