I jeres familier interesserer I jer meget for meget for naturen, og især vand og de dyr, der lever i vandet har jeres interesse. Derfor besøger I ofte akvarier med flotte samlinger af vandlevende dyr: fisk, skildpadder, delfiner, hajer og sæler. Jeres foretrukne akvarium er Nordsøen Oceanarium, der ligger i Hirtshals. Her plejer I at komme en gang årligt. I denne opgave arbejder I med de to største akvarier, der findes i Hirsthals: Oceanariet, der er Nordeuropas største akvarium, samt Sælariet, der rummer en bestand af sæler. a b V = π a b h h Oceanariet og ellipser Problemstilling (1) Undersøg hvordan Oceanariets rumfang er beregnet. Tegn ellipsen i Oceanariet. Brug et dynamisk geometriprogram eller tegn den efter opskriften på side 2. Undersøg, hvordan cirklens og ellipsens formler for areal og omkreds passer sammen. Undersøg nu sammenhængen mellem arealet af ellipsen og længden af lilleaksen ved forskellige ellipser, f.eks. ved en grafisk fremstilling. Fakta om Oceanariet Rumfang: 4.500 m 3 Oceanarietanken er ellipseformet - 22 meter bredt og 33 meter langt. Vanddybde 8 meter. Ruderne er fremstillet af akryl. Den største rude er 6 meter høj og 12 meter lang. Ruden er 41 cm tyk og vejer 38 tons. Samlet rudeareal 155 m 2. Oceanarietanken rummer 3.000-4.000 fisk. Side 1
Fakta om ellipser Ellipse: b F 1 F 2 a O d D = storeaksen ( store diameter ) d = lilleaksen ( lille diameter ) a = den halve storeakse b = den halve lilleakse O = centrum for ellipsen F 1 og F 2 = brændpunkter Brændpunkternes afstand fra ellipsens centrum, O, kan beregnes således: D OF 1 = OF 2 = a 1 b 2 a 2 Arealet af en ellipse: A = π a b Omkreds af en ellipse: O = π (a + b) (Der er ikke nogen nem måde at bestemme omkredsen af en ellipse, men ovenstående formel giver en god tilnærmelse) Sådan tegnes en ellipse: En ellipse kunne man f. eks. tegne efter opskriften nedenfor: Sæt to tegnestifter i et stykke papir på en plade og sæt derefter en sammenbundet snor rundt om dem. Ved at køre en blyant rundt i snoren, samtidig med at man holder snoren stram, dannes der en ellipse. De to punkter, som tegnestifterne sættes i, kalder man ellipsens brændpunkter. Snor d 1 d 2 d 1 + d 2 = 2 a Side 2
Oceanariets vægge Problemstilling (2) Kan man på baggrund af de oplysninger, man får i dataarket finde massefylden af akryl? Forestil jer, at hele oceanariet var lavet af akryl med samme tykkelse overalt. Fortæl om arealet, rumfanget og vægten af det akryl, der ville skulle bruges til dette. Undersøg hvad prisen på denne mængde akryl vil kunne koste... Priser, klare akrylplader D A F A/S H! Længde Bredde Tykkelse Pris pr. m 2 2000 mm 1200 mm 20 mm 1860. kr. 2000 mm 1200 mm 25 mm 2460. kr. 1950 mm 1150 mm 32 mm 2700. kr. Fakta om Oceanariet Rumfang: 4.500 m 3 Oceanarietanken er ellipseformet - 22 meter bredt og 33 meter langt. Vanddybde 8 meter. Ruderne er fremstillet af akryl. Den største rude er 6 meter høj og 12 meter lang. Ruden er 41 cm tyk og vejer 38 tons. Samlet rudeareal 155 m 2. Oceanarietanken rummer 3.000-4.000 fisk. Side 3
Sælariet Problemstilling (3) Forestil jer, at sælariet var formet som en keglestub og efterprøv så, om rumfanget af sælariet er korrekt opgivet. Begrund, hvorfor der er forskel på jeres facit og det opgivne rumfang. Undersøg sammenhængen mellem mængden af vand i Sælariet og det antal sæler, der er i dette. V = G = største grundflade 1 3 h (G 2 + g 2 + G g ) g = mindste grundflade Sælariet er et stort, udendørs sælbassin. Rumfang: 800.000 m 3 vand Arealet af vandoverfladen er 784 m 2 og arealet af den vandrette del af bunden er 189 m 2. Højeste vanddybde 4 meter. Normalt huser sælariet 8-10 sæler, men dette tal kan i perioder variere. Mindste antal sæler har været 2, højeste antal 16. Side 4
