Test af en simpel kvarkmodel for hadronmasser

Transkript

1 Test af en simpel kvarkmodel for hadronmasser S. Holbek, A. Karlberg, S. Nissen & R. Viskinde 10. april 2008

2 Indhold 1 Introduktion 3 2 Teori Standardmodellen En simpel kvarkmodel ALEPH-detektoren Detektorens opbygning Fysikken i detektoren Fremgangsmåde 11 5 Databehandling Bestemmelse af de lette hadroners masse Bestemmelse af massen for K Test af simpel kvarkmodel Diskussion af resultater Bestemmelse af de lette hadroners masse Bestemmelse af strangekvarkens masse Konklusion 19 8 Appendix Heisenbergs usikkerhedsprincip Tabeller Dette afsnit er skrevet med inspiration fra [4, pp ] 2 Hele dette afsnit tager udgangspunkt i diskussion i [2, afsnit 13.4,14.2,15.3]. Argumentationen er dog en stor del af vejen vor egen. Størstedelen af de fremtrylede formler er også hentet her, med undtagelse af udledningerne (2.9) og (2.10). 1

3 Problemformulering Der ønskes en måling af masserne af K 0 -mesonen, Λ 0 -baryonen og K ± -mesonen ved hjælp af hadroniske Z 0 -henfald målt i ALEPH-detektoren ved CERNs LEP accelerator. Disse målinger, sammen med andre eksisterende målinger, ønskes sammenlignet med en simpel model for hadronmasserne givet ved masserne af deres kvarkbestanddele plus en universel spin-spinvekselvirkning. Ud fra denne simple model ønskes massen af strangekvarken bestemt. Forord Denne opgave er skrevet af førsteårsstuderende som en del af de frie øvelser i foråret Opgaven er hovedsagligt skrevet til førsteårsstuderende og på det niveau som kræves at have opnået over 3 blokke. Gruppen deler fælles interesse for partikelfysik, og derfor var det naturligt at vælge et emne inden for dette område. Vi valgte at skrive om en simpel kvarkmodel, da værktøjerne til det skitserer den moderne partikelfysikers arbejde. Til besvarelse af vores opgave fik vi et skelet af et Fortranprogram og Paw med tilhørende makro til analyse. De data vi brugte var opsamlet ved LEP frem til Løbende er der opstået problemer med forståelsen af stoffet, Fortran og Paw - da vi nærmest blev kastet ud i det hele - og der har vores vejleder Peter Hansen været til stor hjælp. Det takker vi ham meget for. 2

4 1 Introduktion Standardmodellen er en samlet, grundlæggende teori, som beskriver elektromagnetiske, svage og stærke vekselvirkninger, samt de fundamentale partikler, der udgør stof. Det er en teori, hvis formål er at give en samlet beskrivelse af en mængde partikler, som er blevet opdaget og beskrevet over en lang årrække. Teorier er opstillet og efterfølgende forsøgt eftervist eksperimentielt; uoverensstemmelser mellem teori og praksis har ført til nye teorier, og her er standardmodellen sidste - om end stadig ikke helt fuldendte - teori (gravitationen er blandt andet endnu ikke indbefattet i standardmodellen). Vi vil med udgangspunkt i standardmodellen, og med brug af blandt andet den specielle relativitetsteori, måle de lette hadroners masser, opstille en kvarkmodel og herefter måle strangekvarkens masse. Dette gør vi på baggrund af en stor mængde data der er opsamlet ved CERN frem til Her lod man eletroner og positroner kollidere ved meget høje energier, således at et hav af ustabile partikler blev dannet. De ustabile partikler henfalder meget hurtigt til mere stabile partikler, men inden da blev de målt og vejet i CERNs ALEPH-detektor. Ud fra disse målinger vil vi søge at finde massen af de letteste mesoner og baryoner og sidenhen besteme strangekvrkens masse her ud fra. 2 Teori 2.1 Standardmodellen 3 Kraftformidlende partikler Når partikler kan påvirke hinanden med kræfter, sker det ved hjælp af de kraftformidlende partikler. Når eksempelvis protoner og neutroner holder sig sammen i atomkernen med kernekræfterne, er der altså brug for et medium - her gluonerne - hvorigennem protoner og neutroner kan interagere. Det er også de fundamentale krafter, som bevirker, at ustabile partikler henfalder til stabile partikler over tid. Standardmodellen indeholder tre typer fundamentale kræfter: Den stærke kernekraft, der har gluoner som kraftformidlere. Henfaldstiden for stærke henfald er mellem s. Den elektromagnetiske kraft, der har fotonen som kraftformidler. Henfaldstiden for elektromagnetiske henfald er mellem s Den svage kernekraft, der har W +, W og Z 0 som kraftformidlere. Henfaldstiden for de svage henfald er mellem s De kraftformidlende partikler har alle spin 1, og hører derfor til gruppen bosoner. Leptoner Leptonerne, som er familien bestående af de letteste partikler, udgøres af elektronen, myonen og tauonen samt deres tilhørende neutrinoer. Samtlige leptoner har en antipartikel. 3 Dette afsnit er skrevet med inspiration fra [4, pp ] 3

