Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
|
|
- Malene Østergaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet Udfaldsrum Hændelser Sandsynlighedsmål Regneregler for sandsynligheder Bernoulliforsøg Uafhængighed Betingede sandsynligheder Bayes formel Stokastiske variable Eksempler på stokastiske variable Diskrete sandsynlighedsmodeller Middelværdi, varians og spredning Uafhængighed af stokastiske variable Nøglestørrelser for gennemsnit Kendte diskrete fordelinger Den uniforme fordeling Binomialfordelingen Poissonfordelingen Sandsynlighedsbegrebet Statistik er som en bikini: den viser noget interessant og skjuler noget væsentligt. Peter von Zahn Tilfældigt fænomen: Et forsøg hvor udfaldet ikke er reproducerbart. F.eks. antallet af biler parkeret på campus i dag kl F.eks. udfaldet af et forsøg, hvor målingen er behæftet med usikkerhed.
2 2.1 Sandsynlighedsbegrebet Udfaldsrum Udfald: resultatet af et forsøg. Udfaldsrum: Mængden af alle de mulige udfald af forsøget. Hændelse: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen Udfaldsrum S Udfald a Hændelse A, f.eks. 1 terningkast {1,2,3,4,5,6} 6 {6}, {lige udfald} Fødselsdag {1,2,...,365} 35 {1,...,31} Antal uåbnede nødder {0,1,2,...,n} 3 {1,...,10} Højde af person i cm R [175,185] Temperatur i dag i C [ , ] (20,25] [30,31.5) n = samlet antal pistacienødder Hændelser Lad udfaldet af forsøget være a S. Vi siger at hændelsen A er hændt (eller sker) hvis a A. S kaldes den sikre hændelse, fordi den altid sker. (den tomme mængde) kaldes også den umulige hændelse, fordi den aldrig sker. Komplementærhændelsen til en hændelse A er A c = S A Bemærk: Enten sker A, eller også sker A c. Eksempel 2.1 Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. S = {0,1,...,50} A = {0,1,...,10} A C = {11,...,50} = {} Lad H være mængden af alle hændelser i S. Lad A og B være givne hændelser. Foreningsmængden A B er også en hændelse.
3 2.1 Sandsynlighedsbegrebet 3 Fællesmængde: A B er også en hændelse. A og B kaldes disjunkte hændelser hvis A B = Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. S = {0,1,...,50} A = {1,2,3}, B = {3,7} A B = {1,2,3,7} A B = {3} Disjunkte hændelser: B = {3, 7} og C = {1, 2} Sandsynlighedsmål Et sandsynlighedsmål: er en funktion P : H [0, 1] som opfylder 1. P(S) = Additionsreglen: Hvis A og B er disjunkte hændelser gælder P (A B) = P (A) + P (B). P (A) kaldes for sandsynligheden for hændelsen A. Dette kaldes også for en syndsynlighedsmodel, dvs. en matematisk model for sandsynligheder. Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. F.eks. A = {højst 5 uåbnede}, P (A) = 0.80 B = {mellem 6 og 10 uåbnede}, P (B) = 0.15 P (højst 10 uåbnede) = P (A B) = P (A) + P (B) = 0.95.
4 2.2 Regneregler for sandsynligheder Regneregler for sandsynligheder Additionsregler: For A 1,...,A k indbyrdes disjunkte hændelser gælder: P (A 1 A k ) = P (A 1 ) + + P (A k ) For A og B vilkårlige hændelser gælder: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Kan generaliseres til flere hændelser Bernoulliforsøg Det simplest mulige tilfældige fænomen Antag at der er to disjunkte hændelser A og B så S = A B. A = succes, B = fiasko. F.eks. møntkast, rigtig/forkert, syg/rask, mand/kvinde, virker/virker ikke. Lad p [0,1] være sådan at Empirisk definition af sandsynlighed P(A) = p P(B) = 1 p Gentag et Bernoulliforsøg gang efter gang efter gang. Typisk resultat: B,A,B,B,A,A,B,A,B,B,B,... Lad N n (A) være hyppigheden af A for de første n forsøg. Så er N n (A) /n den empiriske sandsynlighed for A. For en korrekt sandsynlighedsmodel skal der gælde: P (A) = lim n N n (A). n Dvs. P (A) er grænseværdien for den empiriske sandsynlighed for A ved uendeligt mange forsøg. Dette er idealet for en sandsynligedsmodel, men hvor langt er vi fra praksis?
