Bottomonium (Υ) Partikelresonanser i myonparproduktion

D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Førsteårsprojekt nr. 213-27 Stefan Suadicani, Mathias Mikkelsen, Michael Spange Olsen Bottomonium (Υ) Partikelresonanser i myonparproduktion Vejleder: Mogens Dam Afleveret 22. marts 213

Praktiske oplysninger Dette er rapporten for førsteårsprojekt nr. 213-27. Den er afleveret 22. marts 213 og indeholder 13 siders tekst og 2 siders bilag Deltagere Mathias Mikkelsen, født 13 /1 1987, ljt123@alumni.ku.dk Michael Spange Olsen, født 11 /1 1992, xqc743@alumni.ku.dk Stefan Nordam Suadicani, født 28 /4 1992, vgf17@alumni.ku.dk Faglig vejleder Mogens Dam, lektor, Eksperimentel subatomar fysik, dam@nbi.dk Enheder I denne rapport benytter vi naturlige enheder. Vi skriver lyshastigheden, c, når den indgår i formlerne, men sætter den lig 1 når vi udfører vores beregninger. Derfor opgiver vi masse i elektronvolt, ev..1 Abstract (en) This project addresses particle resonances found in data from the ATLAS experiment at CERN. We will try to explain why we are able to observe sharp peaks in the amount of produced muons, centered around certain masses. We will do this especially in the purpose of a more detailed study of the three peaks called Bottomonium or Υ. We have in our data analysis determined the mass of the three peaks visible in the data and the distribution in number of muons produced from the three energy levels. In addition, we have established a theoretical distribution of muons, which we compare with the data..2 Resumé (da) Projektet omhandler partikelresonanser fundet i data fra ATLAS-eksperimentet ved CERN. Vi vil her forsøge at redegøre for hvorfor vi kan observere skarpe toppe i antallet af producerede myoner, centreret omkring bestemte masser. Dette især med henblik på en nærmere undersøgelse af de tre toppe som kaldes bottomonium eller Υ. I vores dataanalyse har vi bestemt massen af de tre bottomonium-energiniveauer som er synlige i data, samt fordelingen i antal myoner som dannes fra de tre niveauer. Desuden har vi opstillet en teoretisk fordeling af myoner, som vi sammenholder med data. 2

Indhold.1 Abstract (en).................................... 2.2 Resumé (da).................................... 2 1 Indledning 4 2 Teori 4 2.1 Standardmodellen................................. 4 2.2 Myonen (µ)..................................... 5 2.2.1 Produktion af myoner........................... 5 2.3 Bottomonium (Υ)................................. 5 2.4 Resonanser..................................... 7 2.5 Fordeling af myonpar i bottomoniumhenfald................... 8 2.6 Myonernes impuls og retning........................... 8 3 Databehandling 9 3.1 Beregning af den invariante masse og tegning af histogrammer........ 9 3.2 Funktion som beskriver histogrammets data................... 1 3.3 Fittet........................................ 11 3.4 Antallet af begivenheder.............................. 11 4 Diskussion 12 4.1 Fundne masser................................... 12 4.2 Fittet........................................ 13 4.3 Fordeling af begivenheder............................. 14 5 Konklusion 15 5.1 Forbedringer.................................... 15 6 Litteratur 15 7 Bilag 17 7.1 ROOT-script.................................... 17 Figurer 1 Standardmodellens periodiske system...................... 4 2 Energiniveauer i bottomoniumsystemet...................... 6 3 Oversigtsfigur med alle toppe mellem,3 og 16 GeV.............. 9 4 Udsnit af figur 3 omkring 1 GeV......................... 1 5 Plot genereret på grundlag af fittet........................ 12 6 De tre normalfordelinger som fundet af fitting-scriptet.............. 13 7 Plots genereret af et fit til Breit-Wigner-funktionen............... 14 Tabeller 1 Tabel over output fra fitting-scriptet....................... 11 3

