Projektarbejde og modellering

Morten Blomhøj, Tinne Hoff Kjeldsen Projektarbejde og modellering Afstanden mellem praksis og intention i arbejdet med matematisk modellering i gymnasiet Som i Norge indgår matematiske modeller og modellering i undervisningen på gymnasialt niveau (videregående skole). Eleverne skal opnå indsigt i, hvorledes matematik kan bidrage til at forstå, formulere og behandle problemer inden for forskellige fagområder og i hverdagslivet. Matematiske modeller er et emne som skal behandles og som også spiller en vise rolle ved de skriftelige prøver. Hovedbegrundelsen er, at modelleringskompetence er væsentlig både for et alment dannede og et studieforberedende formål, og at den ikke udvikles alene gennem tilegnelse af matematik, men kræver særligt fokus i undervisningen. Det er i hvert fald sådan Morten Blomhøj IMFUFA, NSM, Roskilde Universitet blomhoej@ruc.dk Tinne Hoff Kjeldsen IND, Københavns Universitet tinne.kjeldsen@ind.ku.dk Artikkelen handler om prosjektarbeid og modellering som støtte til matematikklæring, basert på erfaring fra et kurs for matematikklærere. de fleste lærere ser matematisk modellering, og fagordningerne på gymnasialt niveau understøtter også en sådan opfattelse. Elevernes forudsætninger fra grundskolen, omfanget af de faglige emner, der skal behandles, lærernes erfaring med modellering og prøvesystemet betyder imidlertid at intentionen om at støtte elevernes udvikling af modelleringskompetence kun realiseres i meget begrænset omfang. Tilbage-meldinger fra lærere på kurser og seminarer, samt fra de studerende, der starter ved RUC s naturvidenskabelige bacheloruddannelse, og resultaterne fra officielle evalueringer af den gældende bekendtgørelse peger samlet på, at modeller og modellering spiller en væsentlig mindre rolle i praksis end det er intentionen i bekendtgørelsen. Ofte angiver lærerne, at der ikke er tid i undervisningen til at arbejde med modellering og at det er svært for eleverne. Vi mener derfor, at det er en aktuel didaktisk udfordring at udvikle undervisningspraksis i matematisk modellering på gymnasialt niveau. Vi formoder at situationen er tilsvarende i Norge, men det må andre vurdere. Integration af modellering i matematikundervisningens praksis Vi har to forbundne tilgange til denne problematik i vores forskning og udviklingsprojekter, samt i vores udvikling af kurser for gymnasiets matematiklærere. For det første er vi optaget tangenten 4/2013 29

af, hvordan modellering kan blive en integreret del af matematikundervisningens praksis. Det handler om, hvordan arbejdet med modellering kan blive et didaktisk redskab for læreren til at støtte elevernes matematiklæring, således at modellering ikke alene kommer til at handle om at udvikle model-leringskompetence som selvstændigt læringsmål, se Blomhøj og Kjeldsen (2006, 2010, 2013). Hovedpointen er, at arbejdet med matematisk modellering foruden at motivere nogle flere elever til at lære matematik kan give helt konkret mening og støtte til elevernes konstruktion af centrale matematiske begreber og sammenhænge. Elevernes arbejde med modellering af problemstillinger, som de har eller kan få erfaringer med, og som de derfor kan forholde sig fornuftigt og intuitivt til, giver et godt grundlag for at støtte deres begrebsforståelse. Når begreberne og deres forskellige repræsentationer indgår i modelleringssammenhænge, kan eleverne danne mening med dem i relation til den konkrete kontekst og det styrker deres begrebsforståelse. Centrale begreber som variable, funktion, graf, forskellige funktionstyper som lineær funktion, potens- og eksponen-tialfunktion, samt begreber inden for differential- og, integralregning kan i høj grad få konkret mening i modelleringsarbejde. Elevernes mentale billeder af de centrale begreber bliver udfordret og udvidet i arbejdet med modellering, og det er vigtig for tilegnelse af begrebernes formelle matematiske betydninger og