Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres ved (eller brug af Tønderskabelonen, hvor den er indarbejdet): 95% konfidensintervallet kan nu beregnes enten direkte vha. invnorm på følgende måde Nedre grænse: Øvre grænse: 397.6040995 (1.1) 422.3959008 (1.2) eller man kan benytte z-transformationen og formlen for konfidensintervallet Nedre grænse: at 5 digits (1.3) 397.60 (1.4)
Øvre grænse: at 5 digits (1.5) 422.40 (1.6) Føst skal vi lige have defineres t-fordelingen for at kunne bestemme de rigtige fraktiler. Dette gøres nedenfor Først lige 2.5%-fraktilen Så 97.5%-fraktilen 2.200985165 Dvs. hvis T ligger imellen disse to tal, så accepteres ellers forkastes. Teststørrelsen T udregnes vha. (2.1) (2.2)
at 5 digits Konklusion: Da dette ligger inden for intervallet accepteres. (2.3) (2.4) I denne opgave er selve obervationerne givet. Disse indtastes i Maple a) Middelværdien udregnes (3.1) og standardafvigelsen bestemmes 6. (3.2) 2.86744175568088 b) Kontaklærerens udsagn afgøres ved hjælp af kritisk værdi metoden. (3.3) T-værdien er t-fordelt med 10-1 = 9 frihedsgrader. Så bestemmes fraktilerne hørende til et 5% signifikansniveau. Den anden fraktil er bare modsat fortegn. (3.4) Dvs. hvis så accepteres at eleverne bruger 5 timer pr. uge til lektielæsning. at 5 digits (3.5)
(3.6) Da T liggen inden for intervallet accepteres at eleverne benytter 5 timer om ugen til lektielæsning. c) Kontaktlæreren har altså ret. d) Nu skal striden afgøres ved hjælp af konfidensinterval metoden i stedet for. Der skal altså bestemmes et 95% konfidensinterval for en middelværdi med ukendt spredning. Dertil følges metoden i afsnit 8.4. Middelværdien og standardafvigelsen til observationerne er udregnet i a). Derudover skal fraktilerne i t-fordelingen med 10-1 = 9 frihedsgrader benyttes. Denne er ligeledes fundet, nemlig i b) Nu kan formlen for konfidensinterval benyttes hvilket giver (3.7) (3.8) Da kontaktlærerens påstand om de 5 timers lektielæsning pr. uge ligger inden for dette interval, så konkluderes det at kontaktlæreren har ret. Det hele kan kontrolleres i Maple med Standard T-Test on One Sample ----------------------------- Null Hypothesis: Sample drawn from population with mean 5 Alt. Hypothesis: Sample drawn from population with mean not equal to 5 Sample size: 10 Sample mean: 6 Sample standard dev.: 2.86744 Distribution: StudentT(9) Computed statistic: 1.10282 Computed pvalue: 0.298719 Confidence interval: 3.94875625870254.. 8.05124374129746 (population mean)
Result: [Accepted] There is no statistical evidence against the null hypothesis (3.9) Afsnit 8.8 - Ø4 Test for p i binomialfordeling - kritisk værdi metoden Hypotese : : 0.50 (4.1) Signifikansniveau: Antalsparameteren og estimatet på andelen defineres først (4.2) Kravene til approksimationen er at er begge opfyldt. Dvs. testvariablen er og 81 (4.3) (4.4) (4.5) Da denne værdi ligger uden for intervallet (4.6) forkastes nulhypotesen. Konklusion: 50% af personerne var altså ikke utilfredse. (4.7)
Afsnit 8.8 - Ø4 Test vha. konfidensinterval for en andel Antalsparameteren og estimatet på andelen defineres først (5.1) Kravene til approksimationen er at er begge opfyldt. og 81 (5.2) (5.3) (5.4) Derfor kan et 95% konfidensinterval opstilles ud fra hvor (5.5) (5.6) Da 50% = 0.50 ikke ligger inden for dette interval var 50% ikke utilfredse. (5.7) Afsnit 8.9 - Ø1 Datasættet defineres (6.1)
Så udregnes p-værdien ved hjælp af OneSampleTTest-kommandoen Standard T-Test on One Sample ----------------------------- Null Hypothesis: Sample drawn from population with mean 5 Alt. Hypothesis: Sample drawn from population with mean not equal to 5 Sample size: 10 Sample mean: 6 Sample standard dev.: 2.86744 Distribution: StudentT(9) Computed statistic: 1.10282 Computed pvalue: 0.298719 Confidence interval: 3.94875625870254.. 8.05124374129746 (population mean) Result: [Accepted] There is no statistical evidence against the null hypothesis (6.2) Konklusion: Da p-værdien er over 0.05 accepteres Man kunne også selv have beregnet sandsynlighed ved hjælp af t-fordelingen 0.298719778 (6.3) Afsnit 8.9 - Ø2 Test for p i binomialfordeling - p-værdimetoden p-værdien udregnes som 0.01557179924 Da denne sandsynlighed er mindre en 0.05 svarende til 5% forkastes. (7.1)