Løsninger til kapitel 5

1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse i HypoStat eller direkte i Excel Man kan også en gang for alle lave en tabel over de kumulerede sandsynligheder: k X k) Xk) X k) 0 0,1074 0,1074 1,0000 1 0,3758 0,2684 0,8926 2 0,6778 0,3020 0,6242 3 0,8791 0,2013 0,3222 4 0,9672 0,0881 0,1209 5 0,9936 0,0264 0,0328 6 0,9991 0,0055 0,0064 7 0,9999 0,0008 0,0009 8 1,0000 0,0001 0,0001 9 1,0000 0,0000 0,0000 10 1,0000 0,0000 0,0000 a) P ( X 0) 0, 1074 b) P ( X 2) 0, 3020 c) P ( X 7) 0, 0008 d) P ( X 0) 0, 1074 e) P ( X 2) 0, 6778 f) P ( X 7) 0, 9999 g) P ( X 0) 1, 0000 h) P ( X 2) 0, 6242 i) P ( X 7) 0, 0009 j) P ( X > 0) X 1) 0, 8926 k) P ( X > 2) X 3) 0, 3222 l) P ( X > 7) X 8) 0, 0001 m) P ( 2 < X < 7) X 6) X 2) 0,9991 0,6778 0, 3213 n) P ( 2 X < 7) X 6) X 1) 0,9991 0,3758 0, 6233 o) P ( 2 X 7) X 7) X 1) 0,9999 0,3758 0, 6241 Opgave 52 a) X, som angiver antallet af computere blandt de 7, som skal repareres inden for garantiperioden, er binomialfordelt, idet X angiver antallet af 'succeser' i en binomialproces, nemlig den, hvori basiseksperimentet er at undersøge, hvorvidt en computer skal repareres inden for garantiperioden Skal den det, betegner vi det som en 'succes', og succes-sandsynligheden er konstant p 5% Vi gentager dette basiseksperiment n 7 gange, og da de enkelte computeres tilstand er uafhængige af hinanden, har vi en binomialproces X er da binomialfordelt, X ~ bin(7;5%) k X k) Xk) X k) 0 0,7738 0,7738 1,0000 1 0,9774 0,2036 0,2262 2 0,9988 0,0214 0,0226 3 1,0000 0,0011 0,0012 4 1,0000 0,0000 0,0000 5 1,0000 0,0000 0,0000 b) P ( X 0) 0, 7738 c) P ( X 1) 0, 2262 d) P ( X > 2) X 3) 0, 0012

Opgave 53 a) X følger en binomialfordeling,, idet kastene med de tre terninger kan opfattes som en binomialproces, hvori basiseksperimentet er at kaste med én terning og se, om det ønskede symbol opnås eller ikke Sandsynligheden for dette er 1/6 b) I HypoStat beregnes sandsynlighederne:,, og c) Middelværdien og spredningen for X bestemmes: d) Spillerens nettogevinst er -1, hvis, mens den er 1, 2 og 3, hvis X antager værdierne 1, 2 og 3, henholdsvis Derfor: e) Middelværdien og spredningen af Y udregnes direkte: og endelig Opgave 54 Indledningsvist defineres de to stokastiske variable X og Y, som angiver antal gange, en vilkårlig person ser reklamen, hvis den sendes hos henholdsvis Kanal Kedelig og TV Plat Det antages, at begge disse er binomialfordelte, idet der er tale om en binomialproces: basiseksperimentet er at sende reklamen én gang og undersøge, om personen så reklamen Dette basiseksperiment gentages en række gange, og da det antages, at seningen er uafhængig af hinanden, så er der tale om en binomialproces 2

Idet budgettet tillader 10 Kanal Kedelig- og 40 TV Plat-reklamer, så er de to fordelinger givet ved og a) Vi skal her beregne middelværdierne af de to stokastiske variable Resultaterne er og b) Vi skal her beregne sandsynlighederne og : og c) Frekvenserne findes som, dvs vi får frekvenserne på 2,24 for Kanal Kedeligss vedkommende og 2,29 for TV Plats vedkommende d) Excel giver: k X k) Xk) X k) 0 0,1074 0,1074 1,0000 1 0,3758 0,2684 0,8926 2 0,6778 0,3020 0,6242 3 0,8791 0,2013 0,3222 4 0,9672 0,0881 0,1209 5 0,9936 0,0264 0,0328 6 0,9991 0,0055 0,0064 7 0,9999 0,0008 0,0009 8 1,0000 0,0001 0,0001 9 1,0000 0,0000 0,0000 10 1,0000 0,0000 0,0000 og For TV Plats vedkommende fås i Excel: k X k) Xk) X k) 0 0,1285 0,1285 1,0000 1 0,3991 0,2706 0,8715 2 0,6767 0,2777 0,6009 3 0,8619 0,1851 0,3233 4 0,9520 0,0901 0,1381 5 0,9861 0,0342 0,0480 6 0,9966 0,0105 0,0139 7 0,9993 0,0027 0,0034 8 0,9999 0,0006 0,0007 9 1,0000 0,0001 0,0001 10 1,0000 0,0000 0,0000 3

