Det ses tidligt Faglige udfordringer og tidlig indsats Vordingborg 2012 80% af dem der i 4 årsalderen fik simple talforståelsesopgaver og fejlede på dem havde vanskeligheder i 1. /2.klasse Nyere forskning siger (Lunde) at lærevanskeligheder kan reduceres med 70% hvis indsatsen er tidlig nok. 1 Bent Lindhardt UCSJ 2 Bent Lindhardt UCSJ MIO OBSERVATIONER Problemløsning matematisk sprog 2 3 år Kan skelne mellem begreberne stor og lille 4 MOD - projektet Kompetencecenteret i Matematikdidaktik 1
MILEPÆLE I TALSANS 0;0 Subitizing (Antell 1983) 0;4 Kan addere og subtrahere en (Wynn, 1992) 0;11 Skelner mellem at tælle forlæns og baglæns (Brannon, 2002) 2;0 Begynder at kunne tælle (Fuson, 1992); Kan foretage en til en korrespondance (Potter 1968) 2;6 Erkender at et talord er mere end en(wynn, 1990) 3;0 Tæller antal op til fire (Wynn, 1990) 3;6 Adderer og subtraherer en ved at bl.a. at pegetælle (Starkey & Gelman, 1982); Kan anvende det kardinale princip i forbindelse med mængde forståelse (Gelman & Gallistel, 1978) FORTSAT 4;0 Tæller på fingre (Fuson & Kwon, 1992) 5;0 Kan addere små tal uden at tælle (Starkey & Gelman, 1982) 5;6 Forstår at 3 + 5 er det samme som 5 + 3(Carpenter & Moser, 1982); Kan tælle til 40 (Fuson, 1988) 6;6 Forstår relationen mellem addition og subtraktion (Bryant et al, 1999); Kan tælle til 80 (Fuson, 1988) 7;0 Genkalder sig talfakta fra hukommelsen En-til-en-korrespondance Ordning og klassifikation Børn skal have forståelsen af at inddele i grupper og undergrupper De skal kunne dele op i en ordnet rækkefølge. 2
Relationsbegrebet 1 Man kan sammenligne og udtale sig om størrelser (Tid, længde, vægt, areal og volumen) Bemærk forskellen mellem sammenligne noget det relative og så en absolut måling. Eksempel. Din blyant er længere end min. (relativt) Jeg har en lang blyant. Den er. (absolut) Hvornår er noget stort? Relationsbegrebet 2 Man kan udtale sig om mængder Fx Der er flere færre større antal mindre antal - større end Relationsbegrebet 3 Der er forskel på Hvor mange? Hvor meget...? Positioner og retning Fx over, ved siden af, til højre. Bamsen er ved siden af skabet på øverste hylde. Højre venstre. Gå lige ud og drej så til højre 3
En historie Christian havde for anden gang i sit liv inviteret til stor fest på sin fødselsdag 21. april. Der var inviteret omkring 68 gæster, hvoraf de 15 var svenskere. Han havde bestilt et 10 m langt telt med et gulvareal på 40 m 2. Hans havde valgt sin yndlingspizzaer nr. 38 og nr. 42 til gæsterne. Alle var inviteret til kl. 13. 30, men Christian måtte konstatere, at der manglede 7 gæster. 2 4 6 8 der var de stole der skulle være ved bordene, sikrede han sig. At basistælle Barnet tæller ud i det blå tilfældige ord efter hinanden. Barnet kan remsen men forbinder ikke noget numerisk indhold til remsen. Tælling er en ordleg. Der er knyttet en genstand til de enkelte talord de tegner for eksempel et tårn eller tænker i pæle som sidder ved siden af hinanden. Den tredje pæl er således en bestemt pæl. Indser at det sidste tal i en tælling svarer til mængdeantallet. Knyttet til spørgsmålet Hvor mange.? Antalskonservering antallet fem er uafhængig af genstand, tid og sted. Talidentifikation Pege på et tal efter adspurgt (Peg på 5) Sige tallet efter der peges på det (Hvilket tal er det?) Skrive tallet Placere talkort i rigtig rækkefølge Taltavler (1 20) (0 100) POSITIONER Tælle i bundter af ti med navn. Det er tiere 10 20 30 ) Bundte i tiere med objekter fx 3 tiere og 2 enere - Tiere består altså af ti enere. Kan tælle i spring af ti og en fx 2 12 32-31 21 frem og tilbage. Kan danne tal af cifre fx 5 og 3 kan danne 35 og 53. Kan overføre bundtning af 3 tiere og 2 enere til 32. 4
