Funktioner - supplerende eksempler
|
|
- Signe Gregersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a
2 Oversigt over forskellige typer af funktioner Du skal kende disse typer af funktioner. Den første type blev grundigt omtalt under Matematik G: Lineære funktioner kan skrives på formen: - Graferne er rette linjer. y = a + b - a kaldes hældnings-koefficient eller stignings-tal, og størrelsen af a fortæller, hvor stejl grafen er. Hvis a er positiv, hælder linjen opad. Hvis a er negativ hælder den nedad. - b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Hvis funktionen kan skrives på formen: y = a (altså b = ), så er og y også ligefrem proportionale. Grafen går igennem ( ; ), og y bliver fordoblet, når bliver fordoblet ( og y vokser i takt). De øvrige typer bliver grundigt omtalt på de efterfølgende sider: a Omvendt proportionale funktioner kan skrives på formen: y = - Graferne består af to adskilte symmetriske buer, men man tegner (som her) ofte kun den ene. - Når bliver fordoblet, bliver y halveret. Eksponential-funktioner er funktioner på formen: y = b a ne beskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig (stiger eller falder) med et bestemt antal procent. - Graferne er bløde buer. - a bestemmer vækstens størrelse og dermed, hvordan grafen krummer. Hvis a > 1 stiger værdien af y og grafen krummer opad som her. Hvis a < 1 falder værdien af y og grafen krummer nedad. - b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Den sidste type funktion kaldes potens-funktioner, og det er funktioner på formen: y = b Selv om alle potens-funktioner er i familie med hinanden, kan deres grafer være ret forskellige. Derfor er det svært at skrive noget generelt om dem her. Men læs eksemplerne på de næste sider. Du kan sagtens støde ind i helt andre funktioner, men du skal kende disse hoved-typer. a Side 9b
3 Omvendt proportionalitet og hyperbler Et redskabsskur skal være 16 m og have form som et rektangel eller et kvadrat. Lav en tabel og en graf, der viser sammenhængen mellem de mulige sidelængder. Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kaldes for og y, skal der gælde at: y = Det kan omskrives til funktionsforskriften: y =, og man kan lave en tabel som denne: y ,,,67,9 1,6 1, 1,1 1 Mange af tallene i tabellen er urealistiske. Man vil aldrig lave et skur, der måler 1 m 16 m. Men tallene er taget med for at vise den matematiske sammenhæng mellem og y. Regnemæssigt kan man sagtens bruge -værdier mindre end 1 og større end 16, men man kan aldrig bruge som -værdi. Grafen kommer til at se ud som vist herunder. Både tabel og graf er symmetriske. Du kan f finde tal-parret ( ; 8) i den ene ende af både tabel og graf, og du kan finde det modsatte tal-par (8 ; ) i den anden ende. Der gælder at: - y-værdien bliver halveret, når -værdien bliver fordoblet. - y-værdien falder til en tredjedel, når -værdien bliver tredoblet osv. Denne sammenhæng mellem og y kaldes omvendt proportionalitet a, der kan skrives på formen y =, kaldes omvendt proportionale funktioner. Graferne for omvendt proportionale funktioner kaldes hyperbler, og de ligner altid grafen herover. Side 9c
4 Negative giver tal ingen mening i eksemplet med skuret, men man kan godt indsætte negative -værdier i en omvendt proportional funktion. Så kommer grafen (hyperblen) til at bestå af to buer som vist til højre. Hyperblen har to symmetri-akser som vist, men symmetrien er kun tydelig, hvis der er brugt de samme enheder på - og y-aksen. Grafen til højre er for funktionen y =. Prøv om du kan forklare hvorfor? Et taa-firma tager 16 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km. Lav en tabel og en graf, der viser sammenhængen mellem antal km () og prisen pr. km (y). Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. 6 Hvis man kører km, bliver den samlede pris = 6 kr. Prisen pr. km bliver = 9 kr. På den måde kan man lave en tabel: 1.. y 1, 1, 1, 9,.. Grafen ser ud som vist til højre: Prisen pr. km. kan også findes således: - først deles startgebyret på 16 kr. ud på det kørte antal km. - derefter lægges den faste km-pris på 5 kr. oveni. Derfor kan man opstille denne funktionsforskrift: 16 y = + 5 Grafen ligner meget eksemplet med skuret. Grafen kaldes også en hyperbel, men funktionen er ikke omvendt proportional Side 9d