5 Tauonen og myonen er ustabile partikler med relativt lang levetid, da deres henfald er formidlet af svage vekselvirkninger. Tauoner henfalder til en myon, en tauneutrino og en myantineutrino, eller en elektron, en tauneutrino og en elektronantineutrino. Myonen henfalder til en elektron, en myneutrino og en elektronantineutrino. Et eksempel på et henfald fra en tauon kunne være: og tilsvarende kunne et henfald for muonen være: τ µ + ν τ + ν µ (2.1) µ e + ν µ + ν e (2.2) Tabel 1: Leptonerne Partikel antipartikel masse [(MeV/c 2 )] Elektron e e + 0,522 Elektron neutrino ν e ν e < Muon µ µ + 105, 7 Muon Neutrino ν µ ν µ < 0, 19 Tau τ τ Tau neutrino ν τ ν τ < 18, 2 Hadroner Hadronerne er familien af de stærkt vekselvirkende partikler. Alle hadroner har (som alle andre partikler) en antipartikel. Hadroner inddeles i to underklasser; mesoner og baryoner. Mesonerne har alle spin 0 eller 1 og hører derfor også til gruppen af bosoner sammen med de kraftformidlende partikler. Mesonerne er opbygget af et kvark-antikvarkpar, altså en kvark og kvarkens antipartikel, antikvarken. Således vil alle mesonerne se ud på følgende måde: qq. Mesonerne omfatter π-mesonerne, som har ladning +e, e og 0. De har en masse, som ca. er 270 gange større end elektronmassen. π-mesonerne vekselvirker stærkt med protoner og neutroner, og er således kraftformidler for disse partikler. Mesonerne omfatter yderligere K-mesoner, ν-mesoner og hyperonerne. Der er ingen af mesonerne, der er stabile, og de vil derfor alle henfalde til partikler med mindre masse under opfyldelse af de gældende bevarelseslove. Baryonerne omfatter nukleonerne og desuden Λ-, Σ-, Ξ- og Ω-baryonerne. Baryonerne er alle opbygget af tre kvarker og antibaryonerne er opbygget af tre antikvarker. Baryonerne har alle halvtallige spin og hører derfor til gruppen fermioner. Den eneste stabile baryon er protonen. Baryonerne overholder alle bevarelsesloven for baryontal, som er analog med den tidligere nævnte bevarelseslov for leptoner. Hver baryon (p, n, Λ, Ξ og Ω) tildeles baryonnummeret B = 1 og tilsvarende får antibaryonerne (p, n, Λ, Ξ og Ω) tildelt baryontallet B = 1. En oversigt over de letteste baryoner og mesoner ses i tabel 2. 4

6 Mesoner Tabel 2: Udvalgte hadroner masse Ladning (MeV/c 2 ) q/e Spin Kvarkkonfiguration π 0 135,0 0 0 uu, dd π ± 139,6 ±1 0 ud / ud K ± 493,7 ±1 0 us / us K 0 497,7 0 0 ds, sd K 0 896,1 0 1 ds, sd K ± 891,6 ±1 1 us / us Baryoner p 938,3 +1 1/2 uud n 939,6 0 1/2 udd Λ /2 uds Σ /2 uus Σ /2 dds Ξ /2 uss Ξ /2 dss Strangeness Da K-mesonerne og Λ- og Σ-partiklerne blev opdaget i slutningen af 1950, kaldte man dem, som følge af deres underlige opførsel, strangepartikler. De fremkom ved kollision af eksempelvis en π + p. Produktet blev en K-meson og en hyperon (partikel med strangeness forskellig fra 0, men hvor charm og bottomness begge er 0), som altid produceredes sammen. Disse partiklers relativt lange levetider fortæller, at deres henfald er en svagt vekselvirkende proces. Problemet var, at det så ud som om, at K 0 -partiklen havde to forskellige levetider. Dette problem blev løst ved inførelsen af en ny størrelse, strangeness. Her tildeles hyperonerne, Λ 0 og Σ ±,0 strangeness S = 1 og K 0 og K + tildeles strageness S = +1. De tilsvarende antipartikler har modsat strangeness, således at S = +1 for Λ 0 og Σ ±,0, og S = 1 for K 0 og K. Den samlede strangeness er altid bevaret i partikelsammenstød som eksempelvis: p + π Σ + K + (2.3) En reaktion ved et partikelsammenstød, hvor den samlede strangeness ikke er bevaret, kan ikke finde sted. Dog er strangeness normalt ikke bevaret, når partikler henfalder individuelt, eksempelvis: Σ + n + π + (2.4) Kvarker Teorien om de første tre kvarker, up, down og strange blev fremlagt i Teorien siger, at hadronerne ikke er fundamentale partikler, men at de er sammensat hver af spin-1/2 5

