variansanalyse, oktober 2006 1 Basal statistik 3. oktober 2006 Variansanalyse Sammenligning af flere grupper Ensidet variansanalyse Tosidet variansanalyse Interaktion Modelkontrol Lene Theil Skovgaard Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet e-mail: L.T.Skovgaard@biostat.ku.dk http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal06_2 Typiske problemstillinger: Hvordan afhænger behandlingens effekt af sygdomsstadium? Er der forskel på effektiviteten af diverse præparater til nedsættelse af blodtrykket? Afhænger lungefunktionen af rygestatus? Og af aktivitetsniveau? Datastruktur: Et antal personer (n) fordelt i et antal veldefinerede grupper (k) Analyseform er ensidet variansanalyse Personerne er inddelt efter flere forskellige inddelingskriterier (f.eks. rygestatus og aktivitetsniveau) Analyseform er tosidet variansanalyse flersidet variansanalyse variansanalyse, oktober 2006 2 variansanalyse, oktober 2006 3 Sammenligning af mere end 2 grupper Problemstilling: Er der forskel på fordelingerne af responset i de enkelte grupper? Er der forskel på niveauerne i de enkelte grupper? Eksempel: 22 ptt. bypass-operationer, 3 slags ventilation (randomiseret) Gruppe I Gruppe II Gruppe III 50% N 2 O, 50% O 2 i 24 timer 50% N 2 O, 50% O 2 under op. 30 50% O 2 (ingen N 2 O) i 24 timer Outcome: Red cell foliate Gr.I Gr.II Gr.III n 8 9 5 Mean 316.6 256.4 278.0 SD 58.7 37.1 33.8 Pas på massesignifikans: sammenlign ikke alle grupper to og to! med mindre... (se senere)
variansanalyse, oktober 2006 4 variansanalyse, oktober 2006 5 Ensidet variansanalyse, ANOVA (one-way analysis of variance) Model: ensidet: fordi der kun er et inddelingskriterium, f.eks. som her ventileringsmetode variansanalyse: fordi man sammenligner variansen mellem grupper med variansen indenfor grupper i te observation i gruppe nr. g Y gi = µ g + ε gi individuel afvigelse middelværdi for gruppe nr. g Antagelser: Alle observationer er uafhængige (personerne går ikke igen flere gange, er ikke tvillinger o.l.) Inden for hver gruppe er observationerne normalfordelt Der er samme varians (biologisk variation) i alle grupper Observationerne antages at følge en normalfordeling (inden for hver gruppe) med samme varians. ε gi N(0, σ 2 ) Y gi N(µ g, σ 2 ) variansanalyse, oktober 2006 6 variansanalyse, oktober 2006 7 Ensidet variansanalyse går ud på at undersøge, om alle k grupper kan tænkes at have samme middelværdi, altså at teste hypotesen: Kvadratsummer Opspaltning af observationer: y gi ȳ = (y gi ȳ g ) + (ȳ g ȳ ) H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k y gi ȳ g ȳ. i-te observation i g-te gruppe gennemsnit i g-te gruppe totalgennemsnit Fremgangsmåde ved ensidet variansanalyse: Variansestimater for hver gruppe pooles til et fælles estimat, s 2, som er et skøn over variansen indenfor grupper. Hypotesen om ens middelværdier for alle grupper (H 0 : µ g = µ) testes ved et F-test på forholdet mellem variation mellem grupper og variation indenfor grupper. Opspaltning af variation (kvadratsum, sum of squares, SS): (y gi ȳ ) 2 = (y gi ȳ g ) 2 (ȳ g ȳ ) 2 i,j i,j }{{} indenfor grupper SS tot = SS w + SS b + i,j (n 1) = (n k) + (k 1) }{{} mellem grupper
