Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 2008

Transkript

1 Evaluering af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved sommereksamen 8 Undervisningsministeriet oktober 8 Side af 8

2 Indhold. Forord.... Anbefalinger.... Den skriftlige prøve i matematik A på stx Karakterfordeling ved eksamen Pointtal for enkeltopgaver Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler.... Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter.... Anmeldelse af opgaverne (STX8 MAA)....6 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne....7 Kønsforskelle i opnået resultat.... Den skriftlige prøve i matematik B på stx Karakterfordeling ved eksamen Pointtal for enkeltopgaver Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler.... Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter..... Klyngeanalyser af elevbesvarelserne.... Den skriftlige prøve i matematik B på hf Karakterfordeling ved eksamen Pointtal for enkeltopgaver Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter..... Klyngeanalyse af elevbesvarelserne Sammenligning mellem hf B og stx B Sproget Brug af billeder Generel variation i det matematiske indhold Prøven uden hjælpemidler Konkrete sammenligninger i det matematiske indhold Sammenfatning Den skriftlige prøve i matematik C på hf Karakterfordeling ved eksamen Pointtal for enkeltopgaver Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter Klyngeanalyser af elevbesvarelserne... Bilag... Besvarelse af eksamenssæt med udstrakt brug af CAS værktøj... Bilag... 8 Hierarkisk klyngeanalyse... 8 Side af 8

3 . Forord Sommeren 8 var første gang efter reformen, hvor der blev gennemført skriftlige prøver i matematik A ved studentereksamen (stx). Samtidig var det andet år med skriftlige prøver i B niveauerne (både stx og hf) og tredje år med skriftlig prøve i matematik C på hf. Evalueringsrapporten over resultaterne ved sommereksamen 8 består af tre elementer: en kvalitativ analyse af opgavesættene set i relation til læreplanernes krav. en detaljeret analyse af, hvorledes eleverne og kursisterne har klaret de enkelte spørgsmål, hvorledes sammenhængen er mellem besvarelserne af de forskellige spørgsmål, og hvorledes sættene differentierer i top og bund. en detaljeret kortlægning af sættenes struktur ved hjælp af en række statistiske og grafiske værktøjer. Den meget detaljerede gennemlysning af eksamenssættene, som her foreligger, kan både anvendes af opgavekommission, censorer og lærere til at få en bedre forståelse af, hvordan en læreplan udmøntes i et eksamenssæt, hvilke opgaver der hører til den lettere del, og hvilke der hører til den sværere del af det faglige stof, samt hvordan eleverne egentlig går til opgaverne. Resultaterne på stx A, hf B og hf C lå mht. gennemsnit og karakterfordeling, herunder dumpeprocent, på samme niveau som de plejer, mens resultaterne på stx B igen i år lå på et niveau, der nødvendiggjorde en justering af omregningsskalaen. En væsentlig årsag til det sidste er den betydelige ændring i den population, der slutter med stx B som det højeste matematikniveau. Før reformen udgjorde denne population ca., efter reformen er det ca. 8. Tilgangen kommer fra den gruppe elever, der tidligere valgte sproglig linje, og skyldes for en vis del, at samfundsfag A og biologi A nu er bundet til matematik B. Det giver evalueringsgruppen anledning til at rejse nogle spørgsmål om udformningen af eksamenssættet på stx B, specielt om abstraktionsniveauet er for højt. Mere generelt rejses spørgsmålet til alle niveauer, om eksamenssættene i matematik ikke kan opbygges, så vi opnår lavere dumpeprocenter, men stadig evaluerer kernestoffet, og uden at vi slækker på omregningsskalaen. Studieretningsgymnasiet har medført en større differentiering mellem holdene på stx mht. fagligt niveau i matematik. Det er et naturligt resultat af, at elevernes talent for/interesse for matematik og naturvidenskab er en afgørende parameter i deres valg af studieretning. Det har betydet en større spredning på karaktergennemsnittene for de enkelte hold, end før reformen. Der er over 9 karakterpoint mellem gennemsnittet på de hold, der scorer lavest og de, der scorer højest. Selv om nogle hold har betydeligt vanskeligere vilkår end andre, så er der dog ikke tale om noget skæbnebestemt, man ikke kan gøre noget ved. Vi kan alle lære af best practice. Side af 8

4 For at understøtte dette er der sideløbende med udarbejdelsen af den egentlige evalueringsrapport gennemført en undersøgelse af disse yderpunkter blandt holdene, med fokus på hold med usædvanligt gode resultater. Resultaterne heraf vil blive fremlagt i en særlig rapport. Der er selvfølgelig mange veje til gode resultater, og bestemte anbefalinger skal altid formes ud fra den enkelte kollegas personlighed. Men der er alligevel punkter, der går igen og igen: en fast planlægning, som eleverne er bekendt med, både af den enkelte lektion og af hele forløbet hvilket bl.a. giver bedre plads til repetitionsforløb træning af færdigheder, også til prøven uden, hellere med små dryp i stort set hver lektion (f.eks. i de første minutter af en time) end med længerevarende forløb om brøker osv. regelmæssig aflevering næsten hver uge hellere flere og så lidt mindre sæt end det modsatte konsekvent at gentage og fastholde gode rutiner mht. mellemregninger, forklarende tekst, illustrationer og konklusioner systematisk udnyttelse af cas værktøjer i stadig større udstrækning på pc udnyttelse af mulighederne i det faglige samarbejde i AT og imellem studieretningsfag offensivt, både til at dække fagligt stof og til at tænde eleverne på faget en planlægning, der giver plads til af og til at gå ud af en tangent, at lege og eksperimentere, at dykke ned i fagligt stof, eleverne synes er sjovt og spændende hvor en ensidig fokus på opgaveregning i næsten alle timer kan virke mod hensigten, hvis motivationen stort set kun er eksamen. Dette vil blive uddybet i den særlige rapport. Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det. Den kvalitative analyse af opgavesættene er Niels Grønbæk fra Matematisk Institut, KU, blevet bedt om at lave. Hensigten hermed har været at få et eksternt blik på disse eksamenssæt, foretaget af en som er uvildig både i forhold til opgavekommissionerne og til det daglige arbejde med at realisere læreplanerne i undervisningen. Analysen er naturligvis drøftet i hele evalueringsgruppen og integreret i den øvrige del af rapporten. Man kan med fordel have selve eksamenssættene ved hånden, når man orienterer sig i rapporten. De findes på adressen: Evalueringsgruppen bestod af lektor Claus Jessen, Frederiksberg Gymnasium, lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC og lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet foruden undertegnede. En stor tak til de tre. Endvidere tak til lektor Inge Henningsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, for udarbejdelse af klyngeanalyserne. Bjørn Grøn, fagkonsulent Side af 8

