Inverse funktioner og Sektioner

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Inverse funktioner og Sektioner"

Transkript

1 Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Injektive funktioner 2 3 Inverse funktioner Konklusion Grafen for den inverse funktion Sektioner Kvadratroden De inverse trigonometriske funktioner Løsning af simple ligninger i et nyt lys Simple ligninger og inversion af funktioner

3 Resumé I dette dokument behandler vi begrebet inverse funktioner til injektive funktioner, og vi beskriver hvordan man kan lave såkaldte sektioner til funktioner som ikke er injektive. 1 Introduktion Hvis man tænker på en funktion som en fabrikshal med en maskine i midten, så er det meget naturligt at forestille sig situationer, hvor man har lyst til at kunne køre maskinen baglæns. Det kunne tænkes at nogen i nattens mulm og mørke havde sneget sig ind og kørt et hemmeligt element fra definitionsmængden igennem maskinen. Næste morgen finder man så det færdige produkt, og spørgsmålet trænger sig helt naturligt på: Hvilket element fra definitionsmængden blev sendt igennem maskinen for at producere dette produkt? Hvis ellers maskinen er af en sådan type at den kan køre baglæns (altså hvis funktionen er injektiv), så er den oplagte løsning på problemet at man tager det produkt som er kommet ud af maskinen og sender baglæns igennem. Denne baglæns maskine er det som kaldes den inverse funktion til vores oprindelige funktion. Det er dette begreb som vi skal gøre helt præcist i dette dokument. Desuden skal vi se hvad man gør hvis man har en funktion som ikke er injektiv, men alligevel gerne vil kunne køre den baglæns. Det kaldes at konstruere en sektion eller højreinvers til den oprindelige funktion. Forudsætninger Dokumentet er en direkte fortsættelse af Funktionsterminologi 1, og det forudsættes selvfølgelig at man har læst dette dokument først. Eftersom alting skal handle om funktioner med primær og sekundærmængde R, vil vi indføre en generel regel: 1 Læs om funktionsterminologi her side 1

4 Når ordet funktion optræder i dette dokument, så skal det læses som: En funktion med primærmængde R og sekundærmængde R. 2 Injektive funktioner Vi starter med at repetere den centrale definition: Definition 1 En funktion f kaldes injektiv hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Den bedste måde at tænke på injektivitet på, er ved at have det abstrakte billede af funktionen inde i hovedet: En funktion er injektiv hvis to forskellige elementer i definitionsmængden aldrig bliver til det samme når man tager funktionen på dem. Dette er forsøgt illustreret på figur 1 Figur 1 forklarer også valget af ordet injektiv : Det kommer af det samme som det engelske ord to inject At sprøjte ind. Og det er jo lige netop hvad en injektiv funktion gør: Den sprøjter elementerne fra definitionsmængden ind i sekundærmængden, uden af nogen elementer kommer til at ligge præcis det samme sted. Det er nemt at se på en funktions graf om den er injektiv eller ej. At funktionen er injektiv betyder at grafen aldrig besøger den samme y-koordinat mere end én gang. Øvelse 1 Hvilke af følgende funktioner er injektive? f 1 (x) = 1 x side 2

5 Figur 1: Injektivitet af en funktion f 2 (x) = 5x + 1 f 3 (x) = x 2 f 4 (x) = x 3 f 5 (x) = sin x 3 Inverse funktioner Når en funktion, f, er injektiv, giver det os mulighed for at vende den om : Til ethvert element i værdimængden, giver det mening at spørge hvor det kommer fra, fordi der jo kun er et eneste x i definitionsmængden der rammer det. Vi definerer: side 3

