Rentesregning: Lektion A2, Flere rentetilskrivninger, Excel Peter Ove Christensen Forår 2012 1 / 26 Definition Hvilken rentesats giver vores betalingsrække en ønsket værdi? Denne rentesats kaldes for den interne rente Er bl.a. nødvendig at kende i forbindelse med långivning her benævnes den interne rente lånets effektive rente vurdering af investeringsmuligheder - den faktiske forrentning der kan opnåes ved investeringen kaldes investeringens interne rente. Husk at nutidsværdien af en betalingsrække for en given rentesats er givet ved NV = n b t (1 + r) t t=0 4 / 26
Definition Definition Den interne rente i en betalingsrække er den rentesats, der sikrer, at nutidsværdien af betalingrækkens betalinger er lig 0, dvs. n b t (1 + i) t = 0. t=0 Ækvivalent med at løse en n te grads ligningen (gange igennem med (1 + i) n ) b 0 (1 + i) n + b 1 (1 + i) n 1 + b 2 (1 + i) n 2 +... + b n 1 (1 + i) + b n = 0 6 / 26 Definition Løsning af n te grads ligning b 0 (1 + i) n + b 1 (1 + i) n 1 + b 2 (1 + i) n 2 +... + b n 1 (1 + i) + b n = 0 Kan løses analytisk op til 4. grads polynomie. Hvad gør vi for n > 4 1 vi gætter os frem (tager ofte lang tid!) 2 lineær interpolation Læs Appendiks B 3 Newton-Raphson Læs Appendiks C benyttes af regneark, lommeregnere etc. 4 andre numeriske algoritmer Eksempel i Excel. 8 / 26
Mulighed for flere interne renter: Definition Descartes fortegnsregel: For en n te grads ligning gælder det, at der ikke kan være flere positive reelle rødder i ligningen, end der er fortegnsskift i koefficientfølgen. Typiske betalingsrækker: Lån: b 0 > 0, b t < 0 Real investering: b 0 < 0, b t > 0 Der forefindes dog også betalingsrækker, hvor fortegnet på nettoindbetalingerne ikke har nogen regularitet Der kan altså forekomme flere interne renter for en betalingsrække Kan give fortolkningsmæssige problemer! Ikke-heltallige terminer: I anvendelser ses ofte på ikke-heltallige terminer - dvs. t i sumformlen er ikke heltallig Intet problem i numerisk løsning af ligningen Excel eksempel med Statsobligation 9 / 26 Eksempel Du har lånt 100 kr. som et banklån, der løber i et år med kvartårlige rentetilskrivninger. Den nominelle rente er 8% p.a. Hvor meget betaler du i effektiv rente for dette lån? Notation m: delterminer, antal rentetilskrivninger pr. termin q: rentesats pr. deltermin A 0 : oprindeligt beløb A j/m : akkumuleret beløb efter j delterminer (m) r : nominel (pålydende) rente pr. termin r: effektiv rente pr. termin 12 / 26
Sammenhæng mellem q, (m) r og r Effektiv rente pr. termin r = (1 + q) m 1 Nominel rente pr. termin (m) r = q m dermed q = 1 (m) r m Derfor gælder også Der gælder at r = ( 1 + 1 m (m) r ) m 1 r > (m) r for alle m > 1 forskellen bliver større jo flere rentetilskrivninger pr. termin 13 / 26 Effektiv rente versus nominel rente Effektiv rente versus nominel rente 5,14% Effektiv rente pr. termin 5,12% 5,10% 5,08% 5,06% 5,04% 5,02% 5,00% 4,98% 0 5 10 15 20 25 Antal rentetilskrivninger pr. terminer 14 / 26
