15 Løsning af ligninger

15 Løsning af ligninger Oversigt over ligningsløseren... 234 Indtastning af en ligning i ligningseditoren... 235 Opsætning af den interaktive løsningseditor... 236 Løsning af én ligning med én ubekendt variabel... 238 Plotning af løsningen... 239 Grafværktøjer til ligningsløseren... 240 Bestemmelse af rødder i polynomier Bestemmelse af rødder i polynomier... 241 Løsning af n ligninger med n ubekendte... 243 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5

234 Kapitel 15: Løsning af ligninger Hvis du vil løse en ligning på hovedskærmbilledet eller i programeditoren for den ubekendte variabel, skal du vælge Solver( i CATALOG (se Funktioner og instruktioner fra A til Z). Menuen VARS EQU er en menuudgave af skærmbilledet VARS EQU. I dette eksempel angives formlen for en elektrisk spændingsdeler. R1 er en modstand. Oversigt over ligningsløseren Med ligningsløseren kan du skrive et udtryk eller en ligning og lagre værdierne for alle variablene på nær én i udtrykket eller ligningen, og derefter løse den for den ubekendte variabel. Disse trin er en introduktion til ligningsløseren. Detaljerede oplysninger finder du i resten af kapitlet. Hent editoren til ligningsindskrivning. Menuen VARS EQU vises nederst på skærmen. Skriv en ligning. Når du trykker på b, vises den interaktive ligningsløsereditor og ligningsløsermenuen. Skriv værdier for hver variabel, undtagen den ubekendte variabel R1. Nogle variable kan allerede have fået tildelt værdier. Flyt markøren til den variabel, som du vil løse ligningen med hensyn til. Du kan eventuelt angive et gæt. Løs ligningen for variablen. Små firkanter markerer både løsningsvariablen og ligningen leftnrt=0 (den venstre side af ligningen minus den højre side af ligningen). Hvis du redigerer en værdi eller forlader skærmbilledet, forsvinder firkanterne. - t 1 ãvä 1 1 ã=ä 1 ãvä M D 1 ãrä 1 F D 1 ãrä 1 \ 1 ãrä 2 E E b 10 # 100 # # 57 $ *

Kapitel 15: Løsning af ligninger 235 Ligningen kan have flere variable til venstre for lighedstegnet, f.eks. A+B=C+sin D. Du kan vise andre menuer i editoren til ligningsindskrivning. Tre prikker (...) angiver, at den indtastede ligning fortsætter uden for skærmbilledet. Hvis du vil flytte direkte til starten af ligningen, skal du trykke på -!, og hvis du vil flytte direkte til slutningen, skal du trykke på - ". Indtastning af en ligning i ligningseditoren Ligningsløseren bruger to editorer: Editoren til ligningsindskrivning, hvor du skriver og redigerer den ligning, du vil løse, og den interaktive ligningsløsereditor, hvor du skriver de kendte variabelværdier, vælger den variabel, som du vil løse ligningen med hensyn til, og viser løsningen. Hvis du vil vise editoren til ligningsindskrivning, skal du trykke på - t. I denne editor kan du: Skrive en ligning direkte. Skrive en defineret ligningsvariabel direkte eller vælge den i menuen VARS EQU, som vises nederst i editoren til ligningsindskrivning. Hente indholdet af en defineret ligningsvariabel. Når du skriver eller redigerer ligningen, lagrer TI-86 den automatisk i variablen eqn. Menuen VARS EQU er en menuudgave af skærmbilledet VARS EQU (se kapitel 2). Alle elementerne her er variable, hvor der er lagret en ligning. Dette omfatter alle valgte og ikkevalgte ligningsvariable, der er defineret i ligningseditorerne i alle fire plotningstilstande (se kapitel 5, 8, 9 og 10). Elementerne i menuen står i alfanumerisk rækkefølge. Hvis du vælger en ligningsvariabel i menuen, indsættes den det sted, hvor markøren står. Navnet på den skrives hen over de tegn, der måtte stå der i forvejen, i hele sin længde. Hvis du trykker på - og vælger en ligningsvariabel i menuen og derefter trykker på b, indsættes indholdet af variablen det sted, hvor markøren står.