5 . Anbefalinger Evalueringsgruppen fremlægger i denne rapport analyser af eksamensopgaver og eksamensresultater af årets eksamen. Ud fra indholdet i rapporten anbefaler gruppen følgende: Dumpeprocenterne ved skriftlig eksamen i matematik bør bringes ned. Selv om dumpeprocenterne i 8 var på niveau med situationen før reformen og på niveau med, hvad man i øvrigt er vant til i matematikfaget, så bør det overvejes helt principielt, om det er rimeligt, at matematik har en markant højere dumpeprocent, end man kender fra andre fag. Det er ikke en let øvelse i betragtning af de store ændringer, der er sket i elevpopulationerne til skriftlig eksamen, og i lyset af den stærke tradition, der er i faget for, hvordan eksamenssæt bygges op. Evalueringsgruppen foreslår, at opgavesættene, formuleret lidt skematisk, bygges op af tre kategorier af opgaver. Én kategori rummer spørgsmål fra de indledende dele af de faglige emner og skal være så tilpas elementære, at elever, der nok har lidt svært ved matematik, men som har gjort deres bedste, har fulgt med og afleveret opgaver, skal kunne besvare dem. En anden kategori kan være rettet mod middeleleverne og en tredje kan være rettet mod de dygtigste. Evalueringsgruppen kan konstatere, at der på alle niveauer mangler opgaver, der er nemme og et tilbud til de svagere elever. Der bør være så mange opgaver af første kategori, at elever, der har fulgt med og gjort deres bedste, kan bestå. Det var i år første gang, der blev stillet eksamensopgaver på stx A niveau efter reformen. Generelt er denne eksamen gået godt. Dog anbefaler evalueringsgruppen, at sættet gøres lidt mindre omfangsrigt, og at der stilles opgaver, der klarere kan differentiere i toppen blandt eksaminanderne. På A niveauet indgår flere modelopgaver, også autentiske modeller. Modelopgaverne er godt valgt, og opgaverne lægger fint op til brug af CAS værktøj. Evalueringsgruppen anbefaler, at det overvejes, om der kunne stilles flere spørgsmål til selve forståelsen og/eller til en vurdering af de konkrete modeller. Evalueringsgruppen bemærker, at der ikke er registreret markant forskel i karakter eller pointfordelingerne på stx A i forhold til køn. Eksamenspopulationen på stx B er som konsekvens af studieretningsgymnasiet med de nye fagbindinger anderledes end den tidligere population på B niveau før reformen. Evalueringsgruppen anbefaler, at der foretages en nærmere kortlægning af den nye population, og at denne viden inddrages i udformningen af eksamenssættene. Formuleringerne i stx B sættet fremstår i højere grad prægede af traditionen for matematisk præcision end formuleringerne i hf B sættet. Hf B sættet fremstår både matematisk og sprogligt mere direkte end stx B sættet. Der skal være forskel mellem de to uddannelser, men evalueringsgruppen anbefaler alligevel, at forskellen mellem opgaveformuleringerne i disse eksamenssæt bliver mindre markant. Generelt er der meget få elever, der opnår fuldt pointtal i helhedsindtrykket. Evalueringsgruppen undrer sig over dette. Måske skyldes det, at der blandt de skriftlige censorer fortsat er usikkerhed over for denne form for pointgivning. Evalueringsgruppen anbefaler, at der fortsat sættes fokus på vurdering af helhedsindtrykket over for de skriftlige censorer. Side af 8

6 Evalueringsgruppen anbefaler, at opgavekommissionerne i stedet for en abstrakt og indforstået opgaveformulering såsom Kommenter anvendes en præcis formulering, hvor det eksplicit fremgår, hvad der ønskes kommenteret. Evalueringsgruppen har ud af opgavesættene vanskeligt ved at se, hvilken funktion de valgfrie opgaver har. Hvis idéen er, at opgavekommissionerne her kan afprøve ting og erindre kollegerne om emner, der ligger i udkanten af pensum, så bør meddeles lærerne af andre kanaler. Evalueringsgruppen anbefaler, at de valgfrie opgaver i den nuværende udformning bortfalder. Side 6 af 8

7 . Den skriftlige prøve i matematik A på stx. Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 7 elever, der var til skriftlig prøve i matematik A på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: Stx matematik A Karakter 7 Frekvens (%),6 7, 6,8,8, 7,8, Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Matematik stx A sommer 8 Karakterfordeling for alle Procent 7 Karakter Betragter man udelukkende de elever, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således: Matematik stx A sommer 8 Karakterfordeling for beståede Procent 7 Karakter Side 7 af 8

