F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L"

Transkript

1 F I N N H. K R I S T I A N S E N 2 KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L

2 Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller. Anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Forudsatte begreber: Observation, hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, middeltal, sandsynlighed/chance. Inddragelse af supplerende stof: Indsamling og bearbejdning af data, herunder diskussion af hypoteser og af repræsentativitet af stikprøver. SIMULATIONER TIL BESTEMMELSE AF SANDSYNLIGHEDER I kender begreberne observation, hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens og middeltal fra deskriptiv statistik. Disse begreber skal i det følgende anvendes i forbindelse med beregning af sandsynligheder. Når man skal bestemme sandsynligheder, er der i princippet to forskellige måder at gå frem. Ved den ene metode argumenterer man logisk og laver udregninger ved hjælp af passende formler. Hvis man fx vil bestemme, hvad sandsynligheden er for at slå de 6 forskellige øjental ved kast med en terning, så kunne man passende argumentere sådan: Da terningen har 6 sider (og i øvrigt er pænt symmetrisk), er der ingen grund til at tro, at nogen af siderne kommer op hyppigere end andre. Derfor er sandsynligheden for hvert af de 6 øjental den samme, nemlig 1 6. Hvis vi imidlertid har mistanke om, at terningen er falsk, så duer denne metode ikke. Vi er nødt til at prøve os frem, så vi beslutter at kaste terningen et stort antal gange. De frekvenser, vi får for de forskellige øjental, kalder vi sandsynlighederne. Sandsynligheder, der er fremkommet på den sidste måde, kalder man sædvanligvis for statistiske sandsynligheder, mens sandsynligheder fremkommet gennem logiske argumenter og beregninger kaldes kombinatoriske sandsynligheder. Hvis man vil beregne sandsynligheden for at vinde de forskellige gevinster i Lotto, så behøver man ikke spille et stort antal gange. Her kan man beregne sig frem til sandsynlighederne. Man bruger altså kombinatoriske sandsynligheder. Hvis man derimod vil beregne sandsynligheden for, at en tegnestift, der kastes på gulvet, lander, så man ikke træder stiften op i foden, hvis man er så uheldig at træde på den, så kan man ikke beregne sig frem Kugle 2

3 til resultatet. Man er nødt til at udføre forsøget et stort antal gange og herigennem finde ud af, hvor mange procent af gangene dette sker. Så måske vælger man at kaste 1000 tegnestifter ud på et gulv og lave en optælling. Den sandsynlighed, man her når frem til, er statistisk, da den baserer sig på statistik. Man bruger altså statistiske sandsynligheder. Med computeren kan man lave simulationer (at simulere betyder at "lade som om ) som middel til at bestemme sandsynligheder i situationer, hvor man ellers ville regne sig frem med formler. Man kan altså benytte sig af statistiske sandsynligheder i stedet for kombinatoriske sandsynligheder. Det kunne man fx gøre i forbindelse med bestemmelse af sandsynlighederne for at vinde en lottogevinst. Det ville nemlig være forholdsvis enkelt at lave et computerprogram, som simulerer et lottospil. Man bruger betegnelsen computermodel for en sådan efterligning af lottospillet. SIMULATIONER MED COMPUTER Vi skal nu arbejde med et simulationsprogram, KUGLESIM, der simulerer udtagelse af kugler fra en krukke. Kuglerne er røde eller hvide. Den slags udtagelser kan tjene som model for mange forskellige typer af chanceeksperimenter. Programmet KUGLESIM kan håndtere chancesituationer, som kan udtrykkes på følgende måde: 1. Et grundeksperiment resulterer i en enten/eller situation. 2. Grundeksperimentet gentages et antal gange. 3. Til slut optælles, hvor mange gange grundeksperimentet giver en enten situation Et terningkast kan bruges som eksempel. Lad os forestille os, at vi er interesseret i sandsynlighederne for at få 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 seksere, når vi kaster en terning fem gange (eller hvad der er det samme: kaster fem terninger på én gang). Dette eksperiment opfylder de tre krav: Ad 1. Vi interesserer os kun for 6 er eller ikke 6 er (enten/eller) Ad 2. Eksperimentet udføres fem gange. Ad 3. Vi optæller til slut det samlede antal 6 ere. Sandsynligheden for at få 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 seksere kan udregnes med en passende formel, men i stedet sætter vi computeren til at simulere det. Vi laver en computermodel af spillet. Vi forestiller os, at computeren indeholder en krukke med seks kugler, hvoraf den ene er rød. Hvis vi udtager en tilfældig kugle og får fat på den røde, så svarer det til at slå en 6 er med terningen. Begge har nemlig sandsynligheden 1 6. Kugle 3

