Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
|
|
|
- Andrea Nissen
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark
2 Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = (x E(X)) 2 P(X = x) alle x Normalfordelingsapproksimation/den Centrale Grænseværdisætning ( P a S ) n nµ σ n b Φ(b) Φ(a) Markovs og Chebychevs uligheder for ekstreme udfald P(X a) E(X) P( X E(X) ksd(x)) 1 a k 2 Et udpluk af diskrete fordelinger P(T = i) = (1 p) i 1 p P(Y r = i) = Indikatorfunktioner I A = i+r 1 r 1 1 hvis A indtræffer 0 hvis A c indtræffer p r (1 p) i
3 Standardafvigelse/varians Without replacement Probability White balls With replacement Probability White balls Den hypergeometriske fordeling har mindre variation end binomialfordelingen. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 3
4 Definition af varians
5 Definition af varians Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = (x E(X)) 2 P(X = x) alle x
6 Definition af varians Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = (x E(X)) 2 P(X = x) alle x Beregningsformel for varians (vigtig) p.186 Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2
7 Definition af varians Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = (x E(X)) 2 P(X = x) alle x Beregningsformel for varians (vigtig) p.186 Shift and scale Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Var(aX +b) = a 2 Var(X)
8 Definition af varians Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = (x E(X)) 2 P(X = x) alle x Beregningsformel for varians (vigtig) p.186 Shift and scale Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Sum af uafhængige variable Var(aX +b) = a 2 Var(X) Hvis X 1,...,X n er uafhængige, så Var ( n i=1 X i ) = n Var(X i ) i=1
9 Varians af et tal trukket fra en liste Givet en liste af tal (x 1,x 2,...,x n ) Lad X være en stokastisk variabel: Et tilfældigt element af listen. n E(X) = x = 1 n i=1 x i Var(X) = 1 n n x 2 i x 2 i=1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 5
10 Standardafvigelse SD(X) = Var(X) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 6
11 Standardafvigelse Normal p.d.f. SD(X) = Var(X) Shift and scale φ(x) % Vendetange SD(aX + b) = a SD(X) x Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 6
12 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
13 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
14 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som X = X 1 + +X n hvor X i Bernoulli(p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
15 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som X = X 1 + +X n hvor X i Bernoulli(p) Dernæst, variansen i en Bernoullifordeling (p): Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
16 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som X = X 1 + +X n hvor X i Bernoulli(p) Dernæst, variansen i en Bernoullifordeling (p): E(X i ) = p, Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
17 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som X = X 1 + +X n hvor X i Bernoulli(p) Dernæst, variansen i en Bernoullifordeling (p): E(X i ) = p, E(X 2 i) = p, Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
18 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som X = X 1 + +X n hvor X i Bernoulli(p) Dernæst, variansen i en Bernoullifordeling (p): E(X i ) = p, E(X 2 i) = p, Var(X i ) = p(1 p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
19 Bestem variansen i binomialfordelingen (n,p) Først, skriv X Bin(n,p) som X = X 1 + +X n hvor X i Bernoulli(p) Dernæst, variansen i en Bernoullifordeling (p): Kombinér: E(X i ) = p, E(X 2 i) = p, Var(X i ) = p(1 p) Var(X) = np(1 p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 7
20 Spredningen i binomialfordelingen (n,p) p SD SD Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 8 n
21 Lad X være antallet af dage i en måned valgt tilfældigt blandt årets tolv måneder i et ikke-skudår. Det anføres at E(X) = Spørgsmål 1 Man finder SD(X) til Ved ikke Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 9
22 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
23 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
24 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
25 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
26 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
27 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), SD(S n ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
28 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), SD(S n ) = nsd(x i ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
29 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), SD(S n ) = nsd(x i ) E( X n ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
30 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), SD(S n ) = nsd(x i ) E( X n ) = E(X n ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
31 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), SD(S n ) = nsd(x i ) E( X n ) = E(X n ), SD( X n ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
32 Kvadratrodsloven Lad X i være I.I.D. (Independent and Identically Distributed). Definér summen S n = X 1 + +X n Definér gennemsnittet X n = 1 n S n. E(S n ) = ne(x i ), SD(S n ) = nsd(x i ) E( X n ) = E(X n ), SD( X n ) = 1 n SD(X n ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 10