8 Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger en del fra den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,,. Andelen af elever, der opnår en karakter over middel, er meget høj som det var på det treårige A niveau før reformen. En forklaring kunne være at opgavesættet ikke har givet mulighed for at differentiere blandt de dygtige elever, fordi der muligvis ikke er så stor variation i sværhedsgraden af de stillede opgaver. En anden mulighed er den måde eleverne fordeler sig på de forskellige matematikniveauer i studieretningsgymnasiet: Man kunne nemlig forestille sig, at en del af de studieretninger, hvor matematik optræder på A niveau, tiltrækker de elever, der har størst interesse og evner for matematik. Karakterfordelingen ved den treårige A niveau før reformen var af samme type. Herværende evaluering giver desværre ikke mulighed for yderligere at belyse dette problem. Det vil kræve mere detaljerede undersøgelser af karakterfordelingen på forskellige studieretninger. Evalueringsgruppen bemærker desuden, at 8,% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå karakter. Dette afviger ikke fra andelen af dumpede elever på tilsvarende niveauer før reformen. Men sammen med den høje andel af elever, der opnår karakteren, giver det en udpræget topuklet karakterfordeling. Det fremgår imidlertid af pointfordelingen (se nedenfor), at den topuklede fordeling er et resultat af omregningen fra point til karakterer.. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de fem første elever på karakterlisterne for de hold, de rettede. Forcensuren bygger på pointtal for 777 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Matematik stx A sommer 8 Sammenligning alle/forcensur Procent 7 Alle Forcensur Karakter Det samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af dette diagram: Side 8 af 8

9 9, Pointfordeling stx A forcensur 8 (777 elever) 8, 7, Frekvens i % 6,,,,,,, Pointtal Herved ses, at pointfordelingen vokser nogenlunde jævnt op til ca. 8 point (svarende til karakteren 7). Kvartilsættet for pointfordelingen er (9, 8, ). Dette viser, at opgavesættet har givet mange elever god mulighed for at besvare mange af de stillede enkeltspørgsmål, så de fleste elever har kunnet opnå et passende pointtal, idet medianen er 8. Den øvre kvartil på viser, at der er rigtig mange elever, der opnår høje pointtal, og det gør det vanskeligt at differentiere niveauet for de bedste elever. Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram: Side 9 af 8

10 Stx A. Pointfordeling for enkeltopgaver (forcensur 8) % % % 7% % 9a 9b a a b a b a b a b a 7 (a og b) point point point point point point Helhedsindtryk Generelt set klarer eleverne opgaverne i sættet med hjælpemidler rigtigt godt. På nær nogle enkelte opgaver opnår over % af eleverne fuldt pointtal i disse opgaver. Dog er der en tendens til, at de sidste opgaver i sættet klares lidt dårligere. Umiddelbart vurderes disse opgaver ikke til at være vanskeligere end sættets øvrige opgaver, og en forklaring kan være, at opgavesættet har været omfangsrigt, og at en del elever ikke har nået at besvare de sidste opgaver i sættet. Evalueringsgruppen finder det uheldigt, hvis man på denne måde differentierer i toppen ved at lade regnehastighed være afgørende. Side af 8

11 I opgaverne uden hjælpemidler er det specielt én opgave, der klares dårligt. Det er opgave integration ved substitution som meget få elever klarer. Opgaven vurderes ikke til at være specielt vanskelig, men det dårlige resultat kan skyldes, at denne type opgaver er blevet nedtonet i den daglige træning uden hjælpemidler, fordi CAS værktøjet som regel bruges til at udregne integraler og finde stamfunktioner. Vurderingen af helhedsindtrykket er pointmæssigt helt anderledes end bedømmelsen af de enkelte opgaver. I helhedsindtrykket er der meget få elever, der opnår fuldt pointtal. Evalueringsgruppen undrer sig over dette. Måske skyldes det, at de skriftlige censorer ikke har en fælles holdning til denne form for pointgivning, og til hvad der skal til, for at en elev kan tildeles fuldt pointtal? Det er ikke muligt ud fra forcensuren at afgøre, hvor mange elever der har valgt opgave a) eller b) fra den valgfrie opgave 7, fordi det ikke kan afgøres om et opnået pointtal på betyder, at eleven ikke har valgt opgaven eller har løst den forkert. Men forcensuren viser, at 8,% af eleverne har opnået point eller mere i opgave, mens 7,% har opnået point eller mere i opgave. Så langt de fleste elever har valgt opgave.. Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler I nedenstående diagram er opgjort, hvordan de enkelte elever har opnået point i de to delprøver uden og med hjælpemidler. Som forventet er der en sammenhæng mellem opnået pointtal i de to delprøver og kun få elever ligger langt fra diagonalen. Bemærk, at diagrammet kan være vanskeligt at tyde, fordi de enkelte prikker kan repræsentere flere elever. For at tage højde for dette er foretaget lineær regression på datamaterialet. Resultatet ses her: Matematik stx A sommer 8 Pointtal i prøven med og uden hjælpemidler Tendenslinjen følger ret nøje diagonalen, dog med lidt mindre hældning, hvilket må tolkes, som at eleverne klarer prøven med hjælpemidler bedre end prøven uden. Side af 8

12 . Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter Det kan være interessant at se, hvilke opgavetyper elever på forskellige niveauer kan honorere. Dette ses af følgende diagrammer. Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsind Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsind Side af 8

13 Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsindt Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsind Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 7 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsind Side af 8

14 Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsindt Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a 9b a a b a b a b a b a 7 Helhedsind Det er tydeligt at se, at en del af opgaverne i prøven med hjælpemidler giver størst pointudbytte for de svagere elever. I prøven uden hjælpemidler skiller opgave sig markant ud igen, idet det er den opgave, som selv de dygtigste elever klarer dårligst. Det er også markant, at de elever der opnår højeste karakterer, scorer forholdsvis lavt i helhedsindtrykket. Pointfordelingen for elever med middelkarakter viser tydeligt et fald i de sidste opgaver i sættet. Det kan skyldes, at disse elever har haft tidsnød og ikke er nået så langt på den givne tid. Side af 8

