Volatilitets Dynamik og Risikostyring

Volatilitets Dynamik og Risikostyring David Skovmand Jan Kloppenborg (DTU), Peter Nystrup (DTU), Sinan Gabel (RiskButler), Jonas Hal og Johan Gade, Saxo Bank Copenhagen Fintech Innovation and Research (CFIR) 1 / 17

Introduktion CFIR Mini-Projekt - Samarbejde mellem to akademiske institutioner (DTU + KU) og to private virksomheder (RiskButler + Saxo) Funding : Virksomheder levererer tid/data. Akademikernes tid nansieres af CFIR Mål : at udvikle ideer der har både akademisk og kommerciel relevans 2 / 18

Ideen Standardmodellen for nansiel usikkerhed( Random Walk(Diskret tid), Black-Scholes(kontinuert tid)) er for simpel. Den har konstant 'volatilitet', og forudsiger for få ekstreme hændelser. Meeen, simplicitet er også en fordel : estimation er nem, modellen kan nemt 'skaleres op', mange tusinder af aktiver/risikofaktorer kan nemt modelleres og beregninger kan laves i 'realtid'. Bedre modeller ndes. Estimation, prisfastsættelse risikostyring og porteføljevalg bliver ofte meget sværere og kræver skræddersyede og problemspecikke løsninger. Vores ide har været at udvikle et model 'framework' som giver: bedre beskrivelse af virkeligheden, ikke er uoverkommelig beregningsmæssigt 3 / 18

Agenda En kort beskrivelse af volatilitet Denition, data mm. Oversigt over modeller Modeller i diskret tid, GARCH mm. Modeller i kontinuert tid, Stokastisk Volatilitet mm. Modeller i ere dimensioner Risikostyring og backtesting Fra model til nøgletal Eksempel på beregning 4 / 18

At måle volatilitet Volatilitet forstås normalt som synonym for variabilitet det har dog en en præcis denition Standard denition: Et annualiseret mål for log-afkastests standardarvigelse. Jo mere data (højere frekvens) jo bedre og mere nøjagtigt bliver dit mål - i teorien. Daglige log-afkast r 1,..., r T ˆσ = 250 1 T T (r i ˆr) 2 Implicit volatilitet. Har du prisen C 0 på en call option C T = max(s T K, 0): i=1 C 0 = BS(S 0, K, T, P(0, T ), σ) Løs for σ i ovenstående formel (skal ndes numerisk). Denne kan tolkes som markedets bedste gæt for hvad volatiliteten skal være henover perioden [0, T ] Hvad σ er afhænger dog både af hvad strike prisen K er samt tid til udløb T - ikke helt konsistent med Black-Scholes modellen men det er heller ikke meningen. VIX er et index som kondenserer information fra alle handledede optioner med S& P 500 som underliggende og med omkring 30 dage til udløb. Dvs mange strikes. Det er et mere nøjagtigt (og modeluafhængigt) gæt på hvad markedets bud på standardafvigelsen. Toneangivende mål for det overordnede risiko på (det amerikanske) marked 5 / 18

'Stylized Facts' om Volatilitet 1 Ændrer sig over tid(stiger i recessioner, falder i opsving(sådan da) ) 2 Volatilitet er persistent. Store bevægelser, følger store bevægelser i det underliggende aktiv. Medfører vol. har stor autokorrelation. 3 Volatilitet og afkast har ofte negativ korrelation 4 Store opadgående bevægelser i vol er ofte efterfulgt af lignende hurtige nedadgående bevægelser Du kan nemt udvide standardmodellen til at kunne fange (1)+(2) (GARCH(1,1)), (3) lidt sværere, (4) ret svært. Lad os se på data 6 / 18

Empiri Daglig afkast fra 1926-2014 for en værdi-vægtet portefølje af alle (oentligt handlede) amerikanske aktier Store bevægelser følger hinanden Ovenstående scenarie kunne umuligt være genereret af random walk/black scholes med konstant vol. 7 / 18

Empiri, VIX Vol har tydeligvis autokorrelation, (ligner lidt AR(1) type) med store outliers, som ligner spring men er det ikke - 'spikes' som er et lidt anderledes. Hurtige opadgående bevægelser efterfulgt af nedadgående. 8 / 18

