Ikke-lineære funktioner

I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist lineære funktioner, men fokus er på sammenhænge, der ikke kan beskrives med lineære funktioner. Eksempler fra hverdagen eller omverdenen er udgangspunktet for elevernes arbejde med omvendt proportionalitet, andengradsfunktioner og eksponentiel vækst. Det kræver modelleringskompetence at kunne oversætte kapitlets praktiske problemstillinger til funktioner, der kan beskrive de konkrete sammenhænge og til at kunne se, hvad de matematiske beskrivelser og løsninger betyder for de praktiske problemstillinger. Som i Kolorit 7 matematik grundbog og Kolorit 8 matematik grundbog er det gennemgående for arbejdet med de forskellige funktioner, at eleverne arbejder med både tabeller, funktionsforskrifter, grafer og sproglige beskrivelser og sammenhængen imellem dem repræsentationskompetencen er således central. Eleverne arbejder med symbolbehandlingskompetencen gennem det meste af kapitlet, idet de anvender symboler i den algebraiske repræsentation. I forbindelse med mange af kapitlets sider er det en fordel at have et funktionsprogram til rådighed, men især i forbindelse med omvendt proportionalitet og andengradsfunktioner lægger opgaverne op til, at eleverne arbejder undersøgende med henholdsvis hyperblen og parablen i et funktionsprogram fx med fokus på at undersøge og systematisere iagttagelser omkring sammenhængen mellem graf og funktionsforskrift. Eleverne får på den måde mulighed for at styrke deres hjælpemiddelkompetence i arbejdet med kapitlet, og funktionsprogrammet kan blive en støtte i arbejdet med at udvikle matematikfaglig indsigt i ikke-lineære funktioner. Eleverne får desuden mulighed for at styrke deres tankegangskompetence, når de arbejder med centrale begreber i forbindelse med funktioner. Kapitlets centrale faglige begreber er: tabel graf funktionsforskrift ligefrem proportionalitet omvendt proportionalitet og hyperbel andengradsfunktion og parabel eksponentialfunktion og eksponentiel vækst stykkevis lineær funktion Huskeliste: Et funktionsprogram (til side 48, 52, 53) IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 1

FRA FAGHÆFTET Kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelse (repræsentationskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematikkens sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner I arbejdet med tal og algebra at kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer I arbejdet med geometri at arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri Matematik i anvendelse arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemstillinger Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde Indhold og mål I dette kapitel skal I bruge funktioner til at beskrive forskellige sammenhænge. Målet er, at I lærer forskellige ikke-lineære funktioner at kende. bruger funktioner til at beskrive forskellige sammenhænge. lærer, hvad der kendetegner grafer for omvendt proportionalitet. lærer, hvad der kendetegner grafer for andengradsfunktioner. lærer mere om eksponentiel vækst. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 2

Facit: Side 42 Mundtlig 1. Fx Grafen for funktionen er en ret linje. Hver gang vi går 1 hen på x-aksen, går vi 50 op ad y-aksen. 2. Fx Hvis bilen kører dobbelt så lang tid, bliver strækningen dobbelt så stor. Hvis bilen kører tre gange så lang tid, bliver strækningen tre gange så lang. 3. Funktionsværdien findes som et produkt af x og en konstant. Når vi går 1 til højre på x- aksen, vil vi derfor altid gå konstantens størrelse op/ned ad y-aksen. 4. a. 5 timer. b. 2,5 timer. c. 1 time. 5. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 3