e) Antagelsen om uafhængighed er helt sikkert ikke overholdt i virkeligheden Folk har tvvaner, og ser man feks sin yndlings-soap opera hver dag, så vil sendingen af reklameblokkene i forbindelse hermed være stærkt afhængige Endvidere er antagelsen om, at se-sandsynligheden p er den samme for alle personer i landet stærkt problematisk - i praksis varierer denne fra person til person Opgave 55 I det følgende betegner X den stokastiske variabel, som angiver antallet af pærer, som kan brænde mindst 2000 timer, iblandt de 50 pærer, som kunden køber Det vides, at X er binomialfordelt, idet vi har en binomialproces, hvori basiseksperimentet er at undersøge, om en enkelt pære kan brænde mere end 2000 timer, og dette basiseksperiment gentages 50 gange uafhængigt af hinanden Vi har derfor, at Nedenstående sandsynligheder kan alle beregnes direkte i HypoStat a) b) c) Der er altså 6,07 % chance for, at højst 35 pærer kan brænde mere end 2000 timer Der er altså 13,98% sandsynlighed for, at netop 40 pærer kan brænde mere end 2000 timer Der er altså 58,36% sandsynlighed for, at mindst 40 pærer kan brænde mere end 2000 timer d) Vi skal nu finde p, således at Det kan gøres på flere måder; man kan feks lege med p i HypoStat og beregne, indtil ovenstående sandsynlighed bliver mindst 99% Prøver man sig lidt frem, ses, at giver en sandsynlighed på 98,17%, mens giver en sandsynlighed på 99,06% Fabrikanten skal altså give en garanti på 90%, altså at mindst 90% af produktionen har en levetid på mindst 2000 timer Opgave 56 Lader vi den stokastiske variabel X betegne antallet af røde kugler blandt de 6 udtrukne, så ses, at idet der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning, at X er hypergeometrisk fordelt med parametrene,, og stikprøvestørrelsen Altså a) I HypoStat beregnes Der er altså 12,91% sandsynlighed for, at alle 6 udtrukne kugler er røde b) Hvis der kun udtrækkes 3 røde kugler, så må de resterende automatisk være blå Derfor skal vi finde sandsynligheden for, at der udtrækkes 3 røde kugler: I HypoStat beregnes 4

Der er altså 11,74% sandsynlighed for, at der udtrækkes 3 røde og 3 blå kugler c) Hvis der skal udtrækkes mindst 2 kugler af hver farve, så skal der være mindst 2 røde, dvs, og mindst 2 blå, dvs højst 4 røde, dvs Vi skal derfor finde sandsynligheden Der er altså 45,31% sandsynlighed for, at der udtrækkes mindst 2 kugler af hver farve d) Det forventede antal røde kugler er: Opgave 57 X er den stokastiske variabel, som angiver antallet af defekte komponenter i partiet Idet der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning, så er X hypergeometrisk fordelt, Partiet accepteres, hvis, og sandsynligheden for dette udregnes i HypoStat til 14,14% Opgave 58 X angiver antallet af rådne æg i stikprøven Idet der udtages en stikprøve uden tilbagelægning, så vides, at X er hypergeometrisk fordelt, a) I HypoStat beregnes Der er altså 23,95% sandsynlighed for, at stikprøven indeholder 2 rådne æg b) Det forventede antal rådne æg er Opgave 59 a) Med X betegnes antal ankomne kunder i løbet af 1 minut Det ses, at X er Poissonfordelt med parameteren λ λ time / 60 24 / 60 0, 4 Vi får i HypoStat eller ved direkte udregning: 1 λ 1 0,4 λ e 0,4 e P ( X 1) 0,2681 1! 1! b) Vi har, i HypoStat eller ved direkte udregning: 0 λ 0 λ λ e λ e X 2) 1 X 0) X 1) 1 0! 0! 0 0,4 1 0,4 0,4 e 0,4 e 1 1 0,6703 0,2681 0,0616 0! 1! c) Med Y betegnes antal ankomne kunder i løbet af 5 minutter Det ses, at Y er Poissonfordelt med parameteren λ5 5λtime / 60 5 24 / 60 2 Der ankommer ingen kunder i løbet af 5 minutter, hvis Y 0 Dette sker med sandsynligheden 5

