Lektion 5 Det bestemte integral

Transkript

1 a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal mellem to grafer

2 Det bestemte integral Hvis f(x) er en kontinuert funktion defineret på et interval og a og b er to tal i det interval, a < b, så er det bestemte integral a f(x) dx arealet af området mellem x-aksen og grafen y = f(x) begrænset af de lodrette linjer x = a og x = b. Vi regner områder over x-aksen som positive og områder under x-aksen som negative. I denne situation er a f(x) dx = A A 2 + A 3 A 4 + A 5 hvor A, A 3 og A 5 er arealerne over x-aksen og A 2, A 4 arealer under x-aksen. 2

3 Arealet af en kvartcirkel Eksempel (Det bestemte integral som et areal). x 2 dx = π 4, arealet af en kvart enhedscirkel. 2. ( x) dx = 2, (det negative af) arealet af en trekant under x-aksen. 3. a k dx = k(b a). 4. Arealer kan beregnes ved at inddele i strimler. Feks er x2 dx = lim n n i= ( i n ) 2 n = n lim n 3 n(n + )(2n + ) = lim n n 3 6 = lim n ( + /n) (2 + /n) 6 n i 2 i= = 2 6 = 3 Hmm, det virker rimeligt besværligt! x 3 dx = fordi grafen for y = x 3 er symmetrisk over y-aksen. 3

4 Integralregningens Middelværdisætningen Tallet a b a f(x) dx kaldes for middelværdien for funktionen f(x) Forestil dig at grafen forestiller en bølge. Når vandet er faldet til ro har det en dybde et sted mellem den højeste bølgetop og den laveste bølgedal. Sætning 2 En kontinuert funktion f(x), a x b, antager sin middelværdi: Der findes et tal c et sted mellem a og b sådan at b a a f(x) dx = f(c) For at indse dette skal vi bare vise at middelværdien ligger mellem mindstværdien, m, og størsteværdien, M; for da f(x) er kontinuert vil den antage alle værdier mellem m og M. Men da f(x) netop ligger mellem m og M vil arealet under grafen a f(x) dx ligge mellem arealet m(b a) og arealet M(b a). Middelværdien ligger derfor mellem m og M. 4

5 Differential- og integralregningens hovedsætning Sætning 3 Antag f(x) er en kontinuert funktion på et interval som indeholder a.. Der findes netop en differentiabel funktion sådan at F (x) = f(x) og F (a) = Nemlig funktionen x F (x) = f(t)dt a som måler arealet af området mellem grafen y = f(t) og t-aksen og t = a og t = x. 2. Hvis G(x) er en anden funktion så G (x) = f(x), så er G(x) = F (x) + C hvor C er en konstant. Sætningen siger. Enhver kontinuert funktion er den afledte funktion af en differentiabel funktion, og, 2. Kender vi bare et integral til den kontinuerte funktion f(x), da får vi ethvert andet integral ved blot at lægge en konstant til. 5

6 . Differentialkvotienten F (x) i x er grænseværdien F F (x + h) F (x) (x) = lim h h af middelværdien F (x + h) F (x) = x+h x f(t)dt h h over intervallet [x, x + h]. Men Middelværdisætningen siger at middelværdien er en funktionsværdi, x+h x f(t)dt = f(c h ) h for et tal c h mellem x og x + h. Altså er F (x) = lim h f(c h ) = f(x) fordi c h nærmer sig x og f(c h ) nærmer sig f(x) når h da f(x) er en kontinuert funktion. 2. Lad G(x) være en anden funktion hvis afledte også er f(x). Så er den afledte af forskellen (G(x) F (x)) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = og altså er G(x) F (x) konstant fordi den hele tiden har vandret tangent. 6