4 Computersimulationen af fem terningkast består i fem gange at udtage en kugle og registrere farven. Kuglen lægges tilbage i krukken efter hver udtagning. Det kalder vi én serie, som vi siger har længden fem i denne situation. Resultatet af serien er antallet af gange, en rød kugler blev udtaget. Tallet registreres i computeren, som på få sekunder kan lave serier, og vi kan nu bruge frekvenserne for de seks forskellige resultater som sandsynligheder. Ved simulation af terningkastet ovenfor lagde vi kuglen tilbage i krukken efter hver udtagning. Det skyldes selvfølgelig, at sandsynligheden for at slå en 6 er hele tiden er den samme. Det er imidlertid let at udtænke situationer, hvor man ikke skal lægge kuglen tilbage: Anne skal på ferie og har i sit klædeskab otte T-shirts liggende. Hun har lidt travlt, og griber helt tilfældigt tre af dem og lægger dem i kufferten. Hun har imidlertid glemt, at blandt de otte, er der én, som er for lille og én, som er gået i stykker. Hvad er risikoen for, at hun får begge de ubrugelige T-shirts med på ferie? Her lægger vi otte kugler i krukken, hvoraf to er røde. Vi udtager tre kugler fra krukken. Men denne gang skal vi selvfølgelig ikke lægge kuglen tilbage igen efter hver udtagelse. Anne kan jo ikke udtage den samme T-shirt flere gange. INDFØRING I BRUG AF PROGRAMMET, KUGLESIM Programmet KUGLESIM er meget simpelt at bruge. Brugerfladen er vist her under med tallene til Annes ferie. Den indeholder blot indstillingsmuligheder for de variable, som er nævnt ovenfor. I skal: vælge med/uden TILBAGELÆGNING vælge hvor mange kugler krukken indeholder i alt: KUGLER I ALT vælge hvor mange kugler, der er røde: HERAF RØDE vælge SERIENS LÆNGDE. I kan ikke skrive et antal røde kugler, som er større end KUGLER I ALT, og I kan heller ikke udtage flere kugler, end der er i krukken, når I udtager uden tilbagelægning. SERIENS LÆNGDE må ikke være over 2000, og ANTAL SERIER må ikke være over Simulationen starter, når I trykker på knappen START SIMULATIONEN. Det tager nogle sekunder, afhængigt af hvor mange serier I vil lave, og hvor mange kugler I udtager fra krukken. I kommentarfeltet har I mulighed for at skrive en tekst, som kommer ud sammen med resultaterne. Der kunne fx stå, hvilken opgave simulationen omhandler og dine initialer. I behøver ikke skrive noget. Kugle 4

