Fourierrækker og Fourierintegraler

Transkript

1 Udlg rækkr Fourrrækkr og Fourrtgrlr Idhold Idhold.... lølgr.... Rækkr...3. Udlg rækkr...3. Suorl or drsrækk...3. Su-orl or kvottrækk Fourrrækkr Fourrrækks koctr Fourrtgrlr...4 Ol Wtt-Hs Køg Gysu 8

2 Udlg rækkr. lølgr E tlølg r udlg ølg tl, dsklt ko.,, 3,..,.. For t ku opskrv tlølg r dt ødvdgt, t hv t udtryk or dt t lt. M ku.ks. skrv. llr llr c D ørst ld d 3 ølgr vl vær:, 4, 8,., ½, /3, ¾, 9/4, 64/7,.. E tlølg sgs t kovrgr, t vær kovrgt, t hv græsværd, hvs dt t ld ærr sg tl t stt tl. A d 3 rækkr ovor r dt rt dlysd, t d ørst kk hr og græsværd dt t ld går od udlg. D d ølg hr græsværd, hvlkt lt k ss vd oskrvg:. D ærr sg tl, hr græsværd år går od udlg, ss, t ølg hr græsværd. At d sdst ølg hr græsværd, r drod kk trvlt, k udlds t l, hr drtlkvott. l l l l l l' or dvs or D l hr græsværd or gåd od udlg, hr størrls slv græsværd. D orll dto på t ølg hr græsværd r ølgd: For thvrt postvt vlkårlg lll tl ε, ds dr t tl, sålds t < ε Idørr v d to ttsk logsk oprtorr: : kldt Alkvtor og læss: For thvrt..gældr llr For ll..gældr

3 Udlg rækkr 3 : Kldt ksstskvtor og læss: Dr ksstrr t.sålds t llr Dr ds dst t.sålds t K dto græsværd skrvs r kopkt. ε> : < ε. Rækkr E rækk r su tl. Rækkr skrvs ltd vd hjælp sutostg. Btydg sutostgt llustrrs dst vd t pr kspl: k k k I ksplr ovor klds og k or dks. Su udrgs dt ørst kspl vd ørst t sætt kldt dr græs og udrg dt so står or sgr udr sutostgt, sætt t plustg og sætt dtl 5 so klds øvr græs. I dt dt kspl hr v rstttt dks d k, prcppt r hlt dt s. I Mttkk hr trdto or t tg hl tl d ogstvr:, j k l, så dt r rgl dss ogstvr, so vds so dks.. Udlg rækkr E udlg rækk r rækk, hvor d øvr græs r udlg. På orhåd r dt lgt r dlysd o k tllægg udlg rækk tydg stt su. At dt ktsk r tlældt, vss d ogl ksplr dt ølgd. E udlg rækk skrvs k k V tgr d S su d ørst ld rækk. S k Hvs tlølg S, S, S 3,..., S,. hr græsværd or sgs rækk t vær kovrgt d su, dr r lg d græsværd. Hvs tlølg kk hr græsværd, sgs rækk t vær dvrgt. k. Suorl or drsrækk E drsrækk r rækk, hvor drs ll thvrt ld og dt orgåd r kostt. Eksplr på drsrækkr r: 3 4 drs drs

4 Udlg rækkr 4 Opgv r t st orl tl udrgg su drsrækk. Hlt grlt k drsrækk d -ld og drs d skrvs: S d d -d Skrvs ldd d ovdt rækkølg år : S - d -d. M ærkr t: Hvs læggr d to udtryk or S s dr : S S - - S Ilt -ld, so ølg ovståd r lg d hd. Hr ølgr t: S llr so pljr t skrv orl or drsrækk:. S r dt ørst ld rækk. r dt sdst ld rækk og tllt ld r lg d. Forl k.ks. vds tl t rg su tll r tl S 55 Udlg drsrækkr d drs orskllg r r ltd dvrgt.. Su-orl or kvottrækk. E kvotrækk r rækk, hvor kvott orholdt ll thvrt ld og dt orgåd r kostt. V opskrvr u kvottrækk, hvor dt ørst ld klds og kvott klds or k. Su d ørst ld tgs s. S k k k 3... k - k - For t udld su-orl, ultplcrr v rækk d k, og sutrhrr S r ks. ks k k k 3... k - k

5 Udlg rækkr 5 ks - S k k k 3... k - k - k k k 3... k - k - Vd sutrkto vl ll ldd k, k k 3...k - ud od hd, og v dr: ks - S k S k- k - orl or S lvr sålds:. k S llr k S k k Bærk, t tgr tllt ld rækk. Udtrykkt gældr or k. For k, r S turlgvs E udlg kvottrækk r kovrgt or k< og llrs dvrgt. Dtt ølgr, t k or, år k< or år < < Avds dtt på ovståd, dr orl or udlg kvottrækk. k l k l S l k k Su-orl or udlg kvottrækk, hvor ørst ld r og kvott -< k <. k.3 S k Eksplr: Succsv hlvrgr t lstykk d lægd. Lægd vl vær Udlg dclrøkr:, k 3 k 3 3 Dt udrstrgs, t d ttsk tor or ddto udlg g tl r uldstædg strgt odsglssr og lvrr uldstædg løsg på g såkldt prdoksr, so r rkot sær dt tkk Grækld.

