Hvilke nye muligheder rummer brugen af IT som læremiddel i matematikundervisningen i forhold til elevernes kompetenceudvikling og dannelse?

Transkript

1 Indhold Indledning... 2 Problemformulering... 3 Metode og afgrænsning... 3 IT som læremiddel... 5 Kompetencebegrebet... 6 Kompetencebegrebets baggrund og betydning... 6 Matematisk kompetence... 7 Traditionelle og moderne læringsforståelser... 8 Illeris' læringsforståelse... 8 Læringens processer og dimensioner... 9 Læringens indre og ydre betingelser Læringens anvendelsesfelter Geometrisk tænkning Undervisningens dannelse og nytte Handlekompetence som dannelsesideal Matematik i et nytteperspektiv IT i skolen - Nye muligheder og konsekvenser Dynamiske geometriprogrammer Undersøgende arbejdsformer og kommunikationsformer IT og kompetenceudvikling IT i et dannelses- og nytteperspektiv Konklusion og perspektivering Litteratur

2 Indledning Den transformation vores samfund har gennemgået de seneste årtier, begrebsliggøres af nogen som overgangen fra industrisamfundet til vidensamfundet. Vidensamfundet som begreb henviser til et samfund, hvor viden er den dominerende komponent i enhver menneskelig aktivitet, og hvor videnbearbejdning er den vigtigste forarbejdningsform (Sørensen et al., 2010, s. 20). I et sådant samfund har informationsteknologien (IT) fundet vej ind i vores arbejdsliv, privatliv og sociale fællesskaber. Generelt er der ikke mange dele af samfundet, der ikke lader sig berøre af denne forandring. Den har således også fundet ind i skolen som følge af den gensidige spejling mellem skole og samfund. Som konsekvens af disse forandringer, har der i de senere år været et øget fokus på at definere nye kompetencer og stillet krav til skolen om at opnå disse. Undervisningsministeriet har senest udviklet "Fælles mål IT og mediekompetencer i folkeskolen", som beskriver målene for disse kompetencer. De stigende krav har blandt andet betydet, at 93 % af de danske grundskoler har etableret et særligt computer-lokale, hvor udviklingen af disse kompetencer kan finde sted. (Bryderup & Larson, 2008, s. 70 f.) Der er imidlertid sket en udvikling af graden og måden, hvorpå man anvender IT uden for skolen. Her kan det blandt andet nævnes, at IT er blevet en mere trådløs og mobil kommunikationsform, hvilket har skabt grundlag for udviklingen af Web 2.0, der tillader brugere at samarbejde om og dele informationer online, gennem roller som forbruger, modtager, deltager og producent (Sørensen, 2010, s. 48 f.). Tilmed udvikles software i stigende omfang som Open Source, der betyder at folk frit kan hente programmer og udvikle dem, så de følger nye krav om funktionalitet. Det er således også i sådant forandringsperspektiv man må se på skolen anno I 2008 læste jeg en artikel om Søndervangskolen i Hammel, som havde forsøgt at integrere IT som en naturlig del af undervisningen. Tavlerne var fjernet og erstattet af smartboards, og i flere lokaler var der installeret computere langs væggene, så der var en computer til hver anden elev. Projektet var støttet af "Skolen for Fremtiden", et samarbejde mellem virksomheder der støtter udvikling af nye undervisningsmetoder. Den store omvæltning skulle ifølge artiklen have skabt grundlag for, at eleverne lærte mere i undervisningen. I 2010 fik jeg mulighed for at betragte sagens kerne nærmere, som en del af et syv uger langt praktikforløb på Søndervangskolen. Her varetog jeg undervisningen i matematik i to sjetteklasser, som sideløbende have et forløb i emnet "Geometri". I den daglige undervisning og i sparring med lærere og elever fik jeg undervejs en række erfaringer med, hvordan IT kunne bidrage positivt til at udvikle elevernes kompetencer. 2

3 Da jeg efterfølgende reflekterede over de nye erfaringer, jeg havde gjort med brugen af IT i undervisningen, kunne jeg pege på tre områder, hvor jeg mente anvendelsen af IT havde særlig positiv indvirkning. Disse områder kan stilles op i følgende tre hypoteser: Brugen af IT: spiller en vigtig rolle i udvikling af elevernes kompetencer. øger elevernes kommunikation i og med matematikken. har positiv indvirkning på elevernes motivation. Mine hypoteser byggede dog kun på et snævert erfaringsmæssigt grundlag, hvilket var for lidt når jeg spurgte mig selv, hvorfor det havde haft en gavnlig indvirkning på netop disse områder? Desuden havde jeg svært ved at gennemskue, hvordan brugen af IT virkede ind i forhold til elevernes dannelse. Jeg måtte med andre ord erkende, at min didaktiske rationalitet (Dale, 1993) ikke rakte, og havde således at gøre med et emne, der havde brug for nærmere undersøgelse. Problemformulering Hvilke nye muligheder rummer brugen af IT som læremiddel i matematikundervisningen i forhold til elevernes kompetenceudvikling og dannelse? Som eksempel undersøges hvordan et dynamisk geometriprogram kan fremme læringen af geometri. Metode og afgrænsning For at behandle mit problem har jeg valgt at strukturere opgaven ved indledende at introducere og redegøre for de teoretiske emner, der knytter sig til problemet. Under disse afsnit vil jeg fortolke begreberne og definitionerne, ved at kombinere dem med sekundære kilder og knytte dem til undervisning. Første skridt i dette bliver med fokus på de læremidler, der involverer IT. Disse læremidler har forskellige funktioner og indvirkning på elever og lærere, alt efter hvilken type og hvordan de anvendes. For at kunne begribe denne kompleksitet vil jeg anvende Thomas Illum Hansens kategorisering af de forskellige læremidler. Efterfølgende vil jeg kort redegøre for kompetencebegrebets fremkomst og betydning i skolesammenhæng. Per Schultz Jørgensens definition af kompetencebegrebet vil indgå som udgangspunkt for begrebets funktion i den senere analyse. Jeg har valgt denne definition, da jeg ser det som en styrke, at han arbejder med en bred og helhedsmæssig kompetenceforståelse. For at knytte kompetencebegrebet til matematikundervisningen, vil jeg se nærmere på, hvordan kompetencebegrebet indgår som en del af fagets mål. I sammenhæng med kompetencebegrebet påpeger Knud Illeris at der er "[...] en parallelitet med læringsforståelsen, som muliggør en samlet tænkning og behandling af læringen som proces og kompetencen som det, der tilsigtes med denne proces" (Illeris, 2006, s. 144). Derfor vil jeg 3