1 Indledning Data til dette projekt kommer fra ATLAS-eksperimentet ved CERN. ATLAS er en af de detektorer der er bygget til the Large Hadron Collider, LHC. I LHC bliver protoner accelereret op til nær-lyshastighed, hvorefter de to protonstråler bringes til kollision i de forskellige detektorer. ATLAS er en 4π-detektor. 4π kommer af begrebet rumvinkel, som beskriver den fraktion af en kugleoverflade som udspændes [7]. Arealet af en hel kugleoverflade er 4π, og ATLAS er således en detektor der måler på hele sfæren omkring kollisionspunktet. 1 Detektoren indeholder 3 hoveddele: Den indre detektor, kalorimetrene og muonspektrometeret. Den fylder desuden næsten 4 gange så meget som Rundetårn. 2 Teori 2.1 Standardmodellen Standardmodellen beskriver de partikler som alt stof er lavet af, samt de kræfter som partiklerne interagerer ved hjælp af. Modellen beskriver tolv elementære fermioner (stofpartikler), og et antal kraftbærende partikler (fx fotonen som overfører den elektromagnetiske kraft). Gruppen af fermioner består af quarker og leptoner som findes i tre generationer af stigende masse. Quarker er partikler som påvirkes af alle fire naturkræfter, og som kan danne hadroner (fx protoner og neutroner) når de kombineres [11]. Quarker er elektrisk ladede, og har enten ladningen + 2 /3 e eller 1 /3 e (hvor e er elektronladningen). Leptoner er partikler som ikke føler den stærke kernekraft, f.eks. elektronen [11]. I hver af de tre generationer er der to quarker, en neutrino og en elektron(-analog) (figur 1). Partiklerne i anden og tredje generation er tungere end deres pendanter i første generation (med tredje generation som den tungeste), og har en kortere levetid. Hver af partiklerne i de tre generationer har en antipartikel som har modsat ladning af partiklen selv [11]. mass charge spin name Quarks Leptons Three generations of matter (fermions) I II III 2.4 MeV/c ⅔ ½u up 1.27 GeV/c ⅔ ½c charm 171.2 GeV/c ⅔ ½ t top 2 4.8 MeV/c -⅓ ½ s 2 14 MeV/c -⅓ ½ b2 4.2 GeV/c -⅓ ½ ddown strange bottom ν e <2.2 ev/c <.17 MeV/c 2 <15.5 MeV/c 91.2 GeV/c 2 2 2 ½ electron neutrino.511 MeV/c -1 ½e electron? GeV/c γ 2 2 2 2 ν μ ½ muon neutrino μ ν τ ½ tau neutrino photon 2 2 15.7 MeV/c 1.777 GeV/c 8.4 GeV/c -1-1 ½ ½ τ 2 2 ±1 1W muon tau W boson Figur 1: Standardmodellens periodiske system. På denne figur ses quarker i lilla, leptoner i grøn, og kraftpartiklerne for elektromagnetismen og kernekrafterne i rød. Desuden er Higgs-bosonen tilføjet i gul. Opdelingen i tre generationer af fermioner ses foroven. (Figur fra [9]). 1 1 1 g gluon Z Z boson ± Gauge bosons H Higgs boson 1 Dog ikke de partikler der bevæger sig langs det rør som protonerne bliver accelereret op i. 4

2.2 Myonen (µ) Myonen er elektron-analogen i standardmodellens anden generation [11]. Ligesom elektronen har den ladning 1, og dens antipartikel, µ, har som positronen ladning +1. Myonens masse er 15,7 MeV (,11 u) [2]. Den er dermed ganske let i forhold til mange af de sammensatte partikler, men ca. 2 gange tungere end elektronen. Myonens forholdsvis store masse betyder at den afbøjes mindre end elektronen når den passerer gennem stof. Når en punktformet, ladet partikel, som elektronen eller myonen, passerer gennem stof, påvirkes den primært af elektronskyerne omkring stoffets atomer. Ved sammenstød mellem partiklen og elektronerne, ændres deres impuls, og partiklerne spredes. Hvis den passerende partikel er en myon, vil dens store masse i forhold til elektronen betyde at den spredes ganske lidt, og i det store hele fortsætter sin bane, hvor en elektron ville blive sendt på afveje [4]. Myonen trænger altså dybere ind i detektorerne. Den passerer således gennem alle detektorerne i den indre del af ATLAS, og bliver først detekteret i de ydre dele af detektoren. I ATLAS-detektoren bliver myonen udsat for et kraftigt magnetfelt, der afbøjer deres bane. [1]. Hvilken vej en myon afbøjes afhænger af hvilken ladning den har (og derved om det drejer sig om en µ eller µ) og størrelsen af afbøjningen afhænger af partiklens impuls. Man kan, pga. deres forskellige ladning, nemt se forskel på en µ og en µ, og derved identificere µ µ-par. Da disse par kan være produktet af henfald af andre partikler, og da disse henfald er forholdsvis sandsynlige, vil de træde kraftigt frem i data. Myonen er et godt analyseobjekt fordi den har en række gode egenskaber: Den er let at identificere og måle på og en række partikler har mulighed for at henfalde ad veje som kun producerer et µ µ-par. Det er altså muligt at identificere µ µ-par som stammer fra henfaldet af en specifik partikel. 2.2.1 Produktion af myoner Når LHC s protonstråler mødes i ATLAS-eksperimentet sker der en lang række reaktioner. Blandt andet mellem quarker og tilsvarende antiquarker, som annihilerer og henfalder elektromagnetisk eller via den svage vekselvirkning til et lepton-par, fx et myonpar [5]. Dette giver en produktion af myonpar med varierende energi, som i et histogram over myonproduktionen ved forskellige energier ses som en kontinuerlig baggrund (figur 3 på side 9). Desuden kan quarker og antiquarker bindes til hinanden i quarkonium, fx bottomonium [7]. 2.3 Bottomonium (Υ) Analogt til det velkendte brintatom, som er en bunden tilstand mellem en proton og en elektron, er bottomonium en bunden tilstand af en bottom- og en antibottomquark [7]. Dette kan måske virke en smule mystisk, og vi vil derfor tage en kort tankerejse gennem eksempler som måske kan give en bedre intuitiv opfattelse. I brintatomet er en proton og en elektron bundet sammen af deres elektromagnetiske tiltrækning. Hvis man skifter protonen ud med elektronens antipartikel, positronen (som har ladning +1 ligesom protonen), har man positronium [7]. Den store forskel vil nu være, at da de 2 partikler har samme masse, vil deres fælles massemidtpunkt befinde sig midt imellem dem, hvor brintatomets massemidtpunkt ligger inden for protonens radius. Dette betyder at elektronen og positronen vil cirkulere om et punkt imellem de to partikler, i stedet for som i proton-elektron-tilfældet, hvor protonen reelt befinder sig stationært i midten. Bottomonium (og andre quarkonier) er analog til postitronium [7]. Her er det blot den stærke kernekraft som giver anledning til bindingen mellem partiklerne. Helt analogt med brintatomet kan sådanne bundne tilstande exciteres. Hvor det i brint er elektronens bane som ændres i de exciterede tilstande, er det i bottomonium de to quarkers fælles bane. Figur 5