6 Fourrrækkr 6 3. Fourrrækkr Fourr opdgd vd s lys prodsk uktor, t hvr prodsk ukto d prod k skrvs so udlg rækk hrosk uktor. Hrosk tydr, t dt r sus llr cosus uktor. D kskt krtrr or t ourrrækk or vlkårlg ukto kovrgrr thvrt pukt r rt koplcrt, grlt k sg, t ourrrækk or æst hvr ukto d græst vrto kovrgrr. Bgræst vrto tydr t orskll ll uktosværdr r græst t tl. Dt r lttst, t troducr ourrrækkr or uktor, dr r prodsk d prod, so dt r tlældt d cosus og sus. Hr dlrtd ukto d prod, så k udvkl d på uktor: cos og s,, so ss t vær cos- og suktor d prod. Ud vdls koplks tl, skrvs Fourrrækk or ukto ldlghd: cos s cos s 3 cos3 s Ellr opskrvt d sutostg 3. cos s Idt v tgr, t såd ourrrækk ksstrr, stllr v os d opgv t st koctr og. For t gør dtt, skl dlrtd kd ogl ortogolttstglsr or s og cos. For dt ørst s og cos r prodsk d prod. cos og s, r prodsk d prod /. cos 3 og s 3, r prodsk d prod /3, og såd rdls. cos og s, r prodsk d prod /, hvor r t hlt postvt tl. All uktor r dror også prodsk d prod. Dr gældr: 3. cosd s s s 3.3 s d cos cos cos

7 Fourrrækkr 7 Itgrlr s og cos ovr prod r gg ul. Dræst skl v s på tgrlr: cos s d or ll og, cos cosd, s s d or s d og cos d V sr ørst på d sdst to tgrlr. D gr or s og cos r d s, lot prlllorskudt ½, å d to tgrlr vær s. Dr gældr dror: s d cos d cos s d d For t vs rgtghd d 3 ørst tgrlr, r dt ødvdgt, t kd d logrtsk orlr or ddto to hrosk uktor. Dss orlr udlds ddtosorlr: 3. Addtosorlr. Addtosorlr r ællsvt or ogl orlr tl rgg cosu-v, su-v, cosuv og suv. Ld u cos u, s u og v cos v, s v vær to hdsvktorr, svrd tl rtgsvklr u og v. Vkl ll d r på ær ortg og t ultplu 36 so ldr cosus uordrt r u-v. gr v sklrproduktt d to hdsvktorr, år v ølg dto: u v u v cosu-v cosu-v cosu-v Udrgr v drod sklrproduktt koordtr år u v cos u cos v s u s v Hr ås d ørst ddtosorlr Erstttr v v d v dr cosu-v cos u cos v s u s v cosuv cos u cos-v s u s-v cos u cos v - s u s v cosuv cos u cos v - s u s v Erstttr v u d 9-u, dr so gvr cos9-u-v cos9 u cos v s9 u s v

8 Fourrrækkr 8 su-v s u cos v cos u s v Og dlg, hvs rstttr v d v, år suv s u cos v cos u s v All ddtosorlr k hrtr skrvs cosu-v cos u cos v s u s v cosuv cos u cos v - s u s v suv s u cos v cos u s v su-v s u cos v cos u s v 3. D logrtsk orlr or ddto sus og cosus. Vd t ddr d to ørst ddtosorlr, år cosu-v cosuv cos u cos v s u s v cos u cos v - s u s v cos u cos v. og hrd: cos u cos v ½ cosu-v cosuv Vd sutrkto d to s orlr år s u s v ½ cosu-v - cosu-v Vd ddto og sutrkto d to sdst ddtosorlr år tlsvrd s u cos v ½ suv su-v cos u s v ½ suv - su-v Idørr v u u-v og y uv og løsr d hsy tl u og v, år u ½ y og v ½ - y Idætts dtt ovor år d ørst d logrtsk orlr y y cos cos y cos cos Forlr klds or logrtsk ord rstttr ddto d ultplkto. På hlt tlsvrd vs, år d øvrg logrtsk orlr. y y cos cos y s s y y s s y s cos y y s s y cos s 3.3 Fourrrækks koctr V vl u orlt vs t d tr tgrlr d t produkt s og cos, ll gvr ul.

