4 Funktioner. Faglige mål. Lineære funktioner. Stykkevis lineære funktioner. Ligefrem proportionale funktioner. Andengradsfunktioner

Transkript

1 4 Funktioner Faglige mål Kapitlet Funktioner tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Lineære funktioner: kunne definere hvad der kendetegner en funktion, beregne hældningskoefficienten for en linje ud fra to punkter samt udføre lineær regression ved brug af it. Stykkevis lineære funktioner: kunne se sammenhængen mellem forskrifter og graf samt ved hjælp af intervallerne på x-aksen beskrive en udvikling af stykkevis lineære grafer. Ligefrem proportionale funktioner: kunne beskrive en ligefrem proportional funktion samt kende til proportionalitetsfaktoren. Andengradsfunktioner: kunne se sammenhængen mellem forskrift og graf, finde toppunkter og nulpunkter samt få en forståelse for sammenhængen mellem virkelige konstruktioner og brugen af andengradsfunktioner ved brug af it-værktøj til regression. Omvendt proportionalitet: kunne beskrive en omvendt proportional funktion, kende til situationer som kan beskrives ved omvendt proportionalitet. Kapitlet bygger naturligt videre på de færdigheder og den viden, som eleverne opnåede ved sidste års arbejde med funktioner. I kapitlet er der fokus på ikke-lineære funktioner. Lineære funktioner repeteres grundigt, da de er grundlaget for proportionalitetsbegrebet samt for forståelsen af stykkevis lineære funktioner. Lineære funktioner Arbejdet med lineære funktioner bygger videre på arbejdet i kapitlet Funktioner fra 7. klasse. Lineære funktioner bliver repeteret grundigt. Eleverne introduceres for metoden til at beregne hældningskoefficienten for en linje ud fra 2 kendte punkter. Desuden introduceres regressionsanalyse, som et værktøj til at analyse en række punkter. Udgangspunktet er regressionsværktøjet i GeoGebra. Eleverne arbejder også med definitionsmængde og værdimængde, således at de lærer at beskrive funktionerne i de intervaller, som giver mening. Oversættelsen fra den matematiske model, som en funktion, og tilbage til den ikke matematiske verden ved at lave afgrænsning af modellen, er med til at udvikle elevernes modelleringskompetence. Stykkevis lineære funktioner Arbejdet med stykkevis lineære funktioner er ikke helt nyt for eleverne, men den matematiske definition er ny for dem. Definitionsmængden og intervallerne er central til beskrivelse af funktionen. Eleverne lærer at oversætte fra forskrifter til grafen samt den modsatte vej, hvilket styrker repræsentationskompetencen. Ligefrem proportionale funktioner Arbejdet med ligefrem proportionalitet giver eleverne en forståelse af proportionalitetsbegrebet. Det nye for eleverne er den matematiske definition og hermed betydningen af proportionalitetsfaktoren. Andengradsfunktioner Arbejdet med andengradsfunktioner tager udgangspunkt i undersøgelser, hvor eleverne ved hjælp af GeoGebra foretager en regressionsanalyse af en række punkter, hvis sammenhæng er polynomiel. Eleverne

