VARME OG STOFTRANSPORT Suppleringsopgaver

INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS VARME OG STOFTRANSPORT Suppleringsopgaver Ingeniørhøjskolen i Århus Januar 2009 Udgave: 01

Suppleringsopgaver Side 2 af 18 Indholdsfortegnelse Suppleringsopgave 1... 3 Suppleringsopgave 2... 4 Suppleringsopgave 3... 5 Suppleringsopgave 4... 7 Suppleringsopgave 5... 8 Suppleringsopgave 6... 9 Suppleringsopgave 7... 10 Suppleringsopgave 8... 11 Suppleringsopgave 9... 12 Suppleringsopgave 10... 13 Suppleringsopgave 11... 14 Suppleringsopgave 12... 16

Suppleringsopgaver Side 3 af 18 Suppleringsopgave 1 Programmering af 2D stationær varmeledning i MATLAB Formålet med denne opgave er at lære at programmere i MATLAB. Du skal tage udgangspunkt problem 3-52 i Heat Transfer, der er et 2D stationært tilfælde af varmeledning, se figuren nedenfor og læs problem 3-52 inden du går i gang. 1. Opstil ligningerne for hver kontrolvolumen. Ligningerne skal være en funktion af følgende: varmeledningsevnen k, netafstandene x og y, omgivelsestemperaturen T, overfladetemperaturen To samt det konvektive overgangstal h. Disse parametre skal således kunne ændres i MATLAB editoren eller ved inddatering i Comand Window. 2. Lav en koefficientmatrice alle koefficienter skal være beregnet i programmet. 3. Lav en belastningsvektor alle koefficienter skal være beregnet i programmet. 4. Lav en rutine, der kan plotte resultaterne ud.

Suppleringsopgaver Side 4 af 18 Suppleringsopgave 2 Programmering af Gauss-Seidel iteration i MATLAB Formålet med denne opgave er at lære at programmere i MATLAB. Du skal lave en simpel løkke, der styrer en Gauss-elimination: Du kan overveje følgende funktioner if-end while-end, switch-case, for-end Der haves følgende ligningssystem T 0,4T 0,2 1 2 T T 1,0 2 1 1. Lav et MATLAB-program der løser de to ligninger ved Gauss elimination. Beregningen tænkes at være konvergeret, når lighedstegnene stemmer med en margin på 0,0001. 2. Programmet skal udskrive følgende: a. T 1 og T 2, når resultatet er konvergeret. b. Krævet og opnået fejlmargin på de to ligninger. c. Antal af iterationer.

Suppleringsopgaver Side 5 af 18 Suppleringsopgave 3 Dannelse af knudepunktsformer til transient, eksplicit, 2D varmeledning Formålet med denne opgave er at udledningen af beregningsformler for transient, eksplicit, 2D varmeledning. Da du kan komme ud for andre tilfælde end vist i lærebogen, er det en god kompetence at kunne udlede formlerne selv ud en varmebalance for knudens kontrolvolumen. 1. Udled de eksplicitte knudepunktsformler i Heat Transfer tabel 4-2. Du skal i opgaven forstille dig at k ikke er ens i x- og y-retningen, at kontrolvolumenets skilleflade ikke ligger i cellecenteret, samt at x ikke er identisk med y. x y Du kan lade dig inspirere, af følgende udledning for tilfældet med en intern knude, se nedenfor. Udled selv de 4 efterfølgende tilfælde i tabel 4-2.