7 fermioner, kvarkerne. Hver hadron er (som tidligere nævnt) således sammensat af tre kvarker, og hver antihadron er sammensat af tre antikvarker. Tilsvarende er hver meson sammensat af et kvark-antikvarkpar. Denne model nødvendiggør, at kvarkerne må have ladninger med størrelser på 2/3 og 1/3 af elektronladningen, e, for at hadronerne opnår at have heltallige ladninger. Så kvarkteorien bryder yderligere med den tidligere opfattelse, at elektronens ladning var den mindst mulige. Kvarkerne har baryontallet 1/3, så det kommer til at passe med, at baryonen har baryontallet 1. Antikvarkerne har baryontallet 1/3. På denne måde går det også op med mesonerne, som består af en kvark og dens antikvark, så de har baryontal 0. De tre først opdagede kvarker, er upkvarken (u), downkvarken (d) og strangekvarken (s). I alt er der 6 kvarker, up (u), down (d), strange (s), charm (c), bottom (b) og top (t). De 6 kvarker har hver en antipartikel - en antikvark - med modsatte værdier af Q, B, S, C, B og T. Up-, charm- og topkvarken har en ladning på 2/3 af elektronladningen, mens down-, strange- og bottomkvarken har en ladningen 1/3. Kvarkerne holdes sammen af gluoner, der er masseløse spin-1 bosoner. Når kvarker sidder sammen i hadroner, gælder at de skal opfylde teorien om de stærke vekselvirkninger; kvantekromodynamikken (eng. quantum chromodynamics, QCD). Her tildeles hver kvark en farveladning (rød, blå og grøn), og det gælder, at hadronens samlede farveladning skal være neutral(hvid). Baryoner opfylder dette ved at bestå af tre kvarker med forskellig farveladning. Mesonerne opnår dette ved at bestå af en kvark med en farve (fx. rød), og en kvark med dens første kvarks antifarve (antirød). Gluonerne, som holder hadronerne sammen, har en farve-antifarvekombination og er i stand til at transmittere kvarkernes farve under samtidig overholdelse af, at den samlede farveladning skal være neutral. 2.2 En simpel kvarkmodel 4 En helt central del af kvarkteorien er at kunne forklare, hvordan masserne af mesonerne og baryonerne fremkommer. Slår man op i en typisk tabel over kvarkmasser 5, vil man se, at den nøgne masse af henholdsvis en up- eller en downkvark er 5 MeV 6. Det betyder, at protonen skulle have massen 15 MeV, hvis det eneste bidrag til dennes masse kom fra kvarkernes frie masser. Imidlertid har protonen en masse på 938 MeV, hvilket altså klart viser, at massen må komme et andet sted fra. Man taler derfor også om kvarkernes frie (eng. bare) og effektive (eng. constituent) masser. Forskellen i disse to masser ligger primært i, hvad der sker mellem kvarkerne inde i hadronerne. Ifølge QCD holdes kvarkerne sammen af den stærke kernekraft formidlet af gluonerne. Disse vekselvirkninger må nødvendigvis være forbundet med noget energi, som kommer til udtryk i form af masse. Gluonerne er i sig selv masseløse, men bidrager på sin vis også til massen, da de bærer farveladning, og derfor kan vekselvirke indbyrdes. Ifølge QCD, kan kvarkerne som følge 4 Hele dette afsnit tager udgangspunkt i diskussion i [2, afsnit 13.4,14.2,15.3]. Argumentationen er dog en stor del af vejen vor egen. Størstedelen af de fremtrylede formler er også hentet her, med undtagelse af udledningerne (2.9) og (2.10). 5 [1, Tabel 9.1, pp. 114] 6 Der er i partikelfysikken tradition for, at sætte lyshastigheden c = 1. Derved opnår man at MeV c kan 2 skrives MeV 6

8 af deres farveladning ikke eksistere frit, hvorfor kvarkernes frie masser afhænger af, hvilke antagelser man gør sig i teorien, hvorimod deres effektive masser er dem, man kan måle ved hjælp af de partikler de danner. Vi ønsker i opgaven at finde en værdi for den effektive masse af strangekvarken ud fra masserne af de lette mesoner og baryoner. Vi starter med at antage, at hadronmasserne kun afhænger af den effektive kvarkmasse. På baggrund af det kan vi opstille en meget simpel model for de effektive kvarkmasser, nemlig at sætte summen af de effektive kvarkmasser til at være lig hadronmasserne, M Had = i m i således at m up = m down = 1 3 m proton 313 MeV. Denne model holder per definition for protonen og neutronen, men bryder sammen for π + -mesonen (u d) der har en masse på 140 MeV, mens vores nuværende model forudsiger en masse på 616 MeV. En ting der adskiller de to partikler, er deres respektive spin. Protonen er en spin-½ baryon og π + -mesonen er en spin-0 meson. Protonen består altså af to kvarker med spin op og en med spin ned, hvorimod π + -mesonen har en af hver slags. Vi ved fra elektrodynamikken, at ladede partikler der snurrer skaber et magnetfelt. Hvis partiklernes spin er modsatrettet, vil de skabe modsatrettede magnetfelter, og der vil være en tiltrækkende kraft imellem dem. Partikler med ensrettet spin vil derimod skabe ensrettede magnetfelter, hvorfor de vil fratødes. Fuldstændig analogt skaber farvede partikler i kraft af deres spin et farvemagnetfelt, som leder til colour magnetic interaction. Alt efter om kvarkerne har ensrettet spin eller modsatrettet, vil denne vekselvirkning bidrag positivt eller negativt til hadronmassen. Tilsvarende kan der sammenlignes med to stangmagneter som holdes op mod hinanden. Hvis magnetfelterne er ensrettet, skal der bruges noget energi på at føre dem op mod hinanden, hvorimod magneterne tiltrækker hinanden, hvis magnetfelterne er modsatrettet. Fra relativitetsteorien ved vi, at masse og energi er to sidder af samme sag, hvorfor det synes plausibelt, at kvarkernes spinretning skulle have indflydelse på mesonerne og baryonernes masser. Lad os derfor opstille endnu en simpel model for hadronmasserne, hvor de afhænger af de effektive masser af kvarkerne, samt et spin-spinvekselvirkningsled, der med vores teoretiske udgangspunkt er en funktion af hadronens spin (S). For de lette baryoner og mesoner gælder der følgende sammenhæng, M qqq = i m i + M ss (S) (2.5) M q q = m q + m q + M ss (S) (2.6) I vores undersøgelse af denne kvarkmodel er vi egentlig ikke interesserede i størrelsen af M ss, men kun i at finde den effektive masse af strangekvarken. Det er dog nødvendigt at vide, hvordan M ss afhænger af hadronernes spin, da vi jo gerne vil kunne fitte strangemassen vores teori. Der gælder for mesoner at, c M ss = c 3 πα s m q m q ψ (0) 2 = 3 α m for S = 0 πα s m q m q ψ (0) 2 = +1 α m for S = 1 (2.7) 7