Side 43 Mundtlig 6. a. 1 m b. 4 m c. 16 m 7. Fx I opgave 6 ses, at bremselængden bliver fire gange større, når farten fordobles. Man kan fx aflæse bremselængden ud for 45 km/t i koordinatsystemet og gange den med fire. Man kan også sætte 90 ind på x s plads i ligningen og beregne bremselængden. 8. a. 241 500 kr. b. 253 575 kr. c. 339 814,75 kr. Side 44 Problem 1. 30 km. 2. a. Først cykler Per 15 km på 30 min., hvorefter han holder 5 min. pause. Dernæst cykler han 15 km på 45 min. b. Først cykler Dennis 12,5 km på 30 min. hvorefter han holder 10 min. pause. Dernæst cykler han 17,5 km på 40 min. 3. Per cykler hurtigst i begyndelsen af turen. Man kan aflæse, at han cykler længere end Dennis på 30 min. Hældningstallet for det røde linjestykke er større end hældningstallet for det sorte linjestykke. 4. Per kører først med en fart på 30 km/t og til sidst med en fart på 20 km/t. Dennis kører først med en fart på 25 km/t og til sidst med en fart på 26,25 km/t. 5. Side 45 Færdighed Se grundbogen. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 4

Side 46 Mundtlig 1. I koordinatsystemet ses, at funktionens graf er en ret linje, der skærer y-aksen i (0,0). Funktionsforskriften er af typen f(x) = ax. Af tabellen ses fx, at funktionsværdien bliver dobbelt så stor, når x bliver dobbelt så stor. 2. a. Ja. b. Ja. 3. Sammenhængen mellem mandler (x) og sukker (f(x)). a. Mængden af sukker svarer til af mængden af mandler. b. g mandler g sukker 0 0 100 60 200 120 300 180 400 240 500 300 600 360 c. d. f(x) = 0,6x IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 5

Side 47 - Mundtlig 4. Ikke alle værdier på x-aksen kan bruges, men kun de positive, hele tal. Derfor består grafen af punkter. 5. a. 100 poser. b. 50 poser. c. 25 poser. 6. Fx Når mængden af gram bolsjer i en pose bliver dobbelt så stor, kan der kun laves halvt så mange poser med bolsjer. 7. x er mængden af mandler i gram og f(x) antallet af poser. a. f(x) =, x 0 b. f(x) =, x 0 8. f(x) = 9. a. Nej. Når x er et meget stort negativt eller positivt tal, vil f(x) nærme sig 0, men aldrig antage værdien 0. b. Nej, grafen skærer ikke x-aksen. f(x) kan ikke blive 0. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 6

c. Når værdien af x har en numerisk lille værdi, bliver den numeriske værdi af f(x) stor. d. Ja, y-aksen og f(x) = x er symmetriakser. Side 48 Problem 1. 2. a. f(x) bliver mindre og mindre. b. f(x) bliver større og større. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 7

3. 4. Når a er et positivt tal, er grafen placeret i 1. og 3. kvadrant. Når a er et negativt tal, er grafen placeret i 2. og 4. kvadrant. 5. Grafen for f(x) = er placeret i 1. og 3. kvadrant. Grafen for f(x) = er placeret i 2. og 4. kvadrant. Der er symmetri omkring y-aksen fx svarer f(3) = = 1 til f(-3) = = 1. Der er symmetri omkring x-aksen fx svarer f(1,5) = = 2 til f(1,5) = = -2. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 8

6. Side 49 Problem 1. 2. a. 100 ml b. 83,3 ml 3. a. slagvolumen = b. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 9

4. minutvolumen = 150 ml puls. f(x) = 150x 5. a. 1 og 3: Omvendt proportionalitet. 4: Ligefrem proportionalitet. b. x-værdierne skal i alle opgaverne være positive. I opgave 1 og 4 er x et udtryk for hvilepulsen. Mange har en hvilepuls på mellem 60 og 100 slag på minutter. De mest veltrænedes hvilepuls er omkring 30. De mindst veltrænedes kan omkring 100. En tommelfingerregel for den maksimale puls er 220 minus alder. Side 50 Mundtlig 1. a. Vi kan aflæse, hvor grafen rammer x-aksen, svarende til at højden er 0 meter. b. Vi kan aflæse den højeste funktionsværdi. c. Vi kan aflæse, hvor grafen skærer y-aksen. 2. Grafen parallelforskydes lodret nedad og skærer i (0;1,9) i stedet for (0,2). 3. a. a = -0,0514 b. b = 1 c. c = 2 4. f(0) = 2. Værdien fortæller, hvor højt over jorden kuglen er ved start. 5. a. -0,0514x 2 + x + 2,3 b. -0,0514x 2 + x + 1,8 IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 10

