Indholdsfortegnelse Forord 7 1 Indledning 8 1.1 Baggrund 8 1.2 Kort som projekteringsgrundlag 8 1.3 Topografiske kort 8 1.4 Tekniske grundkort 9 1.5 Situationsplaner 10 1.6 Matrikelkortet 10 2 Landmåling generelt 12 2.1 Jordens form og kortprojektioner 13 2.2 Plane koordinatsystemer 14 2.3 Højdesystemer og koter 16 2.4 Fikspunkter 18 2.5 Måleenheder 19 3 Geometrisk nivellement 20 3.1 Geometrisk nivellement 20 3.2 Nivellerinstrumentet 21 3.3 Kikkerten, okularet og stregkorset 24 3.4 Stativet 26 3.5 Stadiet 26 3.6 Libellen 26 3.7 Opstilling af nivellerinstrumentet 27 3.8 Aflæsninger på stadiet 28 3.9 Kontrol af nivellerinstrumentet 28 3.10 Hovedpunkts-, linje- og fladenivellement 30 3.11 Typiske fejl og fejlkilder ved geometrisk nivellement 46 4 Planmåling 48 4.1 Grundlæggende metoder 48 4.2 Teodolitten og totalstationen 50 4.3 Måling af retninger 54 4.4 Måling af afstande 56 4.5 Opstilling af teodolitten og totalstationen 58 4.6 En simpel opmåling fra to stationer 60 4.7 Hovedpunktsnet 65 4.8 Ortogonal måling med vinkelprisme 67 5
5 Trigonometrisk nivellement 70 6 Korttegning og konstruktion 71 6.1 Kortets målgruppe og indhold 71 6.2 Målforhold 71 6.3 Signaturer og grafiske variabler 72 6.4 Generalisering 74 6.5 Tekster 74 6.6 Korthovedet 76 6.7 Fremstilling af analoge kort 76 6.8 Eksempler på situationsplaner 79 7 Konstruktion af højdekurver 80 7.1 Generelt om konstruktion af højdekurver 80 7.2 Konstruktion af højdekurver i analoge kort 80 7.3 Konstruktion af højdekurver i digitale kort 84 Appendiks A: Fremstilling af analoge 3D-modeler 86 A1 Modeller 86 A2 Valg af karton 86 A3 Overførsel af højdekurver til karton 88 A4 Udskæring og limning 88 A5 Indlægning af bygninger og veje 88 Appendiks B: Bygningsafsætning 91 B1 Bygningsafsætning 91 B2 Eksempel på en afsætning 91 Appendiks C: Polarkoordinatografen 102 Appendiks D: Sikkerhed 103 Appendiks E: Opbevaring og behandling af instrumenter 105 6
Forord Denne bog udspringer af et behov for en lærebog om landmåling på første semester af uddannelserne til bygningskonstruktør, byggetekniker og kort- og landmålingstekniker. Den primære målgruppe for bogen er dermed studerende på disse tre uddannelser. Målet har været at give en gennemgang af de grundlæggende landmålingsprincipper ved kortlægning af mindre områder. Vægten er lagt på at give praktiske anvisninger og formidle god landmålingsskik. Bogen indeholder endvidere eksempler på, hvordan bygningsafsætninger kan gennemføres, og hvordan 3D-terrænmodeller kan udarbejdes. Selvom de fleste kort i dag udarbejdes som digitale kort har vi valgt at beskrive hvordan kort kan tegnes direkte på et stykke papir. Denne simple metode er velegnet til at give en forståelse for de grundlæggende principper. Af samme årsag beskrives teodolitten i bogen, selvom denne for længst er afløst af totalstationen i den»virkelige verden«. Enkelte af de tegninger der er gengivet i bogen er hentet fra Svend Trøst Sørensens lærebog»landmåling«fra 1984. Samme bog har endvidere virket som inspirationskilde. Vi takker Svend Trøst Sørensen for at have stillet tegningerne til rådighed til bogen. Og takker landinspektør Robert Jakobsen og landinspektør Susanne Høiberg for at læse korrektur. VIA University College Februar 2009 Jørgen Ullvit og Lars Fredensborg Matthiesen 7