SEKVENSTÆLLING (FREM OG TILBAGE) Op til 10 men skal starte forfra Kan tælle fra et givet tal fx 4 op til 10. Kan sige tallet før og efter et givet tal fra 1 10. Kan tælle fra 1 (20)30 Kan tælle fra 1 100 Baglæns tælling er sværere end forlæns tælling Sammenparre og adskille 1) Eleven tæller de røde biler (1-2-3-4)og derefter de grønne biler(1-2-3-4-5). Bagefter starter han forfra. 2) De røde biler tælles(1-2-3-4). Der fortsættes med de grønne (5-6-7-8-9) 3) Eleven ser de 4 røde biler og fortsætter med de grønne (5-6- 7-8-9) 4) Eleven vælger at starte med det største antal og fortsætte (6-7- 8-9) ADDITIVE/SUBTRAKTIVE PROCESSER 1 Man kan beskrive to ligestillede mængder. Additivt: Jeg har fire brikker i den ene hånd og fem brikker i den anden hånd. Samler jeg dem giver det ni brikker. Subtraktivt: Jeg har ni brikker i alt. I den ene hånd er der fire brikker. Så er der 9 fra 4 brikker i den anden hånd. ADDITIVE/SUBTRAKTIVE PROCESSER 2 Man kan forandre en mængde over tid. Additivt: Jeg har fra starten fire brikker. Så kommer der en som giver mig fem brikker. Nu har jeg ni brikker. Subtraktivt Jeg starter med ni brikker. Så kommer der en som fjerner fire brikker. Nu har jeg fem brikker. 5
ADDITIVE/SUBTRAKTIVE PROCESSER 3 Man kan sammenligne to mængder. Additivt/subtraktivt: Jeg har fire brikker og du har ni brikker. Du har så fem brikker flere end mig. Jeg skal have fem brikker mere, hvis vi skal have lige mange. (fylde op eller trække fra ) Mange repræsentationsformer 24 Bent Lind hard t UCS J 6
REPRÆSENTATIONSFORMER MULTIPLIKATION Mængde af ens antal 25 Evt. fortløbende addition 3 + 3 + 3 + 3 26 Areal opstilling og arealberegning Bent Lind hard t UCS J Forstørrelse og formindskelse et antal gange. - Den er 10 gange større eller der 10 var gange flere Bent Lind hard t UCS J MULTIPLIKATION MULTIPLIKATION Forhold mellem tal ( det mystiske a noget) Hvis en 1 liter mælk koster 6,50 kr. Hvad koster så 10 liter mælk? 27 http://www.youtube.com/watch?v=kzkopkihsrc Italienske gittermetode Modificeret gitter 28 Kombinatoriske sammenhænge. Hvis man kan vælge tre hovedretter og fire desserter, hvor mange forskellige måltider kan man da få? Bent Lind hard t UCS J Bent Lind hard t UCS J 7
Lommeregneren PRISEN PÅ ET ORD Der er sider som understøtter og udvider faget: Læringsmiddel Gå på opdagelse i gange 10 og dividere med 10. - Kontrolapparat Er der regnet rigtigt? Talknuser Vi kan operere med langt mere komplicerede sammenhænge hvis fokus er på problemløsning 29 Alle bogstaverne i alfabetet har en pris A = 1 kr. B = 2 kr. C = 3 kr. Osv. Hvor dyrt er dit navn? Hvem er billigst? Det billigste ord I kan komme på? Kan vi finde et ord som ca. koster 100 kr. 30 Bent Lind hard t UCS J Bent Lind hard t UCS J Om forskning i tidlig indsats Metodisk - forskning Tidlig indsats Mathematical Recovery. Australien i starten af 90 erne. Videre til England og USA hvor det er stort. Wright m.fl. Et spænd på 3 år når de starter i skolen. Dem der er 3 år bagud i starten er 7 år bagud, når de når 10. skoleår. Individuelt arbejde med børn som ligger i bunden har en tydelig påvirkning på deres præstation denne indsats behøver ikke at være meget stor. 32 Bent Lindhardt UCSJ 8
