Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig tale kaldet renteformlen ) og forklar hvorledes hver af de indgående størrelser (K n, K 0, r og n) kan beregnes ud fra kendskab til værdierne af de tre øvrige størrelser. 2. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Gør rede for begrebet indekstal med udgangspunkt i eksemplerne på bilaget. Bilag til spørgsmål 2 A) Herunder ses en tabel over den gennemsnitlige løn i industrien i Danmark målt i 1. kvartal i hvert af årene 2000 2005 (kilde: Danmarks Statistik). År 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 B) Herunder ses en indekstabel over prisen for et gennemsnitligt enfamiliehus i Danmark målt i 1. kvartal i hvert af årene 2000 2005 (kilde: Danmarks Statistik). År 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Prisindeks 100 108,0 111,6 114,7 121,6 137,6 Et gennemsnitligt enfamiliehus kostede i 1. kvartal 2005 ca. 1 360 000 kr.
3. Variabelsammenhænge Gør rede for en lineær sammenhæng på formen y = a x + b mellem to variabler x og y. Gør rede for anvendelsen af lineære modeller. Redegør for ligefrem proportionalitet mellem to variabler x og y. 4. Rette linjer og lineære sammenhænge Gør rede for den rette linjes ligning y = a x + b. Kom herunder bl.a. ind på betydningen af tallene a og b. Udled formlen til beregning af hældningskoefficienten ud fra koordinatsættene til to punkter på linjen, og gør rede for hvorledes b derefter kan bestemmes. 5. Vækstmodeller Gør rede for den eksponentielle vækstmodel y = b a x. Udled formlen til bestemmelse af a ud fra to punkter på grafen. Gør rede for anvendelsen af eksponentiel regression (fx ved brug af programmet Graph). Inddrag i dén forbindelse din rapport om eksperimenterne med bl.a. afkøling af vand og opvarmning af en temperaturføler. Redegør for fordoblingskonstant og halveringskonstant. 6. Vækstmodeller Gør rede for den eksponentielle vækstmodel y = b a x. Gør rede for anvendelsen af eksponentiel regression (fx ved brug af programmet Graph). Inddrag i dén forbindelse din rapport om eksperimenterne med bl.a. afkøling af vand og opvarmning af en temperaturføler. Løsning af ligninger med eksponentielle funktioner enten ved beregning eller grafisk (fx ved brug af computerprogrammet Graph). Redegør for fordoblingskonstant og halveringskonstant.
7. Vækstmodeller Gør rede for potens sammenhænge af formen y = b x a mellem to variabler x og y. Gør rede for karakteriseringen af en sådan sammenhæng som en procent procent udvikling (eller en gange gange udvikling ). Forklar anvendelser af potens regression (udført fx ved brug af computerprogrammet Graph). Tag udgangspunkt i eksemplet fra bilaget eller din rapport om potenssammenhænge. Bilag til spørgsmål 7 Tabellen herunder viser sammenhængen mellem middelafstanden x og omløbstiden y for nogle af de måner, der roterer om planeten Jupiter. Det oplyses, at der med god tilnærmelse gælder, at y = b x a. Måne Middelafstand x (mio. km) Omløbstid y (døgn) Io 0,422 1,769 Europa 0,671 3,551 Ganymede 1,070 7,155 Callisto 1,883 16,689
8. Trekanter Gør rede for ensvinklede trekanter. Inddrag din geometrirapport. Gør rede for definitionerne af sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet standardtrekant (hvor hypotenusen er 1). Vis formlerne for sinus og cosinus i en vilkårlig retvinklet trekant (sin(a) = a/c og cos(a) = b/c). Gør rede for anvendelser af disse ved beregninger i retvinklede trekanter. 9. Trekanter Bevis Pythagoras sætning for en retvinklet trekant. Inddrag din geometrirapport for at give et eksempel på en anvendelse heraf. Gør rede for beregninger af sider og vinkler i retvinklede trekanter ved hjælp af sinus, cosinus og tangens. 10. Trekanter Bevis at vinkelsummen i en vilkårlig trekant er 180 o. Gør rede for arealet af en trekant. Gør rede for beregninger af sider og vinkler i retvinklede trekanter. Beregninger i ikke retvinklede trekanter (beviser kræves ikke).
11. Statistik Gøre rede for beskrivelsen af et ikke grupperet observationssæt ved hjælp af diagrammer og deskriptorer (som fx middeltal og kvartilsæt). Du kan tage udgangspunkt i Bilaget eller et andet eksempel. Bilag til spørgsmål 11 I en undersøgelse har man registreret, hvor mange piller af mærket Panodil, der i løbet af en måned blev indtaget blandt en gruppe på 13 hf kursister. Ordnet i stigende rækkefølge er antallene af piller, som hver enkelt hf kursist spiste, som angivet i skemaet herunder. Hfkursist nr.: Antal piller 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 6 10 12 18 18 22 29 31 35 38 44 50 Blandt 13 tilfældigt valgte 9. klasseelever gav en tilsvarende undersøgelse følgende resultat: 9. klasse elev nr.: Antal piller 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 7 10 12 12 13 13 16 20 22 24 29 50
12. Statistik Med udgangspunkt i eksemplet på bilaget skal du gøre rede for beskrivelsen af et grupperet observationssæt ved hjælp af diagrammer og deskriptorer (som fx middeltal og kvartilsæt). Bilag til spørgsmål 12 I en undersøgelse måltes højden af 50 personer. Personhøjde (cm) 150 160 160 170 170 180 180 200 Sum Antal personer 4 14 16 16 50 13. Sandsynlighed og binomialfordeling Gør rede for begrebet sandsynlighed. Hvad er indholdet af multiplikationsprincippet (gangeprincippet)? Giv eksempler på binomialfordelte sandsynligheder. Diskutér udseendet af formlen Sandsynlighed for at opnå r succeser i løbet af n forsøg = K, 1.! Omtal i dén forbindelse binomialkoefficienterne K(n,r) =!!.