15 . Anmeldelse af opgaverne (STX8 MAA) Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet Nedenfor er i punktform angivet, hvilke kompetencer en elev skal mobilisere i de enkelte opgaver. Der er selvfølgelig også andre muligheder end de nævnte, men de vil dog næppe ændre på det samlede billede af sættet. Uden hjælpemidler Opgave At udnytte sammenhæng mellem ortogonalitet og skalarprodukt. At løse. ordens ligning til bestemmelse af parameterværdi. Opgave At indsætte konkrete værdier i simpelt udtryk med to ubekendte. Reduktion af udtryk (forkortning i brøk med toleddet nævner). Opgave At beregne afledet af. grads polynomium med konkrete koefficienter. At bestemme monotoniforhold ved hjælp af fortegnsvariation for differentialkvotient. At kunne bestemme fortegnsvariation for et konkret andengradspolynomium. Opgave At beregne bestemt integral vha. substitution (konkret (genkende xdx som d(x )). At indsætte ny grænser. At kende stamfunktion til /x (konkret genkende ln()). Side af 8

16 Opgave At relatere beskrivelse (geometrisk optik) og retvisende figur. Identificere relevante ensvinklede trekanter. Udnytte proportionalitet af sidelængder. Bemærkning Valget af geometrisk optik favoriserer (marginalt?) elever, som har haft det andetsteds og dermed ved at indfaldsvinkel er lig udfaldsvinkel og antageligt har regnet lignende opgaver. Med hjælpemidler Opgave 6 (bestemmelse af stykker i trekanter) At kunne benytte formel for sinus i retvinklet trekant. At identificere relevante trekantsstykker i den opgivne firkant. At benytte Pythagoras sætning til bestemmelse af hypotenuse. At benytte cosinusrelation til bestemmelse af sidelængde. Bemærkninger Opgaven er klassisk og regulær. At trekant CDH er en separat tegnet delfigur, er vel underforstået, men i så fald er en af oplysningerne vinkel B er ret og BA = overflødig. Det har dog næppe lokket eleverne til forgæves spekulationer over, hvad den overflødige oplysning skal tjene til. Side 6 af 8

17 Opgave 7 (plan og linje i rummet) At bestemme ligning for plan ud fra udspændende vektorer og punkt i planen, herunder o at udregne krydsprodukt o at indsætte korrekt i ligning At identificere den adspurgte vinkel som komplementærvinkel til vinklen mellem retningsvektor og normalvektor. At identificere retningsvektor og normalvektor ud fra hhv. parameterfremstilling og ligning. At kunne beregne vinkel mellem to vektorer i rummet, fx vha. skalarprodukt. Opgave 8 (stamfunktionsbestemmelse) At kende kald af stamfunktionsbestemmelse i relevant CAS værktøj. At kunne indtaste data for opgiven funktion i relevant CAS værktøj. Alternativt at bestemme stamfunktioner ved klassiske metoder, dvs. ud fra et passende bibliotek af stamfunktioner og regneregler at kunne bestemme konkret stamfunktion og justere arbitrær konstant til opfyldelse af begyndelsesbetingelse. Opgave 9 (lineær model) At kunne omsætte årstal til år efter 9. At kunne identificere afhængig og uafhængig variabel som nederste og øverste række i tabel. At finde forskrift for lineær funktion ud fra to opgivne punkter (fx ved (misbrug af) lineær regression). (Med misbrug hentydes til at lineær regression benyttes til fastlæggelse af bedst tilpassede rette linje. Når der er to punkter, burde det jo være linjen gennem disse, men at benytte dette kræver, at man går i detaljer med, hvordan den lineære regression faktisk virker (se også generelle bemærkninger nedenfor)). At afkode ud fra tekst at der adspørges. koordinat til skæringspunkt Side 7 af 8

18 mellem to rette linjer. At beregne værdien heraf. Bemærkninger Det ligger implicit i spørgsmålet at tabellen angiver f() og f(7). Imidlertid må man formode, at funktionen f er fundet ud fra lineær regression af et større tabelmateriale. Herved bliver opgaveformuleringen uklar om, hvorvidt der er tale om faktiske (målte) værdier eller værdier beregnet ved regression. Dette har næppe forstyrret eksaminanderne, men er uheldigt i forhold til en vigtig pointe i den daglige undervisning, for hvilken eksamensopgaverne jo i høj grad er paradigmatiske. Fortolkningen af skæringspunktet er: I år kan både en 6 årig og en nyfødt forvente at blive ca. 8 år. Dette gør eleven klogt i ikke at spilde tid med at fundere over. Givet to linjer og et spørgsmål om en værdi af en førstekoordinat er det eneste fornuftige svar: Det må være koordinaten til skæringspunktet uanset hvorledes dette ellers beskrives i opgavens kontekst en slags omvendt jeopardy. Opgave (vækst med konstant vækstrate) Ud fra opgiven vækstmodel ( fast årlig procent ) og angivelse af samlet vækst over et antal år at kunne bestemme vækstraten i procent. Opgave (bestemmelse af tangent til parabel, skæring mellem grafer) At kunne beregne og indsætte data i ligningen for tangent i et punkt herunder o at kunne beregne differentialkvotient for andengradspolynomium i et punkt, fx ved direkte kald i CAS værktøj. At vide at skæring mellem grafer fås ved løsning af ligning f(x)=g(x). At kunne løse denne ligning, fx vha. relevant CAS værktøj. Opgave (deskriptiv statistik) Ud fra tabel af grupperede observationer og frekvenser at kunne tegne sumkurve, herunder o at kumulere frekvenser og afsætte i korrekt intervalendepunkt At kunne aflæse kvartilsæt ud fra sumkurve. Alternativt At kunne beregne kvartilsæt ud fra tabel over kumulerede frekvenser. At kunne afsætte data for boksplot korrekt. At kunne sammenligne og kommentere boksplot (a la større spredning i toppen ) Side 8 af 8