5 2.2 Regneregler for sandsynligheder 5 Tænk blot på, at mønten slides op, længe før vi når... Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. F.eks. A = {højst 5 uåbnede nødder i pose} Undersøg n = 100 poser Tæl N 100 = antal af poser med højst 5 uåbnede = 80 Så er P (A) = Jo højere n, jo bedre approksimation af P (A) Uafhængighed A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P (A B) = P (A)P (B) Kan generaliseres til flere hændelser. Eksempel 2.2 Kast med terning, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1,2,3}, B = {2,4} P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 P (A B) = P ({2}) = 1/6 Da P (A B) = P (A)P (B) er A og B uafhængige. Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. F.eks. To tilfældigt valgte poser: A = {højst 5 uåbnede i Pose 1}, P (A) = 0.80 B = {højst 5 uåbnede i Pose 2}, P (B) = 0.80 P (højst 5 uåbnede i både Pose 1 og 2) = = 0.64
6 2.2 Regneregler for sandsynligheder Betingede sandsynligheder Idé: at tage delvis information om en hændelse i betragtning. Eksempel 2.3: Højde A = {person højere end 170cm}, P (A) = 0.60 K = {kvinde} Udtryk ved hjælp af en betinget sandsynlighed: A K = {person højere end 170cm} givet {det er en kvinde}, antag f.eks. at P (A K) = 0.45 A M = {person højere end 170cm} givet {det er en mand}, antag f.eks. at P (A M) = 0.80 Betinget sandsynlighed af A givet B: P (A B) = P (A B), P (B) hvis P (B) > 0 (kan defineres vilkårligt hvis P(B) = 0). Bemærk, at P (A B) = P (A B)P (B). Eksempel 2.2 (fortsat) Kast med terning, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1,2,3}, P (A) = 1/2; B = {2,4}, P (B) = 1/3; A B = {2} (dvs. uændret i forhold til P(A)). C = {2,4,6}, P (C) = 1/2; A C = {2} (dvs. ændret i forhold til P(A)). P (A B) P (A B) = P (B) = 1/6 1/3 = 1/2 P (A C) P (A C) = P (C) = 1/6 1/2 = 1/3 Den betingede sandsynlighed afhænger af hvad der betinges med. P( B) er igen et sandsynlighedsmål.
7 2.2 Regneregler for sandsynligheder Bayes formel Opdel hele udfaldsrummet S i disjunkte hændelser B 1,B 2,...,B k. Specielt er S = B 1 B 2 B k Lad A være en hændelse. Loven om total sandsynlighed: P (A) = Bayes formel: k P (A B i ) P (B i ). i=1 P (B j A) = P (A B j) P (B j ) P (A) = P (A B j )P (B j ) k i=1 P (A B i)p (B i ). Eksempel 2.4: Test for defekt i computer chip. Test kan være positiv eller negativ (dvs. testen er ikke perfekt). Chip kan være defekt eller ikke defekt. Lad A = {test er positiv}, B 1 = {chip er defekt}, B 2 = {chip er ikke defekt}. Ud fra tidligere undersøgelse kendes prevalensen af defekten, dvs. 1% defekte. Testens kvalitet er bestemt ved: antal defekte P(B 1 ) = samlet antal = 0.01 P(B 2 ) = 1 P(B 1 ) = 0.99 Sensitivitet Specificitet P(A B 1 ) = 0.8 P(A c B 2 ) = 0.9, dvs. P(A B 2 ) = 1 P(A c B 2 ) = = 0.1.
