- PDF Free Download

Transkript

1 ( (۲ و ت:

2 ( z z z P=(,,z) فاصله P r z P (,, z ) P (,, z ) r r ( ) ( ) ( z z ) Q 1,, 5 P, 1, 7 فاصله نقطه PQ ل : ح تا (1,1,1) ( 1, 1, 1). (, 1, ) (,, ). (,, 6) (, 8, 1). (,, ) (1,1, ).

3 ( خط ه. B B B.(,1) j (1, ) i (, ) r توجه. r, i j r,, z i j + z k شوند (,,1) (,1, ) (1,, ) k j i r z r تا P P 1 v P1 P r z P (,, z ) v P P ( ) i ( ) j ( z z ) k z z1 1 P (,, z ) مولفه1 u u v u v u v باشند حاصل v i j k u i j k u û v : حل u v=(+) i+(1 ) j+( 1) k 5i - j - k u v ( ) i (1 ) j ( 6 ) k i j k u v (6 6) i ( 4) j ( 6 ) k 7 j 4k u v , uˆ= 1 1 u u i j k

4 ( B 6 C CB C (,1).5 B BC B ( 1, ). (, 1) C. BC. B.. حل : B ( 1 ) i ( ( 1)) j i 4j BC ( ( 1)) i (1 ) j i j C ( ) i (1 ( 1)) j i j B BC C i j.... U C CB ( i j) ( i j) i j B 4 B 5 i 5 j. B : v ( ) u u. v u v cos v i j k u i j k نسبت به u. v u v cos حل : 1 u. v 1 ()() (1)( ) ( )( 1) 1 cos cos cos u v b 5i j k a i j k a a.b 5 1 b. ح ل : 5 8.

5 (1) B. B. ().( B C ) B. C. (). (4) i. i j. j k. k 1 (5) i. j i. k j. k (6), B, B. then B cos 1 a.b a b 8 cos b a 84 C (,,1) B (,, 8) (1, 1, ) a BC ( ) ( ) (1 8) 59 b C ( 1) ( 1) (1 ) c B ( 1) ( 1) (8 ) 56 a b c a b c bc cos 9 cos bc cos (1, 1) (, 5)( 1,1) Â cosi cos j cos k cos cos cos 1 cos cos cos

6 ( i. a1 cos( ). i. j a cos( ). j k. a cos( ). k a a a 1 cos ( ) cos ( ) cos ( ) 1 z u v v u : u v. v u v. u.1 v u u v u v sin. u v v u. v u uv. v v i v j v k 1 u u i u ju مولفه k 1 u v ( u v u v ) i ( u v u v ) j ( u v u v ) k

7 ( حل: i i, i j k, ji k j j, jk i, k j i k k, k i j, i k j ( i j k ) ( j 5 k ) (1)(5) ( )( ) ( )() ()(5) + ()( ) (1)() i j k -i 1j - 4k - ه a b c d ad bc a b c d ر ad bc 1 (1)(4) ()() 4 a b c d e aei bg cdh gec ha idb g h i باشد.

8 ( a c b d a b c a b d e d e g h i g h توجه. 44 باشد. با a b c d e a( ei h) b( di g) c( dh eg) g h i e d d e a h i b g i e g h i j j i a b c d a c a c d e b e h bdi bg eai ecg ha hcd g i g i d g h i " ( 8) 1 5 حل:. صفر

9 v v i v j v k 1 u u i u j u k 1 i j k u u u1 u u1 u u v u1 u u v i j k v v v v1 v v v v 1 C 1, 1,1 B,5, 1, 1, 4,6 C B,1, 7, C, 5, 5 i j k B C i 15 j 15 k 4i 15j 15 k. 5 5 w v u C B BC S B C w v u B.( w) u v u ( v w) v h v w v w v w u u. ( v w) = u v w cos w v w u

10 ( v aibj ck P r i j zk r i j z k v P - v به r r v t r " r r r v t P مانند t t تا v ند : at bt, ( t ) z z ct b a z t t c v z z a b c v (,, z ) c (,, z ) a b, z z -