Mass (MeV) 111 ϒ(112) 19 17 15 13 η (3S) b ϒ(186) ϒ(4S) ϒ(3S) (2P) h b χ (2P) b χ (3P) b χ (2P) b1 χ (2P) b2 Thresholds: B s B s B*B* BB 3 ϒ(1 D 2 ) 11 99 η (2S) b KK ϒ(2S) η π (1P) h b χ (1P) b ω χ (1P) b1 χ (1P) b2 π π 97 η 95 η (1S) b ϒ(1S) 93 PC J = + 1 + 1 + + + + 1 + + 2 2 Figur 2: Energiniveauer i bottomoniumsystemet. Υ(1S) er grundtilstanden, og pilene viser mulige henfaldsveje. (Figur fra [2]) 2 viser et diagram over bottomoniumsystemet. Det ser måske en anelse uoverskueligt ud, men vi beder læseren om blot at koncentrere sig om energiniveauerne Υ(nS), hvor n {N}. I henfaldet af partikler er der bevarelse af kvantetal J P C, hvor J betegner impulsmomentet i enheder af [7] [4]. Henfaldet fra Υ til µ µ sker elektromagnetisk, via en virtuel foton, og da fotoner har J P C = 1, ser vi kun tilstande med J P C = 1 i vores data. De tre størrelser der vil kunne observeres ved henfald til µ µ-par er dog kun de tre første, Υ(1S), Υ(2S) & Υ(3S), med masser på [2] M Υ(1S) = 9 64,3 ±,26MeV M Υ(2S) = 1 23,26 ±,31MeV M Υ(3S) = 1 355,2 ±,5MeV Grunden til at vi ikke ser de højere eksitationsniveauer er at energien i disse når over B Bgrænseværdien [7]. Nås dette energiniveau, henfalder langt størstedelen af bottomonierne til en B-meson og dennes antipartikel. B-mesonen ( B-mesonen) er en bunden tilstand af en bottomquark (antibottomquark) og en antiquark (quark) af anden type. Lige over B B-grænsen består B-mesonerne af en bottomquark og enten en antiup- eller antidownquark. Ved højere energier kan der dannes B-mesoner med de tungere strange- og downquarker. B-mesonen henfalder ved den stærke vekselvirkning modsat bottomonium som henfalder elektromagnetisk. Da B-mesonen ikke kan annihilere som bottomonium, kan B-mesonen derfor ikke henfalde til µ µ-par og den ses ikke i det datamateriale vi har arbejdet med i dette projekt [4]. Visse af partiklerne vil nå at henfalde til et lavere energiniveau før de annihilerer. (3S) kan henfalde til (2S) og (1S) og (2S) til (1S), mens (1S) ikke kan henfalde til et lavere energiniveau. [2] Dette har betydning for den fordeling af myoner vi forventer at se dannet fra de tre energiniveauer (se sektion 2.5). Plotter vi antallet af begivenheder som funktion af µ µ-parrets invariante masse, vil vi 6