19 Opgave (funktionsundersøgelse) At kunne beregne areal af område mellem grafer, herunder o at identificere relevant differens af funktionsudtryk (inklusiv fortegn) o at identificere grænser for integration o at udføre integrationen At udføre ovenstående med ubekendt øvre grænse. At opstille ligning mellem integraler der udtrykker at to arealer har samme værdi. At løse denne ligning (mht. den ubekendte øvre grænse), fx på relevant CAS værktøj. Opgave (logistisk vækst) At kunne genkende ligning for logistisk vækst. At kunne opskrive løsning ud fra ligningens parametre og begyndelsesværdi. Alternativt At indtaste differentialligningen direkte i CAS værktøj og udføre relevant kald. Indsætte konkret variabelværdi i fundne løsning. Ud fra ligningen at kunne aflæse værdien af den øvre grænse for vækst. At kommentere ( Øvre grænse er nået ), dvs. erkende at i modellen er næsten det samme som. Bemærkning I spørgsmål b s formulering kommentér resultatet er det underforstået, hvad der sigtes til. Det bør gøres klart, at der ønskes et svar baseret på matematiske overvejelser. Der er ingen grund til fx at lokke eleverne til trafikpolitiske overvejelser. Opgave (ikke klassificeret vækstmodel, to variable) At kunne genkende den sproglige beskrivelses betegnelser (M og t) i modelligningen. At kunne beregne værdi af en variabel ud fra opgivelse af værdi af den anden variabel, fx ved indtastning på relevant CAS værktøj. Ud fra udtrykket for ln(m) at beregne Side 9 af 8

20 udtrykket for M, fx ved indtastning på relevant CAS værktøj. Bemærkning Autentiske modeller er velanbragte i eksamenssæt. Imidlertid stilles der kun matematiktekniske spørgsmål til funktionen M (implicit given). Jeg savner et forståelsesspørgmål. Et sådant kunne være med passende formulering at gøre rede for at funktionen M med rimelighed beskriver vækst (fordi den er voksende). Muligvis er denne konkrete opgave så teknisk set for vanskelig, men så kan man vælge mindre komplicerede modeller. Opgave 6 (differentialligning) Ud fra sproglig beskrivelse af differentialkvotient og aritmetik, konkret o væksthastighed = differentialkvotient o proportional med = multiplikation med konstant o forskel mellem = subtraktion o produkt = multiplikation At sammenfatte den beskrevne algebra. Dernæst at nedskrive differentialligning. At beregne værdi af proportionalitetsfaktor ud fra opgivelse af værdier af ligningens andre størrelser. Opgave (ikke lineære ligninger) At benytte substitutionsmetoden til elimination af. ordens variabel i to ikke lineære ligninger med tre ubekendte, fx ved at erkende at systemet kan opfattes som to lineære ligninger med to ubekendte hvor koefficienterne afhænger af den tredje variable. Alternativt at indtaste ligningerne direkte i relevant CAS værktøj og kalde relevant applikation. At finde minimum for den herved fremkomne funktion, fx ved nulpunktsbestemmelse af differentialkvotient i relevant CAS værktøj, eller ved direkte kald af applikation. Bemærkninger Den elev, der vil forsøge at forstå ligningernes betydning i relation til den anførte figur, vil spilde sin tid. Dette til trods for, at figuren ved selve dens anførelse ansporer hertil. Side af 8

21 Selvom det ikke er krævet, er det alligevel bemærkelsesværdigt, at tilbundsgående argumentation for at der er bestemt et globalt minimum og ikke blot et lokalt, kræver argumentation ved hjælp af den afledede, for at der kan gives fuldt point. Opgave (rumgeometri) Denne opgave har en taksonomisk højere indgangstærskel end de øvrige. Spørgsmålet er formuleret åbent og eleven skal selv vælge løsningsmetode (med mindre eleverne har lært en standardtilgang til netop dette problem). Relevante kompetencer kunne omfatte: At erkende at tangent svare til præcis et fælles punkt (fordi kuglen er strengt konveks). Har eleverne et veldefineret tangentbegreb eller appelleres der her til almindelig sund fornuft? At opstille metode til afgørelse af dette, fx o indsæt parameterfremstilling i kuglens ligning, undersøg antallet af løsninger for parameter, fx ved at beregne diskriminant i den fremkomne andengradsligning for parameter. Alternativt o indtast kuglens ligning og parameterfremstilling som fire ligninger med fire ubekendte, og løs i relevant CAS applikation. Alternativt At erkende at tangent svarer til at afstanden fra linjen til kuglens centrum er lig med kuglens radius. Dernæst at Identificere kuglens centrum og radius, fx ved komplettering af kvadrater. At beregne afstand fra linjen til kuglens centrum. Foretage sammenligning mellem denne afstand og kugleradius. Side af 8