5 Resultaterne bliver præsenteret med det samme på skærmen, men anbringes også i en rapport, som I kan hente frem ved at klikke på det tilhørende ikon, som er vist til venstre. Her er resultaterne af en kørsel af Annes ferie, som de ser ud i rapporten. KOMMENTAR: Annes ferie TILBAGELÆGNING: UDEN KUGLER I ALT: 8 DERAF RØDE: 2 SERIENS LÆNGDE: 3 ANTAL SERIER: UDSKREVET : 9:27:01 PM Sunday, September 04, 2005 RØDE ANTAL FREKV. KUM.FR Hver gang I laver et nyt eksperiment, så tilføjes resultaterne til de, som allerede stod i rapporten. Hvis I altså har lavet ti eksperimenter med KUGLESIM, så står der ti sæt resultater i rapporten. I kan frit skifte frem og tilbage imellem KUGLESIM og jeres rapport. Men da KUGLESIM er et web-program, så slet- Kugle 5

6 tes jeres rapport, når I lukker programmet! Hvis I derfor skal bruge nogle af resultaterne senere til jeres projekt-rapport, så kan I markere det, I skal bruge, og kopiere det over i et tekstdokument på jeres egen computer, før I lukker KUGLESIM. OPGAVER Lav Annes ferie som vist ovenfor og kør simulationen nogle gange efter hinanden Studer derefter resultaterne ved at åbne rapporten. Prøv at sikre dig, at du forstår, hvad tallene i de tre søjler med resultater betyder. Hvad var svaret på spørgsmålet, der blev stillet ovenfor: Hvad er chancen for at Anne får begge de ubrugelige T-shirts med på ferie? Opgave 1 Læg mærke til, at resultaterne varierer lidt fra simulation til simulation. Prøv derefter at sætte ANTAL SERIER til i stedet for Bliver resultaterne mere stabile fra simulation til simulation? I Danmark regner man med, at ca. 64% har blå øjne (grønne og grå regnes med her). Opgave 2 Hvis der i en klasse er 28 elever, hvad er så chancen for, at der er højst 18 elever med blå øjne? Hvad er chancen for, at der er præcis 18 elever med blå øjne? Christian skal lave omelet med 6 æg. I køleskabet står en bakke med 12 æg. To af æggene er dårlige, men det kan man hverken se eller lugte. Opgave 3 Hvad er chancen for, at Christian undgår de dårlige æg, når han vælger de 6 æg ud? Hvis han i stedet havde haft en bakke med 24 æg, hvoraf 4 æg var dårlige, og igen skulle lave en omelet med 6 æg. Ville chancen for at undgå de dårlige æg så være den samme som før? En bestemt multiple-choice test består af 19 spørgsmål. Til hvert spørgsmål er der tre svarmuligheder. Hvis man har over halvdelen rigtig, består man testen. Opgave 4 Hvad er chancen for at bestå, hvis man intet kender til det emne, der bliver testet i, og derfor vælger svar helt tilfældigt? Kugle 6

7 På et bestemt HF-kursus går der flest kvinder, nemlig 70%. En dag udtages der tilfældigt blandt samtlige elever 6 personer til at repræsentere skolen ved et møde. Opgave 5 Hvad er chancen for, at der kommer lige mange mænd og kvinder med? I 1600-tallet var sandsynlighedsregningen først så småt i gang med at blive udviklet. Adelsmanden Chevalier de Meré mente at kunne konstatere, at der var lidt større chance for slå mindst én 6 er ved fire kast med en terning, end der var for at slå mindst én dobbelt-6 er ved 24 kast med to terninger. Han bad derfor matematikeren og filosoffen Blaise Pascal ( ) om at hjælpe med at afklare spørgsmålet. Pascal beviste, at de Meré havde ret, og han bestemte de to sandsynligheder. Opgave 6 Find de to sandsynligheder (tip: en dobbelt-6 er har chancen 1/36). Bekræfter dine tal, hvad Pascal fandt frem til? Røde Kors sælger lodsedler ved døren. Britt har kun 10 lodsedler tilbage, da hun ringer på min dør. Blandt disse 10 er der faktisk hele tre, som giver gevinst, men det ved hverken Britt eller jeg. Jeg beslutter mig for at købe 5 lodsedler af Britt. Opgave 7 Hvad er chancen for, at jeg ingen gevinst får ud af det? Hvad er chancen for, at jeg får mindst én gevinst? Hvad har resultaterne fra de to foregående spørgsmål med hinanden at gøre? En forhandler af blomsterløg har modtaget et stort parti. Leverandøren meddeler, at man må regne med, at 4% af løgene ikke spirer. Forhandleren vil sælge løgene i pakker 50 løg, og vil nødigt have klager over at færre end 50 løg spirer. Opgave 8 Overvej, hvilken sikkerhed han har for at få tilfredse kunder, hvis han putter lidt flere end 50 løg i pakkerne. Udregn middeltallet for antal røde kugler, når man udtager kugler med tilbagelægning. Brug den metode, du kender fra deskriptiv statistik. Opgave 9 (Prøv fx med en krukke med 20 kugler, hvoraf 8 er røde, og hvor serielængden er 5.) Resultatet skulle blive 5 (8/20) = 2. Kugle 7