4 anvende Illeris læringsforståelse som et teoretisk grundlag til at forstå, hvilke betingelser der ligger til grund for udviklingen af elevernes kompetencer. Desuden er Illeris' modeller af læringsforståelsens hovedområder, samt læringens grundlæggende struktur, effektiv at arbejde med i en senere analyse. I sammenhæng med udgivelsen af bogen "Læring (2006)" har han revideret sin læringsforståelse en smule, og det er den fremstilling af teorien, som jeg vil forholde mig til i opgaven. For at kunne undersøge hvordan IT mere specifikt kan støtte udviklingen af geometrisk tænkning, vil jeg benytte en forskningsartikel af Michael T. Battista, da hans forståelse bygger på en sammenfatning af nyere empirisk og teoretisk forskning. I forhold til udviklingen af elevernes dannelse, er det nødvendigt med en afgræsning inden for dannelsesidealernes mange muligheder. Her har jeg valgt at anvende Hans Jørgen Kristensens fremstilling af begrebet handlekompetence, da jeg ser det som en styrke, at han opstiller en model over de grundlæggende kompetencer, som eleverne må udvikle, hvis de skal tilegne sig handlekompetence. For at betragte dannelsen i et mere jordnært perspektiv, vil jeg også kort se på, hvilken nytte man har af matematikken i livet uden for skolen. Dette vil jeg gøre med afsæt i Morten Blomhøjs begrundelser, da han anvender en bred men præcis forståelsesramme for anvendelsen af matematik i skolen. Med udgangspunkt i disse udfoldende teoriafsnit vil jeg forholde mig analyserende og diskuterende til spørgsmålet i min problemformulering. For at underbygge og udfordre dette, vil jeg undervejs inddrage enkelte nye teoridele og anvende empiriske undersøgelser. Empirien er blandt andet fra SITESundersøgelserne 1, som er en kvantitativ international undersøgelse af, hvordan anvendelse af IKT indvirker på læring af undervisning i grundskolen (Bryderup & Larson, 2008). For også at inddrage empiri der knytter særligt an til dynamisk geometri, vil jeg anvende undersøgelser foretaget af NAVIMAT 2 (Vejbæk, 2011), der er et dansk videnscenter, som arbejder med analyse og udvikling af matematikdidaktik. Opgaven munder endeligt ud i en konklusion og perspektivering, hvor jeg forholder mig opsummerende til undersøgelsen af mit problem, og vurderer sandheden i mine tidligere hypoteser. Tilmed vil jeg drage perspektiver, som kan bruges i skolens øvrige virksomhed. 1 Second Information Technology in Education Studies 2 Nationalt Videnscenter for Matematikdidaktik 4

5 IT som læremiddel Skal man danne sig et overblik over de forskellige funktioner, IT har som læremiddel i undervisningen, kan man med fordel skelne mellem tre forskellige funktioner. a) IT-baseret drejebog for undervisningen, b) ITbaseret indhold i undervisningen, og c) IT og medier som rekvisitter, der understøtter undervisningen (Hansen, 2010, s. 106). Læremidler med disse funktioner kan betegnes som henholdsvis didaktiske læremidler, semantiske læremidler og funktionelle læremidler. De didaktiske læremidler kaldes også ofte for undervisningsmidler, da de er produceret med henblik på undervisning i et bestemt indhold. De er kendetegnet ved at være didaktisk forarbejdede i mere eller mindre grad, således at indhold, mål, grupper og andre didaktiske valg kan være truffet på forhånd. Eksempelvis kunne de være designede til bestemte emner inden for geometrien som f.eks. vinkler i en trekant. Eksempler på sådanne læremidler kan være diverse læringsspil, INFA-pakken 3 eller de nye statsstøttede ITIF-læremidler 4, som følger undervisningens trinmål. Inden for undervisningsprogrammer kan disse læremidler yderligere opdeles i træningsprogrammer og simuleringsprogrammer (Østergaard, 2004/2005, s. 8). Simuleringsprogrammerne bruges ofte til at simulere et stort antal hændelser fra virkeligheden som f.eks. kunne være simulering af terningekast. Træningsprogrammerne er udviklet til at træne eleverne i tidligere gennemgåede emner. De er lukkede programmer i den forstand, at de ikke giver muligheder for udforskninger på elevernes initiativ (Otnes, 2009, s. 155), og de responderer kun summativt i form af antallet af korrekte og forkerte svar. Under de semantiske læremidler hører klassiske læremidler som billeder, tekster, film og andre ting som ikke besidder en didaktik i sig selv. Disse læremidler er semantiske i den forstand at de afspejler forskellige tiders normer og værdier fra forskellige dele af verden. Læremidler under denne kategori er ofte til stede i web 2.0-teknologier som Youtube, Wikipedia, samt diverse blogs. De funktionelle læremidler kaldes ofte for redskaber eller værktøjer. Det er nærmere bestemt alle de ting som ikke selv formidler et indhold i undervisningen, men som anvendes til at håndtere indholdet. Eksempler på funktionelle IT programmer kan være Excel, Powerpoint, Notebook eller diverse dynamiske geometriprogrammer. Der er efterhånden produceret en lang række af værktøjsprogrammer, og flere af dem ligger frit tilgængeligt på Internettet. Nogle af programmerne er udviklet til erhvervslivet, mens andre er direkte udviklet til undervisning i matematik. De er karakteriseret ved at have en blank overflade, hvilket betyder at de ikke på forhånd har et indhold, før brugerne af programmet konstruerer, genererer eller 3 Tilgængelig på 4 Læremidlerne fra ITIF (IT i folkeskolen) er tilgængelige på 5

