CAPM, APT og betingede modeller

Erhvervsøkonomisk Institut Bachelorafhandling HA almen Forfatter: Torsten Storgaard Lauritsen Vejleder: Stig Vinther Møller Assistant Professor CAPM, APT og betingede modeller En empirisk analyse af anvendeligheden af makroøkonomiske variable i asset pricing modeller Aarhus Universitet, Business and Social Sciences Forår 2011

Abstract This paper examines the use of macroeconomic risk factors in asset pricing models. Through the last decades a large and growing amount of literature has emerged in the field of portfolio theory and asset pricing. Under these broad headings one of the main empirical issues is, whether equilibrium returns and prices can be inferred from modeling of the return generating process on capital markets. The first general equilibrium model, CAPM, is today especially known for its peculiar combination of an intuitively appealing explanation of the return generating process and its devastating empirical failure. A lot of alternative asset pricing models have been proposed in the effort to cope with this missing explanatory power, but a perfect model is still lacking. The difficulties of resolving this issue seems even worse, when explanatory power is constrained to be based on proper theoretical arguments and not only ad hoc risk factors. An obvious way to establish the needed connection between capital markets and the real economy is by trying to explain capital market equilibrium by the use of macroeconomic reasoning and this is the target of the use of macroeconomic risk factors in asset pricing models. In this paper risk factors are estimated by the use principal components factor analysis on a set of macroeconomic and financial variables. The generated risk factors are subsequently used in the setting of APT and conditional CAPM, both estimated through two-step OLS regression. The resulting models get assessed on the basis of explanatory power as well as whether sound theoretical arguments can underpin any empirical success. Furthermore, the empirical performance of the resulting asset pricing models are compared to the counterpart of historical benchmark models like Sharpe-Lintner CAPM, Lettau & Ludvigson s conditional CAPM and Fama & French s three-factor model. The data used for the empirical analysis is from the American market and the period of analysis is 1960 to 2010. From the principal components analysis seven risk factors are identified and given diverse economic interpretations on the basis of a panel consisting of 79 macroeconomic and financial variables. In APT models an interest rate factor and an inflation factor show up as the factors with the highest explanatory power, resulting in a two-factor APT with explanatory power well above the traditional CAPM and conditional CAPM, but slightly below the Fama & French three-factor model. When the estimated risk factors are used as scaling variables in conditional CAPM the best performing specification contains an international trade/activity factor as scaling variable. The model fit from this model is slightly better than the three-factor model no matter whether the comparison is done with or without industry portfolios included in the portfolio set. In spite of the relatively high explanatory power from both APT and conditional CAPM models, the persistence of the individual risk factors is though questioned by their failure to individually show up statistical significant through both full period and subperiod analyses. As a result of the analysis, the main conclusion of this paper is that macroeconomic risk factors estimated through principal components analysis can contribute to the development of asset pricing models and understanding of capital market equilibrium through their combination of relatively high explanatory power and macroeconomic reasoning. Further research could preferably be conducted to elucidate whether the identified risk factors will show persistent in other estimation settings but as a minimum, the method used to extract risk factors has shown to be interesting for identifying relevant risk factors. i

Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 1 1.1 Problemformulering... 1 1.2 Metode og forventninger... 2 1.3 Afgrænsning... 3 1.4 Struktur... 3 2. Teori og litteraturgennemgang... 5 2.1 Basal forbrugsbaseret model... 5 2.2 Markedsimperfektioner... 7 2.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM)... 10 2.3.1 Testbare implikationer... 12 2.3.2 Betinget CAPM... 13 2.4 Arbitrage Pricing Theory (APT)... 15 2.4.1 Kritik af APT... 17 2.5 Opsamling på det teoretiske fundament... 18 3. Datagrundlag... 19 3.1 Panel data til principal component faktoranalyse... 20 3.2 Afkastserier... 21 3.3 Scalingvariabel til betinget CAPM... 23 4. Metode... 24 4.1 Principal components faktoranalyse... 25 4.1.1 Transformation af dataserierne... 27 4.2 OLS regression... 28 4.2.1 Overvejelser vedrørende cross-sectional regressionerne... 29 4.2.2 Hypoteseformulering... 30 4.2.3 Errors-in-variables (EIV)... 31 4.2.4 Metoden i APT-sammenhæng... 32 4.2.5 Metoden i CAPM-sammenhæng... 33 4.2.6 SAS-kode... 33 5. Estimationsresultater... 34 5.1 Principal component faktoranalyse... 34 ii

5.1.1 PCA-faktor som scaling-variabel i betinget CAPM... 38 5.2 Regressioner... 39 5.2.1 Full period analyser... 39 5.2.2 Subperiod analyser... 55 6. Opfølgning på analysen... 57 7. Konklusion... 59 Kildeoversigt... 61 Appendiks- og bilagsoversigt... 64 iii

Figurer og tabeller Figur 1 Den efficiente rand og CML-linjen... 10 Figur 2 SML-linjen... 11 Figur 3 Struktur i den empiriske analyse... 24 Figur 4 Eksempel på faktorstruktur... 25 Figur 5 Fittede vs. realiserede afkast for det fulde porteføljesæt... 52 Figur 6 Fittede vs. realiserede afkast for de 25 size-/valuesorterede porteføljer... 53 Tabel 1 Rammer for den empiriske analyse... 19 Tabel 2 Indledende sæt af udtrukne faktorer... 34 Tabel 3 Resumé af det endelige sæt af 7 faktorer, samt scaling-faktor... 35 Tabel 4 Bedst performende APT-modeller med 7, 3 og 2 faktorer... 41 Tabel 5 Statisk CAPM, betinget CAPM og Fama/French s 3-faktor model... 43 Tabel 6 Betinget CAPM, scaled med faktorer fra PCA... 44 Tabel 7 Bedst performende APT-modeller med 7, 3 og 2 faktorer (u. industriporteføljer).. 46 Tabel 8 Statisk CAPM, betinget CAPM og Fama/French s 3-faktor model (u. industriporteføljer)... 47 Tabel 9 Betinget CAPM, scaled med faktorer fra PCA (u. industriporteføljer)... 48 Tabel 10 Fama/French s 3-faktor model tilføjet F4 og F5... 49 Tabel 11 Rangering af modellerne for det fulde porteføljesæt... 56 iv

1. Introduktion Some assets offer higher average returns than other assets, or, equivalently, they attract lower prices. These risk premiums should reflect aggregate, macroeconomic risks John H. Cochrane (2006) Et af de centrale spørgsmål i den finansielle teori er, om prisudviklingen på finansielle aktiver kan forklares ud fra makroøkonomisk teori og aktivernes individuelle karakteristika. Hvis investorernes adfærd lever op til gængse forudsætninger, og kan betragtes som rationel, burde det være muligt at forklare prisdannelsen på finansielle aktiver ud fra investorernes aggregerede adfærd. Ingen asset pricing modeller har dog hidtil kunnet forklare prisdannelsen fuldt ud tilfredsstillende og som følge heraf, betragtes den sande asset pricing model efterhånden som finansiel teoris svar på den hellige gral. De forskellige asset pricing modeller tager udgangspunkt i forskellige forklaringer af den afkastgenererende proces, men på bundlinjen har de til fælles, at de bygger på, at risikopræmier på finansielle aktiver må være styret af samvariationen med investorernes marginalnytte. Spørgsmålet er så, hvordan aktivernes samvariation med investorernes marginalnytte kan måles, så aktiverne bliver prisfastsat korrekt. Udfordringen for asset pricing modeller består i på samme tid at bygge på et teoretisk plausibelt fundament og at kunne overføre dette teoretiske fundament til en høj forklaringsevne på virkelighedens kapitalmarkeder. Omdrejningspunktet for denne fremstilling vil være to af de asset pricing modeller, der i dag står som centrale brikker i porteføljeteorien, nemlig Capital Asset Pricing Model (CAPM) og Arbitrage Pricing Theory (APT). Selv om ingen af dem for alvor lever op til kriterierne for den perfekte model, så er deres intuitive appel og kobling til teorien bag risikopræmiedifferentiering så stærk, at de til stadighed finder anvendelse. Hvor CAPM, til trods for den stadige anvendelse, sågar er erklæret død, klarer multifaktormodeller med udgangspunkt i APT sig ofte bedre in-sample, men dog ikke entydigt bedre out-ofsample. I kølvandet på CAPMs død, har Jagannathan & Wang (1996) og Lettau & Ludvigson (2001a) med egne ord haft held til at genoplive CAPM og CCAPM ved at gøre dem til betingede modeller, hvor modellernes faktorer skaleres ved brug af en skaleringsvariabel, der skal tage højde for faktorernes ustabilitet over tid. De betingede modellers forklaringsevne er dog heller ikke entydigt overbevisende out-of-sample og der stilles således stadig spørgsmålstegn ved, hvilken model, der kommer tættest på at kunne forklare virkelighedens afkastgenererende proces. 1.1 Problemformulering Selv om den basale asset pricing model er intuitivt appellerende, er det i praksis mere de ovennævnte faktormodeller, der er interessante i et empirisk perspektiv. Som Cochrane (2006) udtrykket det, er det interessante ved disse alternative modeller, om man kan finde risikofaktorer, der både har høj forklaringsevne og økonomisk intuition med sig, da det i sidste ende er vejen til at identificere den sande forklaring af risikopræmiedifferentieringen på finansielle aktiver. Hvor CAPM mangler den for- 1