8 2.3 Stokastiske variable 8 Nu bruges Bayes formel Dårlig test. P (A B 1 )P (B 1 ) P (B 1 A) = P (A B 1 )P (B 1 ) + P (A B 2 )P (B 2 ) = = P (B 2 A) = 1 P (B 1 A) = Kan bedst forbedres ved at forøge specificiteten. Tilsvarende fås P (B 2 A c ) = P (A c B 2 ) P (B 2 ) P (A c B 1 )P (B 1 ) + P (A c B 2 )P (B 2 ) = = P (B 1 A c ) = 1 P (B 2 A c ) = Kan kun forbedres lidt ved at forøge sensitiviteten. 2.3 Stokastiske variable Variable, hvis værdi er tilfældig. Engelsk: random variable. Ofte bruges betegnelser som X,Y og Z for stokastiske variable. De faktiske udfald af Y i n forsøg betegnes normalt y 1,...,y n Eksempler på stokastiske variable Eksempel 2.6 Nedfaldne æbler Dag: Antal: Lad X = Dagligt antal nedfaldne æbler Eksempel på diskret stokastisk variabel. Eksempel 2.7 Hunds søvn per døgn (timer) Lad X = Søvnmængde per dag Dag: Søvn:
9 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 9 Eksempel på kontinuert stokastisk variabel. Definition af stokastisk variabel: En reel funktion på udfaldsrummet S: X : S R. Altså en funktion som forbinder hvert udfald af et tilfældigt fænomen med en talværdi. Lad udfaldet af forsøget være a S. Så kaldes X(a) den realiserede værdi af X. De to vigtigste typer af stokastiske variable: X kaldes diskret, hvis den kun kan antage endeligt eller tælleligt mange værdier. X kaldes kontinuert, hvis den kan variere kontinuert. Bliver defineret nærmer i Modul 3. Fordelingen for en stokastisk variabel: En hændelse I i R defineres som en mængde som kan dannes ud fra intervaller ved endelige eller tællelige mængdeoperationer. Vi antager at X 1 (I) S er en hændelse med sandsynlighed P [ X 1 (I) ]. Forsimplet notation: Vi skriver normalt P(X I) i stedet for P [ X 1 (I) ]. Fordelingen for X er sandsynlighedsmålet på R defineret ved afbildningen fra mængden af hændelser i R ind i [0,1]. I P(X I) Bemærk at ethvert sandsynlighedsmål på R svarer til en stokastisk variabel (vælg f.eks. X til at være identitetsafbildningen på R). 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller Eksempel 2.5 Stråling af alfapartikler I et eksperiment i 1910 optalte Rutherford og Geiger antallet af alfapartikler, der blev udsendt fra en radioaktiv kilde i 2612 tidsintervaller (på hver 7 sekunder). Partikler: Frekvens:
10 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 10 Bemærk: Partikelantallet varierer tilfældigt mellem 0 og 12 i de forskellig tidsintervaller. Det kan ikke siges med sikkerhed, hvor mange partikler, der vil blive udsendt i de næste 7 sek. Hvor meget kan vi sige om den frekvens hvormed de forskellige antal forekommer? Figur 2.1: Stråling af alfapartikler, søjlediagram. Figur 2.2: Stråling af alfapartikler, tæthedsdiagram. Fordelingen for en diskret stokastisk variabel Y angives nemmest ved en liste af de mulige værdier for Y og de tilhørende sandsynligheder: Værdi for Y : y 0 y 1 y 2 Sandsynlighed: P (Y = y 0 ) P (Y = y 1 ) P (Y = y 2 )
11 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 11 Kaldes også fordelingens sandsynlighedsfunktion eller dens tæthedsfunktion. Formelt er det funktionen f :R [0,1] bestemt ved f(y) = P(Y = y). f er 0 uden for mængden af de mulige værdier for Y. Eksempel 2.6 (fortsat) Nedfaldne æbler Fordeling af Y = Daglig antal nedfaldne æbler, f.eks. Y : Sandsynlighed: Kan udregne sandsynligheder for alle hændelser for Y, f.eks. P (Y 2) = 1 ( ) = 0.62 P (Y = 0) = 0.13 P (Y < 5) = = 0.94 Bemærk: En sandsynlighedsmodel beskriver det som sker generelt. F.eks. sandsynlighedsmodellen for Y = Dagligt antal nedfaldne æbler henviser til et generelt træ. Tæller vi nedfaldsæbler for et bestemt træ, fås data som f.eks. y 1,...,y n Middelværdi, varians og spredning Nøglestørrelser for populationer. Middelværdi: Stikprøve: gennemsnit af observationer (empirisk middelværdi) ȳ = 1 n n n y i = y i 1 n. i=1 i=1 Population: vægtet gennemsnit af demulige værdier µ Y = E(Y ) = y yp (Y = y), (forudsat y y P (Y = y) < ).