6 aktiverer et indhold (Østergaard, 2004/2005, s. 9). Der er dog også mulighed for at indhente et tidligere forarbejdet indhold. Kompetencebegrebet Kompetencebegrebets baggrund og betydning Gennem tiderne har der været brugt mange forskellige begreber, om det udbytte eleverne skulle have i kraft af deres skolegang. Tidligere brugte man især begrebet kundskaber, hvilket dækkede over både viden og færdigheder, men oftest bare var forbundet med viden (Kristensen, 2007, s. 52 f.). Senere blev dette erstattet af kundskaber og færdigheder i mange sammenhænge, hvor kundskaber var noget der skulle tilegnes, og færdigheder skulle øves. Senere kom så betegnelsen kvalifikationer, som definition på de kundskaber man kan tilegne sig gennem fag, som med afsluttende prøver eller eksamensbeviser, giver adgang til efterfølgende erhverv eller uddannelse. Op gennem 1990'erne og siden, er der igen kommet et nyt begreb på banen, nemlig kompetencebegrebet, som desuden ofte anvendes synonymt med de tidligere begreber. Man kan således med god grund spørge, om ikke det blot er en sproglig justering, eller om der vitterligt er en forskel på betydningen af de tidligere begreber og kompetencebegrebet? Ser man bort fra den ældre betydning af kompetence som myndighed, er det et begreb som er båret frem af organisationspsykologien og moderne management-tænkning, som et ledelsesstrategisk begreb der i bund og grund handler om effektivisering (Hermann, 2005, s. 29 ff.). Herfra har det gennem de seneste femten år vundet frem i områder inden for uddannelse, pædagogik og læring. Det påpeges dog fra mange sider, at begrebet indfanger noget centralt i de forhold der vedrører læring (Illeris, 2006 s.144) og at begrebet skiller sig ud fra de tidligere nævte begreber. Blandt mange andre definitioner af begrebet lyder Per Schultz Jørgensens definition lyder således: "Kompetencebegrebet henviser [...] til, at en person er kvalificeret i en bredere betydning. Det drejer sig ikke kun om, at personen behersker et fagligt område, men også om, at personen kan anvende denne faglige viden - og mere end det: anvende den i forhold til de krav, der ligger i en situation, der måske oven i købet er usikker og uforudsigelig. Dermed indgår i kompetence også personens vurderinger og holdninger - og evne til at trække på en betydelig del af sine mere personlige forudsætninger" (Jørgensen, 1999, s. 4). Ser man nærmere på denne definition, finder man, at der er tale om et mere omfattende begreb end de tidligere anvendte. Der er først og fremmest tale om noget, som gør sig gældende i handling, modsat kvalifikationer som kan være der, uden at de omsættes (Hermann, 2005, s. 9). Det er således også gennem handling med konkrete personer og situationer, at man har mulighed for at udvikle kompetencer. Begrebet handler dog også om at udvikle og omsætte en viden, men en viden som er kontekstuel og situativ samt 6

7 mere bred og personlig forankret end faglig objektiv viden (Ibid., s. 10). Derfor er kompetencer heller ikke funderet i bestemte fag eller en bestemt faglig viden. Matematisk kompetence På trods af at kompetencer ikke er fagligt forankret, er der alligevel fra politisk side, gjort en indsats for at definere matematisk kompetence. I Undervisningsministeriets faghæfte defineres matematisk kompetence med en reference til KOM-rapporten (Niss, 2002) som det at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå" (Undervisningsministeriet, 2009, s. 38). Matematisk kompetence kan på baggrund af KOM-rapporten beskrives som et samlet netværk bestående af otte kompetencer, der er opdelt i to hovedgrupper med hver fire undergrupper. Om de enkelte matematiske kompetencer siger faghæftet: "En matematisk kompetence er en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring" (Ibid., s. 40). Samlet kan dette illustreres i en blomst som vi ser i figur 1, hvor hovedgrupperne står øverst på hver sin side, mens bladene betegner hver af de otte kompetencer. Figur 1: Kompetenceblomsten (Undervisningsministeriet, 2009, s. 39) Som det ses på figuren, overlapper nogle af kompetencerne hinanden, hvilket betyder, at kompetencerne ikke kan adskilles i praksis. De er implementeret som en del af trin- og slutmålene, og er således noget man 7

