Geometri med Geometer I

Transkript

1 f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller du kan fjerne markeringer. Du kan flytte objekterne mens du trykker på museknappen. Punkt: Klik for at placere et punkt, enten frit eller på et objekt. irkel: Tryk (dvs. hold museknappen nede) for at markere centrum. Flyt musen og slip så får du et punkt på cirklen. entrum og radius kan være frie punkter eller punkter på andre objekter. Ret Linje: Tryk giver første endepunkt. Flyt giver et linjestykke. Slip giver andet endepunkt. Ved at trykke på knappen til venstre og holde den nede fås flere muligheder (se nedenfor). Tekst: Tryk og flyt for at lave en tekstbox. Makro: En makro er et lille program som tegner en figur. Hvordan dette fungerer gemmes til senere. Ved at markere en af disse kan du tegne linjestykker, halvlinjer eller hele linjer. Konstruer De objekter der bruges skal markeres først Placerer et punkt på et objekt Midtpunktet mellem to punkter Skæringspunkt mellem to linjer Forbinder to punkter med et linjestykke mellem punkterne Halvlinje gennem to punkter Linje gennem to punkter Linje parallel med en anden linje Linje gennem punkt vinkelret på given linje Vinkelhalveringslinje, tre punkter skal markeres irkel givet ved centrum og et punkt på cirkelperiferien irkel givet ved centrum og radius irkelbue, centrum og to punkter på cirklen skal markeres irkelbue gennem tre punkter Kan f.eks. bruges til at markere det indre af en trekant, firkant, osv.

2 Vis De objekter der bruges skal markeres først Tyk, tynd eller punkteret linje Skifter farve Tekststørrelse mv. Skjuler objekter Viser alle objekter Viser navne på objekter (eller skjuler navne) Mål De objekter der bruges skal markeres først Længden af et eller flere linjestykker fstand mellem to punkter eller punkt og ret linje Omkreds af trekanter, firkanter osv. (de kaldes også for polygoner) Omkreds af en eller flere cirkler Måler vinklen. Man skal bruge tre punkter: Punkt 1, Vinkelspids, Punkt 2 real af cirkler, trekanter, firkanter osv. Måler vinklen mellem punkter på en cirkel Måler afstanden mellem punkter på en cirkel Radius for en eller flere cirkler (også cirkelbuer) Måler forholdet mellem to linjestykkers længder Åbner lommeregneren ngiver koordinaterne til et punkt ngiver x-koordinaten til et punkt ngiver y-koordinaten til et punkt fstand mellem to punkter Hældningskoefficient for et eller flere linjestykker ngiver ligningen for en linje eller en cirkel 1

3 Øvelse 1 Eksperimenter med de forskellige tegneredskaber. Prøv om du kan tegne nedenstående figurer. Det er muligt, at der kommer navne på punkter og figurer. De kan skjules og vises ved at markere objekterne og bruge Vis/skjul navne i vis menuen. Man kan også højreklikke med musen. Man kan ændre navnet på et objekt ved først at trykke og derefter dobbeltklikke på navnet. Tryk på. Marker et eller flere objekter på dine figurer og prøv at flytte musen. Læg mærke til hvilke ændringer der sker med figurerne. Øvelse 2 rug og prøv om du kan tegne disse figurer: Prøv også her at markere forskellige objekter og flytte musen. 2

4 Øvelse 3 Tegn en linje og et punkt som ikke er på linjen. Marker linjen og punktet. Vælg Parallel linje fra Konstruer-menuen. Du skal så få: Marker forskellige objekter og flyt musen. (Husk at knappen skal være nede mens du flytter musen) 3

5 Måling af vinkler Øvelse 4 Lav følgende tegning og marker punkterne i rækkefølge med vinkelspidsen som det midterste. Vælg Vinkel på Mål-menuen. Din tegning skal nu være noget i retning af: m = 56, 15 Marker et af punkterne og følg med i hvad der sker med vinklen. betyder vinklen når man går fra til til, altså det vi ville kalde på figuren. Vinkler ved parallelle linjer Øvelse 5 Tegn en hel linje og afsæt et punkt uden for linjen Konstruer en linje gennem punktet parallel med en første linje (som i øvelse 3) Tegn en tredje linje som skærer de to andre. Mål de tre vinkler som jeg på min figur har kaldt u, v og w. (Husk at man skal bruge tre punkter for at måle en vinkel w v u Observer hvad der gælder om de tre vinkler. Vinklerne u og w kaldes ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Prøv at begrunde at u=w, uafhængigt af GeoMeters målinger. 4

