Afstande, skæringer og vinkler i rummet
|
|
- Karina Pedersen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
2 Indhold Introduktion 2 Punkt + Punkt 2 Linje + Punkt 4 4 Linje + Linje 9 4. To ens linjer To linjer som skærer i et punkt To linjer som ikke skærer, men er parallelle To linjer som ikke skærer og er vindskæve Plan + Punkt 2 6 Plan + Linje 2 6. Linjen ligger i planen Linjen skærer planen i et punkt Linjen skærer ikke planen Plan + Plan 5. De to planer skærer langs en linje De to planer skærer ikke
3 Resumé I dette dokument viser vi nogle eksempler på typiske beregninger i analytisk rumgeometri. Vi ser på afstande, skæringer og vinkler mellem de mest basale objekter: Punkter, linjer og planer. Introduktion Vi skal her se nogle eksempler på typiske problemer der kan løses inden for analytisk rumgeometri. Bemærk at eksemplerne er inddelt efter hvilke geometriske objekter der er i spil. Så hvis du har brug for et bestemt eksempel, så anbefales det at navigere ved hjælp af indholdsfortegnelsen. Forudsætninger For at forstå dette dokument skal du først kende til almindelig vektorregning med tredimensionelle vektorer, herunder krydsproduktet. Du bør også være fortrolig med de objekter som vi arbejder med: Punkter, linjer og planer herunder de forskellige måder at beskrive sådanne objekter på og de forskellige begreber som er knyttet til dem, såsom retningsvektorer og normalvektorer. Til gengæld er eksemplerne skrevet sådan at det ikke er nødvendigt at læse dem i rækkefølge. Tværtimod vil du opdage at der er rigtigt mange gentagelser såfremt du læser hele dokumentet. side
4 2 Punkt + Punkt Vi starter med det allersimpleste eksempel. Hertil har vi brug for følgende sætning: Sætning (Afstandsformlen) Hvis og P = (x ; y ; z ) Q = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) er to punkter i det tredimensionelle koordinatsystem, så er afstanden mellem dem, P Q, givet ved: P Q = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 Eksempel Lad os sige at vi har punkterne: A = (; 9; ) og B = ( ; 4; 0) Dermed er afstanden imellem dem: AB = ( ) 2 + (4 9) 2 + (0 ( )) 2 = ( 0) 2 + ( 5) = 26 8, Dette er forresten det samme som først at beregne den såkaldte forbindende vektor mellem punkterne: side 2
5 AB = ( ) = 0 5 Og derefter finde længden af denne vektor: AB = ( 0) 2 + ( 5) side
6 Linje + Punkt Når man har et punkt og en linje i rummet, så er der to fornuftige spørgsmål at stille:. Ligger punktet på linjen? 2. Hvis ikke, hvad er så afstanden (underforstået: Den kortest mulige afstand) fra punktet til linjen. Til det sidste kan man f.eks. benytte sig af følgende formel hvis man holder mere af at sætte tal ind i formler end at være kreativ. Det skal dog bemærkes at man ofte kan spare en masse tid ved at være kreativ. Sætning 2 (Afstand fra punkt til linje) Hvis P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt i det tredimensionelle koordinatsystem, og L er en linje hvorpå vi kender et punkt: Q = (x ; y ; z ) og hvortil vi har en retningsvektor r = r r 2 r så er den vinkelrette afstand fra P til L givet ved: dist(p, L) = P Q r r side 4
7 Eksempel 2 Lad os sige at vi har et punkt: P = ( ; 2; ) og en linje, L, givet ved parameterfremstillingen: x y z = t 8 Dermed har vi umiddelbart et punkt på linjen, nemlig: Q = (; 9; 4) og en retningsvektor for linjen, nemlig: r = (Se i øvrigt figur ) Vi kunne starte med at undersøge om P ligger på L. Dette svarer til at undersøge om der findes en værdi af parameteren, t, sådan at: t 8 8 = 2 Dette er tre ligninger med t som den eneste ukendte. Den første ligning kræver at: + t ( 8) = t = side 5