5 Eksponentialfunktioner Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urealistisk høje, men det skal du ikke tænke på. Anna får en timeløn på 8 kr. Hun bliver lovet en årlig lønstigning på 15% de kommende år. Børge får en timeløn på 15 kr. Han bliver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år. Lav tabeller, grafer og funktioner, der beskriver Annes og Børges timeløn år for år. Annas løn stiger hvert år med 15% til 115% af lønnen fra året før. Derfor kan man hvert år finde Annas nye løn ved at gange den gamle løn med 1,15. Annas løn efter 1 år: 8, 1, 15 = 9, kr. Annas løn efter år: 9, 1, 15 = 15,8 kr. eller 8, 1,15 1, 15 = 8 1,15 = 15,8 kr. Annas løn efter år: 15,8 1, 15 = 11,67 kr. eller 8, 1,15 1,15 1,15. = 8 1,15 = 11,67 kr. Børges løn kan fremskrives på tilsvarende måde ved at gange med 1,8. I alt får man: Antal år () Annas løn 8, 9, 15,8 11,67 19,9 16,91 185, 1,8,7 Børges løn 15, 11, 1,7 1,7 1,85 15,8 166,6 179,95 19,5 Grafen ser ud som vist til højre: Hvis er antal år regnet fra "nu", og y er timelønnen, kan man opstille denne funktion for Anna: y = 8 1,15 og denne funktion for Børge: y = 15 1,8 Bemærk at funktionerne godt nok passer for = fordi: 8 1,15 = 8 1 = 8 og 1 for = 1 fordi: 8 1,15 = 8 1,15 = 9. 1 Når en størrelse regelmæssigt vokser (eller aftager) med et bestemt antal procent, siger man, at den vokser eksponentielt. ne ovenfor er eksempler 5 på eksponentialfunktioner. Graferne buer mere og mere opad fordi lønstigningerne bliver større og større målt i kr. Graferne er ikke rette linjer y = 8 1,15 y = 15 1, Side 9e
6 , der kan skrives på formen y = b a, kaldes eksponentialfunktioner. Eksponentialfunktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig med et bestemt antal procent. - b er startværdien. På forrige side startlønningerne. - a er "1 + ændringsprocenten som decimaltal". F % = 1 +,15 = 1,15 Vær opmærksom på, at eksponentialfunktioner er i familie med vækst-formlen. n Den skrives normalt på formen K n = K (1+ r) Den er omtalt i et andet afsnit. De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk. En bil koster som ny 16. kr. Bilens værdi falder med 5% om året Lav en tabel, en graf og en funktion, der beskriver bilens værdi år for år. Man trækker 5% fra et tal ved at gange tallet med,75. Man beholder 1% - 5% = 75%. Værdi efter 1 år: 16., 75 = 1. kr. Værdi efter år: 1., 75 = 9. kr. eller 16.,75, 75 = 16.,75 = 9. kr. Funktionsforskriften må være Tabellen kommer til at se således ud: y = 16.,75, hvor er antal år, og y er bilens værdi. Antal år () Bilens værdi Grafen ser ud som vist til højre: Funktionen y = 16.,75 er også en eksponentialfunktion, men der er tale om en negativ eksponentiel vækst. Grafen buer mindre og mindre nedad, fordi det årlige værditab bliver mindre og mindre målt i kr. En eksponentialfunktion skrevet på formen y = b a beskriver: - en positiv vækst når a > 1 - en negativ vækst når a < Side 9f
7 Potensfunktioner, der kan skrives på formen y a = b, kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y =,5 - y = a = og b = a = og b = 1 a =,5 og b = a = og b = 1 Bemærk: Hvis b = 1 bliver b usynlig. Man skriver f ikke Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten. y = 1 men kun y =. Lav for tabeller og grafer for potensfunktionerne f() =,5 og g() =,5. Tabellen kan se således ud: g() g() =,5,5,5 8 1,5 18,5,5 5 =,5,5 1,5 6, ,5 56 6,5 5 Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er ret store, er hele tabellen ikke vist på grafen. Man kan se på både tabellen og graferne at: - begge grafer starter i (,) - begge grafer vokser hurtigere og hurtigere -,5 vokser hurtigst. Når a (eksponenten) er større end en (a > 1), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen. Funktionen vokser naturligvis også hurtigere, hvis b bliver større. Prøv f selv at lave tabeller og grafer for funktionerne y =,5 og y = g() =, f() =,5 Side 9g