9 under antagelse af, at α s ψ (0) 2 er konstant for de forskellige mesoner 7, og hvor α m er en konstant. Denne antagelse gælder kun, hvis produktet m q m q er konstant, hvilket kræver at mesonerne består af en up- eller downkvark samt en strangekvark (en af dem en antipartikel). Dette kommer senere hen til at betyde, at vi kun kan afprøve modellen på mesoner med én strangekvark, da det sidste led kun er konstant for partikler med samme antal strangekvarker. Vi bliver derfor nødt til at se bort fra φ- og π-mesonerne, hvis vi ønsker at bruge modellen for så mange kvarker som muligt på én gang. For baryonerne gælder der tilsvarende πα s ψ (0) 2 = 3 α 9c 3 m 2 b for S = 1 u,d 2 M ss = πα s ψ (0) 2 = +3 α 9c 3 m 2 b for S = 3 u,d πα s ψ (0) 2 = +3 α 9c 3 Ω for Ω-baryonen m 2 s (2.8) under antagelse af, at α s ψ (0) 2 er konstant for de forskellige baryoner 8, og hvor α b er en konstant. Som det ses er konstanten for Ω-baryonen anderledes end for de øvrige lette baryoner, da massebidraget i nævneren kommer fra strangekvarken og ikke fra up- /downkvarken. Vi er altså nødt til at undlade at kigge på denne, når vi vil undersøge modellen. Denne antagelse er vi nødt til at gøre, for at kunne gøre modellen simpel nok til, at den kan fittes med en kontinuert funktion af én variabel. Nu er vi klar til at lave en model af én variabel, der kan bestemme massen af strangekvarken. Hvis man kigger på (2.7) og (2.8), ser man, at mesonerne og baryonernes masse afhænger alene af koefficienten til konstanten α i og kvarksammensætningen. Vi kender koefficienten til konstanten samt kvarkkonfigurationen af de forskellige partikler, hvorfor det er oplagt at prøve at lave en kontinuert funktion for strangemassen som afhænger af disse, således at vi kan fitte de kendte data til kvarkmodellen. Ud fra (2.7) og (2.8) samt en viden om mesonerne og baryonernes sammensætning, kan to forskellige funktioner f og g udledes: M s q = x m s + m i + M ss = x m s + m i + y α m i=u,d f(z) = M s q i=u,d m i x i=u,d = m s + z α m (2.9) 7 [2, pp. 176 m.] 8 [2, pp. 194 mid.] M qqq = x m s + m i + M ss = x m s + m i + y α b i=u,d g(z) = M qqq i=u,d m i x i=u,d = m s + z α b (2.10) 8

10 Her er variablen x antallet af strangekvarker og y spin-spinkoefficienten og de øvrige størrelser er parametre der kan fittes efter. I den sidste linie er variabelskiftet y = z x foretaget, således at vi undgik to funktioner i to variable. Gnuplot kan egentlig godt håndtere disse, men variabelskiftet gør arbejdet noget lettere. For mesonerne er x = 1, da vi er nødt til at kræve at mesonerne indeholder de samme typer af kvarker for at få en tilstrækkelig simpel model, da konstanten α m afhænger af antallet af strangekvarker. For baryonerne gælder tilsvarende, at modellen ikke er gældende for Ω-baryonen. For at kunne gøre brug af (2.9) og (2.10), er vi nødt til at antage en værdi for up(down)kvarken, da denne jo indgår på venstresiden. Alt efter om kvarkerne indgår i mesoner eller baryoner, har de lidt forskellige masser. Dette skulle vi også forvente, da kræfterne i mellem kvarkerne må være lidt forskellige alt afhængigt af, om der er to eller tre af slagsen. Massen af upkvarken er 310 MeV i en meson og 363 MeV i en baryon. Nu er de eneste ubekendte i udtrykkene (2.9) og (2.10) m s og α i, og vi kan gå igang med at fitte, når vi har fået indsamlet nok data. 3 ALEPH-detektoren Apparatus for LEP Physics at CERN, i daglige tale kendt som Aleph, var en af de fire detektorer placeret på LEP. LEP (Large Electron-Positron Collider) herskede i CERN s 27 kilometers lange ringtunnel fra 1989 indtil I 2000 påbegyndte man nedtagningen af LEP, da den skulle vige pladsen for LHC. LEP s opgave bestod i at accelerere elektroner og positroner op til hastigheder nær lysets for derefter at lade dem støde sammen og Figur 1: ALEPH-detektoren danne nye partikler. I 1989, da man begyndte at bruge LEP til eksperimenter, kunne den accelerere elektroner og positroner op til en energi på 45 GeV, netop nok til at producere en Z 0 -boson. Hen mod slutningen af 2000 havde man fået den til at accelerere elektroner og positroner op til en energi på 209 GeV, og ved denne energi fandt man kandidater til Higgsbosonen. Aleph var bygget op af cylindriske lag omkring sammenstødspunktet, hvor elektronerne og positronerne kolliderede (se Figur 1). Der vil i det følgende være en kort gennemgang af de lag, der er benyttet i opgaven. 3.1 Detektorens opbygning Den indre detektor Den indre detektor kan siges at være den vigtigste del i detektoren, da det er her de ladede partiklers bane kortlægges. Den indre detektor består af tre sporkamre kaldet for, Vertex detector, Inner Tracking Chamber og Time Projection Chamber (TPC). I opgaven er det kun data fra TPC en der benyttes. Vertexdektoren er det fineste måleinstrument 9