9 Fourrrækkr 9 V øjs d t kspl: D øvrg ølgr hlt på s åd. 3.4 cos s d s s d V hr hr vdt d 4. d logrtsk orlr ovor. Iølg dt orgåd r tgrlt s og cos ovr t prodtrvl lg d, hvor ølgr t tgrlt ovor r. Dtt k også vs or d øvrg tgrlr vd vdls d dr logrtsk orlr. V vdr u tlg tl Fourrrækk or. cos s For t st vl v udrg tgrlt cosd Når v dsættr udtrykkt or ourrrækk or og hvs v tgr, t v k tgrr ldvs også or udlg g ld, så kor v tl t udrg ølgd 4 typr ld: cos cosd or s cosd cos cos d cos d or cosd or > og d or A dtt rgår, t k rgs vd ølgd orl cos d cos d,,,... På hlt tlsvrd åd dr :

10 Fourrrækkr s d s d Hrd hr v sluttt vors lys Fourrrækkr. Ehvr prodsk ukto d græst Vrto og prod, k udvkls på rækk 3.5 Hvor cos s 3.6 cosd og s d,,,,... Hvs ukto r prodsk d prod, llr lot ukto drt på t trvl, så r dt so skrvt ovor lt t vs, t k skrvs: 3.7 cos s hvor 3.8 cos d og s d,,,,... Itgrto ovr prodtrvllt [,] k turlgvs rsttts t vlkårlg prod trvl. Ot vælgs trvllt [-, ]. cos r lg ukto, dt cos cos, og s r ulg ukto, dt s - s. Itgrlt ovr trvllt [-, ] ulg ukto r ødvdgvs ul. D produktt lg og ulg ukto r ulg ukto, ølgr dt uddlrt, t hvs r ulg, så lvr ll, og hvs r lg, så lvr ll. So t kspl, sr v på ukto:, < <, < < D ukto r ulg, så ll r ul. 4 d d s d cos s s Så ourrrækk lvr

11 Fourrrækkr 4 s3 s5 s Idsætts.ks. ½ dr, dt ½ D udlg rækk tl rgg p, tgs Grgory s rækk. Ndor r vst ourrtrsorto, svrd tl t tl r ld. Hrosk lys udørs r usvært vd t vd d koplks kspotlukto drt vd: cos s r d koplks hd, hvor -. At dt lvr lttr, k dss, år.ks. skl vs t kspotluktos y y uktollgg dto kspotlukto: y cos s cos y s y cos cos y s s y cos s y s cos y cos y s y y y Vd udldg hr v vdt ddtosorlr so r skrvt tdlgr. cos og s, k udtrykks vd d koplks kspotlukto vd orlr: 3.8 cos og s

12 Fourrrækkr Og hrd: s cos og Idsætts dss udtryk ourrrækk or dr udvklt på uktor og -. s cos M k tg d su, vd t sur r. Edlg k dropp d sdst ksptlukto, og stdt sur r us udlg tl udlg. Edlg odør koctr tl c Fourrrækk or ukto d prod, og r grlt d prod k hrtr skrvs so: 3.9 c c Dt r lt t vrcr ortogolttstglr 3. or or d For r d d D to orlr k stts 3. d δ hvor δ r Krockr syolt drt vd or or δ Hr ølgr t koctr c k rgs, so:

13 Fourrrækkr 3 3. d c M k dr dt dr produkt to koplks uktor, so: 3.3 d g g hvor c r koplks kojugrd tl tl c. c c c c c 3.4 d d tgs so ddlværd ovr t prodtrvl. 3.5 d Idsættr d koplks ourrrækkr or og g dr or dt dr produkt: d d g d d g På grud ortogolttstglsr 3. dr drtr: d g δ Og ølglg: Kvdrtt på ddlværd r lg d su kvdrtr på ourrkoctr. Dtt klds or Prsvls sætg.

14 Fourrtgrlr 4 4. Fourrtgrlr V tgr udggspukt d koplks ourrrækk d prod : hvor d V vl s på græs, hvor susttutor: Su k oors tl t tgrl vd ølgd y og gy Skrvr v F Idt orøgs skrdt, vl dr gæld: y y F Fd F y dy g y dy g y dy y 4. g y dy g y y d og gy klds hds ourrtrsorrd. På tlsvrd åd, so v vst Prsvls tor, k vs, t dr gældr: 4. d g y dy Fourrtrsorto vds ot, år skl ortg hrosk lys t sgl. I d shæg r vrl td, so v dror tgr d t. Vrl y, tgs d d ω. rsortosorlr lvr hrtr: 4.3 ω ω t ωt t g dω g ω t dt Når lvr ourrtrsorto to, vl d ourrtrsorrd t, so r gω gv rkvsr og styrk grudto og ovrtor.