Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra som lister: {19,5,7,10,0,6,6,3,7,6,4,14,6,5,12,10,7,5,8,3,2,6,9,5,7,2,15,0,19,8,5,6,8,12,6,21,2,7,10,8,5,15,7,6,5,3,12,8,5,3,9,6} Talmaterialet kaldes list1 eller liste1 af GeoGebra. For at lave en stolpediagram skal man blot vælge kommandoen på følgede måde: DotPlot[list1] Et boksdiagram kan konstrueres vha. følgende kommando: BoxPlot[1, 0.5, list1] 1
Vi ved ikke hvordan boksdiagrammet er forekommet men du finder forklaringen nedenunder hvis du læser videre så du også kan konstruere i hånden. 2 Ugrupperede observationer Ud fra observationssæt kan vi nu konstruere et tabel der viser hvor mange elever der bruger x antal timer om ugen. Antal timer 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 19 21 Antal elever 2 3 4 1 8 9 6 5 2 3 3 1 2 2 1 Vi laver nu en et nyt tabel der viser frekvenser eller hyppigheder som brøk eller procent udover de kumulerede frekvenser som viser som navnet antyder de kumulerede dvs. summerede frekvenser. Vi skal nemlig bruge det nye tabel til at konstruere boksplot. 2
Observation Hyppighed Frekvens Frekvens Kumuleret frekvens 0 2 0.0385 3.85% 3.85% 2 3 0.0577 5.77% 9.62% 3 4 0.0769 7.69% 17.31% 4 1 0.0192 1.92% 19.23% 5 8 0.1538 15.38% 34.61% 6 9 0.1731 17.31% 51.92% 7 6 0.1154 11.54% 63.46% 8 5 0.0962 9.62% 73.08% 9 2 0.0385 3.85% 76.93% 10 3 0.0577 5.77% 82.70% 12 3 0.0577 5.77% 88.47% 14 1 0.0192 1.92% 90.39% 15 2 0.0385 3.85% 94.24% 19 2 0.0385 3.85% 98.09% 21 1 0.0192 1.92% 100% 2.1 Definitioner Disse definitioner giver ikke altid korrekte kvartilsæt! Man er nødt til at bruge GeoGebra eller regne i hånden hvis der ikke mange data(se senere). Medianen: Den mindste observation hvis kumulerede frekvens er 50 % eller derover. Første kvartil (nedre kvartil): Den mindste observation, hvis kumulerede frekvens er 25% eller derover. 3
Tredje kvartil (øvre kvartil): Den mindste observation, hvis kumulerede frekvens er 75 % eller derover. Prøv nu vha. ovenstående kumulerede tabel, finde medianen, første- og tredje kvartil. Kvartilsættet er: (5, 6, 9) Kvartilsættet kan sammen med observationssættets mindste værdi (som her er 0 timer) og sættets største værdi(som her er 21 timer) vises i boksdiagram( Boxplot).Nu ved du hvordan boksdiagram er konstrueret af GeoGebra. Prøv nu om du også kan tegne dig frem til et boksdiagram i hånden. Den vandrette linie går fra observationssætets mindste værdi til den største værdi. Boksen begynder ved 1. kvartil og slutter ved 3. kvartil. Medianen er angivet inde i boksen. Forskellen mellem observationssættets største værdi og mindste værdi kaldes variationsbredden. I vores tilfælde er den 21 0 = 21. Vi opdeler nu observationssættet i køn sådan at vi laver en tabel over piger og drenge hver for sig. Der er 29 piger og 23 drenge i klassen. 4
Piger Observation Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens 2 1 3.45% 3.45% 3 1 3.45% 6.90% 4 1 3.45% 10.35% 5 4 13.79% 24.14% 6 5 17.24% 41.38% 7 3 10.34% 51.72% 8 3 10.34% 62.06% 9 2 6.90% 68.96% 10 2 6.90% 75.86% 12 2 6.90% 82.76% 14 1 3.45% 86.21% 15 1 3.45% 89.66% 19 2 6.90% 96.56% 21 1 3.45% 100% Ud fra tabellen for piger kan vi finde kvartilsættet: 1. kvartil: 25% Medianen: 50% 3. kvartil: 75% Kvartilsættet: (6, 7, 10) 5
Lad os nu se om de er som det skulle være: For at tegne boksdiagram eller boxplot skal vi i GeoGebra indsætte data på følgende måde. {2,3,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10,10,12,12,14,15,19,19,21} Og vælger kommandoen BoxPlot: BoxPlot[1, 0.5, list1] Som ses af tabelen kan vi aflæse startværdien til 2, 1.kvartil til 5.5, medianen til 7, 3.kvartil til 11 og endelig slutværdien til 21. Dvs. kvartilsættet er = (5.5,7,11) Det er jo ikke det samme som vi fik fra tabellen for kumulerede frekvenser! Hvorfor ikke?? 2.2 Definitioner om igen Lad os nu beregne kvartilsættet i hånden: {2,3,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10,10,12,12,14,15,19,19,21} 6
