Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Harmoniske svingninger 1 2.1 De fire parametre.................... 2 2.2 Grafen for en harmonisk svinging........... 5 3 Rart at vide om dem 6 3.1 Hvordan grafen ikke ser ud!.............. 6 3.2 Periode, frekvens og vinkelfrekvens.......... 7 3.3 Cosinus og faseforskydningen............. 7 4 Hvad skal vi med dem? 7 4.1 Ligninger med harmoniske svingninger........ 7 4.2 Modellering af svingningsfænomener......... 7 4.3 Hvorfor er de overalt?................. 7 5 Summer af harmoniske svingninger 9 5.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydning....... 9 5.2 Forskellige faser Interferens............. 10 5.3 Næsten samme vinkelfrekvens Oversvingninger.. 11 5.4 Forskellige vinkelfrekvenser Fourierteori...... 13
Resumé I dette lille dokument ser nærmere vi på den funktionsfamilie som kaldes harmoniske svingninger. 1 Introduktion Harmoniske svingninger optræder overalt i naturen. Ikke kun i forbindelse med bevægelser (hvor en genstands position svinger frem og tilbage som funktion af tiden, men også i så (tilsyneladende) forskellige områder som lys, lyd, elektricitet, magnetisme og kvantemekanik. Forudsætninger For at læse dette dokument, skal du kende funktionerne cosinus og sinus, samt radianbegrebet. Du skal også være fortrolig med selve det abstrakte funktionsbegreb og hvordan man tegner grafer for funktioner. Det sidste afsnit er mere avanceret end resten af dokumentet, og her får du brug for at kende til de såkaldte additionsformler for cosinus og sinus. 2 Harmoniske svingninger Lad os bare starte med at smide definitionen på bordet: Definition 1 En harmonisk svingning er en funktion, f defineret ved en forskrift af typen: f(x) = A sin(ω x + φ) + k hvor ω, φ og k er reelle tal, og A er et positivt reelt tal. side 1
Hver gang man vælger en værdi til de fire parametre har man altså en harmonisk svingning. I det næste afsnit tager vi et nærmere kig på betydningen af hver af parametrene. 2.1 De fire parametre De fire parametre har hver sin betydning for funktionen. Derfor har man ligefrem fundet på navne til hver af dem, for at afspejle denne betydning: k kaldes offsetværdien eller nogle gange middelværdien A kaldes Amplituden ω kaldes vinkelfrekvensen φ kaldes faseforskydningen Bemærk i øvrigt at bogstavbetegnelserne k, A, ω og φ (lige som de fleste andre bogstavbetegnelser) er helt frivillige. Man kan sagtens definere fire konstanter p, d, F og M og så tale om den harmoniske svingning f, givet ved: f(x) = p sin(f x + d) + M Den vil så have amplitude p, vinkelfrekvens F o.s.v. Det kan dog varmt anbefales at bruge standard -betegnelserne medmindre man har en alvorlig grund til ikke at gøre det. Når man skal forklare betydningerne (og dermed også hvorfor ovennævnte navne er fornuftige) er det som regel nyttigt at tænke på to af de mest velkendte harmoniske svingninger: Vekselspænding: En spændingsforskel som svinger op og ned som funktion af tiden. Lyd: Små, meget hurtige udsving i lufttrykket som funktion af tiden. side 2