8 Man ser dog øjeblikkeligt at denne værdi af t ikke får de to andre ligninger til af være opfyldt, så der findes ingen sådanne t-værdier, og derfor ligger P ikke på linjen. I stedet kan vi beregne den vinkelrette afstand fra P til L. For at bruge formlen fra sætning 2 skal vi beregne: P Q = Derefter krydsproduktet: P Q r = ( ) 9 ( 2) 4 ( ) 8 = 8 Derefter længden af dette krydsprodukt: = P Q r = ( 0) 2 + ( 64) = ,4 Derefter længden af retningsvektoren: r = Og så kan vi beregne afstanden: Alternativ metode: ( 8) = 4 8,6 dist(p, L) = P Q r r 5,04 Man kan dog finde denne afstand ved en helt anderledes metode også. Denne metode er i virkeligheden smartere, fordi den kan bruges i mange andre situationer. side 6
9 Vi opskriver afstanden fra P til et vilkårligt punkt på L. Et vilkårligt punkt på L er givet ved: (x; y; z) = ( + t ( 8); 9 + t ; 4 + t ) = ( 8t; 9 + t; 4 + t) hvor t er et vilkårligt reelt tal. Derfor bliver afstanden fra P til sådan et punkt en funktion af t, givet ved: A(t) = (x ( )) 2 + (y ( 2)) 2 + (z ( )) 2 = (( 8t) ( )) 2 + ((9 + t) ( 2)) 2 + ((4 + t) ( )) 2 = (8 8t) 2 + ( + t) 2 + ( + t) 2 Vores problem kan således løses ved at finde den mindste funktionsværdi for funktionen A. Dette kan f.eks. gøres ved at differentiere A og løse ligningen: A (t) = 0 Dette vil give de mulige ekstremumssteder, som derefter kan indsættes i A for at finde de tilhørende ekstremumsværdier. Vi vil her blot tegne grafen for A (se figur 2) og få grafprogrammet til at bestemme den mindste funktionsværdi. Dette bliver selvfølgelig det samme som sidst, nemlig: A(0,24) 5,04 En anden fordel ved denne metode er at man kan finde det punkt Q på linjen som ligger nærmest P. Det er bare et spørgsmål om at huske A(t) angav afstanden fra P til det punkt på linjen som svarede til parameterværdien t i parameterfremstillingen for L. Når vi derfor har fundet minimumsstedet for A til at være: t 0,24 side
10 så mangler vi kun af spørge parameterfremstillingen for L om hvilket punkt dette svarer til. Det giver: Altså er: x y z = ,24 8 = Q = (4,406; 9,9; 4,24) det punkt på L som ligger nærmest P. 4,406 9,9 4,24 Figur : Punktet og linjen fra eksempel 2 side 8
11 Figur 2: Grafen for funktionen A i eksempel 2 4 Linje + Linje Hvis man har to linjer i rummet, så er der mange fornuftige spørgsmål at stille:. Er de parallelle? 2. Skærer de hinanden, og i givet fald hvor?. Hvis de skærer hinanden i et enkelt punkt, hvad er så vinklen som de danner i skæringspunktet? 4. Hvis ikke de skærer hinanden, hvad er så den kortest mulige afstand mellem dem? Til det sidste kan vi nogle gange bruge følgende formel: (Husk at to linjer kaldes vindskæve hvis de ikke skærer hinanden og ikke er parallelle.) Sætning (Afstand mellem to linjer) Hvis L og L 2 er to vindskæve linjer i rummet, hvortil vi kender et punkt, som ligger på hver af dem: P L og P 2 L 2 side 9
12 samt en retningsvektor for hver af dem: r og r 2, så er den korteste afstand imellem de to linjer givet ved: dist(l, L 2 ) = P P 2 ( r r 2 ) r r 2 4. To ens linjer Eksempel Dette er nok det mærkeligste eksempel. To linjer kan nemlig godt se ret forskellige ud, og alligevel være præcis den samme linje. Lad os sige at vi har de to linjer på parameterform (se figur ): og L : L 2 : x y z x y z = = t + t Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t 8 = s Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 8t = 2 + 6s side 0