8 er forpligtet på at forholde sig til og inddrage i forbindelse med bestemmelse af undervisningens mål og indhold. Traditionelle og moderne læringsforståelser Der har altid været forskellige forestillinger om begrebet læring og selv teorier, som har været grundlæggende enige, har forskellige vægtninger. Der er heller ikke nogen entydig forståelse af læring i dag, men på trods af forskellene er der nogle fælles træk i dele af de centrale områder. Man er gået bort fra den traditionelle opfattelse af læring, som ofte kaldes tankpassermodellen, hvori man forstår læring som en overføring af viden fra en person til en anden. Derimod er det en grundlæggende opfattelse i moderne læringsteorier, at læring er en aktiv proces, som den lærende selv gennemfører. Dette sker i mødet med nye impulser, hvorfra der foregår en tilegnelsesproces, hvor de nye impulser relateres til eksisterende viden, kunnen eller forståelse (Schnack, 2002, s. 219). I tilegnelsesprocessen danner den lærende sin egen forståelse ud fra ændringer i både nye og gamle elementer. Således vil læringen også altid have et personligt præg, forstået på den måde at personer ikke altid lærer det samme på trods af de samme impulser, f.eks. gennem undervisning. Da man i den forstand ikke kan overføre læring direkte, handler det i stedet om at skabe rammerne som kan facilitere den tilsigtede læring. En sådan forståelse af læring er et fællestræk i mange af de forskellige varianter af konstruktivistisk læringsopfattelse. Mener man tilmed at læring primært udvikles i tilknytning til sociale og samfundsmæssige forhold, har man en socialkonstruktivistisk læringsopfattelse. I moderne læringsteorier er man dog af den fælles opfattelse, at læring på én gang er et individuelt og et socialt anliggende. Desuden anses læring ikke længere for at være et rent kognitivt forhold, men derimod spiller følelser og motivation en afgørende rolle i læringsudbyttet. (Illeris, 2007, s. 8). Illeris' læringsforståelse Hos Illeris fungerer læring som et overbegreb, hvor ( ) en række processer, der betegnes med ord som socialisering, kvalificering, kompetenceudvikling og terapi, falder ind under det valgte læringsbegreb og betragtes som særlige typer af læreprocesser eller som særlige vinkler at opfatte læring ud fra (Illeris, 2006, s. 16). Overordnet definerer Illeris læring som "enhver proces, der hos levende organismer fører til en varig kapacitetsændring, og som ikke kun skyldes glemsel, biologisk modning eller aldring" (Illeris, 2007, s. 12). Han har valgt denne brede definition på læring, da han arbejder ud fra et bredt forståelsesgrundlag, der både omfatter de psykologiske, biologiske og sociologiske forhold. Illeris kategoriserer ud fra dette grundlag fire hovedområder, som er illustreret i figur 2. Figurens sorte pile markerer områdernes indbyrdes forhold, hvilket vil være udgangspunkt for dele af den senere analyse. 8

9 Figur 2: Læringsforståelsens hovedområder (Illeris, 2007, s. 13) Læringens processer og dimensioner Området for læring er figurens centrale element. Det dækker over læringens processer og dimensioner, forskellige typer af læring samt forskellige former for læringsbarrierer. Her vil jeg afgrænse mig til at se nærmere på de muligheder, der kan skabes under læringens processer og dimensioner. Ifølge Illeris omfatter al læring en samspilsproces og en tilegnelsesproces, som er to forskellige processer, der begge skal være aktive for at vi kan lære (Illeris, 2006, s. 35 ff.). Processerne er forskellige men forekommer normalt samtidigt, og kun i enkelte tilfælde tidsmæssigt forskudt, eksempelvis i forbindelse med refleksion. Samspilsprocessen er nærmere betegnet det samspil, der er til stede mellem individet og de sociale og materielle omgivelser. Tilegnelsesprocessen omfatter den interne bearbejdelse og tilegnelse af impulserne fra samspillet. Det vil typisk foregå således, at de nye impulser og påvirkninger sammenknyttes med resultatet af tidligere læring, hvilket endeligt skaber læringens personlige produkt eller resultat 5. Med udgangspunkt i disse to processer, danner Illeris en trekantet læringsmodel, som illustreret i figur 3. 5 I relation til tilegnelsesprocessen skelner Illeris mellem fire læringstyper assimilation, akkommodation, kumulation og transformation, hvoraf en vekselvirkning mellem de to førstnævnte er den mest forekommende (Illeris 2006, s 44 ff.) 9