Suppleringsopgaver Side 6 af 18 q q x y T cp x y T T k x y T cp x y k x y k T T T T T T T T p p p p p p p p m1,n m,n m,n m1,n m,n1 m,n m,n m,n1 x ky p1 p x x y y Tm,n Tm,n cp x y T k T p1 x p m,n m1,n cp x x T k T T 1 2 k 2 k T y p p p x y p m 1,n m,n 1 m,n 1 m,n cp yy cp x x cp yy p1 p p p p Tm,n x Tm 1,n Tm 1,n y Tm,n 1 Tm,n 1 1 2x 2 y T x x yy x x yy T Fo T T Fo T T 12Fo 2Fo T p1 p p p p p m,n x m 1,n m 1,n y m,n 1 m,n 1 x y m,n Skal være større end 0 p m,n 2. Sæt nu k til at være ens i begge retninger, antag at kontrolvolumenets skilleflade ligger i grid-centeret, samt at x er identisk med y. Sammenlign med tabel 4-2. lad dig inspirere af følgende for et internt knudepunkt: Når : k k x x y y x y x y FoFo x Fo y T Fo T T T T 14Fo T p1 p p p p p m,n m 1,n m 1,n m,n 1 m,n 1 m,n Skal være større end 0

Suppleringsopgaver Side 7 af 18 Suppleringsopgave 4 Berøringstallet Formålet med denne at få forståelse for, og anvendeligheden af berøringstallet. 1. Beregn den temperatur hånden føler ved at berøre følgende materialer ved den viste overfladetemperatur: Materiale [W/(m ºC )] [kg/m 3 ] C p [kj/(kg ºC )] T [ºC] Jernrør 50 7900 0,48-5 Trægulv 0,12 600 2,1 20 Betongulv 1,7 2300 0,9 20 Mineraluldsisolering 0,05 200 0,9 100 For huden kan regnes med følgende data: =0,96 W/(mºC) C p = 3,35 103 kj/(m 3 ºC) Overfladetemperatur 30ºC Hjælp: I berøringsfladen mellem menneskehuden og emnet indstiller der sig øjeblikkeligt en fælles temperatur (skillefladetemperaturen). Det er denne temperatur, som hånden føler. Denne temperatur findes ved at antage, at temperaturfeltet væk fra skillefladen beskrives som et halvuendeligt legeme både for hånden og for legemet. 2. Hvis en bar fod har en overfladetemperatur på 36,4 ºC, og personen oplever at være i god komfort ved en skillefladtemperatur mellem 32,0 ºC og 33,5 ºC, hvad skal gulvet temperatur så være for de nedenstående viste gulvmaterialer. Materiale b [kj/(m 2 ºCs ½ )] Hud 1,12 Træ 0,60 Kork 0,29 Linoleum 0,69 Teglfliser 1,00 Beton 1,85 Stål 14,10

Suppleringsopgaver Side 8 af 18 Suppleringsopgave 5 Kirkeformlen Formålet med denne at få forståelse for, og anvendeligheden af Kirkeformlen. Et beskyttelsesrum er lavet af beton og er placeret helt under jord. I ubenyttet tilstand er indelufttemperaturen lig den omkringliggende jords temperatur = 10 ºC. Der findes ikke noget varmeanlæg. 1. Hvor hurtigt vil rumtemperaturen stige til 15ºC. Optegn et indsvingningsforløb med lufttemperaturen og overfladetemperaturen som funktion af tiden. Der kan regnes med følgende data: I brugstilstanden er der 100 personer i beskyttelsesrummet. Hver person afgiver i middel 150 W Brug af el afgiver i middel 1000 W Friskluftventilationen bevirker et varmetab på 30% af den tilførte varme. Beskyttelsesrummets indvendige overfladeareal er 500 m2. Den omkringliggende jord er følgende termiske data: =1,7 W/(m ºC ) = 2300 kg/m 3 C p = 0,9 kj/(kg ºC ) 2. Kan betingelserne i spørgsmål 1 sikre et acceptabelt indeklima under et længere ophold i beskyttelsesrummet. 3. Optegn i grafen fra spørgsmål 1 samme indsvingningsforløb ved anvendelse at et tidskonstantelement, hvor kun de 10 inderste cm af betonkonstruktionerne regnes med i rummets varmekapacitet.