2.1.1 Offsetværdien Offsetværdien er den nemmeste at forklare. Det er simpelt hen den funktionsværdi som den harmoniske svingning svinger omkring. I tilfældet med vekselspændingen i stikkontakten er dette som regel en spænding på præcis nul volt. Men i andre situationer med elektronik kan man have en god grund til at lægge et såkaldt DC offset 1 oven i den svingende vekselspænding. Det betyder at man tilføjer en jævnspænding over sit kredsløb, og i så fald bliver offsetværdien lig med denne jævnspænding. I forbindelse med lyd betår offsetværdien af det konstante lufttryk på cirka 1 atmosfære. 2.1.2 Amplituden Ordet amplitude betyder noget i retning af tykkelse. Og det er nogenlunde præcist hvad amplituden er. Den angiver nemlig størrelsen af det udsving som vores svingende funktioner laver til begge sider af offsetværdien. I tilfældet med vekselspændingen i vores stikkontakter, så er amplituden de ca. 230 volt, fordi spændingen varierer mellem 230V og 230V. I tilfældet med lyd, vil de fleste normale lyde bestå af svingninger med bittesmå amplituder i størrelsesordenen 0, 001 atmosfære. 2.1.3 Vinkelfrekvensen Ordet frekvens betyder hyppighed eller som regel når det skal være lidt mere præcist i fysik: gentagelser pr. tid Ordet vinkelfrekvens er valg for at antyde at det næsten er det samme som frekvens, men at der er en vigtig forskel. Helt præcist angiver vinkelfrekvensen hvor mange radianer pr. tid at svingningen 1 Det er faktisk herfra at navnet offsetværdi er taget. side 3
gennemløber, med den regel at 2π radianer svarer til en hel gennemført svingning. Derfor vil vinkelfrekvensen af vores vekselspænding i Danmark være ω = 50 2π (forudsat tiden måles i sekunder) fordi der bliver gennemført 50 hele svingninger (svarende til 50 2π radianer) pr. sekund. Vinkelfrekvensen bliver noget lettere at forstå når vi senere indfører begreberne periode og frekvens lidt mere grundigt. Lige nu er det kun vigtigt at du forstå at når ω er et stort tal, så går svingningerne hurtigt. Lyde som kan høres af det menneskelige øre har typisk vinkelfrekvenser mellem 200 og 200.000. (Igen forudsat at tiden måles i sekunder). 2.1.4 Faseforskydningen Faseforskydningen, φ, er den sværeste parameter at forstå betydningen af, fordi den sjældent er nogen man har kontrol over. Når man ændrer faseforskydningen vil funktionens forløb være næsten det samme: Den vil svinge lige hurtigt omkring med lige store udsving omkring den samme middelværdi. Det eneste som ændrer sig er Hvornår svingingen rammer offsetværdien. Altså en slags mål for hvornår svingningen starter. Både i eksemplet med vekselspænding og eksemplet med lyd, kan man ikke på nogen måde mærke vinkelfrekvensen af en enkelt svingning. Det er kun et spørgsmål om hvornår vores indre ur er startet. Men hvis man derimod lægger flere harmoniske svinginger (f.eks. lyde eller vekselspændinger) oven i hinanden, så får forskelle i vinkelfrekvenser lige pludselig en meget vigtig betydning. Det skal vi se mere på i afsnit 5 Den helt præcise betydning af faseforskydningen kan vi først fastlægge når vi ser på grafen for en harmonisk svingning i næste afsnit. side 4
2.2 Grafen for en harmonisk svinging Når man tegner grafen for en harmonisk svingning, så bliver betydningen af de fire parametre meget mere klar. Uanset hvilken harmonisk svingning man tegner graf for, så vil den altid komme til at ligne grafen for sinus, blot forskudt og/eller strakt langs med akserne 2. Betydningen af de fire parametre for udseenet af grafen er som følger: Offsetkonstanten, k, angiver den y-koordinat som grafen varierer omkring. Amplituden, A, angiver hvor meget grafen svinger til begge sider af ovennævnte y-koordinat. Hvis amplituden f.eks. er 5, og offsetkonstanten er 7, så vil grafen svinge mellem y-koordinaterne 7 5 = 2 