8 Passer det nogenlunde med dit resultat? Tallet 5 (8/20) = 2 angiver vi som formel således: n p = 2, hvor n er serielængden, mens p angiver brøkdelen af røde kugler.) Eksperimentér med andre sammensætninger af krukken og med andre serielængder. Udregn hver gang middeltallet for antallet af røde kugler. Passer det stadig med, at middeltallet bliver cirka n p? Som hjælp kunne du evt. udfylde et skema som dette: N = SERIENS LÆNGDE P = HERAF.RØDE KUGLER.I.ALT N P MIDDELTAL FOR ANTAL RØDE KUGLER Gælder der en tilsvarende formel, når vi udtager kugler uden tilbagelægning? Prøv selv. Simulér ét møntkast, hvor du registrerer, om du får krone (serielængden er 1). Prøv først at udføre forsøget med ANTAL SERIER = 10. Lad derefter ANTAL SERIER være 20, 50, 100, 1000, og til slut Opgave 10 Hvad viser frekvenserne for krone efterhånden, som serielængden forøges? Beskriv hvad du ser. Når geologer undersøger hvilke mineraler, der findes i bjergarter i bestemte områder, benytter de undertiden metoder, der kan beskrives ved modeller, som dem vi arbejder med her. I Gros Ventre River i Wyoming, USA blev der i 1967 lavet en undersøgelse for at fastslå forekomsten af mineralet kvarts blandt småsten i floden. Det foregik ved, at man gentagende gange udtog tilfældige stikprøver på ti sten ad gangen. Hver gang blev de ti sten undersøgt for kvarts. Resultaterne kan ses her: Opgave 11 Antal sten med kvarts ud af 10 sten i alt Frekvens Kugle 8

9 Hvilken model passer disse resultater bedst med? Du skal altså prøve dig frem med forskellige værdier af kugler i alt, heraf røde, samt afgøre, om vi her har at gøre med stikprøveudtagelse med eller uden tilbagelægning. Når du har fundet den model som passer bedst, har du et bud P, hvor stor en brøkdel af stenene der er kvartsholdige (nemlig HERAF RØDE divideret med KUGLER I ALT). Man siger, at vi hermed har foretaget en estimation af denne brøkdel (dvs. vurderet størrelsen af den). Det diskuteres med mellemrum flittigt, om der findes mennesker, som har evner, der ikke kan forklares indenfor den etablerede videnskabs rammer. Er det fx muligt for enkelte særligt sensitive mennesker at føle farver med fingerspidserne? Det er der nogen, som hævder de kan. Dette spørgsmål er faktisk blevet undersøgt videnskabeligt ved flere lejligheder. Et af forsøgene forløb således: Der blev anbragt 20 almindelige spillekort på et bord, alle med bagsiden opad. Kortene var ens, bortset fra at bagsiden på de fire var røde, mens bagsiden på resten var blå. Kortene blev blandet grundigt, og forsøgspersonen skulle føle på kortenes bagsider, mens han havde et tæt bind for øjnene. Opgaven gik ud på at finde de fire røde kort. Opgave 12 Prøv at undersøge chancerne for få et godt resultat, selvom man vælger de fire kort fuldstændigt tilfældigt. Hvad synes du i øvrigt, et godt resultat er? Prøv evt. at udføre forsøgte i praksis. Kugle 9