variansanalyse, oktober 2006 8 variansanalyse, oktober 2006 9 F-testet Middelkvadratsummer (Mean Squares, MS): MS w = SS w /(N k): Poolet varians indenfor de 3 grupper MS b = SS b /(k 1): Varians mellem gruppegennemsnit Teststørrelse: F = MS b MS w Vi forkaster nulhypotesen hvis F er stor, dvs. hvis variationen mellem grupper er for stor i forhold til variationen indenfor grupper. Variansanalyseskema df SS MS F P Between 2 15515.88 7757.9 3.71 0.04 Within 19 39716.09 2090.3 Total 21 55231.97 Ensidet ANOVA i SAS: Data sættes op i 2 kolonner, en med outcome (redcell) og en med klassifikationsvariablen (grp). I Analyst: Statistics ANOVA One-Way ANOVA... hvor redcell er Dependent og grp er Class : The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values grp 3 1 2 3 Number of observations 22 Dependent Variable: redcell Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 2 15515.76641 7757.88321 3.71 0.0436 Error 19 39716.09722 2090.32091 Corrected Total 21 55231.86364 R-Square Coeff Var Root MSE redcell Mean 0.280921 16.14252 45.72003 283.2273 Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F grp 2 15515.76641 7757.88321 3.71 0.0436 variansanalyse, oktober 2006 10 variansanalyse, oktober 2006 11 Hvis man også vil have estimater og konfidensgrænser...og det vil man vel som regel: Statistics ANOVA Linear Models klik Statistics og afkryds Parameter Estimates Gå endvidere ud i koden og tilføje clparm i model-linien: model redcell=grp / solution clparm; hvorved man vil få Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 278.0000000 B 20.44661784 13.60 <.0001 grp 1 38.6250000 B 26.06442584 1.48 0.1548 grp 2-21.5555556 B 25.50141290-0.85 0.4085 grp 3 0.0000000 B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept 235.2047370 320.7952630 grp 1-15.9284703 93.1784703 grp 2-74.9306262 31.8195151 grp 3.. Normalfordelingsantagelsen Det er antaget, at observationerne følger en normalfordeling inden for hver gruppe Dette bør checkes, f.eks.: ved at tegne histogrammer eller fraktildiagrammer for hver gruppe ved at tegne histogram eller fraktildiagram for residualerne r gi = Y gi ˆµ g = Y gi Ȳg ved at lave normalfordelingstest, enten for hver gruppe for sig, eller samlet for residualerne NOTE: The X X matrix has been found to be singular, and a generalized inverse was used to solve the normal equations. Terms whose estimates are followed by the letter B are not uniquely estimable.
variansanalyse, oktober 2006 12 variansanalyse, oktober 2006 13 Probability plot: Histogram, med overlejret normalfordeling: Tests for Normality Test --Statistic--- -----p Value------ Flot er det jo ikke men hvad kan man forvente med kun 22 observationer... Shapiro-Wilk W 0.965996 Pr < W 0.6188 Kolmogorov-Smirnov D 0.107925 Pr > D >0.1500 Cramer-von Mises W-Sq 0.043461 Pr > W-Sq >0.2500 Anderson-Darling A-Sq 0.263301 Pr > A-Sq >0.2500 Her er normalfordelingsantagelsen tilsyneladende OK variansanalyse, oktober 2006 14 variansanalyse, oktober 2006 15 Test for identiske varianser En af forudsætningerne for den ensidede variansanalyse var, at der var samme varians i alle grupper. Dette testes ved at klikke Test og afkrydse i Levenes test : Antagelsen om varianshomogenitet kan også checkes grafisk med residualplot: Residualer tegnes op mod predikterede (=forventede=fittede) værdier Level of -----------redcell----------- grp N Mean Std Dev 1 8 316.625000 58.7170880 2 9 256.444444 37.1217965 3 5 278.000000 33.7564809 Levene s Test for Homogeneity of redcell Variance ANOVA of Squared Deviations from Group Means Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F grp 2 18765720 9382860 4.14 0.0321 Error 19 43019786 2264199 Ved sammenligning af de k = 3 variansestimater fås en teststørrelse på 4.14, som er F(2,19)-fordelt, svarende til P=0.03, og altså signifikans! Det giver dog ikke så meget ny information...
