Aalborg Universitet København. Landinspektøruddannelsen 4. semester, 2. del. Detaljeret opmåling. Ballerup centrum, Linde Allé, Centrumgaden
|
|
- Merete Kristoffersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Aalborg Universitet København Landinspektøruddannelsen 4. semester, 2. del Detaljeret opmåling Ballerup centrum, Linde Allé, Centrumgaden Brian Johansen og Lars Bach
2 2 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden
3 3 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Forord Nærværende projekt er udarbejdet af gruppe 1 på Aalborg Universitet København. Rapporten er udarbejdet i perioden 4. semester 2. del fra 15. april 2010 til 21. juni 2010 og tager udgangspunkt i det overordnede emne - Detaljeret Opmåling. Projektet tager udgangspunkt i kursusenheder bl.a. omkring klassisk landmålingsteknik, landmålings fejlteori og kortkontruktion. Projektet har drejet sig om arbejdet omkring kortkonstruktion, samt vurdering af kvaliteten af det udarbejdede kort. Til kortkonstruktion er programmet AutoCAD benyttet og Google Earth til præsentation af 3Dmodel. Beregninger er foretaget i MatLab, samt TMK.
4 4 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Semester: 4. semester, 2.del Projektets titel: Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé, Centrumgaden Semestertema: Detaljeret opmåling Projekt periode: 15. april 21. juni 2010 Dette projekt tager udgangspunkt i en detailmålingsopgave i Ballerup by. Til løsning af opgaven er forskellige metoder inden for landmåling taget i brug, bl.a. geometrisk nivellement, horisontalretningsmåling, detailopmåling o. lign.. De indsamlede data er bearbejdet i forskellige programmer, hvor de herefter ligger til grund for en konstruktion af et teknisk kort i programmet AutoCad. De fornødne kontroller, beregnings- som opmålingsmæssige er foretaget for at sikre dokumentation for kortets kvalitet. Vejledere: Karsten Jensen og Carsten Beck Gruppenr.: 1 Gruppemedlemmer: Brian Bay Johansen Lars Bach Antal kopier: 2 til aflevering, 2 til studerende Antal sider: 32 sider Bilagsantal og -art: 66 Bilag Copyright Denne rapport og vedlagte materiale må ikke offentliggøres uden forfatter og vejleders skriftlige accept.
5 5 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Indhold Læsevejledning... 6 Geometrisk nivellement... 7 Fejltyper... 9 Beregning af fejlgrænser... 9 Trigonometrisk nivellement Beregning af trigonometrisk nivellement Fejltyper Beregning af fejlgrænser Polygonberegning Lokalt koordinatsystem Detailmåling Fejltyper Beregning af detailpunkter Vurdering af punktspredningen Kontrolpunkter Vurdering af frie opstillinger D model Geometrisk nøjagtighed Tematisk nøjagtighed Fuldstændighed Konklusion... 32
6 6 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Læsevejledning For overskuelighedens skyld er højdefikspunkter, fundet igennem KMS Valdemar, benævnt med de sidste fire cifre i punktkoden. Polygonpunkterne i opgaven er benævnt fra 2 til 8, samt 5009, som også er en del af det overordnede fikspunktsnet (Billede 2). Det benyttede fikspunktsnet er udarbejdet af opgavestilleren og disse punkter er benævnt, 5009, 5006 og Detailmålinger er foretaget ved hjælp af opstilling i kendt punkt, samt frie opstillinger. Disse er nummereret 100, 200, 300 osv.. De enkelte detailpunkter er benævnt 101, 102, 103 osv. afhængigt af hvilken opstilling punkterne knytter sig til. Samtlige dokumentationsfiler vedrørende beregninger, samt udvalgte observationer, er vedlagt som bilag. Bilagsliste: Bilag A: Målebog Bilag B: CD indeholdende: Rådatafiler Observationsfiler Koordinatfiler Dokumentationsfiler Log-filer 3D model Teknisk kort Nivelleringsskitse Bilag C: Observations- og dokumentationsfiler Bilag D: Udtegning af teknisk kort Bilag E: Udtegning af 3D-model
7 7 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Geometrisk nivellement Ved hjælp af eksisterende officielle højdefikspunkter, er der foretaget et geometrisk nivellement til samtlige netpunkter i den polygon, der senere skal ligge til grund for beregning af detailpunkter. Nivellementet er udført som dobbeltnivellement fra tre officielle højdefikspunkter til punkt 2 i polygonen. Herefter er der foretaget dobbeltnivellement rundt i de øvrige syv polygonpunkter, med udgangspunkt i det vægtede gennemsnit af de tre nivellementer til punkt 2. Nivellementet rundt i polygonen var nødvendig at dele op i to selvstændige nivellementer, da punkt 7 og 8 befinder sig i en baggård. Det var ikke en nødvendighed at dele nivellementet op i to dele, men ansås for gavnligt for overskueligheden af data, samt efterfølgende databehandling. Billede 1 Data til samtlige geometriske nivellementer er vedlagt som bilag NivGeom-1-5.dok. Data omkring de fundne højder er overført til en koordinatfil, som igen kan overføres til en koordinatfil med plane koordinater. Derved opnås en fil, der både kan bruges som grundlag for udregning af X, Y og Z koordinater. Højderne til punkt 2 i polygonen bestemt ud fra de tre højdefikspunkter ses i tabellen herunder;
8 8 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Geometrisk nivellement fra pkt. Foreløbig højde pkt. 2 32,800 m 32,798 32,792 Tabel 1 De beregnede højder svinger ikke væsentligt set i forhold til hinanden og alle tre nivellementer benyttes derfor i de videre beregninger af punkt 2, hvor det vægtede gennemsnit af målingerne vil blive benyttet. Det vægtede gennemsnit benyttes, da det antages at et kortere nivellement kan bestemmes mere præcist end et længere. Den reciprokke værdi til længderne af de tre samlede nivellementer bruges derfor til at vægte de enkelte værdier til punkt 2. X 1 P1 1 P i X Pn 1 P i X n 1 * X 1 P * X Pn 1 P 1 *32,800m *32,798 km 0.20km km 0.20km 0.47km i n *32,792 km Koten til punkt 2 i polygonen er dermed bestemt og det efterfølgende geometriske nivellement rundt i de resterende polygonpunkter tager udgangspunkt heri. Koterne til samtlige polygonpunkter, bestemt ved dobbelt geometrisk nivellement, ses i tabellen herunder. Der udover ses i hvilke dokumentationsfiler data omkring de enkelte nivellementer de enkelte punkter er bestemt i.