Medianen er den midterste observation, hvis der er et ulige antal observationer og gennemsnittet af de to midterste, hvis der er et lige antal. Medianen deler observationer i to lige store dele. 1. kvartil er medianen af den nederste halvdel af observationer. 3. kvartil er medianen af den øverste halvdel af observationer. Ud fra disse definitioner kan vi konkludere følgende: Medianen = 7 der er ulige antal observationer! 1. kvartil = 5 + 6 2 = 5.5 der er lige antal observationer! 3. kvartil = 10 + 12 2 = 11.5 der er lige antal observationer! Dvs. at definitione i afsnit 2.1 er kun ca. definitioner. de er IKKE forkerte men lidt unøjagtige hvis man skal bruge dem til at skitsere boksdiagrammer. Man kan altid bruge GeoGebra til at finde de rigtige kvartilsæt hvis observationssættet ikke er stort. På tilsvarende måde kan man for drenge konstruere en tabel. 7
Drenge Observation Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens 0 2 8.70% 8.70% 2 2 8.70% 17.40% 3 3 13.04% 30.44% 5 4 17.39% 47.83% 6 4 17.39% 65.22% 7 3 13.04% 78.26% 8 2 8.70% 86.96% 10 1 4.35% 91.31% 12 1 4.35% 95.66% 15 1 4.35% 100% Vi indsætter tallene i geogebra: {0,0,2,2,3,3,3,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,10,12,15} Og vælger kommandoen BoxPlot[1, 0.5, list1] Som ses kan man direkte aflæse kvartilsættet som er: (3, 6, 7). Her giver tabellen også det samme svar. 8
2.3 Spredning I eksemplet 5.2.2. fandt vi ud af at middelværdierne ikke er tilstrækkelige til at konkludere, sammenligne ligesom vi sammenlignede de to klasser og fandt ud af deres middelværdier var ens og konklusionen er så disse klasser er ens! Det er det jo ikke derfor har man brug for begrebet spredning som er er mål for, hvor spredt observationerne ligger i forhold til middelværdien. Spredningne er defineret som følger: σ(x) = Var(X) Var(X) = E(X 2 ) EX) 2 hvor E(X) er middelværdien og E(X 2 )er middelværdien af kvadraterne på alle data i observationssættet. Jo større er spredningen er, jo mere spredt ligger observationerne eller omvendt. For at beregne spredning har vi brug for et andet tabel(se på tabel 5.6 på side 146 i bogen) 9
Antal timer(x i ) Hyppighed Frekvens( f i ) Bidrag til E(X)(x i f i ) Kvadrat(xi 2) Bidrag til E(X 2 )(xi 2 f i) 0 2 0.0385 0 0 0 2 3 0.0577 0.1154 4 02308 3 4 0.0769 0.2307 9 06921 4 1 0.0192 0.0768 16 0.3072 5 8 0.1538 0.769 25 3.845 6 9 0.1731 1.0386 36 6.2316 7 6 0.1154 0.8078 49 5.6546 8 5 0.0962 0.7696 64 6.1568 9 2 0.0385 0.3465 81 3.1185 10 3 0.0577 0.577 100 5.770 12 3 0.0577 0.6924 144 8.3088 14 1 0.0192 0.2688 196 3.7632 15 2 0.0385 0.5775 225 8.6625 19 2 0.0385 0.7315 361 13.8985 21 1 0.0192 0.4032 441 8.4672 E(X) = 7.4048 E(X 2 ) = 75.1068 Herved fås variansen og spredningen til: Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 75.1068 (7.4048) 2 = 20.27573 σ(x) = Var(X) = 20.27573 = 4.5 10
3 Grupperede observationer 3.1 Histogram Vi vil nu gruppere observationssættet fra tidligere på følgende måde og afbilde disse i et histogram. Observationsinterval Intervalhyppighed Intervalfrekvens Intervalfrekvens i pct. Kumuleret intervalfrekvens [0;3[ 9 0.173 17.31% 17.31% [3;6[ 18 0.346 34.62% 51.93% [6;9[ 13 0.250 25% 76.93% [9,12[ 6 0.115 11.54% 88.47% [12;1[ 3 0.058 5.77% 94.24% [15;18[ 0 0.000 0% 94.24% [18;21[ 3 0.058 5.77% 100% For at afbilde et histogram vha. GeoGebra er vi nødt til at lave et nyt tabel hvor vi medtager observationer sammen med intervalhyppighed på følgende måde. Læg mærke til at vi medtager tallet 21 selv om det ikke er med i den sidste interval. Der gør vi for at tegne et histogram som kræver lige antal observationer. 11