Modellering Random walk/diskret tids Black-Scholes r t+1 = µ + ɛ t+1, ɛ t IIDN(0, σ 2 ) (1) Vi kan erstatte den konstante σ med en tidsvarierende process. Den mest populære metode (G)ARCH, udviklet af Robert Engle og Tim Bollerslev. Den fungerer i sin simpleste form på følgende måde Denne type konstruktion har mange fordele r t+1 =µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) (2) σ 2 t =ω + ασ 2 t 1 + βη 2 t (3) Den betingede fordeling af r t fra t til t + 1 er normalfordelt - nemt at udregne VaR og Expected shortfall Betinget fordeling fra t til t + s er IKKE normalfordelt for s > 1. Variation i vol er genereret alene udfra tidligere afkast da η t = r t µ Erstat uden problemer varians ligningen og normalfordelingsantagelsen med noget andet - Extreme value fordeling, EGARCH, tidsvarierende µ osv. Estimation er (relativt) ligetil. 9 / 18

SDE Modeller -Kontinuert tid, Stokastisk Volatilitet Ulemper ved diskret tid Diskret tid. Modellen er naturligt bygget på et ækvidistant tidsgitter - typisk handelsdage- hvad med weekender? og hvis man ønsker at set på afkast fordelingen ere dage frem i tid? Intradag data er især et problem Der ndes løsninger (quick-xes) men de er ikke elegante Hvis man istedet formulerer sin model i kontinuert tid er det noget nemmere. Kontinuert tidsmodeller er generelt beskrevet ved en ved følgende SDE(Stochastic Dierential Equation) T T ds t = µ ts tdt + S tσ tdw t, S T = S 0 + µ ts tdt + σ tdw t (4) 0 0 Dvs en modellens fordeling og dynamik er beskrevet henover et vilkårligt tidsinterval [0, T ]. Sættes µ, σ konstant fås Black-Scholes modellen (Geometrisk Brownsk Bevægels). ds t = µs tdt + S tσdw t, S T = S 0 exp((µ 1 2 σ2 )T + σw T ) 10 / 18

Stokastisk Volatilitet Standard modellen for Stokastisk Vol. i kontinuert tid er Heston modellen. Her er modellen for aktiekursen ds t = µs t dt + S t σ t dw t (5) dσt 2 = κ(θ σt 2 )dt + η σt 2 dw t (6) Denne model lider dog ofte at variationen i σt 2 'nemt' ændres til ikke bliver stor nok. Det kan dσ 2 t = κσ 2 t (θ σ 2 t )dt + ησ 2α t dw t (7) Her har vi nu kvadratisk drift og power scaling i diusionsleddet. Det kan generere de hurtige spring lignende bevægelser vi så i data. Primær udfordring: Estimation 11 / 18

Mange Aktiver Modellerne er indtil videre beskrevet kun i een dimension. Hvis deres afhængighedstruktur skal beskrives er der mange muligheder at skabe afhængihedstrukturen strukturelt som Multivariate GARCH (Tidsvarierende Kovariansmatricer), Wishart Stokastisk Volatilets modeller, osv. Disse strukturelle tilgange fungerer nt for 2-3 aktiver men de skalerer dårligt op til de tusindvis af mulige aktiver - Hvis hver afhængighed mellem to aktiver beskrives af een parameter fås (n 2 n)/2 parametre for n aktiver. n = 1000 499500 parametre! Hvis de kan estimeres uafhængigt af hinanden er det ikke det store problem men hvis ikke bliver du nød til at reducere dimensionen af afhængighedsstrukturen. Men selv hvis du kan det er det en meget stor fordel at kunne dekoble afhængighedstrukturen fra de marginale modeller således du kan bryde estimations problemet op i en serie uafhængige estimationsproblemer. 12 / 18

Pragmatisk tilgang, til multidimensionsproblemet Index modeller, hvert aktiv beskrives ud fra dets afhængighed med et mindre antal k systematisk faktorer (CAPM, APT) r i,t = α i + β i F 1,t + + β k F k,t + ɛ i,t Denne type model er ofte for reduceret og den lineære afhængighed bliver for upræcis for det enkelt aktiv. Desuden er specikationen af de systematiske faktorerer (S& P 500, VIX etc) heller ikke ligetil. Alternativt kan man koble sine enkelte modeller sammen med en copula-funktion Generelt er det bedst med en struktur som tillader en to-trins estimation 1) Estimer een model per aktiv/risikofaktor 2) Estimer afhængighedsstrukturen 1)+2) skal helst foretages uafhængigt af hinanden. Vi har i dette projekt beskæftiget os med 1 trin (mini-projekt) 13 / 18