13 8t = 6 + 6s t = 2 2s Denne sammenhæng kan indsættes i de to andre ligninger, som dermed bliver: 9 + ( 2 2s) = 6s og 4 + ( 2 2s) = 2 2s Hvis man kigger efter, så opdager man at begge disse ligninger er opfyldt uanset hvad s er! Det betyder at s kan være hvad som helst. Hvis bare t er lig 2 2s, så frembringer de to parameterfremstillinger det samme punkt. Men det betyder at hvert eneste punkt på L 2 også ligger på L med andre ord: De to linjer er fuldstændig ens! Figur : To ens linjer side
14 4.2 To linjer som skærer i et punkt Eksempel 4 Lad os sige at vi har de to linjer på parameterform (se figur 4): og L : L 2 : x y z x y z = = t + t Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 2 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t 8 = s Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 8t = 5 + 4s 8t = 8 + 4s t = 2 s Denne sammenhæng kan indsættes i de to andre ligninger, som dermed bliver: 9 + ( s) = 5 6s 2 side 2
15 og 4 + ( s) = 6 2s 2 Hvis man kigger efter, så opdager man at disse to ligninger siger præcis det samme om s. De kan nemlig begge to omskrives til: 2 s = 2 2s 2s 2 s = 2 s = s = 2 Nu kan vi gå tilbage til den første ligning og se hvad t så må være, nemlig: t = 2 s = 2 Det betyder at de to parameterfremstillinger frembringer det samme punkt præcis hvis man sætter t = 2 ind som parameteren i den første parameterfremstilling og s = 2 ind som parameteren i den anden. Gør vi det første, får vi skæringspunktets koordinater: ( 2) 8 = Og gør vi det andet, får vi selvfølgelig de samme koordinater: = Altså er: Q = (2; ; 2) 2 2 side
16 skæringspunktet mellem de to linjer. Bemærk at vi her var heldige med at de to sidste ligninger sagde præcis det samme om s, sådan at løsningen til den ene af disse ligninger også passede med den anden. Dette held svarer til det held som skal til for at to tilfældige linjer i rummet lige præcis skærer hinanden. De fleste gange vil de to sidste ligninger sige noget forskelligt om s, sådan at de ikke kan blive opfyldt på samme tid. Det skal vi se to eksempler på lige om lidt. Lige nu har vi fundet ud af at de to linjer skærer hinanden i et enkelt punkt, og så er det meget naturligt at tilføje spørgsmålet: Hvad er den vinkel som de to linjer danner i skæringspunktet? Dette er heldigvis meget nemt. Hvis man forestiller sig de to retningsvektorer indtegnet fra skæringspunktet, så er strategien indlysende: Vi finder bare vinklen imellem de to retningsvektorer. Denne vinkel, α er som bekendt fastlagt af sammenhængen: I vores tilfælde er: og længderne er: cos(α) = r r 2 r r 2 r r 2 = ( 8) 4 + ( 6) + ( 2) = 44 r = ( 8) = 4 og Så derfor er: r 2 = ( 6) 2 + ( 2) 2 = 56 cos(α) = ,684 side 4
17 α cos ( 0,684), Bemærk dog at to linjer som skærer hinanden altid vil danne to forskellige vinkler: en stump og en spids. Normalt er det den spidse vinkel man mener når man bare siger vinklen mellem dem. Denne kan hurtigt udregnes ved: 80 α 46,9 Figur 4: To linjer som skærer i et enkelt punkt. 4. To linjer som ikke skærer, men er parallelle Eksempel 5 Lad os igen starte med to linjer på parameterform: L : x y z = t 8 side 5
18 og L 2 : x y z = t Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 4 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t 8 = s Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 8t = 5 + 6s 8t = 8 + 6s t = 2s Indsætter vi denne sammenhæng i de to sidste ligninger, får vi: og 9 + ( 2s) = 5 6s 4 + ( 2s) = 6 2s Disse to ligninger er ret underlige. De kan nemlig omskrives til henholdsvist: 6 6s = 5 6s og 2s = 6 2s side 6