dermed for efterfølgende matematiklæring. For det andet er vi optaget af, hvordan man gennem efteruddannelseskurser kan støtte, at lærere udvikler og reflekterer over deres undervisningspraksis inden for matematisk modellering. I denne sammenhæng har vi specielt arbejdet med brugen af problemorienteret projektarbejde og modellering i et kursus for matematiklærere på gymnasialt niveau. Vi har udviklet og afholdt kurset gennem snart 10 år. Kurset omfatter to internater. I det første introduceres til projektarbejde om matematisk modellering 30 og lærerne får inspiration og støtte til at udvikle forløb til egne klasser i grupper af 2-3 lærere (helst fra samme skole). Mellem de to internater gennemfører lærerne deres forløb og gør sig pædagogiske observationer angående visse på forhånd fastlagte elementer i elevernes arbejde. På det sidste internat fremlægges og diskuteres lærernes foreløbige rapporter over forløbene, og deltagerne deler deres erfaringer refleksioner med hinanden (Blomhøj & Kjeldsen, 2006). Vi ved at mange deltagere efter kurset har anvendt deres egne og andres modelleringsforløb i deres undervisning, og at nogle af forløbene også er blevet anvendt af kollegaer, der ikke selv har deltaget på kurset. I denne artikel illustrerer vi begge tilgange ved hjælp af et eksempel på et modelleringsprojekt om medicinering, der udviklet på vores kursus af to lærere. Projektet er udviklet til og gennemført i gymnasiets første klassetrin (16 17 årige elever). Vi har efterfølgende analyseret og anvendt projektet i kurset til at vise, hvordan man kan tilrettelægge og styrer et modellerings projekt således, at eleverne selv kommer til at arbejde med modellering samtidig med, at de får støtte til at tilegne sig centrale matematiske begreber og sammenhænge. Projekt om matematisk model til dosering af astmamedicin Projektforløbet er udviklet til at være noget af det første eleverne oplever i matematik i gymnasiet, men forløbet har med forskellige justeringer været gennemført i forskellige klasser, og vi trækker i denne artikel også på erfaringerne herfra. Lærernes idé med projektet var at designe et forløb af længere varighed, hvor eleverne skulle arbejde mere selvstændigt end normalt. De almindelige elementer i den indledende undervisning blev integreret i løsningen af et konkret problem. Det skete ved at lade eleverne arbejde med et modellering inden for et stofområde (eksponentiel vækst), som skulle gennemgås under alle omstændigheder, og som 4/2013 tangenten

Boks 1: Problemstillingen Astmatikeres problemer med udånding kan lindres medicinsk ved at øge koncentrationen af stoffet theophylline i blodet hos patienten. Er koncentrationen af theophylline under 5 mg/l har det stort set ingen positiv virkning. Er koncentrationen over 20 mg/l har stoffet en toxisk effekt (forgiftning). Problemet er altså at give medicinen sådan, at koncentrationen af theophylline holder sig inden for et bestemt interval, hvor medicinen er effektiv. Som hovedregel tilstræbes en løbende koncentration mellem 5 og 15 mg/l. Stoffet udskilles fra kroppen gennem nyrerne, så mængden af stoffet i blodet falde, hvilket betyder at astmatikeren efter nogen tid vil få udåndingsproblemer, med mindre man fylder op med jævne mellemrum. På det hospital, hvor patienten er indlagt, prøver man, af hensyn til den daglige organisering af arbejdet og for at mindske risikoen for fejl, så vidt muligt at planlægge medicineringen således, at patienten får tilført lige stor dosis, D mg, med lige store tidsintervaller, T timer. En læge er ved at undersøge, hvordan man kan vælge D og T således at koncentrationen af theophylline holder sig inden for intervallet 5-15mg/L. Han har derfor på en patient målt, hvordan koncentrationen af stoffet falder i timerne efter en injektion med 60 mg af stoffet (se boks 2). eleverne stort set intet kendte til i forvejen. Tanken var, at eleverne skulle få erfaringer med et