10 Figur 3: Læring som udvikling af kompetence (Illeris, 2006, s. 42) Den øverste vandrette dobbeltpil betegner tilegnelsesprocessen, mens den lodrette dobbeltpil betegner samspilsprocessen. Tilegnelsesprocessens dobbeltpil markerer, at den altid omfatter to forskellige dimensioner, et indhold og en drivkraft. Indholdet drejer sig om det der bliver lært, man kan så at sige ikke lære, uden at man lærer et indhold. Typisk vil dette dreje sig om udviklingen af viden, forståelse og færdigheder. Med dette ønsker man at skabe mening og opnå en form for mestring, som igen udvikler vores funktionalitet. Drivkraften dækker over mobiliseringen af den psykiske energi, som læringen kræver og omfatter således motivation, følelser og vilje. Desuden er det sådan, at karakteren af drivkraften har betydning for karakteren og holdbarheden af det lærte. Lærer man med stor motivation og engagement, vil læringen derfor være mere nuanceret og huskes lettere. Gennem drivkraften tilstræber man generelt at opretholde en stabil psykisk balance, som igen udvikler vores sensitivitet eller følsomhed. Samspilsprocessens dobbeltpil markerer, at den omfatter en tredje dimension, som er selve samspillet samt dennes indvirkning på tilegnelsesprocessen. Samspillet finder sted mellem individet og den sociale og materielle omverden og gør sig gældende på to niveauer. Det ene er det sociale og nærværende niveau, som for eksempelvis foregår i klasseværelset eller under gruppearbejde. Det andet er på et samfundsmæssigt niveau og er således et mere overordnet samspil. Væsentlige elementer under samspilsdimensionen omfatter handling, kommunikation og samarbejde, hvorigennem vi forsøger at opnå social og samfundsmæssig integration og udvikler vores socialitet. 10

11 Læringens indre og ydre betingelser Læringens indre betingelser er i læringssammenhæng ofte betegnet som individets forudsætninger, ud fra de individuelle dispositioner man har udviklet. Betingelserne udvikles løbende i hele livet gennem samspillet. Det er en kendsgerning, at individer har forskellig læringskapacitet og forskellige læringspræferencer, som til dels også har tilknytning til køn og alder. Den Schweiziske psykolog Jean Piaget har som en del af sin konstruktivistiske læringsforståelse understreget, at der kan knyttes forskellige læringsmuligheder til forskellige perioder eller stadier af menneskets biologiske modning og kognitive udvikling (Imsen, 2006, s. 204 ff.). Selvom der har været en omfattende kritik af stadieteorien, er det et faktum, at der er en naturlig sammenhæng mellem børns alder og deres biologiske og kognitive udvikling (Illeris, 2006 s. 223). Læringens ydre betingelser spænder over en bred vifte af ydre forhold. Det drejer sig blandt andet om de samfundsmæssige, politiske og kulturelle betingelser, som altid har haft afgørende betydning for menneskets læringsmuligheder. Ligeledes drejer det sig om, det man kan betragte fra et personligt perspektiv, så som den aktuelle situation, med dens tilhørende hændelser, aktører og rammer. Som det fremgår af samspilsprocessen, har individers forhold til deres omverden afgørende betydning for læringen. I forhold til de nævnte ydre betingelser, vil al læring været situeret, hvilket vil sige, at de ikke alene indvirker på læringen, men også indgår som en integreret del af den (Illeris, 2006 s.108) Det er således vigtigt at være opmærksom på det ydre samfunds karakter, samt de nære rammer læringen foregår i. Illeris bruger begrebet læringsrum som en betegnelse for " [...] den direkte ydre sammenhæng, læringen finder sted i, og det kan bruges både om en konkret læringssituation og mere generelt om forskellige typer af læringssammenhænge" (Illeris, 2007, s. 29). Det moderne samfund er opsplittet i flere læringsrum, hvor nogle af de væsentligste er læring i hverdagslivet, uddannelseslivet og arbejdslivet. I praksis er disse læringsrum typisk opdelt i en række delrum, som eksempelvis skolens fag og fagenes forskellige arbejdsområder. På samme måde bliver vores læring ofte opdelt, da den er knyttet til disse læringsrum, som følge af at læringen er situeret. I forbindelse med tilegnelsesprocessen betyder dette således, at der opbygges usammenhængende skemaer gennem assimilativ læring i de forskellige læringsrum. Illeris påpeger, at det er vigtigt, at der forekommer en sammenhæng mellem skemaerne gennem akkomodative processer (Illeris, 2006, s. 239). Sagt anderledes er det altså vigtigt, at man i skolen gør sig bestræbelser på, at eleverne kan forstå og anvende læringen på tværs af de forskellige læringsrum og delrum. Dette er dog ifølge Illeris en udfordring, som skolerne og uddannelserne altid har haft problemer med. 11