2 undersøger betydningen af størrelserne a, b og c i en generel forskrift for andengradsfunktionen ved brug af skydere. Dette arbejde benyttes til at sammenkoble givne forskrifter med givne grafer. Toppunkter og nulpunkter er nye begreber for eleverne, og disse benyttes til at beskrive virkelige konstruktioner, som ved regression kan bestemmes som andengradsfunktioner. Omvendt proportionalitet Proportionalitetsbegrebet udvides, således at eleverne også kender til funktioner, der er omvendt proportionale. Udgangspunktet er igen det undersøgende element, hvor betydningen af konstanten i funktionsforskriften undersøges ved hjælp af skydere i GeoGebra. Side til side-vejledning Lineære funktioner Intro 1 Pointjagt (klasseaktivitet) og kopiark 4.01 Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen. Eleverne præsenteres for det stof, som de skal arbejde med i kapitlet. De oplever med aktiviteten, at der findes sammenhænge, som ikke er lineære. Der skal være computere til rådighed for eleverne, så de kan indsætte forskrifterne i GeoGebra og kontrollere sammenhængene. Der kan i aktiviteten stilles krav til, at eleverne fx skal finde en ny makker hver gang, de trækker en ny brik. 2 Klubtrøjer I denne opgave arbejder eleverne med at omsætte en hverdagskontekst til en matematisk kontekst. De plotter de 3 punkter ind i GeoGebrafilen og tegner den rette linje gennem de 3 punkter. Eleverne arbejder desuden med de forskellige værktøjer i GeoGebra til at undersøge den rette linje. 3 Hældninger og skæringer (paraktivitet) Eleverne beregner hældningskoefficienter i regnearksfilen ud fra den viden, de har fået i den grå boks. De beregner hældningskoefficienter og opskriver funktionsforskrifter uden brug af it. 4 Indsæt (paraktivitet) og kopiark 4.02 På kopiarket indsætter eleverne ordene på linjerne i teksten. Hvis eleverne er i tvivl om, hvad definitionsmængde og værdimængde er, kan der henvises til den grå boks. 5 Hønsefoder I opgaven arbejder eleverne med at opstille en matematisk model for en hønsefoderautomat. De nederste 4 cm af røret er fyldt med foder, men hønsene kan ikke nå dem, så der skal altid være ekstra 4 cm foder i røret. Eleverne beregner mængden af foder for forskellige antal dage, opstiller det i en tabel og plotter punkterne i et koordinatsystem. Eleverne argumenterer for den matematiske models begrænsninger og finder på den måde frem til definitionsmængden for funktionen. 6 Tynde tårne (paraktivitet) Eleverne argumenterer for en hypotese på baggrund af ræsonnementer omkring sammenhængen mellem tårnnummeret og den tid, det tager at bygge tårnene. Derefter afprøver de hypotesen ved at anvende regressionsanalyse i GeoGebra. Eleverne kan vælge antallet af observationer, og de kan evt. vende tilbage og bygge flere, hvis de ikke kan afgøre om sammenhængen er lineær. Konklusionerne beror på resultatet, men de skal også anvende matematiske argumenter i konklusionen.

3 Når eleverne har konkluderet, kan de evt. udfordres på resultatet ved at spørge dem, hvad der vil ske med modellen, når de ikke kan bære kuberne på en gang. 7 Jagten (gruppeaktivitet) Eleverne vurderer sammenhængen ud fra talpar og kontrollerer ved regression i GeoGebra. 8 Særlige situationer Eleverne konstruerer i GeoGebra to rette linjer, som står vinkelret på hinanden, og undersøger produktet af de to linjers hældningskoefficienter, som altid giver 1. Der kan hentes hjælp i taleboblerne i illustrationen. Ved at beregne produktet i regnearket kan eleverne konstruere en dynamisk model, hvor produktet beregnes i regnearket, samtidig med at linjerne flyttes på tegneblokken. 9 Vandreturen Eleverne anvender deres viden om rette linjer og deres skæring til at forstå, anvende og udvikle en model fra virkeligheden. Stykkevis lineære funktioner 10 Er grafen stykkevis lineær? (paraktivitet) I denne opgave arbejder eleverne med definitionen for en stykkevis lineær funktion, som står i den grå boks. De afgør, om grafen er stykkevis lineær ved at argumentere med brug af bestemte udtryk. 11 Find par (klasseaktivitet) og kopiark 4.03 Brikkerne på kopiarket klippes ud og hænges op i klassen. Nogle elever kan evt. inddeles i par, hvis det er hensigtsmæssigt for dem, at have en at diskutere graferne med. Først matches de 4 funktionsudtryk i bogen med de grafiske repræsentationer på brikkerne. Dernæst findes de 4 historier, som passer til. Bogstaverne danner starten af ordsproget: TYV TROR Hver mand stjæler. 12 Acceleration m/s 2 Eleverne aflæser grafen i bogen, som viser accelerationen for en bil. Konteksten vi ser en model af virkeligheden som er stykkevis lineær. De opskriver funktionsforskrifterne for linjerne med fokus på korrekt notation, som angivet i den grå boks. 13 Rundbordsfunktioner (gruppeaktivitet) og kopiark 4.04 De tre strimler på kopiarket klippes ud og fordeles, så deltagerne får en hver. Hvis det ikke passer med antallet af elever, kan to elever være sammen om en strimmel. Først tegnes grafen, der passer til historien. Strimlen sendes videre mod venstre. Dernæst skrives forskriften for hele den stykkevis lineære funktion. Strimlen sendes igen mod venstre. Til sidst vurderes, om de tre repræsentationer på strimlen passer sammen. Strimlerne gennemgås på skift i gruppen. 14 Prisen for diamanter Eleverne tegner grafen og skriver funktionsforskriften for den stykkevis lineære funktion for prisen på diamanter. Det andet til tilbud på diamanter tegnes, og eleverne vurderer de to tilbud. Ligefrem proportionale funktioner 15 Sorter linjer (paraktivitet) Eleverne deler de 6 grafer i to kategorier: Grafer der er ligefrem proportionale. Grafer der ikke er ligefrem proportionale. 16 De ligefrem proportionale (paraktivitet) I denne opgaver arbejder eleverne med proportionalitetsfaktoren ved at finde forholdet mellem y- og x- værdierne, og de forklarer også, hvorfor grafen for en ligefrem proportional funktion går gennem (0,0).