fænomen, som kan forstå og beskrives ved hjælp af ny matematisk teori, at eleverne selv skulle opdage nogle centrale egenskaber ved eksponentielfunktionen, og at de selv skulle opstille en funktionsforskrift fra grunden, der kunne beskrive deres data. I projektet arbejdede klassen således med matematikteori, der skulle Boks 2: Data Tid timer Koncentration mg/l 0 10,0 2 7,0 4 5,0 6 3,5 8 2,5 10 1,9 12 1,3 14 0,9 16 0,6 18 0,5 udvikles fra gang til gang. Problemstillingen blev præsenteret for klassen både mundtligt og skriftlig som vist i boks 1 og 2. På det første internat udviklede lærerne følgende intentioner for elevernes arbejde: 1. arbejde over et længere tidsrum, hvor de selv skulle styre forløbet i et projektarbejde, 2. arbejde med en større og mere uoverskuelig problemstilling, hvor de ikke i forvejen var blevet præsenteret for et standard-svar, 3. lære at opstille en problemformulering, 4. tage udgangspunkt i et problem i stedet for en opgave, 5. arbejde med modelleringen, herunder især med matematisering og fortolkningen af resultater 6. skulle forstå hvad begrebet en matematisk model dækker over, 7. analysere en række data med henblik på at opstille en matematisk model, 8. anvende kendte matematiske begreber som grafer og regneforskrifter i en konkret sammenhæng, 9. trænes i at formulere matematiske problemstillinger til ikke-fagfolk, 10. benytte IT i udstrakt grad. tangenten 4/2013 31

Boks 3: De fire faser i medicinprojektforløbet (1 modul svarer til 90 minutters undervisning): 1. (1.5 modul) præsentation af problemet (se boks 1 og 2). Excel-kursus, netstudier (IT), social kontrakt (projektstyring). Lynkursus i modelleringsprocessens elementer (se boks 4). 2. (1 modul) Problemformuleringsfase og beslutning 3. (3 moduler) Arbejde med hjælpespørgsmål (se boks 5) 4. (4 moduler) Arbejde med det egentlige projekt (se boks 6) (Andersen & Jensen, 2004) De kan inddeles i 4 kategorier: 1 4 handler om at styrke elevernes selvstændighed i læringsprocessen; 5 7 er rettet imod udvikling af elevernes modelleringskompetence; 8 træner elevernes brug af nogle konkrete matematiske teknikker og begreber; mens 9 10 udvikler elevernes kommunikations- og It-kompetencer inden for matematik. Udfordringen for lærerne var at få sat scenen for og styret projektarbejdet på en sådan måde, at disse læringsmål kunne realiseres. Det gjorde de ved at inddele forløbet i fire faser (se boks 3) med en forholdsvis stram styring i de første tre faser, for så at slippe eleverne fri i fjerde fase. Lærerne tænkte på den sidste fase, som det egentlige projektforløb, hvor eleverne skulle arbejde helt på egen hånd. I denne fase påtog lærerne sig rollen som konsulenter, som eleverne Boks 4:Modelleringscirklen Opstilling af matematisk model (hvilken matematisk opgave vil vi løse?) Løsning af den matematiske model (den matematiske løsning) Handlingsforslag Problemformulering (hvad vi vil undersøge i virkeligheden ) (diskussion af løsningerne i virkeligheden ) Problemet i virkeligheden 32 4/2013 tangenten

kunne opsøge og bede om råd hos til konkrete problemer, der dukkede op i projektet. I de tre første faser sigtede på at klæde eleverne fagligt på til selve projektforløbet. I fase 1 fik eleverne et excelkursus med fokus på formelkopiering med parametre ($-mærkning af celler), de blev introduceret til problemstillingen om medicinering, og de blev indført i modelleringsprocessen. Herved var lærerne sikre på, at eleverne dels ikke blev hindret af tekniske vanskeligheder, dels havde et redskab til at reflektere over og kritisere deres eget modelleringsarbejde i den selvstændige del af projektarbejdet (fase 4). De resterende elementer netstudier og social kontrakt handlede om projektstyringsredskaber og relaterer sig til den første gruppe af læringsmålene. I fase 2 brugte lærerne et helt modul sammen med eleverne til at formulere den endelige problemstilling (boks 1), som alle grupper i klassen