Side 51 Mundtlig 6. a. Ifølge grafen øverst til højre er der ca. 1,65 km imellem pillerne. b. Pillerne når ca. 0,032 km = 32 m op over broen. 7. Grafen vil parallelforskydes lodret opad, så alle funktionsværdierne bliver a. 0,003 højere. b. 0,005 højere. 8. x = 0,8 9. Side 51: (0,8;0). Side 50: ca. (10; 7). 10. a. Toppunktet viser, hvor højt kuglen blev kastet (y-værdien), og hvor i kastet denne højde blev nået (x-værdien). b. Toppunktet viser den mindste kabelhøjde (y-værdien), og hvor denne kabelhøjde findes (x-værdien). 11. På side 50 vender parablens grene opad, og på side 51 vender parablens grene nedad. Parablen på side 51 er smallere end parablen på side 50. Parablen på side 51 har en symmetriakse. Parablen på side 50 har ikke en symmetriakse. Side 52 Problem 1. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 11

2. 40 meter. 3. 20 meter. 4. Bolden kan ikke sparkes et negativt antal meter. 5. Fx a. f(x) = -0,025x 2 + 2x og f(x) = -0,04x 2 + 2,6x b. f(x) = -0,12x 2 + 4,4x f(x) = -0,18x 2 + 5,4x c. f(x) = -0,1x 2 + 4x og f(x) = -0,125x 2 + 5x. d. f(x) = -0,05x 2 +2x + 20 og f(x) = -0,05x 2 +2x + 35 Side 53 Problem 1. 2. a. Parablens grene vender opad. b. Parablens grene vender nedad. c. Parablen er smal. d. Parablen er bred. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 12

3. 4. Alle graferne er lige brede. a, b, c og d vender opad, mens e og f vender nedad. Graferne skærer y-aksen forskellige steder, men de har alle x = 0 som symmetriakse. 5. Fx a. f(x) = 2x 2 + 4 og f(x) = x 2 + 4 b. f(x) = 3x 2 + 6 og f(x) = 5x 2 + 6 c. f(x) = -2x 2 + og f(x) = -10x 2 + d. f(x) = -9x 2-2 og f(x) = -x 2-2 Side 54 Mundtlig 1. a. Ca. 939 136 000 b. Ca. 950 405 632 2. 3. 4. a. 928 000 000 1,012 3 b. 928 000 000 1,012 4 5. b = 928 000 000 og r = 0,012. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 13

Side 55 Mundtlig 6. Befolkningstallet bliver større og større, så det er et større og større tal, den procentvise vækst skal beregnes ud fra. 7. Grafen er blevet mindre stejl, hvilket er et udtryk for, at befolkningstilvæksten er blevet mindre. 8. Nej, grafen har ikke udviklet sig eksponentielt i virkeligheden. Befolkningstilvæksten er blevet mindre, og tilvæksten forventes at blive negativ. 9. a. Ca. 1 353 150 000 b. Ca. 1 312 555 500 c. Ca. 1 197 933 966 Side 56 Problem 1. År 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Antal millioner indbyggere 1050 1065,75 1081,736 1097,962 1114,432 1131,148 1148,115 1165,337 1182,817 1200,559 1218,568 2. 3. a. 1 218 568 000 1,008 = 1 228 316 544 b. 1 218 568 000 1,008 2 = 1 238 143 076 c. 1 218 568 000 1,008 40 = 1 675 988 574 4. Mellem år 2030 og 2035. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 14

Side 57 - Færdighed Se grundbogen. IKKE-LINEÆRE FUNKTIONER 15