4 17 Kend din linje (gruppeaktivitet) Arbejdet med forskellige typer af lineære sammenhænge samles op i denne opgave. Eleverne forklarer kendetegnene ved de tre illustrerede funktioner: En lineær og ikke ligefrem proportional funktion. En stykkevis lineær funktion. En ligefrem proportional funktion. 18 Funktionssmækspil (gruppeaktivitet) og kopiark 4.05 Eleverne arbejder i denne opgave videre med de forskellige typer af lineære sammenhænge. Brikkerne på kopiarket klippes ud. Kategorikortene lægges med forsiden opad foran 2 af eleverne. Brikkerne lægges med bagsiden opad foran den tredje elev (spilstyrer), som vender en brik ad gangen. De 2 spillere skal konkurrere om, hvem der først kan lægge hånden over den rigtige kategori. Den med flest brikker, når bunken er tom, vinder spillet. Derefter bytter eleverne roller og spiller igen. Andengradsfunktioner 19 Udspring I denne opgave introduceres andengradsfunktionen med et eksempel fra virkeligheden. Eleverne anvender GeoGebra til at undersøge sammenhængen mellem punkterne, som er polynomiel af anden grad. Formålet er, at eleverne kan genkende en parabel, og forbinde den med en funktionsforskrift, som indeholder et led, hvor x 2 indgår. 20 Skyd parabler (paraktivitet) Eleverne undersøger betydningen af værdien af a, b og c i forskriften for andengradsfunktionen ved at bruge skydere i GeoGebra. De får hjælp til dette ved at læse taleboblerne i bogen. 21 Grafspillet (gruppeaktivitet) og kopiark 4.06 Først parrer eleverne forskrifter med grafer, som er illustreret i bogen. Dette arbejde foregår i fællesskab, således at eleverne dernæst alle har forudsætningerne for at spille med i grafspillet. Brikkerne med funktionsforskrifter klippes ud og lægges med bagsiden opad. Spillepladen lægges på bordet, så alle kan se graferne. De personlige spillebrikker udfyldes med navn og lægges hos den enkelte spiller. Eleverne vender en funktionsforskrift. Alle elever i gruppen skal nu lægge en af deres personlige brikker på et af de 9 felter på spillepladen. Er et felt blevet optaget af en anden brik, må der ikke lægges en brik i det felt. Eleverne kan vælge at markere den rigtige graf eller en graf, som ikke er rigtig. Når alle 4 elever har lagt en brik, argumenterer hver enkel for sit valg, og forskriften indtastes i GeoGebra for at kontrollere. 22 Fotojagt Eleverne går på jagt efter motiver, der tilsyneladende har parabelbuer. De kan selv fotografere motiverne eller finde billeder på internettet. Billederne importeres til GeoGebra og eleverne sætter punkter langs buen og undersøger ved regression, om der er tale om en parabel. 23 Gammeldags matematik Ud fra beskrivelserne i fagteksten konstruerer eleverne parablen uden brug af it. Dernæst konstrueres samme parabel i GeoGebra, og de to hjælpemidler vurderes. 24 Broen (paraktivitet) Eleverne arbejder med en bro, som kan beskrives ved en polynomiel sammenhæng. Det er vigtigt, at eleverne er aflæser præcist, og derfor skal de anvende de rigtige værktøjer i GeoGebra. Eleverne arbejder med symmetriakse, skæring med x-aksen samt toppunkt. Når eleverne svarer på opgaverne, skal der være opmærksomhed på skibets højde og bredde, for er skib med højden 8 m kan kun komme under broen, hvis det er 0 cm bredt. 25 Toppunkter og nulpunkter