herefter arbejdede med. Hjælpespørgsmålene (boks 5) i fase 3 var guidede øvelser, der skulle spore eleverne ind på de forventninger, lærerne havde til arbejdet med modellen, og det niveau lærerne havde lagt af såvel matematikfaglig art som af dokumenterings- og formuleringsmæssig art. Endelig fik eleverne udleveret en beskrivelse af kravene til deres rapport (boks 6). Elevernes arbejde med modellering Noget af det første, eleverne oplever som fagligt udfordrende, er forstå og beskrive matematisk, hvordan data i boks 2 udvikler sig. En typisk dialog mellem en gruppe elever (E1-3) og læreren (L) kan fx forløbe således: E1: Vi kan se, at den falder hele tiden, men den falder mindre og mindre. L: Hvaffor en? E1: Øh det må være koncentrationen af medicin. L: Ja. Er der noget system? E2: Ja, den falder til det halve hver fjerde time. Boks 5: Hjælpeopgaver Som en støtte til den endelige rapport, og som en sikkerhed for at I får en tilbagemelding undervejs på jeres arbejde med rapporten, skal I besvare følgende opgaver på Netstudier med vedlagt excel-fil en besvarelse per gruppe. Hjælpeopgave 1: Hvis vi ser på, hvad der sker efter dosering på 60 mg, kan vi beregne hvad koncentrationen er efter 20 timer? Efter 22 timer? Efter 1 time? Kan I angive en regneforskrift der angiver, hvordan koncentrationen regnes ud? Hjælpeopgave 2: Lav en graf, der viser hvordan koncentrationen ændrer sig med tiden efter en injektion på 60 mg. Hjemmeopgave 3: Man beslutter sig til at dosere patienten fast med D=100mg og mellemrum på T=8 timer. Lav en graf der viser koncentrationen i løbet af 2 døgn. Hvilket interval vil koncentration ligge indenfor efter nogle doseringer? Hjemmeopgave 4: Samme spørgsmål som i 3, men nu med dosis på 100mg fordelt ud i 8 doser der gives hver time (dvs T= 1 time og D=100/8=12,5). (Andresen & Jensen, 2004) L: Ja. Den falder altså ikke med en fast størrelse, men hvad er det så der er fast? E1: Det er det den falder altså det vi ganger med. E3: Det må være procenten L: Falder den også med en fast procent, hvis vi ser på spring på 2 timer? E1: Den falder fra 10 til 7. Så der er altså 70% tilbage. tangenten 4/2013 33

Boks 6: Krav til projektrapporten Den skal indeholde: En præsentation af problemet skrevet i et almindeligt forståeligt sprog. En præsentation af de resultater I er kommet frem til: Hvad der sker ved en injektion og hvordan man kan planlægge en række injektioner En diskussion af hvilke spørgsmål man skal være opmærksom på inden man benytter jeres behandlingsmodel på andre patienter.. Et appendiks med det matematiske grundlag for jeres resultater. Forudsætninger, metoder og resultater. (Andresen & Jensen, 2004) blodet som gangevækst med denne faktor, se Boks 7. Eleverne kan endvidere nå frem til at opstille en forskrift for udskillelsen af medicin af formen C(t) = 10 mg / l (0,84) t. Hvor begyndelseskoncentrationen på 10 mg/g svarer til en indsprøjtet dosis på 60 mg. Det er typisk en sammenhæng, som det kræver eleverne en del refleksioner at få styr på. Man som de samtidig kan forholde sig til ud fra deres intuition og forståelse af problemstillingen. Boks 7: Graf udskillelse af medicin med data fra boks 2 L: Ja og når vi skal finde 70%, hvad er det så vi ganger med for at finde det? E1: Vi ganger med 0,7 L: Passer det at den fortsætter med at falde til 70%, når vi går videre? E2: Hvis vi ganger 7 med 0,7 så får vi 4,9 og det passer ikke! Det skulle give 5. E3: Det passer da fint. Det er jo næsten det samme! Det er bare afrundingsfejl. L: Hvis den også falder med en fast procent hver time, hvor mange procent skulle det så være, når den falder med 30% på to timer. E1: Det må være 15% L: Prøv at se om det passer. Hvad skal man så gange med for at få koncentration en time efter? Med forskellig grader af hjælp og støtte fra læreren, når de fleste grupper selv frem til, at en halveringstid på 4 timer svarer til en fremskrivningsfaktor på 0,84 den