19 Og det er klart at ingen værdier af s kan få disse ligninger til at gælde 5 Der er altså ingen værdier af parametrene som får de to parameterfremstillinger til at producere det samme punkt. Derfor skærer vores linjer ikke hinanden. I denne situation er næste oplagte skridt at undersøge om de to linjer er parallelle eller ej. Det gør man ved at undersøge om linjernes retningsvektorer: og r = r 2 = er parallelle. Her er det måske ret indlysende at: r 2 = 2 r Så de to linjer er parallelle. Men det kan nogle gange være lidt sværere at se om to vektorer er parallelle eller ej. I så fald kan man beregne deres krydsprodukt og se om det giver nulvektor. I vores tilfælde er: r r 2 = = Hvilket igen viser at de to linjer er parallelle. Nu er det meget naturligt at tilføje spørgsmålet: Hvad er den korteste afstand mellem de to linjer? Eftersom linjerne er parallelle er dette meget nemt at besvare: Den korteste afstand kan beregnes ved at vælge et tilfældigt punkt på den ene linje, f.eks. P = (, 9, 4) side
20 (som ligger på L ) og så beregne den vinkelrette afstand fra dette punkt til L 2. Dette foregår præcis som i eksempel 2, så vi vil ikke gentage det her. Figur 5: To linjer som ikke skærer hinanden, men som er parallelle. 4.4 To linjer som ikke skærer og er vindskæve Den sidste mulighed er den som forekommer oftest hvis man bare vælger to tilfældige linjer: Eksempel 6 Vi starter med to linjer på parameterform (se figur 6): L : x y z = t side 8
21 og L 2 : x y z = t 8 Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså (igen igen) spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 6 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t = s 8 Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: + t = 5 + 8s t = 2 + 8s Indsætter vi denne sammenhæng i de to sidste ligninger, får vi: og 9 + (2 + 8s) = 5 s 5 (2 + 8s) = 6 s Den første af disse ligninger kan hurtigt løses og giver at: 2s = 0 s = 0 2 = 0 9 Men den anden ligning kan løses lige så hurtigt og giver: 2s = 4 side 9
22 s = 4 2 Så de to sidste ligninger kan aldrig komme til at blive opfyldt på samme tid. Altså findes der ingen valg af parametrene som giver det samme punkt i de to parameterfremstillinger, og derfor skærer linjerne ikke hinanden. I stedet kan vi nu undersøge om linjerne skulle være parallelle. Det gør vi igen ved at se på retningsvektorer for de to linjer: og r = r 2 = Krydsproduktet af disse giver: r r 2 = 8 8 = Da dette ikke er nulvektor, er de to linjer ikke parallelle. Nu er det så oplagt at stille spørgsmålet: Hvad er den mindste afstand mellem de to linjer? Hertil kan vi bruge formlen fra sætning. Vi har allerede krydsproduktet af de to retningsvektorer: side 20
23 Figur 6: To linjer som ikke skærer hinanden, og som er vindskæve. r r 2 = Længden af dette krydsprodukt er hurtigt udregnet: r r 2 = ( 2) 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 = 402,44 Til sidst skal vi bruge den forbindende vektor mellem et punkt P på den ene linje og et punkt P 2 på den anden. Vi vælger: P = (; 9; 5) og Dermed er: P 2 = (5; 5; 6) P P 2 = 2 6 side 2
24 Og prikproduktet med krydsproduktet ovenfra: P P 2 ( r r 2 ) = 2 ( 2) + 6 ( 2) + ( 2) = 59 Dermed giver sætning at den korteste afstand mellem de to linjer er: dist(l, L 2 ) = 59 5, Bemærk at formlen fra sætning kun giver mening når krydsproduktet af de to retningsvektorer er forskelligt fra nulvektor. (Ellers kommer vi til at dividere med nul). Hvis man ikke bryder sig om at sætte tal ind i formler, så kan man også finde afstanden mellem de to linjer ved følgende snedige fremgangsmåde. Dette er i øvrigt også fremgangsmåden i beviset for sætning. Ideen er ikke nem at få, fordi det er ret svært at forestille sig at man til to vindskæve linjer altid kan finde to planer som er parallelle og som indeholder hver sin linje. Hvis man ser på figur bliver det forhåbentlig lidt lettere at visualiere.. Beregn krydsproduktet af de to retningsvektorer. Dette er en vektor som er vinkelret på begge retningsvektorerne. 