11 ( i j 4k 4z 5 (1,, ) r i j k t(i j 4k) 1 t t z 4t 1 z 1 4 v P 1 L فاصله نقطه تا خط : فاصله نقطه P s ( 1) r r v v r i (1 t) j ( 4 t) k (, تا خط, ) فاصله P (,, ) v j 4k P1 (1,1, ) r i (1 t) j ( 4 t) خط k ( 1) i ( 1) j ( ) k (j 4 k) s 4 ( i j) (j 4 k) 4i 4j k ) z P (,, با n i B jck n. ( r r ) r ( ) ( ) ( z z ) B C تر نوشت

12 ( B Cz D n i B jck B Cz D ( D /,,) D z صفر C. D B Cz B نقطه (4, 1, ) (1,1, ) (,,1) n (4 1) i ( 1 1) j ( ) k i j k ( ) ( ) ( z 1) z 4 تر باشد. R (,, 1) Q(,,1) P (1,1, ) PR i j k PQ i j k n : حل i j k n PQ PR i j k 1 1 ن ( 1) 1( 1) ( z ). P z 1

13 ( هستند مانند س m n n m تا تا باشند mn n j a11 a1 a1n a1 a a n am 1 am a mn 1 j m 1 i T i n m m n ( a ij ) a ij m n T a11 a1 am1 a1 a a m a1 n an a mn T T. T T ( ) n با n 1 n 1 n n T T ( ) 1 n

14 ( مولفه T شوند. شوند. B n p B ( b ij ) m n ( a ij ) C ( c ij ) : ها m p n cij aikbkj, i 1,, m, j 1,, p k1 حاصل باشد. n B j i c ij B حاصل B باشد حاصل 1 4 باشد (1,, 4) 4 (1,, ) 1 z 1 1 z z حاصل

15 ( BC n p B B m p m n ( BC) ( B) C B حاصل بر B B C B B det( ) B ها a a a n a a a det( ) 1 n a a a n1 n nn n n ( B) T B T T ( 1) (1 ) 1(4 ) n n B 4 4 :

16 ( det T det detb det detb.. det det حاصل - det ت n n c 1 c1 1 c c n n c i n c c cn c c c n n n n n n n n I " 1 1 I 1 " " 1 " 1 I I det( I ) 1 1

17 ( 1 1 I 1 : det 1 1 det 1 T T 1 ( ) ( ) det حل : 1 a b c d 1 1 1a b a c b d c d a c b d d c b a a c 1 b d, a c b d 1 a b d 1/, c 1/ n n a a a b n n 1 a a a b 1 1 n n a a a b n1 1 n nn n n b

18 ( a11 a1 a1n 1 b1 a1 a a n b,, b an1 an a nn n b n a b باشد. بنابر تشابه a a b b 1 a b b 1 b 1 b b 1 1 I b b T b T T T T T T T (b) b ( ) ( ) det n T b b m n m n n m n m به حل ها تابع n m m m n m z z 4 6z 5

19 ( z / 1/ 4 z 1 4z 1 5 6z 1/ / 5 6z 5z b حل : n n 4 z 5 6z 1 4 z, 5z. 1 / 1/ 1/ / b det( ) j, j,1,..., n j det b j a a b a a 11 1( j1) 1 1( j1) 1n a a b a a det( j ) 1 ( j1) ( j1) n a a b a a n1 n( j1) n n( j1) nn j ( a ij ) n n ( I) " n n a a a n a1 a an det( I ) a a a n1 n nn I I n

20 ( 1 5 : حل 1 det I , 1 T 1 1,5 T مث 1 4 det( I ) حل: 75 ( 5)( 15) 1 5, det( 5I ) ( 5I ) V به a 15

21 ( اب نتفرگ هچ خ اه لااب. نم:تفگ هب امش. هلاچم د هچ اه مه اه لااب.. هچ اه اب دگل دعب :تفگ هلاچم دنتسه لااح هچ لااب سپس :تفگ نم اب اهلوپ هچ امش مه اه دشن مه. ام هلاچم اب هب ام دن. ام هچ هچ. امش زگره. امش امش. ام ام هلمج : ام امش