6 Definition 2 Hvis f er en injektiv funktion, definerer vi den inverse funktion til f som: f 1 : { Vm(f) R y Dét x Dm(f) som opfylder at f(x) = y. Denne definition er pænt svær at læse. Kig på den en ekstra gang og vær sikker på at du forstår alle de følgende bemærkninger Bemærkninger: Man bør have billedet fra figur 2 i hovedet når man tænker på den inverse funktion til f. Bemærk at i modsætning til ord som f.eks. injektiv og monoton, er invers ikke er et tillægsord. Man kan altså ikke sige at en funktion er invers af samme grund som man ikke kan sige at en person er kæreste. Bemærk at: og Dm(f 1 ) = Vm(f) Vm(f 1 ) = Dm(f) Eksempel 1 Hvis definitionen af den inverse funktion minder dig om at løse ligninger, så er du på det helt rigtige spor! At beregne den inverse funktion i et punkt y handler nemlig om at løse ligningen: f(x) = y side 4

7 Figur 2: En funktion og dens inverse funktion Lad os tage et eksempel hvor f er funktionen givet ved: f(x) = 3 x + 5 Denne funktion er voksende og dermed injektiv. Værdimængden består af alle de reelle tal. (Tegn grafen, hvis du er i tvivl!) Vi kan således tale om den inverse funktion f 1. For at beregne f 1 (17) skal man finde det x Dm(f) som opfylder at: dvs. dvs. Vi har altså beregnet at f(x) = 17 3 x + 5 = 17 x = 4 f 1 (17) = 4 side 5

8 Man kan tjekke at vi har regnet rigtigt ved at undersøge om: f(4) = 17 Som regel har man lyst til at finde f 1 (y) for alle y Vm(f) på en gang. Det gøres ved at løse ligningen: f(x) = y uden at specificere hvad y er. Dette giver (gør det selv på et stykke papir!): x = y 5 3 Vi har dermed beregnet at f 1 (y) = y 5 3 At variablen hedder y er blot en hjælp til os selv, for at minde os om at y ligger i Vm(f). Hvis man skal arbejde meget med den inverse funktion, er man velkommen til at glemme dette og kalde variablen x, sådan som man plejer. Det er altså præcis lige så korrekt at oplyse: f 1 (x) = x 5 3 Øvelse 2 Find den inverse funktion til følgende injektive funktioner: 1. f 1 (x) = 2x f 2 (x) = 1 (x 0) x 3. f 3 (x) = x 3 side 6

9 3.1 Konklusion Den helt, helt fundamentale egenskab ved en funktion f og dens inverse funktion f 1 er omtrent lige så indlysende som den er vigtig: Hvis man starter med et x Dm(f) og først tager f på dette, og bagefter tager f 1 på resultatet, så havner man tilbage hvor man startede, nemlig i x. Og hvis man starter med et y Vm(f) og først tager f 1 på dette, og bagefter tager f på resultatet, så havner man tilbage hvor man startede, nemlig i y. Dette formulerer vi lige i en sætning: Sætning 1 (Egenskab ved den inverse funktion) Hvis f er en injektiv funktion, og x Dm(f), så er: f 1 (f(x)) = x Og hvis y Vm(f) = Dm(f 1 ), så er f(f 1 (y)) = y Man kan tænke på dette som at en funktion og dens inverse ophæver hinanden. Dette retfærdiggør også skrivemåden f 1 for den inverse funktion. Den inverse funktion opfører sig nemlig omtren lige som x 1 når x er et reelt tal. Blot er x 1 invers af x med hensyn til produkt af reelle tal, mens f 1 er invers af f med hensyn til sammensætning af funktioner. Det bliver meget tydeligt hvis man skriver sætning 1 med terminologien fra sammensatte funktioner: side 7

10 Sætning 2 (Egenskab ved den inverse funktion) Hvis f er en injektiv funktion, så er: f f 1 = Id og f 1 f = Id hvor Id betegner identitetsfunktionen: Id(x) = x En bemærkning om notation Man skal passe ekstremt meget på ikke at forveksle den inverse funktion: f 1 med funktionen g givet ved: g(x) = f(x) 1 = 1 f(x) (Kan du nu begynde at se hvorfor man ikke må forveksle en funktion f med dens funktionsværdier f(x)?) 2 For at undgå denne forveksling anvender man ofte skrivemåden: f 1 for den inverse funktion. Det skal læses som f i bolle-minus-en (og ikke nul minus en ), og det skal forstås som f opløftet i minus første potens med hensyn til regneoperationen bolle. 2 Se advarslen i afsnittet om traditionel dovenskab her side 8

