Statistik i løb Supplerende opgaver

Statistik i løb Supplerende opgaver Preben Blæsild Lars Bo Kristensen 7 SUPPLERENDE OPGAVER Opgave 7.1 Fosforindholdet i letmælk angives til at være 170 µg/100g. I en stikprøve på 20 mælkekartoner blev fosforindholdet bestemt (i µg/100g). Resultatet blev: 165 174 179 176 184 167 175 182 179 178 176 191 155 169 171 171 171 182 191 174 Summen og kvadratsummen af de 20 målinger er henholdsvis S = 3510 og SK = 617384. 1 Vis, at målingerne af fosforindholdet i de 20 mælkekartoner kan betragtes som en normalfordelt observationsrække. for middelværdien af fosforindholdet og undersøg, om det kan antages, at middelværdien er 170 µg/100g. Opgave 7.2 Som en øvelse i fysiologi bliver 15 studerende bedt om - uafhængigt af hinanden - at bestemme koncentrationen af laktat i den samme blodprøve med en kendt koncentration. De 1

studerendes målinger er i mg/l 86.5 81.0 79.4 90.9 73.8 80.2 79.9 80.3 71.9 78.6 83.1 79.6 80.0 87.0 92.7 og den kendte koncentration er 80.0 mg/l. Summen og kvadratsummen af de 15 observationer er henholdsvis S = 1224.9 og SK = 100472.63. 1 Vis, at målingerne kan betragtes som en normalfordelt observationsrække. 2 Undersøg, om det kan antages, at middelværdien af laktatkoncentrationen er 80.0 mg/l. Opgave 7.3 I 1797 udførte Henry Cavendish et eksperiment til bestemmelsen af jordens massetæthed. Nedenfor er 23 af Cavendish s målinger gengivet. Den kendte værdi i dag, baseret på moderne præcise målemetoder, er 5.517. 5.36 5.29 5.58 5.65 5.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34 5.79 5.10 5.27 5.39 5.42 5.47 5.63 5.34 5.46 5.30 5.75 5.68 5.85 Summen og kvadratsummen af de 23 observationer er henholdsvis S = 126.12 og SK = 692.3740. 1 Vis, at målingerne kan betragtes som en normalfordelt observationsrække. for middelværdien af jordens massetæthed og undersøg, om det kan antages, at middelværdien er den værdi, vi kender i dag. Opgave 7.4 Body Mass Index (kort BMI) er forholdet mellem en persons vægt, målt i kg, og kvadratet af personens højde, målt i meter, det vil sige BMI = personens vægt i kg (personens højde i m) 2. BMI anses for at give et mål for personens kropstilstand og The International Obesity Task Force har opstillet følgende kriterier for voksne: Klassifikation BMI Undervægt < 18.5 Normal vægt 18.5 24.9 Overvægt 25.0 29.9 Fedme klasse I 30.0 34.9 Fedme klasse II 35.0 39.9 Fedme klasse III > 40.0 Tabel 13: Klasser svarende til BMI. Lars Bo Kristensen, Egå Gymnasium, har målt BMI på 46 elever, 31 drenge og 15 piger. Data er for omfattende til at blive gengivet her, men Figur 12 viser fraktildiagrammerne for de to observationsrækker svarende til drenge og piger. 1 Gør ved hjælp af Figur 12 rede for, at de to observationsrækker af BMI for drenge og piger kan antages at være normalfordelte. Ved besvarelsen af spørgsmålet nedenfor skal følgende standardberegninger for BMI benyttes: 2

1201 1178 1226 1204 1179 1188 1204 1238 1173 1179 1217 1232 1222 1223 1183 1173 1214 1194 1202 1238 Summen og kvadratsummen af de 25 målinger er henholdsvis S = 30042 og SK = 36110886. 1 Vis, at de 25 målinger kan betragtes som en normalfordelt observationsrække. Figur 12: Fraktildiagrammer for de to observationsrækker af BMI svarende til drenge og piger. 2 Vis, at den empiriske middelværdi og varians er henholdsvis x = 1201.60 og s 2 = 417.3100. drenge piger n 31 15 S 633.2 335.8 SK 13051.66 7576.02 for middelværdien af BMI for såvel drenge som piger. 3 Hvad kan man ud fra resultaterne i 2 og Tabel 13 sige om BMI værdierne for drenge og piger? Opgave 7.5 Ved en produktion af trykknapper til et tastatur tilstræber man, at trykknapperne har en vægt på 1200 mg. For at kontrollere produktionen udtog man 25 trykknapper og vejede dem. Resultatet (i mg) blev: 1209 1202 1180 1187 1196 3 Angiv 95% konfidensinterval for middelværdien af vægten og vis, at det kan antages, at middelværdien er 1200 mg. Antag, at en trykknap kasseres, hvis dens vægt afviger mere end 70 mg fra de tilstræbte 1200 mg. 4 Beregn ved hjælp af en lommeregner eller Excel samt normalfordelingen med middelværdi µ = 1200 og varians σ 2 = s 2 sandsynligheden for at en trykknap ikke kasseres. Opgave 7.6 For at undersøge, om der er forskel på visuel og auditiv reaktionshastighed hos mennesker, måltes henholdsvis visuel og auditiv reaktionshastighed hos 15 basketball spillere. Her er visuel reaktionshastighed defineret som den tid, der går, før forsøgspersonen reagerer på et lyssignal, og auditiv reaktionshastighed 3