observationer Intervalshyppighed 0 9 3 18 6 13 9 16 12 3 15 0 18 3 21 - I Geogebra regneark indføres tabelværdierne og der laves to lister en hver søjle så vi har list1 og list2. Der vælges kommandoen Histogram[list1,list2] og vi får følgende histogram: Middelværdien for et grupperet observationssæt beregnes ved at anvende intervalmidtpunkterne og gange disse med intervalfrekvenserne som det også fremgår nedenstående tabel hvor vi har beregnet middelværdien til at være E(X) = 6.31 12
3.2 Sumkurve Intervalmidtpunkter(m i ) Intervalfrekvens E(X) = m i f i 1 0.173 1 0.173 4 0.346 4 0.346 7 0.250 7 0.250 10 0.115 10 0.115 13 0.058 13 0.058 16 0.000 16 0 19 0.058 19 0.058 6.31 Den kumulerede intervalfrekvens kan afbildes i en sumkurve sammen med obeservation Observationsioner Kumuleret intervalfrekvens 0 0.0% 3 17.31% 6 51.93% 9 76.93% 12 88.47% 15 94.24% 18 94.24% 21 100% Der indtastes de to søjler i tabellen i Geogebra og oprettes en liste af punkter for begge kolonner. Kommandoen PolyLine[list1] bruges til at skitsere sumkurve. 13
Median, kvartiler og fraktiler kan bestemmes ved aflæsning på sumkurven. På figuren herunder kan man se, hvordan. Kvartilsættet er = (3,68,5.84,8.77) Fraktiler aflæses på tilsvarende måde. Varians og spredning beregnes på samme måde som for et ugrupperet observationssæt. Observationsinterval Intervalmidtpunkt(m i ) Intervalfrekvens( f i ) Bidrag til E(X) m i f i Kvadrat m 2 i Bidrag til E(x 2 ) m 2 i f i [0-3[ 1 0.173 0.173 4 0.173 [3-6[ 4 0.346 0.346 25 5.536 [6-9[ 7 0.250 0.250 64 12.25 [9-12[ 10 0.115 0.115 212 11.50 [12-15[ 13 0.058 0.058 196 9.80 [15-18[ 16 0.000 0.0 289 0.0 [18-21[ 19 0.058 0.058 400 20.93 E(X) = 6.31 E(X 2 ) = 60.19 Og vi får variansen og spredningen:var(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = 60.19 (6.31) 2 = 20.37 14
σ(x) = Var(X) = 20.37 = 4.51 4 Løsning af øvelser Øvelse 5.2.6 Bestem ud fra tabel 5.3 10 % -fraktilen, 60 %-fraktilen og 90 %-fraktilen. Bestem derefter de samme fraktiler i tabel 5.4 og 5.5 Løsning: Fraktil betyder brøkdel (se side 143) og angiver det mindste antal timer, som bruges af mindst 10%, 60% eller 90% af eleverne. I tabel 5.3 på side 140, kan man se søjlen med kumuleretr frekvens og konstatere at den første kumulerede frekvens, der er 10% eller derover er 2 timer. Altså ifølge tabellen: 10%-fraktilen er 2 60%-fraktilen er 7 90%-fraktilen er 14 I tabel 5.4: 10%-fraktilen er 4 60%-fraktilen er 8 90%-fraktilen er 15 I tabel 5.5: 15
10%-fraktilen er 2 60%-fraktilen er 6 90%-fraktilen er 10 Øvelse 5.2.7 Et observationssæt har mindsteværdien 10 og størsteværdien 22. Kvartilsættet er (12, 14, 17). tegn blokdiagrammet og angiv variationsbredden. Løsning: Variationsbredden = 22-10 =12 Øvelse 5.2.8 Bestem kvartilsættet og beregn middelværdien for følgende observationssæt. Løsning: Observation 10 20 30 40 50 Frekvens 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 16
Vi starter med at lave en tabel over de nødvendige: x i f i f i (%) Kum. frekvens x i f i xi 2 xi 2 f i 10 0.2 20 20 2 100 200 20 0.1 10 30 2 400 40 30 0.3 30 60 9 900 270 40 0.3 30 90 12 1600 480 50 0.1 10 100 5 2500 250 1 100% E(X) = 30 E(X 2 ) = 1240 Kvartilsættet aflæses direkte fra tabellen: 1. kvartil = 20 Medianen = 30 3.kvartil = 40 Middelværdien beregnes: Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 1240 30 2 = 340 σ(x) = 340 = 18.44 Øvelse 5.3.1 Her ser du et grupperet observationssæt. Interval 62-63 64-65 66-67 68-69 70-71 72-73 74-75 Antal 10 13 20 11 13 8 5 17