11 forstået på den måde, at det er den der måler mest præcist, således at partikelbanerne inden omkring sammenstødspunktet kan måles meget nøjagtigt. Vertexdetektoren er den eneste, der kan måle på de kortlevende partikler, dog ikke de stærkt henfaldende partikler. Inner Tracking Chamber og TPC en bruges begge til de noget længerelevende partikler, men med en mindre præcision end Vertexdetektorens. TPC en er opbygget af mange lag. Disse består af flere anodetråde, der er udspændt mellem to katodeplaner, og hører derfor til klassen af detektorer der kaldes trådkamre. Mellem katodeplanerne er der udover anodetrådene en ædelgas. TPCen fungerer på den måde, at en partikel der rammer detektoren slår en elektron ud af et gasmolekyle, hvorefter elektronen vil søge mod en den positivt ladede anodetråd, og ionen vil søge mod en af de negativt ladede katodeplaner. Ved at måle tiden, det tager elektronen at komme hen til anodetråden, kan man bestemme partiklens position med god nøjagtighed. Ud fra de mange lag af af tråde og plader, kan man sammensætte partiklens bane. Når man kender partiklens bane, kan man udnytte, at den har bevæget sig i et magnetfelt. Som vi skal se senere, kan en partikels impuls bestemmes entydigt ud fra krumningen på dens bane og magnetfeltets styrke. Det Elektromagnetiske kalorimeter og Hadronkalorimeteret Et kalorimeter har til formål at registrere mængden af energi, der afsættes af de partikler, der skal måles på. Det elektromagnetiske kalorimeter måler på partikler der udsender elektromagnetisk stråling, dvs. elektroner og fotoner, og hadronkalorimeter måler på hadroner. Man måler energien ved at kalorimeteret absorber partiklens energi. I kalorimeteret kolliderer partiklen med kalorimeterets materiale, og der dannes sekundære partikler, som der måles på. Jo flere jo sekundære partikler, jo højere energi havde den indgående partikel. Ud fra en partikels bane, som man bestemmer i de indre detektorer, samt målingen af partiklens energi, kan man ud fra den relativistiske fireimpuls bestemme partiklens masse. 3.2 Fysikken i detektoren Der vil i dette afsnit være en kort gennemgang af fysikken, der bliver brugt i detektoren får at få måleresultater og dermed finde ud af hvad der skete under en kollision. I LEP blev beams af elektroner og positroner ført til kollision. Et beam består af en masse partikler, som bliver ført rundt i LEP ved hjælp af elektronmagnetiske bølger, indtil der er tilført den ønskede energi og de bringes til kollision i en af detektorerne. Når LEP accelererede en elektron og en positron op til 45 GeV, vil det sige, at den samlede relativistiske energi vil være 90 GeV. Den samlede relativistiske energi danner den øvre grænse for partikeldannelsen i detektoren. Den relativistiske energi er givet ved E 2 = (pc) 2 + ( mc 2) 2 hvor c er lysets hastighed, p er impulsen og m er massen. Under en kollision vil der dannes partikler, der kort tid efter henfalder til andre partikler, som har en længere levetid og derved bevæger sig længere i detektoren. Ved at følge sporene på de partikler man kan se i den indre detektor, kan dannelsesstedet bestemmes. 10

12 Hvis dannelsesstedet ligger væk fra kollisionsstedet, må det betyde at en anden neutral partikel blev dannet, for så kort tid efter at henfalde. Med data fra den indre detektor og kalorimeteret kan man bestemme de synlige partiklers impuls og energi. Da der gælder impulsbevarelse, kan man ved brug af fireimpuls udregne den oprinde partikels masse. Fireimpuls er givet ved P = (E/c, p x, p y, p z ) Den henfaldende partikels masse kan da udregnes P 2 = E 2 /c 2 p 2 = m 2 c 2 m = E 2 /c 4 p/c 2 Impulsen måles ved krumningsgraden af partiklens bane i det magnetiske felt, jo højere impuls desto mindre krumning og omvendt. For at give et eksempel på hvordan sammenhængen mellem impuls og krumningen, skal man se på den magnetiske feltteori ( F = q v B ) Hvis man antager den specielle situation, at en partikel bevæger sig vinkelret på magnetfeltet, gælder det at: F = q v B Kraften over et kortstykke, på en partikel, kan sammenlignes med centripetalkraften på partiklen. F = m v2 r Hvor r er krumningsradius. Man kan da sammensætte det til p = q B r (3.1) Og vi har nu en sammensætning mellem impuls og krumningsradiusen. 4 Fremgangsmåde Med data fra Alephforsøget vil vi forsøge at bestemme massen af K 0 og Λ 0 samt de tilhørende usikkerheder. Til dette formål, benytter vi os af programmet PAW. PAW er et program, der i sin tid blev udviklet i CERN, og har været en stor hjælp for fysikere til behandling og præsentation af data. Udvælgelsen af kandidaterne sker ved at sætte nogle tekniske specifikationer i programmet, som kort fortalt forsøger at finde henfald der ligner henfaldet for K 0 og Λ 0, (se figur 3) ved hjælp af en række forskellige parametre. I Paw fittes massen for K 0 og Λ 0 efter en Gausskurve, da henfaldene er forårsaget af svage kernekræfter og derfor er gaussfordelt. 11

13 De udvalgte kandidater bliver sat ind i 4 forskellige histogrammer, alt efter deres impuls. Vi vælger at opdele datamængden i 4 separate impulsintervaller, da vi forventer en systematisk usikkerhed, der er afhængig af impulsmålingen. Denne foretages nemlig ved at måle krumningsradius på de ladede partiklers spor. Impulsen for en partikel i magnetfeltet vil (jf. 3.1) være proportional med krumningsradien, så en lav impuls giver en lille krumningsradius, og denne kan måles med stor præcision. Omvendt vil en partikel med høj impuls have en stor krumningsradius, hvilket giver en større usikkerhed, idet det kun vil Figur 2: Histogram for K 0 -massen være en lille del af cirklen (eller spiralbanen), der kan måles på, da partiklen vil være ude af detektoren meget hurtigt. De histogrammer og fits som vi har lavet, er ikke vist fuldkomment i rapporten, da de ikke hjælper på forståelsen af stoffet. Vi har derimod valgt at indsætte et af hver type henfald, for at vise disses karakteristika. Plots af data for K 0 og Λ 0 kan ses på figur 2 og 4. Outputtet bliver et histogram, hvor vi kan aflæse antal entries, massen samt usikkerheden i det pågældende impulsinterval. Ud fra samme fremgansmåde fitter vi massen af K 0 og Λ 0, denne gang med udgangspunkt i en meget gennemarbejdet simulation kaldet Monte Carlo. MC er en ret præcis simulering af de virkelige partikelkollisioner og henfald, programmeret ud fra Alephforsøgets resultater. I MC-simuleringen er der ligeledes implementeret de samme systematiske fejl, som også opstår i det reelle forsøg. Der er derfor helt styr på størrelsen af de systematiske fejl samt baggrundsstøjen i MC. De systematiske fejl skyldes bl.a. uønskede vekselvirkninger med detektorens materialer, men simulation tager også højde for andre og mere komplicerede forhold. Hvordan støjen og usikkerhederne fra MC kan implementeres i de virkelige data, diskuteres i næste afsnit. 5 Databehandling 5.1 Bestemmelse af de lette hadroners masse Figur 3: Henfald for K 0 /Λ 0 - partiklen Ud fra de opgivne data fra Alepheksperimenterne vil vi forsøge at optimere vores data ved at rense dem for baggrundsstøj. Rigtigheden i at fratrække baggrundsstøjen af MC-simuleringen fra vores data kan diskuteres, men da vi ingen andre metoder har til at bestemme baggrundsstøjen, antager vi, at MC-baggrundsstøjen er den korrekte værdi. 12