9 9 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Polygonpunkt Kote DVR90 Dok fil 2 32,798 NivGeom-1.dok, NivGeom- 2.dok, NivGeom-3.dok 3 32,934 NivGeom-4.dok 4 34,186 NivGeom-4.dok 5 33,673 NivGeom-4.dok 6 33,077 NivGeom-4.dok 7 32,923 NivGeom-5.dok 8 33,244 NivGeom-5.dok ,370 NivGeom-4.dok Tabel 2 Fejltyper Samtlige geometriske nivellementer er foretaget som dobbeltnivellementer for at minimere antallet af grove fejl, såsom aflæsningsfejl og skrivefejl. Der er benyttet digital aflæsning, hvilket modvirker aflæsningsfejl. Ved alle nivellementerne er det forsøgt at have lige lange sigter i de enkelte opstillinger, hvilket eliminerer systematiske fejl. Afstandene er blevet skridtet ud, men som det fremgår af målebogen er der ikke blevet noteret længder i de enkelte opstillinger, hvilket skyldes en forglemmelse fra måleholdets side. Disse længder er imidlertid efterfølgende blevet skridtet ud og tilføjet i beregningerne, da disse er essentielle for at der kan foretages en udjævning af resultaterne i TMK. De enkelte delstrækninger har været markeret med kridt og det har derfor været muligt efterfølgende at optage de enkelte dellængder forholdsvist præcist, men dog ikke så præcist som det kunne have været aflæst på selve instrumentet under selve målingen. Beregning af fejlgrænser Ved et dobbeltnivellement må afvigelsen mellem to bestemmelser af samme højde ikke overstige; d 3* k * 2*L max (Jensen 2005, s. 62) d udregnes for hver enkelt højdeforskel i TMK og kan ses på bilag NivGeom-1-5.dok. k sættes i denne opgave til 2,8 mm km Dette resulterer i fem forskellige mål for d max, da der er i denne opgave er lavet fem dobbeltnivellementer med forskellig indbyrdes længde. Geometrisk dobbeltnivellement fra pkt. d max mm d mm Tabel 3 Da nivellementet rundt i polygonen starter og slutter i samme punkt, udregner TMK D. Der kan ligeledes med lille d udregnes en maxværdi for store D. Denne er som følger.
10 10 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden L D max 3* * * 2 k K h (Jensen 2005, s. 62) K h kan sættes til 0, da nivellementet starter og slutter i samme punkt. Dette giver; D max =3 mm Store D er i dette nivellement 1 mm, hvilket ses på bilag på NivGeom-1-5
11 11 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Trigonometrisk nivellement På trods af at der er udført geometrisk nivellement rundt i alle polygonpunkterne er der ligeledes udarbejdet et trigonometrisk nivellement. Dette har ikke været nødvendigt for opgavens løsning, men er medtaget for øvelsens skyld. Det vægtede middeltal beregnet via det geometriske nivellement til Punkt 2 i polygonen er valgt som udgangspunkt. Det trigonometriske nivellement bruges i denne opgave til at beregne højder i de resterende polygonpunkter. Beregning af trigonometrisk nivellement En højdeforskel ved trigonometrisk måling beregnes ved hjælp af følgende formel; H S d * cosv i h s h (Jensen 2005, s. 64) Hvor; S d er den skrå afstand V er den målte zenitdistance i h er instrumenthøjden s h er sigteskivehøjden (Jensen 2005, s.64) Ovenstående formel tager ikke højde for jordkrumning og refraktion og kan derfor ikke bruges ved sigter på mere end 100 meter. På afstande under 100 meter bliver målinger også påvirket af jordkrumning og refraktion, men fejlbidraget herfra vurderes til at være så lille at der kan ses bort fra dette. I denne opgave er der målt sigter over 100 meter. Derfor benyttes følgende formel: H S d 1 k *cosv 2R ref S 2 d 2 *sin V ih s h (Jensen 2005, s. 64) Hvor; S d er den skrå afstand V er den målte zenitdistance k ref er refraktionskonstanten R er jordens radius i h er instrumenthøjden s h er sigteskivehøjden (Jensen 2005, s. 64) I denne opgave udføres beregningerne i to trin. Første trin tager udgangspunkt i punkt 2 og slutter i punkt to. Dette nivellement beregnes som lukket trigonometrisk nivellement. Andet trin tager udgangspunkt i punkt 6 og slutter i punkt 8 og beregnes dermed som åbent trigonometrisk
12 12 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden nivellement. Skemaet herunder viser de to trin og i hvilken dokumentationsfil nivellementet kan ses. Trin Polygon Strækning Dokumentationsfil 1 Lukket NivTrig-4.dok 2 Åben NivTrig-5.dok Tabel 4 Fejltyper For at modvirke totalstationens vertikale indeksfejl og kreds excentricitet er der under målingerne lavet gennemslag. Instrumenthøjden er målt ved hjælp af tommestok og er målt fra punktet skråt op til 0-punktet for den vertikale kreds på siden af instrumentet. Denne teknik indeholder en systematisk fejl i kraft af at der måles skråt fra punktet op til instrumentet. Denne fejl er dog minimal og der skal ikke korrigeres for denne. En anden fejltype ved denne teknik er at tommestokken kan bøje på forskellig vis alt efter, hvordan den holdes når der aflæses. Prismestokken er sat med spidsen ned i alle polygonpunkterne, hvor enkelte punkter er markeret med et jernrør. I disse punkter synker prismestokken 6 mm ned i hullet, hvilket der er taget højde fra ved at lægge 6 mm til prismehøjden. Beregning af fejlgrænser Koterne til de beregnede punkter ses i tabellen herunder. For sammenligningens skyld er de beregnede koter til de samme punkter fra det geometriske nivellement indsat. Polygonpunkt Kote i DVR90 Trigonometrisk Polygonpunkt Kote i DVR90 Geometrisk 2 32, , , , , , , , , , , , , , , ,370 Tabel 5
13 13 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Herunder ses forskellene mellem de to nivellementer; Polygonpunkt Forskel mellem geometrisk og trigonometrisk nivellement i mm Tabel 6 Som det fremgår af ovenstående tabel er der voldsomme afvigelser mellem det trigonometriske og det geometriske nivellement. Når dokumentationsfilen NivTrig-5.dok undersøges tyder det på at nivellementet indeholder en grov fejl ved måling til punkt 8. Det er forsøgt undersøgt, hvor fejlen i målingerne ligger. Blandt andet er det undersøgt om der er sket en fejlagtig notering af prismehøjde eller instrumenthøjde. Fejlen lader sig imidlertid ikke afdække og koten i punkt 8 er derfor ikke troværdig. I det følgende beregnes de tilladte maksimale mål for afvigelserne i nivellementet på baggrund af det indsamlede data. Da sigtelængderne varierer bruges følgende formel til at beregne hvor meget summen af afvigelserne bør variere; n i1 di MAX 2 2 3* 2 * H... 1 H n (Jensen 2005, s. 64) 2 H bestemmes via formlen; Hvor; 2 H S 2 2 d * 2 nv 2R kref ih sh 2 v d S sinv * * S Den målte skrå afstand. d ih V k nv Spredningen på den målte instrumenthøjde. Spredningen på zenitdistancen. Spredningen på rekraftionskoefficienten. Antal satser. (Jensen 2005, s. 28) Spredningen på den målte sigteskivehøjde. (Jensen 2005, s. 28) sh Beregningen af de enkelte værdier er beregnet i TMK i scriptet Kat_obs2.m, som automatisk kan beregne store mængder data.