7 Beregning af bestemte integraler Sætning 4 Lad F (x) være et integral til f(x), dvs F (x) = f(x). Så er f(x) dx = F (b) F (a) a Det bestemte integral a f(x) dx beregnes sådan:. Find en funktion F (x) så F (x) = f(x) (F (x) = f(x) dx) 2. Beregn F (b) F (a) (skrives tit [F (x)] b a) Vi har nemlig x F (x) = f(t)dt + C a hvor C er en konstant. Altså er F (a) = C og F (b) F (a) = ( = a f(x) dx + C) C a f(x) dx 7

8 Eksempel 5 (Beregning af bestemte integraler). Ved omvendt substution fandt vi i Lektion 4 x 2 dx = 2 x x arcsin x Altså er 2 x x arcsin x] ( arcsin arcsin ) = 2 π 2 = π 4 x 2 dx = [ som i Ek- = 2 som i Eksempel. 2. ( x) dx = [ 2 x2] sempel x 2 dx = [ 3 x 3] 2 = 2 = = π/2 sin x dx = [ cos x ] π/2 = ( ) ( ) =. 5. +x 2 dx = [ arctan x ] = arctan arctan = π x 3 dx = [ 4 x 4] =. 7. I Lektion 2 så vi at dx d arcsin x =. x 2 Altså er /2 dx = [ arcsin x ] /2 x 2 arcsin 2 = π 6. 8 =

9 Regneregler. a a f(x) dx = 2. a f(x) dx = a b f(x) dx (Enstemmig vedtagelse) 3. a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) dx 4. a kf(x) dx = k a f(x) dx 5. a (f(x)+g(x)) dx = a f(x) dx+ a g(x) dx Eksempel 6 (Brug af regneregler) (x+) 2 dx (x+) 3 dx = x+ x (x+) 3 dx (x+) 3 dx = 9

10 Arealet mellem to grafer Sætning 7 Antag at funktionen f(x) ligger over funktionen g(x), dvs f(x) g(x) for alle x. Da er det bestemte integral (f(x) g(x)) dx a lig med arealet af området mellem y = f(x), y = g(x), x = a, x = b. Hæver vi begge de to funktioner et godt stykke over x-aksen, ser vi at arealet mellem de to grafer er lig med arealet under y = f(x) minus arealet under y = g(x), eller lig med f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx a a a hvilket var påstanden. Eksempel 8 (Areal mellem to kurver) De to grafer y = x og y = x 3 skærer hinanden i x = og x =. Arealet af området mellem de to grafer mellem disse to skæringspunkter er (x x3 ) dx = [ 2 x ] 4 x4 = 2 4 = 4.

11 Opgaver til Lektion 5. Find middelværdien af f(x) = x 4, x [, 2]. 2. Find middelværdien af f(x) = x, x [, 4]. 3. Find 2 (x 5 ) dx. 4. Find (x 3 + 2) 2 dx. 5. Find π sin x cos x dx. 6. Find arealet af området afskåret af linjen y = x og parablen y = 6 x Find arealet af en cirkel med radius R. 8. Find arealet under en bue på grafen for sinus funktionen. 9. Et badekar er ved at blive fyldt med vand. Til tiden t (i minutter) løber der 3t

12 liter pr. minut ned i karret. Hvor meget vand løber der ned i badekarret fra t = minutter til t = 2 minutter?. (Eksamen april 2 Opgave ) Find den eksakte værdi af det bestemte integral 5x 2 x 3 2 dx. Argumenter for at dyrs overflade er proportional med l 2 og dets volumen med l 3, hvor l er dets længde. Hvis en fisk vokser fra 4 cm til 5 cm, hvad sker der så med dens vægt? 2. (Store fisk svømmer hurtigere end små - men hvor meget?) En svømmende fisk yder en effekt W = CRV 2 som er proportional med vandmodstanden, R, og kvadratet på hastigheden, V. Lad os antage at vandmodstanden er proportional med fiskens overflade og dens maksimaleffekt med dens volumen (muskelmasse). Gør rede for at topfarten vokser proportionalt med l hvor l er længden.