Stereologi Institut for Matematik Science and Technology Aarhus Universitet Foredrag ved Matematiklærerdagen 18. marts 2016
Estimation af volumen - æggedeler design U O
Estimation af volumen - æggedeler design Æggedeler design T U+mt, m Z, systematisk sæt af parallelle planer (grå planer). t er afstanden mellem naboplaner. U er uniform i [0, t), så placeringen af planerne er tilfældig. Lad Y R 3 med volumen V (Y ). En central ("unbiased") estimator af V (Y ) er V (Y ) = t m A(Y T U+mt ), hvor A står for areal.
Bevis for centralitet Estimatoren er en funktion af U, V (Y ) = g(u). Middelværdien er E V (Y ) = = t 0 t 0 = m = m = g(u) f U (u) du t m t 0 (m+1)t mt A(Y T u+mt ) 1 t du A(Y T u+mt ) du A(Y T v ) dv A(Y T v ) dv = V (Y ).
Variansen af volumen estimatoren Variansen af V (Y ) afhænger af formen af Y. Systematiske planer giver sædvanligvis en mindre varians end hvis planerne placeres uafhængigt af hinanden. Under regularitetsbetingelser kan det vises, at V (Y ) er asymptotisk superecient for t 0.
Mere om volumen estimatoren Arealer kan estimeres med et systematisk sæt af kvadrater. Y U D 0
Estimation af længde i planen
Estimation af længde - Buon's nåleproblem Buon's nåleproblem T, systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret, afstand t mellem nabolinier. Y R 2, liniestykke i planen af længde L(Y ) < t. N(Y T ), antal skæringer mellem Y og T (enten 0 eller 1). Da gælder P(N(Y T ) > 0) = 2L(Y ). πt Normalt bruges dette resultat til at estimere π, men i stereologien bruges resultatet i stedet til at estimere L(Y ).
Estimation af længde i planen T, systematisk sæt af linier, tilfældigt placeret og orienteret, afstand t mellem nabolinier. Y R 2, kurve i planen. En central estimator af L(Y ) er L(Y ) = π t N(Y T ). 2
Bevis for centralitet Lad Y = i Y i, hvor Y i er et liniestykke med L(Y i ) < t. Da gælder [ π ] E L(Y ) = E 2 t N(Y T ) = π 2 t E i N(Y i T ) = π 2 t i = π 2 t i = π 2 t i EN(Y i T ) P(N(Y i T ) > 0) 2L(Y i ) πt = i L(Y i ) = L(Y ).
Estimation af længde i rummet U O W L(Y ) = 2t N(Y T )
Estimation af overade areal - fakir design D 0 W Y O Ŝ(Y ) = 2A(D 0 ) N(Y T )
Estimation af overade areal - vertikale snit V q, p p q
Estimation af antal partikler Antal partikler i et snit afhænger ikke kun af antallet i 3D, men også af deres størrelse.
Tomatsalat eksemplet
Estimation af antal partikler Antal i snit Antal i rummet Middel partikel højde. Lad T U være et plan med fast orientering og placering givet ved U, der er uniform i et interval af længde D. Lad Y 1,..., Y N betegne N partikler med højder H(Y i ), i = 1,..., N. Da gælder E#{i : T U Y i } N H, hvor H er middel partikel højden, H = i H(Y i)/n.
Bevis For den ite partikel gælder Heraf fås P(T U Y i ) = H(Y i )/D. E#{i : T U Y i } = i P(T U Y i ) = i H(Y i )/D = 1 D N H.
Estimation af antal partikler Løsningen er at bruge 2 planer, en såkaldt disector. De 2 planer betegnes T U, T U+h, hvor h > 0. Lad p(i) være det 'øverste' punkt af Y i, i = 1,..., N. Vi tæller Y i, hvis partiklens øverste punkt falder mellem planerne, dvs. U < p(i) < U + h. Sandsynligheden for at Y i bliver talt er dermed P(U < p(i) < U + h) = P(p(i) h < U < p(i)) = h/d. Sandsynligheden afhænger ikke af i.
Estimation af partikel størrelser Wicksell's problem: estimation af størrelsesfordeling af kugleformede partikler ud fra observationer i snit. Sandsynlighedstætheden g for fordelingen af de observerede diametre af cirkulære snit opfylder g(s) = s m hvor f er den tilsvarende tæthed i 3D. s 1 f (t) ds, t2 s2 At nde f udfra g er et 'ill-posed' inverst problem. Den moderne stereologi beskæftiger sig med metoder til at nde størrelsesfordelingen af partikler af generel form.
Optisk snitning
Lokal stereologi Lokal stereologi giver adgang til partikel størrelser i 3D. Målinger på lokale snit anvendes. T
Lokal stereologi - eksempler i 2D Cirkel r Areal = πr 2
Lokal stereologi - eksempler i 2D Konveks form df r Areal = 2π 0 1 2 r 2 dφ = π 2π r 2 dφ 0 2π = π r 2
Lokal stereologi - eksempler i 2D Ikke-konveks form r 2 r 0 r 1 Areal(skraveret område)= 1 2 (r 2 0 + r 2 2 r 2 1 )dφ Areal= π r 2
Lokal stereologi - eksempel i 3D r dr w dv=r 2 drdw Volumen= 4π 3 r 3
Lokal stereologi - n dimensioner Den generaliserede Blaschke-Petkantschin formel: c(n q r, p q r) X 1 g(x 1,..., x q ) X q = X 1 L p g(x 1,..., x q ) X q L p L n p(r) q i=1 q r+q (e 1,..., e r, x 1,..., x q ) n p dx p i dl n p(r) i=1 dx n i n = 3, q = 1, r = 0, p = 1: volumen i 3D via lokale snit!
Lokal stereologi - volumen i 3D Isotropisk L 1: 2 3 x X L 1 ( 1) α(x) x 3 Isotropisk L 2, uniform G 1 L 2 : 2A 1 x (X L 2 ) G 1 ( 1) α(x) x ω 0 v 2 + π L2 L 1 x 2 dv Vertikal L 2, uniform G 1 L 2, L 1 L 1(0) : π 2 A1 x (X L 2 ) G 1 π L1 x 2 Isotropisk T 2, uniform G 1: A 2 x (X T 2 ) G 1 ( 1) ( α(x) x ω t F 2 0 1,2 )dv v 2 + π L x 2 1 Vertikal T 2, uniform G 1, L 1 L 1(0) : A 2 x (X T 2 ) G 1 ( 1) ( α(x) x ω t F 2 0 1,1 )dv v 2 + π (L1(0) +L 1 ) x 2
Lokal stereologi - overadeareal i 3D Isotropisk L 2, isotropisk L 1 L 2: 2π x X L 1 (1 + cot β x( π 2 βx)) x 2 Isotropisk T 2, uniform and isotropisk G 1: 2A 2 x X T 2 G 1 F 1,2(t 2 / x 2 ) 1 Vertikal T 2, uniform and isotropisk G 1: 2A 2 x X T 2 G 1 F 1,1(t 2 / π L 1(0) x 2 ) 1 Isotropisk T 2, G 1 T 2: 2A 2 x X T 2 G 1 F 1,1(t 2 / π L 1 x 2 ) 1
Lokal stereologi - længde i 3D Isotropisk T 2, uniform and isotropisk G 2: 2A 1 x X T 2 G 2 F 1,2(t 2 / x 2 ) 1 Vertikal T 2, uniform and isotropisk G 2: 2A 1 x X T 2 G 2 F 1,1(t 2 / π L 1(0) x 2 ) 1 Isotropisk T 2, G 2 T 2: 2A 1 x X T 2 G 2 F 1,1(t 2 / π L 1 x 2 ) 1
Lokal stereologi - antal i 3D Isotropisk T 2: x X T 2 F 1,2(t 2 / x 2 ) 1 Vertikal T 2: x X T 2 F 1,1(t 2 / π L 1(0) x 2 ) 1
Avanceret statistisk billedanalyse Antal kan bestemmes med større præcision, hvis synsfelter computer-styres til informative områder (her det granulære cellelag, vist blå).
Rumlig statistik Lokale skaleringsmodeller (selv-similære)
Rumlig statistik Rekonstruktion af netværk