14 14 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Der udover kan D max beregnes, hvilket er et mål for hvor stort det maksimale gab mellem to målte punkter må være; H Dmax 3* n KH 2 (Jensen 2005, s. 64) n er i denne formel antallet af nivellerede strækninger og K H kan sættes til 0, da nivellementet starter og slutter i samme punkt. Den formel kan bruges, da det ses i beregningerne af de enkelte spredninger ikke afviger fra 7 mm på nær i ét punkt hvor den er 8 mm. Det konkluderes derfor at de enkelte sigtelinjer ikke afviger nok fra hinanden til at der er forskel i spredningen. I skemaet herunder er de maksimale afvigelser for lille d og store D anført, samt de beregnede maksimale fejlgrænser. Store D for trin 2 kan imidlertid ikke beregnes, da dette trin er beregnet som blindt nivellement. Trin D d max n D D max **** Tabel 7 Begge trin i det trigonometriske nivellement ligger under de beregnede værdier for de maksimale afvigelser. Ved sammenligningen med det geometriske nivellement fremgår det dog at der et sted i det trigonometriske nivellement befinder sig en grov fejl, som har indflydelse på koten i punkt 8. Det er ikke klargjort hvori denne fejl består, men i kraft af at det geometriske nivellement dækker hele polygonnettet besluttes det, at disse koter benyttes i det videre forløb med beregning af detailpunkter. Ingen af de beregnede punkter fra det trigonometriske nivellement videreføres i beregningerne. Polygonberegning I dette afsnit vil de fejlgrænser som måtte være opstået i forbindelse med opmålingen i marken, herunder vinkelsumsfejl og gab (afstandsfejl), blive beregnet for den konstruerede polygon. For at muliggøre beregningerne skal de målte punkter i polygonen være tilknyttet et koordinatsystem. I første omgang indføres punkterne i et lokalt koordinatsystem for at beskrive punkternes indbyrdes forhold. Herved vil eventuelle grove fejl blive afsløret og man vil have mulighed for at lave en ny måling på den eller de strækninger hvor fejlen forelægger. Herefter overføres punkterne til et landsdækkende koordinatsystem DKTM3. Metoden som benyttes i dette afsnit er trinvis polygonberegning som er en effektiv metode til at bestemme vinkelsumsfejl og gab. De maksimale maksimale, samt faktiske fejlgrænser for hvert
15 15 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden enkelt trin i henholdsvis det lokale- og landsdækkende koordinatsystem vil blive beregnet nedenfor og løbende blive sammenlignet. Billede 2 Lokalt koordinatsystem Beregningerne for det lokale koordinatsystem er delt op i 2 trin. Trin nr. Punktrækkefølge Type Trin Lukket Trin Almindelig Tabel 8 Der vil nu blive lavet en beregning for den maksimale vinkelsumsfejl for trin 1 med 2 satser. Nedenstående tabel er blevet til vha. trinvis polygonberegning i TMK og viser vinkelsumsfejlen for de to trin i polygonen. Efter beregningerne vil det blive vurderes om vinkelsumsfejlen for de enkelte trin er acceptable i forhold til den maksimale vinkelsumsfejl.
16 16 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Trin nr. Punktrækkefølge Type Vinkler Sider Sg (m) VSF (gon) Trin Lukket Trin Almindelig Tabel 9 Formlen for bestemmelse af den maksimalt tilladte vinkelsumsfejl lyder: Hvor: er antallet af vinkler på den enkelte strækning er et udtryk for variansen på vinkelsummen er et udtryk for punkternes nøjagtighed, hvilket ikke har indflydelse på vinkelsummen ved almindelige og lukkede polygoner, og sættes derfor til 0 (Jensen 2005, s. 54) For at bestemme variansen benyttes formlen: Hvor: er spredningen på en horisontalretning målt med én sats i gon er antallet af satser er centreringsspredningen i meter er den gennemsnitlige længde af de sigter i meter (Jensen 2005, s. 52) Ved at indsætte værdierne i formlen for variansen får vi:
17 17 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Denne værdi indsættes nu i formlen for den maksimale vinkelsumsfejl og vi får: På tilsvarende måde bestemmes det maksimale GAB for trin 1. Denne værdi vil ligesom den maksimale vinkelsumsfejl, blive vurderet i forhold til det, af TMK, beregnede GAB. Gabet for henholdsvis trin 1 og 2 kan ses i nedenstående tabel. Trin nr. Punktrækkefølge Type S (m) GAB(m) Trin Lukket Trin Almindelig Tabel 10 Formlen for det maksimale GAB lyder: Hvor: er antallet af sider i den pågældende polygon er et udtryk for fejlbidragende vedr. de målte sider, også kaldet variansen er et udtryk for punkternes nøjagtighed men da denne beregning foregår i et lokalt koordinatsystem hvor punkternes nøjagtighed ikke kendes sættes denne lig 0 For at kunne bestemme det maksimale GAB er det nødvendigt at kende variansen. Denne bestemmes ud fra formlen: Hvor: er grundfejlen i meter er den afstandsafhængige fejl i meter pr. kilometer er centreringsspredningen i meter S er sidelængden i meter (Jensen 2005, s. 54) Ligesom med vinkelsumsfejlen vil der nu komme et regneeksempel på det maksimale GAB for trin 1.