8 Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen V = π r. V er rumfanget og r er radius. Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius. Lav en tabel og en graf for funktionen. Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være 1 liter (1. cm )? Formlen V π Altså: V =,18879 r svarende til = π og a =. = r svarer til en potensfunktion, hvor b, y =,18879 Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede. r (cm) V (cm ),19,51 11,1 68,1 5,6 9, Grafen ser ud som vist til højre. Man kan finde den radius, der giver et rumfang på 1. cm på flere måder. - Man kan aflæse på grafen. - Hvis man tegner grafen vha. et computer-program, har programmet måske en aflæse-funktion. - Man kan prøve sig frem (simulering) evt. vha. et computerprogram. Man kan se ud fra tabellen, at den rigtige radius må være mellem 6 cm og 7 cm og sikkert nærmest på 6 cm. - Man kan få det helt præcise svar ved at løse ligningen 1. =,18879 r Man får:,18879 r r = r = 1., ,18879 = 1. = 8,7.. = 6, cm V =,18879 r Side 9h
9 Lav tabeller og grafer for potensfunktionerne,5 f() =, 1,5 g() = og h() =. Tabellen kan f se således ud. Mange af tallene er afrundede.,5 1 1,5,5,5,5 5 f() g() h(),5 = 1,1,5,8,16,5,7 8, 1,5 1,5 =,8,,76 6,9 1,5 9,57 1,11 6,5 = 1, 1,8,67,57,5,, Graferne ser således ud. 1 Grafen for g() ganske svagt opad. 1,5 = buer Grafen ligner næsten en ret linje, men den vokser faktisk mere og mere ligesom potensfunktionerne på forrige side. 8 6 h() = g() = 1,5 Grafen for f(),5 = buer den anden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kan vokse i det uendelige. Husk på at,5 =, så man kunne også have skrevet f() =, og når er et stort tal, bliver Grafen for h() også stor. = aftager. Funktionsværdien bliver mindre og mindre. Husk at betyder 1 eller blot, så man kunne også have skrevet h() =. h() er i virkeligheden en omvendt proportional funktion skrevet på en anden måde, og det er derfor, at der er en tom plads ved h() i tabellen. Man kan jo ikke dividere med. f() = 1 5,5 Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige. En ligefrem proportional funktion som y = er f også en potensfunktion, fordi den også kan skrives som y = 1. Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a, men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder. Side 9i
10 Lav tabel og graf for funktionen f() =. Vi tager både negative og positive -værdier med. Vi får: f() = Grafen ser ud som vist til højre. Den er symmetrisk og kaldes en parabel. (,) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse. Herunder er tegnet graferne for disse to funktioner: g() =,5 h() = 1,5 + e er ikke rigtige potensfunktioner pga. forskrifternes form, men begge grafer er symmetriske buer ligesom grafen for y = Alle funktioner, der kan skrives på formen y = a + b + c, hvor a, har den slags symmetriske grafer g() =,5 1,5 på formen 1 y = a + b + c, hvor a, kaldes andengrads-funktioner. Graferne kaldes parabler. Hvis a > vender parablen benene opad. Hvis a < vender parablen benene nedad. Hvis (og kun hvis) b = og c =, er funktionen også en potensfunktion. F y = Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normalt y = b Andengrads-funktionen skrives y = y = a -5 h() = + Side 9j
xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1
Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereFunktioner. Funktioner Side 150
Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs merePotensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir
1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle
Læs mereOversigt. funktioner og koordinatsystemer
Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende opgaver
Lektion 7s Funktioner - supplerende opgaver Omvendt proportionalitet og hperbler.gradsfunktioner og parabler Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktioner og lineære funktioner Andre funktioner og blandede
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereIkke-lineære funktioner
Ikke-lineære funktioner I dette kapitel skal du arbejde med ikke-lineære funktioner. Funktioner kan vi bruge til at beskrive sammenhænge fra hverdagen, f sammenhængen mellem udgifter og antal deltagere
Læs mereIkke-lineære funktioner
I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereOmvendt proportionalitet og hyperbler... 25 Eksponentialfunktioner... 28 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 31 Potensfunktioner...
Funktioner Omvendt proportionalitet og hperbler... 5 Eksponentialfunktioner... 8 Eksponentialfunktioner og lineære funktioner... 31 Potensfunktioner... 33 Funktioner Side 4 Omvendt proportionalitet og
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereForklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.