og 7 + 5 = 12. Vinkelfrekvensen, ω, angiver hvor mange hele svingninger der bliver gennemført hver gang man bevæger sig 2π ud af x-aksen. Faseforskydningen, φ, angiver hvor meget grafen er forskudt i retning af x-aksen. Det er dog ret besværligt at sige helt præcist hvor stor forskydning en bestemt værdi af φ forårsager, fordi dette også afhænger af vinkelfrekvensen. Helt præcist bliver grafen forskudt med φ ω mod venstre! Sådan at grafen rammer offsetværdien i x- koordinaten: x = φ ω At dette er illustreret på figur 1 nedenfor. 2 Hvis du vil se præcis hvorfor det er sådan, så skal du læse om grafmanipulation her. side 5
Figur 1: Grafen for en typisk harmonisk svingningsfunktion 3 Rart at vide om dem 3.1 Hvordan grafen ikke ser ud! Det sker desværre igen og igen at folk som egentlig burde have forstand på harmoniske svingninger tegner deres grafer som noget i retning af figur 2. 5 2.5 5 7.5-5 Figur 2: Nogle dumme halvcirkler som intet har med sagen at gøre. Den altoverskyggende misforståelse i at gøre sådan består i at tro at kurverne på grafen for en harmonisk svingning er cirkelbuer. Det er de ikke! Den vigtigste forskel ligger i den hældning hvormed grafen skærer x-aksen. Den er aldrig lodret, sådan som cirkelbuernes side 6
hældninger er. Tværtimod, hvis akserne er skaleret sådan at perioden er cirka 6 gange større end amplituden, så vil hældningen hvormed grafen skærer x-aksen (eller rettere: Den vandrette linje gennem y = k altid være cirka 45. 3.2 Periode, frekvens og vinkelfrekvens 3.3 Cosinus og faseforskydningen Et meget naturligt spørgsmål at stille når man ser definitionen af harmoniske svinginger er: Hvor skal man kun bruge sinus? Hvorfor ikke også cosinus? Svaret på dette spørgsmål er ganske enkelt: Fordi cosinus bare er en faseforskydning af sinus. Det skyldes en af de såkaldte overgangsformler: ( cos(x) = sin x + π ) 2 4 Hvad skal vi med dem? I dette afsnit ser vi på nogle af de typiske problemer som kan opstå i forbindelse med harmoniske svingninger. 4.1 Ligninger med harmoniske svingninger Lad os se på et eksempel, hvor f er den harmoniske svingning givet ved: f(x) = 4.2 Modellering af svingningsfænomener 4.3 Hvorfor er de overalt? Dete afsnit er lidt mere teknisk end resten af dokumentet og kan sagtens springes over. For at forstå det er du nødt til at vide en side 7
lille smule om differentiation. Til gengæld får du en meget naturlig indgangsvinkel til emnet differentialligninger, som ellers kan være meget svært at komme i gang med. Hvis man differentierer en harmonisk svingning, f, givet ved: så får man: f(x) = A sin(ω x + φ) + k f (x) = A cos(ω x + φ) ω og differentierer man en gang mere, får man: f (x) = A sin(ω x + φ) ω 2 Kigger man nøje efter, så ligner dette den oprindelige funktion rigtig meget. Der er et fortegn til forskel, og så er k forsvundet og vi har fået ganget ω 2 på i stedet for. Men denne ændring er simpel nok til at kunne skrives ned: eller lettere omskrevet: f (x) = ω 2 (f(x) k) f (x) = ω 2 f(x) + ω 2 k Her står at den dobbelt afledede af f er det samme som f, ganget med en negativ konstant ( ω 2 ) plus yderligere en konstant (ω 2 k). En sådan sammenhæng mellem en funktion og dens afledede kaldes en differentialligning. Fysik og andre naturvidenskaber er propfyldt med differentialligninger, hvor differentialligningen er det første vi opdager, og så er hele problemet at finde nogle funktioner som opfylder denne differentialligning. Og lige netop ovenstående differentialligning er så simpel (den siger bare at der er en lineær sammenhæng imellem f og f ) at den dukker op overalt. Newton s anden lov er det mest velkendte eksempel. Den siger nemlig at accelerationen (den dobbelt afledede side 8