22 ( n R m R n R m R n D r ( t ) (( t ), g ( t ), h( t )) r ( t ) ( t ) i g ( t ) j h( t ) k n m r( t ) : R R ( n 1,,) ( t ), g ( t ), h ( t ) r t costi sint j tk t : تجربه rt t,ln t, t g t ln t t t D,,, rt t r : حل h t t L r t t i g t j h tk L r به t t lim r t L tt lim t t r t r t t t r t r t costi sint tk lim r t (lim cos t) i (lim sin t) j (lim t) k t 4 t 4 t 4 t 4

23 ( i j k 4 t sin t, cost r t costi sint j t تابع h g, r مشتق t t r t t i g t j h tk dr r t t r t d dg dh lim i j k dt t t dt dt dt dr V t dt مشتق r r V t t V جهت t d N( t ) d T T / dt / dt a dv dt t V ( t ) T ( t ) V ( t ) (1,1,1) r tit j t k t حل : v i j k d r d t t, 6t dt v v i j k a dt j k t 1 r t costi sint j tk. نقطه (1,1,1) a j 6k حل : V sinti cost j k

24 ( V sint cost 1 V sin t cost 1 T i j k V (C : d C dt t V U (c d du cu c dt dt (هر تابع مشتق ( t d u d u du dt dt dt d du dv u V dt dt dt d du dv u V dt dt dt d V u. V du. V u. d dt dt dt d V u V du V u d dt dt dt dr ds dr dt dt ds s تابع مشتق t t تابع مشتق r r نسبت به t مجموعه r r R r tdt r t dt Rt C r a, b r t t i g t j h tk b a تا r b b b b r t dt ( t dt) i ( g tdt) j ( h tdt) k a a a a ( cost i j tk) dt ( cos tdt) i ( dt) j ( tdt) k

25 ( sint i t j t k i j k j k t r t t i g t j h t k, a t b t b به t a b d dg b d L ( ) ( ) ( dh ) ( d ) ( ) ( dz dt ) dt a dt dt dt a dt dt dt b L V dt a r t costi sint j tk تا t b L V dt sint cost 1 dt a حل : dt k V a V V a sinti a cost j bk a a costi a sint j r t a costi a sin t j btk, a, b, a b : : حل

26 ( i j k V a a sint a cost b ab sint i ab cost j a k a cost a sint O V a ( ab sin t ) ( ab cos t ) ( a ) a b a a b a 4 k V a a a b a V ( a b ) a b. 1 a a : ( ) k ( ) (1 ) ( t ) ( t ) k ( t ) ( ) r ( ) k ( ) r r rr (r r ) B T N db. N ds z z z V a k مولفه :هنگامی که جسمی توسط جاذبه پرتاب احتراق موتور راکت و... شتاب میگيرد معمولا مايليم بدانيم که شتاب در جهت مماس بر مسير يعنی T چقدر است. میتوان قاعده زنجيرهای را برای V صورت زير به کار برد. به

27 ( V dr dr ds ds T dt ds dt dt با مشتقگيری از طرفين معادله داريم : T V T a d d ( T ds) d s ds d dt dt dt dt dt dt T T T kn d s ds d s ds ( d ds) ( ds) dt dt ds dt dt dt dt d s T k( ds) dt dt N a a a که در ا ن TT NN a T d s d V dt dt an و k( ds) k dt V مولفههای اسکالر قايم و مماسی شتاب هستند. N dt / dt dt / dt V T V B T N V d a T r r rr k k( ) k( t) k( ) dt V (1 ) ( ) (r r ) a a a TT مولفه NN db. N ds z z z V a a T d V dt N V a k a a T

28 ( t t t ( t ) ( t ) ( e cos(t)) i ( e sin(t)) je k t t t ( t ) e (cos(t) sin(t)) i e (cos(t) sin(t)) je k t t t ( t ) e sin(t) i e cos(t) je k t t t ( t ) e (cos(t) sin(t)) i e (cos(t) sin(t)) je k t t t ( t ) ( t ) e (cos(t) sin(t)) i e (cos(t) sin(t)) j e k t ( t ) ( t ) e 6 ( t ) ( t ). ( t ) e t t t t e t ( ) ( ). ( ) 1 t e 4t ( t ) ( t ) 6e!. : ( پنچر (