variansanalyse, oktober 2006 16 variansanalyse, oktober 2006 17 Multiple sammenligninger Problem: F-test viser, at der nok er forskel men hvor? Parvise t-test ikke godt pga. massesignifikans Der er m = k(k 1)/2 mulige test, reelt signifikansniveau: 1 (1 α) m, f.eks. for k=5: 0.40 Hvad gør man så i praksis? Der findes ikke nogen helt tilfredsstillende løsning, men 1. Prøv at undgå problemet (fokuser problemstillingen) 2. Udvælg et (lille) antal relevante sammenligninger på forhånd, dvs. skriv dem ind i protokollen! 3. Tegn gennemsnit ±2 SEM og brug øjemålet (!), evt. suppleret med F-tests på delsæt af grupper. 4. Modificer t-test ved at gange P med antallet af tests, den såkaldte Bonferroni korrektion (konservativ) eller anden form for korrektion (Dunnett, Tukey). variansanalyse, oktober 2006 18 variansanalyse, oktober 2006 19 Statistics ANOVA One-Way ANOVA... Tryk Plots og videre i Means Plot Her med Bars på 2 s.e., dvs. konfidensintervaller for middelværdierne I direkte programmering ændres i symbol-sætningen: symbol1 v=circle i=std1jt l=1 h=3 w=2; Korrektion for multiple comparisons Bonferroni benytter signifikansniveau α m stærkt konservativ, dsv. for høje P-værdier lav styrke Sidak benytter signifikansniveau 1 (1 α) 1 m α m for små m lidt mindre konservativ stadig ret lav styrke Tukey baseres på fordeling af størst blandt mange giver større styrke Dunnett korrigerer kun for test mod referencegruppe (typisk en kontrolgruppe eller tid 0 )
variansanalyse, oktober 2006 20 variansanalyse, oktober 2006 21 I SAS Analyst kan man med fordel anvende: Statistics/Anova/Linear Models og herunder Means/LS Means, vælg grp og compute p s for pairwise differences samt Bonferroni eller Tukey som Adjustment Method: Konfidensintervaller for forskelle: Her skal man ud i koden og tilføje cl i lsmeans-sætningen: lsmeans grp / pdiff adjust=bonferroni cl; lsmeans grp / pdiff adjust=tukey cl; Adjustment for Multiple Comparisons: Bonferroni Least Squares Means for effect grp Pr > t for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: redcell i/j 1 2 3 1 0.0418 0.4643 2 0.0418 1.0000 3 0.4643 1.0000 Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer Least Squares Means for effect grp Pr > t for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: redcell i/j 1 2 3 1 0.0355 0.3215 2 0.0355 0.6802 3 0.3215 0.6802 Adjustment for Multiple Comparisons: Bonferroni Difference Simultaneous 95% Between Confidence Limits for i j Means LSMean(i)-LSMean(j) 1 2 60.180556 1.861360 118.499751 1 3 38.625000-29.796878 107.046878 2 3-21.555556-88.499465 45.388354 Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer Difference Simultaneous 95% Between Confidence Limits for i j Means LSMean(i)-LSMean(j) 1 2 60.180556 3.742064 116.619047 1 3 38.625000-27.590379 104.840379 2 3-21.555556-86.340628 43.229517 variansanalyse, oktober 2006 22 variansanalyse, oktober 2006 23 Hvis antagelserne ikke holder: Transformation (ofte logaritmer) kan afhjælpe såvel variansinhomogenitet som dårlig normalfordelingstilpasning Man kan lave vægtet analyse (Welch s test), ligesom ved T-test Statistics ANOVA One-Way ANOVA... Klik Tests og afkryds Welch s variance-weighted test Welch s ANOVA for redcell Source DF F Value Pr > F grp 2.0000 2.97 0.0928 Error 11.0646 Non-parametrisk Kruskal-Wallis test: Statistics ANOVA Nonparametric One-Way ANOVA... hvor redcell sættes som Dependent og grp som Independent (dårlig betegnelse): The NPAR1WAY Procedure Analysis of Variance for Variable redcell Classified by Variable grp Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable redcell Classified by Variable grp Sum of Expected Std Dev Mean grp N Scores Under H0 Under H0 Score ------------------------------------------------------------------- 1 8 120.0 92.00 14.651507 15.000000 2 9 77.0 103.50 14.974979 8.555556 3 5 56.0 57.50 12.763881 11.200000 Kruskal-Wallis Test Chi-Square 4.1852 DF 2 Asymptotic Pr > Chi-Square 0.1234 Exact Pr >= Chi-Square 0.1233 Vi er altså ikke alt for sikre på den fundne forskel... Bemærk: Man kan også få en eksakt vurdering af teststørrelsen, men pas på i tilfælde af store materialer!