Kontinuert rentetilskrivning Hvad sker der med (m) r, når der er mange delterminer? 1 + r = [ 1 + 1 m (m) r ] m e ρ, m hvor ρ = (m) r når m. Når m foretages kontinuert rentetilskrivning Kontinuert rentetilskrivning er en approksimation, der ofte giver anledning til pæne formler kommer vi til at gøre meget brug af!! Den nominelle rente ρ kaldes af og til for rentestyrken Sammenhæng mellem effektiv rente og rentestyrke: (1 + r) = e ρ r = e ρ 1 ρ = ln(1 + r) Eksempel: ρ = 10%. Hvad er r? r = e 0,10 1 = 10, 52% Se tabel s. 54 med sammenhænge mellem diskret og kontinuert rentetilskrivning 15 / 26 Brudne terminer Indtil nu er det forudsat at det betragtede tidsinterval bestod af et helt antal (del)terminer Til tider (typisk) har man dog behov for at kende værdien mellem to terminstidspunkter Hvorledes behandles brudne (brøkdele af) terminer rentemæssigt? Der anvendes to forskellige principper: simpel rentetilskrivning sammensat rentetilskrivning Hvilken metode der anvendes afhænger af den valgte rentekonvention Pengemarkedskonventionen: simpel rentetilskrivning Obligationmarkedskonventionen: sammensat rentetilskrivning 16 / 26
Lad w andel af termin før næste rentetilskrivning beregnes som faktisk/faktisk. A 0 oprindeligt beløb Indestående ved næste rentetilskrivning ( (m) ) A w = A 0 1 + w } {{ r } simpel efter yderligere j rentetilskrivninger A w+j/m = A w (1 + q) j = A 0 ( 1 + w (m) r ) (1 + q) j. Renten tilskrives kun i terminstidspunkterne eller ved en opgørelse af kontoen i forbindelse med en lukning. Eksempel i Excel 18 / 26 Det forudsættes at renten tilskrives løbende kontinuert rentetilskrivning Lad w være antal tilbage værende (evt. brudne) terminer For given rentestyrke ρ vil den fremtidige værdi af A 0 efter w terminer være givet ved A w = A 0 e wρ = A 0 exp(wρ) } {{ } sammensat Med effektiv terminsrente r har vi A w = A 0 (1 + r) w Tilsvarende er nutidsværdien givet ved A 0 = e wρ A w henholdsvis A 0 = (1 + r) w A w w beregnes som faktisk/faktisk Eksempel i Excel 20 / 26
Årlig omkostning i procent Ønsker: simpelt mål for de faktiske låneomkostninger Kandidat: Intern (effektiv) rente Problem: Ofte yderligere betalinger end renter og afdrag statsafgifter etableringsomkostninger administrationsgebyr fakturafremsendelsesgebyr månedsgebyr hvad-synes-du-selv gebyr etc. Løsning: Beregn intern rente, hvor der tages højde for allehånde omkostninger, gebyrer og så fremdeles Lad os illustrere vha. nogle eksempler 22 / 26 Eksempler Betragt for nemheds skyld et lån, hvor alle renter og afdrag betales tilbage på et tidspunkt: Om to år. Eksempel 1 Antag r = 10% p.a., A 0 = 100, A 2 = 121. Så er A 0 = A 2 (1 + r) 2 r er intern rente, og = 10% Eksempel 2 Antag r = 10% p.a., A 2 = 121. Så er A 0 = 100. Men også etableringsomkostninger på 10. Modtager provenu 100 10 = 90.? løs 90 = 121(1 + i) 2 dvs. ( ) 1/2 121 i = 1 = 0, 1595018 90 Dermed er = 15,95% 23 / 26
Kreditaftaleloven og Kreditaftaleloven regulerer aftaler om kredit skal sikre et minimum af oplysninger til låntager specielt skal (årlig omkostning i procent) opgives Definition (): Den omkostningssats, der på årsbasis giver samme nutidsværdi af de samlede nuværende eller fremtidige forpligtelser, der følger af låneaftalen. Præcis definition kan ses i bilaget s. 64 Morale: er lånets interne rente opgjort på årsbasis, hvor der tages højde for alle betalinger i låneforholdet. 24 / 26 Vi er nu i stand til at bestemme værdien (eller antal terminer, rentesats) af en kendt betaling på et vilkårligt tidspunkt bestemme værdien mv. af en betalingsrække med kendte betalinger det er særligt nemt, hvis vi har en annuitet håndtere ikke-simple rentetilskrivningsforløb udregne intern rente for en betalingsrække forstå og beregne kendskab til forskellige standardlånstyper 26 / 26