11 3.2 Grafen for den inverse funktion Der er en smuk sammenhæng mellem grafen for en funktion og grafen for dens inverse funktion. Lad os som et eksempel tegne grafen for funktionen i eksempel 1. Funktionen er givet ved: f(x) = 3 x + 5 og dens inverse funktion er givet ved: Vi kan starte med at udregne: f 1 (x) = x 5 3 f(0) = = 5 Dermed har vi automatisk også at: f 1 (5) = 0 (Hvis du har lyst, kan du selv regne efter at det passer) Den første af disse oplysninger viser at grafen for f går gennem punktet (0; 5). Den anden oplysning viser at grafen for f 1 går gennem punktet (5; 0). Hvis man prøver dette et par gange, opdager man at hver eneste gang grafen for f går gennem et punkt (x; y), går grafen for f 1 igennem til omvendte punkt, (y; x). Man får altså grafen for f 1 ved at tage grafen for f og bytte om på x- og y-koordinater i alle punkterne. Dette svarer til at spejle grafen i den skrå linje givet ved ligningen: y = x Se figur 3. side 9

12 Figur 3: Grafen for en funktion og dens inverse Sætning 3 Hvis f er en injektiv funktion, og f 1 er dens inverse funktion, så er grafen for f og grafen for f 1 hinandens spejlbilleder ved spejling i den skrå linje: {(x; y) R 2 y = x} Øvelse 3 Tegn graferne for funktionerne f og g i det samme koordinatsystem, hvor f(x) = x 3 og g(x) = 3 x = x 1 3 side 10

13 4 Sektioner Hvis en funktion f ikke er injektiv, giver definition 2 ikke mening fordi der pludselig er flere forskellige kandidater til hvad f 1 (y) skulle være. I stedet findes der en anden konstruktion, som man altid kan udføre. Det kaldes at finde en sektion eller en højre-invers til funktionen. Ideen går i al sin enkelhed ud på, at hvis en funktion ikke er injektiv, så kan man begrænse definitionsmængden indtil den bliver det. Lad os tage et eksempel: Funktionen f hvis graf er angivet på figur 4 er bestemt ikke injektiv. F.eks. rammer den funktionsværdien nul hele fem gange. Figur 4: Grafen for en funktion som ikke er injektiv Hvis vi begrænser definitionsmængden til f.eks. at være intervalside 11

14 let 3 : [ 1 2 ; 1] så bliver funktionen pludselig injektiv! Derfor kan vi lave den inverse funktion til denne begrænsning. Dette kaldes en sektion eller en højreinvers til f. På figur 5 har vi tegnet grafen for den omtalte begrænsning af f og for den tilhørende sektion s. Figur 5: Grafer for den omtalte begrænsning af funktionen fra figur 4 og for den tilhørende sektion. gode. Definition 3 Hvis f er en funktion der bliver injektiv hvis dens definitionsmængde begrænses til en delmængde A Dm(f), så kaldes den 3 Læg mærke til at der er masser af andre muligheder som er præcis lige så side 12