236 Kapitel 15: Løsning af ligninger Hvis du skriver en ligningsvariabel, konverterer TI-86 den automatisk til ligningen exp=ligningvariabel. Hvis du skriver et udtryk direkte, konverterer TI-86 automatisk udtrykket til ligningen exp=udtryk. I eksemplet er ligningen V1=V¹(R1/(R1+R2)) indskrevet i editoren til ligningsindskrivning. Hvis du har angivet et udtryk for eqn, er exp= det første, der står på indtastningslinien for at få angivet en variabel i den interaktive ligningsløsereditor. Opsætning af den interaktive løsningseditor Når du har lagret en ligning i variablen eqn i editoren til ligningsindskrivning, skal du trykke på b for at vise den interaktive ligningsløsereditor. Ligningen vises øverst i editoren. Hver variabel i ligningen vises som en indtastningslinie. Værdier, der allerede er lagret i variable, vises, og variable, der ikke er defineret, er tomme. Ligningsløsermenuen vises nederst på editoren (se side 239). bound={l1e99,1e99} er en liste, der indeholder standardværdien for den nedre grænse (L1E99) og standardværdien for den øvre grænse(1e99). Du kan redigere grænseværdierne (se side 237). Indtastning af værdier for variable Hvis du vil løse en ligning med hensyn til én ubekendt variabel, skal du definere alle de andre variable i ligningen. Når du skriver eller redigerer værdien af en variabel i den interaktive ligningsløsereditor, lagres den nye værdi i variablen i hukommelsen. Du kan eventuelt skrive et udtryk for en værdi. I dette tilfælde beregnes udtrykket, når du trykker på b, #, $ eller.. Udtryk skal blive til reelle tal i hvert trin i beregningen.

Kapitel 15: Løsning af ligninger 237 nedregrænse<øvregrænse. Du kan skrive en listevariabel på indtastningslinien bound=, hvis listen indeholder to gyldige elementer for grænser. Styring af løsningen med angivelse af grænseværdier og et gæt Ligningsløseren finder kun én løsning inden for de angivne grænser. Hver gang du viser den interaktive ligningsløsereditor, vises standardgrænseværdierne bound={l1e99,1e99}. Disse værdier er de maksimale værdier, du kan bruge på TI-86. TI-86 løser ligninger ved hjælp af iterationer. Hvis du vil styre denne proces, kan du angive snævrere grænser, der er tættere på løsningen, og du kan angive et gæt inden for disse grænser for den ubekendte variabel. Når du styrer processen ved hjælp af bestemte grænser og et gæt, hjælper du TI-86 på to måder. Den finder hurtigere en løsning. Der er større chance for, at den finder den ønskede løsning, hvis der er flere løsninger. Hvis du vil angive mere nøjagtige grænser på indtastningslinien bound=, er syntaksen: bound={nedregrænse,øvregrænse} På indtastningslinien for den ubekendte variabel kan du eventuelt skrive et gæt eller en liste med to gæt. Hvis du ikke angiver et gæt, bruger TI-86 (nedregrænse+øvregrænse)/2 som et gæt. På grafen for ligningsløseren (se side 239) kan du gætte en løsning ved at flytte den bevægelige markør eller sporingsmarkøren til et punkt på kurven mellem nedregrænse og øvregrænse. Hvis du vil løse ligningen for den ubekendte variabel ved hjælp af det nye gæt, skal du vælge SOLVE i ligningsløserens grafmenu. Løsningen vises i den interaktive ligningsløsereditor.

238 Kapitel 15: Løsning af ligninger Hvis du afslutter ligningsløseren, vises en ligning, som du har lagret i variablen eqn, når du vender tilbage til ligningsløseren. Tre prikker (...) angiver, at variablens værdi fortsætter uden for skærmen. Hvis du vil rulle værdien, skal du trykke på " og!. Firkanterne forsvinder, når du redigerer en værdi. Når du har løst ligningen, kan du redigere værdien af en variabel eller selve ligningen og derefter løse ligningen for den samme variabel eller en anden variabel i ligningen. Redigering af en ligning Hvis du vil redigere den ligning, der er lagret i variablen eqn, når den interaktive ligningsløsereditor vises, skal du trykke på $, indtil markøren står i ligningen. Editoren til ligningsindskrivning vises. TI-86 lagrer automatisk den redigerede ligning i variablen eqn, når du redigerer den. Redigering af ligningen i editoren til ligningsindskrivning ændrer kun indholdet af variablen eqn. På samme måde vil efterfølgende ændringer af indholdet af en ligningsvariabel ikke ændre variablen eqn. Løsning af én ligning med én ubekendt variabel Når alle kendte variabelværdier er lagret, grænserne er defineret, og der er angivet et gæt (valgfrit), skal du flytte markøren til indtastningslinien for den ubekendte variabel. Hvis du vil løse ligningen, skal du vælge SOLVE i ligningsløsermenuen (*). En lille firkant markerer den variabel, som du løste ligningen med hensyn til. Løsningsværdien vises. En lille firkant markerer også indtastningslinien leftnright=. Værdien i denne indtastningslinie er værdien af den venstre side af ligningen minus værdien af den højre side af ligningen, beregnet for den nye værdi af den variabel, som du løste ligningen med hensyn til. Hvis løsningen er nøjagtig, vises leftnright =0.