Ann Dowker Oxford uni. Tidlig intervenering har betydning for holdningen til faget. Det er áldrig for sent - man kan indhente mangler senere. Numeracy recovery 6 7 årige børn i primary school 175 havde vanskeligheder - ca. 15% af de udvalgte klasser Fokus på tælling pladsværdi talskrivning problemløsning - overslag repræsentationsformer i fx addition strategier 30 min pr uge i 30 uger individuelt af den lokale lærer Kontrolgruppe 4 mdr. bedre, mens forsøgsgruppe blev 9 mdr. bedre. 33 Bent Lindhardt UCSJ Australsk undersøgelse Extending Mathematical Understanding intervention program (EMU) Omtalt som Mathematical Recovery 10 20 uger med dagligt 30 minutters indsats Højst tre elever Observationer af at elev-lærer kommunikation kommer igennem op til 100 matematiske sammenhænge og ideer i en sådan seance. Konstruktivistisk dialog med fokus på forståelse Struktur 10 minutter med tælling og pladsværdi aktiviteter 15 minutter med problemløsning knyttet til regningsarterne 5 minutters refleksion med opsummering af hovedaspekterne ved lektionen. 34 Bent Lindhardt UCSJ TRE BØGER SORØ tidlig indsats Test (grøn) Undervisning i klassen (lilla) Undervisning på særlige små hold (blå) 9
De reducerede rammer Holberg skolen gennemførte med tre elever i en periode på 22/10 26/1 samlet 17 lektioner - 3 lektioner om ugen Sorø Privat skole gennemførte med tre elever uge 44-50 med 3 lektioner om ugen samlet 18 lektioner Pedersborg gennemførte med to elever i 3 4 lektioner i perioden 2/11 21/12 samlet 23 lektioner. Seks kategorier Emergent child (Begyndertæller) Perceptual child (Sansetæller) Figurative child (Billedtæller) Intial number sequence child (Additionstæller) Intermediate child (Subtraktionstæller) Facile child (Strategisk tæller) TIT-test (1) Tælle fremad Begynd at tælle fra det tal jeg siger. Bliv ved indtil jeg siger stop a)1 til 32 b) 48 til 61 c)76 til 84 d) 93 til 112 Test af elevernes niveau Stof 1 2 3 4 5 6 Tal-identifikation x (2) Tallet efter Sig det tal der kommer lige efter det jeg siger. a)14 11 23 29 19 20 12 b)5 3 9 6 7 59 7 0 65 99 32 (3) Talidentifikation Lærer peger på tre forskellige kort. Der vises et kort med tallene. Fortæl hvad det er for tal du ser på kortet. Basistælling x Sekvenstælling x Antalsbestemmelse Ingen niveauer - beskrivelse På baggrund af krydserne placeres man i et stadie 10
Begyndertæller Kan ikke tælle mængder over ti fx mellem 13 18. Kan måske tælle små mængder med op til 6-10 elementer Der er spring i deres tælling der er ikke korrespondance mellem det de peger på og deres tælling De tæller automatisk på spørgsmålet hvor mange er der? selv om de måske kan overskue antallet fx 3. Har svært ved at tælle baglæns. Har svært ved at sige tallet lige før. Kan typisk ikke sige alle tal op til 10, bytter rundt på 6 8 samt 6 og 9 De kan måske klare at lægge rækkefølge af talkort op til 5. I deres håndskrift er følgende fejl: De kan forveksle 2 og 6, Kan have svært at læse tallene 6 og 8 samt 6 9. De byttes rundt. Kan se talmængder i form af fx prikker på en terning men ikke større mængder det de ser tælles. Altså ingen forståelse af kardinaltallene. Viser et antal ved at tælle langsomt med fingrene op til fem Kan kun overskue temporal tælling op tre fx klap eller skridt Udvælgelsen og måling af eleverne På baggrund af forespørgsel til lærere de 2 svageste i klasse samt en kortfattet test. Test bygget ud fra MR under og efter. Virker relevant og brugbar. (Teaching to the test?) Placeringen af elever på stadier var anvendelig og overførbar fra MR. Typisk stadie 2 3. Enkelte skeptiske forældrepar meget positiv reaktion efterfølgende. Kunne mærkes på hjemmefronten. Spørgsmål om de er blevet bedre til matematik Nemmere at lave lektier sammen med far Det går vist meget godt med at lave lektier nu undtagen når hun(mor) bliver sur men min far er den klogeste Hmmm Bedre med tallene vild usikker med 70 men 80 og 90 er nu nemme Det går lidt bedre over i klassen Synes jeg er bedre til tallene bedre til baglænstæling god til badetallene. Nemmere at løse opgaverne i matematikopgaverne var længst bagud Spørgsmål om faget Glæder mig til alle fag Matematik er mit bedste fag Jeg kan godt lide det Min matematikbog er god 11
