Partiklers energitab ved passage gennem stof

Transkript

1 Partiklers energitab ved passage gennem stof Skrevet af Heidi Lundgaard Sørensen, Shuhab Hussain, Martin Spangenberg og Rastin Matin. Vejleder: Lektor Hans Bøggild. Afleveringsdato: 31. marts 2008.

2 Resumé Med udgangspunkt i billeder fra CERNs 2-meter boblekammer, er det søgt at eftervise Bethe-Bloch ligningen, der beskriver partiklers energitab gennem stof. Der er blevet målt på elektroner, protoner og π + -mesoner, som efter usikkerhedsberegninger er blevet plottet sammen med deres respektive Bethe-Bloch kurver. I rapporten har vi behandlet usikkerheder på energi, passeret stofmængde, cirkelapproksimation og fra multipel spredning. Da usikkerheden på energien var klart den største, er det kun denne, der er taget højde for i plottet af måledata. Endvidere har vi simuleret ovennævnte partiklers passage gennem et boblekammer. Inden for det udsnit af Bethe-Bloch ligningen vi har arbejdet med, kan vi konkludere, at den er en god beskrivelse på partiklers energitab ved passage gennem stof. Indhold 1 Indledning Boblekammer Teori Forstørrelsesfaktor Energi og impuls Bethe-Bloch ligningen Databehandling Analyse af plot Usikkerheder Usikkerheden på energien E Multipel spredning Yderligere usikkerheder Simulering 11 6 Diskussion 11 7 Konklusion 12 A Udregning af forstørrelsesfaktor 13 B Omskrivningen af udtrykket for impuls 14 C Oversigt over Bethe-Bloch variable 15 D Tilbagelagt strækning 16 E Kode til simulering 17 2

3 1 Indledning Når en partikel bevæger sig igennem et stof, taber den energi blandt andet via ionisation ved sammenstød med stoffet. Det viser sig, at det gennemsnitlige energitab med stor nøjagtighed kan beskrives ved Bethe-Bloch ligningen, som i denne rapport søges eftervist eksperimentelt. Dette gøres ved analyse af boblekammerbilleder fra CERNs 2-meter boblekammer taget i 1960 erne. Der fokuseres på protoner, elektroner og π + -mesoner i passage gennem brint. Endvidere simuleres i VPython energitabet for de tre typer partikler samt deres i- deelle baner i boblekammeret, med det formål at sammenligne med måleresultaterne og partiklernes faktiske baner. 1.1 Boblekammer Et boblekammer består af en beholder, der indeholder en væske, hvilket i CERNs 2-meter boblekammer er brint. Et stempel sørger for at trykket i boblekammeret falder hurtigt, hvilket medfører, at brinten befinder sig i en overophedet tilstand; brinten har nu en temperatur på cirka 27 K. I øjeblikket efter denne ustabile tilstand er indtruffet, sender en partikelaccelerator protoner med en impuls på 19 GeV c ind i kammeret, og ved kollision med brinten afgiver protonerne en mængde energi og ioniserer brinten. Grundet brintens overophedede tilstand vil dette resultere i en kogningsproces langs partikelbanen, hvilket gør at partikelbanen bliver visualiserbar [?]. Partikelbanerne fotograferes fra forskellige vinkler, og det er disse billeder vi analyserer. Vi fokuserer kun på billeder taget fra toppen af kammeret. Det er under disse sammenstød nye partikler dannes, og det er den elektriske vekselvirkning under sammenstødene med brinten, der resulterer i partiklernes energitab og dermed hastighedsnedsættelse [?]. 2 Teori 2.1 Forstørrelsesfaktor Vi har benyttet os af en projektor kaldet SHIVA til at vise de film, hvorpå vi opmåler vores partikelbaner med en almindelig lineal. Disse film bliver ikke vist i et perfekt 1:1 forhold, og derfor er det nødvendigt at arbejde med et måleforhold. På projektionen fra SHIVA er det via opmåling muligt at bestemme dette måleforhold. På boblekammerbillederne er indsat forskellige typer kryds, hvis faktiske indbyrdes afstand er opgivet i en tabel [?]. Via disse data om den faktiske længde imellem et par kryds og et selvvalgt koordinatsystem til opmåling, kan vi dermed bestemme vores måleforhold 1. Disse kryds befinder sig både i forgrunden af kammeret og i baggrunden. Ved opmåling af vores koordinatsystem og sammenligning med den faktiske afstand kan vi se, at denne værdi ændrer sig lineært med afstanden til kameraet. For at gøre det simpelt for os har vi valgt at arbejde med et konstant måleforhold. Vi har antaget, at langt de fleste partikelbaner løber gennem midten af kammeret, og har derfor besluttet at benytte forstørrelsesfaktoren på dette sted i alle 1 Se udregning i appendiks A 3