18 18 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Vi har nu fastsat alle de nødvendige værdier for at bestemme det maksimale GAB. På tilsvarende måde er det maksimale GAB og vinkelsumsfejl for trin 2 beregnet. Resultaterne kan aflæses i nedenstående tabel hvor gabet og vinkelsumsfejlen for de 2 trin, bestemt vha. TMK, også er indskrevet. Trin nr. Type VSF max (gon) VSF (gon) GAB max (m) GAB (m) Trin 1 Lukket Trin 2 Almindelig Tabel 11 Som det fremgår af tabellen, ligger begge værdier for de 2 trin indenfor de maksimalt tilladte fejlgrænser. Ud fra den betragtning må det vurderes at punkternes indbyrdes forhold er gode og at der ikke forekommer grove fejl forbundet med opmålingsarbejdet i marken. Derfor kan vi fortsætte med beregningerne i det landsdækkende koordinatsystem DKTM 3. Landsdækkende koordinatsystem - DKTM3 Efter at have foretaget beregninger af fejlgrænserne og konstateret at punkternes indbyrdes forhold er i orden er vi nu klar til at bestemme koordinaterne til polygonpunkterne i det landsdækkende koordinatsystem DKTM 3. Beregningerne er i dette tilfælde opdelt i 3 trin, henholdsvis trin 3, 4 og 5 og vi vil ligesom ved de foregående beregninger, bestemme en værdi for og, som til sidst sammenlignes med de faktiske afvigelser, beregnet i TMK. Trin nr. Punktrækkefølge Type Trin Alm. Uden vinkelsum Trin Almindelig Trin Almindelig Tabel 12
19 19 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Den største forskel på beregningerne i de to forskellige koordinatsystemer er at vi i det landsdækkende koordinatsystem har tre kendte plane fikspunkter, 5006, 5007 og 5009, at gå ud fra. Ud fra disse kan koordinaterne til de syv polygonpunkter bestemmes. Trin 3 er en såkaldt almindelig polygon uden vinkelsum. Dette skyldes at polygonen bindes op på ét punkt i den ene ende, der er derfor ikke noget mål for den samlede vinkelsums sande værdi. I nedenstående tabel kan antallet af vinkler, sider samt den gennemsnitlige sigtelængde og vinkelsumsspredningen aflæses. Tallene er fremkommet ved beregning i TMK. Trin nr. Punktrækkefølge Type Vinkle r Side r Sg(m) VSF (gon) Trin Alm. Uden N/A vinkelsum Trin Almindelig Trin almindelig Tabel 13 Da beregningsmetoden er den samme som ved det lokale koordinatsystem vil der ikke fremkomme regneeksempler i dette tilfælde. I tabellen nedenfor ses det beregnede GAB fra TMK. Trin nr. Punktrækkefølge Type S (m) GAB(m) Trin Alm. Uden Trin vinkelsum Almindelig Trin Almindelig Tabel 14 Trin nr. Type VSF max (gon) VSF (gon) GAB max (m) GAB (m) Trin 3 Alm. Uden vinkelsum N/A Trin 4 Almindelig Trin 5 Almindelig Tabel 15
20 20 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Som det ses på Tabel 15 ligger de beregnede fejlgrænserne for henholdsvis vinkelsumsfejl og GAB indenfor de maksimalt tilladte fejlgrænser. Herved kan det konkluderes at der ikke har været grove fejl impliceret i målingerne og vi kan derfor arbejde videre med de koordinater, vores polygonpunkter er blevet tildelt. Koordinaterne vil sammen med koterne bestemt ved geometrisk nivellement, ligge til grund for detailmålingen som bliver næste fase i projektet. Nedenfor ses en tabel over koordinater og koter for punkterne i polygonen. Punkt E N Kote nr Tabel 16
21 21 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Detailmåling For at producere det tekniske kort over området er der foretaget en polær detailopmåling. I denne opmåling er samtlige faste genstande i terrænet indmålt, på baggrund af enten en fri opstilling med sigte til minimum to kendte punkter fra polygonmålingen, eller med opstilling i et kendt punkt, med sigte til et andet kendt punkt fra polygonmålingen. Registreringen i punkterne er gjort delvist ved lagring på datakort i totalstationen, hvor information bl.a. vedrørende længde, retning og kode er gemt og ved målebogsføring, hvor information omkring punkterne indbyrdes beliggenhed er gemt. Disse informationer ligger til grund for konstruktion af det endelige tekniske kort, udarbejdet i AutoCAD. Fejltyper Denne polære detailmåling er målt med en halv sats, hvilket gør at grove fejl, som f.eks. forkert prismekonstant eller sigteskivehøjde ikke vil blive opdaget. Disse fejl kan i nogle tilfælde opdages ved redigering, men ikke i alle. Andre fejl kan efterfølgende afdækkes igennem kontrol af udvalgte dimensioner i kortet. Beregning af detailpunkter Beregningen af detailpunkterne foretages i TMK, hvor koordinatfilen fra polygonmålingen med koter til hvert polygonpunkt, benyttes. Når detailpunkterne beregnes får de også beregnet en kote. Beregningen foretages direkte i DKTM systemet og med DVR90 som højdesystem. Hvert detailpunkt beregnes med de to følgende formler for E og N koordinaten, i det tilfælde, hvor instrumentet har været stillet op i et kendt punkt med et udgangssigte til et andet kendt punkt; For højderne. N E P P E N A A k k 1 ppm10 S dp sinvp sin AB HzP HzB 1 ppm10 S sinv cos Hz Hz 6 og 6 samt dp P AB P B H P H A 1 k 6 ref ppm a10 SdP cosvp 1 ppma10 SdB sin VB iha shb 2R (Jensen 2005, s. 93) Hvor; S dp = Skrå afstand V P = Zenitdistancen k ref = Refraktionskoefficienten R=jordens radius i h =Instrumenthøjden s h =Sigteskivehøjden
22 22 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Hz=Horizontalretningen =Retningsvinklen (Jensen 2005, s. 93) For de fleste opstillinger er der tale om frie opstillinger hvor formlerne til beregning er lidt anderledes; For højderne. e n 6 1 ppm10 S d sinv sinhz HzB ppm10 S sinv coshz Hz z S d d 1 k cos V 2R ref B1 S 2 d sin 2 V s (Jensen 2005, s ) samt h Beregningerne er foretaget i TMK og ses på bilag dok og dok. Vurdering af punktspredningen Spredningen på detailpunkterne er beregnet ved hjælp at MatLab, hvor et script automatiserer beregningerne. I de frie opstillinger vurderes punktspredningen ud fra sigtelængden til de faste punkter samt den korteste og længste afstand til de enkelte detailpunkter. Følgende formel er indbygget i scriptet; P S S 2 2 (Jensen 2005, s. 67) Hvor; S Spredningen på en reduceret afstand. Spredningen på en målt vinkel. 200/ (Jensen 2005, s. 67) På samme vis kan der udregnes et skøn for spredningen på højden; H 2 H n B 2 H P (Jensen 2005, s. 74)
23 23 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Hvor; H B Spredningen på højdeforskellen beregnet ud fra den gennemsnitlige sigtelængde til de kendte punkter. Spredningen på højdeforskellen fra A til P. H P n= Antallet af kendte satser. (Jensen 2005, s. 74) Resultatet ses på bilag spred_pol.txt, hvor det fremgår at spredningen på punkterne i planen ligger mellem 5 og 8 mm, mens spredningen på koten er 7 mm.