29 D n n,,..., n 1 D 1,,..., n n 1,,..., n D h r n V( r, h) r h,, 1 1 D, 1, 1 1, , sin, 1 ln 4, arcsin,, ln5 4 z z, e, 6 9 4

30 (,, z ln( z) 1 1 1,, z sin cos tan z *, N L به, حد,, حد, lim, L,,, L., lim 4 8 8,,1. حل : ,,. با توجه به 1 lim (, ) (,) (, ) (, ) حل : ( )( ) lim lim ( )( ) (, ) (,) (, ) (,) lim (, ) (,) ( )( )

31 ( lim ( ) (, ) (,) L C C 1 به سمت نقطه. ( ) L ها:, به حد C, L L 1 lim, L1 L lim, C1 C,,,, باشد. باشد.,,, حل: lim, lim,, lim, lim,,. 1. باشد. 1 (, ) 4 (, به( (, ), k : حل (, ) k 4 ( k ) k k k k k k ( ) 1 lim (, ) lim (, ) k k (, ) (,) (, ) (,) k 1??? m

32 ( (, به( (, به(,( k ) باشد. (, ) lim,, به( (, 4 (, ) (, ).. 1. lim (, ) (,). lim (, ) ( a, b) a b. lim (, ) (,) 4. lim (, ) (,) lim (, ) (,1) lim (, ) (,) ( 1) lim 4 (, ) (1,) ( 1).۵.۶. lim (, ) (, 1) lim (, ) (,) lim (, ) (,) lim (, ) (,)....۴ lim (, ) (, ) (,) r r cos, r sin,, تابع

33 ( lim,,,,, D, D D, (, ) (, ) (, ), (, ) (, ). (, ) (, ) حل : تابع تابع, m (, ) (, ) (, ) باش m, خط (, ) m ( m) m m m m m m ( ) 1 (, ) به سمت (, ) lim (, ) lim (, ) m m 1 m (, ) (,) (, ) (,)??? m (, ) m (,, z) (,, z) z وقتی که تمام متغيرهای يک تابع به جز يک متغير را ثابت نگه داريم و نسبت به اين متغير مشتق ( (, ) (, ) بگيريم ا نگاه مشتق جزيي به دست ا وردهايم. نسبت به در نقطه عبارت است از : d ( h, ) (, ) (, ) lim d h مشتق جزيي( (, در صورتی که اين حد موجود باشد. ) نسبت به را شکلی از d در نظر بگيريد.) (, ) (, )

34 ( d (, h) (, ) (, ) lim d h h h نسبت به نسبت به در نقطه (5,4) هرگاه : و مطلوب است مقادير (, ) 1, فرض میکنيم ثابت باشد و نسبت به مشتق میگيريم ( 1) 1 حل : برای محاسبه در 5) (4, برابر است با (4) ( 5) 7. برای محاسبه مقدار مشتق میگيريم. فرض میکنيم ثابت باشد و نسبت به ( 1) در 5) (4, برابر است با (4) 1 1. مقدار توجه: (, ) تابع (, ) (, ) 1, (, ) 1, به( (, (, ). (, ) (, ) (, ) (, )

35 ( (, ) شوند : به ( ) به ( ) (, به ( ) (, به ( ),, مشتق ( ) (, ) cos e cos e sin e e sin e sin e cos,,,

36 ( g(, ) g(, ) g(, ) g1(, ) g(, ) g(, ) g(, ) : s r برحسب s r z, r ln s, z r s, rh z r r r z r 1 (1) s ()( r) ( z)() 1 4 r (4 r)() 1 s s 1r z s s s z s (1) r () 1 ( z)() r s s s s z. z. t z z sin t, z مطلوب است اگر و ( d, d) به نقطه مجاور حرکت کنيم, ديفرانسيل حاصل در برابر (, ) اگر از نقطه است با : d (, ) d (, ) d اين تغيير در تقريب خطی را ديفرانسيل کل مینامند. (, ) (, ) ( ) (, ) i ( ) (, ) j