a) Tegn et histogram for observationssættet b) Tegn den tilhørende sumkurve c) Bestem kvartilsættet d) Angiv det interval hvori de 30% største observationer ligger. Løsning: Vi starter med at konstruere den nødvendige tabel over observationssæt antal = 80 i alt Obs. interval Hyppighed Frekvens( f i ) Kumuleret frekvens [62-64[ 62,5 10 12.50 0 [64-66[ 64,5 13 16.25 12.50 [66-68[ 66,5 20 25.00 28.75 [68-70[ 68,5 11 13.75 53.75 [70-72[ 70,5 13 16.25 67.50 [72-74[ 72,5 8 10.00 83.75 [74-76[ 74,5 5 6.25 93.75 76,5-100 a) For at tegne et histogram skal vi bruge interval midtpunkter og hyppighedskolonnen i tabellen ovenover og i GeoGebra regneark oprettes to lister en til hver kolonne. Man kan også indtaste listerne direkte på kommandolijen i GeoGebra på følgende måde: {62.5, 64.5, 66.5, 68.5, 70.5, 72.5, 74.5, 76.5} {10,13,20,11,13,8,5} 18
GeoGebra døber selv den første til list1 og den anden til list2. man skal blot bruge kommandoen: Histogram[list1,list2] b) Sum kurven tegnes ved at bruge intervalmidtpunkter og kumulerede frekvenser ved at kombinere dem liste af punkter i geogebra. Vi skal altså bruge kun en liste af punkter i stedet for to da kommandoen PolyLine insisterer på at få kun en kombineret liste. A B 62.5 0 64.5 12.5 66.5 28.75 68.5 53.75 70.5 67.5 72.5 83.75 74.5 93.75 76.5 100 19
Vi får GeoGebra til at lave en liste af punkter som automatisk fik tildelt navnet list1 som vi skal bruge i forbindelse med kommandoen PolyLine. Polyline[list1] b og c) Sumkurven og kvartilsættet d) Intervallet hvori 30 % største observationer ligger er [68-70[ Øvelse 5.3.2 Ud fra histogrammet for et grupperet observationssæt skal følgende beregnes a) Beregn middelværdien b) Tegn sumkurven c) Bestem kvartilsættet d) Beregn spredningen Løsning: Vi starter med at lave en grupperet tabel over over observationer der er tilgængelige fra histogrammet for et grupperet observationssæt. 20
Intervaller m i Antal Antal(%) Kum. frekvens(%) f i m i f i m 2 i f i [10-20[ 14.5 5 10 0 0.1 1.45 21.03 [20-30[ 24.5 15 30 10 0.3 7.35 180.08 [30-40[ 34.5 9 18 40 0.18 6.21 214.24 [40-50[ 44.5 15 30 58 0.3 13.35 594.76 [50-60[ 54.5 6 12 88 0.12 6.54 356.43 50 100 E(X) = 34.90 E(X 2 ) = 1366.54 a) Middelverdien: Kan ses direkte i tabellen E(X) = 34.90 b) Sumkurven tegnes vha. to kolonner nemlig intervalmidtpunkter og kumulerede frekvenser som er markerede i tabellen ovenover. Vi skal blot lave liste af punkter som en kpombination af disse to søjler og bruge kommandoen PolyLine[list1] d) Spredningen beregnes ud fra formlen: Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 1366.54 34.90 2 = 148.53 σ(x) = Var(X) = 148.53 = 12.19 21
Øvelse 5.3.3 Ud fra en sumkurve som aflæses a) Angiv kvartilsættet b) Beregn middelværdien c) Tegn histogrammet Løsning: Kvartilsættet kan direkte aflæses fra kurven: a) Kvartilsættet er ca. (27,30,35) b) For at finde middelværdien har vi brug for at lave en tabel: Intervaller frekvens (%) frekvenser( f i ) Int. midtpunkter(m i ) E(X) = m i f i [22-24[ 22,5 5 0.05 22.5 1.125 [24-26[ 24,5 10 0.10 24.5 2.45 [26-28[ 26,5 20 0.20 26.5 5.30 [28-30[ 28,5 10 0.10 28.5 2.85 [30-32 30,5 20 0.20 30.5 6.10 [32-34[ 32,5 5 0.05 32.5 1.625 [34-36[ 34,5 15 0.15 34.5 5.175 [36-38[ 36,5 10 0.10 36.5 3.65 38,5 E(X) = 28.27 Middelværdien kan ses af tabellen = 28.27 c) Histogrammet tegnes vha de to røde søjler i tabellen: 22
23