fjerde rod af ½. Herudfra kan eleverne opbygge et regneark, hvor de kan efterprøve, om de kan beskrive udviklingen i koncentrationen af medicin i 34 Efterfølgende kan eleverne også anvende Excel til at bestemme den eksponentialfunktion, der passer bedst til data. I denne sammenhæng er data netop tilpasset, så det er muligt for eleverne selv at opdage den egenskab ved data, at der er en konstant halveringstid, og at det betyder, at udviklingen kan beskrives som en gangevækst med konstant faktor. Disse egenskaber kan så efterfølgende i klasseundervisningen fremhæves som generelle og definerede egenskaber ved eksponentialfunktioner. Og derved opfylder projektet formålet om at støtte elevernes forståelse af eksponentiel vækst. Regnearksrepræsentationen gør det relativt enkelt for eleverne, at gå fra beskrivelsen af udskillelsen af en enkelt startdosis til at modellere situationer, hvor patienten får en dosis med 4/2013 tangenten

fast interval eller for den sags skyld forskellige doser til forskellige tidspunkter. Injektion af doser til bestemte tidspunkter kan blot repræsenteres i en søjle, der så lægges til koncentration i blodet (efter omregning til mg/l) se boks 8 og 9. Ved hjælp af en regnearksrepræsentation af modellen som vist i boks 8 kan eleverne eksperimentere sig frem til en medicineringsplan således, at koncentration for den pågældende patient holder sig indenfor det ønskede terapeutiske interval ifølge modellen. Eleverne kan også selv stille og undersøge nye spørgsmål ved hjælp af modellen, som fx: Hvad sker der, hvis man kommer for sent med en injektion eller for tidligt? Det kan let undersøges med modellen som vist på grafen i boks 9. Afrunding I dette modelleringsprojekt er intentioner om at støtte elevernes læring af bestemte matematiske begreber og sammenhænge tænkt ind fra starten. Det har haft afgørende betydning både ved selve tilrettelæggelsen af forløbet, hjælpen til eleverne og kravene til elevernes rapporter. Men måske endnu vigtigere har læringsintentioner haft afgørende betydning for lærernes samspil med eleverne undervejs i forløbet. Lærerne var i kraft af deres planlægning meget opmærksomme på, hvordan de kunne støtte og hjælpe eleverne uden at tømme elevernes modelleringsarbejde for læringsindhold. Eksemplet illustrerer efter vores opfattelse, at projektarbejde og matematisk modellering kan integreres i matematikundervisningens praksis som didaktiske redskaber, der både kan motivere og styrke elevernes matematiklæring. Referencer Andresen, B. & Jensen, G.U. (2004). Rapportering af projektforløb i matematisk modellering: Medicinering med fast dosis og tid. Rapport over problemorienteret projektarbejde udarbejdet i forbindelse med efteruddannelseskurset: Problemorienteret Boks 8: Regneark for medicineringsplan k= 0,8408964 Tid (t) dosis (mg/l) konc (mg/l) 0 14 14 1 0 11,77 2 0 9,90 3 0 8,32 4 0 7,00 5 0 5,89 6 10 14,95 7 0 12,57 8 0 10,57 9 0 8,89 10 0 7,47 11 0 6,29 12 10 15,29 Boks 9: Graf for medicineringsforløb med fejl projektarbejde i matematisk modellering, IMFUFA, Roskilde Universitet, 2004. Blomhøj, M. & Kjeldsen, T. H. (2006). Learning mathematical modelling through project work: Experiences from an in-service course for upper secondary teachers. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38, 163 177. (fortsettes side 53) tangenten 4/2013 35

(fortsatt fra side 35) Blomhøj, M. & Kjeldsen, T.H. (2010). Learning mathematics through modelling: The case of the integral concept. In Sriraman, B., Bergsten, C., Goodchild, S., Pálsdóttir, G., Dahl, B. & Haapasalo, L. (eds.), The first Sourcebook on Nordic Research in Mathematics Education, (pp. 569 582). Montana: Information Age Publishing. Blomhøj, M. & Kjeldsen, T.H. (2013). The use of therory in teachers modelling projects experiences from an in-service course. CERME 8, Proceedings of the eighth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. tangenten 4/2013 53