2. Vælg et punkt på hver af linjerne.. Lav nu to planer som begge har ovenstående krydsprodukt som normalvektor, og som går gennem hvert af de to valgte punkter. Disse planer vil være parallelle, og hver især indeholde en af de to linjer (fordi linjerne løber vinkelret på den fælles normalvektor). 4. Beregn nu afstanden mellem de to parallelle planer (se afsnit 0 hvordan det foregår.) side 22
25 Figur : De to vindskæve linjer fra eksempel 6 med deres indlagte parallelplaner. 5 Plan + Punkt Når man har en plan og et punkt, så er der kun to oplagte spørgsmål at stille:. Ligger punktet i planen? 2. Hvis ikke, hvad er så afstanden (underforstået: den kortest mulige afstand) fra punktet til planen? Til at besvare det sidste spørgsmål kan man f.eks. bruge følgende formel: Sætning 4 (Afstand fra punkt til plan) Hvis P er et punkt i rummet, og α er en plan, hvorpå vi kender et punkt, P 0 samt en normalvektor: n, så er den vinkelrette afstand fra P til α givet ved: dist(p, α) = P 0 P n n side 2
26 Eksempel Det kunne tænkes at vi havde en plan givet ved parameterfremstillingen: x 8 2 α : y = 9 + t + s z 4 Og et punkt P = (; 9; ) Hvis vi skal undersøge om P ligger i α, så skal vi altså undersøge om der findes værdier s og t af de to paramtre, sådan at: t 8 + s 2 = Det er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning kan omskrives til: 8t + 2s = s = + 4t Dette indsættes i de to andre ligninger, hvilket giver: 9 + t + ( + 4t) = 9 9 og 4 + t + ( + 4t) = Den første af disse to ligninger giver at: t = t = side 24
27 Men den anden af ligningerne giver at: 29t = 8 t = 8 29 Disse to ligninger kan altså ikke komme til at gælde på samme tid, så der findes ingen værdier af s og t, sådan at planens parameterfremstilling producerer punktet P. Så P ligger ikke i planen. Til gengæld kan vi så spørge: Hvad er den korteste afstand fra P til planen? Til dette kan vi bruge sætning 4, som siger at vi skal bruge et punkt i planen og en normalvektor. Som punktet kan vi bruge: P 0 = (; 9; 4) og som normalvektor kan vi bruge krydsproduktet af de to retningsvektorer: n = = 58 4 Så er det blot at beregne den forbindende vektor: P 0 P = = Og prikproduktet: P 0 P n = ( 4) = 8 Og længden af normalvektoren: n = ( 4) 2 = ,9 6 0 side 25
28 Dermed giver sætning 4 at afstanden fra P til α er: dist(p, α) = P 0 P n n = 8 960,24 Eksempel 8 Det kunne også tænkes at vi havde planen givet ved en ligning. F.eks: (x ) + (y + 2) 4 (z + ) = 0 Hvis vi så fik et punkt, f.eks. P = (; 0; ) så er det endnu nemmere at tjekke om punktet ligger i planen. Vi skal blot undersøge om punktets koordinater opfylder planens ligning. Når x =, y = 0 og z =, så giver: (x ) + (y + 2) 4 (z + ) = = 0 Dermed opfylder P s koordinater planens ligning, og derfor ligger P i planen. Dette havde man også opdaget hvis man havde forsøgt at finde afstanden mellem P og planen. I dette tilfælde kan vi aflæse koordinaterne til en normalvektor som koefficienterne i planens ligning. Dermed får vi en normalvektor: n = 4 Og et punkt i planen kan findes ved (fordi vi er dovne) finde tre koordinater som opfylder planens ligning. Det hurtigte gæt er: P 0 = (; 2; ) side 26