4 vores beregninger. Dette giver en ekstra usikkerhed, der dog i de fleste tilfælde er underordnet. Vi har desuden valgt at måle på de partikelspor der med bedst tilnærmelse ligger i kameraets plan, så vi dermed kan foretage den mest simple måling. Jævnfør appendiks A er forstørrelsesfaktoren bestemt til F = Energi og impuls Partiklerne i CERNs 2-meter boblekammer bevæger sig i et plan ortogonalt på et konstant magnetfelt B, hvorfor partiklernes hastighedsvektor v og B er ortogonale. Lorentzkraften F = q v B har dermed størrelsen F = qbv, og idet denne altid er ortogonal på v, vil Lorentzkraften ikke ændre størrelsen på hastighedsvektoren, men kun dens retning. Dette resulterer i, at elektronerne grundet deres mindre impuls vil følge en spiralbane, mens protonerne og π + -mesonerne vil følge en krum bane 2. Jævnfør Newtons anden lov gælder altså F = qbv = m v2 r, og impulsen kan derfor skrives som p = qbr. Vi vælger dog at skrive impulsen på formen 3 p = 3Br, (2.1) hvor p måles i MeV c, B måles i Tesla og krumningsradien r måles i cm. Protonerne samt de dannede partikler vil altså bremses på grund af elektriske vekselvirkninger med brinten og afbøjes af magnetfeltet, hvilket skaber de føromtalte baner. Partiklernes energi er givet ved E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 [?], og i enheder af ev kan det skrives som E = p 2 + m 2. (2.2) Idet energien er givet ved E = γmc 2 og impulsen er givet ved p = γmv [?], kan følgende udtryk opstilles Idet β = v c, opnår vi følgende udtryk I enheder af ev bliver udtrykket så 2 Disse baner illustreres senere 3 Se omskrivningen i appendiks B p = E c 2 v E = pc2 v. βγ = v c p vm = p mc. βγ = p m. 4

5 2.3 Bethe-Bloch ligningen Bethe-Bloch ligningen 4 beskriver middelenergitabet af helt eller delvis relativistiske ladede partikler ved passage gennem stof. Dette energitab afhænger ikke kun af passagens længde, men også af stoffets tæthed, og derfor definerer vi x = Lρ, hvor L er længden i cm og ρ er g stoffets massefylde målt i. Ligningen beskriver differentialet - de cm 3 som funktion af βγ, og er givet ved de = Z 1 Kz2 A β 2 [ 1 2 ln ( 2me c 2 β 2 γ 2 T max I 2 ) β 2 δ (βγ) ] 2 Vi har valgt at fokusere på partikler med en βγ-værdi i et interval, der medfører, at det ikke er relevant at medtage det sidste korrektionsled δ(βγ) 2, som korrigerer for polarisering ved høje energier, hvorfor udtrykket vi benytter tager formen de = Z 1 Kz2 A β 2 [ 1 2 ln ( 2me c 2 β 2 γ 2 T max I 2 [?] ) β 2 ], (2.3) hvor T max beskriver den maksimale kinetiske energi en fri elektron kan blive tildelt ved T max = 2m e c 2 β 2 γ γ me M + ( ) m e 2 [?] M Ved at betragte plottet i et (βγ, de )-koordinatsystem bemærkes, at grafen har to karakteristiske dele. For værdier af βγ < 1 er grafen stejlt faldende for stigende βγ, idet faktoreren 1 dominerer. For værdier af βγ > 1 dominerer logaritmefunktionen, idet βγ β 2 vokser med en potens i fjerde i tælleren de/ [MeV cm 2 /g] !" Figur 1: Bethe-Bloch kurven for en elektron Forholdet Z A ses at være størst for brint, idet alle andre grundstoffer indeholder neutroner i kernen, der giver et forhold mindre end 1. Ifølge definitionen af x, er brints stopping power dermed klart det største [?]. 4 Se tabel 4 i appendiks C for en liste over variablernes betydning 5