14 Da der findes flere data i MC end fra vores Aleph forsøg, må vi først finde normaliseringsfaktoren r, hvis vi skal kunne sammenholde vores data med MC: antal kandidater fra data r = antal kandidater fra MC De rensede data kan nu findes på følgende måde: Renset data = data - r baggrundsstøj fra MC Impulsinterval (GeV/c) Renset data (GeV/c 2 ) MC (GeV/c 2 ) 0< p < ± ± < p < ± ± < p < ± ± < p ± ± Tabel 3: Renset K 0 -data Korrektionen for baggrundsstøjen viser sig dog ikke at være særlig udslagsgivende, da mængden af MC-baggrundsstøj er væsentligt mindre end antallet af entries i de eksperimentelle data. Derudover viste det sig, at baggrundsstøjen næsten var normalfordelt omkring den søgte masse. Vores data er nu renset for støj, og da de statistiske usikkerheder faktisk er mindre end de fem cifres præcision i vores data. Vi vil derfor se nærmere på de systematiske usikkerheder. Hvis vi antager, at MC-simuleringen er en perfekt simulering af Alepheksperimentet, kan vi estimere de systematiske usikkerheder til at være forskellen mellem den rigtige værdi og MC-værdien. Her sætter vi den rigtige værdi til at være tabelværdien fundet i [3]. Den systematiske usikkerhed er da: Korrektion = K 0 tabel K 0 mc Vi har nu størrelsen af den systematiske usikkerhed, og vi kan korrigere vores data: Korrigeret data = K 0 data + korrektion Med de udregnede korrektioner finder vi frem til følgende korrigerede data: Impulsinterval (GeV/c) Korrigeret data (GeV/c 2 ) Korrektions led(gev/c 2 ) 0< p < < p < < p < < p Tabel 4: Korrigeret K 0 -data 13

15 Den umiddelbart mest nøjagtige metode til at bestemme massen af K 0, er ved at udregne det vægtede gennemsnit WA for de fire impulsintervaller 9 : N i=1 w i x i, w i = 1 wi σi 2 De tilhørende usikkerheder burde beregnes på følgende måde: σ = 1 wi Ulempen ved denne udregning er i vores tilfælde, at vi er i besiddelse af meget store mængder data. Dette er i grunden et luksusproblem, men med de mange entries ender vi med en WA usikkerhed, der først har indvirkning på WA massen ved 8. decimal, hvor massen kun er bestemt til det 5. decimal. Det giver derfor ingen fysisk mening at tilføje WA usikkerhederne, især da man ved blot at kigge på vores resultater for de fire impulsintervaller bør bemærke, at spredningen er væsentligt større her. Da vi ser en større spredning i vores resultater, efter vi har korrigeret med MC, end den statistiske usikkerhed, må der altså stadig findes systematiske usikkerheder, som modellen ikke tager højde for. Den Figur 4: Histogram for Λ 0 -massen simpleste måde at bestemme den systematiske usikkerhed på er at angive den som halvdelen af den spredning, der er givet ved forskellen mellem korrigeret data maks og korrigeret data min. W A = ± GeV Vi udfører præcis de samme beregninger på Λ 0, og bruger de samme argumenter for at undlade WA usikkerheden og i stedet bruge spredningen fra impulsintervallerne. Masse samt tilhørende usikkerhed er da 10 : W A = ± GeV 9 Formlerne er hentet i [5, pp. 175] 10 Tabeller med rådata og korrigeret data kan ses i appendixet. 14

16 5.2 Bestemmelse af massen for K Figur 5: Histogram for K -massen Til bestemmelse af K -massen sammensatte vi et program, der ud fra de samme data opsamlet i Aleph udvalgte de bedste kandidater for K -henfald. Kriterierne for at komme i betragtning som et K -henfald er at ligne det henfald som ses i Figur 6: Det henfald som er afbilledet i figur, er det henfald, som K har størst sandsynlighed for at foretage, nemlig hvor K efter meget! kort tid henfalder til en K 0 og en π ± - meson. π ± -mesonen kan spores i TPC en, det kan K 0 derimod ikke, da denne er neutral. Her kan vi til gengæld udnytte, at vi allerede er i stand til at finde K 0 -henfald ud fra henfaldsprodukterne. Efter s vil K 0 henfalde til en π + - og en π -meson, dette spor bliver igen synligt, da vores π ± - mesoner er elektrisk ladede. Ved at identificere det v (vertex) der udspændes af de to π-mesoner samt den tredje π-meson kan sporet for den neutrale K 0 føres tilbage til K - henfald. Ved at beregne den invariante masse for de tre π-mesoner kan massen af K bestemmes. Den store forskel mellem dette henfald, og K 0 -henfaldet er, at K henfalder stærkt. På grund af Heisenbergs usikkerhedsprincip 11 vil spredningen i partiklens masse derfor være meget stor, og vi må derfor forvente en bred top i et massehistogram. Da programmet havde udvalgt de søgte kandidater, blev dataen derfor fittet efter en Breit-Wignerkurve - inden for et rimeligt interval - da denne netop er karakteriseret ved en bred top. Grunden til at der ikke blev fittet over hele datamængde, er at det karakteristiske peak ved 0.7 GeV antages for at være støj der ikke har med K -henfaldet at gøre. Dette kommer vi tilbage til i diskussionen. Fittet gav en masse for K på ± GeV. Figur 6: K -henfald 11 Se appendix for note om Heisenbergs usikkerhedsprincip 15