29 Når vi nu beregner den forbindende vektor: P 0 P = 0 ( 2) ( ) Så får vi sjovt nok prikproduktet: = P 0 P n = ( 4) = 0 6 Plan + Linje Når man har en plan og en linje, så er der følgende fornuftige spørgsmål at stille:. Skærer linjen planen? 2. Hvis linjen skærer planen i et enkelt punkt, hvad er så vinklen som der dannes i skæringspunktet?. Hvis ikke linjen skærer planen, hvad er så afstanden fra punkterne på linje til planen? 6. Linjen ligger i planen Det kan forekomme at en given linje simpelt hen ligger i en given plan (også selvom det ikke umiddelbart kan ses). Eksempel 9 Vi ser på linjen givet ved parameterfremstillingen: L : x y z = + t 6 2 side 2
30 Og så indfører vi en plan, α, givet ved parameterfremstillingen: x 5 8 α : y = 5 + t 4 + s z 6 Denne plan kan også angives med ligningen: α : (x 5) + (y 5) 20 (z 6) = 0 Vi skal nu se at det er meget smartere at bruge ligningen for α frem for parameterfremstillingen. Man kan dog gøre begge dele, og vi starter naturligvis med det mest besværlige. At spørge hvorvidt linjen skærer planen svarer til at spørge om der findes en værdi, u af parameteren for linjen, samt (gerne helt forskellige) værdier s og t af parametrene for planen, sådan at de to paramterfremstillinger producerer det samme punkt. Dvs: + u 6 2 = t s Dette er tre ligninger med u, s og t som ukendte. Den første ligning kræver at: + 6u = 5 + 8t + s og s = 6 + 6u 8t Hvis dette indsættes i de to andre ligninger, så bliver de til: + 2u = 5 4t + (6 + 6u 8t) ( ) + u = 6 t (6 + 6u 8t) Dette er to ligninger med u og t som ukendte. Vi isolerer t i den nederste: + u = 6 t 6 6u + 8t side 28
31 + u = t t = + u Indsættes dette i den øverste, får vi: + 2u = 5 4 ( + u) + (6 + 6u 8 ( + u)) ( ) + 2u = 5 4 4u 8 8u u Kigger man nøje efter, så ser man at denne ligning overhovedet intet siger om u. Den er opfyldt uanset hvilken værdi vi giver u. Det betyder at parameteren, u i linjens parameterfremstilling kan være hvad som helst, og så vil planen producere det samme punkt som linjen hvis blot vi bruger parameterværdierne: og t = + u s = 6 + 6u 8t Sagt med andre ord: Ethvert punkt på linjen ligger også i planen. Alternativ metode: Det er meget nemmere at bruge planens ligning frem for paramterfremstillingen. Hvis man vil undersøge hvorvidt linjen skærer planen, skal man blot undersøge om der finden nogen værdier, t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: (x; y; z) = ( + 6t; + 2t; + t) side 29
32 opfylder ligningen: (x 5) + (y 5) 20 (z 6) = 0 (( + 6t) 5) + (( + 2t) 5) 20 (( + t) 6) = t t 20 20t = 0 0 = 0 Igen ser vi at denne ligning er opfyldt uanset hvilken værdi af t vi indsætter. Det betyder (endnu en gang) at ethvert punkt på linjen ligger i planen. 6.2 Linjen skærer planen i et punkt Dette er langt det hyppigste tilfælde. Eksempel 0 Vi ser på linjen, L, givet ved parameterfremstillingen: x 4 L : y = 2 + t 2 z Og planen, α, givet ved ligningen 8 : 6x + y z + 6 = 0 Hvis vi skal undersøge hvorvidt linjen skærer planen, så kan vi spørge om der findes en værdi t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. side 0
33 Vi undersøger altså om et punkt af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (4 t; 2 + 2t; t) 6x + y z + 6 = 0 6 (4 t) + (2 + 2t) ( t) + 6 = t t 2 + 9t + 6 = t = 0 t = 2 Præcis for denne værdi af t producerer linjens parameterfremstilling et punkt som ligger i planen. Hvis vi er interesserede i hvilket punkt det er, skal vi blot indsætte værdien i parameterfremstillingen: x y z = Det vil sige at linjen skærer planen i punktet: P (5,5; 0,06;,06) 5,5 0,06,06 I denne situation er det oplagt at tilføje spørgsmålet: Hvilken vinkel danner linjen med planen i skæringspunktet? side
