Partiklers energitab i boblekammer Mads Sørensen, Jacob Svensmark og Rune Boas 27. marts 2006 1
Indhold 1 Indledning 3 2 Boblekammeret 3 2.1 Boblekammeret............................ 3 2.2 SHIVA................................. 4 3 Teori 4 3.1 Bestemmelse af det absolutte måleforhold på filmen........ 6 3.2 Usikkerheder............................. 7 3.3 Partikler................................ 7 3.3.1 Elektronen........................... 8 3.3.2 Protonen............................ 8 3.3.3 Pionen............................. 8 4 Bethe-Bloch formlen 8 4.1 Beskrivelse af Bethe-Bloch formlen................. 8 4.2 Behte-Bloch kurven.......................... 9 4.3 Forholdet Z A.............................. 10 5 Behandling af data 10 5.1 Elektronen............................... 10 5.2 Protonen................................ 11 5.3 Pionen................................. 11 6 Diskussion 12 6.1 de/................................. 12 6.2 Proton og elektron simulering.................... 12 6.3 Bethe-Bloch.............................. 13 7 Konklusion 14 8 Litteraturliste 15 9 Appendix 16 2
1 Indledning Når partikler bevæger sig gennem stof er det ganske naturligt at at disse mister en vis mængde energi, pga. sammenstød med andre partikler. Disse sammenstød sker med en så stor regelmæssighed at det har været muligt at opstille en funktion der beskriver det gennemsnitlige energitab pr. passeret mængde stof. Intuitivt kunne man forestille sig at energitabet af en partikel var direkte propertional med den mængde stof den passerer, men der skal vise sig at være flere faktorer indblandet alt afhængigt af partiklens hastighed. Den del af funktionen vi vil beskæftige os med i dette projekt kaldes Bethe-Block kurven efter fysikerne Hans Bethe og Felix Bloch. Til at måle på energitabet af partikler fremstilledes for første gang i 1952 af Donald A. Glaser et såkaldt boblekammer. Kammeret er fyldt med en klar væske, fx H 2, og har den egenskab at en partikel der bevæger sig igennem det vil efterlade et spor af bobler. Tre partikler som er interessante at måle på ved at sende protoner gennem et H 2 boblekammertikler er protonen selv, elektronen og pionen. I opgaven vil vi fokusere på disse 3 partiklers energitab i boblekammeret samt sammenligne dem med det teoretiske middelenergitab: Bethe-Bloch formelen. 2 Boblekammeret På CERN i Schweiz udføres eksperimenter indenfor partikel- og højenergifysik. Eksperimenterne udføres vha store cirkulære partikelacceleratorer, her Proton Synckrotonen, som navnet tro accelerer partikler op til høje energier, 19 GeV, ved at sende dem gennem kraftige elektromagnetiske felter. Flere steder på ringen er bygget nogle sluser hvortil forskellige eksperimenter kan tilsluttes, bl.a. eksperimenter med boblekammer. 2.1 Boblekammeret Boblekammeret har til formål at fotografere baner fra interaktioner mellem partikler. Kammerets vindue er lavet af klar kvarts, indeholder brint ved en temperatur lige under kogepunktet, 27 K, og har et magnetfelt B i z-aksens retning. På kammerets vindue side er 4 kameraer placeret således at sporernes placering i dette kan bestemmes, se figur 1. Et protonbeam bestående af 10 protoner sendes igennem kammeret med intervaller på 7 sekunder. I det øjeblik et beam sendes gennem kammeret udvides dets volumen så brinten bringes til kogning. Partiklen som skydes igennem kammeret ioniserer brinten og danner derved en masse ladninger langs dens bane. Omkring ladningerne dannes der bobler og det er disse spor af bobler der ses på filmen. 3