Suppleringsopgaver Side 9 af 18 Suppleringsopgave 6 Bestemmelse af indtrængningsdybde ved periodestationære temperatursvingninger Formålet med denne opgave er at få forståelse for, at den varmeakkumulerende masse i en konstruktion er afhængig af, hvilken termisk påvirkning den udsættes for. Der findes en række forskellige termiske modeller til beregnings af dynamiske forhold i en bygning. Et kritisk valg er, hvor meget af konstruktionernes varmekapacitet, der skal medregnes. På baggrund af at lufttemperaturen i et rum svinger som en sinus funktion ønskes undersøgt, hvor meget det måtte være rimeligt at medregne. 1. Antages indtrængningsdybden defineret som den tykkelse inde i konstruktionen, hvor temperatursvingningerne udgør 1 % af svingningerne på væggens overflade, ønskes denne tykkelse beregnet for materialerne i nedenstående tabel. Der kan regnes med en svingningsperiode på 24 timer. Materiale [W/(m ºC )] [kg/m 3 ] C p [kj/(kg ºC )] Gips 1,3 970 1,1 Træ 0,12 600 2,1 Beton 1,7 2300 0,9 Tegl 0,46 1600 0,84 2. Hvordan er indtrængningstykkelsen, hvis svingningsperioden ændres til 2 timer (forestil dig solen giver denne sinus påvirkning i et rum). 3. Optegn nu en graf med indtrængningsdybden som funktion af svingningsperioden. Alle materialer vises i samme graf.

Suppleringsopgaver Side 10 af 18 Suppleringsopgave 7 Analytisk undersøgelse af det halvuendelige legeme Formålet med denne opgave er at finde ud af hvor lang tid man kan tillade sig at betragte en konstruktion med en kendt tykkelse som et halvuendeligt legeme, når overfladetemperaturen påføres et momentant spring. En konstruktion er meget tyk (halvuendelig) og befinder sig under stationære, isotermiske forhold ved initialtemperaturen T i. Konstruktionsoverfladen påføres nu et momentant temperaturspring, således at overfladetemperaturen øjeblikkeligt ændres til en ny temperatur T, der herefter ikke ændrer sig med tiden. Der er altså et momentant spring i o overfladetemperaturen på To Ti. 1. Indtrængningsdybde defineres i denne opgave som den afstand fra overfladen, hvor temperaturen netop er ændret 1 % af overfladetemperaturens ændring. Det skal undersøges, hvor lang tid der går, før denne ændring er indtrådt 0,1 m inde i følgende materialer. Optegn evt. en graf. Materiale k [W/(m ºC )] [kg/m 3 ] C p [kj/(kg ºC )] Gips 1,3 970 1,1 Træ 0,12 600 2,1 Beton 1,7 2300 0,9 Tegl 0,46 1600 0,84 2. I en praktisk situation, hvor lang tid kan man så betragte en beton væg som halvuendelig? 3. Hvilken materialeparameter er den betydende parameter?

Suppleringsopgaver Side 11 af 18 Suppleringsopgave 8 1D transient varmeledning i et regneark Formålet med denne opgave er At lære at løse 1D varmeledning i et regneark. At eftervise det analytiske formler for periodestationære svingninger på en konstruktion ved anvendelse af numeriske metoder. Konstruktionen er 48 cm tyk er af beton. Materialekonstanter ses nedenfor. Materiale k [W/(m ºC )] [kg/m 3 ] Cp [kj/(kg ºC )] Beton 1,7 2300 0,9 Startbetingelser: Tid tiden = 0 sek. er der isotermiske tilstande ved 10 ºC. Randbetingelser: Den ene overflade (x = 48 cm) har under hele beregningsperioden en temperatur på 10ºC. Den anden overfladetemperatur varierer som vist nedenfor. 2 T 10 C 5 Csin P Her er P svingningsperioden, og amplituden på 5 ºC kan du vælge at være variabel 1. Lav et regneark, der grafisk præsenterer temperaturvariationen som funktion af tid og sted. 2. Lav et regneark (andet faneblad i samme regneark), der grafisk præsenterer effektvariationen som funktion af tid og sted. 3. Lav et regneark (andet faneblad i samme regneark), der grafisk præsenterer varmeakkumuleringen i hele konstruktionen som funktion af tiden.