1 Indledning 1.1 Baggrund Kort er uundværlige i et moderne samfund, hvor planlægning er nødvendig for at sikre en hensigtsmæssig udvikling. De fleste kort fremstilles enten ud fra luftfotos optaget fra fly (fotogrammetri), eller fra opmålinger foretaget fra landjorden. Danmark er et af de bedst kortlagte lande i verden, og man skulle dermed tro, at der ikke var behov for yderligere opmålinger og kortlægninger. Landet undergår imidlertid løbende menneske- og naturskabte forandringer, og ofte vil de kort, der er til rådighed ikke være tilstrækkeligt nøjagtige eller detaljerede til den givne opgave. Derfor er løbende ajourføringer af de eksisterende kort og nye opmålinger og kortlægninger nødvendige. Især inden for bygge- og anlægsbranchen er ajourførte og detaljerede kort vigtige. Under projekteringsfasen anvendes kort til at sikre de bedste løsninger og til at undgå overraskelser under de efterfølgende faser. Fejlprojekteringen kan medføre meget store økonomiske tab. 1.2 Kort som projekteringsgrundlag Bygningskonstruktøren og byggeteknikeren vil under projekteringsfasen ofte få brug for at arbejde med række forskellige kort. Kort med forskellige målestoksforhold og indhold. Nogle af disse kort foreligger, andre må udarbejdes før eller under projekteringsfasen (figur 1.1). 1.3 Topografiske kort Som eksempler på topografiske kortværker kan næves Top10DK og Kort10. Disse kortværker er udarbejdet af Kort- og Matrikelstyrelsen. Deres nøjagtighed og detaljeringsgrad gør at de i projekteringssammenhænge udelukkende anvendes til den overordnede planlægning. De topografiske kort ajourføres hvert femte år, og har en nøjagtighed på ned til 1 meter for veldefinerede punkters vedkommende. De topografiske kort er digitale kort, og kan dermed udtegnes i et vilkårligt målforhold. Normalt udtegnes de ikke i målforhold større end 1:5000, da detaljeringsgraden og nøjagtigheden ikke tillader det (figur 1.2). 8
1.4 Tekniske grundkort De tekniske grundkort er ligeledes digitale kort. De egner sig til udtegning i målforholdet op til 1:10.000 for landområdernes vedkommende, og i op til 1:1.000 for byområdernes vedkommende. I byområderne er kortene mere detaljerede end de topografiske kort og har også en større nøjagtighed. Veldefinerede punkter har typisk en nøjagtighed på bedre end 10 cm i planen. De tekniske kort over byområderne viser objekter så som bygninger, veje, vejnavne, afløbsriste og trafikanlæg. Efter en rekognoscering i marken vil disse kort i mange tilfælde udgøre et udmærket grundlag for et skitseforslag. I visse tilfælde kan de, også anvendes som grundlag for den endelige projektering. Man bør dog være opmærksom på, at disse kort ligesom de topografiske kort er fremstillet ud fra luftfotos, bygninger vises derfor med tagudhæng. Figur 1.1 Landmåleren i marken Figur 1.2 Udsnit af Top10dk. Kort & Matrikelstyrelsen (298). 9
I landområderne er de tekniske grundkort knap så detaljerede (for eksempel er veje kun angivet med vejmidten, og andre objekter som trafikanlæg og afløbsriste er ikke med på kortet). Nøjagtigheden er også dårligere, nøjagtigheden på veldefinerede punkter kan være ned til 1 meter. Ajourføringsintervallerne for de tekniske grundkort varierer fra kommune til kommune, typisk anvendes et ajourføringsinterval på tre år. 1.5 Situationsplaner For at sikre et tilstrækkeligt nøjagtigt og ajourført kortgrundlag til bygge- og anlægsopgaver vil der i de fleste tilfælde være behov for at udarbejde en detaljeret situationsplan. Denne bør udarbejdes på baggrund af nyindsamlede observationer. Situationsplanen er et teknisk kort, men adskiller sig fra de tekniske grundkort ved at være mere detaljeret, og ved at være udarbejdet på baggrund af målinger foretaget fra landjorden, såkaldte terrestriske målinger. 