6 Vinkelsummen i en trekant Øvelse 6 Tegn en trekant Mål de tre vinkler Tryk på Lommeregner i Mål-menuen Klik på første vinkels mål. Tryk så + på lommeregneren. Fortsæt til du har alle tre vinkler og tryk så OK på lommeregneren. Så vil summen komme frem under de tre vinkler. m = 57,78 m = 54,58 m = 67,64 Marker et punkt og flyt musen. Observer hvad der sker med tallene. Nu har du fået programmet til at demonstrere at vinkelsummen i en trekant altid er 180º, men kan du også argumentere matematisk for dette. Du kan jo prøve at konstruere en linje gennem parallel med linjen og så udnytte en af de foregående øvelser. Midtnormaler Øvelse 7 Tegn et linjestykke og afmærk dette Vælg Midtpunkt i Konstruer-menuen Marker linjestykket og midtpunktet Vælg Vinkelret linje i Konstruer-menuen M Linjen gennem midtpunktet af vinkelret på linjestykket kaldes midtnormalen til 5

7 Vælg nu et punkt på midtnormalen og forbind det med og Mål vinkler og sider i trekanterne M og M Hvad er karakteristisk for punktet i forhold til og? Hvad er karakteristisk for de to trekanter? M Kan man argumentere matematisk for at de to trekanter har samme mål. (To trekanter der har lige store vinkler og lige store sider kaldes kongruente) Trekant kaldes en ligebenet trekant fordi to af siderne er lige lange. De vinkler som disse to sider danner med den tredje side er lige store. De to vinkler kaldes grundvinklerne. Midtnormalernes skæringspunkt Øvelse 8 Tegn en ny trekant Konstruer to midtnormaler fmærk de to midtnormaler og brug Skæringspunkt i Konstruer-menuen Konstruer nu midtnormalen til den tredje side Hvis du har lavet tegningen rigtigt vil den gå gennem skæringspunktet for de to andre midtnormaler fmærk objekter på figuren og flyt musen. Hvad viser dette? Der er forskel på at vise noget på en computer og bevise det rent matematisk. t bevise det betyder at man begrunder det med logiske argumenter Kan du bevise at de tre midtnormaler altid vil gå gennem samme punkt? Trekantens omskrevne cirkel Øvelse 9 rug tegningen fra før. fmærk midtnormalernes skæringspunkt og et af trekantens hjørner Vælg irkel ud fra centrum og punkt i Konstruer-menuen. Marker forskellige punkter og flyt musen Hvorfor vil den tegnede cirkel også gå gennem de to andre hjørner i trekanten. irklen kaldes trekantens omskrevne cirkel 6

8 Højderne i en trekant Øvelse 10 Tegn en trekant fmærk et hjørne og den modstående side Vælg Vinkelret linje i Konstruer-menuen Liniestykket F kaldes højden fra i trekant. F kaldes højdens fodpunkt. h F fmærk punktet og flyt musen Hvad gælder om størrelsen af hvis 1. F falder oven i 2. F ligger til højre for 3. F ligger til venstre for Konstruer højden fra på rug Skæringspunkt til at finde skæringspunktet mellem de to højder Konstruer den tredje højde Marker objekter og flyt musen Man kan bevise at de tre højder i en trekant altid vil skære hinanden i samme punkt. Prøv først at konstruere linjer gennem hjørnerne parallelle med de modstående sider. Derved fremkommer en ny trekant. Den kan du bruge til beviset. Trekanters areal Øvelse 11 F = 4,55 cm = 6,38 cm 0,5 F = 14,51 cm 2 h Marker højden og brug Skjul fra Vis-menuen (Du må ikke slette linjen med delete) Forbind og F med et linjestykke. Mål højden, dvs. F Mål grundlinjen, dvs. rug lommeregneren til at udregne arealet som ½ h g g F 7

9 Konstruer en linje gennem parallel med. fsæt et punkt D på linjen fmærk punkterne, og D Vælg Indre i Konstruer-menuen Vælg Mål og real D F = 4,55 cm = 6,38 cm 0,5 F = 14,51 cm 2 h real D = 14,51 cm 2 Marker punktet D og flyt musen g F Hvorfor vil trekant og trekant D altid have samme areal? Parallelogrammer Øvelse 12 K I L J Tegn et linjestykke KL fmærk et punkt I Forbind K og I med et linjestykke Konstruer en linje gennem I parallel med KL Konstruer en linje gennem L parallel med KI Konstruer skæringspunktet J mellem de to linjer Skjul de to konstruerede linjer Forbind I og J med et linjestykke Forbind J og L med et linjestykke Et parallelogram er en firkant hvor de modstående sider er parallelle Et rektangel er et parallelogram hvor alle 4 vinkler er 90 Et kvadrat er et rektangel hvor alle sider er lige store En rhombe er et parallelogram hvor alle sider er lige store Mål sider og vinkler på figuren Marker passende objekter og flyt musen så der fremkommer de særlige typer af parallellogrammer (rektangel, kvadrat, rhombe) 8