Spørgsmål om hvorfor de er kommet til ekstra matematik Tjah det ved jeg ikke det var noget med mine forældre som synes at Har det ikke svært Svært ved at regne nogen af regnestykkerne - har svært ved at minus uden taltavle Spørgsmål om at være ude af klassen De andre er misundelige Det er lige meget om det ligger uden for matematiktimerne Der er ikke nogen der har sagt noget de er ligeglade Når der er larm har jeg svært ved at koncentrere mig - her er der ro og så kan jeg få hjælp med det samme. Effekten Gennemførte test viste fremgang for alle. To typer af elever : de matematiktunge og matematikspirerne. De første skuffede i forhold til indsatsen de andre kom langt i forhold til indsatsen. Spørgsmål om langtidseffekten? TIKØB Matematikskibet 12
TIKØB - matematikskibet Tikøb skole har tidligere erfaringer tidlig indsats i læsning (Læsetoget) Modellen indeholder elevdifferentiering. Klassestrukturen ophæves for 1. 3. klasse man tilhører en station ud fra et læseniveau. Alle arbejder samtidig fra 8.00 8.45 i fem uger. Plan Inddele eleverne i to hovedgrupper: 0. 1. klasse og 2. 3. klasse. Ca. 35 40 elever i hver hovedgruppe. Disse inddeltes i hold med en makker efter fagligt niveau målt efter standardtest ( Mat +) C0 C10 reduceredes til 7 niveauer i forhold til en normalfordeling benævnt fra A til G. Forløbet Arbejdskort et for hver gang Uge 1 Uge 2 Uge 3 Uge 4 Uge 5 1- dag: Skibet løb af stablen. Eleverne fandt deres makker og deres kahyt. Forløb 1: 10 gange med en kasse og et arbejdskort for hver dag. Evaluering med eleverne. Forløb 2: 10 gange med en kasse og et arbejdskort for hver dag 13
Matrix for første gruppe Tælling, sekvenser af tal, talkendskab A B C D E F 1 Kende til talnavne 1 10 i Kende til talnavne 1 10 i Kende til talnavne 1 20 Kende til talnavne 1 40 Kende til talnavne 1 100 forbindelse med rim og forbindelse med rim og kunne gengive dem kunne gengive dem kunne gengive dem Talnavne remser kontakt med sange remser kontakt med sange pålideligt i rækkefølge pålideligt i rækkefølge pålideligt i rækkefølge rytmiske lege eller lignende rytmiske lege eller lignende forfra og bagfra forfra og bagfra forfra og bagfra Gengivelse lydmæssigt af Gengivelse lydmæssigt af talnavne talnavne Lægge og sige tal i rækkefølge med sekvensen 1 2 Tælle genstande fx ved at Se og indse tallet nul Se og indse tallet nul Forstå at starten på tallinjen Forstå at man ender ved nul Kunne tælle fremad og pege på dem. Kunne svare på Koblet til tæling Tælle fortløbende fra et sted i starter ved 0 ved at gå tilbage på tallinjen tilbage fra et vilkårligt sted Tælle spørgsmål som hvor mange.. Tælle ikke-visuelle og nære rækken altså 5 6 7 osv Kunne tælle fremad fra et Kunne tælle fremad og (0 100) Tæl bilerne objekter fx Skridt noget vilkårligt sted tilbage fra et vilkårligt sted som skal forestilles (0-40) Kunne sige hvad der er der musikrytmer eller lignende tælles altså indse enheden 1 genstand. Gætte og tjekke et antal Screening i børnehaveklassen? På Mølleskolen i Ry har de Tidlig indsats i problemløsning ud fra CHIPS. De globalt tænkende elever udskilles til et 10 ugers kursus i efteråret 1. klasse. 20 spørgsmål til Professoren Rush hour junior Cross the river junior Follow the hints Hvem er hvem Isbjørn 54 Bent Lindhardt UCSJ 14