34 Det er ikke helt oplagt hvordan man skal finde denne vinkel. Det viser sig at man skal en lille omvej:. Find en normalvektor for planen. 2. Find vinklen, v mellem denne normalvektor og en retningsvektor for linjen.. Hvis v er mellem 0 og 90, er den søgte vinkel er 90 v Ellers er den v 90 I vores tilfælde kan en normalvektor for planen aflæses fra ligningen: 6 n = Og en retningsvektor for linjen er jo: r = 2 Vinklen, v mellem disse to vektorer er givet ved: cos(v) = = = n r n r 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ,4 ( ) ( ) 2 side 2
35 Dvs. v cos (0,4) 62, Dermed er vinklen som linjen danner med planen i skæringspunktet: 90 v 2,9 Figur 8: En plan og en linje som skærer den. 6. Linjen skærer ikke planen Til sidst skal vi lige se et eksempel hvor linjen slet ikke skærer planen. Eksempel Vi ser på linjen, L, givet ved parameterfremstillingen: L : x y z = t side
36 Og planen, α, givet ved ligningen: 6x + y z + 6 = 0 Hvis vi skal undersøge hvorvidt linjen skærer planen, så kan vi spørge om der findes en værdi t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (9 + t; 0 t; t) 6x + y z + 6 = 0 6 (9 + t) + (0 t) ( t) + 6 = t + 0 2t + t + 6 = 0 = 0 Denne ligning har helt tydeligt ingen løsninger. Derfor er der ingen skæringspunkter mellem linjen og planen. Vi kan i stedet stille spørgsmålet: Hvad er den korteste afstand mellem linjen og planen? Eftersom linjen nødvendigvis løber parallelt med planen, kan dette gøres bare ved at vælge et punkt på linjen, og så beregne afstanden fra dette punkt til planen, præcis som i eksempel. side 4
37 Figur 9: En plan og en linje som ikke skærer den. Plan + Plan Når man står med to planer, så er følgende spørgsmål fornuftige at stille:. Skærer de to planer hinanden? 2. Hvis de skærer hinanden langs en linje, hvad er det så for en linje, og hvad er vinklen mellem de to planer langs med denne linje?. Hvis ikke de skærer hinanden, hvad er så afstanden imellem dem? For at undersøge om to planer skærer hinanden kan man enten have dem begge givet ved en parameterfremstilling, begge givet ved en ligning, eller den ene ved en ligning og den anden ved en parameterfremstilling. Det viser sig at være det sidste som er langt nemmest at håndtere. Derfor vil vi antage at det er tilfældet i alle eksemplerne 9. 9 Man kan sagtens stille noget op i de andre tilfælde. Men det vil næsten altid være hurtigere at omskrive den ene plan sådan at de er givet på hver sin måde. side 5
38 . De to planer skærer langs en linje Lad os sige at vi har en plan, α, givet ved parameterfremstillingen: α : x y z = t og en anden plan, β, givet ved ligningen: + s β : (x ) 2(y + ) + (z + 8) = 0 Figur 0: To planer som skærer hinanden langs en ret linje. Hvis vi skal undersøge hvorvidt de skærer hinanden, kan vi spørge om der findes værdier, s og t af parametrene i parameterfremstillingen for α hvor det producerede punkt opfylder ligningen for β. Vi skal altså undersøge hvornår punkter af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (9 + t s; 0 t s; t s) (x ) 2(y + ) + (z + 8) = 0 side 6
39 ((9 + t s) ) 2((0 t s) + ) + (( t s) + 8) = t s t + 6s 2 + t s + 24 = t 4s = 0 s = 6 + 6t = 5,25 + 6t 4 Hvis man bruger værdier af s og t som hænger sammen på denne måde, så vil parameterfremstillingen for α altså producere punkter som også ligger i β. Man kan altså selv bestemme værdien af t, men så skal man til gengæld vælge ovenstående værdi af s. Når man gør det, så kan udregningen skrives som: x y z = = = t + t 6,25 5,5 4,25 + t + (5,25 + 6t) + 2 5,25 45,5 5,25 + t Nu er der kun en fri parameter tilbage, og således står vi sørme med en parameterfremstilling af en linje. Dette er selvfølgelig skæringslinjen mellem de to planer. Man kan nu tilføje spørgsmålet: Hvad er vinklen som de to planer danner langs med skæringslinjen? side