33 Store tals svage lov Lad X i være I.I.D. med 10 middelværdi µ og spredning σ. P Average 100 P ǫ > 0 : Average n 1000 P( X n µ < ǫ) 1 P Average ( X n konvergerer mod µ i sandsynlighed) P Average Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 11
34 Den centrale grænseværdisætning p.196 Lad X 1,...,X n være I.I.D. med middelværdi µ og varians σ 2. Definér S n = X 1 + +X n. For store n gælder approksimativt ( P a S ) n nµ σ n b Φ(b) Φ(a) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 12
35 Betydning CGS er et centralt resultat i sandsynlighedsregningen og statistikken (og findes i mange varianter) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 13
36 Betydning CGS er et centralt resultat i sandsynlighedsregningen og statistikken (og findes i mange varianter) Budskabet er, at stokastiske variable, der er dannet gennem en sum af mange mindre bidrag, med god tilnærmelse kan beskrives ved en normalfordeling Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 13
37 Betydning CGS er et centralt resultat i sandsynlighedsregningen og statistikken (og findes i mange varianter) Budskabet er, at stokastiske variable, der er dannet gennem en sum af mange mindre bidrag, med god tilnærmelse kan beskrives ved en normalfordeling Vi har allerede set denne sætning i anvendelse for binomialfordelingen (og Poissonfordelingen) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 13
38 Markovs ulighed p.174 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 14
39 Markovs ulighed p.174 For ikke negative stokastiske variable, kan vi angive en øvre grænse for sandsynligheder ved brug af middelværdien. P(X a) E(X) a Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 14
40 Markovs ulighed p.174 For ikke negative stokastiske variable, kan vi angive en øvre grænse for sandsynligheder ved brug af middelværdien. P(X a) E(X) a Chebychevs ulighed p.191 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 14
41 Markovs ulighed p.174 For ikke negative stokastiske variable, kan vi angive en øvre grænse for sandsynligheder ved brug af middelværdien. P(X a) E(X) a Chebychevs ulighed p.191 Hvis vi også kender variansen kan vi skærpe denne grænse P( X E(X) ksd(x)) 1 k 2 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 14
42 Om en stokastisk variabel X, der beskriver et rumindhold, oplyses det, at den har middelværdi E(X) = 10. Spørgsmål 2 Den mindste øvre grænse for P(X 20) findes til ) 4 1 Φ( En sådan grænse kan ikke bestemmes ud fra det oplyste 6 Ved ikke Hvor Φ som sædvanlig betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 15
43 Et udvalg af diskrete fordelinger En række grundlæggende mekanismer Se pp.475 Distribution summaries Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 16
44 Spørgsmål 3 Hvis en række tal c i udgør en sandsynlighedsfordeling, hvad må der så gælde om c i? 1 Der er ingen specifikke krav 2 i c i = 1 3 c i kan bestemmes fra en formel som c i = n i p i (1 p) n i 4 c i 0 5 Ingen af de ovenstående er tilstrækkelige 6 Ved ikke Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 17
45 Den geometriske fordeling Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
46 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
47 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
48 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
49 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
50 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
51 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
52 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes Middelværdi P(T = i) = (1 p) i 1 p E(T) P(T > i) = (1 p) i Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
53 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Middelværdi E(T) = P(T > i) i=0 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
54 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Middelværdi E(T) = P(T > i) = 1 p i=0 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
55 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Middelværdi E(T) = P(T > i) = 1 p i=0 Varians Var(T) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
56 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Middelværdi Varians E(T) = Var(T) = 1 p p 2, i=0 P(T > i) = 1 p Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
57 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Middelværdi Varians E(T) = Var(T) = 1 p p 2, i=0 P(T > i) = 1 p SD(T) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
58 Den geometriske fordeling T : antal Bernoulli forsøg indtil første succes P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T > i) = (1 p) i Middelværdi Varians E(T) = P(T > i) = 1 p i=0 Var(T) = 1 p p 2, SD(T) = 1 p p Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 18
59 T r Antal forsøg indtil rte succes Negativ binomialfordeling Y r Antal fiaskoer til den r te succes i en sekvens af Bernoulliforsøg Hvor mange kameraer skal vi kassere før vi får r, der passerer kvalitetskontrollen T r = Y r +r (Har i øvrigt mange andre fortolkninger) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 19
60 Spørgsmål 4 Hvad er middelværdi og varians for en NB(r,p) fordeling? 1 E(Y r ) = r(1 p) p,var(y r ) = r(1 p) p 2 2 E(Y r ) = r(1 p) p,var(y r ) = (1 p) p 2 3 E(Y r ) = 1 p,var(y r) = r(1 p) p 2 4 E(Y r ) = 1 p,var(y r) = (1 p) p 2 5 E(Y r ) = r p,var(y r) = r p 2 6 Ved ikke Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 20