15 inverse funktion til denne begrænsning af f for en sektion eller en højreinvers til f. Bemærkninger Ordet sektion kommer af det som samme som det engelske section som betyder snit. Dette skyldes selvfølgelig at processen, hvor man tager en delmængde af definitionsmængden og finder en invers derpå, svarer til at man tager et udsnit af grafen og spejlvender det. Man kan passende have tegningen på figur 6 i hovedet når man tænker på hvad en sektion gør. Her ses det tydeligt hvad forskellen på en sektion og en invers er: Til en given y-værdi giver den ikke den x-værdi hvor f(x) = y, men i stedet giver den en x-værdi hvor f(x) = y. Den helt fundamentale egenskab ved en sektion er, at hvis man først tager sektionen i et punkt, og derefter tager selve funktionen, så havner man der hvor man startede. Hvis funktionen hedder f og sektionen hedder s, kan dette skrives som at: f(s(y)) = y Det omvendte er ikke altid tilfældet. Derfor bruger man også det alternative navn højreinvers, fordi s forkorter ud med f, når den står til højre for f. Den sidste egenskab er så vigtig at vi lige indrammer den som en sætning: Sætning 4 Hvis s er en sektion til en funktion f, og y Dm(s), så er: f(s(y)) = y side 13

16 Figur 6: Et abstrakt billede af en funktion f og en sektion s Eller formuleret ved hjælp af sammensætning af funktioner: f s = Id Du har allerede set masser af sektioner i brug i praksis, fordi nogle af de mest almindelige funktioner ikke er injektive. Her kommer de to mest oplagte eksempler. 4.1 Kvadratroden Funktionen: f : { R R x x 2 side 14

17 er ikke injektiv. F.eks. er f( 1) = f(1). Men hvis man begrænser definitionsmængden til at være [0; [ bliver den begrænsede funktion injektiv. Den sektion som fremkommer på denne måde kaldes som bekendt kvadratroden og skrives som: Bemærkninger s(x) = x = x 1 2 Bemærk, at eftersom definitionsmængden af vores begrænsning blev [0; [ og værdimængden af begrænsningen også er [0; [, bliver kvadratroden dermed defineret på [0; [ og har værdimængde [0; [. Graferne for begrænsningen af f og for kvadratroden er angivet på figur 7. Bemærk også at egenskaben fra sætning 4 i dette tilfælde siger at for alle y [0; [ gælder: f(s(y)) = ( y) 2 = y Derimod er det omvendte ikke tilfældet. Der gælder jo helt præcist at: s(f(x)) = x 2 = x Eksempel 2 Når man møder en ligning af typen: x 2 = a hvor a [0; [ er man ganske velkommen til at tage kvadratroden på begge sider, men da kvadratroden kun er en højreinvers kan man ikke konkludere at: x = a side 15

18 Figur 7: Grafen for begrænsningen af f(x) = x 2 og dens tilhørende sektion s(x) = x side 16

19 Man skal i stedet huske at kvadratroden kun giver en af de mulige værdier for x, og så ellers huske de andre muligheder, f.eks. ved at kigge på grafen for funktionen f(x) = x 2. I tilfældet med ovennævnte ligningstype betyder det at man skal huske at der også er en negativ løsning, sådan at den korrekte konklusion bliver: x = ± a 4.2 De inverse trigonometriske funktioner De trigonometriske grundfunktioner, sinus, cosinus og tangens er ikke injektive! (Tegn graferne hvis du er i tvivl!) Derfor er det egentlig skrupforkert at tale om de inverse trigonometriske funktioner og endda skrive dem som: sin 1 cos 1 tan 1 for de har ikke nogen inverse funktioner! Men der findes en standardkonstruktion af sektioner til de tre funktioner, som desværre er kendt i hele verden under de ovennævnte navne. Der findes nogle alternative navne, nemlig: arcsin arccos arctan Disse navne er meget bedre 4, men da det ikke kan lade sig gøre at ændre en skrivemåde som er udbredt i hele verden, er man nødt til at kende begge betegnelser. 4 Forstavelsen arc er en forkortelse for arcus. Det er latin og betyder bue (lige som ordet arc på engelsk). Dette er meget intuitivt, da vi netop har tænkt os at skære en enkelt bue ud af de bølgeformede grafer når vi skal lave disse sektioner. side 17