Figur 1: Billedet viser en tegning af boblekammert og placering af de 4 kameraer. 2.2 SHIVA Til fremvisning og gennemspolning af filmene lavet med boblekammeret bruges et særligt fremstillet bord kaldet SHIVA. Bordet består hovedsagligt at en projektor, et spejl og en hvid bordplade der fungerer som lærred. Billederne på filmen bliver vist i næsten naturligt størrelsesforhold, vha mærker sat på kammerets vægge kan forholdet mellem billed og virkelighed bestemmes. Ved opmåling af sporene med lineal fås den fornødne data til bestemmelse af energitabet. Figur 2: Billedet viser en tegning af bordet SHIVA der bruges til opmåling af partiklerne. 3 Teori Fra de målte data udleder vi energitabet af partikler som funktion af mængden af passeret stof, og plotter det i forhold til deres βγ værdier. Fra boblekammeret har vi billeder af partiklernes baner, og disse skal altså kunne oversættes til et tab i energi. Over boblekammeret virker som nævnt tidligere et magnetfelt i z-aksens retning. Derved vil alle ladede partikler der bevæger sig i kammerets xy-plan i princippet beskrive en cirkelkurve. Partiklerne interfererer imidlertid med det 4
Figur 3: Billedet viser et cirkeludsnit hvor der er indsat de relevante størrelser til at finde s og ρ. stof de passerer igennem, hvilket medfører et tab i deres impuls. Idet partiklernes impuls gradvist aftager, vil krumningen på deres bane blive større og større og i sidste ende i stedet beskrive en spiralkurve. Ved at dele partikelbanerne op i små intervaller og antage, at partiklerne over dette interval bevæger sig i en jævn cirkelbevægelse, kan vi finde en værdi for krumnings radiusen. Derefter findes impulsen og altså tilsidst partiklens energi. En korde med længden L skal afgrænse måleintervallerne. Kordens midtnormal tegnes op på cirkelperferien. Dette linjestykke, S, kaldes for sagita. Ud fra sagitaen beregnes krumningsradiusen, ρ, for dette interval. Formel 1 er bestemt ud fra figur 3. Idet der gælder at ρ = L2 8S S 2 Med ρ findes impulsen. Vi ved fra Lorenzkraften at der for en ladet partikel i et stationært elektromagnetisk felt gælder at F = dp dt = q(e + v B) hvor i vores tilfælde det elektromagnetiske felt E = 0, q er ladningen af partiklen og B er magnetfeltet. Løses denne for p fåes (1) p = 3ρB (2) hvor p måles i MeV/c, B i Tesla og ρ i cm. Med impulsen kan energien let beregnes: 5
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 eller hvis vi skriver pc som p og mc 2 som m og dermed sætter c = 1: Vi definerer nu størrelsen som E = p 2 + m 2 = ρ H2 ds hvor ρ H2 er massefylden af mediet partiklerne bevæger sig i. Vi ser at enheden for, cm 2 g 1 ikke er en egentlig længdeenhed, men et mål for mængden af stof pr. fladeenhed. Med E og kan energitabet pr mængde stof pr fladeareal de målt i MeV cm 2 g 1 beregnes vha gnuplot. Ved at antage at energitabet er konstant over et antal punkter vil hældningen af en fittet ret linje gennem punkterne i et (E,x) kordinatsystem være middelenergitabet over punkterne. Sidste skridt er at beregne γβ. γ = E m, β = p E βγ = p m Vi bemærker at γ kun afhænger af β og at β er dimensionsløs. 3.1 Bestemmelse af det absolutte måleforhold på filmen Det er ganske naturligt når man tager billeder, at størrelsesforholdet ikke helt stemmer overens med virkeligheden. Filmene der er målt på her er ligeldes i et større forhold end virkeligheder. Især når billederne projekteres fra en lille film, og op på et stort lærred. For at finde frem til det virkelige forhold indlægges et koordinatsystem oveni i boblekammeret. Beliggenheden af koordinatsystmet er irrelevant, bare man arbejder med det samme hele tiden. De tidliger omtalte krydser på boblekammerets vægge fungerer som retningspunkter i det indlagte koordinatsystem. Dette er blevet gjort for at være i stand til at finde ud af størrelsesforholdet mellem billede og virkelighed. Man skal så måle afstanden mellem forskellige krydser på billedet. Disse er anbragt i par, i kammerets forgrund og baggrund. Dette skyldes at størrelsesforholdet variere igennem kammeret, da kameraerne ikke har været i stand til at opveje for virkelighedens 3D-effekter.Forholdet variere altså på langs og på tværs af kammeret. For at finde forholdet skal der måles på et par krydser hhv. i forgrunden og baggrunden og enderne af kammeret. Når man gør dette, og sammenligner resultatet med de virkelige afstande, bestemt af krydsernes koordinater, ses at størrelsesforholdet er forskelligt alt efter hvor i kammeret man befinder sig.forholdet i kammeret er bestemt til: 1.148 : 1 For vores målinger har vi negliceret forskellene i størrelsesforholdene igennem kammeret og blot fundet en middelværdig for forholdene. Den eneste overvejelse vi 6