37 ( u (, ) u D u. u. i 4j (, ) (, ) cos( ) e u i 4 j حل : جهت (, ) (, ) ( e sin( )) e 1 (,) (, ) ( e sin( )) e (,) (, ) (,) (, )i (, )j u i j (, ) 4. u=(i j). i j 8 1 (,) z (, ) (, ) اگر( (, در يک نقطه درونی چون (b (,a از دامنه. : تعريف تابع دارای ماکزيمم يا مینيمم موضعی باشد و اگر مشتقات جزيي مرتبه اول تابع در اين نقطه موجود باشند, ا نگاه. a b ( a, b) (, ), (, ) نامند.

38 ( تنها نقاطی که تابع( (, در ا ن نقاط احتمالا مقادير اکسترمم دارد نقاط بحرانی و نقاط مرزی میباشند. شبيه توابع مشتقپذير يک متغيره, اين طور نيست که هر نقطه بحرانی يک اکسترمم موضعی باشد. تابع مشتقپذير يک متغيره ممکن است دارای يک نقطه عطف باشد. تابع مشتقپذير دو متغيره ممکن است دارای نقطه زينی باشد. (, ) a b a b : (, ) (, ) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) ( a, b) : (, ) 4, حل : تنها نقطه (, ),, 1 ( a, b) (, ) ( )( ) (1) 4 1. (, ) 8 (, )

39 (. (, ) مطلوب است مقادير اکسترمم موضعی تابع همه جا مشتقپذير است تنها نقاطی که میتوان در ا نها مقادطر اکسترمم را تصور کرد عبارتند از, حل : چون نقاطی که در معادلات زير صدق کنند. بنابراين, مبدا تنها نقطهای است که میتواند در ا ن اکسترمم داشته باشد, برای تعيين نوع اين اکسترمم, ملاحظه میشود که :,, 1 بنابراين مبين به صورت زير است : 1 (, ) که منفی میباشد. بنابراين نقطه(,) يک نقطه زينی تابع است. در نتيجه نمیباشد. دارای مقادير اکسترمم موضعی تمامی ماکزيممها و مینيممهای موضعی و نقاط زينی توابع مذکور در تمرينهای ۱-۱۰ را به دست ا وريد. (, ).۶ (, ) ۷ (, ) 4.۸ (, ) 4 6.۱ (, ) 6 6.۲ (, ) ۳ (, ) 4.۹ (, ) ۴ (, ) ۱۰ (, ) 5.۵ g(,, z) z g(,, z) (,, z) g g(,, z) باشند : g g(, )

40 (. 1 (, ) 4 تابع : حل (, ) 4, g(, ) 1 g : i 4j i j g(, ) : 1,, g(, ) (, ), (, ) , , به صحبت جا -گرفت پر شد. به سنگ سپس : پر گفتند:بله. سپس سطل شن شن سنگها. پر پاسخ : نه!! پر :. سطل ماسه گفت خوبست. سپس. سپس به : چه چه م سخت باشد هم ما هر برنامه به ما گفت:. - پاسخ : نه!. به ما چوقت فرصت هستند: شما.. به به به پس من

41 D D D P c d a b 1 m1 1 n1 (, ) D [ c, d] a b c d m n j1 D j P n m [ a, b] i1 i (, ) (1 i m,1 j n) R ij D R (1 i m,1 j n) ij D S z (, ) ( )( ) ij i j i i1 j j1 R ij ij i j i i1 j j1 diam( R ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P ma diam( R ) 1 im, 1j n (, ) R ij m m 1 i (, ) n ij ij m n R(, P) (, ) i1 j1 ij ij ij ij ij mn ij 1 j ( ij, ij ) R ij R ij D R(, P)

42 ( D P (, ) ij ij. R ij. D P D P I باشد) به D (, ) d R(, P) I D a, b c, d D d b b d, d, dd, dd c a a c ه. : M L D g. D d (, ) D 1 D 1 d D D D d (, ) V (, ) z D (, ) D V D d (, ) V (, ) z (, ) D بر D