61 Negativ binomialfordeling udledning Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
62 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
63 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
64 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Vi skal placere r 1 successer på i+r 1 forsøg før vores endelige succes. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
65 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Vi skal placere r 1 successer på i+r 1 forsøg før vores endelige succes. Derfor Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
66 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Vi skal placere r 1 successer på i+r 1 forsøg før vores endelige succes. Derfor P(Y r = i) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
67 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Vi skal placere r 1 successer på i+r 1 forsøg før vores endelige succes. Derfor P(Y r = i) = i+r 1 r 1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
68 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Vi skal placere r 1 successer på i+r 1 forsøg før vores endelige succes. Derfor P(Y r = i) = i+r 1 r 1 p r 1 (1 p) i p Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
69 Negativ binomialfordeling udledning Antal fiaskoer før r te succes. En sekvens af Bernoulli forsøg: fffsffsfs Vi skal placere r 1 successer på i+r 1 forsøg før vores endelige succes. Derfor i+r 1 P(Y r = i) = p r 1 (1 p) i p r 1 i+r 1 = p r (1 p) i r 1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 21
70 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
71 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
72 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
73 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
74 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
75 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. E(W i ) = 1 p Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
76 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Vi har da Y r = E(W i ) = 1 p r X i = i=1 Var(W i ) = 1 p p 2 r (W i 1) = i=1 r W i r i=1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
77 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Vi har da Derfor: Y r = E(W i ) = 1 p r X i = i=1 Var(W i ) = 1 p p 2 r (W i 1) = i=1 r W i r i=1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22
78 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Vi har da Derfor: Y r = E(W i ) = 1 p r X i = i=1 E(Y r ) = r p r Var(W i ) = 1 p p 2 r (W i 1) = i=1 r W i r Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22 i=1
79 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Vi har da Derfor: Y r = E(W i ) = 1 p r X i = i=1 E(Y r ) = r p Var(W i ) = 1 p p 2 r (W i 1) = i=1 r = r1 p p r W i r Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22 i=1
80 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Vi har da Derfor: Y r = E(W i ) = 1 p r X i = i=1 E(Y r ) = r p Var(W i ) = 1 p p 2 r (W i 1) = i=1 r = r1 p p r W i r Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22 i=1 Var(Y r )
81 Middelværdi og varians Y r NB(r,p) Y r = T r r T r = W 1 + +W r hvor W i er ventetiden fra den i 1te til den ite succes. W i er IID; geometrisk (p) fordelt: Lad X i være antallet af fiaskoer mellem succes i 1 og i. Vi har da Derfor: Y r = E(W i ) = 1 p r X i = i=1 E(Y r ) = r p Var(W i ) = 1 p p 2 r (W i 1) = i=1 r = r1 p p r W i r Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 22 i=1 Var(Y r ) = r 1 p p 2
82 Indikatorfunktionen (p.155), p.168 Spørgsmål 5 Hvad er E(I A ) A 4 P(A) I A = 5 Kan man ikke sige generelt 6 Ved ikke 1 hvis A indtræffer 0 hvis A c indtræffer Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 23
83 Hvornår kan man bruge indikatorfunktioner? Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 24
84 Hvornår kan man bruge indikatorfunktioner? Man kan bruge indikatorfunktionen når vi kan skrive en stokastisk variabel X som X = I A1 +I A2 + +I Ak Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 24
85 Hvornår kan man bruge indikatorfunktioner? Man kan bruge indikatorfunktionen når vi kan skrive en stokastisk variabel X som X = I A1 +I A2 + +I Ak - dvs. X tæller, hvor mange af hændelser A 1,...,A k, der er indtruffet. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 24
86 Hvornår kan man bruge indikatorfunktioner? Man kan bruge indikatorfunktionen når vi kan skrive en stokastisk variabel X som X = I A1 +I A2 + +I Ak - dvs. X tæller, hvor mange af hændelser A 1,...,A k, der er indtruffet. E(X) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 24
87 Hvornår kan man bruge indikatorfunktioner? Man kan bruge indikatorfunktionen når vi kan skrive en stokastisk variabel X som X = I A1 +I A2 + +I Ak - dvs. X tæller, hvor mange af hændelser A 1,...,A k, der er indtruffet. E(X) = P(A 1 )+P(A 2 )+...P(A k ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 24
88 Hvornår kan man bruge indikatorfunktioner? Man kan bruge indikatorfunktionen når vi kan skrive en stokastisk variabel X som X = I A1 +I A2 + +I Ak - dvs. X tæller, hvor mange af hændelser A 1,...,A k, der er indtruffet. E(X) = P(A 1 )+P(A 2 )+...P(A k ) bruges når P(A i ) kan bestemmes (let), men fordelingen af X ikke kan. (F.eks. opgave ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 24