6 3 Databehandling Herunder ses et eksempel på en beregning af E, usikkerheden på E kaldet E, x og βγ for en målt korde og sagita på henholdsvis L = 9.7 cm og s = 1.1 cm for en elektron. Idet vi har antaget, at usikkerheden på vores målinger med lineal er på 0.1 cm, bliver usikkerheden på sagita s efter korrigering for forstørrelsen s = 0.1 cm 1.14 = 0.09 cm For den samlede tilbagelagte strækning 5 L samlet fås ( ) L samlet = L2 4s 4s arcsin = 10.1 cm L r = L2 8s = 11.3 cm p = 3Br = 58.8 MeV c E p E = de dp p = p E x = ρl samlet = 0.6 βγ = p m = s p = 4.9 MeV s g cm 2 De anvendte udtryk for usikkerheder forklares i afsnit 4.1. Lsamlet ½L s ½L r r θ Figur 2: Geometrien af korde L og sagita s Disse beregninger udføres for tre på hinanden følgende banestrækninger, og en gennemsnitlig βγ-værdi findes. Værdierne for x, E og E fittes til en lineær approksimation i Gnuplot, hvilket resulterer i en gennemsnitlig værdi af de denne. 5 Se appendiks D for udledning samt usikkerheden de på 6

7 Efter ovenstående fremgangsmåde kan følgende tabeller opstilles: βγ de de Tabel 1: Måledata for elektronerne βγ de de Tabel 2: Måledata for protonerne βγ de de Tabel 3: Måledata for π + -mesonerne 7

8 3.1 Analyse af plot Vi plotter værdierne for βγ og de i Gnuplot samt de tre Bethe-Bloch grafer for henholdsvis protoner, elektroner og π + -mesoner, hvilket resulterer i følgende plot 1000 Elektron Proton Pi-meson 100 -de/ [MeV cm 2 /g] !" Figur 3: Bethe-Bloch kurverne for henholdsvis protonen, elektronen og π + -mesonen samt vores målte værdier. Kurverne for protonen og π + -mesonen falder sammen (øverst) Det ses på plottet, at alle fire målinger af π + -mesoner ligger på grafen inden for usikkerhederne, og det samme kan siges for langt de fleste elektronmålinger. For elektronmålingerne gælder, at en ud af de ni ikke ligger på grafen. Statistisk set burde en tredjedel af målingerne ligge uden for grafen, men grundet det relativt lille antal målepunkter er det dog ikke foruroligende, at dette ikke er opfyldt til fulde. Protonerne har klart de største usikkerheder, og der kan dermed ikke drages nogen ret sikre konklusioner ud fra disse målinger. Vi vil i det følgende afsnit undersøge, hvad usikkerhederne kan udspringe af, og særligt for protonerne vil vi undersøge effekten af multipel spredning 6. 4 Usikkerheder 4.1 Usikkerheden på energien E I Gnuplot fittes måleværdierne kun ved hjælp af usikkerhederne på E stammende fra p, E p, og vi har dermed udeladt bidraget fra x, E x. Vi vil først betragte usikkerheden E p. Ifølge ligning 2.1 stammer den eneste usikkerhed på impulsen fra krumningsradien. Denne er beregnet ud fra korde og sagita, hvor usikkerheden på sagita vurderes at have 6 Se afsnit 4.2 8