24 24 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Kontrolpunkter Under detailmålingen er der foretaget dobbeltregistrering af udvalgte punkter, som har været tilgængelige fra mere end én opstilling. Som kontrolpunkter er der brugt brønddæksler, der betragtes som veldefinerede punkter. Disse målinger gør det muligt at vurdere, hvor præcist kortet reelt er. Disse målinger er delt ind i tre tabeller, hvor der er udregnet residualer for easting, northing og koten. Dette kan sammenlignes med den sidste kolonne, hvor max værdien er udregnet efter formlen; ve i MAX 3* p (Jensen 2005, s. 97) Hvor målet for spredningen er udregnet tidligere. Pkt Opstilling E P v E v i E i MAX ,952-0,002 0, , ,730-0, , ,539 0, , ,173-0, , ,331-0, , ,865-0, ,007 Tabel 17 Pkt Opstilling N v P N v i N i MAX ,723-0,005 0, , ,833-0, , ,322-0, , ,946-0, , ,853-0, , ,604-0, ,001 Tabel 18
25 25 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Pkt Opstilling Z v P Z v i Z i MAX ,742-0,004 0, , ,829-0, , ,031-0, , ,980-0, , ,967-0, , ,105-0, ,003 Tabel 19 Som det ses i skemaerne ligger målingerne generelt langt under den beregnede maksimale spredning. Dog er der i et enkelt kontrolpunkt målt 25 mm skævt, hvor max-værdien er på 15 mm. Dette kan muligvis skyldes et dæksel, hvor midten ikke har været skarpt defineret, hvorfor den store afvigelse fremkommer. Vurdering af frie opstillinger I dokumentationsfilerne doc og doc skal residualerne på de frie opstillinger vurderes for at sikre kvaliteten af de beregnede detailpunkter. Disse restfejl må ikke overstige; rzimax reimax 3 P og rnimax 3 P Hi Samt 3 for højderne (Jensen 2005, s. 97)
26 26 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden I tabellen herunder ses residualerne for de enkelte opstillinger, som sammenlignes med max værdierne. Opstilling Sigte til r Ei r EiMAX r Ni r NiMAX r Zi r ZiMAX ,003 0,015 0,003 0,015 0,008 0, ,002 0,003 0, ,009 0,006 0, ,007 0,000 0, ,002 0,000 0, ,003 0,000 0, ,001 0,000-0, ,001 0,000 0, ,002 0,003-0, ,001-0,003 0, ,000 0,001 0, ,002 0,002-0, ,002-0,002 0, * * -0,002 6 * * 0, * * 0, * * 0,000 Tabel 20 Som det fremgår af Tabel 20, ligger ingen af restfejlene over den tilladte max værdi. Dog skal det bemærkes at der ikke er nogen kontrol for dette i opstilling over punkt 600 og 800, da der i disse to stationer kun er sigtet til to kendte polygonpunkter. Dette bevirker at opstillingen netop kun kan beregnes, uden overbestemmelser på de plane koordinater. Der fremkommer dermed ikke restfejl som kan vurderes. 3D model Foruden detailopmålingen af hele området er der ligeledes foretaget en 3D-opmåling af bygning på Linde Allé 3. Denne bygning er indmålt prismeløst, hvor alle bygningshjørner er medtaget i opmålingen. Punkterne er forbundet med streger i AutoCAD og er derefter eksporteret til Google Earth. Denne ses i bilag.
27 27 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Geometrisk nøjagtighed Kortets dimensioner: For at kontrollere den geometriske nøjagtighed er der i kortet optaget 20 forskellige mål mellem veldefinerede punkter, som efterfølgende er opmålt i marken med stålbånd. Her er der i høj grad tale om tværgående mål og diagonaler mellem brønddæksler. Hvis der optages koordinater kan følgende formel bruges for at udregne lille d; Denne må ikke overstige; m 2 E E N N 2 d D (Jensen 2005, s.98) P1 P2 P1 P2 dmax 3* 2 (Jensen 2005, s. 98) p Hvilket svarer til 21 mm i denne opgave. 19 ud af 20 kontrolmålinger kunne optages i marken, og resultaterne ses i skemaet herunder; Afstandsnummer Længde stålbånd Længde D AutoCAD 1 12, , , ,008 3 **** **** 4 7, , , , , ,029
28 28 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden 7 5, , , , , , , , , , , , , , ,718 5,708 0, , , , , , , , , , , , ,030 Tabel 21 Som det fremgår af kolonnen d i tabellen er enkelte kontrolmålinger over den tilladte værdi for d max. Da der er optaget kontrolmål for et større antal dimensioner bruges følgende formel til at udregne spredningen på kortets nøjagtighed; n Dette giver i dette korts tilfælde en spredning på: På veldefinerede terrængenstande. 2 di i1 n (Jensen 2005, s. 98) 18 mm En mulig grund til at enkelte punkter overskrider den tilladte d max kan være at der er foretaget kontrolmålinger blandt andet ved hjælp af firkantede riste og el-skabe. Problemet med disse er midten ikke er helt skarpt defineret. Der kan derfor være forskel i, hvor prismet bliver placeret ved indmåling og hvor stålbåndet bliver aflæst. Bygningernes dimensioner: Der er ligeledes til vurdering af den geometriske nøjagtighed foretaget kontrol af bygningernes dimensioner med stålmålebånd. Dette er nødvendigt, da bygningens dimensioner er vigtige for løsning af den opgave det tekniske kort indgår i. Afstandsnummer Længde stålbånd Længde AutoCAD d 2 13,700 13,687-0, ,920 4,925 0, ,270 8,287 0,017
29 29 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden 6 9,965 9,963-0, ,510 6,511-0, ,466 5,456-0, ,354 8,364 0, ,045 12,057 0, ,667 8,651 0, ,507 5,502-0, ,486 8,487 0, ,298 4,288 0, ,070 3,071-0, ,540 11,535 0, ,946 9,938 0, ,534 3,521 0,013 Tabel 22
30 30 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Spredningen på afvigelserne kan udledes på samme måde som spredningen for afvigelserne på de veldefinerede terrængenstande; Hvilket giver en spredning på; n i1 n d 2 i 9 mm Bygningerne synes dermed at være målt mere præcist end resten af kortet. En forklaring herfor kan bunde i at der i kontrollen af de andre dele af kortet indgår el-skabe o. lign., hvilket kan være svært at definere. Et bygningshjørne er nemmere at definere, selvom et hjørne på et murstenshus også kan have en vis runding, som kan have indflydelse på nøjagtigheden af kontrolmålingen. Vurdering af målestoksfaktor: Beregningerne i TMK er foretaget med korrektion af målestoksfaktor. Et mål for denne er angivet i dokumentationsfilen for detailopmålingen og bør ligge tæt på 1, set i lyset af de målte afstande i opstillingen. Målestoksfaktoren vurderes ud fra følgende formel; Hvor; d S kmax 3 (Jensen 2005, s. 93) SB S er spredningen på den målte afstand i meter. S B er afstanden mellem A og B i meter. (Jensen 2005, s.93) Disse værdier ses i nedenstående skema; Opstilling D k D kmax Tabel 23 Som det fremgår af skemaet ligger målestoksfaktoren inden for den tilladte værdi for den maksimale målestoksfaktor.
31 31 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Tematisk nøjagtighed Ved tematisk nøjagtighed forstås med hvilken nøjagtighed virkeligheden er gengivet i kortet, med hensyn til temaerne i kortet. Metoden til kontrollen er at medbringe kortet i marken og kontrollere om temaerne på enkelte detailpunkter er korrekte. Der er i denne opgave blevet kontrolleret 100 punkter hvoraf der blevet fundet tre fejl. Det drejer sig om to dæksler hvor dimensionerne er gengivet forkert, samt en stophane gengivet som flagstangshul. Disse fejl er blevet rettet i kortet og den tematiske nøjagtighed vurderes til cirka 97 %. Fuldstændighed Med samme fremgangsmetode som ved kontrol af den tematiske nøjagtighed er fuldstændigheden af kortet kontrolleret. Her er det kontrolleret om alle de ønskede detailpunkter også er medtaget i kortet. Her er de samme 100 punkter kontrolleret og det viste sig at to detailpunkter, som skulle have været medtaget i kortet ikke var blevet opmålt. Det drejer sig om et nedløbsrør og en lygtepæl. Fuldstændigheden af kortet vurderes hermed til 98 %.