12 Læringens anvendelsesfelter I det moderne samfund har vi udviklet ét særligt felt, der arbejder med læring, nemlig uddannelsessektoren. Her fokuserer man grundlæggende på udvikling af nødvendig eller hensigtsmæssig læring for alle landets borgere. Læringssektoren omfatter en lang række af mindre felter men kan overordnet deles op i et uddannelsespolitisk niveau og et praksisniveau. Ifølge Illeris har der, inden for uddannelsespolitikken i de seneste 50 år, været en klar tendens til, at uddannelse og læring er blevet opfattet som en slags produktionsprocesser (Illeris, 2007, s. 33). Gør man sig et historisk tilbageblik, argumenterede professor og tidligere politiker, Thorkil Kristensen, i 1971 som en af de første for, at man behandlede kundskab som en selvstændig produktionsfaktor på linje med arbejdskraft, jord og kapital (Korsgaard, 1999, s. 20). Denne holdning er på mange måder blevet udgangspunkt for den verden vi lever i, og kommer til udtryk i uddannelsessektoren som indføring af mere kontrol, reguleringer, evalueringer og tests. Illeris pointerer dog at en sådan udvikling er meget uhensigtsmæssig set fra et læringsperspektiv: "[...] i disse år er man desværre godt i gang med at sætte en sådan rimelighed over styr, fordi man i forsøget på en rationel styring har en tilbøjelighed til at overse, at der ikke er tale om rationelle processer. Effektiv og hensigtsmæssig læring kræver en stor grad af råderum, frihed og fleksibilitet for både de lærende selv og for dem, der som undervisere eller administratorer skal befordre læringen" (Illeris, 2007, s 34). Praksisniveauet handler om, hvordan læringsaktiviteterne iværksættes og gennemføres. Med udgangspunkt i læringens tre dimensioner, som tidligere er beskrevet, gør Illeris sig nogle overvejelser over hvilke grundlæggende didaktiske principper, der er særligt væsentlige i skolen i dag, og hvilke der burde vægtes højere (Illeris, 2007, s. 34 f.). I forhold til indholdet er det vigtigt, at der er sammenhæng mellem det tilsigtede læringsindhold og deltagernes forudsætninger. Dette er dog også et princip, som man sædvanligvis tillægger stor værdi ifølge Illeris. Derimod mener han, at der burde lægges større vægt på de områder, der vedrører drivkraftsdimensionen. Som oftest fokuserer man her på, hvordan eleverne kan motiveres via forud fastlagte aktiviteter, men ifølge Illeris burde man i langt højere grad orientere sig om, hvordan man, gennem medbestemmelse og dialog, kan bygge på den motivation og erfaringsbaggrund som eleverne selv kommer med hjemmefra. Endelig må man i forhold til samspilsdimensionen, forsøge i nogen grad at komme ud over den klassiske formidlingsform eller instruktionsform, hvor læreren dikterer undervisningens gang. Ifølge Illeris bør der i høj grad indgå samspilformer som oplevelse, virksomhed, og deltagelse, da disse samspilformer i højere grad lægger op til deltagernes involvering og engagement. 12

13 Geometrisk tænkning Michael Battista har skrevet en sammenfatning af nyere empirisk og teoretisk forskning i, hvordan geometrisk tænkning udvikles (Battista, 2007). Et af kernebegreberne er spatial ræsonnement 67 (spatial reasoning), som er grundlæggende for de fleste tanker om geometri (Ibid., s. 843). Han definerer spatial ræsonnement som: "[...] the ability to "see," inspect, and reflect on spatial objects, images, relationships, and transformations. Spatial reasoning includes generating images to answer questions about them, transforming and operating on images, and maintaining images in the service of other mental operations" (Ibid., s. 843). I den sammenhæng skelner Battista overordnet set mellem perceptuelle objekter (perceptual object) og begrebsobjekter (conceptual object) (Ibid s 844). Perceptuelle objekter er dannet gennem bevidste og ubevidste mentale tilegnelser af fysiske objekter fra vores omverden. Ét perceptuelt objekt består således af mange forskellige associerede billeder og egenskaber og er forskellig fra person til person. Begrebsobjekterne er derimod formelle og bevidst tilegnede sammenstillinger, som er dannet med udgangspunkt i de udviklede perceptuelle objekter eller andre begrebsobjekter. Det er derfor også vigtigt, at de perceptuelle objekter er nuancerede, da det vil styrke evnen til at udvikle begrebsobjekterne og øge sandsynligheden for, at de forstås korrekt. I skolen må uformelle perceptuelle objekter indgå som et slags fortrin i udviklingen af spatiale ræsonnementer. Dernæst er spatiale ræsonnementer også både en del af og forudsætning for at udvikle begrebsobjekter. Undervisningens dannelse og nytte Hvis man skal gøre sig tanker om, hvordan skolens fag og indhold kan begrundes, kan man vælge at orientere sig gennem to klassiske argumenter, dannelsesargumentet og nytteargumentet (Sjøberg, 2005, s. 179). Dannelsesargumentet tager først og fremmest udgangspunkt i spørgsmålet om, hvilket dannelsesmål der skal danne grundlag for skolens fag. Nærmere betegnet må det dreje sig om, hvilken dannelse der er nødvendig, at eleverne udvikler, i det samfund de er og fortsat bliver en vigtig del af. Næste skridt er så fagdidaktikkens opgave om at identificere et undervisningsindhold for de enkelte fag, som bidrager til udviklingen af de overordnede dannelsesmål (Blomhøj, 2001 s. 231). Nytteargumentet har derimod fokus på, den nytte faget bidrager med til at kunne begå sig i det moderne vidensamfund. Forskellige bud på 6 Egen oversættelse af dette og efterfølgende begreber. 7 En oversættelse til rumlig er ikke dækkende, da ordet spatial dækker både forhold i planen og i rummet 13