1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mere2HF091_MAC. Givet to ensvinklede trekanter som vist på figuren. De anførte mål er oplyst.
Opgave 1 Givet to ensvinklede trekanter som vist på figuren. De anførte mål er oplyst. Da trekanterne er ensvinklede, har de proportionale sider; forstørrelsesfaktoren k findes som forholdet mellem c 1
Læs mereUdledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs merematematik grundbog trin 2 preben bernitt
matematik grundbog trin 2 preben bernitt matematik grundbog 2 3. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-29-9 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk
Læs mereb. Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a = 1 og b= k.
Kapitel 5 Øvelse 56 a = b = 3 b a = 1,7 b = 0,8 c a = 3 b =1 d a = b = 8 Øvelse 57 Sammenhængen passer med forskriften for en potensfunktion når a =1 b k = b Sammenhængen passer med forskriften for en
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereUndersøgelse af funktioner i GeoGebra
Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereFacitliste til MAT X Grundbog
Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereMatematik Niveau B Prøveform b
GUX Matematik Niveau B Prøveform b Torsdag den 15. maj 2014 Kl. 09.00-13.00 GL141 - MAB - NY 1 GUX matematik B sommer 2014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler
Læs merebrikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt
brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne
Læs mereFacitliste til elevbog
Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a
Læs mereM A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T
M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereKapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2
Kapitel 8 Øvelse 8.2 Til Maria Pia broen bruger vi de tre punkter (0,0), (80,60) og (160,0). Disse er indtegnet i et koordinatsstem og vi har lavet andengradsregression. Og Garabit broen: Øvelse 8.8 Definitionsmængden
Læs mereNår eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:
Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs merebrikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt
brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs merecvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty
cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11
Læs mereÅrsplan matematik (KGJ) hold 1 og /19. Periode/Ti metal. Emne Mål Arbejdsformer, Organisering og samarbejde
Årsplan matematik (KGJ) hold 1 og 5-2018/19 Periode/Ti metal Emne Mål Arbejdsformer, Organisering og samarbejde Materialer Evaluering Aug. Repetition, procentregning, regneregler og ligninger Repræsentation
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU 2g
NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA
GUX Matematik A-Niveau Fredag den 9. maj 015 Kl. 9.00-14.00 Prøveform b GUX151 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereGUX. Matematik Niveau B. Prøveform b
GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereDet grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.
Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mereMatematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof
Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige
Læs merepotenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs meregrafer og funktioner basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner G ISBN: 978-87-92488-11 4 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk
Læs mereFP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereProcent og eksponentiel vækst
Procent og eksponentiel vækst Procent og decimaltal...52 Vækst-fomlen; K n er ukendt...54 Vækst-fomlen; K 0 er ukendt...56 Vækst-fomlen; r er ukendt...57 Vækst-fomlen; n er ukendt...58 Når du regner opgaverne
Læs mereØvelse 1 (mennesker) fælles
Øvelse 1 (mennesker) fælles LAV INDDELING AF DISSE ORD Mænd Kvinder Gymnasieelever Teenagere Øvelse 2 (dyr) par LAV INDDELING AF DISSE ORD Hund Pattedyr Krybdyr Menneske Chow chow Kæledyr Øvelse 3 (funktioner)
Læs merebrikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1
brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-37-4
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereMatematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Læs mereGRUND. Mathematicus. Mike Vandal Auerbach FORLØB.
Mathematicus GRUND FORLØB y x Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus Grundforløb. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereAndengradsfunktionen
Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6
Læs meregrafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereThomas Kaas Heidi Kristiansen KO LO R I T. Gyldendal
Thomas Kaas Heidi Kristiansen KO LO R I T 9 Gyldendal KOLORIT 9 GRUNDBOG 1. udgave 1. oplag 2010 2010 Gyldendal A/S, København Forlagsredaktion: Trine Juhler Vinther Omslag og grafik: Connie Thejll Jakobsen,
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs merematematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt
matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler
Læs meregrafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 2 ISBN: 978-87-92488-12-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs merefunktioner F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik
brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D ISBN: 978-87-92488-37-4 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne bog er
Læs mereEksamensspørgsmål net B, vinter 2012-sommer Spørgsmål 1: Lineære funktioner
Eksamensspørgsmål net B, vinter 0-sommer 03 Spørgsmål : Lineære funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne
Læs mereLektion 9s Statistik - supplerende eksempler
Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011
Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mere