17 5.3 Test af simpel kvarkmodel Efter at have fundet masserne af nogle af de lette mesoner er det nu muligt for os at afprøve den simple kvarkmodel, som blev opstillet tidligere i rapporten. Ved at beregne funktionsværdierne for de forskellige hadroner og tilsvarende beregne z, har vi fittet vores model i Gnuplot. For de hadroner hvor vi ikke selv har nogen data, har vi fundet værdierne ved tabelopslag. En tabel over funktionsværdierne og z-værdierne er vedlagt i Appendixet af hensyn til at spare plads. Vi definerede de to funtioner (2.9) og (2.10), og lod Gnuplot fitte dem til dataene i Appendixet. Herved fremkom følgende to funktioner: f(z) = 98.7 z (5.1) g(z) = 34.9 z (5.2) Funktionerne er sammen med datapunkterne plottet i Figur 7. Strangekvarkens masse i henholdsvis de lette mesoner og baryoner kan nu direkte aflæses til: I mesoner: 482 ± 1.3 MeV (5.3) I baryoner: 545 ± 8 MeV (5.4) Usikkerhederne som er angivet for de to værdier, er de usikkerheder, som Gnuplot angiver for fittet. De usikkerheder som er på selve datapunkterne er af størrelsesorden 10 6 MeV, og da usikkerheden af selve modellen er væsentligt større end dette 12, har vi ladet Gnuplot selv vælge en passende usikkerhed. Sammenlignes disse to værdier med de forudsagte værdier som er givet i [2, pp. 176,194] 13, ses det at værdierne stemmer overordentligt godt overens. 6 Diskussion af resultater 6.1 Bestemmelse af de lette hadroners masse På grafen 5 ses et meget intenst smalt peak omkring 0,7 GeV, der ikke har nogen relation til massen af K. Da peaket er så intenst, og indeholder så mange spor, må det nødvendigvis være et henfald, der opfylder alle de givne krav, der blev stillet i programmet. Specielt må vi forlange, at henfaldet minder om K -henfaldet. Vi kan også konkludere at henfaldet må have en høj sandsynlighed, da der faktisk er flere af dette end K -henfaldet. Vigtigt er det dog at henfaldet har en meget smal top, og derfor må være domineret af de svage kernekræfter - igen grundet Heisenbergs usikkerhedsprincip. Ved gennemgang af mulige henfald kom vi frem til Ξ som eneste mulige kandidat. Denne baryon opfylder alle vores krav. Henfaldet ligner meget K -henfaldet 12 Se næste afsnit for en diskussion af dette 13 m s 483 MeV og m s 538 MeV 16

18 Figur 7: Fit af data til kvarkmodel Det søgte henfald, har en høj sandsynlighed på % Alle henfaldsprocesser domineres af de svage kernekræfter På vores fit af K -massen, kan massen af peaket aflæses til GeV, Dette er i midlertidig langt fra tabelværdien for Ξ på MeV. Forklaringen på dette, kan findes ved at kigge på de parametre, der er brugt i programmet. I programmet har vi nemlig påkrævet, at et hvert henfald der ligner henfaldet i figur 6, per definition har K 0 som den neutrale partikel. Da vi har antaget at Ξ er moderpartiklen, må Λ 0 repræsentere den neutrale partikel, i henhold til det mest sandsynlige henfald for Ξ. Forskellen mellem Λ 0 og K 0, må derfor være differensen mellem Ξ og vores målte værdi. Hvis vores antagelse skal være rigtig, bør vi kunne beregne massen af Ξ på følgende måde. Ξ = Aflæst masse + (Λ 0 K 0 ) = 720 MeV MeV = 1339 MeV (6.1) Tabelværdien for Ξ er opgivet til MeV. Vi kan derfor med stor sandsynlighed fastslå, at peaket på grafen, er fremkommet af de Ξ henfald der registreres i TPC en. 17

19 Partikel Masse ( MeV c 2 ) Tabelværdi ( MeV c 2 ) K ± ± Λ ± ± K ± ± ± 0.26 Ξ ± ± 0.13 Tabel 5: Samlede resultater Hvis man kigger på samtlige vores resultater, vil man se, at der er en rigtig god overensstemmelse mellem vores resultater og de værdier, som litteraturen giver. Vi må også forvente de pæne resultater, i og med, at vi har et meget stort datasæt at arbejde med. Derudover skal man huske på, at de tabelværdier vi bruger her i opgaven, med stor sandsynlighed er fundet ved LEP i sin tid, og derfor faktisk bygger på de samme data som vi har gjort brug af her. At resultaterne alligevel ikke overlapper hinanden fuldstændig, skal måske ses i lyset af, at vi ikke har været i stand til at vurdere de systematiske fejl ud fra fysiske overvejelser, men har gjort disse vurderinger ud fra en antagelse om, at simuleringen er fuldstændig korrekt. 6.2 Bestemmelse af strangekvarkens masse Resultaterne for strangekvarkens masse har vist sig at stemme utroligt godt overens med forudsigelserne i litteraturen. På trods af dette er modellen dog ikke en fuldstændig model for massen af kvarkerne. Der er flere ting som modellen helt ser bort fra, men som stadig må have indflydelse på resultatet. Vi startede med at argumentere for spinspinvekselvirkningsleddet ud fra en antagelse om, at kvarkernes spin ville skabe et farvemagnetfelt, hvis energi ville bidrage enten positivt eller negativt til masserne. Analogt kan argumentet bruges for kvarkernes elektriske ladning, der også må skabe et magnetfelt. Dette bidrag vælger vi helt at se bort fra ud fra en antagelse om, at farvemagnetfeltet er væsentligt kraftigere end det elektromagnetiske felt 14 Kigger man på masserne af de lette baryoner og grupperer dem efter deres navn, vil man også se, at den neutrale navnebror vejer 4 MeV mere end den positive og tilsvarende vejer den negative 4 MeV mere end den neutrale. 15 Denne korrektion er tilnærmelsesvis af samme størrelsesorden som den usikkerhed Gnuplot angiver for strangemassen i baryoner (5.4). Den samme pæne symmetri gør sig også gældende for de lette mesoner, hvor forskellen mellem den neutrale π-meson og de ladede π-mesoner også er 4 MeV. Det samme gør sig gældende for K-mesonerne, hvorimod de exciterede K-mesoner har et lidt større spænd. Dette hænger dog nok mest sammen med vores dataopsamling, da forskellen i tabelværdien mellem den neutrale og de ladede K -mesoner er 4 MeV. For mesonerne gælder der, at den negativt ladede meson har den samme masse som den positive, hvilket kommer sig af, at de er hinandens antipartikler. En anden usikkerhed, vi ikke tager højde for direkte i modellen (men som alligevel må være implementeret), er Heisenbergs usikkerhedsrelation: 14 Ifølge [2, pp. 164]. er denne cirka 1000 gange stærkere end det elektromagnetiske spin-spinvekselvirkningsled som gælder mellem elektronen og poistronen 15 Se [3] 18