således forvente at se en større tæthed af µ µ-par med masse lig bottomoniumsystemernes, end en evt. baggrundstæthed. Derudover kan vi også forvente at mængden af bottomonium i grundtilstanden vil være større end i de exciterede tilstande, da disse har mulighed for at henfalde til grundtilstanden. Hvordan kan sådan en bunden tilstand af en bottom- og en antibottomquark henfalde til et lepton-par, og mere specifikt et µ µ-par? De to quarker har samme masse, og ligger derfor i samme bane omkring massemidtpunktet [7]. Tænker man igen analogt til en elektron i dens elektronbane, befinder denne sig overalt i skallen, med en given sandsynlighed for at være et bestemt sted, når der bliver målt på systemet. Sådan kan man også se de to quarker i bottomoniumet. Der er derfor også en sandsynlighed for at de begge befinder sig i samme punkt til et bestemt tidspunkt, og gør de det, vil de annihilere, da de to quarker som nævnt er hinandens antipartikler [4]. Når de to quarker annihilerer vil der blive produceret en virtuel foton, som så vil henfalde videre til et partikel-antipartikel-par. Dette kan f.eks. være et µ µ-par, som dem vi ser på i dette projekt: b + b γ µ + µ En virtuel partikel er en intermediær partikel i henfaldet fra ét partikelpar til et andet [7] (s. 51). Når et partikel-antipartikel-par annihilerer elektromagnetisk, dannes der ikke umiddelbart et andet partikelpar. I stedet opstår der en foton, en elektromagnetisk kraftpartikel, som har samme invariante masse som partikelparret før henfaldet. Dette bryder med at virkelige fotoner er masseløse, hvorfor den virtuelle partikel med det samme henfalder igen, denne gang til virkelige partikler. (En anden tolkning er at den virtuelle foton er masseløs, men i sin korte levetid bryder med energibevarelsen) [7]. At fotonen her er virtuel betyder også, at den ikke vil kunne observeres i stedet vil den forblive intermediær. Υ kan også henfalde ved den stærke vekselvirkning, via en virtuel gluon. Disse henfalder dog ikke til leptoner, men til nye hadroner. 2.4 Resonanser Heisenbergs ubestemthedsprincip betyder at partiklers energi er usikker, set over meget korte tidsrum. Da bottomonium har en meget kort levetid, betyder dette at dens energi er usikker. Hvor vi normalt ser massen som en deltafunktion om en bestemt masse ser vi i stedet massen som en sandsynlighedsfordeling centreret omkring den fysiske masse, med en vidde som er givet ved Γ = /τ, hvor τ er partiklens levetid, og er den reducerede Plancks konstant, = h/2π. Matematikken som beskriver denne fordeling minder en del om den matematiske beskrivelse af resonanser i tvungne oscillatorer. Fordelingen af partiklens masse er en Breit-Wigner-fordeling, som er en relativistisk udgave af Cauchy-fordelingen der beskriver amplituden for det klassiske kraftigt dæmpede, tvungne oscillator-system. Den top som opstår omkring middelværdien for partiklens masse svarer således til den der opstår i amplituden når den tvungne frekvens nærmer sig systemets egenfrekvens (se figur 7b på side 14 for en illustration af kurven). Derfor betegner man også disse kortlivede partikler resonanser. [7] Den sande vidde af Υ(1S) er 54,2 ± 1,25 kev, hvilket giver en middellevetid på τ 6, 1 1 21 s. Med en fart på op imod lysets, vil vi således kunne forvente at denne resonanspartikel kan nå at bevæge sig i størrelsesordenen 2 1 12 m før den henfalder 2. Det er mindre end radius af et hydrogenatom, og derfor også langt mindre end hvad vi kan måle. 2 Tager man den relativistiske tidsforlængelse i betragtning vil partiklen selvfølgelig kunne bevæge sig længere, men makroskopiske afstande vil stadig ikke kunne opnås. 7

2.5 Fordeling af myonpar i bottomoniumhenfald Et andet interessant emne i forbindelse med undersøgelsen af bottomonium, er fordelingen af myon-henfald fra de 3 bottomoniumniveauer Υ(1S), Υ(2S) & Υ(3S). Den første antagelse vi vil gøre er at der bliver produceret lige store mængder af de tre tilstande. En af de processer der ændrer dette forhold er de 3 tilstandes individuelle sandsynlighed P µ (Υ) for at henfalde til µ-par [2]: P µ µ (Υ(1S)) = 2,48 ±,5% P µ µ (Υ(2S)) = 1,93 ±,17% P µ µ (Υ(3S)) = 2,18 ±,21% Dette i sig selv er dog ikke nok. Husker man tilbage på figur (2) vil man se, at Υ(2S) kan henfalde til Υ(1S), samt at Υ(3S) kan henfalde til både Υ(2S) og Υ(1S). Dette kan ske på flere måder, hvor den samlede sandsynlighed for at NS henfalder til lavere excitationsniveau ns er P Υ(nS) (Υ(NS)). Desuden er der også 2 andre tilstande som vi ikke har kigget på, der kan henfalde til Υ(1S). Det er X b1 (2P ) og Υ(1D). Sidstnævnte henfald er dog blot anført som seen i [2]. Der er også en henfaldsvej Υ(1D) Υ(1S)π + π, som har en sandsynlighed i størrelsesordnen 1 3. Sandsynligheden for henfald til Υ(1S) via andre veje er sammenlignelig med denne [8], hvorfor vi vil se bort fra bidraget fra Υ(1D). Også Υ(4S) og derover kan også henfalde til lavere energitilstande. Dette sker dog så sjældent (størrelsesordenen < 1 3 % [2]) at vi blot kan se bort fra dette. P Υ(1S) (Υ(2S)) = 26,52 ±,66% P Υ(2S) (Υ(3S)) = 1,6 ±,8% P Υ(1S) (Υ(3S)) = 6,57 ±,21% P Υ(1S) (X 2b (2P )) = 18,7 ± 3,6% Under antagelse af at der bliver produceret lige så mange χ b1 (2P ) som Υ(nS) har vi regnet os frem til følgende forventede ratio af de forskellige Υ hvor Υ(1S) er normaliseret til 1: N µ µ (Υ(1S) = 1 N µ µ (Υ(2S) =,58 ±,5 N µ µ (Υ(3S) =,59 ±,6 2.6 Myonernes impuls og retning Vi har til dette projekt fået en række data fra ATLAS-detektoren. Disse data består af sammenhørende værdier af impuls, spredningsvinkel og pseudorapititet for en lang række myonpar. Ud fra disse værdier er det muligt at beregne hver myons bevægelsesretning og energi, samt parrets invariante masse. Myonernes retning kan beskrives i sfæriske koordinater ved to vinkler: Vinklen med protonstrålens retning, θ, og en vinkel i planet vinkelret på strålen, φ. Pseudorapiditeten, η, er relateret til θ ved (1) (se [1]). θ = 2 arctan ( e η) (1) som giver en værdi af θ i intervallet ] ; π[. Sammen med størrelsen af hver myons impuls, p, kan dette benyttes til at bestemme myonernes impulsvektorer: p x p sin θ cos φ p = p y = p sin θ sin φ (2) p z p cos θ 8