43 ( L (, ) Mg(, ) d L (, ) d M g(, ) d D D D (, ) g(, ) D D (, ) d g(, ) d D D (, ) d (, ) d D,,..., k D1 D D D D1 D... Dk جمع. D k j1 (, ) d (, ) d D j dd 1 سپس نسبت به dd 1 حل: d d 7 d 9 d باشد. d d d d I 1 (sin ) d حل : I sin d 1 d 1 d I I I 1 1 (, ) sin 1 I1

44 D I I d ( (مساحتD D I R ( R, ) d L R, L R 1 1 (, ) d (, ) dd 1

45 - R 1 1 (, ) d (, ) dd 1 1 D D d D 1, 1, D d dd 1 D d 15

46 sin d sin d e dd e d D 1 1 e dd e d D 1 1, 1, 1 (, ) 1 D e d D D, 1, e d e dd e d e d e e 1 - R S R 1dd

47 , S 1dd dd R 4 ( ) d z D z (, ) D z (, ) V D (, ) dd z V zdd (1 ) dd D ( ) d 6.

48 وF ( به طور خاص به تابعی كه قلمرو و برد ا ن زيرمجموعهاي از فضاي باشد را يك ميدان برداري نامند. ميدان برداري F 1 (,, z توابع اسكالر (يا حقيقي)( F را مربوط ميسازد. سه مولفه F(,, در دامنه ا ن بردار( z (,, به هر نقطه( z F F(,, z) و z) F(,, ميباشند. همچنين تابع( z F(,, را ميتوان برحسب پايههاي متعارف در بهصورت زير نوشت : F(,, z) (,, z)i (,, z)j (,, z)k F1 F F (توجه كنيد كه در اينجا زيرنويسها نمايش مولفههاي يك بردارد هستند نه مشتقات جزيي). F z هرگاه F(,, z) و همچنين 1 F مستقل از باشند ا نگاه به صورت زير محدود ميشود F(, ) (, )i (, )j F1 F که يك ميدان برداري در صفحه يا يك ميدان برداري مسطح نام دارد. F باشند تابع اگر P و Q روي D و در ناحيه D از صفحه معرفي شده زير يک ميدان برداري, P, Q, F i j توابع دو متغيره بر حسب در صفحه میباشد.,, z P,, z Q,, z R,, z F i j k z z در حالت کلي تر ميدان برداري در فضا به شکل ميباشد که توابع سه متغيره Q P وR بر حسب معروف هستند. معرفي چند ميدان برداري نمونه به بعضي از ا نها در اينجا اشاره ميكنيم : و در ناحيه D از فضاي ميباشند به توابع مو لفهاي متناظر ميدانهاي برداري در بسياري از حالتها در رياضيات كاربردي ظاهر ميشوند. ما فقط ناشي از يك جسم نيروي جاذبهاي است كه جسم بر جرم واحد واقع در موضع (z (,, وارد.۱ ميدان جاذبه( z F(,, ميكند. ناشي از يك جسم با بار الكتريكي نيروي الكتريكياي است كه جسم بر بار وارد ميكند ) اين نيرو ممكن است جاذبه يا دافعه باشد)..۲ ميدان نيروي الكتروستاتيك z) E(,, واحد در موضع( z (,,.۳ ميدان سرعت z) V(,, در يك سيال (يا جسم) متحرك سرعت حركت ذره در موضع (z (,, پايدار نباشد ا نگاه ميدان سرعت تابعي بر حسب زمان ميباشد يعني (t. V )V,,,z است. هرگاه حركت ۴. ميدانهاي گراديان