har gjort os for partikelsporerne mht. forholdet er at de skal ligge flat i kammeret således at vi får den simpelst mulige måling lavet. årsagen til at vi ikke har taget højde for de variende forhold igennem kammerets dybde skyldes at de partikelspor vi har målt på er meget lange og går igennem det meste af kammeret. 3.2 Usikkerheder Alt dataindsamling foregår med lineal. Vi har skønnet at vores målenøjagtighed er på ±0.05 cm ved måling af sagita. Idet sagita er den eneste størresle med nævneværdig usikkerhed i vores beregning af de gæder der at p p = S S p = S S p hvor S er sagita for hver måling. Det samme gælder naturligvis også for energien p p = S S E = S S E Vi ser at jo større S, desto mindre usikkerhed. Gnuplot tager usikkerheden for de enkelte punkter i betragtning i sin beregning af de og usikkerheden på samme. Desværre udelukker gnuplots beregning af usikkerheder en fitning af kun 2 punkter, hvilket er nødvendigt ved beregning af de for pion og proton. I dissee tilfælde findes usikkerheden vha.: E = ( E 1 ) 2 + ( E 2 ) 2 Når protonbeam et når kammeret sker der sammenstød mellem protoner og elektroner. Sporerne i kammeret består af små elektronspiraler. Elektronspiralerne opstår ved at en partikel har ramt en elektron der cirkulerer omkring sin proton. Kollisionen forårsager at elektronen slås løs fra sin bane. Elektronen spiraliserer herefter og taber derved energi, gennem vekselvirkninger med partiklerne i væsken. Når dens energi er tilstrækkelig lav indfanges den påny af en proton og der dannes et brintatom. Vi har målt på 3 forskellige partikler: Elektronen, protonen og pionen. Disse partikler fremkommer ved følgende interaktioner i kammeret: 3.3 Partikler pp pp... pp π +... pe pe... γ e + e 7
3.3.1 Elektronen Elektronen er let at kende på dens karakteristiske spiralformede bane som nævnt ovenfor. Ikke alle elektronenergier er målbare, da lave energier danner små spiraler der ikke er mulige at måle. Nogle elektroner har dog så stor en impuls at den får meget store spiraler og det er disse spiraler der er målbare. For elektronen kan forholdet mellem dens lille masse og til tider høje impuls være således at spiralerne måler op til en 1 m i diameter. For vores forsøg er det praktisk at vælge så store og 2 lange elektron-spiraler som muligt, idet det vil kunne give mange måle punkter, og L vil kunne vælges så stor, at usikkederne på punkterne bliver mindst mulige. pe pe... 3.3.2 Protonen γ e + e Protonsporerne er i de fleste tilfælde svære at måle på, da de stort set ikke afbøjes af magnetfeltet på grund af deres høje masse og energi. Nogle få protoner støder imidlertid sammen med andre partikler i kammeret, hvilket sænker deres hastighed nok til at krumningen af deres bane er til at måle. Krumningen er dog stadig meget svag, og for at få bare nogle få målinger er det derfor vigtigt at banen går gennem næsten hele kammeret. 3.3.3 Pionen Pionen dannes i kammeret ved sammenstød mellem to protoner. Pionen fremkommer sjældnere end elektronen og protonen, og kan kendes på en svag spiralform, dog slet ikke ligeså spiralerende som elektronen. Ved dannelsen af pionen dannes også andre partikler dog altid et lige antal. Pionen bliver bremset temmelig voldsomt af brinten i kammeret, og ender endda med at stoppe helt inden den henfalder til en myon. Myonen henfalder kort efter til en positron. pp π +... µ + e + 4 Bethe-Bloch formlen 4.1 Beskrivelse af Bethe-Bloch formlen Bethe-Bloch formlen beskriver delvis relativistisk ladede partiklers middelenergitab ved mængden af stof passaget,. Den afhænger således af dels de de pågældende partiklers fysiske størrelser og egenskaber samt af det medie partiklerne passerer igennem. 8