32 32 Detaljeret opmåling Ballerup Centrum, Linde Allé og Centrumgaden Konklusion I den indledende del af projektet viste det geometriske nivellement sig at være en del mere nøjagtigt end det trigonometriske nivellement. Selv efter at et par opmålingsfejl i det trigonometriske nivellement var blevet udbedret med genopmåling af to enkelte stationer. Den resterende usikkerhed kan skyldes at et blindt polygontræk er forsøgt undgået ved at skyde ind over et stakit, som bevirkede høje opstillinger og sigteskivehøjder. Selv med disse parametre taget i betragtning burde det trigonometriske nivellement kunne udføres med større præcision end det opnåede. Der blev dog også gennemført geometrisk nivellement i de enkelte polygonpunkter, og det trigonometriske nivellement har vi derfor udeladt fra de videre beregninger. Polygonberegningen har vist en tilfredsstillende nøjagtighed, på trods af at der også her er skudt ind over stakit for at undgå et blindt polygontræk. Beregningerne af polygonpunkterne, samt resultatet fra det geometriske nivellement, lægger derfor til grund for de videre beregninger af detailpunkterne. Detailpunktsopmålingen er i ét tilfælde foretaget med opstilling i kendt punkt, og i de resterende med frie opstillinger. De frie opstillinger er blevet lavet de steder, hvor der har været sigte til to og gerne flere polygonpunkter, da dette giver frihed til at placere instrumentet fordelagtigt samtid med god nøjagtighed af opstillingen. Opstilling i fast punkt med sigte til et andet kendt punkt er foretaget i baggården fra punkt 8 med sigte til punkt 7. Dette blev gjort da sigte til flere polygonpunkter ikke var muligt. Kortets nøjagtighed er vurderet igennem opmåling med dobbeltmålte punkter, samt stålbånd. Kortets generelle nøjagtighed vurderes igennem beregningerne til at være omkring 2-3 cm. Dette vurderes at være tilfredsstillinde for et teknisk kort af denne art.
33 NivGeom-1.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :46: 2 GEOMETRISK NIVELLEMENT A-... (blindt) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Geo.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (1): C:\Ballerup\Nivellement\Geo.obs Observationer vedr. højdeforskelle (dh): Linie Fra Til dh Længde m km Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m
34 NivGeom-1.dok Sum Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Geometrisk A-... dobbelt *******
35 NivGeom-2.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :59:13 GEOMETRISK NIVELLEMENT A-... (blindt) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Geo.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (1): C:\Ballerup\Nivellement\Geo.obs Observationer vedr. højdeforskelle (dh): Linie Fra Til dh Længde m km Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m ******** ******** ******** ********
36 NivGeom-2.dok Sum BEMÆRK: Højdeforskel mærket ******** indgår ikke) Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Geometrisk A-... enkelt ******* *******
37 NivGeom-3.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning : 4: 3 GEOMETRISK NIVELLEMENT A-... (blindt) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Geo.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (1): C:\Ballerup\Nivellement\Geo.obs Observationer vedr. højdeforskelle (dh): Linie Fra Til dh Længde m km Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m
38 NivGeom-3.dok Sum Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Geometrisk A-... dobbelt *******
39 NivGeom-4.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :23:47 GEOMETRISK NIVELLEMENT A-...-B (lukket) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Geo.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (1): C:\Ballerup\Nivellement\Geo.obs Observationer vedr. højdeforskelle (dh): Linie Fra Til dh Længde m km Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m
40 NivGeom-4.dok Sum Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Geometrisk A-...-B dobbelt
41 NivGeom-5.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :39: 7 GEOMETRISK NIVELLEMENT A-... (blindt) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Geo.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (1): C:\Ballerup\Nivellement\Geo.obs Observationer vedr. højdeforskelle (dh): Linie Fra Til dh Længde m km Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m Sum
42 NivGeom-5.dok Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Geometrisk A-... dobbelt *******
43 NivTrig-4.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :14:42 TRIGONOMETRISK NIVELLEMENT A-...-B (lukket) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Niv1.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (3): C:\Ballerup\Nivellement\Kat1.obs Observationer og korrektioner vedr. højdeforskelle (dh): - Korrektion for jordkrumning og refraktion (k_j&r_dh) er beregnet jf. R = m, kref = 0.13 Linie Fra Til V Sd ih sh k_j&r_dh dh gon m m m m m Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m
44 NivTrig-4.dok Sum Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Trigonometrisk A-...-B dobbelt
45 NivTrig-5.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :16:49 TRIGONOMETRISK NIVELLEMENT A-... (blindt) Trin: Koordinatfil med højder til referencepunkter: C:\Ballerup\Nivellement\Niv1.koo Højdesystem: DVR 90 Observationsfil (3): C:\Ballerup\Nivellement\Kat1.obs Observationer og korrektioner vedr. højdeforskelle (dh): - Korrektion for jordkrumning og refraktion (k_j&r_dh) er beregnet jf. R = m, kref = 0.13 Linie Fra Til V Sd ih sh k_j&r_dh dh gon m m m m m Endelige højder: Hvis en strækning er nivelleret flere gange i samme retning gennemføres beregningerne jf. sidste observationssæt vedr. strækningen Punkt dh dh d dh Længde Foreløbig Ret- Endelig nr middel højde telse højde m m m m km m m m
46 NivTrig-5.dok Sum Resultat: Trin Nivellement Antal Længde d D stræk- sum sum ninger km m m Trigonometrisk A-... dobbelt *******
47 Polygon-1.dok Dokumentationsfil TMK Netberegning :33:34 POLYGON A-...-A (lukket) Trin: Koordinatfil: C:\Ballerup\Netmaaling\Hz_lokal.koo Afbildning: Lokal 1. og 2. akse: E og N Informationer vedr. orientering: Retningsvinkel fra punkt 5009 til punkt 2: gon Observationsfil (2): C:\Ballerup\Netmaaling\Hz.obs Observationer vedr. horisontalvinkler (beta): Linie Fra Til Hz beta gon gon Observationsfil (3): C:\Ballerup\Nivellement\Kat.obs 1
48 Polygon-1.dok Observationer og korrektioner vedr. afstande (S): - Korrektion for atmosfæriske forhold (ppm_a) er foretaget i marken! - Korrektion for jordkrumning og refraktion (k_j&r_s) er beregnet jf. R = m, kref = 0.13 Linie Fra Til V Sd k_j&r_s S gon m m m Endelige koordinater: Punkt Horisontal- Middel Endelige koordinater vinkel afstand antal målinger E N gon m --> <-- m m