Kapitel 15: Løsning af ligninger 239 Nogle ligninger har flere løsninger. Hvis du vil lede efter flere løsninger, kan du skrive et nyt gæt eller angive nye grænser, og derefter løse ligningen for den samme variabel igen. Grafen til højre plotter løsningen fra eksemplet på side 234. Værdierne af vinduesvariablene er: xmin=l10, xmax=50, ymin=l50, ymax=50. Du kan vise andre menuer i den interaktive ligningsløsereditor Plotning af løsningen Når du vælger GRAPH i ligningsløsermenuen, vises ligningsløsergraf med den bevægelige markør. Den lodrette akse repræsenterer resultatet af den venstre side af ligningen minus den højre side af ligningen (leftnright) for hver værdi af den uafhængige variabel. Den vandrette akse repræsenterer den uafhængige variabel, som du løste ligningen med hensyn til. På grafen findes løsningerne for ligningen, hvor leftnright=0, dvs. der hvor grafenskærer x-aksen. Ligningsløseren bruger de aktuelle vindues- og formatindstillinger for grafen(se kapitel 5). Ligningsløseren plotter ikke løsningen i overensstemmelse med den aktuelle plotningstilstand. Ligningsløseren plotter altid løsningen som en funktionsgraf. Ligningsløseren plotter ikke udvalgte funktioner sammen med løsningen. Ligningsløsermenuen - t ligning b GRAPH WIND ZOOM TRACE SOLVE Plotter Zoom i Løser ligningen med hensyn til den ubekendte variabel ligningen ligningsløseren eller viser den interaktive ligningsløsereditor i eqn Plotter eqn Vindues- og aktiverer editor sporingsmarkøren

240 Kapitel 15: Løsning af ligninger Hvis du vil vise vindueseditoren, skal du vælge WIND i ligningsløsereditoren. Når du vælger GRAPH eller WIND i ligningsløsermenuen, erstatter EDIT det valgte punkt i menuen. Hvis du vil vende tilbage til den interaktive ligningsløsereditor fra grafen eller vindueseditoren, skal du vælge EDIT. Du kan bruge den bevægelige markør eller sporingsmarkøren til at vælge et gæt på grafen. I kapitel 6 og Funktioner og instruktioner fra A til Z beskrives disse funktioner detaljeret. Grafværktøjer til ligningsløseren Du kan udforske grafen for en løsning med den bevægelige markør på samme måde som på andre grafer. Når du gør det, opdateres koordinatværdien for variablen (x-aksen) og leftnright (yaksen). Hvis du vil aktivere sporingsmarkøren, skal du vælge TRACE i ligningsløsermenuen. Panorering, LynZoom og indtastning af en bestemt værdi (se kapitel 6) kan bruges med sporingsmarkøren på ligningsløsergrafen. Hvis du vil annullere sporingsmarkøren og vise ligningsløsermenuen, skal du trykke på.. Menuen ZOOM i ligningsløseren - t ligning b ( GRAPH WIND ZOOM TRACE SOLVE BOX ZIN ZOUT ZFACT ZSTD BOX Tegner en boks for at omdefinere vinduet (se kapitel 6) ZIN Forstørrer grafen omkring markøren med faktorerne xfact og yfact (se kapitel 6) ZOUT Viser mere af grafen omkring markøren med en faktor xfact og yfact (se kapitel 6)

Kapitel 15: Løsning af ligninger 241 ZFACT Viser skærmbilledet ZOOM FACTORS (se kapitel 6) ZSTD Viser grafen i standardstørrelse og nulstiller standardværdierne for vinduesvariablene Bestemmelse af rødder i polynomier Bestemmelse af rødder i polynomier Med værktøjet til løsning af ligninger af n te grad (- v) kan du løse reelle eller komplekse ligninger af op til 30. grad. Indtastning og løsning af en ligning af n-te grad POLY-koefficienterne er ikke variable. Du kan vise andre menuer i koefficientindtastningseditoren. Hent skærmbilledet til angivelse af graden for polynomierne. Skriv et helt tal mellem 2 og 30. Koefficientindtastningseditoren vises med ligningen øverst, indtastningslinierne til koefficienterne i venstre side og menuen POLY ENTRY for neden. Skriv en reel eller kompleks værdi (eller et udtryk, der beregnes til en reel eller kompleks værdi) for hver koefficient. Hvis du vil fjerne alle koefficienter, skal du vælge CLRa i menuen POLY ENTRY. - v 4 b 18 # 5 # 21 # 7 # 16