variansanalyse, oktober 2006 24 variansanalyse, oktober 2006 25 /* indlæsning af data og dannelse af sasuser.redcell */ data sasuser.redcell; input grp redcell; datalines; 1 243 1 251 1 275 1 291 1 347 1 354 3 241 3 258 3 270 3 293 3 328 ; /* scatter plot, s. 3 */ proc gplot data=a1; plot redcell*grp / haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 order=(1 to 3 by 1) offset=(8,8) label=(h=3 gruppe nr. ) value=(h=3) minor=none; axis2 offset=(1,1) value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 red cell foliate ); symbol1 v=circle i=none l=1 h=3 w=2; /* analyse s. 9+14+22 */ proc anova data=sasuser.redcell; class grp; model redcell=grp; /* s. 9 */ means grp / hovtest=levene welch; /* s. 14 + 22 */ output out=ny p=predikt r=resid; /* analyse s. 10+20-21 */ proc glm data=sasuser.redcell; class grp; model redcell=grp / solution clparm; /* s. 10 */ means grp / hovtest=levene; /* s. 14 */ lsmeans grp / pdiff adjust=tukey cl; /* s. 20-21 */ /* figurer s. 12+13 */ proc univariate normal data=ny; var resid; histogram / cfill=gray height=3 normal; /* s. 12 */ probplot / height=3 normal(mu=est sigma=est l=33); /* s. 13 */ inset mean std skewness / header= descriptive ; /* nonparametrisk sammenligning, s. 23 */ proc npar1way data=a1 anova wilcoxon; exact wilcoxon; class grp; var redcell; variansanalyse, oktober 2006 26 variansanalyse, oktober 2006 27 ANOVA i relation til t-test antal forskellige samme grupper individer individ 2 uparret parret t-test t-test 3 ensidet tosidet variansanalyse variansanalyse Tosidet variansanalyse forekommer dog oftest i anden sammenhæng: Personerne kan inddeles efter flere forskellige inddelingskriterier (f.eks. rygestatus og aktivitetsniveau) Tosidet variansanalyse (two-way analysis of variance, ANOVA) To inddelingskriterier, A og B Data i tosidet skema (dog ikke, når der skal regnes på dem!): B A 1 2 c 1 2... r Balanceret, hvis der er lige mange obs. i hver celle (evt. kun 1). Effekt på begge leder (dvs. af begge faktorer).
variansanalyse, oktober 2006 28 variansanalyse, oktober 2006 29 Linieplot ( Spaghettiogram ) Gentagne målinger Korttidseffekt af enalaprilat på puls Tid Person 0 30 60 120 mean 1 96 92 86 92 91.50 2 110 106 108 114 109.50 3 89 86 85 83 85.75 4 95 78 78 83 83.50 5 128 124 118 118 122.00 6 100 98 100 94 98.00 7 72 68 67 71 69.50 8 79 75 74 74 75.50 9 100 106 104 102 103.00 mean 96.56 92.56 91.11 92.33 93.14 Ved sammenligning af tidspunkter skal man eliminere variation mellem personer, ganske som i et parret t-test Puls vs. tid, observationer hørende til samme person forbundet. Ideelt er forløbene parallelle (additivitet). variansanalyse, oktober 2006 30 variansanalyse, oktober 2006 31 Model: Der er effekt af person (p) og tid (t): Y pt = µ + α p + β t + ε pt Forsøg på grafisk illustration af modellen: Ideelt set parallelle forløb, overlejret med normalfordelt variation giver mere irregulære forløb. og disse virker additivt. (Nødvendigt med passende bånd på parametrene, i SAS f.eks. α 9 = β 4 = 0). ε pt uafhængige, middelværdi 0, samme varians, normalfordelte, dvs. ε pt N(0, σ 2 ). Variationsopspaltning: Person 1 Person 2 Person 1 Person 2 SS tot = SS person + SS tid + SS res Time point Time point
variansanalyse, oktober 2006 32 variansanalyse, oktober 2006 33 Man kan igen med fordel anvende: Variansanalyseskema df SS MS F P Personer 8 8966.6 1120.8 90.60 <0.0001 Tid 3 151.0 50.3 4.07 0.0180 Resid. 