89 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
90 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
91 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
92 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Variablen I B antager værdien 1, Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
93 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Variablen I B antager værdien 1, hvis B indtræffer, Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
94 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Variablen I B antager værdien 1, hvis B indtræffer, ellers 0. Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
95 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Variablen I B antager værdien 1, hvis B indtræffer, ellers 0. N = Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
96 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Variablen I B antager værdien 1, hvis B indtræffer, ellers 0. N = I A1 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
97 Opgave Lad A 1, A 2 og A 3 være hændelser med sandsynlighederne P(A 1 ) = 1 5, P(A 2) = 1 4, P(A 3) = 1 3 Lad N betegne antallet af disse hændelser, der indtræffer. Opskriv N udtrykt ved indikatorvariable Variablen I B antager værdien 1, hvis B indtræffer, ellers 0. N = I A1 +I A2 +I A3 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 25
98 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
99 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
100 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
101 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) = E(I A1 +I A2 +I A3 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
102 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) = E(I A1 +I A2 +I A3 ) Dermed E(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
103 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) = E(I A1 +I A2 +I A3 ) Dermed E(N) = E(I A1 )+E(I A2 )+E(I A3 ) Hvorfor? Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
104 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) = E(I A1 +I A2 +I A3 ) Dermed E(N) = E(I A1 )+E(I A2 )+E(I A3 ) Hvorfor? E(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
105 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) = E(I A1 +I A2 +I A3 ) Dermed E(N) = E(I A1 )+E(I A2 )+E(I A3 ) Hvorfor? E(N) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
106 Find E(N) N = I A1 +I A2 +I A3 Vi tager forventning på begge sider E(N) = E(I A1 +I A2 +I A3 ) Dermed E(N) = E(I A1 )+E(I A2 )+E(I A3 ) Hvorfor? E(N) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) = Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 26
107 Beregn Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er gensidigt udelukkende A 1, A 2 og A 3 er uafhængige A 1 A 2 A 3 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 27
108 Var(N) når A i er gensidigt udelukkende I dette tilfælde har vi P(N > 1) = 0 P(N = 1) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 28
109 Var(N) når A i er gensidigt udelukkende I dette tilfælde har vi P(N > 1) = 0 P(N = 1) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) = E(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 28
110 Var(N) når A i er gensidigt udelukkende I dette tilfælde har vi P(N > 1) = 0 P(N = 1) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) = E(N) Eksperimentet er altså et Bernoullieksperiment og vi har Var(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 28
111 Var(N) når A i er gensidigt udelukkende I dette tilfælde har vi P(N > 1) = 0 P(N = 1) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) = E(N) Eksperimentet er altså et Bernoullieksperiment og vi har Var(N) = p(1 p) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 28
112 Var(N) når A i er gensidigt udelukkende I dette tilfælde har vi P(N > 1) = 0 P(N = 1) = P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) = E(N) Eksperimentet er altså et Bernoullieksperiment og vi har Var(N) = p(1 p) = = 0,170 = 0,4122 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 28
113 Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 29
114 Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) = Var(I A1 +I A2 +I A3 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 29
115 Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) = Var(I A1 +I A2 +I A3 ) = Var(I A1 )+Var(I A3 )+Var(I A3 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 29
116 Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) = Var(I A1 +I A2 +I A3 ) = Var(I A1 )+Var(I A3 )+Var(I A3 ) For hver A i har vi Var(I Ai ) = P(A i ) P(A c i) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 29
117 Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) = Var(I A1 +I A2 +I A3 ) = Var(I A1 )+Var(I A3 )+Var(I A3 ) For hver A i har vi Var(I Ai ) = P(A i ) P(A c i) Altså Var(I A1 ) = = 4 25 Var(I A2 ) = 3 16 Var(I A3 ) = 2 9 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 29
118 Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) = Var(I A1 +I A2 +I A3 ) = Var(I A1 )+Var(I A3 )+Var(I A3 ) For hver A i har vi Var(I Ai ) = P(A i ) P(A c i) Altså Var(I A1 ) = = 4 25 Var(I A2 ) = 3 16 Var(I A3 ) = 2 9 Så V(N) = , Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 29