20 Definition 4 Funktionen sinus er injektiv hvis man begrænser den til intervallet: [ π 2 ; π 2 ] På dette definitionsinterval er værdimængden lig med [ 1; 1] (Se grafen for denne begrænsning på figur 8 hvis du er i tvivl.) Sektionen som hører til denne begrænsning kaldes den inverse sinus: sin 1, eller (mere korrekt) arcus sinus: arcsin. Den er således defineret på intervallet og har værdimængde Dm(arcsin) = [ 1; 1] Vm(arcsin) = [ π 2 ; π 2 ] Definition 5 Funktionen cosinus er injektiv hvis man begrænser den til intervallet: [0; π] På dette definitionsinterval er værdimængden lig med [ 1; 1] (Se grafen for denne begrænsning på figur 9 hvis du er i tvivl.) Sektionen som hører til denne begrænsning kaldes den inverse cosinus: cos 1, eller (mere korrekt) arcus cosinus: arccos. side 18

21 Figur 8: Grafen for begrænsningen af sinus og dens tilhørende sektion, arcsin. Den er således defineret på intervallet Dm(arccos) = [ 1; 1] og har værdimængde Vm(arccos) = [0; π] Definition 6 Funktionen tangens er injektiv hvis man begrænser den til intervallet: ] π 2 ; π 2 [ På dette definitionsinterval er værdimængden lig med ] ; [ (Se grafen for denne begrænsning på figur 10 hvis du er i tvivl.) side 19

22 Figur 9: Grafen for begrænsningen af cosinus og dens tilhørende sektion, arccos. Sektionen som hører til denne begrænsning kaldes den inverse tangens: tan 1, eller (mere korrekt) arcus tangens: arctan. Den er således defineret på intervallet og har værdimængde Dm(arctan) =] ; [ Vm(arctan) =] π 2 ; π 2 [ Bemærkninger Læg godt mærke til hvilke intervaller de forskellige trigonometriske funktioner bliver begrænset til når man definerer deres sektioner (f.eks. ved at prøve at huske graferne i dette afsnit side 20

23 Figur 10: Grafen for begrænsningen af tangens og dens tilhørende sektion, arctan. side 21

24 udenad). Læg især mærke til at arccos(y) giver det eneste tal x i intervallet [0; π] hvor cos x = y. Det betyder, at hvis x er en vinkel i en trekant, så kan man næsten tillade sig at glemme, at der er andre muligheder (alle vinkler i en trekant er jo mellem 0 og π) og simpelt hen lade som om arccos er den inverse funktion til cos. Af denne grund er det smart at bruge cosinusrelationen frem for sinusrelationen, når man skal finde en ukendt vinkel i en trekant. Eftersom arcsin(y) giver det eneste tal x i intervallet [ π; π] 2 2 hvor sin x = y, kan vi ikke umiddelbart udelukke at der også er en løsning mellem π og π (altså en stump vinkel) hvis x er en 2 vinkel i en trekant. Kun hvis trekanten er retvinklet, kan man tillade sig at glemme alle andre løsninger, og lade som om arcsin er den inverse funktion til sin. Eksempel 3 Når man møder en ligning, som f.eks. sin x = a hvor a [ 1; 1], er man velkommen til at tage arcus sinus på begge sider. Men da dette kun er en højreinvers, kan man ikke konkludere at x = arcsin a Man er nødt til at huske (f.eks. ved at kigge på grafen for sinus) at arcsin kun producerer en af de mulige værdier for x, og at en sådan ligning har uendeligt mange løsninger. Hvis ikke man har yderligere oplysninger, der kan hjælpe med at specificere x, er man nødt til at skrive alle muligheder op. Dette kan gøres ret elegant på følgende måde. side 22