Titel: Detaljeret opmåling. Tema: Detaljeret opmåling. Projektperiode: 4. semester, 2. del. Projektgruppe: L4-12. Synopsis
Detaljeret opmåling Aalborg Universitet Institut for Samfundsudvikling og Planlægning Landinspektøruddannelsens 4. semester, 2. del Gruppe L4-12 2009 Foråret 2009 2 Titel: Detaljeret opmåling Tema: Detaljeret
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester, 2012
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og yggeri og Anlæg, 1. semester, 2012 LCG-1. Introduktion til landmåling 1. Danmarks fikspunktsregister (I) 2. Horisontalretningsmåling
Læs mereGruppe L4-AAL04. Detaljeret opmåling af område 5. Gruppe 4: Peter Bisgaard Jensen og Esben Dalsgaard Johansen
Gruppe L4-AAL04 Detaljeret opmåling af område 5 Gruppe 4: Peter Bisgaard Jensen og Esben Dalsgaard Johansen 27. maj til 22. juni 2011 0 Gruppe L4-AAL04 1 Detaljeret opmåling, Himmerlandsgade og Sjællandsgade
Læs mereLandinspektøruddannelsen ved Aalborg Universitet
Forside 1 Landinspektøruddannelsen ved Aalborg Universitet Institut 0, Institut for Samfundsudvikling og Planlægning Titel: Detaljeret opmåling i Dannebrogsgade/Istedgade Tema: Detaljeret opmåling Projektperiode:
Læs mereUdarbejdet af: L4-KBH01. Andreas K. Jensen Lars F. Jakobsen Johan V. Eckhoff
Udarbejdet af: L4-KBH01 Andreas K. Jensen Lars F. Jakobsen Johan V. Eckhoff TITELBLAD Titel: Detaljeret opmåling Tema: Detailopmåling Projektperiode: 27.05.2011 til 22.06.2011 Projektgruppe: L4-KBH01
Læs mereKursus i Landmåling, CAD og GIS 9/9-2010
1. Introduktion til landmåling Kursus i Landmåling, CAD og GIS 9/9-2010 1. Danmarks fikspunktsregister (I) 2. Horisontalretningsmåling og afstandsmåling 3. Detailmåling med totalstation, opstilling i kendt
Læs mereTitel: Detaljeret opmåling i område 9. Tema: Detaljeret Opmåling Projektperiode: 4. semester. Deltagere: Uffe Møller Holm. Simon Skovly Kristensen
2 Detaljeret opmåling i område 9 Aalborg Universitet, Landinspektøruddannelsen 4 semester 3 Titel: Detaljeret opmåling i område 9 Tema: Detaljeret Opmåling Projektperiode: 4. semester Projektgruppe: L4-08
Læs mere[DETALJERET OPMÅLING] PROKEKTOMRÅDE A2-2013
2013 Aalborg Universitet Landinspektørstudiet 4. Semester, 2. Del Af gruppe A3-2013: Michael H. Vittrup & Nicolaj H. Sørensen 21. juni 2013 [DETALJERET OPMÅLING] PROKEKTOMRÅDE A2-2013 P4.2 Detaljeret opmåling
Læs mereDet tekniske kort samt 3D-model udarbejdes i referencesystemerne KP2000s og DVR90.
Detaljeret opmåling Ballerup Centrum Gruppe 5 Jesper Nielsen & Birgitte R. Nissen Landinspektøruddannelsen 4. semester, 2. del Aalborg Universitet København, juni 2009 Forord Dette projekt er udarbejdet
Læs mereNotat. DTU CAS DTU FIKSPUNKTER Beskrivelse af fikspunkter INDHOLD. 1 Baggrund Etablering af de fysiske fikspunkter... 4
Notat DTU CAS DTU FIKSPUNKTER Beskrivelse af fikspunkter April 2017 Udarbejdet af MMKS Kontrolleret af MHFR og LRLA Godkendt af MMKS INDHOLD 1 Baggrund... 2 1.1 Resultater... 3 2 Etablering af de fysiske
Læs mereEvaluering af Soltimer
DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereNyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS
Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner
Læs mereTest af et satellitbaseret kørselsafgiftssystem
Test af et satellitbaseret kørselsafgiftssystem Simon Bojer Sørensen, civilingeniørstuderende Aalborg Universitet - Vej & Trafik sbso04@plan.aau.dk Harry Lahrmann, sektionsleder, lektor Aalborg Universitet
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereT A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C
T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et
Læs mereVelkommen til ABC Analyzer! Grundkursusmanual 2 vil introducere dig til ABC Analyzers mere avancerede funktioner, bl.a.:
Velkommen til ABC Analyzer! Grundkursusmanual 2 vil introducere dig til ABC Analyzers mere avancerede funktioner, bl.a.: Kategoriseringer uden ABC-kategorier Krydstabel (trebenede) Beregnede og avancerede
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereScanOBS nyhedsbrev. Dato: 4. maj 2018
NYHEDSBREV 1-2018 www..dk ScanOBS nyhedsbrev Dato: 4. maj 2018 Jeg fremsender hermed nyhedsbrev for ScanOBS, der omhandler de seneste ændringer i ScanOBSprogrammerne, og jeg vil samtidigt benytte lejligheden
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereLodret belastet muret væg efter EC6
Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereLærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):
Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mere5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)
5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereTECHNICAL REPORT NO. 08. Metode til at følge vandstandsstigningstakten. Per Knudsen, Karsten Vognsen
TECHNICAL REPORT NO. 08 Metode til at følge vandstandsstigningstakten i de danske farvande Per Knudsen, Karsten Vognsen KMS Technical report number 08: Metode til at følge vandstandsstigningstakten i de
Læs mereBjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365
Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: 005.0.0 Version: Revideret: 005..07 DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen,
Læs mereDesignguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation
Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Rapport udarbejdet af Lars S. Søndergaard Henrik S. Olesen DELTA DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72 19 40 00 Fax +45 72 19
Læs merefs10 1 Rejsen til New York 2 Fra fahrenheit til celsius 3 Højde og vægt 4 Sukkerroer 5 Afstand til en båd 6 Regulær ottekant Matematik
fs10 10.-klasseprøven Matematik December 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Rejsen til New York 2 Fra fahrenheit til celsius 3 Højde og vægt 4 Sukkerroer 5 Afstand til en båd 6
Læs mereC Model til konsekvensberegninger
C Model til konsekvensberegninger C MODEL TIL KONSEKVENSBEREGNINGER FORMÅL C. INPUT C.. Væskeudslip 2 C..2 Gasudslip 3 C..3 Vurdering af omgivelsen 4 C.2 BEREGNINGSMETODEN 6 C.3 VÆSKEUDSLIP 6 C.3. Effektiv
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereFORSLAG TIL ANALYSEKVALITETSKRAV EFTER NY MODEL FOR
Notat 10.6 dato den 1/7-011 FORSLAG TIL ANALYSEKVALITETSKRAV EFTER NY MODEL FOR PARAMETRE DER PT. ER INDEHOLDT I BKG. NR. 866 1 Bekendtgørelsens bilag 1.7, Kontrol/overvågning af marint vand Endeligt forslag
Læs mereEksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl.
Eksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl. Målsætning: Lærermål: At observere på og udvikle brugen af geogebra i forbindelse med eksperimenterende undersøgelser af vinkelsummer i matematik
Læs mereStatus på sammenligningen mellem FOT-Vandløb og vandløbsdata fra Herning og Holstebro kommuner
Status på sammenligningen mellem FOT-Vandløb og vandløbsdata fra Herning og Holstebro kommuner Indledning Der var den 2. februar indkaldt til møde i Herning kommune med deltagelse af KL, KMS, Holstebro
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereSILKEBORG KOMMUNE 2011 NOTAT NR. 2011-5 KONTROL AF STRØMRENDEBREDDEN EFTER GRØDESKÆRING I GUDENÅEN PÅ STRÆKNINGEN MELLEM SILKEBORG OG TANGE SØ
SILKEBORG KOMMUNE 2011 NOTAT NR. 2011-5 KONTROL AF STRØMRENDEBREDDEN EFTER GRØDESKÆRING I GUDENÅEN PÅ STRÆKNINGEN MELLEM SILKEBORG OG TANGE SØ Rekvirent Silkeborg Kommune Teknik- og Miljøafdelingen att.
Læs mereØGET SLAGTEVÆGT OG SAMMENHÆNG TIL MILJØGODKENDELSE
ØGET SLAGTEVÆGT OG SAMMENHÆNG TIL MILJØGODKENDELSE NOTAT NR. 1345 Afregningsvægten hæves 2-4 kg/gris i 2014. Her beskrives konsekvens af øget slagtevægt og sammenhæng til tilladt produktionsomfang i forhold
Læs mereValgkampens og valgets matematik
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereREGNEARK TIL BEREGNING AF BAT-KRAV PÅ SVINEBRUG
REGNEARK TIL BEREGNING AF BAT-KRAV PÅ SVINEBRUG NOTAT NR. 1540 I notatet forklares regler og regnearkets beregningsforudsætninger ud fra de vejledende BAT-emissionsgrænseværdier for ammoniak og fosfor.
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereTALEPUNKTER (DET TALTE ORD GÆLDER) Åbent samråd den 31. maj 2012. (Detailbutikkers engrossalg til andre detailbutikker)
Udvalget for Landdistrikter og Øer 2011-12 ULØ alm. del, endeligt svar på spørgsmål 187 Offentligt Ministeriet for Fødevarer, Landbrug og Fiskeri Den 25. maj 2012 TALEPUNKTER (DET TALTE ORD GÆLDER) Åbent
Læs mereFynsgade Silkeborg Tlf maj 2009
Q/Holm SE Nr. 10 47 53 41 Fynsgade 4 8600 Silkeborg Tlf. 86 80 54 03 21 41 83 46 tfh@qholm.dk 12. maj 2009 Holbæk Kommune Projekt: Kontrolopmåling af Åmose Å Fra Skellingsted Bro st. 17. 462 Til Bromølle
Læs mereHorisontalbelastet pæl
Horisontalbelastet pæl Anvendelsesområde Programmet beregner bæreevnen for enkeltpæle i lagdelt jord. Både vertikal og horisontal belastning af pælen er tilladt. Desuden kan en eventuel overbygnings stivhed
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereRettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Læs mereÆndringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks
NOTE 2-2008 WWW.GeoCAD.dk Ændringer i opsætning af GeoCAD-tabeller ved indførelsen af MIA3 og minimaks Indførelsen af minimaks ved Kort- & Matrikelstyrelsen den 10. september 2008 vil medføre en række
Læs mereENERGIPRODUKTIONS BEREGNING
Tåsinge, Søby, Svendborg kommune, DANMARK 4,6 MW vindmøllepark 2 stk. Siemens SWT-2.3-93, 80 m navhøjde ENERGIPRODUKTIONS BEREGNING De to nye møller illustreret med Google Earth. Kunde: EMD: Dato: december
Læs mereHastighed og uheldsrisiko i kryds
Trafiksikkerhed og Miljø Hastighed og uheldsrisiko i kryds Trafikdage på AUC 1996 Paper af: Civ. ing. Poul Greibe og Civ. ing. Michael Aakjer Nielsen Vejdirektoratet Trafiksikkerhed og Miljø Tel: 33 93
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereHvornår kan vi stoppe risikovurderingen med troværdighed? -En rådgivers vinkel
Hvornår kan vi stoppe risikovurderingen med troværdighed? -En rådgivers vinkel Per Loll, udviklingsleder, Ph.D. 19. maj 2015 Indledning I dag har jeg fået lov til at sige noget om rådgivervinklen på spørgsmålene:
Læs mereNyt i faget Matematik
Almen voksenuddannelse Nyt i faget Matematik Juli 2012 Indhold Bekendtgørelsesændringer Ændringer af undervisningsvejledningen Den nye opgavetype ved den skriftlige prøve efter D Ændringer af rettevejledningen
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereKvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter
Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,
Læs mereSkrevet af stud. geom. Martin Hedegaard, Aalborg Universitet, virksomhedspraktikant
Laserscanning af Boy Skrevet af stud. geom. Martin Hedegaard, Aalborg Universitet, virksomhedspraktikant hos AAKJAER Landinspektører. Kunstværket Boy blev skabt af den australske kunstner Ron Muecks i
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereGeoCAD brugermøde 2010
GeoCAD brugermøde 2010 GeoCAD brugermøde 2010 9:30 10:30 Seneste ændringer ScanObs / Obs2Bnr Volumenberegning DKTM GML DSFL-interface Gis2GeoCAD Dan-Das eksport 10:30 10:45 Pause 10:45 11:45 Gennemgang
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mere1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereReferenceblad for vingeforsøg
Referenceblad for vingeforsøg Dansk Geoteknisk Forenings Feltkomité Revision August 999. INDLEDNING Dette referenceblad beskriver retningslinier for udførelse af vingeforsøg i kohæsionsjord. Ved vingeforsøg
Læs mereVejdirektoratet Side 1 af 1 Dokumentfortegnelse Måleprogrammer Projekt 6714.103 Bro- og sporarbejder. Dokumenter
Vejdirektoratet Side 1 af 1 Dokumentfortegnelse Måleprogrammer Projekt 6714.103 Bro og sporarbejder Dokumenter Beskrivelse Dato: Rev. Dato: Måleprogrammer Måleprogram Vejledning 13.04.2015 Måleprogram
Læs mereIndholdsfortegnelse. 2 Kortlægningsmetode
Roskilde Amt Geofysisk kortlægning i Skovbo Kommune Landbaserede TEM-målinger COWI A/S Parallelvej 2 00 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 www.cowi.dk Indholdsfortegnelse 1 Indledning
Læs mereMatematik C Højere forberedelseseksamen
Matematik C Højere forberedelseseksamen Hæfte: August 2014 Kl. 9.00-12.00 Copyright Anders og Mark Kommentar til opgaven: Lilla farve - angiver formlen. Rød farve - angiver ophævelsen af en ligning. Matematik
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...
Læs mereBN1 Banenorm 15.06.2004 BN1-18-1. Opmåling af genstande inden for profilgrænserne samt aflevering af data BN1-18-1 INTERN GODKENDELSE I BANEDANMARK
Opmåling af genstande inden for profilgrænserne samt aflevering af data BN1-18-1 INTERN GODKENDELSE I BANEDANMARK Dato Underskrift Samlet 11.06.2004 Palle Reenberg Indhold 11.06.2004 Jette Hansen Fremstilling
Læs mere