119 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
120 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
121 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
122 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
123 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
124 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
125 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
126 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 P(N = 1) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
127 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
128 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 Dermed: E(N 2 ) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
129 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 Dermed: P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 E(N 2 ) = Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
130 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 Dermed: E(N 2 ) = = Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
131 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 Dermed: E(N 2 ) = = Var(N) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
132 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 Dermed: E(N 2 ) = = Var(N) = E(N 2 ) (E(N)) 2 Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
133 Beregn Var(N) når A 1 A 2 A 3 P(N = 3) = P(A 1 ) = 1 5 Vi har ved brug af differensreglen p.22 P(N = 2) = P(A 2 \A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 ) = 1 20 Dermed: P(N = 1) = P(A 3 \A 2 ) = P(A 3 ) P(A 2 ) = 1 12 E(N 2 ) = = Var(N) = E(N 2 ) (E(N)) 2 = 4931 = 1,370 = 1, Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 30
134 Beregn Var(N) når A 1, A 2 og A 3 er gensidigt udelukkende Var(N) = A 1, A 2 og A 3 er uafhængige Var(N) = 0,755 2 A 1 A 2 A 3 Var(N) = 1,17 2 Kan vi forklare/forstå resultatet? Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 31
135 Tail sum formula Hvis X kan antage værdier 0,1,... E(X) = i=1 P(X i) (En tilsvarende formel gælder for kontinuerte variable; kap. 4) Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 32
136 Tail sum formula Hvis X kan antage værdier 0,1,... E(X) = i=1 P(X i) (En tilsvarende formel gælder for kontinuerte variable; kap. 4) Bevis: hvor X = I(A 1 )+I(A 2 )+ A i = {X i} Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 32
137 Et par nyttige sumformler N i=0 a i = 1 an+1 1 a, a 1 i=0 a i = 1 1 a, a < 1 i=0 a i i! = ea Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 33
138 Et par nyttige sumformler N i=0 a i = 1 an+1 1 a, a 1 i=0 a i = 1 1 a, a < 1 i=0 a i i! = ea For a i 0 og b i 0 har vi: ( )( ) ( i ) a i b i = a k b i k = i=0 i=0 i=0 k=0 c i c i = Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 33 i=0 i a k b i k k=0
139 Sammenhæng mellem fordelinger X Bin(n 1,p) og Y Bin(n 2,p): X +Y Bin(n 1 +n 2,p) X Pois(λ 1 ) og Y Pois(λ 2 ): X +Y Pois(λ 1 +λ 2 ) X Geom(p): X 1 NB(1,p). X NB(r 1,p) og Y NB(r 2,p): X +Y NB(r 1 +r 2,p) Bin(n,λ/n) Pois(λ) når n HyperGeom(n,N,G) Bin(n,p) når N,G mens G/N p. Summer kan generelt approksimeres med normalfordelingen Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 34
140 Nye begreber i afsnit 3.3 og 3.4 Varians og standardafvigelse Markovs og Chebychevs uligheder Indikatorfunktion Den centrale grænseværdisætning (3.3) Geometrisk fordeling Negativ binomial fordeling Poisson fordeling Bo Friis Nielsen 23/ forelæsning 4 35
141 Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse Var(X) = E[(X E(X)) 2 ] = (x E(X)) 2 P(X = x) alle x Normalfordelingsapproksimation/den Centrale Grænseværdisætning ( P a S ) n nµ σ n b Φ(b) Φ(a) Markovs og Chebychevs uligheder for ekstreme udfald P(X a) E(X) P( X E(X) ksd(x)) 1 a k 2 Et udpluk af diskrete fordelinger P(T = i) = (1 p) i 1 p P(T r = i) = Indikatorfunktioner I A = x+r 1 r 1 1 hvis A indtræffer 0 hvis A c indtræffer p r 1 (1 p) i p
Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Sandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Løsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - [email protected] http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Løsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - [email protected] http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Sandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Dagens nye emner afsnit 6.5 Den bivariate
Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Statistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - [email protected] Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: [email protected] Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: [email protected]
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - [email protected] Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - [email protected] Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Binomialfordelingen
Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Grundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres
Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Løsninger til kapitel 6
Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)
Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Note om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at