1.6 Matrikelkortet Under projekteringsfasen er det nødvendigt at kende den nøjagtige placering af ejendomsgrænserne. En overskridelse af byggelinjer eller ejendomsskel kan få alvorlige økonomiske konsekvenser. Matrikelkortet er et digitalt kortværk, der viser de matrikulære ejendomsgrænser. Et udtræk fra matrikelkortet kan rekvireres gennem Kort- og Matrikelstyrelsen, kommunen eller den lokale landinspektør. Matrikelkortet viser blandt andet ejendomsgrænser og skel. Nøjagtigheden af matrikelkortet er meget varierende, nøjagtigheden afhænger af det baggrundsmateriale, der er anvendt under fremstillingen af kortet. Nogle skel er lagt ind efter nyere præcise målinger, andre på grundlag af en digitalisering af ældre matrikelkort baseret på målinger tilbage fra 1700-tallet. Nøjagtigheden kan således variere fra få cm til adskillige meter. Ydermere følger skellene ikke altid de synlige grænser i marken, da der kan være tale om at naboejendomme har vundet hævd. Det anbefales derfor at involvere en landinspektør, såfremt der er den mindste tvivl om skellets beliggenhed. Landinspektøren vil ligeledes kunne afklare, om der er tinglyst servitutter på ejendommen, der indskrænker ejerens råderet over ejendommen. 10
Figur 1.3 Udsnit af et teknisk grundkort i byområde (gengivet med tilladelse af Horsens Kommune) Figur 1.4 Udsnit af en situationsplan 276am 276an -050 276ao -051-364 Chr. M. Østergårds Vej 482ay 482aø 83c 482s 482b 482n -363 Figur 1.5 Udsnit af matrikelkortet. Kort & Matrikelstyrelsen (298). 11
2 Landmåling generelt Landmåling omfatter måling til genstande på, og til tider over eller under, Jordens overflade for at bestemme deres placering i forhold til hinanden. Landmåling omfatter endvidere beregning af afledte størrelser som koordinater, arealer eller volumen og præsentation af disse data på et kort eller anden form. Inden for landmåling kaldes selve målingerne ofte for observationer. De vigtigste observationer er retninger, højdeforskelle og længder. Ved at sammensætte disse observationer kan man stedfæste punkter i planen og i højden relativt i forhold til hinanden. Markarbejdet ved landmåling kan opdeles i planmåling og nivellement. Planmålingen har til formål at beskrive terrænpunkternes indbyrdes placering set fra oven. Nivellementet har til formål at beskrive punkternes indbyrdes højdeforskelle. Inden for planmålingen anvendes en lang række forskellige instrumenter som for eksempel totalstation, teodolit, satellitmodtager (GPS), vinkelprisme og målebånd. Ved nivellement anvendes typisk et nivellerinstrument, en satellitmodtager eller en totalstation. Enhver måling af fysiske størrelser er behæftet med fejl. Fejl, der opstår på grund måleinstrumenternes begrænsninger og fejl der skyldes ukendskab til de fysiske love, som indvirker på målingerne. Disse fejl kan være af større eller mindre størrelsesorden afhængigt af instrumentets nøjagtighed, og hvorvidt man har kontrol over de ydre påvirkninger, der influerer på målingerne. Disse fejl kaldes henholdsvis tilfældige fejl og lovmæssige fejl. Udover disse fejl kan der forekomme såkaldte grove fejl, såsom at man måler til et forkert punkt, betjener instrumentet forkert, eller noterer en måling forkert i målebogen. Et grundlæggende princip inden for al landmåling er derfor, at man først fastlægger et net af overordnede punkter, hovedpunkter, som danner grundlaget for målingerne til de underordnede punkter, detailpunkterne. Hovedpunkterne bestemmes med en større nøjagtighed og sikkerhed end detailpunkterne. Dette opnås ved at være mere omhyggelig og eventuelt anvende mere nøjagtige instrumenter ved målingerne til hovedpunkterne samt ved at hovedpunkterne overbestemmes. Skal målingen referere til et