12 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 12 Varians: Stikprøve: (empirisk varians) Population: s 2 = 1 n 1 σ 2 Y = Var(Y ) = y (forudsat y y2 P (Y = y) < ). Spredning (standardafvigelse): n (y i ȳ) 2. i=1 (y µ y ) 2 P (Y = y), Stikprøve: s = 1 n (y i ȳ) 2. n 1 i=1 Population: (forudsat y y2 P (Y = y) < ). σ Y = (y µ y ) 2 P (Y = y), Eksempel 2.6 (fortsat) Nedfaldne æbler Fordeling af Y = Daglig antal nedfaldne æbler, simplificeret: y Y : Sandsynligheder: Middelværdi Varians µ y = = 2.15 σ Y = (0 2.15) (1 2.15) (7 2.15) = Spredning σ Y = = Simple regneregler for lineære transformationer Hvis X = ay + b gælder E(X) = ae(y ) + b Var(X) = a 2 Var(Y ) σ X = a σ Y
13 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller Uafhængighed af stokastiske variable GENERELT: Y 1,Y 2,...,Y n stokastiske variable er uafhængige, hvis {Y 1 y 1 }, {Y 2 y 2 },..., {Y n y n } er uafhængige hændelser for alle mulige værdier af y 1,y 2,...,y n R. ÆKVIVALENT MED: for alle y 1,y 2,...,y n R, er P ({Y 1 y 1 } {Y 2 y 2 }... {Y n y n }) = P(Y 1 y 1 )P (Y 2 y 2 ) P (Y n y n ). DISKRET: Hvis Y 1,Y 2,...,Y n er diskrete stokastiske variable, er definitionen af uafhængighed ækvivalent med: {Y 1 = y 1 }, {Y 2 = y 2 },..., {Y n = y n } er uafhængige hændelser for alle mulige værdier af y 1,y 2,...,y n. ÆKVIVALENT MED: for alle værdier af y 1,y 2,...,y n er P ({Y 1 = y 1 } {Y 2 = y 2 }... {Y n = y n }) = P(Y 1 = y 1 )P (Y 2 = y 2 ) P (Y n = y n ). Summer af stokastiske variable X = Y 1 + Y Y n E(X) = E(Y 1 ) + E(Y 2 ) + + E(Y n ), uanset om Y -erne er uafhængige eller ej Var(X) = Var(Y 1 ) + Var(Y 2 ) + + Var(Y n ), hvis Y -erne er uafhængige Var(X) = n σ 2, hvis Y -erne har ens varians σ 2 og er uafhængige Eksempel 2.8 Køn af ufødt barn Bernoulli forsøg: X = { 0 dreng 1 pige Eksempel på brug af sum: n i=1 angiver antallet af piger i en stikprøve på n. X i
14 2.5 Kendte diskrete fordelinger Nøglestørrelser for gennemsnit GENERELT: Y 1,Y 2,...,Y n uafhængige stokastiske variable med ens Gennemsnit: Ȳ = 1 n n i=1 Y i Middelværdi: µ Varians: σ 2 Middelværdi af Ȳ : E ( Ȳ ) = µ Varians af Ȳ : Var(Ȳ ) = σ2 /n Spredning af Ȳ : σ Ȳ = σ/ n 2.5 Kendte diskrete fordelinger Den uniforme fordeling Fra nu af betyder fordelt som Y Uniform(a 1,a 2,...,a n ) Y kan antage de n værdier a 1,a 2,...,a n Samme sandsynlighed for alle udfald: { 1/n hvis y {a1,a P (Y = y) = 2,...,a n } 0 ellers. F.eks. defekt pære i lyskæde, udfald af terningkast eller roulette.