de = Z 1 kz2 A β 2 [ 1 2 ln 2m ec 2 β 2 γ 2 T max β 2 δ ] I 2 2 (3) Nedenfor er lavet en tabel over de størrelser som indgår i vores forsøg. De opgivede tal er de samme som vi har brugt til beregninger og til at lave det endelige plot figur 6. Symbol Defintion Talstørrelse/enhed m e Elektronmassen 0.511 MeV cm 2 K Konstant (4πN a rem 2 e c 2 ) 0.307075 MeV cm 2 Z Antal ladede partikler i en enkelt kerne i mediet 1 A Masse af en enkelt atomkerne i mediet 1.00794 N a Avogadros tal 6.02214199 10 23 mol 1 r e Standard elektronradius (e 2 4πɛ 0 m e c 2 ) 2.817940285 fm I Gennemsnitlige excitations energi 22 10 6 MeV δ Tætheds effekt korrektion 0 β Standard definition v/c γ Standard definition 1/ 1 β 2 T max Kollisionspartiklernes maksimale kinetiske energi. MeV ρ H Brints densitet 0.063 g cm 3 m P Protonens masse 938.3 MeV c 2 m p Pionens masse 139.6 MeV c 2 m e Elektronens masse 0.511 MeV c 2 Tabel 1: Oversigten viser symboler, definitioner og enheder af de faktorer og størrelser der bruges til beskrivelse af Bethe-Bloch formlen. De opgivede tal er de tal der er brugt til at udregne energitabet ud for de enkelte partikler. 4.2 Behte-Bloch kurven Ved plot af Bethe-Bloch formlen, se figur 6, inddeles koordinatsystemet således at ud af 1. aksen haves størrelsen βγ og op af 2. aksen haves størrelsen de. βγ er en dx dimensionsløs størrelse da β er forholdet mellem to hastigheder, se evt. tabellen de ovenover. har enheden MeV dx cm2 g 1. Ud fra udtrykket for Bethe-Bloch formlen ses det at for små værdier af β er størrelsen 1 den dominerende faktor da β 2 denne bliver meget stor. Logaritmestørrelsen bliver da tilsvareden lille da β 2 inde i den står i tælleren. For størrere værdier af βγ, βγ > 1, bliver logaritmestørrelsen den dominerende.dvs at for partikler med hastigheder hvor β < 0, 6 er det 1 β 2 der er den dominerende faktor og for β > 0.6 bliver logaritmestørrelsen den dominerende faktor. 9
4.3 Forholdet Z A Sammenlignes forholdet Z fra Bethe Bloch formlen for 1 A 1 H og for eksempelvis 4 2He ses en kraftig ændring i dette forhold. Dette skyldes at brints kerne i modsætning til alle andre grundstoffer kun indeholder 1 partikel og denne partikel er en protron. For 4 2He haves to protroner og to neutroner i kernen. Her er bremseeffekten altså mindre da massen af et 4 2He atom er 4 gange større end for brintatomet.og 4 2He ladningen kun er dobbelt så stor som 1 1H. 1 Fra simpel hovedregning opnås altså at 1 H stopping power er ca. dobbelt så stor som 4 2He. 1 Forholdet mellem atomkernernes ladning og atomest masse er altså en væsentlig faktor for hvor effektivt et medie absorbere energi ved kollision med energirige partikler. Hermed ikke sagt at dette forhold er den væsentligste faktor for at beskrive energitabet, vi må ikke glemme at andre faktorer spiller ind. 5 Behandling af data 5.1 Elektronen de βγ Usikkerhed 277.44 15.27 8.27 241.66 3.53 5.08 216.35 5.37 4.00 213.40 5.06 3.59 199.79 9.98 2.84 188.90 6.41 2.16 177.95 4.36 1.76 154.66 4.12 0.96 131.35 10.27 1.72 115.88 2.32 3.55 107.25 6.68 1.94 Tabel 2: Her ses en tabel over de plottede tal for elektronens Bethe-Bloch kurve. Elektronen har meget høje værdier sammenlignet med pionen og protonen. Da elektronens masse er lille vil den ved et sammenstød med den meget tungere proton få en meget høj hastighed. Samtidigt vil den af samme grund let afbøjes i et magnetfelt, hvorfor vi på trods af den høje hastighed ser spiralkurver som holder sig inden for boblekammerets rammer. L er på 10 cm for elektronen gav rimelige værdier for sagita på mellem 0.5 og 1.0 cm. Vi ser at usikkerhederne 1 Massen for 1 1H 1.00794 u Massen for 4 2He 4.002602 u 10
på punkterne derfor ikke er ret stor. Af figur 6 fremgår det at elektronen ligger tilfredsstillende tæt på den teoretiske værdi for middelenergitabet. Det skal her understreges at partiklens energitab over et interval berettiget kan afvige fra kurven for middelenergitabet. På mikroskopisk skala gennemgår partiklen nemlig ikke en kontinuert følge af ensartede stød, men en varierende mængde stød af forskellig karakter. Dette medfører naturligvis en mindre mængde retningsskift, og dermed en varierende målt værdi for de. 5.2 Protonen de βγ Usikkerhed 0.53 7.89 4.03 0.46 11.82 3.28 0.45 17.37 3.33 Tabel 3: Her ses en tabel over de plottede tal for proton Bethe-Bloch kurve. Protonen har en meget høj masse og ved sammenstød med en anden proton får den dermed en meget lavere βγ en elektronen ville få. Dens høje masse medfører dog alligevel en høj