10 Projekter Projekt C OPINIONSUNDERSØGELSER Ved opinionsundersøgelser udspørger man en gruppe mennesker om fx deres politiske ståsted. Man kunne fx udspørge 2000 mennesker, som man tror, er repræsentative for vælgerne i Danmark. Vi vil her ved hjælp af simulationer med KUGLESIM undersøge, hvilken lid man kan fæste til resultaterne af en sådan undersøgelse. For at gøre det enkelt forestiller vi os her, at man kun undersøger tilslutningen til et enkelt parti. Vi vil altså bruge KUGLESIM til at lave en estimation af vælgertilslutningen til dette parti. Spørgsmålet til deltagerne i undersøgelsen er derfor kun, om man ville stemme på det pågældende parti, eller man ikke ville. Vi forestiller os endvidere, at vi kender tilslutningen til partiet allerede, fx 30%. Det problem, der skal undersøges, er altså: Hvor sikre prognoser får vi for tilslutningen til partiet ved en opinionsundersøgelse? Hvis vi lader krukken indeholde 100 kugler, hvoraf 30 er røde, og udtager en serie på 2000 med tilbagelægning, simulerer vi en opinionsundersøgelse med 2000 deltagere. Når vi har udtaget en enkelt stikprøve, vil antallet af røde kugler i stikprøven være det antal personer, som har sagt, at de er tilhængere af det pågældende parti. Prøv at overveje, hvorfor vi tillader os at lave eksperimentet med tilbagelægning, når vi i praksis aldrig ville spørge den samme person to gange. Prøv at lave eksperimentet i KUGLESIM med ANTAL SERIER = 1. Det ville være rart hvis I fik præcis 30% af 2000 = 600 røde kugler som resultat, for så ville vores opinionsundersøgelse passe præcist med virkeligheden. Men så pænt går det sjældent, som I vil se! Lav eksperimentet med fx ANTAL SERIER = Hvor mange procent af eksperimenterne ramte præcist 600 røde kugler? Måske synes vi, det ville være nok at ramme indenfor intervallet 29% - 31%, hvilket svarer til et antal røde kugler imellem 580 og 620. Kugle 10

11 I hvor mange procent af eksperimenterne skete det? Intervallet ovenfor var 30% ± 1%. Hvis vi vil lave et nyt interval, som skal rumme 90% af de røde kugler, hvor bredt skal dette interval så være? Hermed har vi lavet en række udregninger, som kan sige os noget om, hvor sikre (eller usikre!) prognoser vi får, når man lave opinionsundersøgelser med 2000 deltagere. Forudsætningen var, at partiet (eller synspunktet) havde en tilslutning på 30% i befolkningen. I 90% af tilfældene vil man ramme indenfor det pågældende procentinterval; men i 10% vil man desværre ramme udenfor. Prøv selv at tilrettelægge en videre undersøgelse af problemet. Prøv evt. at undersøge via internettet, hvor mange personer man udspørger ved opinionsundersøgelser. Brug dette antal i de videre beregninger. Hvor sikre prognoser får man, hvis partiet er mindre end det ovenfor (prøv også gerne med et helt lille parti)? Få eventuelt hjælp fra din lærer. VARIANSBEGREBET Hvis I har simuleret udtagelsen af stikprøver ved at udtage de serier, som er det højest tilladte, har I fået ret pålidelige resultater. Hvis I imidlertid gentager helt det samme forsøg igen og igen, så vil der dog optræde små afvigelser, når I ser på kolonnen frekvens, selv med udtagelse af serier. Projekt D Prøv at udføre det samme eksperiment nogle gange og beskriv disse afvigelser. Prøv nu at vælge en model, altså vælge udseendet af jeres krukke, og om I vil udtage med eller uden tilbagelægning. Eksperimentér med at lave meget få serier fx 100 og lav eksperimentet flere gange efter hinanden. Beskriv forskellene i kolonne antal og i kolonne frekvens Når statistikere skal beskrive den tendens, som tallene i fx kolonnen frekvens har til at variere fra gang til gang, bruger de som regel et begreb, der hedder varians. Vi prøver at forklare begrebet med et eksempel. Kugle 11