9 størst indflydelse på impulsen. Derfor kan vi opstille s s = p p s p = s p. Usikkerheden på partiklernes energi E p kan skrives som de dp p [?]. Jævnfør ligning 2.2 må der gælde at de dp = 2p = p 2 p 2 +m 2 E, og vi har derfor sammenhængen E p = p E p. Usikkerheden på E stammende fra x er givet ved E x = de x. De største værdier for de vi møder i dette projekt er for π+ -mesoner og protoner, der efter vores erfaring sjældent kommer over 100 MeV cm2 g for målbare krumninger. Idet vi antager at usikkerhederne på vores målinger med lineal er på 0.1 cm, bliver usikkerheden på vores x-værdier x = 0.1 cm g g. Ud fra vores måledata har E cm 3 cm 2 p gennemsnitligt størrelsesordenen 100 MeV og idet E x har størrelsesordenen 0.6 MeV, har x dermed stort set ingen indflydelse, da bidraget er en faktor af bidraget fra p. Grundet dette ræsonnement benytter vi fremover usikkerheden E p E. 4.2 Multipel spredning Når en ladet partikel bevæger sig gennem et stof, vil den tvinges til at afvige fra dens bane grundet kollision med andre partikler. I vores boblekammer kan størstedelen af disse afvigelser tilskrives multipel spredning, mere præcist Coulombspredning, som er kollisioner, hvor Coulombkraften fra det passerede stofs kerner er den dominerende faktor. Den totale afvigelse, i de forsøg vi behandler, ligger i et interval, så den samlede vinkel som banen afviger med, kan beskrives ved en normalfordeling med bredden θ 0 = 13.6 MeV x z βcp X 0 [ ( x ln X 0 )], (4.1) hvor p, βc og z er henholdsvis impuls, hastighed og ladning for den indkommende partikel [?]. Idet vinklen er invers proportional med β, vil protonerne jævnfør ligning 4.1 være de mest udsatte for multipel spredning, af de partikler vi arbejder med, da disse har de laveste hastigheder. Forholdet x X 0 er tykkelsen af stoffet målt i strålingslængder X 0 givet ved X 0 = g cm 2 A ( ). Z (Z + 1) ln 287 Z Strålingslængden X 0 er det gennemsnitlige x-interval inden for hvilket en højenergetisk elektron mister 1 e af sin energi via bremsestråling7 [?]. På baggrund af denne vinkel fås et udtryk for afvigelsen fra den oprindelige partikelbane i tre dimensioner, der videre kan 7 Dette begreb dækker over ladede partikler, der mister energi under acceleration 9

10 projiceres ned i partikelbanens plan. Det endelige resultat for afvigelsen i planen, som kan benyttes til at finde en afvigelse på korden, er givet ved s plan = x θ 0 [?]. Ved at antage, at denne formel også gælder for krumme baner i et magnetfelt, kan vi ud fra typiske værdier for impuls samt x-interval gennemløbet for hver måling af sagita vurdere den ekstra usikkerhed stammende fra multipel spredning. På baggrund af de målte protoner kan vi opstille følgende repræsentative værdier x 2 g cm 2 p 700 MeV c β = p m 0.75 X 0 = 63 g cm 2 θ s plan g 0.02 cm cm2 En ekstra usikkerhed på korden af størrelsesorden 0.02 cm, og dermed en endnu mindre usikkerhed på sagita, vil ikke have nogen registrerbar indflydelse på måleresultaterne, idet vores vurdering af måleusikkerhederne med lineal i forvejen ligger på 0.1 cm. Protoner med lavere impuls og større krumning end dem vi har opmålt kan i værste tilfælde nå op på en usikkerhed stammende fra multipel spredning på ca cm, hvilket nok ville give udslag i en mærkbart større usikkerhed, men generelt må vi konkludere, at multipel spredning ikke er så stor en usikkerhedsfaktor i vores opmålinger. 4.3 Yderligere usikkerheder Vi har undladt at tage højde for visse usikkerheder. Som tidligere nævnt bruger vi ved samtlige beregninger måleforholdet midt i boblekammeret, hvilket giver en ekstra usikkerhed på både sagita og korde. SHIVA projicerer heller ikke helt korrekt, idet måleforholdet ændres svagt fra midten af billedet ud til kanterne. Vores beregninger af krumningsradien bunder i den antagelse, at hvert udsnit af partikelbanen er en cirkelbue, hvilket ikke er helt korrekt, idet krumningen konstant tiltager, efterhånden som partiklen mister energi. Dette giver derfor en systematisk fejl i alle målinger. Figur 4: Eksempel på cirkelbue (stiplet) kontra partikelbane 10