klaringsevne, som flere andre modeller opnår, mangler disse modeller, med mimicking portfolios som faktorer, til gengæld ofte en økonomisk intuition, der kan indpasses i generel økonomisk teori og giver belæg for at tro på, at forklaringsevnen bibeholdes out-of-sample. En interessant problemstilling er derfor, hvordan der kan skabes en model til forklaring af risikopræmiedifferentieringen mellem finansielle aktiver, hvor økonomisk intuition og forklaringsevne tilfredsstilles simultant. Problemstillingen bliver ikke mindre interessant af, at de seneste års finansielle krise og brugen af porteføljer sorteret på baggrund af eksempelvis industri, har stillet eksisterende modeller i et endnu dårligere lys end hidtil, ved at understrege performance-problemerne out-of-sample. Problemstillingen kan angribes og belyses fra en lang række forskellige vinkler, men i indeværende fremstilling vil fokus være på, hvordan brugen af makroøkonomiske data som grundlag for risikofaktorer kan bruges i sammenligning med de eksisterende asset pricing modeller. Netop makroøkonomisk funderede faktorer motiveres ved, at de giver mulighed for at knytte forklaring af den afkastgenererende proces på kapitalmarkederne til resten af økonomien. Ingen kan således for alvor tro på, at kapitalmarkederne fungerer uafhængigt af resten af den økonomiske verden. Brugen af makroøkonomisk funderede risikofaktorer kan ske med udgangspunkt i forskellige modeltyper og både betinget CAPM og APT-baserede modeller vil være en del af analysevinklen i denne fremstilling. Fremstillingens overordnede problemstilling kan dermed udtrykkes ved: I hvor høj grad kan makroøkonomiske risikofaktorer i APT- og betinget CAPMsammenhæng bidrage til forklaringen af den afkastgenererende proces på kapitalmarkederne, i sammenligning med de eksisterende modeller? Herunder vil der dels blive søgt svar på, hvilke makroøkonomiske faktorer, der kan findes forbundet til risikopræmiedifferentieringen og dels, i hvilke(n) modelspecifikation(er) de pågældende faktorer findes relevante. I forlængelse heraf, vil der selvsagt blive søgt svar på, hvordan modellerne klarer sig i sammenligning med etablerede modeller, i et fælles analysesetup. Analysen vil, som de centrale empiriske studier af CAPM og APT, ske med udgangspunkt i det amerikanske marked og tidsmæssigt strække sig fra 1960 frem til og med de seneste års finansielle krise. Som antydet, vil analysen have fokus på at søge efter modeller med såvel klar økonomisk intuition som betydelig forklaringsevne af den afkastgenererende proces på finansielle aktiver. 1.2 Metode og forventninger Fremstillingen vil indeholde en empirisk analyse, der har til formål at søge svar på fremstillingens problemformulering og analysen vil tage udgangspunkt i følgende metode og forventninger, der også uddybes gennem fremstillingen. Faktorerne til såvel multifaktormodellerne med udgangspunkt i APT som til betinget CAPM, estimeres ved principal component faktoranalyse på baggrund af et større panel af makroøkonomiske og finansielle variable. Det sker med henblik på at skabe en model, hvor økonomiske rationaler kan koble modellens faktorer til investorernes marginalnytte. I APT vil faktorerne fra faktoranalysen fungere som selvstændige risikofaktorer, mens de i betinget CAPM forsøges som scaling-variable. Det sker med henblik på at identificere, hvorvidt den afkastgenererende proces bedst lader sig beskrive gennem en betinget én-faktor model i form af CAPM eller ved at lægge et panel af makroøkonomiske og finansielle data til grund for en APT-model, hvor så meget information om øko- 2

nomiens tilstand som muligt er komprimeret i modellens faktorer. Uanset modeltype, forventes de seneste års økonomiske recession kun at have forværret modellernes forklaringsevne, da det historisk set ikke mindst er i dårlige tider, hvor afkastene bliver negative, at de traditionelle modellers forklaringsevne er specielt dårlig. Spørgsmålet er så, om en betinget udgave af CAPM klarer sig bedre end en multifaktormodel og om det overhovedet giver en signifikant bedre forklaringsevne end den statiske CAPM at betinge modellen på information fra et panel af relevante økonomiske serier. Det vil således blive analyseret, om der med udgangspunkt i en statistisk estimeret APT og statisk og betinget CAPM, alle estimeret ved OLS regression, kan drages konklusioner om forskelle i forklaringsevne og/eller teoretisk validitet. 1.3 Afgrænsning Der findes en lang række interessante problemstillinger og ubesvarede spørgsmål i relation til asset pricing modeller. For at opnå den nødvendige fokus, er det derfor nødvendigt at foretage en række afgrænsninger af emnet. Som allerede omtalt, vil afhandlingen fokusere på brugen af makroøkonomisk funderede variable i CAPM og APT-sammenhæng, på det amerikanske marked for 1960 til 2010. Udover denne afgrænsning mht. modeltyper, analyseperiode og -marked, må der af hensyn til fremstillingens omfang også foretages afgrænsning i forhold til valg af metode og fokus i analysen. Der vælges således at afgrænse fremstillingen fra at indeholde behandling af betydningen af brugen af andre estimationsmetoder end de anvendte principal components faktoranalyse og OLS-regression. Hvor asset pricing modeller i litteraturen finder anvendelse på stort set alle former for finansielle aktiver, vil fokus i indeværende fremstilling udelukkende være på modellernes anvendelse på aktier og herunder det i kapitel 3 beskrevne porteføljesæt. Sidst men ikke mindst, vælges der udelukkende at fokusere på modellernes forklaringsevne ex post og altså ikke deres ex ante forudsigelsesevne. 1.4 Struktur Nærværende fremstilling består af 7 overordnede kapitler, hvoraf det første er den indeværende introduktion til afhandlingens emne og indhold. Den resterende del af fremstillingen vil med udgangspunkt i problemformuleringen være struktureret som følger. Kapitel 2 indeholder det teoretiske fundament for fremstillingens problemstilling og vil således indeholde en kort gennemgang af de væsentligste områder af den eksisterende litteratur om asset pricing og herunder såvel CAPM som APT. Kapitel 3 vil indeholde en gennemgang af datagrundlaget for den empiriske del af fremstillingen, mens kapitel 4 vil indeholde metoden til samme, i form af den anvendte regressionsanalysemetode og principal component faktoranalyse. Derudover vil der i kapitlet i overensstemmelse med indholdsfortegnelsen være beskrevet metode til transformation af data og de korrektioner, der i litteraturen anvendes ved de respektive metoder. Kapitel 5 vil efterfølgende vedrøre selve estimationen af de CAPM- og APT-modeller, der opstilles, lige som de væsentligste resultater gengives i dette kapitel. I kapitel 6 vil der blive samlet op på betydningen af estimationsresultaterne fra kapitel 5, ligesom det vil blive diskuteret, hvad analyseresultaterne kan bruges til fremadrettet. Fremstillingens konklusioner opsamles i kapitel 7, hvorefter kildeoversigten vil være at finde, inden der til sidst vil være vedlagt 6 appendiks og 8 bilag som er oplistet i appendiks- og bilagsoversigten. 3

Figur- og tabelnummerering sker fortløbende gennem afhandlingen, lige som litteraturhenvisninger sker løbende i teksten efter Harvard-metoden og alle kilderne er i henhold til denne metode opsamlet i kildeoversigten. Med henblik på at sikre konsistens med litteraturen og overskuelighed af teksten, er der flere steder gennem afhandlingen anvendt engelske ord og udtryk, ligesom forkortelser af modelnavne (CAPM, APT), software (SAS, SPSS, EViews) mv. har fundet anvendelse. Vedlagt afhandlingen findes, foruden appendiks og bilag, også en cd med filer indeholdende de anvendte data. En oversigt over cd ens indhold vil være at finde som bilag 4. 4

2. Teori og litteraturgennemgang Indeværende kapitel har til formål at præsentere det teoretiske fundament bag afhandlingens emne og i sammenhæng hermed fremdrage nogle af de væsentligste bidrag til udviklingen indenfor modeller til prisfastsættelse af aktier. Denne gennemgang sker med henblik på at lede frem til den analysevinkel, der er skitseret i problemformuleringen. Kapitlet indledes med afsnit om den basale forbrugsbaserede model og derefter problemer med markedsimperfektioner, inden CAPM og APT behandles mere konkret. 2.1 Basal forbrugsbaseret model Grundlæggende er formålet med CAPM og APT det samme. Begge er modeller for aktiers prisfastsættelse og dermed forklaring af aktiernes forventede afkast. Med andre ord, har modellerne altså til hensigt at forklare, hvorfor nogle aktier bliver prissat til at give højere eller lavere afkast end andre. Kilden til, at investorerne forventer et afkast af investering i finansielle aktiver er todelt i den forstand, at de investerede midler dels må kompenseres for den tid de er bundet og dels for den risiko, der er forbundet med investeringen. Kompensationen for tidsbindingen kan betragtes som afkastet på en risikofri investering og niveauet for denne ulejlighed bestemmes ved ligevægten mellem markedsparternes aggregerede lyst til at forbruge nu og til at opspare med henblik på at forbruge senere. Når aktivet er en aktie, er der dog ikke tale om en risikofri investering, men en investering, hvor de fremtidige dividende-betalinger fra den bagvedliggende virksomhed er forbundet med usikkerheden ved virksomhedens fremtidige performance. Hvor meget investor skal kompenseres for at påtage sig denne risiko bliver igen et spørgsmål om, at investorernes aggregerede forventninger må resultere i, at præmien pr. risikoenhed lander på et niveau, der skaber balance mellem investorernes aggregerede lyst til at forbruge nu og til at investere med henblik på senere forbrug. Et mindst lige så relevant spørgsmål bliver dog, hvilken enhed den risiko, som investorerne vil kompenseres for, kan måles i. En model for risikopræmiedifferentieringen af finansielle aktiver må altså både identificere de(n) relevante risikofaktor(er) og samtidig kunne inkorporere investorernes aggregerede forventninger. Rationelle agenter er en typisk antagelse i økonomisk teori og i valget mellem at forbruge nu og senere, vil et naturligt rationale være at gå efter, hvornår marginalnytten af forbruget er højest. Heraf følger også, at incitamentet til at investere mere eller mindre vil ophøre, når marginalnytten af forbrug nu og senere er ens. Netop denne market clearing danner udgangspunktet for den basale forbrugsbaserede model for prisfastsætning af finansielle aktiver, som udtrykt i [1], hvor c er forbruget. Sammenhængen i [1] anses som den fundamentale model til forklaring af risikopræmiedifferentieringen. ( β + 1 + 1) ( ) ( ) p u c = E u c x [1] t t t t t Intuitionen er, at netop marginalnytte er det fundamentale, som investorerne vil maksimere og i den forsimplede verden med kun 2 perioder, udmønter det sig i, at et aktivs pris på tidspunkt t må skabe lighed mellem marginalnytten, der kan opnås på tidspunkt t, ved at forbruge nu, og den forventede, tilbagediskonterede marginalnytte, som aktivets payoff (x) i periode t+1 giver mulighed for. β er her udtryk for investors tilbagediskonteringsfaktor og indeholder dermed kompensationen for tidsbindingen, mens risikoaversionen udtrykt i den gennemsnitlige investors nyttefunktion (u) inkorporerer 5

kompensation for risiko i modellen. Kompensationen for tidsbindingen vil alle aktiver have til fælles og det må således være risikoen i form af samvariation med marginalnytten, der resulterer i en risikopræmiedifferentiering mellem aktiver. Aktiver, som giver høje payoffs, når investors andre aktiver i det hele taget klarer sig godt, og marginalnytten dermed er lav, vil være mindre attraktive og derfor blive afkrævet en høj risikopræmie. Omvendt vil aktiver, der klarer sig godt, når andre aktiver klarer sig skidt og marginalnytten er høj, være mere attraktive og derfor blive prissat højere, svarende til lavere risikopræmier. Svaret på, hvilken risiko investorerne kompenseres for, er dermed den systematiske risiko forbundet med samvariation med investorernes marginalnytte. Virkeligheden er dog knap så simpel, hvorfor den basale model ikke bare kan finde umiddelbar anvendelse. En betydelig udfordring forbundet med at modellere denne prisfastsættelse i praksis er, at investorernes marginalnytte ikke er observerbar, og aktivernes samvariation med denne marginalnytte er det derfor selvsagt heller ikke. Til at modellere risikopræmiedifferentiering må man derfor finde faktorer, der er højt korreleret med den gennemsnitlige investors marginalnytte, der i sig selv må forventes at være tæt forbundet med de økonomiske konjunkturer. Hvor forbrug som antydet ovenfor rent teoretisk synes at være den bedste proxy for marginalnytte, har det i praksis vist sig noget sværere at kunne påvise en klar sammenhæng mellem aktivers afkast og deres samvariation med forbruget. Den manglende empiriske kobling mellem den intuitivt korrekte kilde til risikopræmiedifferentiering og virkelighedens kapitalmarkeder har som sagt ført en lang række af alternative modeller med sig og heriblandt altså CAPM og APT. De alternative modeller er ofte udledt ud fra andre teoretiske argumenter end den basale forbrugsbaserede model, men på trods heraf betragtes de i litteraturen mere som specialtilfælde af den samme grundlæggende model, end som fundamentalt forskellige modeller, hvilket Cochrane (2005) understreger. En generalisering af [1] illustrerer meget godt, hvori forskellen mellem modellerne ligger, da det er den stokastiske diskonteringsfaktor m i [2], der optræder i forskellige afskygninger i de forskellige modeller. [2] udtrykker således, at et aktivs pris på tidspunkt t, er bestemt af forventningen til produktet af næste periodes diskonteringsfaktor og aktiepayoff (pris + dividende). ( ), (, ) P = E m x hvor m = f parametre data [2] t t t+ 1 t+ 1 t+ 1 Ved brug af definitionen af kovarians mellem to variable og det faktum, at forventede, tilbagediskonterede afkast altid må være ens for alle aktiver for, at der ikke eksisterer mulighed for arbitrage, kan [2], som vist i appendiks 1, omskrives til [3]. Den basale model for prisfastsættelse af aktiver er her omskrevet til den β-repræsentation, der i litteraturen er den oftest benyttede notationsform. ( ) E R R = β λ [3] it, f, t im, m Betragtes faktormodellerne ud fra deres fælles forbindelse til [2] og [3], kan succeskriteriet koges ned til at finde de faktorer, der mest nøjagtigt enten kan måle økonomiens tilstand eller forecaste denne, da det må være økonomiens tilstand, der er afgørende for investorernes forbrug og marginalnytte. Forsøg med alternative specifikationer af m i diverse faktormodeller er dog kun én af flere mulige løsninger på at overkomme det manglende empiriske belæg for sammenhængen mellem marginalnytte og afkast. Et andet alternativ er således at forsøge at basere sammenhængen på alternative økonomiske antagelser om investorernes nyttefunktioner og adfærd, samt markedernes efficiens. En kort omtale af mulige forudsætningsproblemer er at finde i afsnit 2.2, mens der herunder skelnes mellem fak- 6

tormodeller af typerne no-arbitrage og ligevægtsmodeller. Begge er specialtilfælde af den basale model. Mens CAPM tilhører de såkaldte equilibrium eller ligevægts -modeller, så tager APT, som navnet klart antyder, udgangspunkt i fraværet af arbitragemuligheder. En ligevægtsmodel som eksempelvis CAPM bygger på antagelser om forhold som investorernes nyttefunktion og at økonomien befinder sig i ligevægt. Ud fra sådanne antagelser er mean-variance frameworket af Markowitz (1952) opbygget og Markowitz argument om, at prisfastsættelse af aktiver udelukkende er et spørgsmål om maksimering af afkast og minimering af systematisk risiko går igen i CAPM. Modsat tager APT udgangspunkt i, at der, givet den afkastgenererende proces, ikke eksisterer muligheder for arbitrage og modellen indeholder dermed ingen forudsætninger om mean-variance optimering. Som yderligere omtalt i afsnit 2.4 udelukker no-arbitrage, i form af APT, dog ikke ligevægtsmodeller som CAPM, men de mindre restriktive forudsætninger ved no-arbitrage gør alligevel, at de to modeltyper kan betragtes som konkurrerende paradigmer. I forhold til denne fremstillings overordnede problemstilling bliver det, som følge af forskelle i forudsætninger, relevant at vurdere modeller af de to typer i forhold til hinanden, selv om de altså er specialtilfælde af ligning [1]. 2.2 Markedsimperfektioner Alternativt til, at det er pga. den uobserverbare marginalnytte, at empiriske tests ikke giver overbevisende støtte til den basale asset pricing model, kunne problemerne med at eftervise en form af [2] også skyldes, at investorerne slet ikke opfører sig tilstrækkeligt rationelt til, at de agerer ud fra deres marginalnytte. Eller i forlængelse heraf, at kapitalmarkederne er inefficiente og det derfor ikke er muligt at etablere nogen ligevægtsmodel, hverken med udgangspunkt i mean-variance optimering eller arbitrage-argumenter, medmindre der tages højde for denne inefficiens. Formålet med indeværende afsnit er derfor kort at illustrere nogle af de imperfektioner, der kan hindre en egentlig kapitalmarkedsligevægt og derigennem være medvirkende til modellernes dårlige performance. Centralt i finansiel teori står den af Fama (1970) fremsatte efficiente markedshypotese (EMH) og en overbevisning om, at aktiekurser følger en random walk. Begge hypoteser indebærer, at priserne på kapitalmarkederne afspejler al tilgængelig information og de derfor kun reagerer på ny information, som per definition må være uforudsigelig. Hvis EMH og random walk-hypoteserne holder, kan der ikke eksistere andet end momentale arbitrage-muligheder og på lang sigt vil det være umuligt at opnå et overnormalt afkast i forhold til den risiko man løber. Overføres hypoteserne til, hvordan aktivernes priser udtrykkes, vil forventningen til næste periodes pris på et finansielt aktiv dels bestå af prisen i denne periode og dels af et uforudsigeligt element, der er betinget på al ny information, der kommer til offentlighedens kendskab i løbet af perioden. Det udtrykkes ved [4]. ( ) ( ε ) ( ε ) E p I = p + I, hvor E I = 0 [4] t t+ 1 t t t+ 1 t+ 1 t t+ 1 t Af [4] fremgår det også, at hvis al information på tidspunkt t afspejles af prisen, så vil eventuelle ændringer i prisen fremadrettet kun ske, hvis der indtræffer ny relevant information og I t+1 dermed bliver forskellig fra I t. I praksis er det dog ikke svært at forestille sig imperfektioner, der kan gøre, at det enkelte aktivs pris ikke nødvendigvis afspejler det fuldstændige informationssæt og der skelnes derfor også mellem tre forskellige grader af markedsefficiens, nemlig svag, semi-stærk og stærk. Den svage 7

form indebærer, at al historisk information til enhver tid må være inkorporeret i priserne. Det synes ikke urealistisk i praksis, på trods af stor diversitet blandt investorerne og deres informationskanaler. At priserne også til enhver tid vil afspejle al fremadrettet, offentlig tilgængelig information, hvilket kræves for eksistensen af semi-stærk efficiens, kan til gengæld betvivles af eksistensen af forhold som handelsomkostninger, skatter og omkostninger til indhentning af information. Hvis priserne allerede skulle afspejle al tilgængelig information, vil ingen således have incitament til selv at bekoste tilvejebringelse af information og medmindre information er omkostningsfrit, vil ingen så opnå kendskab til ny information, jf. informationsparadokset omtalt af Grossman & Stiglitz (1980). Den semi-stærke markedsefficiens kan altså betvivles og hvis ikke al offentlig tilgængelig information afspejles i priserne er der ligeledes grundlag for, at investorer med overlegne informationskanaler kan identificere overnormale afkastmuligheder. Det indebærer selvsagt også, at aktier kan være forkert prisfastsat i forhold til den systematiske risiko, de er forbundet med. Imperfektionerne kan således være en del af forklaringen på de teoretisk velfunderede modellers relativt dårlige forklaringsevne i hidtidige empiriske undersøgelser. Som omtalt i Elton et al. (2011) eksisterer der både studier, der støtter den semistærke markedsefficiens og studier, der påviser anomalier i aktieafkast, der ikke harmonerer med semi-stærk efficiens. Hvad angår random walk-hypotese delen af kravet til efficiente kapitalmarkeder, kan hypotesen testes ved [5]. For et efficient marked vil α=0 og β=1, så der ikke er en systematisk udvikling i aktiernes pris fra periode til periode og denne periodes pris dermed er det bedste bud på, hvad prisen vil være i næste periode. Desuden må ε t ikke udvise autocorrelation. p = α + β p + ε [5] t t 1 t Med udgangspunkt i data for de 439 enkeltaktier fra S&P500-indekset, der har været noteret gennem hele perioden 1. januar 2001-31. december 2010 er [6] til brug for indeværende fremstilling estimeret. De estimerede α og β i modellen er gennemsnit for de 439 enkeltaktiver og standardafvigelserne angivet under den estimerede model er standardafvigelser regnet for disse gennemsnit, som illustreret i appendiks 2. p t = 0,197 + 0,993 pt 1 ( 0, 0185) ( 0, 00197) [6] For de ledende amerikanske aktier de seneste 10 år må random walk-hypotesen ud fra [6] afvises ved ethvert rimeligt signifikansniveau og der ser ud til at være en gennemsnitlig stigning fra dag til dag på 0,197 kurspoints for den gennemsnitlige aktie. Som det fremgår af appendiks 2, kan residualerne ikke afvises at være serielt ukorrelerede, så den del af kravet til random walk-hypotesen kan ikke afvises at være opfyldt. Når random walk-hypotesen må afvises, kan det omvendt ikke afvises, at der er basis for at tilskrive noget af faktormodellernes dårlige forklaringsevne til en mispricing som følge af forudsigelige kursudviklinger. Selv når random walk-hypotesen afvises, som ved [6], kan kapitalmarkederne dog stadig godt leve op til EMH, hvilket vises i Lucas (1978), som også indeholder en omtale af det teoretiske grundlag for en kapitalmarkedsligevægt. Da EMH stadig kan være opfyldt på trods af testresultatet og testen endvidere er begrænset til en stikprøve af amerikanske aktier, skal ovenstående simple test 8

af random walk-hypotesen imidlertid kun betragtes som en indikation på, at markederne kan være inefficiente. Udover eksistensen af markedsimperfektioner af den ovennævnte type, kan forhold som irrationel investoradfærd og heterogene investorforventninger tilsvarende skabe problemer med etableringen af en model for kapitalmarkedsligevægt. Handler nogle investorer irrationelt og på baggrund af inefficiente heurestikker, i stedet for et systematisk analysearbejde, åbner det op for, at mispricing af aktiver kan ske mere end blot momentalt. Sådanne inefficiente heurestikker er i direkte modstrid med EMH og ikke mindst no-arbitrage argumentet bag APT. For indeværende fremstilling er det væsentlige fra den ovenstående diskussion, at der gennem resultaterne af tidligere studier kan stilles spørgsmålstegn ved en række centrale antagelser om funktionaliteten af virkelighedens kapitalmarkeder. Forudsigelige aktiekurser og irrationel adfærd illustrerer således forhold, som kan medvirke til asset pricing modellers ringe empiriske performance. Med det in mente bliver det interessante i en sammenligning af flere modeltyper, hvilken model, der bedst håndterer kendte anomalier og derigennem formår at forklare virkelighedens relative værdiansættelse af aktiver i et ex post perspektiv. 9

2.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM) Den i litteraturen oftest anvendte kapitalmarkedsligevægtsmodel er uden tvivl stadig CAPM. Derfor synes modellen også uundgåelig som referencemodel i en empirisk sammenligning af forskellige modeltyper. I det følgende vil CAPM blive introduceret i den oprindelige form, lige som der efterfølgende vil blive introduceret en betinget udgave. Modellen krediteres fortrinsvis Sharpe (1964) og Lintner (1965), som uafhængigt af hinanden udledte den afkastgenererende proces som værende styret af aktivernes samvariation med markedsporteføljen, som indeholder alle tilgængelige finansielle aktiver. Udgangspunktet for modellen er som nævnt i afsnit 2.1 Markowitz mean-variance framework, hvor investorerne opnår optimalt afkast under minimering af risikoen ved at bortdiversificere enkeltaktivernes usystematiske (idiosynkratisk) risiko. Ved brug af diversifikationsfordelene etableres en rand af efficiente porteføljer, hvorpå markedsporteføljen er at finde som porteføljen, der tangeres af CMLlinjen, der har skæringspunkt i den risikofrie rente som illustreret i figur 1. Figur 1 Den efficiente rand og CML-linjen Forventet afkast E(r m ) Tangentporteføljen CML Randen af efficiente porteføljer E(r f ) Kilde: Egen tilvirkning vol m Volatilitet Da CAPM forudsætter homogene forventninger hos investorerne, vil alle investorer købe markedsporteføljen, som er mean-variance efficient, og ud fra denne geare eller kun investere noget af formuen, alt efter deres individuelle risikoaversion. Risikopræmiedifferentieringen mellem de enkelte aktiver sker så ud fra deres systematiske risiko, da det grundet diversifikationsfordelene kun er systematisk risiko, der vil få betydning for porteføljens samlede risiko. Grafisk illustreres risikopræmiedifferentieringen ved en lineær sammenhæng mellem aktivernes β-værdi og forventede afkast, givet ved SMLlinjen i figur 2. β-værdien er defineret som aktivets covarians med markedsporteføljen sat i forhold til markedsporteføljens varians. Resultatet er en lineær model, hvor et aktivs forventede afkast udelukkende bestemmes af dets β og risikopræmien på markedsporteføljen er modellens enlige risikofaktor. 10

Figur 2 SML-linjen E( r i ) SML E(r m ) M RP m r f Kilde: Egen tilvirkning 1,0 Flere af CAPMs øvrige forudsætninger må også siges at være tvivlsomme i forhold til virkelighedens kapitalmarkeder og for at undersøge i hvor høj grad lempelse af de enkelte forudsætninger resulterer i forringet forklaringsevne, er CAPM også udledt eksempelvis med mulighed for heterogene investorforventninger, med skatter og uden mulighed for short sales. Modellen har vist sig robust overfor lempelse af de fleste forudsætninger enkeltvis og det faktum kombineret med modellens stærke intuition kan få de restriktive forudsætninger til at virke acceptable, hvilket omtales yderligere af Elton et al. (2011). Værd at bemærke er det dog, at CAPM i udgangspunktet kun er en én-periodemodel og for at kunne bruge den som multiperiodemodel må der gøres antagelser, der kan omsættes til, at modellens fejlled er uafhængige og identisk fordelte (i.i.d.) i tidsdimensionen, dvs. fra periode til periode. Perioβ i Som omtalt i afsnit 2.1 kan CAPM betragtes som en afskygning af [2], hvorfra diskonteringsfaktoren m, som angivet i nedenstående [7] i CAPM, er en linearkombination af risikopræmien på markedsporteføljen. I forhold til den forbrugsbaserede model, er der ved CAPM tale om, at risikopræmien på markedsporteføljen anvendes som proxy for marginalnyttevækst, i stedet for forbrugsvæksten. m = α + β RP [7] t+ 1 1 Mt, + 1 For at nå fra ligning [2] til brug af markedsporteføljen som faktor i prisfastsætningen af aktiverne, kræves der et sæt af mere restriktive forudsætninger. En af de restriktive forudsætninger er, at alle investorer både kan foretage ind- og udlån til den risikofrie rente. Realismen heri kan betvivles og bl.a. Black, Jensen & Scholes (1972) finder estimater for den risikofrie rente, der ligger over ethvert rimeligt niveau og det er derfor en forudsætning, der ofte lempes. I stedet antages eksistensen af et zero-beta aktiv, dvs. et aktiv, der er ukorreleret med markedsporteføljen og dermed ikke indeholder nogen systematisk risiko, i lighed med det risikofrie aktiv i Sharpe-Lintner udgaven af CAPM. I forhold til Sharpe- Lintner udgaven af CAPM opskrevet i [8], udskiftes r f med r z for at have zero-beta-udgaven. ( im) cov, E ( ri) = rf + βi( E ( rm ) rf ), hvor βi = [8] σ 2 M 11

delængden af denne ene periode er ikke direkte givet af teorien og fastlægges i stedet indirekte ved valg af datafrekvens i test af modellen. Benyttes således kvartårlige observationer, som i kapitel 5, forudsættes indirekte, at investorernes investeringshorisont er 3 måneder, i løbet af hvilke, de ikke rebalancerer porteføljen. Når periode 2 er uafhængig af den foregående kan perioderne adderes fordi investorerne ikke har behov for at ræsonnere anderledes end de forventes at gøre i CAPMframeworket med 1 periode. Resultatet er altså, at CAPM også kan bruges som multiperiodemodel og derfor også kan testes som en sådan, hvilket vil ske i denne fremstillings kapitel 5. 2.3.1 Testbare implikationer For netop at kunne teste modellen må man gøre sig klart, hvad modellens testbare implikationer er og hvilke konklusioner, der kan drages på baggrund heraf. Test af modellen kræver, at der kan observeres data for såvel den afhængige som den uafhængige variabel i modellen, hvilket for CAPM vil sige det forventede afkast på henholdsvis det enkelte aktiv og markedsporteføljen. Forventede afkast er dog fremtidige af natur og kan derfor ikke observeres, hvilket umuliggør en direkte test af sammenhængen mellem forventede afkast og aktivernes β-værdier. I praksis løses dette ved at benytte realiserede afkast i stedet for forventede afkast. Det kan retfærdiggøres ved at antage, at de gennemsnitlige forventninger på lang sigt er korrekte og dermed lig de realiserede afkast. Alternativt kan brugen af realiserede afkast legitimeres ved en sammenskrivning af CAPM og markedsmodellen under antagelse af stabile β-værdier og at begge modeller holder i alle perioder, som vist i Elton et al. (2011). Ved brug af realiserede afkast, bliver modellen, der testes [9]. ( ) r = r + β r r [9] i f i M f Givet, at realiserede afkast kan anvendes til test, i stedet for forventede afkast, bliver modellens fire primære, testbare implikationer følgende: 1. Desto højere β et aktiv er forbundet med, desto højere afkast skal det give. 2. Der er omvendt ikke højere afkast forbundet med højere idiosynkratisk risiko, da denne ifølge teorien kan bortdiversificeres. 3. Afkast-risiko tradeoff et er lineært, hvilket betyder, at sammenhængen mellem afkast og β er lineær. 4. Testes Sharpe-Litner-udgaven af CAPM, skal afkastet på et aktiv med β=0 være lig renten på et risikofrit aktiv, r f, svarende til modellens konstantled. Flere forskellige metoder eksisterer til estimation af modellen, men i indeværende fremstilling anvendes OLS regression i to trin og hypoteserne vil derfor blive beskrevet med udgangspunkt i denne metode, som beskrives nærmere i kapitel 4. Den første implikation testes ved, om der estimeres en positiv regressionskoefficient på β i en cross-sectional regression. At der ikke er en risikopræmie forbundet med idiosynkratisk risiko kan testes ved at inkludere standardafvigelsen af residualerne fra tidsserieregressionen (s(ε i )) som faktor i cross-sectional regressionen og teste signifikansen af dette led på samme måde som for β-værdierne. Som omtalt af Miller & Scholes (1972) risikerer man dog at finde en signifikant residual-faktor, hvis de sande, men uobserverede β-værdier er positivt korrelerede med den risiko, som de observerede β-værdier ikke opfanger og som derfor optræder i s(ε i ). 12

At sammenhængen mellem afkast og β er lineær kan testes ved at inkludere β 2 sammen med β i modellen, for at teste om der skulle være en signifikant sammenhæng, som ikke er lineær. Det er tilfældet, hvis β 2 er signifikant forskellig fra 0. Testen af, om konstantleddet er lig den risikofrie rente er selvsagt implicit en test af forudsætningen om eksistensen af et risikofrit aktiv og det er som sagt netop, hvad Black, Jensen & Scholes (1972) er kendt for at afvise. Det bemærkes dog, at hvis modellen opstilles med excess returns i stedet for de fulde afkast som afhængig variabel, bliver kravet til konstantleddet i stedet, at det skal være lig 0. Roll (1977) stiller dog med sin kritik af test af CAPM spørgsmålstegn ved, om modellen overhovedet kan testes. Kritikken indebærer, at CAPM i sidste ende ikke kan valideres, da den ikke kan testes. Roll viser således, at CAPM per konstruktion vil holde, hvis den portefølje der benyttes som proxy for markedsporteføljen findes mean-variance efficient ex post, og β-værdierne er udregnet på baggrund af denne. Derfor bliver en test af CAPM en test af mean-variance efficiensen af proxyen for markedsporteføljen i stedet for en test af CAPM. Denne teoretiske betragtning er ikke mindre interessant, når CAPM ses i forhold til APT, da det for test af APT ikke er nødvendigt at definere nogen sand markedsportefølje. APT undviger således Rolls kritik i modsætning til CAPM, hvad angår muligheden for at teste teorien. Som det vil fremgå af nedenstående afsnit 2.4 er kritikken dog stadig værd at have i baghovedet i forhold til en APT-model, da man med a priori uidentificerede faktorer har al mulighed for at finde en in-sample mean-variance efficient portefølje, som så vil rammes af Rolls kritik. Uanset kritikken af den manglende mulighed for overhovedet at teste modellen, praktiseres test af CAPM til stadighed, i nogle tilfælde med markedsporteføljer bestående af flere typer af aktiver end blot aktier. Nærmest alle tests, der inkluderer nyere data er dog ikke specielt nådefuld overfor CAPM, der sågar er erklæret død efter udgivelsen af Fama & French (1992). Teoriens ringe forklaringsevne i empiriske studier har kun øget jagten på bedre alternativer. Med udgangspunkt i fundne anomalier, som CAPM ikke kan forklare, er flere alternative risikofaktorer identificeret, så som momentum fra Carhart (1997) og ikke mindst size og value fra Fama & French (1993). 2.3.2 Betinget CAPM Et alternativ til at identificere ekstra risikofaktorer på baggrund af anomalier er at benytte sig af betingede/scalede modeller, hvor markedsfaktoren betinges på en variabel, der er relateret til den generelle økonomiske situation. Koblingen til investorernes adfærd er, at når investor forventer højkonjunktur forventer han samtidig højere afkast på hans samlede formue fremadrettet, hvorfor hans generelle risikoaversion vil være lavere i gode tider end i dårlige tider. Dermed også sagt, at investor generelt vil kræve lavere risikopræmier fra de finansielle aktiver, når der forventes en forbedret økonomisk situation i forhold til, hvis der forventes en forværret økonomisk situation. Den variabel, der skal fungere skalerende for modellens faktor, som i CAPM-sammenhæng er markedsfaktoren, må være en variabel, der ændres i takt med ændret risikoaversion. For modellens diskonteringsfaktor, m, vil brug af en scaling-variabel betyde, at koefficienterne i linearkombinationen nu vil blive tidsvarierende jf. linearkombinationen for en betinget CAPM i [10]. m = α + β RP [10] t+ 1 t 1 t Mt, + 1 13

Forskellige variable, der er forbundet til de økonomiske konjunkturer kan tænkes at fungere som scaling-variable. Jagannathan & Wang (1996) genopliver således CAPMs forklaringsevne ved at benytte rentespændet mellem BAA og AAA-ratede obligationer som scaling-variabel og afviser samtidig, at size-variablen fra Fama & French (1993) har nogen betydning i en model med den betingede markedsfaktor inkluderet. En anden scaling-variabel, der synes at give en model, der har en klar økonomisk fortolkning, er cay fra Lettau & Ludvigson (2001a). Intuitionen bag at bruge netop cay til scaling af markedsfaktoren er, at cay er et superkonsistent estimat for consumption-aggregate wealth ratioen altså forholdet mellem forbrug og aggregeret formue. Netop forholdet mellem forbrug og aggregeret formue kan betragtes som en indikator for, hvordan investorerne, gennem justeret forbrug nu, forsøger at udjævne deres marginalnytte fremadrettet. Hvis ratioen stiger og investorerne således forbruger mere i forhold til deres samlede velstand, må de forvente øget fremtidigt afkast på den aggregerede formue, som følge af forbedrede forhold i det økonomiske klima. Med andre ord, må afvigelser fra den fælles trend-udvikling i forbrug og aggregeret formue ud fra denne argumentation kunne forecaste, om der forventes højere eller lavere risikopræmier end normalt. Som proxy for denne ratio, benyttes cay som scaling-variabel. På ligningsform kan sammenhængen mellem cay og consumptionaggregate wealth approksimativt skrives som i [11]. C t ln = ln ln = ln ln 1 ln Wt ln C ln A 1 ln Y = cay ( C ) ( W ) ( C ) ω ( A ) ( ω) ( H ) t t t t t ( ) ω ( ) ( ω) ( ) t t t t [11] Da humankapital (H), som sammen med finansielle aktiver (A) udgør den aggregerede formue (W), er uobserverbar, benyttes arbejdsindkomst (Y) som proxy for humankapital-delen af den aggregerede formue. I forhold til CAPM-teorien er det interessante ved cay naturligvis, at modellens forklaringsevne kan forbedres markant, når markedsfaktoren betinges på cay som vist i Lettau & Ludvigson (2001b). Når modellen skal estimeres, formuleres modellen til en ubetinget model, hvor der, som vist i [12], er 3 faktorer, hvilket omtales yderlige i metodekapitlet. ( ) ( ) r r = α + β cay + β r r + β cay r r [12] i, t+ 1 f, t+ 1 i i1 t i2 m, t+ 1 f, t+ 1 i3 t m, t+ 1 f, t+ 1 Med [12] og [9] haves altså to forskellige modeller med udgangspunkt i CAPM-teorien og begge disse vil indgå i den empiriske analyse. Interessant bliver det, om der i den empiriske analyse kan findes scaling-variable, der både teoretisk og empirisk kan fungere som scaling-variabel. Inden analysen vil det teoretiske fundament for APT blive præsenteret i det følgende afsnit. 14

2.4 Arbitrage Pricing Theory (APT) I afsnit 2.3 blev det beskrevet, hvordan CAPM teoretisk bygger på mean-variance optimering og, at der ud fra CAPM kan udledes alternative modeller, der søger at løse problemet med dårlig performance rent empirisk. Som nævnt er det dog ikke kun den ringe forklaringsevne, men også de restriktive forudsætninger, som CAPM kritiseres for. Det søger APT at gøre op for. Arbitrage Pricing Theory (APT) af Ross (1976) er en model af no-arbitrage typen, hvor det hverken er nødvendigt med forudsætninger om kvadratiske nyttefunktioner eller eksistensen af én samlet markedsportefølje. Til forskel fra CAPM tillader APT, at investorerne overvejer andet end mean-variance optimering i sammensætning af deres portefølje og modellen anses derfor normalt som mindre restriktiv og mere generel end CAPM. Umiddelbart synes der altså at være argumenter for, at APT burde have bedre omdømme end CAPM, men et problem ved APT er, at teorien efterlader risikofaktorerne uidentificeret og ikke uden yderligere forudsætninger resulterer i en model, der kan sammenlignes med CAPM. Nogle af de eneste betydelige forudsætninger bag den grundlæggende APT er, at der generelt ikke eksisterer arbitragemuligheder og, i lighed med CAPM, at investorerne har homogene forventninger. Modellen udledes som sagt ud fra no-arbitrage argumentet og da det afviger fundamentalt fra meanvariance optimeringen bag CAPM, vil udledningen blive skitseret i appendiks 6. Som det fremgår af appendiks 6, udledes APT med udgangspunkt i en arbitrageportefølje kendetegnet ved, at porteføljevægtene summer til 0, så den er likviditetsneutral. Hvis denne arbitrageportefølje ydermere sammensættes, så den ikke indeholder systematisk risiko, vil det forventede afkast på den være 0, ved fraværet af arbitragemuligheder. Ud fra disse argumenter viser Ross (1976) endvidere, at CAPM kan vises som et specialtilfælde af APT, hvis den afkastgenererende proces forudsættes at kunne beskrives ved den lineære sammenhæng mellem afkast og et sæt af uidentificerede faktorer, givet i [13]. Her er E(r i ) det forventede afkast på en portefølje uden systematisk risiko, hvor porteføljevægtene summer til 1. ( ) β ε, 1..., 1... r = E r + f + i = n j = m [13] i i ij j i Et problem ved APT, som ikke fremgår direkte af udledningen i appendiks 6, er dog, at sammenhængen i princippet kun er eksakt, når antallet af tilgængelige aktiver er uendeligt. APT er altså strengt taget kun en approksimativ model, når der, som på virkelighedens kapitalmarkeder, er et endeligt, om end meget stort, antal aktiver. En approksimativ sammenhæng kan ikke testes i praksis, men Dybvig (1985) og Grinblatt & Titman (1985) viser, at afvigelsen fra en approksimativ version til den eksakte sammenhæng ikke har overvældende betydning i praksis. Derfor antager eksempelvis Campbell, Lo & MacKinlay (1997), at sammenhængen kan benyttes eksakt. Derved er alle problemer dog ikke ryddet af vejen for test af APT, for hvordan testes en model med uidentificerede faktorer? Risikofaktorerne må altså først identificeres og til det formål findes en række forskellige fremgangsmåder, der hver især lægger forskellige antagelser ned over APT-teorien. De typiske metoder til identifikation af risikofaktorerne er: 1. Simultan estimation af risikofaktorer og faktor loadings ud fra faktoranalyse af aktivernes afkast. 2. A priori bestemte risikofaktorer med baggrund i økonomisk teori. 3. Identifikation af risikofaktorer ved principal components analyse af variable, der teoretisk kan tænkes at påvirke den afkastgenererende proces. 15

I den første omfattende test af APT foretaget af Roll & Ross (1980) anvendes simultan estimation af risikofaktorer og faktor loadings og de finder 3-4 faktorer generelt tilstrækkeligt til at forklare daglige afkast på 42 porteføljer á 30 aktiver i perioden 1962-1972. Modellen, hvor de estimerede faktorloadings, β ij, indsættes, er givet i [14] og svarer til cross-sectional regressionen i trin 2 af OLS-estimation af CAPM. Lige som for CAPM erstattes forventede afkast af observerede afkast ved selve estimationen. ( ) γ0 γ β, 1,..., 1,..., E r = + i = n j = m [14] i j ij Den store udfordring ved denne fremgangsmåde er dog, at faktorernes identitet bliver bestemt ud fra, hvilken type aktiver, der loader højt på de enkelte faktorer og det bliver således ikke uden betydning hvor bredt et spektre af aktiver, der er repræsenteret i det datasæt, der benyttes som input i faktoranalysen. Samtidig er det generelle problem ved denne fremgangsmåde, at størrelsen af alle β-værdier kan halveres eller fordobles og de tilhørende γ-værdier omvendt, uden det vides, om modellen er mere rigtig eller forkert af den grund. Selv når man har en idé om, hvad de enkelte risikofaktorer repræsenterer, vides det ikke a priori i hvilken størrelsesorden risikopræmien skal være. Det indbyrdes skaleringsforhold mellem β og γ vil være arbitrært bestemt og den eneste hypotese, der reelt lader sig teste ved en model estimeret ved denne metode, er om den pågældende risikofaktor er signifikant priced eller ej. Man kan desuden frygte en tendens til data snooping, hvis man først identificerer faktorerne på baggrund af nogle porteføljeafkast og derefter tester, om de fundne faktorer indsat i en APT-model kan forklare selvsamme porteføljeafkast i samme periode. Der er således intet, der garanterer, at fundne faktorer er vedvarende og vil være priced i senere perioder, hvis faktorerne ikke også kan begrundes teoretisk. Ved i stedet at anvende a priori bestemte faktorer undgås en del af de ovennævnte problemer, specielt hvis de valgte faktorer er makroøkonomiske variable med en intuitivt rimelig sammenhæng med aktieafkast. Det i litteraturen mest omtalte eksempel på denne fremgangsmåde er Chen, Roll & Ross (1986), hvor ændringer i rentestrukturen, risikopræmiespænd på obligationer, inflation og industriel produktion findes signifikante i en multifaktor APT. Omvendt findes hverken en markedsporteføljeproxy, forbrugsvækst eller oliepriser signifikante. Estimation af APT efter denne fremgangsmåde ender med en model af samme form som [14]. Metoden til at udvælge, hvilke makroøkonomiske faktorer der kan tænkes interessante, omtales i forbindelse med dataafsnittet 3.1. Den tredje metode til identifikation af faktorerne kan betragtes som et kompromis mellem de to førnævnte og oftest refererede metoder. Ved at uddrage faktorerne fra et sæt af relevante økonomiske variable, i stedet for afkast på finansielle aktiver, bliver det nemmere at tildele de udtrukne faktorer en klar økonomisk fortolkning og modellen vil bære mindre præg af ad hoc fiskeri efter signifikante faktorer. Metoden benyttes af Ludvigson & Ng (2007), som udtrækker 8 makroøkonomiske og 8 finansielle faktorer fra to store paneldatasæt. Foruden at tildele disse faktorer en klar økonomisk fortolkning, bliver udfordringen i denne metode at finde frem til, om der overhovedet er nogle af disse faktorer, der har forklaringsevne i en APT-model. Ludvigson & Ng finder både to makroøkonomiske og to finansielle faktorer, der findes signifikante. Det må dog bemærkes, at hovedparten af variablene der indgår i deres finansielle paneldatasæt er porteføljeafkast og faktorerne fra dette datasæt er altså fundet ved en metode, der minder om Roll & Ross (1980) metode. 16

2.4.1 Kritik af APT Interessant i forhold til valg af metode til identifikation af faktorer er det ikke alene, om de identificerede faktorer resulterer i en høj in-sample forklaringsevne, men også om de har den omtalte bagvedliggende økonomisk intuition, der giver grund til at tro på, at faktorerne er vedholdende. Kritikken fra Roll (1977), er her relevant for APT i forhold til vurdering af, om der er grund til at betragte fundne faktorer som fundamentale risikofaktorer. Rolls kritik kan nemlig også formuleres som, at man altid kan finde en portefølje, der in-sample er mean-variance efficient og det derfor teoretisk set altid vil være muligt at finde en portefølje, der som faktor i APT kan opnå perfekt forklaring in-sample. Men out-of-sample er der derimod ingen sikkerhed for, at netop denne portefølje performer bedre i en faktormodel end andre faktorer. Rolls kritik er derfor essentiel at have i baghovedet, hvis man gennem en høj in-sample forklaringsevne synes at have fundet den sande risikofaktor med perfekt forklaringsevne. En multifaktor model som APT har netop mulighed for at opnå en høj in-sample forklaringsevne, da teorien ikke begrænser faktorernes identitet eller antal. Det bemærkes dog, at antallet af faktorer ikke i selv nødvendigvis giver mulighed for bedre forklaringsevne, da enhver multifaktormodel kan omskrives til en én-faktormodel jf. eksemplet i [15], hvor 3 faktorer omskrives til 1. Hvis de enkelte faktorer skal bevare en klar økonomisk fortolkning, er en sammensmeltning til én faktor dog oftest uinteressant, og i så fald vil en multifaktormodel selvsagt have bedre mulighed for at opnå en høj forklaringsevne end hvis kun én faktor tillades, hvilket omtales yderligere i Cochrane (2005). β2 β 3 R i = α + β1 x1+ β2 x2 + β3 x3 = α + β1 x1+ x2 + x3 = α + β1 x β1 β1 3 [15] Som udtrykt i Fama (1991) er der dog fare for, at modeller som APT, hvor faktorerne a priori er uidentificerede, kommer til at fungere som fishing licenses. Denne fare opstår, hvor det eneste succeskriterium er en høj in-sample forklaringsevne, når der søges efter faktorer, der som linearkombination kan repræsentere den sande diskonteringsfaktor fra ligning [2]. Som et værn mod at ende med udelukkende at fiske efter den in-sample mean-variance efficiente portefølje som faktor(er), i eksempelvis APT, er det derfor essentielt, at den faktorrepræsentation af diskonteringsfaktoren, der opstilles, ikke kun er empirisk, men også teoretisk funderet. I forhold til APT er lektien af Rolls kritik derfor, at faktorer udtrukket fra et panel af makroøkonomiske og finansielle variable kun for alvor er interessante i APTsammenhæng, hvis de har en klar økonomisk fortolkning. Modeller som Fama & Frenchs 3-faktor model, Fama & French (1993), kan netop kritiseres for ikke at indeholde faktorer, der bygger på generelle økonomiske sammenhænge, men som i stedet er resultatet af in-sample fiskeri. De forsvarer dog deres HML- og SMB-faktorer som værende mimicking portfolios for underliggende makroøkonomiske faktorer. Performancemæssigt er fordelen ved mimicking portfolios, at de sagtens kan være højere korreleret med de sande makroøkonomiske faktorer end de tilgængelige rå dataserier for de pågældende faktorer, da disse kan tænkes behæftet med målefejl. Rene R 2 -sammenligninger mellem modeller med mimicking portfolios og modeller med konkrete makroøkonomiske variable som faktorer, må derfor tages med et gran salt, da de stramt definerede makro-faktorer ikke har samme mulighed for at tilpasse sig den enkelte stikprøve. Som fremhævet af Cochrane (2006) kan de makroøkonomiske modeller derfor betragtes som dem, der skal finde frem til de underliggende årsager til, at faktorer som HML og SMB bliver prisfastsat, så de sande risikofaktorer kan identificeres. 17