20 p x 2 (6.2) Kvarkerne er spærret inde på et område af størrelsesorden 1 fm, og må derfor have impulser i størrelsesorden mindst 100 MeV hvilket er væsentligt større end hvilemasserne på up- og downkvarkerne, hvorfor denne impuls også må bidrage væsentligt til massen. Dette bidrag ser vi dog ikke direkte i form af en usikkerhed, da man må forvente, at bidraget for de lette kvarker er nogenlunde ens. I udtrykkene for strangemassen kunne man derfor argumentere for, at konstanten egentlig er to konstanter. Så længe der dog er tale om konstanter, er det ligegyldigt for selve modellen, da vi jo ikke er interesserede i størrelsen af konstantleddet, men kun i at det er konstant. 7 Konklusion Efter at have analyseret os igennem millioner af events ved Aleph-detektoren har vi fundet frem til masserne af nogen af de lette mesoner og baryoner - endda med meget pæne usikkerheder, og inden for de værdier som er givet i litteraturen. Specielt har vi også kunne vurdere massen af Ξ, selvom dette slet ikke var en del af den oprindelige opgaveformulering. Arbejdsgangen med at finde partikelmasserne har sat os grundigt ind i, hvordan en partikelfysikers arbejde kan se ud. Mest overraskende for arbejdet er nok, at et så kompliceret emne som en kvarkmodel, kan simplificeres til en ganske simpel model af én variabel, og det med rigtig flotte resultater til følge. På trods af, at vi slet ikke har taget højde for Heisenbergs usikkerhedsprincip, kvarkernes elektriske ladning eller nogen anden form for vekselvirkning mellem kvarkerne ud over det farvemagnetfelt deres spin må medføre, har vi fået nogle resultater der ligger meget tæt op af de forudsigelser litteraturen kommer med. Man skal tilslut huske på, at mange af de flotte resultater vi har opnået, ikke havde været mulige, hvis ikke vi havde haft computere til rådighed, der har været i stand til at bearbejde mange millioner af data på en gang. 19

21 8 Appendix 8.1 Heisenbergs usikkerhedsprincip Et meget vigtigt resultat af kvantemekanikken er Heisenbergs berømte usikkerhedsprincip. Overordnet siger det, at hvis vi ønsker én værdi meget nøjagtigt, er vi nødt til at skrue usikkerheden op for en anden. Der gælder at usikkerheden i energi er omvendt proportional med usikkerheden i tid, og der gælder tilsvarende, at usikkerheden i en partikels position er omvendt proportional med usikkerheden i dens impuls: og p x 2 E t 2 (8.1) (8.2) En stærkt henfaldende partikel har en meget kort henfaldstid, hvorfor dens usikkerhed i energi bliver meget stor. Et massehistogram for et sådant henfald vil altså have en meget stor spredning. Tilsvarende er spredningen i en længerelevende partikel væsentligt mindre. 8.2 Tabeller Tabel 6: Renset Λ 0 -data Renset data Impulsinterval (GeV/c) Renset data MC (GeV/c 2 ) 0< p < ± ± < p < ± ± < p < ± ± < p ± ± Impulsinterval (GeV/c) Tabel 7: Korrigeret Λ 0 -data Korrigeret data Korrigeret data ( GeV c 2 ) Korrektions led ( GeV c 2 ) 0< p < ± < p < ± < p < ± < p ±

22 Tabel 8: Data til kvarkmodel Partikel x y z = y x f(z) g(z) Mesoner K ± i.d. K i.d. K ± i.d. K i.d. Baryoner Λ i.d Σ i.d Σ i.d Σ i.d Ξ i.d Ξ i.d Σ i.d Σ i.d Σ i.d Ξ i.d Ξ i.d De exciterede baryoner er alle spin- 3 2 i stedet for spin- 1 2 Litteratur [1] B.R. Martin & G. Shaw. Particle Physics. Wiley, 2. udgave, [2] Bogdan Povh, Klaus Rith,Christoph Scholz & Frank Zetsche. Particles and Nuclei. Springer, 1. udgave, [3] W.-M. Yao et al. Particle Physics Booklet. Institute of Physics Publishing, July 2006 edition, [4] H.D. Young & R.A. Freedman. University Physics. Pearson Addison-Wesley, 12. udgave, [5] J.R. Taylor. An introduction to error analysis. University science books, 2. udgave,