11 5 Simulering For hver type partikel har vi udvalgt en af de opmålte baner, som vi har simuleret 8 ud fra startimpuls og -energi. For elektronen har vi desuden taget et billede af den faktiske partikelbane, og forsøgt at sammenligne dette med simulationen. Det bemærkes, at der er en hældning på billedet vi har taget af elektronspiralen, og at det blandt andet forklarer, hvorfor den simulerede spiral ikke følger den egentlige spiral fuldstændig. Det ses desuden, at der efter første omløb pludselig sker en afvigelse fra simulationen, der efterhånden aftager igen. Dette kan skyldes hældningen af billedet, eller at elektronen ikke ligger helt plant. Ud fra disse forbehold synes simulationen at være korrekt. Figur 5: Simulering af elektron lagt på baggrund af faktiske partikelbane 6 Diskussion Som allerede nævnt ligger en ud af de ni elektronmålinger uden for grafen, men selvom det statistisk set burde være en tredjedel der er tale om, vil vi, jævnfør afsnit 3.1, se bort fra statistikken i dette tilfælde grundet det relativt få antal målinger. Det bemærkes dog, at målingerne generelt ligger under kurven, hvilket kan skyldes korrektionsleddet i Bethe-Bloch formlen, som vi har set bort fra i plottet. I det βγ-interval, som vores elektronmålinger befinder sig i, ligger den korrigerede kurve svagt lavere end den ukorrigerede kurve, som vi opererer med [?]. Hvis vi havde taget højde for korrektionsleddet, ville vores elektronmålinger altså have ligget bedre. De store usikkerheder på protonmålingerne skyldes ikke som ventet multipel spredning, da vi fandt, at usikkerhederne herfra er mindre end den vurderede usikkerhed på målingerne foretaget med lineal af korder og sagita med en faktor to eller mere. Vi kan derfor ikke vurdere Bethe-Bloch formlen alene på baggrund af protonmålingerne. 8 Se koden samt billeder fra simuleringerne i appendiks E 11

12 Idet protonerne krummer langt mindre end elektronerne og π + -mesonerne, er det nødvendigt at opdele banen i større stykker. Derved bliver cirkelapproksimationen dårligere, da energitabet de øges med banestrækningen. Usikkerhederne kommer dermed til udtryk, når tre på hinanden følgende målinger fittes sammen i Gnuplot. Dette kunne være afhjulpet ved at måle på lavenergiprotoner, der krummer mere, hvor usikkerheden fra multipel spredning stadigvæk ikke vil have nogen indflydelse trods lavere hastighed. Alternativt kunne man forsøge at minimere usikkerheden ved at undersøge, hvilken indflydelse det har om der måles med fast korde, fast sagita eller variable længder. Alle målingerne af π + -mesonerne ligger i et meget smalt βγ-interval. Det havde været at foretrække, at intervallet var større, for at få et større udsnit af Bethe-Bloch kurven dækket. Dette kunne være opnået ved at måle på et større energispektrum af π + -mesoner. Ved fit af data i Gnuplot valgte vi at fitte tre målinger ad gangen. Under antagelsen af at energitabsraten de er konstant, ville et fit af det maksimale antal målinger for hele banestrækningen være at foretrække, da usikkerhederne på de enkelte målinger ville få mindre betydning. Men da de ikke er konstant, vil ændringen af den blive for stor i intervallet ved fit af for mange målinger. Derfor valgte vi som kompromis at fitte tre målinger ad gangen, hvor de behandles som en konstant. 7 Konklusion Simulationer af de tre typer partikler ud fra Bethe-Bloch formlen viser, at en partikels bevægelse i boblekammeret kan forudsiges nøjagtigt ud fra viden om magnetfeltets styrke, partiklens startimpuls samt dens energitab. Den store usikkerhed på protonmålingerne kan ikke forklares med multipel spredning, men antages i stedet at have sit udspring i cirkelapproksimationen. Protonmålingerne a- lene kan derfor ikke på tilfredsstillende vis bekræfte Bethe-Bloch formlen, men sammen med de vellykkede målinger på elektronerne og π + -mesonerne, kan vi inden for de fundne usikkerheder konstatere, at ligningen er en god beskrivelse af energitabet af en ladet partikels passage gennem stof i det relevante βγ-interval. 12

13 A Udregning af forstørrelsesfaktor På boblekammerbillederne er der placeret afmærkninger, de såkaldte fiducialer. Idet vi antager, at partiklerne bevæger sig midt i kammeret, er vi interesseret i de afmærkninger, der viser forholdet mellem forsiden og bagsiden af kammeret. Vi har målt afstandene L forside = 48.9 cm L bagside = 47.7 cm For at finde de respektive faktorer, skal vi dele med de faktiske længder [?], hvorfor vi opnår F forside = F bagside = 48.9 cm 39.0 cm = cm 46.0 cm = 1.04 Forstørrelsesfaktoren er gennemsnittet af disse to værdier, hvorfor vi opnår F =