landsdækkende koordinatsystem knyttes hovedpunkterne til geodætiske- eller matrikulære fikspunkter (se afsnit 2.4). Ved bestemmelsen af hovedpunkter anvendes der inden for landmåling ofte en teknik der kaldes overbestemmelse. Overbestemmelse vil sige, at der tages flere uafhængige målinger til punkterne end nødvendigt for at bestemme disse geometrisk. Et eksempel på dette er: For at bestemme tre punkters beliggenhed i forhold til hinanden, vil det være tilstrækkeligt at måle to afstande og en vinkel i den trekant, som punkterne danner. Måler vi derimod alle vinkler og afstande vil punkterne være overbestemte. Vi kan dermed kontrollere, om én eller flere af målingerne er forkerte (om der forekommer grove fejl), og vi vil kunne fastlægge de tre punkters indbyrdes placering med en større nøjagtighed og pålidelighed. Endelig giver overbestemmelserne mulighed for, med en 12
vis sikkerhed, at man kan fastslå, hvilken nøjagtighed punkternes indbyrdes placering er bestemt med. 2.1 Jordens form og kortprojektioner I daglig tale omtaler vi Jorden som rund. Men i praksis er Jorden en irregulær flade. Set fra rummet vil vi kunne konstatere at Jorden er fladtrykt omkring polerne. Det man normalt forstår ved Jordens form, er den flade normalvandstanden ville danne, såfremt vi gravede kanaler på kryds og tværs gennem alle kontinenter. Denne flade kaldes for geoiden. Ved kortlægning af større arealer skal der tages hensyn til Jordens form. Som matematisk model anvendes en flade, der benævnes sfæroiden. Ved kortlægning af større områder er det nødvendigt at anvende en såkaldt kortprojektion, da det ikke er muligt at afbilde en dobbelt krum overflade på et plant stykke papir. Prøv at pakke en bold ind i et stykke papir, og du vil opdage, at dette ikke kan lade sig gøre uden at papiret bliver foldet. På tilsvarende vis vil der, hvis vi ikke anvender en kortprojektion for at afbilde Jordens dobbeltkrumme overflade, blive blanke områder på kortet. Situationsplaner dækker kun et meget lille udsnit af Jordens overflade, og vi kan ved konstruktion af situationsplaner ignorere at Jorden ikke er flad. De fejl vi begår, vil være forsvindende små. Ved kortlægning af større geografiske områder, er det derimod af afgørende betydning, at der anvendes en såkaldt kortprojektion. Når vi anvender en kortprojektion medfører det altid forvanskninger af kortet, men forvanskningernes karakter og størrelse er kendte, og man kan dermed tages højde for disse ved beregninger af retninger og afstande på kortet. En kortprojektion kan defineres som en matematisk afbildningsmetode, der overfører målte punkter på Jordens tredimensionale overflade til en todimensional flade i form af et plant kort. Til en kortprojektion er der tilknyttet et eller flere koordinatsystemer. Koordinatsystemerne anvendes til at give en unik stedfæstelse af punkterne. Det mest anvendte koordinatsystem inden for landmåling i Danmark er System 34. System 34 bygger på en såkaldt cylinderprojektion (nærmere betegnet en transversal Mercatorprojektion). System 34 er delt op i tre zoner: En der dækker Jylland og Fyn kaldes for System 34 Jylland/Fyn (eller Sys34J/F). En der dækker Sjælland kaldes for System 34 Sjælland (eller Sys34S). En der dækker Bornholm kaldes for System 45 Bornholm (eller sys45). Disse koordinatsystemer anvendes udelukkende i Danmark. Det er én af baggrundene for, at der for nylig er indført to nye kortprojektioner med tilhørende koordinatsystemer. De to nye kortprojektioner og de tilhørende koordinatsystemer benævnes henholdsvis Kp2000 og UTM/ETRS89. Mange kommuner har indført de nye koordinatsystemer. Det må dog for- 13