som den tid, der går, før forsøgspersonen reagerer på en bestemt lyd. Målingerne er i millisekunder. Dette gav følgende resultater: Spiller nr. Visuel Auditiv Forskel 1 169 168 1 2 195 195 0 3 209 174 35 4 199 167 32 5 222 143 79 6 173 195 22 7 197 184 13 8 219 190 29 9 208 165 43 10 207 181 26 11 201 219 18 12 244 211 33 13 140 193 53 14 178 189 11 15 186 193 7 1 Vis, at forskellen mellem visuel og auditiv reaktionstid kan betragtes som en normalfordelt observationsrække. Gør desuden rede for, at tallene kan analyseres ved hjælp af et parret t-test: Ved besvarelsen af de følgende spørgsmål kan det benyttes, at summmen og kvadratsummen af de 15 forskelle mellem visuel og auditiv reaktionstid er henholdsvis S = 180 og SK = 16902. for middelværdien af forskellen mellem visuel og auditiv reaktionstid. 3 Undersøg, om middelværdien af forskellen mellem visuel og auditiv reaktionstid kan antages at være 0. 4 Antag, at en spiller har en visuel reaktionstid på 161 millisekunder. Angiv et estimat for vedkommendes auditive reaktionstid. Opgave 7.7 Tallene i Tabel 14 på modstående side er indsamlet for at undersøge om træning har indflydelse på glycogen indholdet i benmuskler. Der er foretaget målinger på 8 personer, som i en periode på 3 uger træner det ene ben men ikke det andet. For hver af de to ben er glycogen indholdet målt før og efter træningen. Vi vil vurdere om træningen har effekt og betragter derfor primært tallene for det trænede ben. Tallene for det utrænede ben fungerer som en slags kontrol af forsøget, idet en effekt her vil antyde, at andre ting end træning har indflydelse på glycogen indholdet i musklerne. 1 Kan spørgsmålet om træningen har haft en effekt på henholdsvis det trænede og det utrænede ben undersøges ved hjælp af et parret t-test? Antag, at spørgsmålet i 1 besvares bekræftende. Ved besvarelsen af spørgsmål 2 kan det benyttes, at summen og kvadratsummen af differenserne i de to tilfælde er differenser S SK utrænet ben 7 139621 trænet ben 2219 743881 4

Trænet ben Utrænet ben Forsøgs- Før Efter Før Efter person nr. træning træning Differens træning træning Differens 1 534 813 +279 575 616 +41 2 593 767 +174 496 465 31 3 370 551 +181 413 439 +26 4 507 716 +209 642 536 106 5 450 814 +364 422 566 +144 6 619 1168 +549 668 501 167 7 422 749 +327 382 621 +239 8 578 714 +136 652 513 139 Tabel 14: Glycogenindhold i benmuskler målt på 8 personer før og efter træning på såvel det trænede ben og det utrænede ben. 2 Har træningen haft en effekt på glycogen indholdet i det trænede ben? 3 Har træningen haft en effekt på glycogen indholdet i det utrænede ben? Kontroltegningen beskrevet nederst i venstre spalte og øverst i højre spalte på side 22, viser for det trænede ben, at punktet svarende til person nr. 6 afviger noget fra de øvrige punkter. 4 Hvad er svaret på spørgsmålene i 2 og 3, hvis målingerne for person nr. 6 udelades fra analysen? Opgave 7.8 For at sammenligne to metoder til at bestemme indholdet af stivelse i kartofler tog man 16 kartofler med vidt forskelligt stivelsesindhold, og de to målemetoder blev anvendt til at bestemme stivelsesindholdet i hver kartoffel. Resultatet blev Kartoffel nr. Metode 1 Metode 2 Differens 1 21.7 21.5 0.2 2 18.7 18.7 0.0 3 18.3 18.3 0.0 4 17.5 17.4 0.1 5 18.5 18.3 0.2 6 15.6 15.4 0.2 7 17.0 16.7 0.3 8 16.6 16.9 0.3 9 14.0 13.9 0.1 10 17.2 17.0 0.2 11 21.7 21.4 0.3 12 18.6 18.6 0.0 13 17.9 18.0 0.1 14 17.7 17.6 0.1 15 18.3 18.5 0.2 16 15.6 15.5 0.1 Summen og kvadratsummen af differenserne er S = 1.2 og SK = 0.52. 5

1 Gør rede for, at analysen, af om der er forskel på de to målemetoder, kan udføres ved hjælp af et parret t-test. 2 Undersøg, om der er forskel på de to målemetoder. 6