Fra model til portefølje Antag du har estimeret en model med n aktiver. Dette giver dig prisdynamikken for en stokastisk vektor S t = [S t,1,..., S t,n], som hvis du kender din portefølje w = [w 1,..., w n]. Prisprocessen er derfor givet som en lineær funktion af dit model output som S p,t = w S t Dette er dog en forsimplet tilfælde. Ofte modelleres ikke kun priser, men renter, volatiliteter og nøgletal som alle er med til at bestemme porteføljens pris - men på en ikke-lineær facon. Antag istedet vi laver en model for n, risikofaktorer Z t = [Z 1,t,..., Z n,t]. Vi lader porteføljens pris være bestemt gennem en ikke-lineær funktion f : R + R n R. S p,t = f (t, Z t) f er så en generel funktion der udover at ligge vores positioner sammen transformerer volatileter, renter etc, om til priser 14 / 18

Risikostyring Med en model for Z t har vi en model for alle relevante porteføljer S p,t = f (t, Z t) Med modellen kan vi beregne alle vores relevante risikotal. Eksempelvis hvis vi denerer P&L-fordelingen: P&L t+1 = (S p,t+1 S p,t) Value-at-risk 1 periode frem : P(P&L t+1 < VaR α Z t) = α VaR α = F 1 P&L t+1 (α) Expected Shortfall 1 periode frem : 0 0 0 VaR I() a 0 0 0 ES α = E[P&L t+1 P&L t+1 < VaR α, Z t) 0 0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 Disse tal mm kan direkte oversættes til kapitalkrav i en nansiel institition. 15 / 18

ES α vs VaR α ES α er som risikomål bedre end VaR α VaR α er mindre følsom overfor ekstreme tab. I altså α procent af tilfældende er dit tab jo større end VaR α. Hvor store? Det siger VaR ikke noget om. VaRα er ikke subaddivt. Dvs VaR er ikke nødvendigvis konsistent med at der er diversikations gevinst i.e VaR α (w 1 S 1 + w 2 S 2 ) w 1 VaR α (S 1 ) + w 2 VaR α (S 2 ) ES α er subaddivt og siger jo netop noget om hele halen af fordelingen. Det er dog lidt sværere at backteste. Dog ES α > VaR α. Højere kapitalkrav? Ikke nødvendigvis. Benyt en anden fraktil for ES (2.5% i stedet for 1%) for at sænke det lidt 16 / 18

Eksempler på beregning i GARCH Lad os sige vi har 1 pris på en portefølje, enkelt aktiv etc. S t+1 = S t + µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) Kigger vi kun t + 1 fra tidspunkt t frem kender vi σ t P&L t+1 = (S t+1 S t) N(µ, σ 2 t ) (8) VaR α = µ + σ tφ 1 (α), ES α = µ σ tφ(φ 1 (α))/α (9) Hvor Φ 1 og φ er hhv fraktifunktionen og tæthedsfunktionen for en std. normalfordeling. Fine udtryk der (relativt) nemt generaliseres hvis man ønsker at erstatte normalfordelingen med noget mere realistisk. Dette er en stor fordel ved GARCH frameworket Bemærk : formler duer ikke hvis du er interesseret i tabet over længere end 1 dag! (10 dage ig Basel reguleringen) Så er du oftest nød til at beregne VaR og ES med simulation. GARCH risikofaktoer medfører kun GARCH portefølje priser i det lineære tilfælde. Dvs ingen optioner, obligationer etc. I kontinuert tid kan du kun i ganske få tilfælde få noget lignende. Du kan lave en normal approksimation, eller løse problemet med simulation. 17 / 18

Opsummering Standard Black-Scholes/Random Walk modellen kan slet ikke matche data Hvordan skal vi udvide den? GARCH er nem at estimere og lave betingede beregninger fra t til t + 1 - men Kan oftest ikke ikke matche 'spikes' i Vol. Diskret tid - knap så eksibelt Mange relevante beregninger skal alligevel beregnes med Simulation SDE modeller har fuld eksibiliet i ifht til data input med forskellige frekvens og skiftende tidhorisonter. Mere eksibiliet til at at matche vol spikes. Alle relevante risikomål skal oftest beregnes med simulation Lidt mere 'tricky' at estimere 18 / 18