Man kan nu opskrive 4-vektoren for hver myon, og for systemet af de to myoner [3]: ( ) ( ) E/c (Eµ1 + E P = = µ2 ) /c (3) p p µ1 + p µ2 Da myonens hvilemasse er meget lille i forhold til de energier vi arbejder ved (pc mc 2 E pc), regner vi myonen for masseløs, og sætter 4-vektoren til [3]: ( ) ( ) p pµ1 + p P = = µ2 (4) p p µ1 + p µ2 Ved at finde størrelsen af systemets 4-vektor kan man nu bestemme den invariante masse, M, ud fra relationen 5 (se [3]). 3 Databehandling P 2 = M 2 c 2. (5) 3.1 Beregning af den invariante masse og tegning af histogrammer Vi har skrevet et script i ROOT (vedlagt i sektion 7.1) som tager listen over sammenhørende værdier af φ, η og p som input og ud fra dette finder θ og den invariante masse, m µ µ. Som output producerer scriptet et histogram (figur 3) over antallet af myonpar som funktion af den invariante masse. På dette histogram viser der sig en række toppe som svarer til resonanser i µ µ-produktionen. Figur 3: Oversigtsfigur med alle toppe mellem,3 og 16 GeV. Denne figur er tegnet på grundlag af de beregnede invariante masser. Der ses et antal toppe, tydeligst ved 3,5, 4, og 5 på førsteaksen, samt 2 mindre ved knap 2,9 og ved 3,. Omkring 2,9 ligger ρ-mesonen og ved 3, ligger ϕ-mesonen. Ved 3,5 (ca. 3,1 GeV) ligger J/ψ, charmquarkens quarkonium. Omkring 4, (1 GeV) ligger bottonomium, og ved knap 5 (ved en masse på godt 9 GeV) ligger Z-bosonen, den svage kernekrafts kraftpartikel. Vi beskæftiger os i dette projekt med området omkring 1 GeV, og har derfor lavet et histogram som indeholder netop de relevante toppe (figur 4). På dette histogram ses to toppe 9

over baggrunden den ene top, ved knap 9,5 GeV, er høj og symmetrisk, og den anden, ved godt 1 GeV, er lavere og har en skulder ved ca. 1,4 GeV. Da teorien fortæller os at de tre af bottominiums energiniveauer som henfalder til µ µ-par har masser omkring 1 GeV, antager vi at de to toppe i figur 4 repræsenterer bottomoniums 1S-, 2S- og 3S-tilstande, og at 2S- og 3S-tilstandene ligger så tæt i masse at deres toppe i spektret glider sammen til én asymmetrisk top. Figur 4: Udsnit af figur 3 omkring 1 GeV. På denne figur er begge akser lineære. Her ses en høj top ved knap 9,5 GeV, som hæver sig over 1 begivenheder pr. 5 MeV på et sted hvor baggrunden ligger på godt 3 begivenheder. Desuden ses en top ved godt 1 GeV som på sit højeste kun hæver sig til ca. 6 begivenheder. Denne anden top er ikke symmetrisk, men har en skulder ved knap 1,5 GeV. Dette skyldes at de to toppe som dannes af hhv. Υ(2S) og Υ(3S) ligger så tæt at de ses som én skæv top. 3.2 Funktion som beskriver histogrammets data Vi vil gerne vide mere om produktionen af bottomonium hvad er massen af de forskellige energitilstande, hvor mange bottomonier er der produceret, og hvordan fordeler produktionen sig på de tre energitilstande? For at få svar på disse spørgsmål opstiller vi en model som rimeligvis beskriver antallet af begivenheder ved forskellige energier, og laver et fit af data til funktionen. På denne måde finder vi en række koefficienter som beskriver bottomoniumproduktionen og som efter en tolkning kan give os svar på spørgsmålene. På figur 4 ses at ud over toppene, er der en baggrundsproduktion af myonpar. Vi approksimerer baggrunden i intervallet mellem 8,5 og 11,5 GeV med en lineær funktion. De tre toppe antager vi, er normalfordelte. På grund af den store kompleksitet af detektorforsøget er der mange små faktorer som indvirker på målingerne og dette vil betyde at de eksperimentelt bestemte værdier vil sprede sig i en normalfordeling omkring den reelle værdi. Data vil altså følge en fordeling som er en sum af en lineær funktion (for baggrunden) 1