Suppleringsopgaver Side 12 af 18 Suppleringsopgave 9 1D transient varmeledning i MATLAB Formålet med denne opgave er At lære at programmere (i MATLAB). At lære at løse 1D varmeledning i MATLAB. Konstruktionen er 48 cm tyk er af beton. Materialekonstanter ses nedenfor. Materiale k [W/(m ºC )] [kg/m 3 ] C p [kj/(kg ºC )] Beton 1,7 2300 0,9 Startbetingelser: Tid tiden = 0 sek er der isotermiske tilstande ved 10ºC. Randbetingelser: Den ene overflade (x = 48 cm) har under hele beregningsperioden en temperatur på 10ºC. Den anden overfladetemperatur varierer som vist nedenfor. 2 T Tstartbetingelse T sin P Her er P svingningsperioden, og amplituden på 5ºC kan du vælge at være variabel 1. Lav et MATLAB program, der grafisk præsenterer temperaturvariationen som funktion af tid og sted. Løsningsformen skal være implicit. 2. På baggrund af løsningen i spørgsmål 1 ønskes en tilsvarende grafisk præsentation af effektstrømmene, som funktion af tid og sted. 3. På baggrund af løsningen i spørgsmål 2 ønskes en grafisk præsentation af den samlede varmeakkumulering i konstruktionen som funktion af tiden.

Suppleringsopgaver Side 13 af 18 Suppleringsopgave 10 Stationær 1D dampdiffusion i en væg Formålet med denne opgave er at indøve/repetere de grundlæggende beregningsmetoder for stationær dampdiffusion i en konstruktion. Konstruktionen er opbygget som vist i nedenstående skema sammen med randbetingelser. Termiske inddata Hygroskopiske inddata Materiale s [m] [W/(m 2 C)] R [m 2 C/W] T [C] p [kg/(smpa)] Z [kg/(sm 2 Pa)] RF [%] Ude 0,0 90 Udv. Overgang 0,04 0 Tagdækning 0,010 0,200 4000 Mineraluld 0,185 0,037 0,067 3 Hygrodiode 0,000 1,000 100 Beton 0,100 1,950 0,002 50 Indv. Overgang 0,10 0 Inde 21 50 På baggrund af viste oplysninger ønskes der ved anvendelse af Fouirers lov og Ficks lov undersøgt følgende: 1. Dannes der kondens i konstruktionen? 2. Lav en graf, der viser fordelingen af temperatur, mættet damptryk og damptryk gennem konstruktionen. 3. Lav en graf, der viser den relative fugtigheds fordelingen gennem konstruktionen.

Suppleringsopgaver Side 14 af 18 Suppleringsopgave 11 Diskretisering af bevarelsesligninger for Fouriers, Fick s og Darcy s lov Formålet med denne opgave er at indse analogien mellem de 3 transportligninger, der indgår i forbindelse med fugttransport i porøse faststoffer: T Fouriers lov om varmeledningsligning q k x Pv Fick s lov om dampdiffusion gv p x Ph Darcy s lov om kapillar transport gw K x Symbolforklaring fremgår af lærebogsmateriale. 1. I lighed med udledningen af den diskretiserede balanceligning i suppleringsopgave 3 for ét internt knudepunkt, ønskes tilsvarende ligninger udledt for bevarelse af entalpi, vanddamp og vand (1D): q x H gv x uv g x w u w 2. Opskriv et formeludtryk for entalpien H for vand og påtegn H som funktion af temperaturen i en graf fra -12ºC til 60ºC. 3. Gentag spørgsmål 2 for fugtig luft mellem -12ºC og 60 ºC og et vandindhold i luften x mellem 0 g/kg og 10 g/kg.