af positionen) er lig en konstant ( 1 ) gange den resulterende kraft. m I mange tilfælde (f.eks. ved bevægelse af en fjeder, jævnfør Hooke s lov) er den resulterende kraft givet ved en negativ konstant gange positionen. Og så har vi lige præcis differentialligningen. 5 Summer af harmoniske svingninger Lad os nu se på nogle fænomener som forekommer næsten hver eneste gang man harmoniske svingninger optræder i naturen. Nemlig hvor flere harmoniske svingninger bliver lagt sammen. 5.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydning Lad os først prøve at lægge to harmoniske svingninger sammen, hvor de har samme fase og samme vinkelfrekvens Det viser sig heldigvis er være meget nemt. Lad os starte med to harmoniske svingninger, f 1 og f 2 : f 1 (t) = A 1 sin(φ + ω t) + k 1 Så er: f 2 (t) = A 2 sin(φ + ω t) + k 2 f 1 (t) + f 2 (t) = A 1 sin(φ + ω t) + A 2 sin(φ + ω t) + k 1 + k 2 = (A 1 + A 2 ) sin(φ + ω t) + (k 1 + k 2 ) Altså: De to harmoniske svingninger lagt sammen giver bare en ny harmonisk svingning med samme (fælles) vinkelfrekvens og faseforskydning, og med offsetværdi og amplitude givet som summen af de to indgående svingningers offsetværdier henholdsvis amplituder. Dette fænomen kan være lidt svært at observere i naturen, fordi man sjældent har kontrol over faseforskydningen af harmoniske svingninger. Derfor er det meget mere relevant med det næste hvad vi skal se på i næste afsnit. side 9
5.2 Forskellige faser Interferens Ok, lad os nu tage en harmonisk svingning: f 1 (t) = A 1 sin(φ 1 + ω t) + k 1 og en mere, som har samme vinkelfrekvens, men forskellig faseforskydning: f 2 (t) = A 2 sin(φ 2 + ω t) + k 2 Additionsformlen for sinus kan bruges til at omskrive: f 1 (t) = A 1 (sin(φ 1 ) cos(ωt) + cos(φ 1 ) sin(ωt)) + k 1 og tilsvarende med f 2 ; f 2 (t) = A 2 (sin(φ 2 ) cos(ωt) + cos(φ 2 ) sin(ωt)) + k 2 Dermed kan de let lægges sammen: f 1 (t) + f 2 (t) =A 1 (sin(φ 1 ) cos(ωt) + cos(φ 1 ) sin(ωt)) + k 1 + A 2 (sin(φ 2 ) cos(ωt) + cos(φ 2 ) sin(ωt)) + k 2 = (A 1 sin(φ 1 ) + A 2 sin(φ 2 )) cos(ωt) + (A 1 cos(φ 1 ) + A 2 cos(φ 2 )) sin(ωt) + (k 1 + k 2 ) Hvis man lige tager en dyb indånding og ser nærmere på dette, så kan man se at de to lange parenteser er konstanter (de afhænger ikke af t). Desuden kan cos(ωt) nemt omskrives til at være en faseforskudt sinus: cos(ωt) = sin( π 2 + ωt) Derfor kan dette tolkes som en sum af to nye harmoniske svingninger, som har amplituder gives ved henholdsvist: (A 1 sin(φ 1 ) + A 2 sin(φ 2 )) side 10
og (A 1 cos(φ 1 ) + A 2 cos(φ 2 )) og som er faseforskudt præcis π (altså en kvart svinging) i forhold til 2 hinanden. Det sjove ved dette er, at begge disse amplituder f.eks. kan give nul, uden at nogen af de oprindelige amplituder A 1 og A 2 er nul. Hvis f.eks. A 1 = A 2 og vi samtidigt har: så er: og φ 1 = φ 2 + π cos(φ 1 ) = cos(φ 2 ) sin(φ 1 ) = sin(φ 2 ) Og dermed bliver begge amplituderne nul. Dette er en forklaring på hvorfor to svingninger med samme vinkelfrekvens og samme amplitude, men omvendt faseforskydning kan annihilere hinanden. 5.3 Næsten samme vinkelfrekvens Oversvingninger Til sidst en lille illustration af hvad der sker når man anslår to næsten ens toner samtidigt. (Det som man benytter sig af når man f.eks. stemmer en guitar). Vi tager to harmoniske svingninger. Denne gang med samme amplitude og uden faseforskydinger. Og vi dropper også offsetkonstanten, fordi den ikke er interessant. og f 1 (t) = A sin(ω 1 t) f 2 (t) = A sin(ω 2 t) side 11