samt tre Gauss-kurver (én for hver top). Denne kan skrives som f(x) = ax + b + 3 i=1 c i e (x µ i ) 2 2σ i 2 (6) σ i 2π hvor a og b definerer den lineære baggrund, µ i er middelværdien af massen for top i, σ i er spredningen, og c i er antallet af begivenheder i toppen. Da den spredning som ses i data er et artefakt stammende fra den eksperimentelle opløsning, og langt større end den reelle spredning, kan det antages at spredningen for de tre Gauss-kurver vil være den samme. Vi sætter altså σ i = σ, og funktionsudtrykket vil derfor blive g(x) = ax + b + 3 i=1 c i σ (x µ i ) 2 2π e 2σ 2. (7) De fundne værdier af c i er lig arealet under kurven for top i i histogrammets enheder. Figur 4 har enheder af GeV på førsteaksen, og begivenheder pr. 5 MeV på andenaksen. Et areal på én enhed vil derfor svare til GeV /5MeV = 2 begivenheder. 3.3 Fittet Efter beregningen af de invariante masser, finder ROOT-scriptet de koefficientværdier som beskriver data bedst. For at scriptet skal finde de bedste koefficienter skal det forsynes med et startgæt bestående af et sæt koefficientværdier som definerer fordelinger med lille spredning og middelværdi tæt ved den faktiske middelværdi for den givne top. Dette begrænser scriptets muligheder for at vandre og fx fitte to teoretiske toppe til den samme top i data. Som output genererer scriptet en liste over fundne koefficienter med usikkerheder og et plot af data og den fittede funktion (figur 5). For at se de tre toppe adskilt fra hinanden har vi ligeledes plottet de tre normalfordelinger som de ser ud hvis man ikke summerer dem (figur 6). I tabel 1 ses de koefficienter som fitting-scriptet har bestemt. Koeff. Enhed Værdi a 2/GeV 2 25 ± 3 b 1/5MeV 1 17 ± 3 c 1 2 2 46 ± 6 µ 1 GeV 9,427 ±, 4 c 2 2 939 ± 6 µ 2 GeV 9,992 ±,14 c 3 2 499 ± 5 µ 3 GeV 1,35 ±,2 σ GeV,155 1 ±, 4 g(x) = ax + b + 3 i=1 c i σ (x µ i ) 2 2π e 2σ 2 Tabel 1: Tabel over output fra fitting-scriptet 3.4 Antallet af begivenheder Som tidligere beskrevet er koefficienten c i proportional med antallet af begivenheder i top i. Antallet af begivenheder, N i, kan simpelt findes ved N i = 2 c i. 11

Figur 5: Plot genereret på grundlag af fittet. På denne figur er kun hvert femte datapunkt indtegnet, for at sikre overskueligheden. Figuren er tegnet på grundlag af et ROOT-histogram. På førsteaksen ses midtpunkterne af histogrammets bins, og på andenaksen antallet af myonpar i hver bin. Usikkerhederne er estimeret ved σ N = N / N, hvor N er antallet af myonpar i en given bin. Vi finder her at forholdet mellem c 1 : c 2 : c 3 er som 1 :,39 ±,3 :,27 ±,2. Dette vil også være forholdet mellem antallet af myonpar som stammer fra henfald direkte fra de tre energiniveauer. 4 Diskussion 4.1 Fundne masser Vi har ved vores fit fundet middelværdier for bottomoniummasserne på: M Υ(1S) = 9 426,5 ±,4 MeV, M Υ(2S) = 9 992 ± 1,4 MeV, M Υ(3S) = 1 351 ± 2 MeV, Dette skal sammenlignes med tabelværdierne (fra [2]): M Υ(1S) = 9 64,3 ±,26MeV M Υ(2S) = 1 23,26 ±,31MeV M Υ(3S) = 1 355,2 ±,5MeV Forskellen mellem den af os bestemte værdi, og den af [2] opgivne er langt større end vores usikkerhedsestimat. Dette skyldes primært at usikkerhederne er usandsynligt små, men vi 12

Figur 6: De tre normalfordelinger som fundet af fitting-scriptet. Her er toppene adskilt fra hinanden, og fra baggrunden. De træder derfor tydeligt frem, og man kan vurdere deres størrelse. har benyttet ROOT s værktøjer, som ikke tager hensyn til de systematiske usikkerheder. De statistiske usikkerheder er ganske små. De eksperimentelt bestemte masser ligger alle under tabelværdierne, og afstanden er større for de lavere masser. Dette kunne tyde på en systematisk effekt. Der er ved beregning af de invariante masser ikke taget hensyn til usikkerheder på de rå data, da der ikke er angivet usikkerheder i data. En usikkerhedsberegning hér kunne eventuelt give et større (og bedre) estimat af usikkerhederne, da dette ville give større usikkerhed på antallet af myonpar med en given invariantmasse. Usikkerheder på de rå data kunne måske også bringe de eksperimentelt bestemte masser tættere på de i [2] angivne. 4.2 Fittet I forbindelse med konstruktionen af den funktion som vi fittede til data, antog vi at fordelingen af begivenheder i invariant-masse-spektret var en normalfordeling. Dette baserede vi på at den fordeling vi ser primært er et resultat af eksperimentet og så mange faktorer indvirker på dette at resultatet vil være en normalfordeling [4]. Ifølge de teoretiske forudsigelser følger den forventede fordeling dog en relativistisk Breit-Wigner-funktion. Den giver toppe som er spidsere og har længere haler. Funktionsudtrykket for Breit-Wigner er: h(e) = k (E 2 M 2 ) 2 + M 2 Γ, k = 2 2MΓγ 2 π M 2 + γ, γ = M 2 (M 2 + Γ 2 ) (8) 13

