054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige vægte: Opgave 1 3% Opgave 2 4% Opgave 3 4% Opgave 4 3% Opgave 5 3% Opgave 6 3% I alt 20% Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. Undervisningsministeriet
054966 22/12/05 7:45 Side 2 Side 1 af 2 sider Opgave 1 Bestem en ligning for den rette linje der går gennem punktet (5 ; 4) og har hældningskoefficienten a = 3 Opgave 2 Beregn arealet af det parallelogram der udspændes af vektorerne a y = ( 8 1) og by = ( 4 6) Opgave 3 En stamfunktion F er givet ved F(x) = (2x + e x )dx og F(0) = 7 Beregn F(x). Opgave 4 Bestem en ligning for cirklen der er vist på figuren. 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 Opgave 5 Beregn afstanden mellem punkterne P(7 ; 9) og Q(14 ; 12)
054966 22/12/05 7:45 Side 3 Side 2 af 2 sider Opgave 6 I en tipsklub med 25 medlemmer har hvert medlem i en bestemt uge udfyldt én tips-række. Fordelingen af rigtige tegn på rækkerne er her vist i et pindediagram. hyppighed y 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 antal rigtige Bestem typetal og median. x
054966 22/12/05 7:45 Side 4 NORDISK MILJØMÆRKNING 541 300
054966 22/12/05 7:45 Side 5 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-M Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven med hjælpemidler Prøvens varighed: 4 timer. Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige vægte: Opgave 1 15% Opgave 2 15% Opgave 3 15% Opgave 4 10% Opgave 5 15% Opgave 6 10% I alt 80% Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. Af opgaverne 6A og 6B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 6A. Undervisningsministeriet
054966 22/12/05 7:45 Side 6
054966 22/12/05 7:45 Side 7 Side 1 af 4 sider Opgave 1 En funktion f er givet ved f(x) = x 3 3x + 3 a) Bestem monotoniforhold og ekstrema for f. b) Gør rede for at f kun har ét nulpunkt. c) Beregn dette nulpunkt ved hjælp af Newton-Raphsons algoritme. Det skal tydeligt fremgå, hvorledes algoritmen anvendes. Opgave 2 I 1873 blev højden på 346 irske mænd målt. Resultatet er vist i nedenstående tabel. Målene er i engelske tommer. Højde ]59 ; 63] ]63 ; 67] ]67 ; 71] ]71 ; 75] Antal 18 173 136 19 a) Beregn middeltal og spredning. b) Bestem kvartilsættet. Opgave 3 To rette linjer l og m er givet ved l : 2x + y 6 = 0 m : 4x + 3y 3 = 0 a) Bestem en retningsvektor for hver af de to linjer. b) Beregn størrelsen af den spidse vinkel mellem de to linjer. c) Beregn koordinaterne til de punkter på linjen l, som ligger i afstanden 5 fra linjen m.
054966 22/12/05 7:45 Side 8 Side 2 af 4 sider Opgave 4 Et område er afgrænset af 1. aksen, linjerne x = 2 og x = 2 samt grafen for funktionen f, hvor 1, 2 x 1 f(x) =0 0,5 sin(0,5π x)+1,5, 1 x 2 3 2 1-3 -2-1 0 1 2 3 a) Beregn arealet af det nævnte område. b) Gør rede for at grafen for f har vendetangent i punktet (0 ; 1,5) Opgave 5 En trekant ABC er givet som vist på figuren. B (10 ; 10) l A (0 ; 0) C (12 ; 0) a) Beregn størrelsen af trekantens vinkler. b) Beregn en ligning for midtnormalen l til linjestykket BC. c) Beregn en ligning for trekant ABC s omskrevne cirkel.
054966 22/12/05 7:45 Side 9 Side 3 af 4 sider Af opgaverne 6A og 6B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 6A. Opgave 6A Et firma fremstiller et produkt. Til fremstillingen kræves der hver måned x enheder af råstoffet A og y enheder af råstoffet B. Det anvendte antal enheder af de to råstoffer er underlagt følgende betingelser: x 2 y 2 y 2x + 12 y 2 3 x + 8 Polygonområdet, der fremkommer under de nævnte betingelser, er vist som det grå område på figuren. For tiden er enhedsomkostningerne 10 kr. for hvert af de to råstoffer. 10 5 y Firmaet ønsker, at de samlede omkostninger i forbindelse med indkøb af de to råstoffer skal være mindst mulig. 5 10 x a) Gør rede for at firmaet hver måned bør indkøbe 3 enheder af A og 6 enheder af B. Enhedsomkostningerne for B ligger fast på 10 kr., hvorimod de tilsvarende enhedsomkostninger for A kan variere. b) Beregn i hvilket interval enhedsomkostningerne for A skal ligge, hvis firmaet ikke skal ændre på den i spørgsmål a) nævnte sammensætning af A og B.
054966 22/12/05 7:45 Side 10 Side 4 af 4 sider Opgave 6B a) Beregn den eksakte værdi af 1 e2x ln(x 2 )dx b) Grafen for funktionen f er vist på figuren til højre. Følgende punkter ligger på grafen for f : x 1 2 3 4 5 y 10 8 6 4 2 f f(x) 5,0 7,2 6,9 6,2 7,5 0 0 1 2 3 4 5 6 x Beregn ved numerisk integration en tilnærmet værdi af det bestemte integral 1 5 f(x)dx
054966 22/12/05 7:45 Side 11
054966 22/12/05 7:45 Side 12 NORDISK MILJØMÆRKNING 541 300