22 Generelle bemærkninger Pensum er (formelt, dvs. overordnet emnemæssigt) godt dækket ind, men det taksonomiske niveau er lavt. Til gengæld er sættet ret omfangsrigt, og det skønnes at selv ret dygtige elever har været i tidsnød. Specielt kræver en tilbundsgående besvarelse af Opgave ret omfattende undersøgelser. Sættet udmærker sig ved at løsning af nogle af opgaverne reelt kræver brug af CAS værktøjer (og ikke blot, som tidligere, har haft det som en mulighed, der ikke nødvendigvis var særlig attraktiv) Matematik i anvendelser er formelt dækket ind, men som i tidligere år er der ikke tale om, at eleverne selv skal anvende matematik i en ekstern sammenhæng. Derved kommer anvendelsesaspektet stort set kun til at handle om elevens kompetence til at oversætte frem og tilbage mellem den sproglige beskrivelse af opgavens kontekst og betegnelserne i opgavens matematiske model, hvilket naturligvis er en væsentlig kompetence at få efterprøvet. Måske skal øvrige anvendelseskompetencer henvises til den mundtlige eksamen. Men det har den uheldige bivirkning, at den (tænksomme) elev der seriøst overvejer opgavens kontekst, reelt spilder sin tid. Dette er måske tydeligst i opgave, hvor en overvejelse af hvorfor ligningerne netop er som anført, er helt irrelevant for opgavens løsning. Noget tilsvarende gør sig gældende i opgave, hvor modellen dog er helt uigennemskuelig, og derfor næppe inspirerer til overvejelser. I opgave 9 gør eleven ligeledes klogt i ikke at spekulere over betydningen af det adspurgte skæringspunkt. Bortset fra disse forhold er opgavesættet velkonstrueret og honorerer som første bud på et sæt efter reformen de krav, som de ændrede lærerplaner har stillet. Specielt finder jeg, at der er en fin balance mellem de forskellige områder i kernestoffet. At sættet i overensstemmelse med reformens intentioner inddrager brug af CAS værktøjer mere substantielt, giver anledning til nogle overvejelser. Med øget fokusering på stadigt mere potente CASværktøjer bliver en nøjere vurdering af det faglige indhold i fremtiden påkrævet. Langt de fleste af opgaverne kan løses med en matematikprogrampakke ved hjælp af to tre metakompetencer, som stort set er uafhængige af det konkrete matematiske indhold: At kunne erkende, at der spørges om løsning til en ligning, herunder at kunne identificere betegnelser, der er eksplicit angivet i den sproglige beskrivelse med ligningens variabelbetegnelser. At indtaste ligningens data i et CAS værktøj. At kalde den relevante solve applikation. I Maple kan man nøjes med solve og dsolve (for differentialligninger). I fremtidige matematik software vil programmet muligvis selv være i stand til at genkende ligningstypen, så man kan nøjes med én applikation. Der kræves således næsten intet kendskab til ligningernes natur, og hvad den tilhørende model evt. beskriver. Dette forhold har også tidligere i en vis udstrækning gjort sig gældende, men der krævedes dog manipulatoriske kompetencer i et forholdsvist bredt repertoire, og ikke mindst kendskab til det konkrete matematiske indhold. Som det er illustreret ved det vedlagte Maple ark (se bilag ) er de manipulatoriske kompetencer reduceret til et minimum. Der kræves stort set kun at man kan overholde syntaksen i den anvendte applikation (hvilket ikke behøver at være ubetydeligt, men næppe kan siges at være matematik). Et slående eksempel er, at man faktisk ikke behøver at kende til kvadratrod for at løse en ligning af formen x = c, som illustreret ved Maple løsningen af opgave 6. Side af 8

23 Maple løsningen af sættet illustrerer således at inddragelse af potente CAS værktøjer kan få den konsekvens, at kendskab til matematiske strukturer såvel teknisk som begrebsmæssigt erstattes af kendskab til bibliotek af rutiner og syntaks. Da begge kundskaber kræver megen undervisningstid, er en afvejning påkrævet. Med den signalværdi, der ligger i eksamensopgaverne, bør fremtidige sæt være fokuserede på denne problematik. For god ordens skyld skal tilføjes: Løsningen på Maple har ikke været tidsbesparende, i hvert fald ikke for mig. Jeg har fx brugt en del tid på at få output på ønsket form og ville ikke kunne have nået en afpudset besvarelse inden for de timer. Jeg tror ikke, at dette sæt i højere grad har tilladt pseudoforståelse at passere som egentlig forståelse, bl.a. fordi det er første sæt af denne art. Så bemærkningerne om skred i faglighed er ikke direkte møntet på dette sæt, men er påpegning af et fremtidsscenarie. Et relateret aspekt vedrører prøven uden hjælpemidler. Dennes betydning bliver efter min mening ikke mindre i fremtiden, især ikke hvis der indføres eksamensformer med adgang til internettet. I nærværende sæt afprøves udelukkende færdigheder, hvoraf nogle kunne hævdes at være af et lidt altmodisch tilsnit. Så en omhyggelig overvejelse af, hvilke færdigheder der vitterligt er påkrævet uden hjælpemidler er essentiel. Til gengæld (!) kunne man sagtens inddrage forståelsesspørgsmål i prøven uden hjælpemidler. Sådanne kunne fx dreje sig om geometriske overvejelser om grafer for funktioner uden eksplicit forskrift. En sådan findes i hf B sættet (opgave, som ganske vist ikke gik særlig godt, men burde være klart inden for stx A elevers rækkevidde). En anden opgavetype kunne vedrøre egenskaber for en løsning til en differentialligning, beskrevet udelukkende ud fra differentialligningen, fx monotoniforhold, værdier af differentialkvotienten i opgivne punkter osv..6 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået i én af opgaverne og i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag. Side af 8

24 Det mest bemærkelsesværdige er, at dobbeltspørgsmål klynges meget tidligt, altså at eleverne opnår nogenlunde lige mange points i de to spørgsmål. Den overvejelse man kan gøre er således om spørgsmål b) afprøver eleverne for noget afgørende nyt i forhold til spørgsmål a). Endvidere bemærkes, at den vanskelige opgave (uden hjælpemidler) klynges tidligt med opgave, og at disse sammen med opgaverne b, a og b udgør den ene hovedklynge. Det er disse opgaver som elever med karakter har klaret dårligst. De skønnes at være de opgaver, der er mindst rutineprægede matematisk set. Klyngeanalysen illustrerer i øvrigt, at idéen om at anskue et eksamenssættets arkitektur ud fra tre kategorier af opgaver allerede i en vis grad er indbygget..7 Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander,6%, de mandlige,6% og i,8% af tilfældene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en markant overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet. Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er den største forskel at,% af de mandlige eksaminander dumpede, mens det drejede sig om 9,% af de kvindelige. Desuden er der en tendens til, at mændene i lidt højere grad opnår topkaraktererne og. Karakterfordeling mat A maj 8 efter køn Procent Kvinder Mænd 7 Karakter Hvis man i stedet betragter karakterfordelingen i forhold til de eksaminander, der er bestået, er fordelingen meget mere lige fordelt. Den begrænsede forskel, der er, kan forklares ved den store andel af kvinder i populationen. Side af 8

25 Karakterfordeling mat A beståede elever maj 8 efter køn Procent Kvinder Mænd 7 Karakter Hvis man betragter opgaverne hver for sig med hensyn til point efter køn, er der kun meget små forskelle. Som eksempel vises her fordelingerne for opgaverne b (boksplot) og a (Gompertz model): Pointfordeling opgave b efter køn Procent Mænd Kvinder Point Side af 8