40 Bemærk at der som regel er to sådanne vinkler: En som er spids og en som er stump. Når der ikke nævnes andet, er det altid den spidse man mener. For at finde denne vinkel går man en lille omvej, som kan være lidt svær at finde på selv. Det hjælper hvis man forestiller sig at se de to planer fra siden, idet man kigger langs med skæringslinjen. Nu ligner de to planer bare to linjer som skærer, og som danner præcis den vinkel vi er ude efter. Desværre har vi ikke nogen vektorer som peger præcis langs med disse linjer. Derfor finder vi på at kigge på normalvektorer til de to planer i stedet for. Her er metoden:. Find en normalvektor for hver af planerne. 2. Beregn vinklen v imellem disse to normalvektorer.. Hvis v er mellem 0 og 90, så er det den vinkel vi er ude efter. 4. Hvis v er mellem 90 og 80, så er den spidse vinkel mellem planerne: 80 v 5. Hvis v er mellem 80 og 20, så er den spidse vinkel mellem planerne: v Hvis v er mellem 20 og 60, så er den spidse vinkel mellem planerne: 60 v I vores tilfælde kan vi beregne en normalvektor for α som krydsproduktet af de to retningsvektorer: n = = side 8
41 Og vi har en normalvektor for β direkte fra ligningen: n 2 = 2 Vinklen v imellem disse to er givet ved: cos(v) = n n 2 n n ( 2) + ( 2) = ( 2) ( 2) = ,44 Dvs. ( ) v = cos 44 6, Så vi er i tilfælde (4) ovenfor. Derfor er den spidse vinkel mellem planerne: 80 v 6,8.2 De to planer skærer ikke Den sidste situation er meget simpel: Hvis ikke de to planer skærer, så er det fordi de er parallelle. Det kan de dog godt være uden at det er tydeligt fra præsentationerne af dem. Eksempel 2 Lad os sige at vi har en plan α givet ved parameterfremstillingen: side 9
Afstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereVektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!
Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse
Læs mereVektorregning. Vektorer som lister
10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereOm problemløsning i matematik
Om problemløsning i matematik Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mere10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4
1/11/213 Avedøreværket Matematik og IT Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 Indhold Forord... 2 Matematik... 3 a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen... 4 b) Opstil en
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereTodimensionelle Vektorer
Todimensionelle Vektorer Frank Villa 15. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereMathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.
Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.
Læs mereKæmpestore tal og uendelig
Kæmpestore tal og uendelig Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAnalytisk Geometri og Vektorer
Matematikprojekt om Analytisk Geometri og Vektorer Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 19 November 2010 Indhold I Analytisk plan og rum-geometri................. 3 I
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs merePrimtal. Frank Nasser. 20. april 2011
Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereTodimensionale Vektorer
Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mere