25 Lad os som eksempel betragte ligningen: sin(x) = 1 2 En af mulighederne for hvad x kan være findes ved hjælp af arcus sinus, nemlig: ( 1 x 1 = arcsin = 2) π 6 Ved at betragte grafen for sinus kan man se at en af de andre løsninger ligger i: x 2 = π π 6 = 5π 6 Desuden kan det ses at alle andre løsninger fås ved at lægge 2π til eller trække 2π fra en af disse løsninger et helt antal gange. Dermed kan den samlede løsning skrives som: x = π 6 + t 2π x = 5π 6 + t 2π Hvor t Z 5 Løsning af simple ligninger i et nyt lys 5.1 Simple ligninger og inversion af funktioner Som du måske allerede har opdaget i kapitlet om inverse funktioner, så minder den måde man inverterer sammensatte funktioner på rigtig meget om metoden til løsning af simple ligninger: I begge tilfælde har man at gøre med en proces som er sammensat af flere dele der er udført efter hinanden, og man er så interesseret i at vende denne proces om. Og i begge tilfælde foregår det ved at man udfører alle dele baglæns i omvendt rækkefølge. side 23

26 Faktisk er det præcis den samme proces. Hvis man har en ligning med en enkelt ukendt, f.eks x 1 3 = 41 så kan man altid betragte udtrykket på venstre side som en funktion af den ukendte. I vores tilfælde kan ligningen læses som: f(x) = 41 hvor f er funktionen givet ved: f(x) = 1 + 2x 1. 3 Funktionen f er sammensat af flere funktioner, nemlig funktionerne: f 1 (x) = 2x f 2 (x) = x 1 f 3 (x) = x 3 f 4 (x) = x + 1 Man kan således læse ligningen som: f 4 (f 3 (f 2 (f 1 (x)))) = 41 Og hvad er nu mere naturligt end at gøre det sidste som er sket baglæns på begge sider, eller med terminologien fra dette afsnit: tage den inverse funktion f4 1 på begge sider? Dette giver: f 3 (f 2 (f 1 (x))) = f 1 4 (41) Dermed er vi et skridt tættere på at have isoleret x. Bliver vi ved tre gange mere, får vi løsningen, nemlig: x = f 1 1 ( f 1 2 ( ( f 1 3 f 1 4 (41) ))) Dette er præcis vores metode til at løse simple ligninger. Blot skal man passe godt på når en af de ingående funktioner ikke er injektiv. I disse tilfælde må man bruge en passende sektion til at finde en mulig løsning, og så ellers være omhyggelig med at huske de andre mulige løsninger, fuldstændig som i eksemplerne 2 og 3. side 24

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede I dag Hjemmeopgave 1 Næste hjemmeopgave Eventuelt vinduer igen Mapper og filer på USB-stik Vi skal hertil grundet opgave 2 Internet Pause (og det bliver nok

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det

Læs mere

Pointen med Funktioner

Pointen med Funktioner Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Det danske sundhedsvæsen

Det danske sundhedsvæsen Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Årsafslutning i SummaSummarum 4

Årsafslutning i SummaSummarum 4 Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Gennemførelse. Lektionsplan til Let s Speak! Lektion 1-2

Gennemførelse. Lektionsplan til Let s Speak! Lektion 1-2 Gennemførelse Lektionsplan til Let s Speak! Lektion 1-2 Start: Læreren introducerer læringsmålene for undervisningsforløbet og sikrer sig elevernes forståelse af disse måske skal nogle af dem yderligere

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

7 Funktioner. Hayati Balo, AAMS. Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger

7 Funktioner. Hayati Balo, AAMS. Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger 7 Funktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus B-niveau 1 og 2 2. Hans Sloth, Trip s matematiske bog

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Transkribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds..

Transkribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds.. Transkribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds.. Sådan, hvad skal vi overhovedet bruge uddannelse til, og hvad

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf Matematik

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition.

Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition. 1 Årsprøvespørgsmål 1x matematika 011. Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition. Hvert spørgsmål

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 Uge 29: Nørd Vejledning til HippHopp guider Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 HIPPY HippHopp uge_29_guidevejl_nørd.indd 1 06/07/10 10.42 Denne vejledning er et supplement

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

I nogle kirker er der forskellige former for kurser eller møder for forældre til døbte børn, og det kan give inputs til at forstå både dåben og

I nogle kirker er der forskellige former for kurser eller møder for forældre til døbte børn, og det kan give inputs til at forstå både dåben og Indhold Forord 7 At få børn at blive forældre 11 At vælge på barnets vegne 19 Praktiske ting forud for dåben 29 Dåben i kirken 35 At oplære sit barn i kristen tro 67 Forældre forbilleder 95 Til videre

Læs mere

Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014.

Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014. Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014. Anna er 14 år, går på Virupskolen i Hjortshøj, og bor i Hjortshøj. Intervieweren i dette interview er angivet med

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Taxageometri og metriske rum

Taxageometri og metriske rum Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.

Læs mere

Bilag 4: Transskription af interview med Ida

Bilag 4: Transskription af interview med Ida Bilag 4: Transskription af interview med Ida Interviewet indledes med, at der oplyses om, hvad projektet i grove træk handler om, anonymitet, og at Ida til enhver tid kan sige, hvis der er spørgsmål hun

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Victor, Sofia og alle de andre

Victor, Sofia og alle de andre Victor, Sofia og alle de andre Victor betyder vinder, og Sofia betyder vis dom. Begge er egenskaber, som vi alle sammen gerne vil eje. I denne bog er det navnene på to af de børn, vi møder i mange af bogens

Læs mere

Service i rengøring. Service i rengøring. Daglig erhvervsrengøring

Service i rengøring. Service i rengøring. Daglig erhvervsrengøring Service i rengøring Daglig erhvervsrengøring 1 Forord At udføre erhvervsrengøring kræver uddannelse dette undervisningsmateriale er udarbejdet som grundbogsmateriale til kurset Daglig erhvervsrengøring.

Læs mere

En mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB

En mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB En mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB Kan du svare klart på alle 7 spørgsmål i den her bog? Hvis ikke, så begår

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Guds engle -1. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning. 15-20 minutter

Guds engle -1. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning. 15-20 minutter Guds engle -1 Mål: Vi vil give børnene bibelske sandheder omkring engle. Læs derfor også vedlagt fil Guds Engle info igennem, så du er klar til at svare på børnenes spørgsmål. Tekst: Lukas 1, 5-25 (Zakarias

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012 Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt Succesfuld start på dine processer En e-bog om at åbne processer succesfuldt I denne e-bog får du fire øvelser, der kan bruges til at skabe kontakt, fælles forståelser og indblik. Øvelserne kan bruges

Læs mere

Bilag F - Caroline 00.00

Bilag F - Caroline 00.00 Bilag F - Caroline 00.00 Benjamin: Så det første jeg godt kunne tænke mig, det var hvis du kunne fortælle mig om en helt almindelig hverdag hvor arbejde indgår. Caroline: Ja. Jamen det er jo fyldt med

Læs mere

Module 2: Beskrivende Statistik

Module 2: Beskrivende Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Stx Matematik

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

tre gange. Der er ikke noget at sige til, hvis Peter sidder og vrider sig lidt i den dårlige samvittighed.

tre gange. Der er ikke noget at sige til, hvis Peter sidder og vrider sig lidt i den dårlige samvittighed. Gudstjeneste i Skævinge & Lille Lyngby Kirke den 3. april 2016 Kirkedag: 1.s.e.påske/B Tekst: Joh 21,15-19 Salmer: SK: 749 * 447 * 449 * 212 * 249 * 199,5 * 218 LL: 403 * 7 * 249 * 199,5 * 218 Der står

Læs mere

Bilag 5. Newell s projektøkologi. Opgaveafhængighed: Firstline 1: Firstline 2: Mellemleder 1:

Bilag 5. Newell s projektøkologi. Opgaveafhængighed: Firstline 1: Firstline 2: Mellemleder 1: Bilag 5 Newell s projektøkologi Opgaveafhængighed: Jeg tror det bunder lidt i, at de ikke prioriterer det højt, de prioriterer ikke, at de synes det er vigtigt og jeg tror også, at det skyldes at de ser

Læs mere