(a) Data og fittet kurve (b) De tre fits alene Figur 7: Plots genereret af et fit til Breit-Wigner-funktionen Figur 7a viser et fit af data til en Breit-Wigner-funktion. Det kan ses at disse passer rigtig godt; især i de intervaller hvor Gauss-funktionerne havde problemer: Halerne. Kvadratet på fejlen er også mindre for denne fitning, end på fitningnen Gauss. Man kan derfor sagtens argumentere for at Breit-Wigner er en bedre model i dette tilfælde. Dog har vi en formodning om, at pga. de mange små bidrag der kommer fra eksperimentet, så ligger en god model som en kombination af de to modeller; Gauss samt Breit-Wigner. Vi satte desuden spredningen af de tre fordelinger til at være ens, da vi antog at dette hjalp til at bestemme koefficienterne mere præcist. Den spredning vi ser er et resultat af den eksperimentelle opløsning, og vi har ingen grund til at tro at spredningen ændrer sig nævneværdigt over det interval som indeholder toppene for Υ. Vi antog desuden at baggrunden i intervallet mellem 8,5 og 11,5 GeV ikke var konstant, da vi på histogrammet (figur 4) kan se at værdierne ved 8,5 GeV er lavere end ved 11,5 GeV. Vi må altså beskrive baggrunden ved en funktion af m µ µ, men vi vil samtidig ikke approksimere den med et polynomium af højere grad end første, da det vil kunne forstyrre fittet til toppene. At baggrunden dog ikke er lineær ses tydeligt, på plottet i intervallet fra,3 GeV til 16 GeV. Her er baggrunden enten stykvis lineær, eller stykvis bueformet. I baggrunden se også artefakter som stammer fra eksperimentets udførelse. Herunder hører de skuldre der befinder sig til højre for bottomoniumtoppene og til venstre for J/ψtoppene (se figur 3). Disse stammer fra den udvælgelse af data der sker allerede mens forsøget kører. Dette sker for at holde den totale datamængde nede samtidig med at man ikke piller ved mængden af data fra J/ψ og Υ. Så de har ikke nogen betydning for det område vi analyserer på [4]. Formodningen om at baggrunden er lineær, er dog ikke så dårlig som det måske kunne lyde. Intervallet vi ser på er rimelig småt, og baggrunden kan derfor med god præcision approksimeres til en ret linje. 4.3 Fordeling af begivenheder Sammenligner vi vores fundne fordeling med vores teoretiske fordeling af myoner i de tre toppe, ses det at de ikke stemmer overens. Hvor der teoretisk skulle komme cirka lige mange Teoretisk Eksperimentel N µ µ (Υ(1S)) 1 1 N µ µ (Υ(2S)),58 ±,5,39 ±,3 N µ µ (Υ(3S)),59 ±,6,27 ±,2 14

fra Υ(3S) og Υ(2S), ser vi i stedet en stor forskel i data, hvor (2S) er en del større end (3S). Desuden er produktionen fra Υ(2S) & Υ(3S) højere i den teoretiske beregning end i data. Dette kunne tyde på, at produktionen aftager med stigende energiniveau af bottomoniumtilstanden. 5 Konklusion Vi kan se at der findes en partikel med en masse på cirka 1 GeV, som kan observeres gennem sit henfald til myonpar. Desuden kan vi se at partiklen opsplittes i mindst tre energiniveauer som ligger med en afstand på omkring 5 MeV mellem de enkelte niveauer. Fordelingen af partikler i de tre toppe ligger et stykke fra den teoretisk forudsagte, hvor vi antog at der er produceret lige mange bottomonier i hver exciteret tilstand. I den teoretiske beregning skulle der således være lige mange partikler i Υ(3S)- og Υ(2S)-toppene, mens vi i vores data ser flere begivenheder i Υ(2S) end i Υ(3S). Vi kan altså konkludere, at der ikke bliver produceret lige mange i hver tilstand. 5.1 Forbedringer Det ses, at Breit-Wigner-modellen passer bedre end en Gauss, og den optræder også i teorien bag resonans. Derfor kunne en gennemarbejdning med Breit-Wigner modellen potentielt producere bedre resultater. Vi har dog først bemærket dette sent i forløbet, og har derfor valgt at holde fast i vores Gauss. Det ville også være interessant at få udarbejdet et bedre gæt på fordelingen af begivenheder. Vi tænker her at en dybere teoretisk forståelse af produktionen af bottomonium i partikelsammenstødene, samt en undersøgelse af sammenhængen mellem f.eks. tilstandens energi og sandsynligheden for at tilstanden bliver produceret, ville kunne afstedkomme et bedre estimat af produktionen. En anden ting der kunne være værd at undersøge er, med hvor stor sikkerhed vi kan sige at der er tre toppe. Umiddelbart kan man sige sig selv at det er med meget stor sikkerhed, da alle tre toppe er meget tydelige, men en kvantificering af dette er også ønskværdigt. 6 Litteratur Litteratur [1] ATLAS Collaboration, 18 page ATLAS fact sheet, http://www.atlas.ch/pdf/atlas_ fact_sheets.pdf [2] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 86, 11 (212) [3] M. Dam, Introduktion til den specielle relativitetsteori, NBI, København, 212 [4] M. Dam, i forb. m. vejledning [5] S. D. Drell & T.-M. Yan, Massive Lepton-Pair Production in Hadron-Hadron Collisions at High Energies, Phys. Rev. Lett. 25-5 (197) 316-32 [6] T. C. Pedersen, Applied Statistics, Slides til foredrag holdt 213-2-26 [7] B. Povh et al., Particles and Nuclei, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 28 [8] M.B. Voloshin, The enhancement of the decay Υ(1D) ηυ(1s) by the axial anomaly in QCD, Phys. Lett. B562 (23) 68-74 15