5 Eleverne aflæser toppunkter og nulpunkter i regnearksfilen. 26 Lærer og elev (paraktivitet) På skift stiller eleverne et spørgsmål, som den anden svarer på. Eleverne træner deres matematiske argumentation ved at ræsonnere sig frem til svar på spørgsmålene. 27 Svar og skriv under (klasseaktivitet) og kopiark 4.07 Alle elever får udleveret et kopiark. De går rundt mellem hinanden og finder en kammerat, som skal svare på et spørgsmål fra kopiarket. Eleven lytter til svaret og skriver svaret på sit eget kopiark. Kammeraten kontrollerer svaret og skriver under. Rollerne byttes. Dernæst finder eleven en ny kammerat osv. Ved et forkert svar skal eleven gå tilbage til underskriftindehaveren og rette besvarelsen. Hvis der er opgaver, der volder problemer, kan der enten sættes svar ind i kæden et par steder eller afsluttes fælles med spørgsmålet. Støt en svag elev ved at være makker med ham i begyndelsen, så det sikres, at eleven har et sikkert svar. For at sikre at eleverne taler med nogle forskellige kammerater, kan læreren stille krav til, at der er lige så mange forskellige underskrifter på kopiarket, som der er svar. Aktiviteten fortsætter, indtil alle har fået svar på alle spørgsmål. De elever, som er færdige med deres eget kopiark er stadig med i aktiviteten. Derved kan de resterende elever komme til dem for at få svar. Aktiviteten kan også slutte på et givent signal. Svarene gennemgås efterfølgende i klassen, så det sikres, at alle har fået de rigtige svar. 28 Opvisning I denne opgave konstruerer eleverne en matematisk model over en virkelig situation i svømmehallen, hvorved modelleringskompetencen kommer i spil. Elever, der har svært ved opgaven, kan i stedet for at lave regressionsanalyser og overføre parabler til tegneblokken i stedet tegne i frihånd i filen. Når eleverne arbejder med placering af ballonerne, skal der overvejes om den maksimale længde på ballon og serpentin indebærer en korrekt aflæsning af toppunktet adderet med en tilnærmet værdi for udspringerens tykkelse. Omvendt proportionalitet 29 Graftjek (paraktivitet) Eleverne begynder med en undersøgelsesopgave som introduktion til omvendt proportionalitet. Eleverne forklarer sammenhængen mellem de to variable og når frem til, at når den ene stiger, så falder den anden. Eleverne kan kigge i den grå boks, når de skal beskrive sammenhængen med bestemte begreber. 30 Konstanten a (paraktivitet) I denne opgave undersøger eleverne betydningen af konstanten a for grafens udseende, hvorved sammenhængen mellem funktionsforskrift og graf gøres tydeligt. 31 Ohms lov Eleverne arbejder med Ohms lov som et eksempel på en omvendt proportional sammenhæng. 32 Hyperbelspillet (gruppeaktivitet) og kopiark 4.08 Brikkerne på kopiarket klippes ud og samles i fællesskab i sæt af 4. Dernæst blandes brikkerne, og de deles ud mellem de 4 deltagere. På bordet ligger 3 centicubes. Når alle er klar, sender hver deltager en brik mod venstre. Hver spiller får altså hele tiden en brik fra højre, som tages op på hånden. Når en spiller har 4 brikker, der passer sammen, tager denne en af de 3 centicubes på bordet, og de resterende spillere konkurrerer om at tage en af de resterende centicubes. Den spiller, som ikke får fat i en centicube, har tabt. Hver gang man taber en runde får man et bogstav i rækkefølge af ordet HYPERBEL. Den spiller, som har flest bogstaver, når spillet afbrydes, har tabt. 33 Dækslid (gruppeaktivitet)

6 Eleverne undersøger sammenhængen mellem radius på et hjul og antal omgange det drejer for at køre 2 m. Læreren medbringer 8-10 forskellige hjul eller andre runde ting. Det kan fx være fra LEGO, cykler, legetøjsbiler, mælkelåg, papskiver og cylindere. 34 Fremstil tutorials (klasseaktivitet) Klassen deles op i grupper, som behandler hver sin type af funktion. Teorien for den enkelte funktion gennemgås i en tutorial, som præsenteres for resten af klassen. 35 Forklarstafet (klasseaktivitet) og kopiark 4.09 Eleverne spiller Forklarstafet, som beskrevet på kopiarket. Skriftlig problemløsning 1 Hjem til mor I denne opgave arbejder eleverne med fart, afstand og tid. De konstruerer grafer og aflæser disse for at besvare spørgsmålene. 2 Anskaffelse af knallert Eleverne arbejder med opsparing. 3 Bremselængde Bremselængden er udgangspunkt for opgaven, hvor eleverne arbejder med en ikke kendt formel til undersøgelse af funktionstype.