12 Vi vælger et eksperiment med 10 kugler, heraf 3 røde, og vælger en serielængde på 10. Vi vælger med tilbagelægning og vi udfører 100 serier. De 11 tal i kolonnen frekvens kalder vi f 0, f 1,., f 10. Vi vælger én af dem, fx f 4, og vi interesserer os nu kun for f 4. (f 4 er frekvensen for fire røde kugler). Vi antager nu, at f 4 i dette eksperiment er blevet 0,1984. Hvis man gentager eksperimentet nogle gange, så vil man ganske rigtigt se, at frekvensen ud for f 4 varierer, altså ikke er det samme fra gang til gang. Næste gang vi udfører eksperimentet, er frekvensens for f 4 måske blevet til 0,2029, altså ikke det samme som før. Når vi har lavet eksperimentet fx 10 gange, står vi med 10 tal, hvoraf de to første var 0,1984 og 0,2029. Vi finder nu middeltallet (altså gennemsnittet) for dem. Vi antager at middeltallet, m = 0,2005. Variansen udregnes ved at udregne størrelsen ((r 1 m) 2 + (r 2 m) 2 + (r 3 m) (r 10 m) 2 ), 10 hvor m altså er 0,2005 og de 10 r er er 0,1984, 0,2029, osv. Hvis alle r erne havde været 0,2005, så havde der i hver parentes stået (0,2005-0,2005), altså 0. Når vi opløfter i anden potens giver det stadigt 0, og summen af de 10 tal delt med 10 er derfor også 0. Altså er variansen 0. Denne situation svarer til samme resultat hver gang, altså nul variation. Det er vist klart, at jo større forskel der er imellem r erne og m, jo større bliver slutsummen, altså jo større bliver variansen. Vælg selv tal for KUGLER I ALT og for HERAF RØDE og udfør hver gang 100 serier som i eksemplet ovenfor. Skaf jer på denne måde 10 forskellige tal for én bestemt af frekvenserne (igen som ovenfor). Lav et regneark, som kan udregne middeltallet og variansen, når I indtaster de 10 frekvenser. Eksperimenter med forskellige tal i feltet antal serier, og se, at der sker noget med variansen, når serielængden går op. Hvad sker der? Kugle 12