14 sådanne dannelses- og nytteargumenter vil blive udfoldet i de følgende afsnit, hvor nytteargumentet vil blive eksemplificeret ud fra matematikfaget. Handlekompetence som dannelsesideal Skal man se nærmere på skolens dannelsesmål, kan man tage udgangspunkt i Folkeskolelovens formålsparagraffer, som siger at "Folkeskolen skal udvikle arbejdsmetoder og skabe rammer for oplevelse, fordybelse og virkelyst, så eleverne udvikler erkendelse og fantasi og får tillid til egne muligheder og baggrund for at tage stilling og handle" (Folkeskoleloven, 2006, 1 stk. 2) samt at "Folkeskolen skal forberede eleverne til deltagelse, medansvar, rettigheder og pligter i et samfund med frihed og folkestyre. Skolens virke skal derfor være præget af åndsfrihed, ligeværd og demokrati" (Ibid., 1 stk. 3). Således er man som underviser forpligtet på at arbejde mod et dannelsesperspektiv, der sigter på demokratisk dannelse. Begrebet handlekompetence betegner politisk, demokratisk dannelse (Kristensen, 2007, s. 40) og kan således være et bud på et dannelsesideal, der opfylder formålsparagraffernes krav. Dannelsesargumentet, og det overordnede sigte i handlekompetence, er at gøre eleverne kompetente til at kunne tage aktivt del i samfundet, ud fra et demokratisk grundlag. Dette er vigtigt, da der venter dem en ukendt og usikker fremtid, som kan se forskellig ud alt efter de valg de træffer undervejs i livet. Ulrich Bechs beskrivelse af risikosamfundet er et billede på, hvordan vores system består af mange fordele, men også har flere ikke tilsigtede konsekvenser (Ibid., s 39). Det er således nødvendigt at udvikle handlekompetence hos eleverne, så de kan undersøge, analysere, vurdere, tage stilling og handle i en sådan verden på baggrund af egne holdninger. Dette kræver dog, at eleverne udvikler selvstændighed og tillid til sig selv og til fællesskabets muligheder. Både nære fællesskab som i klassen, men også det større samfundsmæssige fællesskab. Hvis eleverne ikke tror på fællesskabets muligheder, vil de højst sandsynlig ikke tage del i drøftelser om nutidige og fremtidige samfundsspørgsmål. Målet for udviklingen af handlekompetence beskriver Kristensen i syv overordnede kompetencemål, og ud fra disse mål skaber han en strukturmodel, der indeholder de delkompetencer, man må udvikle i skolen. 14

15 Figur 4:: Handlekompetence beskrevet i en strukturmodel (Kristensen, 2007, s. 47) Delkompetencerne er illustreret i form af bobler, med forbindelseslinjer, der viser sammenhængen imellem dem.. Boblen i midten indeholder delkompetencen delkompe indsigt. I stedet for indsigt kunne der også være v brugt betegnelsen viden.. Begrebet beskriver, beskriver at der må udvikles en indsigt i forskellige vidensområder og mere end blot faktakundskaber. At boblen står i midten betyder ikke, ikke at den er tillagt større betydning end de øvrige delkompetencer, men blot at der er indsigt forbundet med alle andre delkompetenc kompetencer. Hele boblen hviler på et fundament af selvtillid og tillid til fællesskabets muligheder, muligheder, som er den mest grundlæggende del af handlekompetencen. Man kan godt betragte de enkelte delkompetencer kompetencer i en analysesammenhæng, a men i praksis må de opfattes som et samlet hele, som ikke kan adskilles, og man bør ikke nøjes med at arbejde med kompetencerne adskilt. Ifølge Jørgen Kristensen stensen vil dette resultere i "[...] " en praksis, hvor undervisning og læringen bliver reduceret til færdigheder og teknik i stedet for at blive fastholdt i forløb, hvor eleverne arbejder problemorienteret, undersøgende, erkendelsessøgende og i stort omfang tværfagligt." (Ibid., s. 51). Desuden anvendes delkompetencerne i en naturlig sammenhæng, sammenhæng når handlekompetencen er i brug udenfor skolen. skolen Derfor må man også i skolesammenhæng forsøge, forsøge at skabe undervisningsforløb, der trækker på flere af delkompetencerne. 15

16 Matematik i et nytteperspektiv Skal matematikken begrundes ud fra dens nytte i samfundet, er det nødvendigt at betragte matematik som et bredt videns- og virksomhedsområde (Blomhøj, 2001, s. 234). Morten Blomhøj giver følgende bud på, hvordan skolens matematik kan betragtes gennem en tilsvarende bred forståelsesramme ved at opfatte anvendelse af matematik som brug af "[...] tal, tabeller, formler, sandsynligheder, grafiske repræsentationer af tal, og geometriske beskrivelser af figurer, mønstre og kort, edb-baserede repræsentationer af tal, beregninger og figurer, samt statistiske beregninger" (Ibid. s 234). Set ud fra denne definition anvendes matematik i høj grad i vores hverdagsliv og arbejdsliv. I hverdagslivet indgår matematik eksempelvis i vores tids- og kalendersystem, hvor det kan være vigtigt at tyde en rejseplan i forskellige repræsentationer, eller vide hvor lang tid vi har til at vores forskellige gøremål. Det indgår også i vores penge- og pris system, som vi bruger når vi køber ind, betaler regninger og strukturerer vores privatøkonomi. Mange steder tilbydes former for spil, som skrab, tips og lotto, som man må forholde sig vurderende til. Desuden indgår matematik i vores sundhed, ved kalorieafrejning, risici for sygdomme osv. I arbejdslivet indgår matematik i ting som lønafregning, køb og salg, sygefravær, planlægning af transport, videreuddannelse mm. Arbejdspladser efterspørger i stigende grad et antal af personlige komptencer, der også i et vidst omfang forudsætter matematiske kompetencer (Ibid. s. 237). Tilmed må vi i mange sammenhænge forholde os til en række af forskellige matematiske modeller. Modellerne kan forsøge at beskrive, forudsige eller forudskrive nogle af de dele af vores omverden, som står uden for matematikken. Det kan eksempelvis dreje sig om risikomodeller, samfundsproblemer, økonomiske modeller og meget andet. (Ibid. s. 238 ff.) Som man kan se ud fra disse eksempler, indgår matematik i mange dele af i vores samfund. Matematik er således ikke bare noget man kan vælge fra, og det er en vigtig forudsætning for, at kunne forstå og forklare vores virkelighed, forholde os kritiske til den og ikke føle os fremmedgjorte i den. IT i skolen - Nye muligheder og konsekvenser Overordnet set kan man betragte opgavens problemstilling ud fra Illeris model over læringsforståelsens hovedområder (figur 2). De nye muligheder i brugen af IT kommer i spil som en del af læringens anvendelse på praksisniveauet. Før man kan forstå denne praksis, må man dog kende og forstå de områder, der har betydning for praksisområdet. Disse områder har jeg udfoldet i det foregående, og det er nu muligt at analysere og diskutere disse områders indvirkning i form af muligheder og konsekvenser for praksis, som i modellen er illustreret med sorte pile. Undervejs vil der opstå behov for at inddrage enkelte nye teoridele, som således vil indgå i sammenhæng med analysen og diskussionen. 16