26 Pointfordeling opgave a efter køn Procent Point Mænd Kvinder Konklusionen er, at der ikke kan dokumenteres nogen forskel i pointtildelingen efter køn i dette eksamenssæt. Side 6 af 8

27 . Den skriftlige prøve i matematik B på stx Der er ca. 8 elever, der får en studentereksamen med matematik på B niveau. B niveau kan afsluttes både efter.g, efter.g og ved vintereksamen, så et udtræk af en karakterfordeling en given sommer vil rumme forskellige årgange. Før reformen var der kun ca. elever fra matematisk linje, der sluttede med et B niveau. Hovedparten af eleverne opgraderede nemlig matematik til A niveau og repræsenteres af de med étårigt A niveau. Dertil kom ca. 8 elever fra sproglig linje, der fik et B niveau i matematik ved at tage hf tilvalg. Dvs. at hovedparten af populationen, der tager B niveau efter reformen, er elever, der før reformen ville have gået i sproglig linje, og ca. af disse elever ville ikke have taget et B niveau før reformen. Det har medført en markant ændring i elevpopulationen.. Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 7 elever, der var til skriftlig prøve i matematik B på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: STX Matematik B Karakter 7 Frekvens (%),6 9, 8,7 9,9 6,9 6, Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Matematik stx B sommer 8 Karakterfordeling for alle Procent 7 Karakter Betragter man kun de elever, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således: Side 7 af 8

28 Procent Matematik stx B sommer 8 Karakterfordeling for beståede 7 Karakter Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, er meget tæt på den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,,. På denne baggrund må opgavesættet have opfyldt sin rolle til at vurdere og differentiere mellem de elever, der består. Evalueringsgruppen bemærker, at 8,6% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå karakter. Der kan være mange forklaringer på dette forhold. Nogle af årsagerne kan muligvis findes i populationen: Elever kan være tvunget til at have matematik B på en studieretning uden, at de har evner eller interesse for matematik. De bedste elever kan evt. vælge matematik på A niveau og deltager derfor ikke i den skriftlige eksamen i matematik. Nogle årsager kan muligvis findes i opgavesættes formuleringer, der måske indeholder en barriere, som mange elever ikke klarer. Evalueringsgruppen mener, at det ikke er tilfredsstillende, at over en fjerdedel af eleverne dumper til denne prøve. Man kunne overveje, om der skulle mere variation ind i opgavernes sværhedsgrad, så der er et tilbud til de svagere elever, fx enkle tjekopgaver.. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling. Forcensuren bygger på pointtal for 88 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Side 8 af 8

29 Matematik stx B sommer 8 Sammenligning alle/forcensur Procent 7 Alle Forcensur Karakter Det samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven fremgår af dette diagram: Pointfordeling stx B forcensur 8 (88 elever) Procent Pointtal Pointfordelingen er jævnt stigende op mod point (svarende til karakteren ), hvorefter den er nogenlunde konstant indtil 7 point. Men en stor del af eleverne opnår meget få point. Ca. 7% af eleverne er opnår kun point eller derunder. Forbavsende få elever opnår næsten fuldt pointtal, idet kun,% opnår 96 point eller derover. Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram: Side 9 af 8

30 Stx B. Pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 8 % % % 7% % 9a a a a b a b a Helhedsindtryk point point point point point point De opgaver, som flest elever løser korrekt, er a, og. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af eleverne fuldt pointtal ( point). Opgave er beregning af en vinkel i en retvinklet trekant. Opgave er fastlæggelse af regneforskriften for en lineær funktion ved hjælp af lineær regression ud fra data i en tabel. Opgave a er at indsætte en værdi i en formel og udregne den fremkomne værdi. Disse operationer er åbenbart noget, de fleste elever behersker. Særligt vanskelige har opgaverne, a, a og været, idet her opnår op mod halvdelen af eleverne ingen point. Opgave er en opgave om at fortolke integraler som arealer, og den kræver ingen særlige regnekundskaber, men forståelse for fortolkning af integraler som arealer. Opgave a er opstilling af en model ud fra en beskrivelse af en sammenhæng mellem variable udtrykt i ord. Opgave a er en opgave, hvor man skal bestemme røringspunktet for tangenter med en bestemt hældning. Denne opgave løses nemt ved få tastetryk på CAS værktøjet, men dette er ikke klart for alle. Endelig er opgave en opgave, hvor eleverne kan vælge mellem to forskellige. Måske kan det mangelfulde resultat i opgavesættets sidste opgaver skyldes, at eleverne har haft tidsnød og ikke har nået at løse disse. Side af 8

31 En række opgaver i prøven med hjælpemidler løses meget enkelt ved hjælp af CAS værktøj. Særligt opgaverne 9, og kan klares ved få tastetryk. Men diagrammet viser, at en del elever ikke behersker de elementære operationer på CAS værktøjet. Det er ikke muligt ud fra forcensuren at afgøre, hvor mange elever der har valgt opgavetype a eller b fra de valgfrie opgaver. Men en opgørelsen viser, at % af eleverne har opnået point eller mere i opgave a, mens 6% har opnået point eller mere i opgave b. Så det ser ud til, at et lille flertal af eleverne har valgt b. Men % af eleverne opnår ingen point i opgave. Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det er her færrest elever opnår fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke tilfredsstillende, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig over dette. Måske skyldes det, at de skriftlige censorer ikke har en fælles holdning til denne form for pointgivning. Måske mangler der klarere retningslinjer for anvendelsen af disse point og for, hvilke krav en elev skal opfylde i sin besvarelse for at opnå fuldt pointtal i helhedsindtrykket. I mange af opgaverne opnår langt de fleste elever enten point eller point. Dette kan betyde, at der er tale om knald eller fald opgaver, men det kan også skyldes, at censorerne giver point på denne måde og ikke giver point for delvist rigtige besvarelser. Kun de spørgsmål, der indeholder to delspørgsmål (fx opgave ), giver en mere varieret pointfordeling.. Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler I nedenstående diagram er opgjort, hvordan de enkelte elever har opnået point i de to prøver uden og med hjælpemidler. Som forventet er der en sammenhæng og kun få elever ligger langt fra diagonalen. Diagrammet kan være vanskeligt at tyde, fordi de enkelte prikker kan repræsentere mange elever. For at tage højde for dette foretages lineær regression på datamaterialet. Resultatet ses her: Side af 8