Suppleringsopgaver Side 15 af 18 4. Forklar med ord, hvordan hysterese foregår i en realistisk dynamisk fugtpåvirket konstruktion :

H [J/kg] Varme og stoftransport Suppleringsopgaver Side 16 af 18 Suppleringsopgave 12 Regnearksløsning af 1D eksplicit varmeledning i PCM-konstruktion Formålet med denne opgave er få forståelse for PCMs termiske indflydelse på varmestrømmene og varmeakkumuleringen i en konstruktion. Konstruktionen, der skal regnes på, er principiel identisk med den, du blev præsenteret for i suppleringsopgave 8. Du skal i denne opgave vælge samme netafstand og samme tidsskridt etc.: brug derfor din opgaveløsning fra suppleringsopgave 8 og tag udgangspunkt i denne - men du skal ændre væggens materialekonstanter til Micronal Smartboard fra BASF, der har følgende stofkonstanter. k =0,18 W/(mºC) 767 kg/m 3 Tilstandskurven (entalpien) for Micronal Smartboard varierer med temperaturen, som vist nedenfor (blå kurve er målt af BASF, den røde er estimeret ved n hyperbolsk funktion). Smeltekurve for Micronal Smartboard 80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 Estimeret Målt 20.000 10.000 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 T [C] Undertiden modelleres entalpien med en variabel varmefylde, der kan beskrives som:

Suppleringsopgaver Side 17 af 18 dh T J semlte dt p kg C 2 cosh f T 22 C C semlte C T 1380 H 16462 f 1 J kg H (bestemmer højden af tilstandskurven) (bestemmer bredden af tilstandskurven) Bemærk: f har intet at gøre med, om der er tale om en eksplicit eller en implicit løsning. Nedenfor er vist en reel smeltekurve og den kurve, der skal anvendes i denne opgave, hvor H smelte = 25 J/kg og f=0,5. Årsagen til, at der i denne opgave skal bruges så lille smeltevarme og en lidt bredere kurve i opgaven, er, at Excel ikke numerisk kan løse problemet, hvis gradienten bliver for stor i et kodet program, kunne der foretages en under relaxering). Du skal i opgaven ikke regne med hysterese mellem smeltekurven og størkningkurven, men kun anvende den viste smeltekurve (ovenfor til højre). Med denne PCM-beskrivelse skal du: 1. Opstil en bevarelsesligning på differentiel form og diskretisér den på eksplicit vis. 2. Foretag følgende ændring for at skabe stabilitet i regnearket p1 p1 p1 H C T C T m p1 m p1 p1 p,t m m Tm 1 Tm 1 p, 2

Suppleringsopgaver Side 18 af 18 3. Foretag en temperaturberegning i et regneark a. Excel har normalt ikke en god nok iterations procedure til at kunne løse ligninger, hvor gradienterne er meget store. En Hsemlte = 16462 J/(kgºC) vil Excel ikke kunne klare. I denne opgave skal du som derfor (som tidligere nævnt) ændre Hsemlte til Hsemlte = 25 J/kg. Du kan evt. lade Hsemlte (og f) være variable, så du kan prøve at se, hvor stor en smeltevarme du kan gå op på men der vil sikkert være langt op til 16462 J/(kg). Alternativt kan du sætte H semlte = 0 J/kg og f = 0 herved har du en konstruktion uden PCM. Den faseskiftende løsning kan i praksis laves ved en kodning i et programmeringssprog f.eks. MATLAB. b. x = 0,02 m c. t = 146 s d. Tidsfunktionen for den ene overfladetemperatur er 2 T 19,8 C 5,0 Csin t P e. Den anden overfladetemperatur er konstant 19,8ºC f. Startbetingelserne er 19,8 ºC 4. Foretag en effektberegning i et regneark. 5. Foretag en beregning af den akkumulerede energi. 6. På baggrund af grafer, der viser temperaturer, varmestrømme og varmeakkumulering ønskes kommenteret, hvilken virkning PCM har i forhold til en konstruktion uden PCM (smeltevarmen H ændres fra 25 J/kg til 0 J/kg). semlte