242 Kapitel 15: Løsning af ligninger Tre prikker (...) angiver, at en værdi fortsætter uden for skærmen. Tryk på " og! for at rulle værdien. Løs ligningen. Rødderne beregnes og vises. Resultaterne bliver ikke lagret i variable, og du kan ikke redigere dem. Menuen POLY RESULT vises også. Resultaterne kan være komplekse tal. * Hvis du vil skifte til koefficientindtastningsskærmbilledet, skal du vælge COEFS i menuen POLY RESULT. Hvis du vil finde rødder i hovedskærmbilledet eller i et program, skal du vælge poly i CATALOG. Lagring af en koefficient eller rod i en variabel Flyt markøren til lighedstegnet ud for den koefficient eller rod, du vil lagre. Hent indtastningslinien Sto. ALPHA-låsen er aktiveret. Skriv den variabel, du vil lagre værdien i. Gem værdien. Hent indtastningslinien Name= for navnet på listen over koefficienter. ALPHA-låsen er aktiveret. Skriv navnet på den listevariabel, du vil lagre koefficienterne i. Gem koefficientværdierne. # # # X ãrä ãoä ãoä ãtä 1 1 b ' ãcä ãoä ãeä ãfä 1 1 b Hvis du vil vende tilbage til koefficientindtastningsskærmbilledet, hvor du kan redigere koefficienter og beregne nye løsninger, skal du vælge COEFS i menuen POLY RESULT.

Kapitel 15: Løsning af ligninger 243 Løsning af n ligninger med n ubekendte Med den simultane ligningsløser kan du løse systemer på op til 30 lineære ligninger med 30 ubekendte. SIMULT-koefficienterne er ikke variable. Du kan vise andre menuer i koefficientindtastningsskærmbilledet. Hvis du vil flytte fra koefficientindtastningseditoren for en af ligningerne til editoren for en anden ligning, skal du vælge PREV eller NEXT. Hvis du vil flytte mellem koefficienterne, skal du trykke på #, $ eller b. Fra den sidste eller første koefficient flytter disse taster til det næste eller foregående koefficientindtastningsskærmbillede, hvis det er muligt. Indtastning af det ligningssystem, der skal løses Hent skærmbilledet til angivelse af antallet af - u ligninger og ubekendte. 3 b Skriv et helt tal 2 og 30(incl.) for antallet af ligninger. Koefficientindtastningseditoren for den første ligning (for et system af n ligninger med n ubekendte) vises. Menuen SIMULT ENTRY vises også. Skriv en reel eller kompleks værdi (eller et 9 # 8 # 7 # 2 udtryk, der beregnes til en reel eller kompleks værdi) for hver koefficient i ligningen og for b 1, som er højre side af den pågældende ligning. Hent koefficientindtastningsskærmbilledet for den anden og tredje ligning, og angiv værdier for dem. b (eller ') 5 # a 6 # a 4 # 2 # b (eller ') 1 # 5 # 9 # 7

244 Kapitel 15: Løsning af ligninger Tre prikker (...) angiver, at en værdi fortsætter uden for skærmen. Tryk på " og! for at rulle værdien. Løs ligningerne. Resultaterne beregnes og vises på skærmen. Resultaterne bliver ikke lagret i variable, og du kan ikke redigere dem. Menuen SIMULT RESULT vises også. * Hvis du vil skifte til koefficientindtastningsskærmbilledet, skal du vælge COEFS i menuen SIMULT RESULT. Lagring af ligningskoefficienter og resultater i variable Hvis du vil lagre koefficienterne a 1,1 ; a 1,2 ;...;a n,n i en n n matrix, skal du vælge STOa i resultatmenuen. Hvis du vil lagre højresiderne b 1,b 2,...,b n i en vektor med dimension n, skal du vælge STOb i resultatmenuen. Hvis du vil lagre resultaterne x 1, x 2,..., x n i en vektor med dimension n, skal du vælge STOx i resultatmenuen. Hvis du vil lagre en enkelt værdi i koefficientindtastningsskærmbilledet eller resultatskærmbilledet, skal du følge disse trin: Flyt markøren til lighedstegnet ud for den koefficient eller det resultat, du vil lagre. # #

Kapitel 15: Løsning af ligninger 245 Hvis du vil løse et ligningssystem på hovedskærmbilledet eller i et program, skal du vælge simult( i CATALOG. Hent indtastningslinien Name= for variablen. ALPHA-låsen er aktiveret. Skriv navnet på den variabel, du vil lagre værdien i. Gem værdien. Navnet på variablen bliver til et element på skærmbilledet VARS REAL eller VARS CPLX. X ãrä ãeä ãsä ãuä ãlä ãtä 1 1 b Hvis du vil vende tilbage til koefficientindtastningsskærmbilledet, hvor du kan redigere koefficienter og beregne nye løsninger, skal du vælge COEFS i menuen SIMULT RESULT.

246 Kapitel 15: Løsning af ligninger