10 Hvordan finder man arealet af et parallelogram? D E F Hvorfor har de to parallelogrammer D og EF på tegningen samme arealer? Prøv om du kan lave figuren i GeoMeter (inkl. beregning af arealerne.) Pythagoras Øvelse 13 Inden du læser videre prøv da om du kan huske hvad Pythagoras læresætning går ud på? Skriv det ned som du mener det drejer sig om. Konstruktion af et kvadrat Øvelse 14 ' ' fsæt et linjestykke Marker endepunkter og linjestykke Dobbeltklik på Vælg Drej i Transformer-menuen Skriv 90 og tryk OK Gentag processen for linjestykket Forbind og med et linjestykke Marker og flyt. Marker alt (trl+) og tryk på og vælg Opret ny makro Dette kaldes en makro. Det er en optagelse af hvad man har foretaget sig. Vælg også vis opskrift. Tryk på og vælg Tool #1 og tegn så. Nu skulle der gerne fremkomme et kvadrat. Man kan gemme sin makro med Filer-menuen 9

11 Konstruktion af en retvinklet trekant Øvelse 15 Prøv om du kan konstruere denne retvinklede trekant. Sørg for at få samme navne som på figuren a c b Tegn ved hjælp af kvadrat makroen følgende figur. D I a c E realet af kvadratet HI er a a=a² realet af kvadratet GF er b b=b² realet af kvadratet DE er c c=c² Pythagoras sætning siger at a²+ b²= c² (De to små kvadraters arealer giver tilsammen det store kvadrats areal) H b G F Lav figuren om til: D real DE = 21,68 cm 2 I real HI = 13,96 cm 2 E a c H b ( real HI)+ ( real GF) = 21,68 cm 2 real GF = 7,72 cm 2 G Marker og flyt Vi har nu vist (men ikke bevist) at Pythagoras læresætning stemmer F 10

12 Vinkler ved cirkler Øvelse 16 Tegn en cirkel Tegn en hel linje gennem centrum fmærk linjens skæringspunkter med cirklen fsæt et punkt på cirklen Mål vinkel Marker og flyt musen Hvad sker der med vinklens størrelse Øvelse 17 D Tegn en cirkel fsæt tre punkter på cirklen Tegn linjestykker som på figuren Mål og Marker og flyt Hvad er sammenhængen mellem størrelsen af de to vinkler? Korncirkler Øvelse 18 Kan du konstruere denne korncirkel eller et lignende mønster? Hver år ved høsttid opstår der mærkelige figurer i kornmarkerne rundt omkring i verden. Nogle mennesker tror, at det er UFO er der er på spil. De mener at mønstrene er så komplicerede, at de ikke kan være lavet af mennesker. ndre mener, at det er ganske let at lave de geometriske mønstre. 11

13 Ensvinklede trekanter Øvelse 19 Tegn en trekant Vælg et punkt udenfor trekanten fmærk alt og dobbeltklik på punktet Vælg Multiplicer om punkt i Transformer-menuen ' b' P c b a c' ' a' ' Ved hjælp Mål-menuen skal du måle vinkler og sider i de to trekanter. Forholdet mellem sidernes længde kan fås direkte fra Mål-menuen ved at afmærke to sider og trykke på Forhold. Tælleren skal afmærkes først. a' b' c' rug denne metode til at beregne, og a b c To trekanter kaldes ensvinklede hvis deres vinkler er parvis lige store. For to ensvinklede trekanter gælder at forholdet mellem tilsvarende sider er konstant, denne konstant kaldes skaleringsfaktoren. Man kalder også to ensvinklede trekanter for ligedannede eller proportionale og skaleringsfaktoren hedder også proportionalitetsfaktoren. Øvelse 20 Konstruer en retvinklet trekant Konstruer højden fra den rette vinkel på hypotenusen fmærk fodpunktet for denne højde Skjul højden Forbind den rette vinkel med fodpunktet F Der er nu tre retvinklede trekanter på tegningen, nemlig, F og F. Undersøg om nogle af disse er ensvinklede. 12

14 Ekstraopgaver til GeoMeter Opgave 1 En korde er en linje der forbinder 2 punkter på en cirkel. Vinklen v på tegningen kaldes en korde-tangentvinkel. Vinklen w, altså O kaldes centervinklen. Vis at v er det halve af w korde v w O tangent Opgave 2 Vis at de tre vinkelhalveringslinjer i en trekant går gennem samme punkt. Vis at dette punkt har samme afstand til trekantens sider. Opgave 3 Lav en makro der konstruerer en trekants indskrevne cirkel. Opgave 4 En median i en trekant er en linje der forbinder et hjørne med midtpunktet for den modstående side. Vis at de tre medianer i en trekant går gennem samme punkt. Vis at medianerne deler hinanden i forholdet 1:2 Opgave 5 Vis at i en vilkårlig trekant ligger højdernes skæringspunkt, medianernes skæringspunkt og midtnormalernes skæringspunkt altid på en ret linje. Opgave 6 Vis at hvis en firkant har en omskreven cirkel, så er summen af de modstående vinkler 180 Opgave 7 Vis at arealet af en trekant er r s, hvor r er radius i den indskrevne cirkel og s er det halve af trekantens omkreds. 13