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling (1) Undersøg hvordan Oceanariets rumfang er beregnet. V = π 11 16,5 8 = 4561,6 m 3 Tegn ellipsen i Oceanariet. Brug et dynamisk geometriprogram eller tegn den efter opskriften på side 2. Brændpunkternes afstand fra centrum beregnes: OF 1 = OF 2 = 16,5 1-(11 2 /16,5 2 ) = 12,3 m Overvejelser vedr. målestok: Tegningen skal kunne være på et stykke A4-papir. Undersøg, hvordan cirklens og ellipsens formler for areal og omkreds passer sammen. Overvejelser om formler (a = lille r, b = store r): Ellipse: O = π (a + b) Cirkel: O = 2 π r = π (r + r) Ellipse: Cirkel: A = π a b A = π r 2 = π r r Undersøg nu sammenhængen mellem arealet af ellipsen og længden af lilleaksen, f.eks. ved en grafisk fremstilling. Længden af lilleaksen = x, arealet af ellipsen = y: Funktion: y = π 16,5 x <=> y = 51,84 x Der er tale om en lineær funktion, en ligefrem proportionalitet. Funktionen kan tegnes på løst papir eller evt. i et tegneprogram, f.eks. Geogebra. Side 5
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling (2) Kan man på baggrund af de oplysninger, man får i dataarkene fortælle noget om massefylden af akryl? Fortæl om arealet, rumfanget og vægten af det akryl, der ville skulle bruges til akvariet. Vi går ud fra, at ruden er prismeformet, med form af en kasse. V rude = 6 12 0,41 = 29,52 m 3 Massefylde = 38/29,52 = 1,287 Grundareal af ellipsen: A ydre = π (16,5+0,41) (11+0,41) = 606,15 m 2 A indre = π 16,5 11 = 570,20 m 2 A acryl = 606,15-570,20 = 35,95 m 2 Rumfang af acryl: V = 35,95 8 = 287,6 m 3 Vægt af acrylet: 287,6 1,287 = 370,14 ton Det ydre areal af ruden: A = π (11,41 + 16,91) 8 = 711,76 m 2 Det indre areal af ruden: A = π (11 + 16,5) 8 = 691,15 m 2 Undersøg hvad prisen på denne mængde akryl vil kunne koste... Der tages udgangspunkt i de priser, der er opgivet fra Dansk Akrylplade Fabrik. Plade 2000 mm x 1200 mm x 20 mm: V = 2 1,2 0,02 = 0,048 m 3 Antal plader = 287,6/0,048 = 5991,66 plader Altså 5992 plader Pris = 5992 1860 = 11.145.120 kr. Plade 2000 mm x 1200 mm x 25 mm: V = 2 1,2 0,025 = 0,06 m 3 Antal plader = 287,6/0,06 = 4793,33 plader Altså 4794 plader Pris = 4794 2460 = 11.793.240 kr. Plade 1950 mm x 1150 mm x 32 mm: V = 1,95 1,15 0,032 = 0,07176 m 3 Antal plader = 287,6/0,07176 = 4006,41 plader Altså 4007 plader Pris = 4007 2700 = 10.818.900 kr. Hvis man kan få akrylen til den billigste pris og skal betale en pris, der svarer til dette, vil alle oceanariets rudearealer koste godt og vel 10 mill. kroner. Side 6
Lærerside(r), supplerende spørgsmål og løsningsforslag Problemstilling (3) Forestil jer, at sælariet var formet som en keglestub, som vist på side 2 - og efterprøv så, om rumfanget af sælariet er korrekt opgivet. Begrund, hvorfor der er forskel på jeres facit og det opgivne rumfang. Undersøg sammenhængen mellem mængden af vand i Sælariet og det antal sæler, der er i dette. Rumfang efter formlen for en keglestub - i m 3 : V = (1/3 4 ( 784 2 + 189 2 + 784 189 ), altså V = 867683 m 3 Rumfanget af Sælariet bliver for stort, hvis vi regner med, at det er en keglestub. Det skyldes, at siderne i keglestubben ikke går i en lige linje mellem overfladen og bunden, men buler udad. Sammenhængen bliver en omvendt proportionalitet defineret i intervallet [2;16]: y = 800000/x, Hvor y = antal m 3 vand pr. sæl og x = antal sæler Funktionen y = 800000/x tegnet i Geogebra. I input-feltet er skrevet: Funktion[800000/x, 2, 16] Forholdet x-akse : y-akse sat til 1:50000 Side 7