14 B Omskrivningen af udtrykket for impuls Vores udtryk for impulsen p udledt udfra Newtons anden lov er p = qbr med enheden kg m s ækvivalent med J s m. Eftersom vi opererer med partikler med elementarladningen e = C, omskriver vi udtrykket til p = Br. Vi vil nu omregne dette til MeV c. Siden 1 MeV = J, får vi følgende sammenhæng i MeV s m Br = 10 6 Br. Eftersom vi ønsker at udtrykket skal være på formen MeV c, multiplicerer vi udtrykket med c = m s, hvorfor vi opnår det ønskede udtryk p = 3Br, hvor p måles i MeV c, B måles i Tesla og krumningsradien r måles i cm. 14

15 C Oversigt over Bethe-Bloch variable Variabel Definition Enhed eller værdi c Lysets hastighed m s v β Partiklens hastighed ift. lysets hastighed c 1 γ Lorentzfaktor 1 β 2 m e Elektronens masse MeV c 2 T Kinetisk energi MeV A Absorberende stofs molarmasse g mol r e Elektronradius fm z e Indkommende partikes ladning C N A Avogadro s tal mol 1 K Konstant 4πN A rem 2 e c 2 MeV M Indkommende partikels masse c 2 I Gennemsnitlig excitationsenergi 19.2 ev Z Absorberende stofs atomnummer Tabel 4: Oversigt over variable i Bethe-Bloch ligningen 15

16 D Tilbagelagt strækning Jævnfør geometrien på figur 2 opnås følgende udtryk for krumningsradien r 2 = ( ) L 2 + (r s) 2 r = L2 2 8s + s 2 L2 8s. Endvidere gælder, at sin ( ) θ = L ( ) L 2 2r θ = 2 arcsin. 2r Idet L samlet = θr, opnås sammenhængen L samlet = 2r arcsin ( ) L. 2r Substituerer vi udtrykket for krumningsradien r ind, opnås følgende sammenhæng for den tilbagelagte strækning ( ) ( ) L samlet = 2 L2 8Ls 8s arcsin 2L 2 = L2 4s 4s arcsin. L 16

17 E Kode til simulering Nedenstående er koden vi benytter til at simulere elektronens passage gennem brint. Den samme kode er benyttet til at simulere protonen og π + -mesonen, dog har vi ændret på massen, ladningen, startenergien og -impulsen. Billeder af simuleringerne forefindes efter koden. from v i s u a l import e l e k t r o n=sphere ( pos =(14.0, 2.0,0.0), r a d i u s =0.0, c o l o r=c o l o r. green ) #Diverse k o n s t a n t e r og s t a r t v æ r d i e r p =82.4; E=82.4; M=0.511; me=0.511; K= I = ( 6); c =3 (10 10); rho m =0.063 #massefylde a f b r i n t z= 1; Z=1; A=1; B=1.74 Bv=B v e c t o r ( 0, 0, 1 ) ; v e l=v e c t o r ( 0, 1, 0 ) normal = z v e c t o r ( v e l. y, v e l. x ) # normalvektor t i l h a s t i g h e d s v e k t o r e n t h e t a t o t = 0.5 pi path=curve ( r a d i u s =0.08) path. c o l o r=c o l o r. black a u t o s c a l e=0 scene. range =(19,19,19) scene. background=c o l o r. white =0.005 x=3.2 while E>20: r a t e (10000) #Ny e n e r g i og impuls beta=s q r t (1 M 2/E 2) gamma=1/ s q r t (1 beta 2) ds = /rho m Tmax=2 me ( beta 2) (gamma 2)/(1+2 gamma me/m+(me/m) 2) de=(k ( z 2) (Z/A) ( 1 / ( beta 2 ) ) ( 0. 5 l o g (2 me ( beta 2) (gamma 2) Tmax/( I 2)) beta 2)) E=E de ; p=e #f o r protonerne og p i +: p=s q r t (Eˆ2 mˆ2) 17

18 #Krumningsradius og centrum f o r c i r k e l b a n e r=p/(3 B) centrum = e l e k t r o n. pos z normal r #Samlet v i n k e l s t r æ k n i n g theta=ds / r t h e t a t o t = t h e t a t o t z theta #Normalvektor t i l h a s t i g h e d e n v e l = v e c t o r ( cos ( t h e t a t o t ), s i n ( t h e t a t o t ), 0 ) normal = z v e c t o r ( v e l. y, v e l. x ) e l e k t r o n. pos = centrum normal r path. append ( pos=e l e k t r o n. pos ) x=x+ Figur 6: Simulering af proton Figur 7: Simulering af π + -meson 18