Opgave 2 è20èè En tekst er som bekendt et palindrom, hvis den er lig med sin spejling. Fx er den tomme tekst og teksterne "a", "cc", "pip" og "abba" a

Transkript

1 Opgave 1 è20èè Et bin rt tr kan som bekendt repr senteres som en v rdi af typen: Type Tree = Prodèleft, right: Treeè hvor et tomt tr angives af standardv rdien?-tree. Vi deçnerer fuldst ndigheden af et bin rt tr som den mindste afstand fra roden til en knude, der ikke har to s nner; for et tomt ç fuldst ndigheden som?-int. Fx har fuldst ndigheden af tr et: v rdien 2, og et tr med kun en enkelt knude har fuldst ndighed 0. Skriv en procedure: Proc Fuldst ndighedët: Treeë! èintè der beregner fuldst ndigheden af tr et T. Der l gges v gt p, at besvarelsen er letl selig, detaljeret og korrekt.

2 Opgave 2 è20èè En tekst er som bekendt et palindrom, hvis den er lig med sin spejling. Fx er den tomme tekst og teksterne "a", "cc", "pip" og "abba" alle palindromer. Betragt f lgende algoritme: Algoritme: Palindrom Stimulans: t: Text Respons: Metode: i:= 0 do í I í pal: Bool, pal = 8j 2 0::jtj=2 :t.èjè = t.èjtj,j,1è èié j t jè2è ^ èt.èiè =t.èjtj-i-1èè! i:= i+1 od pal:= èi=jtjè2è Bevis, at algoritmen Palindrom er gyldig og korrekt. Vink: start med at deçnere en passende invariant.

3 Opgave 3 è20èè I en vilk rlig ikke-orienteret v gtet graf med n knuder og m kanter kan man som bekendt çnde det letteste udsp ndende tr ved hj lp af Prims eller Kruskals algoritmer i tid Oèèn + mè log nè eller Oèm log mè. I denne opgave skal vi se, hvordan man kan udnytte egenskaberne ved nogle specielle grafer til at opn forbedrede tidskompleksiteter. Et l kke-tr er en ikke-orienteret v gtet graf, der har form som et bin rt ç Q ç ç QQ A A A A tr i hvilket netop et af bladene har en ekstra kant til en anden knude: aè Angiv en algoritme, der i tid Oènè çnder det letteste udsp ndende tr for et l kke-tr med n knuder. Argument r for algoritmens korrekthed og eçektivitet. Bem rk: grafen er givet i form af en almindelig kantlisterepr sentation uden ekstra information; det vides s ledes ikke p forh nd, hvilken knude der er çrodenç.. En pol-graf er en ikke-orienteret v gtet graf, der best r af to s @ adskilte af et lag af parvist forbundne kanter: P PPPPPPPPPP... ç bè Angiv en algoritme, der i tid Oènè çnder det letteste udsp ndende tr for en pol-graf med n knuder. Argument r for algoritmens korrekthed og eçektivitet. Bem rk at grafen igen er givet form af en almindelig kantlisterepr sentation uden ekstra information.

4 Opgave 4 è20èè Vi skal i denne opgave unders ge, hvordan Rasmus-operatoren faktor kunne implementeres i Trine. En Rasmus-relation med skema: a:int b:int c:int d:int kan som bekendt repr senteres som en v rdi af Trine-typen: Type Rel = ListèProdèa, b, c, d: Intèè En beregning af Rasmus-udtrykket:!èRè a,b: e starter med at beregne de relevante faktorpar, der i Trine kunne repr senteres som en v rdi af typen: Type Fak = ListèProdèa, b: Int, r: ListèProdèc, d: Intèèèè Betragt relationen: a:int b:int c:int d:int aè Angiv hvorledes faktorparrene for denne relation ser ud som v rdi af type Fak. bè Skitser er eçektiv algoritme, der for en relation af type Rel beregner faktorparrene af type Fak. vad bliver tidskompleksiteten?

5 Opgave 5 è20èè En s dvanlig kvivalensrelation over m ngden 0...N,1 underst tter som bekendt operationerne InitëRë, EquivëRëèx 1,x 2 è og JoinëRëèx 1,x 2 è. Vi vil kalde en kvivalensklasse atomar, hvis den kun indeholder et enkelt element. Vi nsker at udvide denne datastruktur med nogle ekstra operationer: SizeëRë der returnerer antallet af kvivalensklasser i R; MaxëRë der returnerer st rrelsen af den st rste kvivalensklasse i R; AsizeëRë der returnerer antallet af atomare kvivalensklasser i R; og AminëRë der returnerer det mindste element i 0...N, 1, der udg r en atomar kvivalensklasse i R. aè Giv en formel speciçkation af operationen Amin. bè Angiv en modiçceret implementation af kvivalensrelationer, s ledes at Init, Equiv og Join bevarer tidskompleksiteterne OèN è, Oèlog N è og Oèlog N è, og at Size, Max, Asize og Amin alle f r tidskompleksiteter i Oè1è.