15 2.5 Kendte diskrete fordelinger 15 Figur 2.3: Uniform(1,...,6)-fordeling. Figur 2.4: Uniform(1,...,10)-fordeling. Eksempel 2.9 Defekt lyskæde En pære er sprunget i en lyskæde med 30 lys. Y betegner den sprungne pæres plads i kæden. Y Uniform{1,2,...,30}. Pærerne undersøges fra en ende af. Udregn Sandsynligheden for at det er en af de første 10 pærer. P (Y {1,2,...,10}) = = Binomialfordelingen Y b(n,p) Y = Antal successer ud af n Bernoulli forsøg er binomialfordelt hvis: 1. De n forsøg er uafhængige 2. Alle Bernoulli forsøg har sandsynlighed p for succes Eksempler: antal år med hvid jul siden 1980, antal beståede i klasse med 20,
16 2.5 Kendte diskrete fordelinger 16 antal uåbnede pistacienødder i pose med n stk. (under hvilke betingelser?) Tæthedsfunktion (sandsynlighedsfunktion): { ( n ) P (Y = y) = y p y (1 p) n y hvis y {0,1,...,n} 0 ellers. Husk at ( ) n = y n! y!(n y)! Figur 2.5: Simulation: b(25,0.95) fordelte data. Figur 2.6: Simulation: b(15,0.50) fordelte data.
17 2.5 Kendte diskrete fordelinger 17 Figur 2.7: Simulation: b(6,0.20) fordelte data. Eksempel 2.10 Antal farveblinde mænd i en test Ialt 120 mænd i testen. Sandsynlighed for rød-grøn farveblindhed for mænd er p = Y betegner antallet af rød-grøn farveblinde mænd i testen. Udregn Y b(120,0.08). Sandsynligheden for at ingen er farveblinde: ( ) 120 P(Y = 0) = (1 0.08) 120 = Sandsynligheden for at højst 2 er farveblinde: ( ) ( ) P(Y 2) = (1 0.08) (1 0.08) ( ) (1 0.08) = Sandsynligheden for at mindst 3 er farveblinde: P(Y 3) = 1 P(Y 2) = = Bemærkninger til binomialfordeling Y b(n, p):
18 2.5 Kendte diskrete fordelinger 18 Y kan antage værdierne 0,1,...,n. Middelværdi: E(Y ) = np Varians: Var(Y ) = np (1 p) Spredning: σ Y = np (1 p) Poissonfordelingen Y Poisson(λ) Bruges som model for antal sjældne hændelser af en bestemt type Antal hændelser af en bestemt slags er Poissonfordelt hvis: 1. Hændelsen er sjælden 2. Populationen af udsatte er stor 3. Hændelserne er indbyrdes uafhængige 4. To hændelser kan ikke ske nøjagtig samtidigt Eksempler: antal flyulykker per år antal parcelhusindbrud per år antal kunder i forretning per dag antal jordskælv per år antal vulkanudbrud per år antal mål i fodboldkamp Tæthedsfunktion (sandsynlighedsfunktion): P (Y = y) = { λ y y! e λ hvis y N 0 0 ellers. Parameteren λ angiver gennemsnitsantallet af hændelser i perioden
19 2.5 Kendte diskrete fordelinger 19 Figur 2.8: Sandsynlighedsfunktion for stokastisk variabel, Poissonfordelt.
20 2.5 Kendte diskrete fordelinger 20 Figur 2.9: Simulation: Poisson(2) fordelte data. Figur 2.10: Simulation: Poisson(5) fordelte data.
21 2.5 Kendte diskrete fordelinger 21 Figur 2.11: Simulation: Poisson(0.50) fordelte data. Eksempel 2.11 Antal trafikuheld på vejstrækning per år I gennemsnit 2 ulykker per år. Y betegner antallet af faktiske uheld per år. Udregn Sandsynligheden for netop 1 ulykke: Sandsynligheden for mindst 1 ulykke: Y Poisson(2). P (Y = 1) = 21 1 e 2 = P (Y 1) = 1 P (Y = 0) = e 2 =
22 2.5 Kendte diskrete fordelinger 22 Bemærkninger til PoissonfordelingenPoisson(λ): Y kan antage værdierne 0,1,2,.... Middelværdi: E(Y ) = λ Varians: Var(Y ) = λ Spredning: σ Y = λ Aproksimation til binomialfordeling: Lad Y b(n,p) Hvis n stor og p lille, så er Y Poisson(np). Altså approximeres med den Poissonfordeling som har samme middelværdi som b(n, p).
Sandsynlighedsregning
Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereDagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereStatistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereDiskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling
Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mere2011.09.20 lth@campus.dk
2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereSandsynlighedsregning og statistik
og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative
Læs mereGrundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereIndblik i statistik - for samfundsvidenskab
Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mere