24 296.8 12.4 Total 35 9414.3 Statistics/Anova/Linear Models med puls som Dependent og såvel person som tid som Class-variable. I Statistics vælges Parameter Estimates: The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values person 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tid 4 0 30 60 120 Number of observations 36 Højsignifikant forskel på personer (forventeligt, men ikke så interessant) Signifikant tidsforskel, P=0.018, men vi mangler estimater! Dependent Variable: puls Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 11 9117.527778 828.866162 67.03 <.0001 Error 24 296.777778 12.365741 Corrected Total 35 9414.305556 R-Square Coeff Var Root MSE puls Mean 0.968476 3.775539 3.516496 93.13889 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F tid 3 150.972222 50.324074 4.07 0.0180 person 8 8966.555556 1120.819444 90.64 <.0001 variansanalyse, oktober 2006 34 variansanalyse, oktober 2006 35 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F tid 3 150.972222 50.324074 4.07 0.0180 person 8 8966.555556 1120.819444 90.64 <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 102.1944444 B 2.03024963 50.34 <.0001 tid 0 4.2222222 B 1.65769189 2.55 0.0177 tid 30 0.2222222 B 1.65769189 0.13 0.8945 tid 60-1.2222222 B 1.65769189-0.74 0.4681 tid 120 0.0000000 B... person 1-11.5000000 B 2.48653783-4.62 0.0001 person 2 6.5000000 B 2.48653783 2.61 0.0152 person 3-17.2500000 B 2.48653783-6.94 <.0001 person 4-19.5000000 B 2.48653783-7.84 <.0001 person 5 19.0000000 B 2.48653783 7.64 <.0001 person 6-5.0000000 B 2.48653783-2.01 0.0557 person 7-33.5000000 B 2.48653783-13.47 <.0001 person 8-27.5000000 B 2.48653783-11.06 <.0001 person 9 0.0000000 B... NOTE: The X X matrix has been found to be singular, and a generalized inverse was used to solve the normal equations. Terms whose estimates are followed by the letter B are not uniquely estimable. Bemærk, at de sidste niveauer af hver faktor (Class-variabel) bliver sat til 0 De kaldes referenceniveauer Forventede værdier for person=3, tid=30: Residualer ŷ pt = ˆµ + ˆα p + ˆβ t = 102.19 17.25 + 0.22 = 85.16 r pt = y pt ŷ pt = y pt ȳ p. ȳ.t + ȳ.. Altså f.eks. ŷ 32 = 85.16 r 32 = 86 85.16 = 0.84
variansanalyse, oktober 2006 36 variansanalyse, oktober 2006 37 Residualer vs. forventede værdier Modelkontrol Se efter: Varianshomogenitet (systematik, trompet?) Normalfordelingstilpasning (tunge haler?, skæv fordeling?) Mangel på additivitet (vekselvirkning):. kan kun undersøges hvis der er flere observationer pr. celle Seriel korrelation? (Naboobservationer hænger tættere sammen) Der bør ikke ses nogen systematik. variansanalyse, oktober 2006 38 variansanalyse, oktober 2006 39 Check af normalfordelingsantagelsen: Check af uafhængighed er rimeligt her, da der er flere observationer for hver person Vi har godt nok et personniveau, men der kunne være ekstra seriel korrelation, dvs. at naboresidualer kunne ligne hinanden Det ser rimeligt ud Der ser ikke ud til at være seriel korrelation her
variansanalyse, oktober 2006 40 variansanalyse, oktober 2006 41 Direkte programmering af den tosidede variansanlyse: data sasuser.puls; infile puls.tal firstobs=2; input person tid0 tid30 tid60 tid120; /* udfoldning af data til 4 linier pr. person */ tid=0; puls=tid0; output; tid=30; puls=tid30; output; tid=60; puls=tid60; output; tid=120; puls=tid120; output; /* figur s. 29 */ proc gplot data=sasuser.puls; plot puls*tid=person / nolegend haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3); symbol1 v=circle i=join c=black l=2 h=3 w=2 r=9; /* analyse s. 33-34 */ proc glm data=sasuser.puls; class person tid; model puls=tid person / solution; output out=ny p=predikt r=resid; /* figur s. 37 */ proc gplot gout=plotud data=ny; plot resid*yhat / vref=0 lv=33 haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3 Expected ); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 Residual ); symbol1 v=circle i=none c=black h=3 l=2 w=2 r=9; /* figurer s. 38 */ proc univariate normal data=ny gout=plotud; var resid; histogram / cfill=gray height=3 normal; probplot / height=3 normal(mu=est sigma=est l=33); inset mean std skewness / header= descriptive ; data b1; set ny; lagresid=lag(resid); /* figur s. 39 */ proc gplot gout=plotud data=b1; where tid>0; plot resid*lagresid / href=0 lh=33 vref=0 lv=33 haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3 forrige residual ); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 residual ); symbol1 v=circle i=none c=black h=3 l=2 w=2 r=9; variansanalyse, oktober 2006 42 variansanalyse, oktober 2006 43 Vekselvirkning (interaktion) Eksempel på 2 inddelingskriterier: køn rygestatus Eksempel: Rygnings effekt på fødselsvægt Respons: FEV 1 Her er der vekselvirkning (interaktion). Mulige forklaringer: biologisk forskel på effekt af rygning måske ryger kvinderne ikke helt så meget måske virker rygningen som en relativ (%-vis) nedsættelse af FEV 1