Lægger vi disse to sammen, får vi ikke umiddelbart noget som vi kan omskrive på: f 1 (t) + f 2 (t) = A sin(ω 1 t) + A sin(ω 2 t) Men hvis vi lige får den fremragende ide at indføre middelfrekvensen: ω m = ω 1 + ω 2 2 og differensfrekvensen: så er tricket at: ω d = ω 1 ω 2 2 ω 1 = ω m + ω d mens: (Regn selv efter). Derfor kan vi omskrive: ω 2 = ω m ω d f 1 (t) = A sin(ω m t + ω d t) og f 2 (t) = A sin(ω m t ω d t) Bruger vi additionsformlerne for sinus på disse, får vi noget der er lækkert at lægge sammen: f 1 (t) = A (sin(ω m t) cos(ω d t) + sin(ω d t) cos(ω m t)) f 2 (t) = A (sin(ω m t) cos(ω d t) sin(ω d t) cos(ω m t)) Dermed kan vi omskrive: f 1 (t) + f 2 (t) =A (sin(ω m t) cos(ω d t) + sin(ω d t) cos(ω m t)) + A (sin(ω m t) cos(ω d t) sin(ω d t) cos(ω m t)) =2A sin(ω m t) cos(ω d t) side 12
Hvis man nu tager sine allermest skarpe briller på, og samtidigt forestiller sig at de to oprindelige frekvenser var næsten lige store, så er dette faktisk ret smukt. Eftersom de to frekvenser er næsten lige store, så bliver middelfrekvensen omtrent det samme som de to oprindelige frekvenser, mens differensfrekvensen ω d bliver meget lille. Dermed kan vi se udtrykket for f 1 (t)+f 2 (t) som en ren harmonisk svingning: 2A sin(ω m t) (med middelfrekvensen af de to anslåede frekvenser, og den dobbelte amplitude) Men alt sammen ganget med et andet tal: cos(ω d t) som svinger meget langsomt (fordi ω d er lille) mellem 1 og 1. Hvis man forestiller sig at dette tal er ganget på amplituden, altså: f 1 (t) + f 2 (t) = (2A cos(ω d t)) sin(ω m t) så kan det tolkes som at der bliver skruet op og ned for amplituden, ganske langsomt. Og det er præcis sådan man hører det hvis to guitarstrenge anslås med næsten samme frekvens. Det lyder som om de to toner ligger oven på hinanden, men at lydstyrken svinger ganske langsomt. (Og jo langsommere svingningen i lydstyrken bliver, desto mere præcist er de to strenge stemt.) Musikere kalder dette fænomen for oversvingninger. 5.4 Forskellige vinkelfrekvenser Fourierteori Hvis man lægger to hamoniske svingninger sammen som har vidt forskellige frekvenser, så finder man hurtigt ud af at dette ikke lader sig omskrive på en måde så man klart kan se hvad resultatet bliver. Faktisk finder man ret hurtigt ud af at summer ar harmoniske svingninger med forskellige vinkelfrekvenser bliver noget frygteligt side 13
rod. Så længe amplituderne er meget forskellige, så kan man godt forstå det som en stor svingning (den med størst amplitude) hvor man laver små udsving i forhold til den store svinging undervejs. (Se figur??). Men hvis amplituderne er cirka lige store, kan det virkelig se uoverskueligt ud (se figur??). Og hvis man lægger mere end 2 harmoniske svingninger sammen alle med forskellige vinkelfrekvenser og forskellige amplituder så får man næsten indtryk af at resultatet kan blive hvadsomhelst. Og det er faktisk i en vis forstand rigtigt! Fourierteori er en meget lang historie som i bund og grund handler om at enhver funktion kan opfattes tilnærmelsesvist som en sum af passende mange harmoniske svingninger. side 14