49 (, ميدان برداري گراديان تابع ميدان برداري گراديان به صورت : را مييابيم. اين ميدان را همراه با منحنيهاي تراز رسم ميكنيم., i j i j حل : ميباشد. شكل نقشه تراز با ميدان برداري گراديان را نشان ميدهد. توجه كنيد كه بردارهاي گراديان به منحنيهاي تراز عمود ميباشند. ملاحظه ميکنيد كه بردارها در جاهايي كه منحنيهاي تراز به هم نزديكتر ميشوند بلندتر و جاهايي كه از هم دور ميشوند كوتاهتر هستند زيرا طول بردار گراديان مقدار مشتق جهتي ميباشد. توجه داشته باشيد که منحنيهاي تراز نزديك به هم نشان دهنده نمودار با شيب تندتر ميباشند. اند. هر دو در تمام نقاط ۵. بردارهاي شعاعي يكه و متقاطع يكه rˆ و ˆ مثالهايي از ميدانهاي برداری در صفحه صفحه جز مبدا تعريف شدهاند. F(,, ) M (,, ) i N (,, ) j P (,, ) k 1 i j k.f div ( F ) (M) i (N) j ( P ) k i j k F curl ( F ) det 1 M N P 1

50 i j k 1 ( عملگر (,, z ) k i j 1 باشد curl F را مييابيم. F,, z z i z j k اگر curlf F i j k z z z با استفاده از معادله فوق داريم : z z z i z j z z z z k i j k حل : (1,,) F(,, ) i 5 j k : : (,, z ) 7 8z يک ميدان برداری پايستار در D است هرگاه در دامنه D داشته باشيم. F گوييم F(,, z) (,, z) F تابع اسکالر پتانسيل را تابع برای ميدان برداري بر ناحيه D میناميم.

51 ( معين ميکنيم كه ميدان برداري زير بر زير مجموعهاي از پايستار ميباشد يا خير. F, i j حل : در اينجا داريم : Q P, P Q, يا 1 و مشتقهاي جزيي عبارتند از : P چون Q جز وقتي كه اين ميدان برداري بر هيچ زيرمجموعه بازي از گراديان نيست. F P i Q j R k فرض باشد اگر داخل D ا نگاه يك ميدان برداري به طور پيوسته مشتقپذير روي يك ناحيه همبند ساده D و پايستار ميباشد. چون كل همبند ساده هستند پس اگر روي کل F curl F F پايستار ميشود. يا, را مييابيم. F i j, k تابع پتانسيل ميدان t a t b C طول منحني ميدانيم a, كه روي بازه t برابر است با: و, در تابع انتگرال C t d s t d a dt dt t ( ) ( ) dt عمل ميكند باقرار دادن مختصات پارامتري C روي, چون خط به صورت يك انتگرال يكگانه زير درميا يد. b,, a ds t t t t dt در حالت کلي ميتوان به صورت برداري فشردهتر زير نوشت: b ( r ) r C ds t t dt a را ارزيابي ميكنيم كه نيمه بالايي دايره ميباشد. 1 C C ds انتگرال ابتدا معادله پارامتري نيم دايره بالايي C را مينويسيم. حل : cos t, sin t, t اکنون با استفاده از فرمول داريم:

52 ( C cos sin ds t t t t dt cos t sint sin t cos tdt cos t cos t sint dt [ t ] را كه C مثلث شكل است محاسبه مينماييم. c ds انتگرال به و C C, C1 چون مثلث C تكهاي هموار بسته از سه تكه خط هموار تشكيل ميشود پس داريم : ds ds ds ds C C C C 1 به انتگرال يكگانه كاهش مييابد يعني: 1 1 ds 1 d C 1 روي C چون حل : چون روي C 1 انتگرال به همين ترتيب انتگرال مييابد. به انتگرال يک گانه روي محور- ولي از 1 كاهش C 1 ds 1d 1 ولي انتگرال روي مرز C را ميتوان برحسب برحسب يا برحسب يك پارامتر سوم t پارامتري نمود : t, t 1, t 1 C 1 ds t t dt ds 1 1 C كه با اين عمل داريم : پس جواب نهايي به صورت زير است. F i j كار ان جام شده توسط نيروي را مييابيم. در حر كت يك ذره روي ربع دايره با م عاد له برداري sint ميباشد. با توجه به فرمول داريم : cos t t rt cost i sint j حل : چون معادله پارامتري مسير

53 F. d r F r t. r t dt C C cos t i cost sint j. sin t i cost jdt cos t sint cos tdt C D Q P D Q P curl F. k Pd Qd d d C D D 4,1 1,, C d d C C D Q 1 1 P 4 d d d dd C D d 1 d 1 6 6

54