Uanset hvilken type af faktorer der benyttes i APT, er der tale om et framework, der giver mulighed for eksistensen af andre kilder til risiko end samvariation med markedsporteføljen, som i CAPM. Det har dog ikke ført til nogen form for enighed om, at andre faktorer er de sande risikofaktorer. Det er langt fra entydigt, om det er mean-variance eller no-arbitrage, der giver den bedste forklaringsevne på virkelighedens kapitalmarkeder, hvilket understreger det interessante i en sammenligning af forskellige modeltyper, når de har en relevant økonomisk fortolkning. 2.5 Opsamling på det teoretiske fundament Gennem ovenstående fire delafsnit er det teoretiske fundament for besvarelse af fremstillingens overordnede problemstilling gennemgået. Som opsummering på gennemgangen kan følgende kernepunkter opstilles og disse vil ligge til grund for setuppet af den empiriske analyse. CAPM- og APT-modeller kan begge udtrykkes som specialtilfælde af den basale model fra afsnit 2.1 og er dermed brugbare frameworks til at søge efter egnede proxyer for den uobserverbare marginalnytte. Der søges stadig efter asset pricing modeller, der kan levere en mere tilfredsstillende kombination af økonomisk intuition og robust forklaringsevne af den afkastgenererende proces. Høj in-sample forklaringsevne er ikke interessant for den finansielle teori, hvis risikofaktorerne udelukkende er sample-specifikke. Det understreger betydningen af at vurdere asset pricing modeller ud fra forskellige kriterier og i forskellige analysesetups. Makroøkonomiske variable, i deres rå, observerbare form, kan være så slørede udtryk for den sande udvikling i variablene, at det kan være plausibelt at udtrykke variablene på anden vis, end ved de observerbare serier. Det kan eksempelvis være i form af principale komponenter fra en faktoranalyse. I de følgende kapitler om analysens datagrundlag, metode og resultater, vil disse kernepunkter kunne genfindes og de fungerer således som pejlemærker for strukturen i analysen. 18

3. Datagrundlag Efter gennemgang af det teoretiske grundlag for fremstillingens undersøgelsesdesign, er formålet med indeværende kapitel at beskrive de data, der vil blive anvendt i de empiriske analyser og ikke mindst, hvilken behandling der er sket af de indsamlede data. Dette sker med henblik på at synliggøre reliabiliteten i undersøgelsesdesignet og herunder specielt kravet til videnskabelige analyser, om muligheden for at genskabe analyserne. De benyttede data kan overordnet inddeles i forskellige grupper. I APT-sammenhæng foretages en faktoranalyse og de indsamlede data til denne kan inddeles i makroøkonomiske og finansielle tidsserier. Derudover anvendes aktieporteføljeafkast som afhængig variabel i alle modeltyper og endeligt anvendes uafhængige variable som markedsrisikopræmien, size, value og scaling-variablen cay. Gennemgående for dataene er, at der tale om data fra det amerikanske marked, som også anvendes i de oftest citerede tests af modellerne som CAPM og APT. Udover, at det amerikanske marked selvsagt er et af de vigtigste kapitalmarkeder, er det ligeledes det marked, for hvilket tilgængeligheden af makroøkonomiske og finansielle dataserier er klart størst. Udover den geografiske fokus er der også nødt til at være konsistens i frekvensen af de anvendte data. I litteraturen ses oftest månedlige observationer anvendt, men kvartårlige observationer er heller ikke unormalt, specielt i forhold til makroøkonomisk funderede asset pricing modeller, som i Lettau & Ludvigson (2001b). Nogle makroøkonomiske serier som eksempelvis BNP findes kun ned til kvartårlig frekvens, hvilket også er gældende for scaling-variablen cay, hvorfor det vælges gennemgående at bruge kvartårlige observationer. Det minimerer selvsagt antallet af mulige observationer i forhold til anvendelse af månedlig frekvens, men det vurderes ikke at være af afgørende betydning for analysens relevans. Som analyseperiode er valgt perioden 1960-2010, hvilket giver omtrent 200 observationer i hver tidsserie. Forsøger man at inddrage ældre data begynder det at gå ud over mængden af tilgængelige makroøkonomiske serier til panel datasættet og i dette trade-off vælges det at vægte et rigt panel af dataserier over forlængelse af analyseperioden. I de følgende afsnit vil de enkelte grupper af data blive beskrevet hver for sig og i den forbindelse også de transformationer af de rå data, der er foretaget for at tilpasse dem til det aktuelle analyseformål. De overordnede rammer for de anvendte data kan resumeres ved tabel 1. Tabel 1 Rammer for den empiriske analyse ANALYSEPERIODE: 1960-2010 MARKED: USA DATAFREKVENS: Kvartårlig DATAGRUPPER: - Serier til faktoranalyse - Aktieporteføljeafkast - Forklarende variable til de traditionelle modeller 19

3.1 Panel data til principal component faktoranalyse Til første led i estimationen af en makroøkonomisk APT, anvendes et panel af makroøkonomiske og finansielle variable. I Ludvigson & Ng (2007) nævnes, at metoden med fordel kan udføres med paneler bestående af op mod 1000 variable, men de begrænser sig selv til 368. En naturlig begrænsning for antallet af dataserier til denne fremstillings analyse er tilgængeligheden af relevante dataserier, der strækker sig over hele analyseperioden, dvs. tilbage til 1960. Det er i udvælgelsen af variable prioriteret, at serierne findes at have en vis relevans for forklaringen af afkast på aktier, frem for udelukkende at fokusere på at opnå et så rigt panel som muligt. Det har resulteret i et balanceret panel bestående af 82 serier med 202 observationer i hver serie, svarende til observationer fra 2. kvartal 1960 til 3. kvartal 2010. En liste over serierne er at finde som bilag 3, hvor kilden til de enkelte serier også fremgår. For de teoretiske overvejelser vedrørende transformation af de forskellige typer af serier, henvises til metodeafsnittet 4.1.1. Udvælgelsen af de makroøkonomiske og finansielle variable er som sagt sket med øje for teoretisk relation til aktiekurserne og som beskrevet i Chen, Roll & Ross (1986) kan en sådan relation opstå, hvis variablen enten påvirker de fremtidigt forventede dividender fra aktien eller diskonteringsrenten, hvormed dividenderne tilbagediskonteres, jf. følgende udtryk for aktiekurser. t= 1 ( ) E Divt Aktiekurs = [16] t ( 1+ rdiskontering ) De fremtidige dividender vil dels være påvirket af, hvor godt det går det bagvedliggende selskab og dels af, hvad de nominelle dividender er værd i tilbagediskonterede, reale termer. Ud fra gængs makroøkonomisk teori synes det rimeligt at antage, at forhold som generel økonomisk aktivitet, produktivitet og prisudviklingen vil påvirke de fremtidigt forventede dividender og dermed være relevante for forklaringen af udviklingen i aktiekurser. Under disse meget brede kategorier er der mulighed for at forsøge at inddrage variable, der på forskellig vis er forbundet til de direkte kausale sammenhænge mellem selskabernes dividender og ændringer i de makroøkonomiske forhold. Diskonteringsrenten kan åbenlyst tænkes påvirket af ændringer i forhold som renteniveauet, rentestrukturen og rentespændet mellem sikre obligationer (AAA-rated) og mere usikre obligationer (BAArated), da ændringer i disse generelt også vil påvirke de alternative forrentninger, som investor kan opnå ved at investere sine midler andetsteds, end i en given aktie. Ser man endvidere på investors valg mellem at forbruge nu og forbruge senere, som styres af marginalnytten, må en ændret grad af risikoaversion også forventes at have indvirkning på, hvor stor en risikopræmie investor vil kræve for at udskyde forbruget til senere og i stedet investere formuen nu. Ændringer i risikoaversionen kan tænkes at være korreleret med ændringer i real-forbruget og således synes forbrugsvariable også relevante at inddrage i datasættet. Der er altså brede grupper af variable så som økonomisk aktivitet, prisindeks, renteforhold og forbrug, der kan tænkes at kunne bidrage med forklaringsevne i modelleringen af den afkastgenererende proces i et APT-framework. Indenfor de forskellige kategorier er der i panel datasættet inkluderet variable, der i høj grad minder om hinanden og i bund og grund er udtryk for det samme. Årsagen hertil er relateret til problemet med, at makroøkonomiske data ikke på samme måde som aktiekurser reagerer øjeblikkeligt på ny information og de sande udsving i variablene derfor kan sløres af støj. Det kan derfor være nødvendigt med flere variable, der måler samme variabel for at øge muligheden for at 20

identificere de sande udviklinger i serierne. Udover at medtage variable indenfor de nævnte kategorier, er der også medtaget variable, der relaterer sig til aktiernes attributter, så som Fama & Frenchfaktorerne size og value, momentum-faktoren, P/E-ratio og P/Div-ratio, da de i andre studier har udvist signifikant forklaringsevne. Som nævnt er det imidlertid væsentligt at have in mente, at de faktorer, der udtrækkes på baggrund af panel datasættet skal kunne tildeles en så klar økonomisk fortolkning som muligt for, at det resulterende modelfit bevarer teoretisk relevans og ikke blot bliver et udtryk for data snooping. Muligheden for at tolke de udtrukne faktorer vil derfor have høj prioritet i analysen og der inddrages af samme årsag ikke porteføljeafkast i datasættet, modsat eksempelvis Ludvigson & Ng (2007), hvis mål, i parentes bemærket, også er forecasting og ikke forklaring af afkast. 3.2 Afkastserier Hvor de makroøkonomiske og finansielle serier først indgår i en faktoranalyse af typen principal components og derefter indirekte også indgår i regressionsanalyserne gennem de udtrukne faktorer, er det først i forbindelse med regressionsanalysen, at afkastserierne fra de amerikanske aktiemarkeder inddrages. Som afhængig variabel i såvel tidsserieregressionerne som cross-sectional regressionerne, jf. metodebeskrivelsen i kapitel 4, benyttes afkast på porteføljer af aktier eller alternativt afkast på enkeltaktier. For at undgå det såkaldte errors-in-variables problem, der ligeledes omtales nærmere i kapitel 4, er den typiske fremgangsmåde at anvende porteføljeafkast, hvilket derfor også er valgt til analyserne i denne fremstilling. Brugen af porteføljeafkast nødvendiggør selvsagt stillingtagen til, på hvilken baggrund porteføljerne af aktier skal konstrueres. Vælges det blot at danne porteføljerne tilfældigt, risikerer man at variationen i enkeltaktiernes afkast og risiko udjævner hinanden indenfor de enkelte porteføljer, hvilket er særdeles problematisk for OLS regression, da det i yderste konsekvens betyder, at man reelt kun har 1 observation med gennemsnitlig afkast og risiko. For at opnå tilstrækkelig variation mellem de enkelte porteføljer er det derfor nødvendigt at sammensætte dem på baggrund af kriterier, der forventes at være forbundet med forskelle i afkast og risiko. I litteraturen ses inddeling ofte at ske på baggrund af nogle af de anomalier, som er identificeret på baggrund af CAPM, da de jo netop er kendetegnet ved at påvirke risikopræmiedifferentieringen i modstrid med, hvad den statiske CAPM implicerer. Nogle af de mest vedholdende anomalier er i den forbindelse market equity (size) og book-to-market-ratio (value), som udgør de to ekstra faktorer i Fama & Frenchs 3-faktormodel fra Fama & French (1993). Netop 3-faktor-modellen er på det nærmeste blevet et benchmark for, hvor godt modeller skal forklare den afkastgenererende proces, hvis de skal betragtes som fremskridt i forskningen og denne betydning kan genfindes i brugen af deres faktorer som porteføljeinddelingskriterier i senere fremsat forskning i moderne porteføljeteori, bl.a. i Lettau & Ludvigson (2001b). Det er valgt at benytte samme inddelingskriterier her og der anvendes derfor porteføljeafkast på de klassiske 25 Fama/French-porteføljer, som er skabt på baggrund af alle aktier på NYSE, AMEX og NAS- DAQ. Porteføljeafkastene er offentligt tilgængelige på K. Frenchs Dartmouth-hjemmeside 1. Da der er forskellige måder at vægte afkastene for enkeltaktierne i porteføljerne, må det nævnes, at der er valgt de værdivægtede (value-weighted) afkast til analyserne i denne fremstilling. De 25 size-value inddelte porteføljer vælges suppleret af 17 industriporteføljer ligeledes skabt på baggrund af alle aktier på NY- SE, AMEX og NASDAQ, fra samme kilde. Inddelingen i porteføljer på baggrund af industrier sker ud fra en betragtning om, at virksomheder indenfor samme industri bliver påvirket af nogenlunde samme makroøkonomiske forhold, mens der mellem brancher kan være stor forskel på, eksempelvis hvor 1 http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html 21

følsom man er overfor ændringer i forbruget, renteniveauet etc. Hvis investorernes afkastkrav, som forudsat i den basale forbrugsbaserede model, fastlægges ud fra et ønske om udjævning af forbrug over livet, er det dermed også sagt, at brancher, der korrelerer forskelligt med de økonomiske konjunkturer, vil blive udsat for forskellige afkastkrav og dermed vil skabe den nødvendige heterogenitet i afkast/risiko mellem porteføljerne. Et interessant studie, der motiverer brugen af industriporteføljer til at supplere de 25 size/value-sorterede porteføljer, er Lewellen, Nagel & Shanken (2010). De viser, at hvis testene af de traditionelle modeller udvides fra de 25 size/value-porteføljer til også at omfatte 30 industrisorterede porteføljer, falder modellernes forklaringsevne markant. Problemet ved kun at anvende de 25 førstnævnte porteføljer, som ellers har været normen, er, at faktorstrukturen i porteføljeafkastene her er så stærk, at Fama & French SMB og HML-faktorer stort set kan forklare al tidsvariationen i de 25 porteføljer og andre faktorer korreleret med SMB og HML, derfor opnår det samme. Suppleres de size/value-sorterede porteføljer med alternativt sorterede porteføljer, er idéen, at faktorstrukturen i porteføljeafkastene bliver mindre tydelig og modellernes forklaringsevne dermed for alvor bliver testet. En høj forklaringsevne bliver derved sværere at opnå og korrelation med de 2 mimicking portfolios i form af SMB og HML er ikke længere givet at ville medføre en høj forklaringsevne. Foruden porteføljeafkastene som afhængige variable, skal der til test af CAPM også bruges en serie for markedsporteføljen. Som omtalt i kapitel 2 kan den sande markedsportefølje ikke observeres, hvorfor der benyttes en proxy. For at bevare konsistens i metoden, vælges French markedsportefølje, som er en værdivægtet kombination af NYSE, AMEX og NASDAQ. Den risikofrie rente, der benyttes til at udregne excess returns, bliver, ud fra samme argumentation, 1-måneds renten på amerikanske Treasury bills, hvortil den oprindelige kilde er Ibbotson Associates. Alle porteføljeafkast omtalt i dette afsnit er oprindeligt opgivet på månedsbasis og de konverteres derfor til kvartalsbasis ud fra [17]. Ud fra [18] konverteres de kvartårlige afkast så til excess returns over den risikofrie rente. Brugen af excess returns er bl.a. motiveret af, at investorerne reelt set bekymrer sig om reale afkast, mens de observerede afkast er nominelle. For at kunne legitimere brugen af nominelle afkast, bruges så excess returns ud fra den betragtning, at den nominelle, risikofrie rente tager højde for inflationspræmien i afkastene. De nominelle excess returns antages på baggrund heraf at kunne betragtes på linje med reale afkast. Alle serierne er at finde i cd-bilag i mappen Porteføljeafkast + forklarende variable. ( ) ( ) ( ) r = 1+ r 1+ r 1+ r 1 [17] Q t= 1 t= 2 t= 3 ( 1+ rq ) ( 1+ rf, Q) Excess return = 1 [18] 22

3.3 Scalingvariabel til betinget CAPM Som omtalt i kapitel 2 er en af de mulige løsninger på den statiske CAPM s relativt dårlige performance i praksis at betinge risikopræmiedifferentieringen på en økonomisk faktor relateret til business cycles. Med andre ord anses det som en teoretisk plausibel mulighed, at risikopræmien pr. risikoenhed varierer med de økonomiske konjunkturer, således at ratioen er højest i recessioner og lavest i højkonjunkturer. Et eksempel herpå er cay, der udledes i Lettau & Ludvigson (2001a) og optræder som en observerbar udgave af den uobserverbare ln(forbrug/aggregeret formue). Datagrundlaget for cay er data for forbrug (c) og aggregeret formue opdelt i finansielle aktiver (a) og arbejdsindkomst 2 (y), hvormed det altså antages, at aggregeret formue kan betragtes som en kombination af de to sidstnævnte. Udgangspunktet for koblingen af de 3 variable er følgende approksimative lighed mellem consumptionwealth-ratioen og cay. ln Ct = c t w t ln ( Ct) ω ln ( At) ( 1 ω) ln ( Yt) = cayt Wt [19] Det interessante her er, at der er opstillet et udtryk for, hvordan en anvendelig og teoretisk valid scaling-variabel udregnes på baggrund af observerbart data. De egenskaber, der gør cay anvendelig som scaling-variabel, bør også kunne genfindes i faktorer, der forsøges udtrukket ved faktoranalyse, for at de kan motiveres som scaling-variabel. Der vil dog kun blive forsøgt argumentereret herfor i det tilfælde, hvor den betingede CAPM med en ny scaling-variabel opnår en interessant performance. Selve cay-dataene er tilgængelige i nyligt opdateret form gennem S. Ludvigsons NYU-hjemmeside 3. Serien er oprindeligt på kvartalsbasis og frekvensen skal altså ikke justeres før brug. De benyttede data for C, A og Y er alle sæsonjusterede, per capita og målt i 1992 $. Dataene fremgår som cd-bilag af mappen Porteføljeafkast + forklarende variable. 2 Som proxy for humankapital 3 http://www.econ.nyu.edu/user/ludvigsons/ Appendixes and Data 23

4. Metode Formålet med indeværende metode-kapitel er at beskrive de, til estimation af CAPM og APT, valgte metoder. I den efterhånden særdeles omfattende litteratur på området eksisterer der en lang række forskellige setups til estimation af faktormodeller. Der er i litteraturen benyttet statistiske metoder som OLS, GLS, maximum likelihood og GMM og der er således langt fra konsensus om, hvordan modeller som CAPM og APT bør testes empirisk. Som nævnt i Cochrane (2005) er flere af metoderne vist ækvivalente under rimelige forudsætninger og dette faktum er nok en del af årsagen til den stadigt divergerende metodebrug. Som nævnt i afgrænsningen, vælges der i denne fremstillings empiriske analyse at fokusere på OLS regression og principal components analyse og de væsentligste metodevalg relaterer sig herefter til, hvordan modellerne formuleres og på baggrund af hvilke hypoteser modellerne testes. De modeller, der vil blive estimeret er dels de traditionelle modeller som statisk CAPM, Lettau & Ludvigsons betingede CAPM og Fama & Frenchs 3-faktor model og dels en række APT- og betingede CAPM-modeller med faktorer udtrukket fra principal components faktoranalyse. Generelt for modellerne vil det blive testet, om de enkelte risikofaktorer er priced, dvs. signifikante, og modellernes fit vil desuden blive sammenlignet ud fra mål som forklaringsevne og BIC-kriteriet. Strukturen i analysen er skitseret i figur 3 og de enkelte elementer i analysen behandles i de følgende delafsnit. Figur 3 Struktur i den empiriske analyse Kilde: Egen tilvirkning 24