13 LÆRERVEJLEDNING KUGLE-SIMULATIONER Faglige mål: - Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller. - Anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Forudsatte begreber: - Observation, hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, middeltal, sandsynlighed/chance. Inddragelse af supplerende stof: - Indsamling og bearbejdning af data, herunder diskussion af hypoteser og af repræsentativitet af stikprøver. Formålet med emnet er at kunne arbejde med de to sandsynlighedsfordelinger, binomialfordelingen og den hypergeometriske fordeling, uden brug af formler. I stedet anvendes et lille simulationsprogram til computeren, KUGLESIM, som leveres som web-program sammen med dette materiale. Der findes en kort brugervejledning i elevmaterialet. I stedet for sandsynligheder anvendes altså frekvenser, som efterfølgende ophøjes til sandsynligheder. På denne måde flyttes fokus fra det at kunne anvende formlerne, til at kunne opstille en kuglemodel. I kugelmodellen vælger eleverne det samlede antal kugler, samt antallet af røde kugler heraf, og om udtagningerne skal være med eller uden tilbagelægning. Endelig vælger de, hvor mange serier, der skal laves. Når simulationen er slut, kan eleverne studere tabellerne over frekvenser og kumulerede frekvenser, og herigennem besvare alle spørgsmål om sandsynligheder. Desuden giver simulation som metode mulighed for at studere begreber, som teoretisk er svære at håndtere, fx stikprøvestørrelsernes betydning for sikkerheden af de beslutninger, der kan træffes i forlængelse af et eksperiment. Det er hensigtsmæssigt først at arbejde med dette emne efter at have arbejdet med deskriptiv statistik i undervisningen. Kommentarer til opgaverne Opgaverne til forløbet er dels af den traditionelle type og dels af en type, som lægger op til videre eksperimentel udforskning, hvor vurdering og diskussion også spiller en rolle. Dette skulle gerne være tydeligt med de sidste opgaver, som derved danner en overgang til de projektforløb, der afslutter emnet. 1

14 LÆRERVEJLEDNING KUGLE-SIMULATIONER Kommentarer til projekter Projektforløbene er igen formuleret åbent, idet læreren i dialog med eleven eller grupper af elever er med til at fastlægge ambitionsniveauet, eller andre relevante spørgsmål, som forfatteren måske ikke har tænkt på. I projektet om opinionsundersøgelser kunne man måske også inddrage Chebyshevs ulighed, som bl.a. siger, at i intervallet [m-4s;m+4s], hvor m er middeltallet og s er standardafvigelsen, findes mindst 94% af observationerne. 2

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Statistik og sandsynlighed Statistik handler om at beskrive og analysere en stor mængde data. som I eller andre har indsamlet. Det kan fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der er i Danmark

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

J E T T E V E S T E R G A A R D

J E T T E V E S T E R G A A R D BINOMIALT EST J E T T E V E S T E R G A A R D F I P B I O L O G I M A R S E L I S B O R G G Y M N A S I U M D. 1 3. M A R T S 2 0 1 9 K A L U N D B O R G G Y M N A S I U M D. 1 4. M A R T S 2 0 1 9 HVEM

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Sandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul

Sandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul Sandsynlighed for matc i stx og hf 209 Karsten Juul . Udfald Vi drejer den gule skive om dens centrum og ser hvilket af de fem felter der standser ud for den røde pil. Da skiven sidst blev drejet, var

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Deskriptiv statistik for hf-matc

Deskriptiv statistik for hf-matc Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

5, 10 og 1 4, 5 og 6 7, 11 og 4. 2, 3, 5 og 4 0, 1, 5 og 2 5, 2, 4 og 3. 2, 3, 4 og 1 4, 2 og 3 1, 8, 4 og 3. 5, 3 og 1 3, 4,og 5 3, 4 og 2

5, 10 og 1 4, 5 og 6 7, 11 og 4. 2, 3, 5 og 4 0, 1, 5 og 2 5, 2, 4 og 3. 2, 3, 4 og 1 4, 2 og 3 1, 8, 4 og 3. 5, 3 og 1 3, 4,og 5 3, 4 og 2 skrig Nr. 63 5, 0 og 4, 5 og 6 7, og 4, 3, 5 og 4 0,, 5 og 5,, 4 og 3, 3, 4 og 4, og 3, 8, 4 og 3 5, 3 og 3, 4,og 5 3, 4 og 5, 3, 3 og 7, 3 og, 4, 4 og, -, 3 og 6 6, 3, og 6 og 3, 4, 0 og 9 4 og 4 og 4

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P

Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

T ALKUNNEN. Stikprøver. Stikprøver ved brug af computer Stikprøveregler Hverdagens stikprøver. INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen

T ALKUNNEN. Stikprøver. Stikprøver ved brug af computer Stikprøveregler Hverdagens stikprøver. INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen T ALKUNNEN INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram på Danmarks Lærerhøjskole Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Vejledning til forløbet: Hvad er chancen?

