CAS-værktøj Erfaring synspunkter handling Workshop Minifagdidaktisk kursus hhx Matematik Forår 2015
Oplæggets mål En præsentation af problematikker i relation til Cas-implementering Diskussion af hvordan man sikrer CAS ikke er på bekostning af håndværk/matematik Ideudveksling
CAS*? Anvendelsen af CAS er meget omdiskuteret, og fronterne er trukket skarpt op: For og imod. Når man regner i hånden, træner man nemlig de redskaber, der hører håndregning til, og med CAS træner man derimod de redskaber, der hører CAS til. Det er netop styrken ved CAS. Det er så konkret tryk der og der, og løsningen står der. Men der er også problemer, fordi man derved let forbigår det generelle, dvs. den matematik som binder det hele sammen. Dermed er det lidt lettere at forstå, hvorfor det hele var lidt lettere før indførelsen af CAS. Der trænede man nemlig altid de samme redskaber. *Denne og de to følgende sider er synspunkter fra indlæg i LMFK-blad 06 2013 af Ole Andersen, Risskov Gymnasium
CAS? Med CAS indførte man dermed ikke en lettelse for eleverne, men derimod en hel ny værktøjskasse fyldt med nye værktøjer, som også krævede træning. Og det blev der vel at bemærke ikke afsat ekstra tid til. Tværtimod blev træningen i CAS taget fra den traditionelle matematik. Dermed er CAS noget helt andet end at indføre et nyt emne, thi et nyt emne betyder blot nogle flere ligninger, som skal løses, og dermed mere træning af de basale redskaber, men indførelsen af CAS betyder netop helt nye redskaber. Man har dermed splittet faget op i to dele, som gensidigt modarbejder hinanden.
Erfaringer: Undersøgelse stx * Det kan evt. nævnes at jeg gik til undersøgelsen og var ret uforstående overfor, hvad gymnasieelever dog skulle bruge CAS-værktøjer til, om det ikke var bedre at de lærte den grundlæggende matematik, men at jeg i løbet af undersøgelsen fik et andet syn på værktøjerne og især efter jeg selv er begyndt at bruge dem sammen med eleverne. *Dette og følgende slides synspunkter af Christian Danielsen - speciale om brugen af CAS-værktøjer i gymnasieskolen
Diskuter med sidemanden! Bør CAS implementeres på C-niveau? Bør vi droppe helt matematik i hånden? Hvem har udbytte af CAS? De svage? Stærke? Alle? Ingen?
Lærernes holdning til CAS-værktøjer Mere end 55% oplever at CAS-værktøjerne giver dem en klar pædagogisk fordel i undervisningen Kun 10% oplever det modsatte
Elevernes syn på værktøjerne Generelt oplever lærerne, at eleverne er glade for at bruge CAS-værktøjerne Hvis de har mulighed for at bruge CAS-værktøjerne så bruger de dem 100%,, Altså jeg har ikke nogen elever der afleverer delvist i hånden, med mindre computeren er gået ned Mere end 70% af lærerne mener at eleverne generelt bliver gode til at bruge CAS-værktøjerne. Mere end 60% mener at det hurtigt bliver naturligt for eleverne at bruge CAS-værktøjerne. Bruges dog også til tider uhensigtsmæssigt Specielt de dygtigste elever giver udtryk for at de synes det er snyd at bruge værktøjerne
Elevernes algebraiske færdigheder CAS-værktøjerne risikerer at medføre en uselvstændiggørelse af især de svage elever 70% ønsker at kunne tage CAS-værktøjerne fra visse elever for at kunne få dem til at sætte sig ned og tænke. Manglende basiskunnen fra folkeskolen Manglende erfaring og uddannelse hos lærerne
Universiteterne Blandede udmeldinger DTU og Aalborg universitet er begejstrede for at eleverne har fået CAS-kompetencer. Jf MatHit På matematik i Aarhus var de noget mere afdæmpede.
FOU: Skriftlighed i matematik, når CAS anvendes Hans Mortensen og Tina Nørrelykke, Skive: Gratisprogrammer Vibeke Jensen og Tina Sneholm, Odense: Maple Jane Brandsborg og Jytte Melin, Horsens: Nspire
Hvorfor FoU? Frustration - IKKE var klædt på fagligt i forhold til det nye kernestof, samt stor usikkerhed omkring CAS-værktøj! Der kom fra start en række spørgsmål! Hvad skulle CAS-værktøj gøre godt for? Betød implementering af CAS-værktøj, at det er elevernes ITkunnen, der kommer i højsædet fremfor deres matematiske kompetencer? Er gammeldags håndværksmatematik ikke bedre end løsninger fundet via brug af CAS-værktøj? Hvordan skal man rette /bedømme elevbesvarelser med CAS? Kan vi rette besvarelser, hvor der anvendes et ukendt værktøj? Hvor meget dokumentation skal til, når vi arbejder med CAS? Er løsningen nok - eller skal der også matematiske forklaringer til?
Er eleverne solgt til eksamen?
Overordnet anbefales: Der henvises i den enkelte opgave/opgavesættet til anvendt ITværktøj. Hvis der veksles mellem flere i de enkelte opgaver, skal alle nævnes. Hvis der i hele opgaven alene anvendes et bestemt program, kan det evt. skrives som introduktion til besvarelsen. Dette opgavesæt er løst med Word Mat Nspire Maple Geogebra Graph Beregninger med CAS skal dokumenteres med indsættelse af udsnit fra programmet, printscreen eller lignende. Det er ikke tilstrækkeligt at skrive, programmet viser, at
Gode Råd 1: Brug fagbegreber og korrekt notation Brug en matematikeditor og brug symbolerne rigtigt, f.eks. Skriv 2 og ikke 2/3 3 Skriv x 2 og ikke x^2 Skriv forklarende tekst til alle udregningerne/illustrationerne - ikke mindst hvis der anvendes CAS/IT, f.eks. forklar hvad mean betyder efter følgende udskrift mean = 716,85 mean er middeltallet, som kan beregnes ved, at alle observationer lægges sammen og divideres med det samlede antal observationer Besvarelsen skal bygges logisk op, så man kan følge tankegangen, f.eks. det maksimale dækningsbidrag findes i funktionens ekstrema. Tangenten er vandret i ekstremaer, hvilket betyder, f er 0. Funktionen differentieres og ligningen f (x) = 0 løses.
Gode Råd 2: Hvis der anvendes en formel til beregning, så notér formlen - også selvom den løses med CAS-værktøj, f.eks. Da der skal beregnes, hvor lang tid det tager at spare kr. 20.000,- op, er det n der skal isoleres i opsparingsformlen, der ser således ud: A n = y (1+r)n 1 n, n isoleres vha. ligningsløseren solve således Brug ensbetydende tegn, hvis der er flere mellemregninger på en linje 4x = 12 x = 12 4 eller skriv kun et ræsonnement pr. linje 4x = 12 x = 12 4 Husk det er ikke svaret, der er interessant; men hvordan det findes. Undgå at aflevere en facitliste.
Gode Råd 3: Husk aflæsning er bedre end intet - men beregning (også via CAS) er bedst. Kontroller resultater. Med CAS-værktøj er det let at se om beregningerne stemmer med det, diagrammer/grafer viser. Brug CAS, når det letter arbejdet. En ligning løst i hånden tæller ikke mere end hvis den er løst med CAS-værktøj Hvis CAS-programmet fx ikke skelner mellem store og små bogstaver, så gør opmærksom herpå. Hvis du omdøber en funktion - pga. dit cas-program - så gør opmærksom herpå, f.eks. I opgaven benævnes differentialkvotienten f (x); men her i Nspire, anvendes følgende betegnelse Undlad unødvendige bilag i en besvarelse Første side med Excel-beregninger indgår i besvarelsen - resten udelades Giv altid et tekstsvar på en tekstopgave
FoU: HHX CAS på C-niveau* Projektet vil således gerne afklare: 1. Er CAS et godt værktøj for elever, der afslutter matematik på C? 2. Vil indførelse af CAS på hh1, hjælpe de elever, der senere vælger mat B og A som valgfag? 3. Kan implementering af CAS-værktøj medvirke til, at flere elever får øget motivation til faget og derfor afslutter på et højere niveau end ellers forventet. Det primære formål med projektet er således at undersøge, hvorvidt det på sigt kan anbefales, at alle elever arbejder med CAS-programmer på C-niveau uafhængigt af hvorvidt elever afslutter på C, B eller A-niveau. * Projektgruopen bestod oprindeligt af Bestyrelsen for HMF reduceret til Rasmus Axelsen og Jytte Melin
Workshop Efterfølgende slides indeholder FoU gruppernes anbefalinger, som I evt. kan inddrage! I gruppen diskuteres: 1. Hvilke positive/negative erfaringer har I med CAS? 2. Den gode opgave? Hvilke generelle krav kan vi præsentere for vore elever? 3. Hvordan sikrer vi, at elevernes algebraiske evner udvikles? Konklusioner smides ind på dropbox!
FoU-projekt Projektgruppen har ud fra de indsamlede data kunnet konkludere: - Undersøgelsen kan ikke klart påvise at CAS er en fordel for elever, der slutter på C; men der kan konstateres, at kun 5,2 % af de adspurgte elever i maj mener, at CAS/IT ikke har øget deres udbytte af matematikundervisningen. Over 40 % vurderer, at CAS har øget deres udbytte rigtig meget eller meget. - Undersøgelsen kan påvise, at elever, der skal slutte på et højere niveau er glade for IT/CAS - Undersøgelsen kan desuden påvise, at elevernes holdning til matematik generelt er positiv. - Besvarelserne viser, at mange elever ændrer holdning til matematik på hhx, også pga. CAS.
FoU-projekt Projektgruppen har ud fra de indsamlede data kunnet konkludere: - Ud fra spørgeskemaundersøgelserne kan konstateres, at det ikke har afgørende betydning for elevernes holdning til CAS/IT, om eleverne har arbejdet med IT i matematik i folkeskolen eller ej. - Lærerne anbefaler CAS allerede på C, men der udtrykkes forbehold i forhold til træningen af grundlæggende færdigheder. Man må formode at dette forbehold gælder de elever, der skal fortsætte på B-niveau. Omvendt hjælpes disse elever af at have brugt CAS-værktøjet i hele 1.g. - Indførelsen af CAS har stor indvirkning på undervisningens tilrettelæggelse og undervisningens afvikling.
FoU-projekt Konklusion: Samlet set dokumenterer projektet, at der som sådan ikke er vægtige argumenter, der taler hverken for eller imod implementering af CASværktøj i undervisningen på C-niveau af hensyn til de elever, der afslutter på C. Omvendt er der gode argumenter for implementering af CAS på C- niveau af hensyn til de elever, der skal fortsætte på B-niveau. Projektets hovedkonklusion er derfor, at der kan anbefales, at CAS gøres obligatorisk på handelsgymnasiet på alle tre niveauer.
Den gode besvarelse i matematik 1: Når der udarbejdes en besvarelse af et delspørgsmål i en matematikopgave kan/bør man bl.a. tænke på følgende: 1. Overordnet gælder for alle opgaver, at de bør være tredelte: Præsentation af opgaven Løsning af opgaven Konklusion (Entydigt svar på opgaven) 2. Begynd med en introduktion. Opgaven bør kunne stå alene - dvs. de væsentlige matematikbegreber, der skal bruges ved løsningen, præsenteres. Det betyder IKKE, at hele opgaveformuleringen skal skrives op - der skal sorteres og skæres ind til benet. Eksempler: f(x) = 4x 3-2x x = antal kilo foder, f(x) = pris pr. kg. x = antal defekte enheder i stikprøven Givet en række data, som
Den gode besvarelse i matematik 2: 3. Skriv hvad der (skal) bestemmes: Nulpunkterne for f(x) P(X 7) = Skæringspunkterne mellem graferne f og g bestemmes: Det største overskud beregnes 4. Skriv hvordan det ønskede bestemmes: Ligningen opstilles og løses! Dette gøres vha. solve i Nspire således f (x) beregnes! Dette gøres vha. d dx (f(x)) Grafen tegnes vha. MAPLE, hvorefter monotoniforholdene Sandsynligheden beregnes ved brug af Excel Ekstrema bestemmes ved at løse ligningen f (x) = 0, og derefter... Optællingen foregår med i Nspire via opdeling i kategorier Ekstrema bestemmes ved aflæsning på grafen
Den gode besvarelse i matematik 3: 5. Brug af grafer og diagrammer- Hvis der udarbejdes grafer eller diagrammer, skal de tilpasses opgaven. Akserne skal navngives (x, y, afsætning, pris) Koordinatsystemet skal vise den del, der er hensigtsmæssig at vise Grafer der tegnes i CAS/IT-programmer SKAL vise fx ekstremaer og nulpunkter tydeligt. Hvis IT-/CAS-diagrammerne driller, så tegn i hånden. 6. Svar og konklusion -> Konkluder altid præcist på spørgsmålet. Vær tydelig og præcis i svaret, ikke mindst hvis der anvendes CAS, hvor der også fremkommer en række svar, som der ikke er bedt om. Fremhæv de relevante resultater (anden farve, pile eller cirkler), der skal anvendes.. Hvis der skal tegnes en sumkurve, så skal der ikke også vises box-plot, cirkeldiagram Beregningen viser, at overskuddet er positivt, når afsætningen er mellem 100 og 550 stk., hvilket stemmer overens med den graf, som CAS-værktøjet viser. Da middeltallet x = 47 ligger i det beregnede konfidensinterval, kan... Ud fra fortegnsvariationen for f ses, at f er voksende i intervallet *10; 20]
Konklusion: Vore elever har KRAV på at vide, hvad der vægtes ved bedømmelsen af opgavebesvarelser. Vi SKAL derfor have afklaret, hvad vi (generelt) lægger vægt på. For svagere elever måske også en klar skelnen mellem: Need to Nice to