variansanalyse, oktober 2006 44 variansanalyse, oktober 2006 45 Eksempel: Fibrinogen efter miltoperation 34 rotter randomiseres, på 2 måder 17 får fjernet milten (splenectomy=yes) 8/17 i hver gruppe opholder sig i stor højde (place=altitude) Interaktion/vekselvirkning mellem mængden og varigheden af rygningen Outcome: Fibrinogen niveau i mg% ved dag 21 Der er effekt af mængden, men kun hvis man har røget længe. Der er effekt af varigheden, og denne effekt øges med mængden Effekten af mængden afhænger af... og effekten af varigheden afhænger af... variansanalyse, oktober 2006 46 variansanalyse, oktober 2006 47 Tosidet variansanalyse med vekselvirkning: Den sædvanlige model: Y spr = µ + α s + β p + ε spr splenectomy (s=yes/no) og place (p=altitude/control) virker additivt. Statistics ANOVA Linear Models hvor fibrinogen sættes som Dependent og såvel splenectomy som place som Class. For at få interaktionsleddet med, klikkes nu Model, hvorefter man udvælger begge variable og trykker Cross/Add: Model med interaktion (vekselvirkning) Y spr = µ + α s + β p + γ sp + ε spr Her specificeres en interaktion mellem splenectomy og place, dvs. effekten af ophold i stor højde tænkes at afhænge af, hvorvidt man har fået fjernet milten eller ej. og omvendt... The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values splenectomy 2 no yes place 2 altitude control Number of observations 34 Dependent Variable: fibrinogen Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 3 138402.2949 46134.0983 7.51 0.0007 Error 30 184321.2639 6144.0421 Corrected Total 33 322723.5588 R-Square Coeff Var Root MSE fibrinogen Mean 0.428857 22.21804 78.38394 352.7941
variansanalyse, oktober 2006 48 variansanalyse, oktober 2006 49 Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F place 1 57895.84355 57895.84355 9.42 0.0045 splenectomy 1 79976.50000 79976.50000 13.02 0.0011 splenectomy*place 1 529.95139 529.95139 0.09 0.7710 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F place 1 57895.84355 57895.84355 9.42 0.0045 splenectomy 1 78937.01021 78937.01021 12.85 0.0012 splenectomy*place 1 529.95139 529.95139 0.09 0.7710 Referenceniveauerne er place=control, splenectomy=yes (de sidste i den alfabetiske rækkefølge) så disse har forventet fibrinogenniveau på intercept=261.67 For de andre niveauer skal der adderes et eller flere ekstra estimater, således: Standard Parameter Estimate Error t Value Intercept 261.6666667 B 26.12798017 10.01 place altitude 90.5833333 B 38.08774887 2.38 place control 0.0000000 B.. splenectomy no 104.4444444 B 36.95054391 2.83 splenectomy yes 0.0000000 B.. splenectomy*place no altitude -15.8194444 B 53.86421101-0.29 splenectomy*place no control 0.0000000 B.. splenectomy*place yes altitude 0.0000000 B.. splenectomy*place yes control 0.0000000 B.. Parameter Pr > t Intercept <.0001 place altitude 0.0240 place control. splenectomy no 0.0083 splenectomy yes. splenectomy*place no altitude 0.7710 splenectomy*place no control. splenectomy*place yes altitude. splenectomy*place yes control. place splenectomy control altitude 261.67 261.67 yes + 90.58 = 352.25 261.67 261.67 + 104.44 + 104.44 no + 90.58-15.82 = 366.11 = 440.87 variansanalyse, oktober 2006 50 variansanalyse, oktober 2006 51 Vi kan godt få SAS til at udregne disse niveauer explicit: I Model under Linear Models fjernes hovedvirkningerne, og der afkrydses i No intercept The GLM Procedure Dependent Variable: fibrinogen Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 4 4370167.736 1092541.934 177.82 <.0001 Error 30 184321.264 6144.042 Uncorrected Total 34 4554489.000 Vekselvirkningen er ikke signifikant (P=0.77), så vi simplificerer til en tosidet variansanalyse uden vekselvirkning: The GLM Procedure Dependent Variable: fibrinogen Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 2 137872.3435 68936.1718 11.56 0.0002 Error 31 184851.2153 5962.9424 Corrected Total 33 322723.5588 R-Square Coeff Var Root MSE fibrinogen Mean 0.427215 21.88815 77.22009 352.7941 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F splenectomy*place 4 4370167.736 1092541.934 177.82 <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value splenectomy*place no altitude 440.8750000 27.71290793 15.91 splenectomy*place no control 366.1111111 26.12798017 14.01 splenectomy*place yes altitude 352.2500000 27.71290793 12.71 splenectomy*place yes control 261.6666667 26.12798017 10.01 Parameter Pr > t splenectomy*place no altitude <.0001 splenectomy*place no control <.0001 splenectomy*place yes altitude <.0001 splenectomy*place yes control <.0001 men så mister vi muligheden for at teste place 1 57895.84355 57895.84355 9.71 0.0039 splenectomy 1 79976.50000 79976.50000 13.41 0.0009 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 265.3888889 B 22.50900351 11.79 <.0001 place altitude 82.6736111 B 26.53221591 3.12 0.0039 place control 0.0000000 B... splenectomy no 97.0000000 B 26.48627265 3.66 0.0009 splenectomy yes 0.0000000 B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept 219.4814736 311.2963042 place altitude 28.5608000 136.7864222 place control.. splenectomy no 42.9808908 151.0191092 splenectomy yes..
variansanalyse, oktober 2006 52 variansanalyse, oktober 2006 53 Modelkontrolplots Test for normalitet: Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution Test ---Statistic---- -----p Value----- Kolmogorov-Smirnov D 0.12781780 Pr > D >0.150 Cramer-von Mises W-Sq 0.10652540 Pr > W-Sq 0.091 Anderson-Darling A-Sq 0.53922199 Pr > A-Sq 0.160 variansanalyse, oktober 2006 54 variansanalyse, oktober 2006 55 Direkte programmering af interaktion: data a1; input place $ splenectomy $ fibrinogen; datalines; a y 528 a y 444 a y 228 c n 388 c n 425 c n 344 c n 425 ; /* figur s. 45 */ proc gplot data=sasuser.fibronogen; plot fibrinogen*group / nolegend haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 offset=(3,3) value=(h=2) minor=none label=(h=3); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3); symbol1 v=circle i=none c=black h=3; /* analyse s. 47-48 */ proc glm data=sasuser.fibronogen; class splenectomy place; model fibrinogen=place splenectomy place*splenectomy / solution; *output out=ny p=yhat r=resid; data sasuser.fibrinogen; set a1; if place= a then place= altitude ; if place= c then place= control ; if splenectomy= y then splenectomy= yes ; if splenectomy= n then splenectomy= no ; if place= a and splenectomy= y then group= yes_altitude ; if place= c and splenectomy= y then group= yes_control ; if place= a and splenectomy= n then group= no_altitude ; if place= c and splenectomy= n then group= no_control ; /* analyse s. 50 */ proc glm data=sasuser.fibronogen; class splenectomy place; model fibrinogen=place*splenectomy / noint solution; /* analyse s. 51 */ proc glm data=sasuser.fibronogen; class splenectomy place; model fibrinogen=place splenectomy / solution clparm; output out=ny p=yhat r=resid;
variansanalyse, oktober 2006 56 /* figur s. 52 */ proc gplot data=ny; plot resid*yhat / haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3 Expected ); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 Residual ); symbol1 v=circle i=none c=black h=3 l=2 w=2 r=9; /* figur og test s. 47-48?? */ proc univariate normal data=ny; var resid; probplot / height=3 normal(mu=est sigma=est l=33); histogram / cfill=gray height=3 normal; inset mean std skewness / header= descriptive ;