Vejledning til forløbet: Hvad er chancen? Vejledning til forløbet: Hvad er chancen? Denne lærervejledning beskriver i detaljer forløbets gennemførelse med fokus på lærerstilladsering og modellering. Beskrivelserne er blevet til på baggrund af

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst? Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

Årsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang

Årsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang Årsplan matematik 5. klasse Kapitel : Godt i gang I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i 4. klasse. Kapitlet er udformet som en storyline

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

Statistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal.

Statistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Statistik Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over talmaterialet, og man kan konkludere

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten

Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado

Læs mere

Skriftlig eksamen i samfundsfag

Skriftlig eksamen i samfundsfag OpenSamf Skriftlig eksamen i samfundsfag Indholdsfortegnelse 1. Introduktion 2. Præcise nedslag 3. Beregninger 3.1. Hvad kan absolutte tal være? 3.2. Procentvis ændring (vækst) 3.2.1 Tolkning af egne beregninger

Læs mere

(Projektets første del er rent deskriptiv, mens anden del peger frem mod hypotesetest. Projektet kan gemmes til dette emne, eller tages op igen der)

(Projektets første del er rent deskriptiv, mens anden del peger frem mod hypotesetest. Projektet kan gemmes til dette emne, eller tages op igen der) Projekt 2.4 Menneskets proportioner (Projektets første del er rent deskriptiv, mens anden del peger frem mod hypotesetest. Projektet kan gemmes til dette emne, eller tages op igen der) I. Deskriptiv analyse

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Prevalens af navnet Lars i det danske folketing

Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Prevalens af navnet Lars i det danske folketing Ege Rubak Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 18. januar 011 Som udgangspunkt oplyses det fra Danmarks Statistik at der er 46.440 personer der

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

statistik og sandsynlighed

statistik og sandsynlighed brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed trin 1 preben bernitt brikkerne statistik og sandsynlighed 1 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-19-0 2004 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...

Læs mere

Mobiltelefoner og matematik

Mobiltelefoner og matematik Mobiltelefoner og matematik Forord og lærervejledning Mobiltelefonen er blevet et meget vigtigt kommunikationsredskab i de sidste år. Mange af skolens elever har i dag en mobiltelefon, som de ofte bruger.

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

1 Problemformulering CYKELHJELM

1 Problemformulering CYKELHJELM 1 Problemformulering I skal undersøge hvor mange cyklister, der kommer til skade og hvor alvorlige, deres skader er. I skal finde ud af, om cykelhjelm gør nogen forskel, hvis man kommer ud for en ulykke.

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Årsplan matematik 6. Klasse

Årsplan matematik 6. Klasse Årsplan matematik 6. Klasse 2018-2019 Materialer til 6.årgang: - Matematrix grundbog 6.kl - Matematrix arbejdsbog 6.kl - Skrivehæfte - Kopiark - Færdighedsregning 6.kl - Computer Vi skal i løbet af året

Læs mere

At lave dit eget spørgeskema

At lave dit eget spørgeskema At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Spor 2. numeralitet. Afdækning af. hos nyankomne elever. Elever på 9 år eller ældre TRIN

Spor 2. numeralitet. Afdækning af. hos nyankomne elever. Elever på 9 år eller ældre TRIN Hele vejen rundt om elevens sprog og ressourcer afdækning af nyankomne og øvrige tosprogede elevers kompetencer til brug i undervisningen Afdækning af numeralitet TRIN 2 Afdækning af numeralitet hos nyankomne

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik.

Læs mere

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko.

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko. Kom godt i gang med RiBAY Risikostyring ved hjælp af RiBAY består af følgende seks trin: 1. Indtastning af systemvariable og budgettal 2. Indtastning af Køb og salg 3. Kalibrering af udgangspunktet for

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere