Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.
|
|
- Eva Steffensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
2 Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Optimale projektioner for et givet område. System 34 - hvorfor blev det, som det blev? Hvad er problemerne. Omregning fra længder i naturen til kortet og omvendt Afstandskorrektion - fra målforhold til afstandskorrektion. Taylorudvikling Vinkler -mellem hvilke kurver? Meridiankonvergens Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
3 Egenskaber ved transversal Mercator/UTM Konform Målforhold afhænger kun af afstand til midtelinjen da målforhold i Mercatorprojektionen kun afhænger af afstand til Ækvator. og TM blot er Mercator sammensat med rotation. Midtelinjen er en meridian Andre meridianer afbildes ikke som rette linier Ækvator afbildes som en ret linie. andre breddecirkler afbildes ikke som rette linier. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
4 Koordinatnettet (Northing,Easting) koordinaterne måler Northing parallelt med Midtelinien, Easting parallelt med Ækvator. Der er (har været) to forskellige UTM systemer i brug i DK: UTM ED50 og UTM EUREF 89/ETRS89 Bemærk: Eastingkoordinaten er en funktion af afstanden (i naturen) til midtemeridianen, da y-koordinaten i en Mercatorprojektion er ln(tan( π 4 + ϕ 2 )). Og φ er en funktion af afstanden til Ækvator. Og omvendt: Afstanden til midtemeridianen er en funktion af Eastingkoordinaten. Derfor kan målforholdet skrives som en funktion af Eastingkoordinaten. mere senere idag... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
5 Zonebredde og målforhold - Eksamensopgave 2 og 3 del 1 Optimale Transversale Mercatorkort nord for 54 Med System 34 kravene fås en zonebredde på 2x90km To kort i Jylland (hver 90 km brede) m 1, Med samme teknik kan man vise: En TM-zone for hele DK (undtagen Bornholm) giver 0, 9999 m 1, 0001 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
6 Zonebredde og målforhold. Hele zoner - fra Ækvator Se i stedet på Mercatorprojektionen og udregn zonebredder onkring Ækvator. Målforhold m(λ, ϕ) = k cos ϕ Med UTM nøjagtighedskravene: k = 0, 9996, m(ϕ) = 0,9996 cos ϕ, ϕ max = 2, 29, Zonebredde 2x255km. OBS: UTM-zoner er 3 brede. Nøjagtighedkrav kun opfyldt nord og syd for ϕ = ±40 Med System 34 kravene k = 0, m(ϕ) = 0,99995 cos ϕ, ϕ max = 0, 81, Zonebredde 2x90km. DKTM/ETRS89 kravene k = 0, m(ϕ) = 0,99998 cos ϕ, ϕ max = 0, 51, Zonebredde 2x57km. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
7 Optimale stereografiske projektioner Målforhold (λ, ϕ) 2k cos ϕ (cos λ, sin λ) 1 + sin ϕ m(ϕ) = 2k 1 + sin ϕ 0, m 1, medfører maksimal radius 127km. Afstanden fra Skagen til Gedser er 335km > 2x127km, i.e., mindst to zoner nødvendige til dækning af DK-Bornholm. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
8 Hvad siger matematikken Chebyshev ( ) og D.A. Grave Der findes netop en optimal konform projektion for et givet område på en kugleflade. Den har konstant målforhold på randen af området Optimal betyder her, at m max = 1 + ε, m min = 1 ε og ε er mindst mulig.( D.A. Grave, "On the fundamental problems of the mathematical theory of constructing geographical maps", Handbook math. libr. (1896) (På russisk!!) ) Andre kriterier: Minimer den samlede forvanskning - integralet af m(λ, ϕ) 1 eller (m(λ, ϕ) 1) 2 eller... Konsekvens Den bedste projektion for et givet område skal vælges efter faconen på området. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
9 Eksempel For et område med en cirkel som rand er stereografisk projektion optimal. Eksempel For et langstrakt område a la Jylland kunne Transversal Mercator være et godt bud. For områder, der ligger skævt i forhold til meridianer og paralleller kunne en skæv Mercator være en mulighed. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
10 System 34 Historie: 1903, Landbrugsministeriet kræver ε i nye matrikelkort. ( ε mindre end måleusikkerheden) Før det: Generalstabens konforme kegleprojektion, ε = 4, Problem: Omregning vil være et stort arbejde Geodætisk Institut oprettes (Generalstabens topografiske afdeling + Den danske Gradmåling) Under Forsvarsministeriet. Geodætisk Institut har til opgave at udføre geodætiske videnskabelige arbejder, udgive geodætiske publikationer, bestride landets opmåling samt udgive kort over riget. Det påhviler endvidere institutet at forsyne hæren med fornødent kortmateriale Kommission nedsættes System 34. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
11 Definition af System 34 1 Konformt 2 To Zoner 3 I Zone 1 er målforholdet m(u, v) = 0, , (v ) 2 4 I Zone 2 er m(u, v) = 0, , (v ) 2 5 Agri Baunehøj har koordinater (200000m, m) i begge zoner (Samme som i Generalstabens eksisterende kort.) 6 Retningen Agri Lysnet er , 17 (Som i Generalstabens eksiterende kort) Punkt 5 og 6 definerer et koordinatsystem, når man har lavet projektionen. 2 og 3 bestemmer målforholdet som en funktion af koordinater i kortet. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
12 Sidste gang: Tranversal Mercator for ellipsoiden Krav: Konform m konstant langs λ 0 -meridian m er en funktion af afstanden til λ 0 -meridianen Krav til målforhold + konformitet. I Karsten Jensens kursus har I brugt afstandskorrektion til afstanden mellem (N 1, E 1 ) og (N 2, E 2 ), hvor E 0 er falsk Easting, altså Easting for midtemeridianen: ppm sys = 1 σ σ = m 0 + m 0 6Rm 2 ((E 1 E 0 ) 2 + (E 1 E 0 )(E 2 E 0 ) + (E 2 E 0 ) 2 Afstandskorrektion er altså udtrykt i kortets koordinater. Ikke i (λ, ϕ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
13 Hvad siger matematikken? Kan man definere en konform projektion ved dens målforhold? Målforhold som funktion af koordinaterne i kortet?? Og hvad er afstandskorrektionen, når målforholdet er kendt? Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
14 Målforhold for en konform projektion J. Milnor, Milnor fik Abelprisen i 2011! Hvis m 1 (λ, ϕ) er målforhold for en konform projektion, opfylder m 1 den partielle differentialligning: Og omvendt 2 ( ϕ) 2 (ln(m 1(λ, ϕ)) ϕ (ln(m 1(λ, ϕ))) tan ϕ (cos ϕ) 2 ( λ) 2 (ln(m 1(λ, ϕ))) = R 2 Hvis en funktion m(λ, ϕ) opfylder denne ligning, så findes der en (og kun en) konform projektion, som har m som målforhold. (Kun en bortset fra, at man selvfølgelig kan skubbe rundt med koordinatsystemet i planen.) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
15 Målforhold for en konform projektion Hvis m 2 (x, y) er målforhold for en konform projektion udtrykt i kortets koordinater, så opfylder m 2 ligningen m 2 (x, y) 2 [ 2 ( x) 2 (ln(m 2(x, y))) + ] 2 ( y) 2 (ln(m 2(x, y))) = 1 R 2 Og omvendt Funktioner, der opfylder den ligning, er målforhold for en konform projektion. Man kan altså definere en konform projektion ved at give dens målforhold. MEN det er ikke alle funktioner, der er målforhold for en konform projektion. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
16 Konsekvens for System 34 Man kan definere en konform projektion ved at give dens målforhold. MEN det er ikke alle funktioner, der er målforhold for en konform projektion. m(x, y) = a + bx 2 opfylder IKKE ligningen. Og det er ifølge de oprindelige specifikationer målforholdet i de konforme projektioner i System 34!!!! I Zone 1 er målforholdet m(u, v) = 0, , (v ) 2 I Zone 2 er m(u, v) = 0, , (v ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
17 Egenskaber ved transversal Mercator Konform Målforhold afhænger kun af afstand til midtelinjen - af Eastingkoordinaten. Midtelinjen er en meridian Koordinatnettet (Northing,Easting) koordinaterne måler Northing parallelt med Midtelinien, Easting parallelt med Ækvator. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
18 Om målforhold for Transversal Mercator Med kuglefladen som reference: m(λ, ϕ) = c 1 cos 2 ϕ sin 2 (λ λ 0 ) Som funktion i kortet: m(n, E) = c + c(e E 0) 2 2R 2 + 5c(E E 0) 4 24R 4 + (E E 0) 6 6!R (E E 0) 2n (2n)!R 2n OBS: De første to led som i System 34! Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
19 Transversal Mercator fra ellipsoide: Igen er m(n, E) = c + c(e E 0) 2 2R 2 + 5c(E E 0) 4 24R 4 + (E E 0) 6 6!R (E E 0) 2n (2n)!R 2n hvis man vælger R rigtigt... Approksimer ellipsoiden med en kugleflade i det område, der projiceres. Kuglefladen har radius NM, hvor N = a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ a 2 b 2 M = (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 3/2 R(ϕ) 2 a 4 b 2 = NM = (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
20 Målforhold for TM på ellipsoide R(ϕ) 2 a 4 b 2 = (a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ) 2 = a 4 b 2 ((a 2 b 2 ) cos 2 ϕ + b 2 ) 2 a 2 R(ϕ) = b 2 (e 2 cos 2 ϕ + 1) hvor e = a2 b 2 Man vælger ϕ midt i området - middelbredden. b 2 For GRS80 ellipsoiden: a = m, b = , 3m Middelradius i DKTM-zonerne: DKTM1 og DKTM 2 R m = m (samme middelbredde) DKTM3 R m = m (middelbredden mindre end i Zone 1 og 2) DKTM4 R m = m (middelbredden mindre end i Zone 3) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
21 System 34 ligner Transversal Mercator, men midtelinjer er ikke meridianer (pga. valget af vinklen Agri- Lysnet) System 34 er ikke rigtig konform Målforholdet kunne svare til de to første led i Taylorudvikling af målforhold for transversal Mercator, men System 34 er ikke lavet som en TM. Godt, vi har KMS-trans... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
22 DKTM/ETRS89 Fra høringsbrevet: Fra processens begyndelse har der været påpeget dilemmaerne omkring håndtering af afstandskorrektionen i UTM-projektionen. Erfaringerne har vist, at faggrupper uden indgående kendskab til koordinatsystemer er kommet til at anvende data modtaget i UTM i CAD-systemer - uden en forudgående transformation til et system uden afstandskorrektion. Det har hidtil været anbefalet, at bygge-, anlægs- og opmålingsbranchen kunne anvende sekundærsystemet KP2000 til bygge- og anlægsprojekter. Men KP2000 har ikke vundet indpas. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
23 Fra Notat om DKTM/ETRS Krav: Koordinaterne adskiller sig væsentligt fra UTM Zonerne er identificerbare ud fra koordinater Få zoner med mindre overlapsproblemer Lille (ubetydelig) afstandskorrektion på maksimum 2 cm/km Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
24 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
25 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
26 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
27 DKTM/ETRS89 Transversale Mercatorprojektioner 4Zoner Zone Midtemeridian Målforhold False Easting DKTM1 9 c = 0, m DKTM2 10 c = 0, m DKTM3 11, 75 c = 0, m DKTM4 15 c = m Falsk Northing m i alle zoner - i.e., Ækvator har Northingkoordinat m. I UTM har Ækvator Northingkoordinat 0m, så koordinater kan let skelnes. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
28 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
29 Transversal Mercator fra ellipsoide: Igen er m(n, E) = c + c(e E 0) 2 2R 2 + 5c(E E 0) 4 24R 4 + (E E 0) 6 6!R 6 + hvis man vælger R rigtigt... + (E E 0) 2n (2n)!R 2n Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
30 Afstandkorrektion - via approksimation af målforholdet Med håndkraft - på tavle Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
31 Afstandkorrektion - for System 34 og TM Hvis (anden ordens Taylor approksimation af) målforholdsfunktion m(y, x) = m 0 + Q(x x 0 ) 2 udregnes afstandskorrektion til afstand mellem (y 1, x 1 )) og (y 2, x 2 ) således: Parameterfremstilling for linjen γ(t) = (y 1, x 1 ) + t (y 2 y 1,x 2 x 1 ) d. d D = d 0 m(γ(t)) = m 0 + Q(x 1 + t(x 2 x 1 ) x 0 ) 2 d (m(γ(t)) 1dt = d 0 (m 0 1) + Q(x 1 + t (x 2 x 1 ) d x 0 ) 2 dt Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
32 Afstandkorrektion - for System 34 og TM d D = = (m 0 1)d + Q d 0 = (m 0 1)d + Q d 0 (m 0 1) + Q(x 1 + t (x 2 x 1 ) x 0 ) 2 dt d d 0 (x 1 + t (x 2 x 1 ) d (x 1 x 0 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) d x 0 ) 2 dt t + (x 1 x 2 ) 2 d 2 t 2 dt = d[(m 0 1) + Q 3 [(x 1 x 0 ) 2 + (x 1 x 0 )(x 2 x 0 ) + (x 2 x 0 ) 2 ]] For DKTM: d( R 2 [(E 1 E 0 ) 2 + (E 1 E 0 )(E 2 E 0 ) + (E 2 E 0 ) 2 ]) OBS: Her er ikke indregnet højde over ellipsoiden. Mere om det næste gang... Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L Maj / 1
Kortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2016 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2017 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup & Iver Ottosen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2017
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2019 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Iver Ottosen & Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2019
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereNyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS
Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner
Læs mereKortprojektioner L mm Problemformulering
Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder
Læs mereUTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark
UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 1 Version 1 2017-04-01 Geomatics Notes 1. Version 1, 2017-04-01 Geodætisk systembeskrivelse: UTM/ETRS89: Den
Læs mereEkspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion.
Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Erik Wirring, LE34 Peter Cederholm, AAU Henrik Vad Jensen, Vejdirektoratet Per Knudsen,
Læs mereAAU Landinspektøruddannelsen
AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mere5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)
5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor
Læs mereIndledning og indhold
UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske
Læs mereKortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet.
Læs mereDanske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber
Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens
Læs mereTror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34
Tror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) https://twitter.com/flatearthorg?lang=da Verden som vi ser på den til dagligt i vores CAD system ( The Flat Earth made at
Læs mere2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.
Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane
Læs mere9940 8848
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -
Læs mereSystem 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST
System 34 Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 3 Version UDKAST 2017-03-22 Geomatics Notes 3. Version UDKAST, 2017-03-22 Geodætisk systembeskrivelse: System 34 The Geomatics Notes Series is published
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereIndledning og indhold
UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske
Læs mereFind pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet "26")
Kortreference Når man skal angive et steds beliggenhed ved hjælp af hærkort, bruger man en kortreference. Den anvendes, når man skriftligt eller mundtligt skal give meddelelse om "noget" i terrænet - en
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereOplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv
0. April 2007 Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv Af Astrid Pørtner Nielsen & Lise Danelund Introduktion: Formålet med projektet
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereIndholdsfortegnelse. Forord 7
Indholdsfortegnelse Forord 7 1 Indledning 8 1.1 Baggrund 8 1.2 Kort som projekteringsgrundlag 8 1.3 Topografiske kort 8 1.4 Tekniske grundkort 9 1.5 Situationsplaner 10 1.6 Matrikelkortet 10 2 Landmåling
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereKurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereUgesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereI dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data.
I dag: Digital projektering -formål Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. Dagens emner Hvad er et digitalt kort? Digitale grunddata
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester, 2012
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og yggeri og Anlæg, 1. semester, 2012 LCG-1. Introduktion til landmåling 1. Danmarks fikspunktsregister (I) 2. Horisontalretningsmåling
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereÆndringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks
NOTE 2-2008 WWW.GeoCAD.dk Ændringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks Indførelsen af minimaks ved Kort- & Matrikelstyrelsen den 10. september 2008 vil medføre en række
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs merePerspektivtegning set gennem matematikerens briller
Perspektivtegning set gennem matematikerens briller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Matematiklærerdag, 26.4.07 Intro: Der skete noget i billedkunsten... lige omkring året 1400 før (Kaufmann
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen htx112-mat/a-30082011 Tirsdag den 30. august 2011 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2011 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereHTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX
HTX Matematik A Onsdag den 11. maj 2011 Kl. 09.00-14.00 GL111 - MAA - HTX 1 2 Side 1 af 7 sider Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereGIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester
GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester 1982 1992 Programmet for i dag: Stedbestemmelse. Hvordan beskrives, hvor tingene er, og hvordan taler vi om det? 2002 Alle mennesker ved altid, hvor
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2018 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Skjernvej
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereDTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mere