P ( Y λ 0) 0 5 e 0! λ5 0 2 e 0! 0,1353 Opgave 510 Den stokastiske variabel X beregner antal børnefødsler pr døgn Det vides, at a) I HypoStat fås direkte, at Der er altså 32,33% sandsynlighed for, at der fødes mindst 3 børn i løbet af et døgn b) Y betegner antallet af børn, som fødes i løbet af en uge Idet intensiteten for børnefødsler i løbet af et døgn er på 2, så er intensiteten for børnefødsler i løbet af en uge på I HypoStat fås umiddelbart Der er altså 4,79% sandsynlighed for mindst 21 fødsler i løbet af en uge c) Vi skal finde antallet af jordemødre k, således at Dette gøres ved at eksperimentere i HypoStat: Det ses, at, så 5 jordemødre er ikke nok, mens Derfor er, og, så der skal være 6 jordemødre i kommunen Opgave 511 Vi lader X betegne antal blindtarmsbetændelser, som ankommer i løbet af en dag Det oplyses, at X po(2) a) Der sendes patienter videre, hvis X > 3 Vi finder, enten i HypoStat eller ved direkte beregning, at: 0 λ 0 λ e 2 e P ( X 0) e 0,1353 0! 0! 1 λ 1 λ e 2 e P ( X 1) 2e 0,2707 1! 1! 2 λ 2 λ e 2 e 4 P ( X 2) e 2e 0,2707 2! 2! 2 3 λ 3 λ e 2 e 8 4 P ( X 3) e e 0,1804 3! 3! 6 3 X > 3) 1 X 0) X 1) X 2) X 3) 1 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,1429 b og c) 6 Vi regner videre 4 λ e P ( X 4) 4! 5 λ e P ( X 5) 5! 6 λ e P ( X 6) 6! λ λ λ 4 2 e 4! 5 2 e 5! 6 2 e 6! 16 e 24 32 120 64 720 2 e 0,0902 3 4 e e 0,0361 15 4 e e 0,0120 45

og finder: P ( X > 4) X > 3) X 4) 0,1429 0,0902 0,0527 P ( X > 5) X > 4) X 5) 0,0527 0,0361 0,0166 P ( X > 6) X > 5) X 6) 0,0166 0,0120 0,0046 Det ses, at hvis kapaciteten udvides til 5 operationer pr dag, så bliver sandsynligheden for at sende videre mindre end 0,05 Det ses endvidere, at hvis kapaciteten udvides til 6 operationer pr dag, så bliver sandsynligheden for at sende videre mindre end 0,01 d) Det forventede antal ankomne patienter pr dag er E ( X ) λ 2 e) Det mest sandsynlige antal patienter pr dag er enten 1 eller 2 - i delopgave a) har vi nemlig beregnet de første (og største) sandsynligheder for Poisson-fordelingen f) Lader vi Y betegne det antal patienter, der opereres pr dag, så er Y max(x,3), dvs P ( Y 0) X 0) 0,1353 P ( Y 1) X 1) 0,2707 P ( Y 2) X 2) 0,2707 Y 3) 1 Y 0) Y 1) Y 2) 1 0,1353 0,2707 0,2707 0,3233 Det forventede antal opererede patienter pr dag er derfor E( Y ) 0 Y 0) + 1 Y 1) + 2 Y 2) + 3 Y 0 1353 + 1 0,2707 + 2 0,2707 + 3 0,3233 1,7820 3) f) Lader vi Z betegne antallet af patienter, som sendes videre, så må X Y + Z og dermed E ( X ) E( Y ) + E( Z) Vi får derfor E ( Z ) E( X ) E( Y ) 2 1,7820 0,2180 Opgave 512 a) X antal returnerede skemaer Basiseksperiment udsendelse af et skema og se om dette returneres Dette sker med sandsynligheden 0,62 og gentages 2400 gange b) X antal defekte i stikprøven Der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning Hele partiet indeholder N komponenter, hvoraf S er defekte c) X antal personer, som køber bil Basiseksperimentet se om en vilkårlig besøgende køber en bil Dette sker med 12/200 6% sandsynlighed og gentages n gange d) X antal passagerer pr busafgang Idet man antager, at buspassagerer ankommer efter en Poisson-proces, så er X Poissonfordelt (antal passagerer mellem to busafgange) e) X antal scootere som kan køre mere end 50 km/t Basiseksperiment køb en scooter og se om den kan køre mere end 50 km/t Denne basissandsynlighed er ukendt og lig med p Dette gentages 4 gange 7

f) X antal seje lammekoteletter i ordren Basiseksperiment køb en kotelet og se om den er sej Det er den med sandsynligheden 2% Dette gentages 1200 gange 8