32 Prøven uden hjælpemidler Matematik stx B sommer 8 Pointtal i prøven med og uden hjælpemidler 6 7 Prøven med hjælpemidler Tendenslinjen følger ret nøje diagonalen, dog med lidt mindre hældning. Dette må tolkes som eleverne klarer prøven med hjælpemidler bedre end prøven uden.. Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter. Det kan være interessant at se, hvilke opgavetyper elever på forskellige niveauer kan honorere. Dette ses i nedenstående diagrammer. Gennemsnitlig pointtal,,,,,, Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a a a a b a b a Helhedsind Side af 8

33 Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a a a a b a b a Helhedsind Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a a a a b a b a Helhedsin Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a a a a b a b a Helhedsind Side af 8

34 Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 7 9a a a a b a b a Helhedsind Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a a a a b a b a Helhedsind Gennemsnitlig pointtal Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 9a a a a b a b a Helhedsind Heraf ses, at de fleste af de opgaver, som mange klarer til fuldt pointtal, også er de opgaver, som de svagere elever opnår pointtal i. Men der er ikke så mange af denne opgavetype, hvor de svagere elever kan vise, hvad de kan. Man kunne foreslå opgavekommissionen at vurdere de enkelte opgaver i sættet og differentiere mere på niveau, så der vil være flere enkle opgaver, som de svagere elever kunne besvare og færre, men måske vanskeligere opgavetyper, så man får en bredere fordeling af pointtallene. Side af 8

35 . Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået i én af opgaverne og i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag. Som i sættet til stx A er der i dette sæt dobbeltspørgsmål, der klynges tidligt, nemlig opgaverne 7 og. Ud over dobbeltspørgsmålene bemærkes primærklyngningen, a. Disse opgaver afprøver ret åbenbart det samme (differentialkvotient og monotoniforhold). I øvrigt er der ikke nogen klar forbindelse mellem præstationerne og klyngningen. Side af 8

36 . Den skriftlige prøve i matematik B på hf. Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 78 kursister til skriftlig prøve i matematik B på hf. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen: HF Matematik B Karakter 7 Frekvens (%),,8 7,9 7, 8,,7 7, Fordelingen kan illustreres med følgende diagram: Procent Matematik hf B sommer 8 Karakterfordeling for alle 7 Karakter Betragter man kun de kursister, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således: Procent Matematik hf B sommer 8 Karakterfordeling for beståede 7 Karakter Side 6 af 8

37 Karakterfordelingen for de kursister, der bestod eksamen, er forholdsvis tæt på den ideelle fordeling på %, %, %, %, % til karaktererne,, 7,, dog med en overvægt af elever, der opnår karakteren. På denne baggrund må opgavesættet have opfyldt sin rolle til at vurdere og differentiere mellem de kursister, der består. Der er dog en overvægt af kursister, der opnår karakter over middel, og det kan muligvis betyde, at opgavesættet ikke i særlig høj grad kan differentiere mellem de dygtigste kursister. Men evalueringsgruppen bemærker, at 8,% af de kursister, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå karakter. Der kan være mange forklaringer på dette forhold. Nogle af årsagerne kan muligvis findes i populationen: Kursister kan være tvunget til at have matematik B, fordi se evt. skal bruge det til videre uddannelse, uden at de har evner eller interesse for matematik. Evalueringsgruppen mener, at det ikke er tilfredsstillende, at over en fjerdedel af kursisterne dumper til denne prøve.. Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem kursister på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 8 kursister. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan kursisterne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen. Matematik hf B sommer 8 Sammenligning alle/forcensur Procent 7 Alle Forcensur Karakter Det samlede pointtal, som kursisterne opnår ved prøven fremgår af dette diagram: Side 7 af 8

38 Pointfordeling hf-b forcensur 8 (8 elever) Frekvens i % 9, 8, 7, 6,,,,,,, Pointtal Herved ses, at pointfordelingen er nogenlunde symmetrisk omkring point, dog med en kraftig overvægt omkring pointtal mellem 7 og 9 point. Men da opnåede point kun betyder, at der er løst halvdelen af opgaverne, er dette utilfredsstillende. Op mod % af kursisterne er kun i stand til at besvare en fjerdedel af opgavesættet tilfredsstillende. Forbavsende få kursister opnår næsten fuldt pointtal. Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan kursisterne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram: Side 8 af 8

39 Hf B pointfordeling på enkeltopgaver Forcensur 8 % % % 7% % a a a a a 7c 9a 9b a b c a b a Helhedsindtryk point point point point point point De opgaver, som flest kursister løser korrekt er, 9a og b. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af kursisterne fuldt pointtal ( point). En række opgaver i prøven med hjælpemidler løses meget enkelt ved hjælp af CAS værktøj. Særligt opgaverne 9, og kan klares ved få tastetryk. Men diagrammet viser, at en del kursister ikke behersker de elementære operationer på CAS værktøjet. Helhedsindtrykket er der, hvor kursisterne klarer sig dårligst. Meget få opnår fuldt pointtal. Evalueringsgruppen vi opfordre til, at det tydeliggøres, hvad der skal til for at honorere kravene til helhedsindtryk. På denne måde kan kursisterne bedre leve op til kravene og censorerne bedre bedømme dem.. Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler I nedenstående diagram er opgjort, hvordan de enkelte kursister har opnået point i de to prøver uden og med hjælpemidler. Som forventet er der en sammenhæng, og kun få kursister ligger langt fra diago Side 9 af 8