impuls, hvorfor krumninsradius som også tidligere nævnt er meget lille. Dette har betydet at kun få punkter kunne måles. L er på 60 cm var nødvendige for at bringe usikkerheden tilstækkeligt langt ned. Dette har betydet at kun et enkelt punkt pr. proton kune frembringes. Vi ser til gengæld at usikkerhederne på hver proton da også er rimelige. Protonens de ligger ca mellem 10 og 20, altså højere end elektronens. Dette stemmer godt overens med den teoretiske værdi for energitabet ved disse værdier af βγ, som er en effekt af leddet 1. β 2 5.3 Pionen de βγ Usikkerhed 0.87 14.61 12.00 0.70 4.14 6.81 0.59 12.34 4.33 0.50 7.80 2.28 Tabel 4: Her ses en tabel over de plottede tal for pion Bethe-Bloch kurve. Pionens bane er kort i forhold til både protonen og elektronen. Dens værdier for βγ ligger omkring pionens selvom den kun vejer 1/7 af protonens masse, 11
men den bevæger sig da også tilsvarende langsommere. Med L er på 10 cm er usikkerhederne blevet større end håbet på. Til gengæld har det været muligt at få 4 punkter for pionen, hvor vi ser at dens de stiger i takt med at βγ falder. Dette kombineret med det faktum at punkterne ligger tæt på den teoretiske værdi for middelenergitabet indikerer at pioner ved disse βγ er følger leddet 1. β 2 Figur 4: Billedet viser vores simulering af en proton og en elektron 6 Diskussion 6.1 de/ Det fremgår af grafen ovenfor at elektronens impuls som funktion af det passerede stof er lineært aftagende. Det betyder at de/ for elektronen er en konstant, hvilket Bethe-Block formlen også beskriver for det interval af βγ hvori vores elektronmålinger ligger. 6.2 Proton og elektron simulering På figur 4 er simuleret baner for en elektron og en proton som de optimalt bevæger sig i boblekammeret. Startimpulsen for elektronen er sat til 130M ev/c hvilket 12
Figur 5: Billedet viser et cirkeludsnit hvor der er indsat de relevante størrelser til at finde s og ρ ifølge formel 2 giver en startradius på ca 25 cm, præcis stor nok til at blive inde i kammeret. En elektron med p = 130 MeV/c har på den i boblekammeret synlige del af intervallet et nogenlunde konstant energitab på ca. 5 MeV/c ifølge Bethe-Bloch formlen. Derfor bevæger den sig stort set som en logaritmisk spiral. Protonens startimpuls er sat til 700 MeV/c. Impulsen er stor i forhold til elektronen idet protonen har en meget høj masse, og det er da også derfor dens spor krummer tilsvarende mindre. En proton med en impuls på 700 MeV/c har en lavere βγ = p m 0.5 og giver et energitab på 10MeV cm2 g 1. 6.3 Bethe-Bloch På figur 6 ses dels Bethe-Bloch kurven plottet for protonen, pionen og elektronen. Yderligere er vores målinger plottet ind på grafen. Det fremgår af grafen at vores måledata ligger på kurven for Bethe-Bloch formlen. Da vores målepunkter for både protonen, pionen og elektronen alle tilnærmelsesvis ligger på kurven for Bethe-Bloch formlen. Konklusionen for vores målinger og vores undersøgelse af deres energitab ved passage gennem et stof er at udtrykket for Bethe-Bloch formlen netop beskriver energitabet. 13
Figur 6: Billedet viser et cirkeludsnit hvor der er indsat de relevante størrelser til at finde s og ρ 7 Konklusion Vores forsøg har givet nogle tilfredsstillende resultater i forhold til Bethe-Block formlen. Vores beregnede punkter lå alle nær kurven for det gennemsnitlige energitab. Selv for protonen er det lykkedes os at dokumentere de dele af Bethe-Bloch formelen som er mulige ved målinger foretaget i boblekammeret. Vores simulering af en ideel elektron- og protonbane giver en god beskrivelse af deres bane i kammeret. Figur 4 viser som sagt en ideel bane og kan sammenlignes med virkelighedens baner, det på trods af alle de usikkerheder virkeligheden indeholder. 14
8 Litteraturliste M. Dam, Introduktion til den specielle relativitetsteori, Niels Bohr Institutet, 10. november 2005. Particle Data Group, Review of Particle Physics, Physical Letters B 592 2004 1 15
9 Appendix Figur 7: Nærbillede af elektronens målinger og dens middelenergitab. 16
Figur 8: Nærbillede af protonens og pionens målinger og deres middelenergitab som stort set er ækvivalente. 17