[9] en.wikipedia.org: en.wikipedia.org/wiki/file:standard_model_of_elementary_particles.svg [1] Wong, C. Y., Introduction to High-Energy Heavy-Ion Collisions, World Scientific, 1994, s. 24ff [11] H. D. Young & R. A. Freedman, University Physics with modern physics, Addison- Wesley, 212, s. 149ff. 16

7 Bilag 7.1 ROOT-script 1 #define Analyze cxx 2 #include Analyze. h // Analyze. h åbner d a t a f i l e n 3 #include TH2. h 4 #include TStyle. h 5 #include TCanvas. h 6 #include <math. h> 7 8 inline double sqr ( double a ) { 9 return a a ; 1 } 11 12 // Det f ø l g e n d e d e f i n e r e r den f u n k t i o n v i v i l f i t t e t i l : 13 double f i t F u n c t i o n ( double x, double par ) { 14 double pi =3.1416; 15 double normfac = 1. / s q r t ( 2. pi ) ; 16 17 double MeVperBin = 5. ; 18 19 // Udtrykkene f o r gauss kurverne : 2 double gaus1 = normfac / par [ 8 ] exp (.5 sqr ( ( x [] par [ 3 ] ) / par [ 8 ] ) ) ; 21 double gaus2 = normfac / par [ 8 ] exp (.5 sqr ( ( x [] par [ 5 ] ) / par [ 8 ] ) ) ; 22 double gaus3 = normfac / par [ 8 ] exp (.5 sqr ( ( x [] par [ 7 ] ) / par [ 8 ] ) ) ; 23 24 // Summen a f gausserne : 25 double s i g n a l = par [ 2 ] gaus1 + par [ 4 ] gaus2 + par [ 6 ] gaus3 ; 26 27 // Baggrunden approksimeres ved en r e t l i n j e : 28 double background = par [ ] x [ ] + par [ 1 ] ; 29 3 // Der f i t t e s t i l summen a f gausser og baggrund : 31 return s i g n a l + background ; 32 } 33 34 void Analyze : : Loop ( ) 35 { 36 i f ( fchain == ) return ; 37 38 // Definerer det histogram som kommer t i l at i n d e h o l d e de i n v a r i a n t e masser 39 TH1 invmhist = new TH1D( theta, Histogram o f m { ţ ţ }, 6, 8. 5, 1 1. 5 ) ; 4 invmhist >GetXaxis ( ) >S e t T i t l e ( m { ţ ţ } [GeV] ) ; 41 invmhist >GetYaxis ( ) >S e t T i t l e ( Entries / 5 GeV ) ; 42 17

43 // Finder a n t a l l e t a f myonpar : 44 Long64 t n e n t r i e s = fchain >GetEntries ( ) ; 45 46 Long64 t nbytes =, nb = ; 47 48 // Denne l ø k k e kører én gang f o r h v e r t myonpar : 49 for ( Long64 t j e n t r y =; jentry <n e n t r i e s ; j e n t r y++) { 5 Long64 t i e n t r y = LoadTree ( j e n t r y ) ; 51 nb = fchain >GetEntry ( j e n t r y ) ; nbytes += nb ; 52 53 // Vinklen t h e t a f i n d e s f o r hver a f de to myoner i p a r r e t : 54 double mup theta = 2 atan ( exp( 1 mup eta ) ) ; 55 double mum theta = 2 atan ( exp( 1 mum eta ) ) ; 56 57 // Den i n v a r i a n t e masse bestemmes : 58 double invm = ( s q r t ( sqr (mup p+mum p) sqr (mup p s i n ( mup theta ) cos ( mup phi )+mum p s i n ( mum theta ) cos (mum phi) ) sqr (mup p s i n ( mup theta ) s i n ( mup phi )+mum p s i n ( mum theta ) s i n (mum phi) ) sqr (mup p cos ( mup theta )+mum p cos ( mum theta ) ) ) ) /1; 59 6 // Den fundne i n v a r i a n t e masse p l a c e r e s i histogrammet 61 invmhist >F i l l ( invm ) ; 62 63 } 64 65 // T i l s i d s t t e g n e s histogrammet : 66 invmhist >Draw ( ) ; 67 gstyle >SetOptStat (1) ; 68 gstyle >SetStatH (. 1 ) ; 69 gstyle >SetStatW (. 2 ) ; 7 71 // Og f i t t e t u d f ø r e s : 72 TF1 fitypeak = new TF1( fitypeak, f i t F u n c t i o n, 8. 5, 1 1. 5, 9 ) ; 73 fitypeak >SetParameters ( 2 3 5., 1 3 5., 2., 9. 4, 1., 1., 5., 1. 3 5,. 5 ) ; 74 fitypeak >SetParNames ( a, b, c1, my1, c2, my2, c3, my3, s i g ) ; 75 invmhist >Fit ( fitypeak, R, E ) ; 76 77 } 78 79 // S c r i p t e t t e g n e r den f i t t e d e kurve på histogrammet og s k r i v e r de fundne parametre ud t i l skærmen. 18