EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner BEMÆRKNINGER Besvar de fire obligatoriske opgaver Sæt kryds på det udleverede ark for at markere, hvilke to af de tre valgfri opgaver du har valgt Skriv kun én opgave på hvert ark. Side 1/8
OPGAVE 1 ( Obligatorisk) Funktionsundersøgelse x En funktion f er givet ved f( x) xe, x 0. Nedenstående figur viser grafen for f og linjen gennem O og A, hvor A er det punkt på grafen, der svarer til maksimum for f. a) i. Bestem koordinatsættet til punktet A. ii. Gør rede for, at linjen gennem O og A har ligningen x y. e 2 point b) Beregn arealet af det skraverede område. 6 point Side 2/8
OPGAVE 2 ( Obligatorisk) Differentialligninger En studerende undersøger væksten af en bakteriepopulation. Han regner med, at væksten kan beskrives ved følgende differentialligningsmodel: dn 0,25 N t, dt hvor N er antallet af bakterier i populationen t minutter efter, at forsøget begyndte. Ved begyndelsen af forsøget er der 5000 bakterier. a) Bestem løsningen N() t til denne differentialligning. 6 point b) i. Bestem antallet af bakterier efter 4 minutter. ii. Beregn, hvor lang tid det varer, før der er 50 000 bakterier. Side 3/8
OPGAVE 3 (Obligatorisk) Geometri I et koordinatsystem i rummet er givet planen :4x 3y 12. a) i. Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem planen α og koordinatakserne. ii. Bestem en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem planen α og xy-planen. 2 point b) i. Bestem koordinatsættet til spejlbilledet P af origo O i α. ii. Bestem en ligning for hver af de to planer, der er parallelle med α, og som har afstanden 4 til α. Side 4/8
OPGAVE 4 (Obligatorisk) Sandsynlighedsregning En fabrik har installeret et alarmsystem. Hvis der sker et uheld på samlebåndet, aktiveres alarmsystemet omgående. Derefter standses produktionen resten af dagen. Imidlertid virker alarmsystemet ikke altid korrekt. Det oplyses, at der for en vilkårlig dag gælder: sandsynligheden for, at alarmen bliver aktiveret, selv om der ikke er sket noget uheld, er 0,02 sandsynligheden for, at alarmen ikke bliver aktiveret, selv om der faktisk er sket et uheld, er 0,20. Det oplyses endelig, at der for vilkårlig dag er sandsynligheden 0,01 for, at der sker et uheld. a) i. Beregn sandsynligheden for, at der en bestemt dag sker et uheld og alarmen aktiveres. ii. Beregn sandsynligheden for, at alarmen bliver aktiveret en bestemt dag. b) i. Alarmen er blevet aktiveret. Beregn sandsynligheden for, at der faktisk har været et uheld på samlebåndet. ii. Beregn sandsynligheden for, at alarmen bliver aktiveret netop 2 gange i løbet af 7 dage. Side 5/8
VALGOPGAVE I Funktionsundersøgelse Funktionen f er givet ved 3xln( x), når 0 x 1 f( x) 1 3x ln( x), når x 1. a) Gør rede for, at funktionen f er kontinuert og differentiabel for x 1. b) Undersøg f med henblik på nulpunkt, ekstrema (angiv, om der er tale om maksimum eller minimum) samt grænseværdierne for f ( x ), når x og når x 0. 6 point c) Skitsér grafen for f. 2 point d) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i det punkt, hvor grafen skærer x-aksen. e) i. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen og linjerne med ligningerne x k og x 1 (0 k 1) et område, der har et areal Ak ( ). Bestem dette areal A( k ). ii. Beregn A lim A( k). 2 point k 0 f) i. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen og linjerne med ligningerne x 1 og x p ( p 1) et område, der har et areal B( p ). Bestem dette areal B( p ). ii. Bestem tallet p, således at B( p) A. 2 point Side 6/8
VALGOPGAVE II Sandsynlighedsregning Legetøj fra en bestemt fabrik har to mulige fejl, dels i farven på legetøjet, dels i formen. De to fejl forekommer uafhængigt af hinanden. For et tilfældigt valgt stykke legetøj betragter vi følgende hændelser: A: legetøjet har en fejl i farven B: legetøjet har en fejl i formen C: legetøjet har mindst én af disse fejl. Det oplyses, at PA ( ) 0,052 og PB ( ) 0,041. a) Beregn PA ( B). b) Beregn PC ( ). For et tilfældigt valgt stykke legetøj fra produktionen antages det i de følgende opgaver c) og d), at sandsynligheden er 0,09 for, at det har mindst én af de to fejl. Legetøjet udvælges tilfældigt fra produktionen og pakkes i kasser. c) En butik køber kasser, der hver indeholder 60 stykker af det omtalte legetøj. Den stokastiske variabel X angiver, hvor mange stykker legetøj i en sådan kasse der har mindst én af de to fejl. i. Gør rede for, hvilken sandsynlighedsfordeling X har, og angiv værdien af hver af fordelingens parametre. 1 point ii. Beregn PX ( 5). iii. Fordelingen af X tilnærmes nu med en Poissionfordeling. Beregn denne fordelings parameter. iv. Brug denne Poissionfordeling til at beregne sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt kasse indeholder mindre end 3 stykker legetøj med mindst én af de to fejl. 1 point d) En anden butik køber kasser, der hver indeholder 500 stykker af det omtalte legetøj. Den stokastiske variabel Y angiver, hvor mange stykker legetøj i en sådan kasse der har mindst én af de to fejl. i. Gør rede for, at Y med tilnærmelse er normalfordelt, og angiv værdien af hver af denne fordelings parametre. 2 point ii. Beregn PY ( 50). iii. Beregn P(20 Y 30). Side 7/8
VALGOPGAVE III Geometri I et koordinatsystem i rummet er givet punkterne P(0, 1,1) og Q(3,0, 3), linjen d : x 2t y t z 2 2t, t R 2 2 2 kuglen S : x y z 2x 2y 2z 6 0 og planen : 2x y 4 0. a) Planen indeholder punktet P og linjen d. Gør rede for, at har ligningen x 2y 2z 4 0. b) Bestem centrum C og radius R for kuglen S. 2 point c) Der findes to kugler med radius r 3, som har som tangentplan med røringspunkt P. Bestem en ligning for hver af disse kugler. Eftervis, at en af disse kugler er S. 6 point d) Gør rede for, at planerne og står vinkelret på hinanden. e) Planen skærer kuglen S i en cirkel K. Bestem centrum og radius for K. f) i. Gør rede for, at punktet Q ligger på kuglen S. ii. Linjen m er tangent til S i Q og skærer linjen d. Bestem en parameterfremstilling for linjen m. 5 point 1 point 5 point Side 8/8