ventes, at der vil gå adskillige år, inden alle brugere af kort og geografiske data er gået over til de nye systemer. Både Kp2000 og UTM bygger, som Sys34, på en cylinderprojektion. Se figur 2.1, hvor kuglen symboliserer Jorden, og cylinderen et kort over Jorden i målforholdet 1:1. De kortprojektioner der ligger til grund for System 34, Kp2000 og UTM/ ETRS89 er ikke afstandstro. At en kortprojektion ikke er afstandstro betyder, at målforholdet i kortet varierer alt efter hvor man befinder sig på kortet. Det er derfor nødigt at anvende en afstandskorrektion, for at overføre afstande fra virkeligheden til kortet eller omvendt. Afstandskorrektionen er forskellen mellem én afstand beregnet ud fra kortet, og den tilsvarende afstand målt på jordoverfladen efter, der er taget højde for kortets målforhold. Afstandskorrektionen er ikke lige stor overalt der, hvor cylinderfladen skærer jordoverfladen, er afstandskorrektionen lig med nul. Jo længere væk i øst/vestlig retning fra skæringslinjerne man bevæger sig, jo større er afstanden fra cylinderoverfladen til Jordens overflade, og afstandskorrektionen bliver dermed større. Der er tre zoner i System 34 for at afstandskorrektion ingen steder skal overstige 5cm/km. Den nye danske kortprojektion Kp2000, opererer ligeledes med tre zoner, for at den maksimale afstandskorrektion skal holde sig inden for 5 cm/km. De tre zoner i Kp2000 kaldes for henholdsvis Kp2000 Jylland/ Fyn, Kp2000 Sjælland og Kp2000 Bornholm. I System UTM dækkes Danmark af to zoner, henholdsvis zone 32 og zone 33. Den maksimale afstandskorrektion i UTM er 40 cm/km. I en cylinderprojektion som vist i figur 2.1 overføres genstandene (objekterne) fra Jordens overflade til kortet ved at projicere langs en linje, der går fra Jordens centrum til vinkelret på Jordens overflade. Herefter foldes cylinderen ud og skaleres ned. Denne forklaring er simplificeret. I professionelle landmålingsprogrammer påføres de målte afstande automatisk afstandskorrektionen, når koordinater beregnes ud fra observationerne. Beregner vi koordinater i en totalstation, tages der ikke nødvendigvis højde for afstandskorrektionen. 2.2 Plane koordinatsystemer Koordinatsystemet der anvendes i System 34 er hængt op på et punkt beliggende ved Agri Bavnehøj. Dette punkt har fået tildelt koordinaten Y=200000 m, X=200000 m. Y-aksen i koordinatsystemet peger mod nord og x-aksen mod vest. Vinkler måles altid med positiv omløbsretning med uret inden for landmåling, som vist i figur 2.2. I koordinatsystemerne tilknyttet kortprojektionerne Kp2000 og UTM vender akserne som vist i figur 2.3. I UTM ligger nulpunktet til koordinatsystemet (origo) ved ækvator. N er nul på ækvator, E er nul 500 km vest for centralmedianen. Centralmeridianen er en linje der ligger midt mellem de to skæringslinjer vist i figur 2.1. 14
I Kp2000 ligger nulpunktet ligeledes på ækvator, N er nul på ækvator og i de tre zoner, der hver især dækker Jylland/Fyn, Sjælland og Bornholm, er E henholdsvis 200 km, 500 km og 900 km vest for centralmeridianen. Da System 34, Kp2000 og UTM har samme omløbsretning, kan man ofte anvende de samme formler til beregninger af koordinater og andre størrelser i systemerne. De fleste CAD-programmer er født med et matematisk koordinatsystem, hvor omløbsregningen er mod uret. Heldigvis er det i disse programmer muligt at definere et»brugerdefineret koordinatsystem«(funktionen UCS i Autocad og ASC i Microstation), hvor omløbsretningen kan sættes til at være med uret. Figur 2.1 Cylinderprojektion Figur 2.2 System 34 Figur 2.3 UTM 15