17 Dynamiske geometriprogrammer Programmer som GeoMeter, Geogebra og Cabri er alle dynamiske geometriprogrammer (DGP), som kan arbejde med plangeometri og til dels også rumgeometri. I programmernes menuer kan man træffe en række valg, eksempelvis kan man vælge at afsætte et punkt, tegne en linje, afsætte midtnormaler og meget mere. Menuerne bruger matematisk teminologi og symbolsprog og kan indstilles til at bruge dansk sprog. Den matematiske terminologi kan træne elevernes fagsprog men betyder også, at brugen af programmet forudsætter også et vist kendskab til matematiske begreber. Hvis man konstruerer en trekant som et frit objekt, gør programmet nu trekanten dynamisk i den forstand, at man har ubegrænsede muligheder for at flytte, ændre eller udvikle den. Man kan eksempelvis ændre på vinkler, sidelængder, størrelse osv., ved at trække i trekantens hjørner. Sådan kan man hurtigt skabe mange forskellige trekanter og ændre deres egenskaber. Desuden vil der ikke forekomme samme unøjagtighed i målinger, som der gør på papiret, og på den måde undgår man i højere grad at skabe forvirring eller fejllæring. Samtidig kan programmet sættes til konstant, at måle de egenskaber der ændres så som vinkler og sidelængder. Der er også mulighed for at knytte objekter sammen, så man kan undersøge figurerne i en sammenhæng. Programmerne er åbne i den forstand, at de giver mulighed for at arbejde undersøgende og eksperimenterende med udgangspunkt i egne konstruktioner (Otnes, 2009, s. 155 f.). De er ofte udviklet med udgangspunkt i euklidisk geometri, hvilket betyder, at eleverne må have en vis forståelse for, hvordan geometriske figurer konstrueres trin for trin. Hvis dette ikke er tilfældet, er der dog mulighed for, at en sådan forståelse kan udvikles gennem en eksperimenterende tilgang. I forhold til teorien om udvikling af geometrisk tænkning, kan arbejdet i dynamiske geometriprogrammer støtte elevernes evne til at foretage spatiale ræsonnementer gennem udvikling af elevernes perceptuelle objekter og begrebsobjekter. Eleverne vil danne mange nye perceptuelle objekter, når de arbejder med dynamiske konstruktioner. De vil trænes i at genskabe bestemte geometriske former og se dem indgå i mange sammenhænge, hvor de tager sig forskelligt ud men stadig bevarer deres særlige egenskaber. Dette kan således styrke dem i den senere udvikling af begrebsobjekter. Et eksempel kunne være, at eleverne arbejder med et kvadrat og en vinkelret trekant ved at rotere, spejle eller ændre størrelsen på dem. Derved kunne de opdage, at kvadrater ikke altid har horisontale og vertikale sider, og at rektangler ikke altid har en horisontal og vertikal katete. Som læremiddel vil DGP typisk være kategoriseret som funktionelle læremiddeler, da de som udgangspunkt ikke besidder et didaktisk forarbejdet indhold, men anvendes som et værktøj til at håndtere et indhold. Programmernes blanke overflade skjuler de udregninger, som foretages af computeren, mens eleverne arbejder i det. Eleverne kan således fokusere på noget andet end disse udregninger og komme skridtet 17

18 videre og se på og analysere konstruktionernes funktioner og sammenhænge. Eksempelvis kunne eleverne undersøge sammenhængen mellem en cirkels omkreds og areal uden brug af formler. Dette giver muligheder for at arbejde med langt mere komplekse matematiske problemer, som eleverne ellers ikke ville have kompetencer til at håndtere. Tilmed giver det mulighed for, at arbejde med flere af de problemer man beskæftiger sig med uden for skolen. Som vi tidligere har set, er sådan en kobling vigtig, da meget af vores læring er knyttet til, de læringsrum den udvikles i som konsekvens af, at læringen er situeret. Den læring der foregår i skolen vil altid være en institutionaliseret læring og således også en unaturlig læring, grundet de rammer den indgår i. Eleverne vil imidlertid indgå i andre læringsrum så som arbejdslivet, og det er derfor en del af skolens opgave at udvikle læring, der kan bruges i disse sammenhænge. Her er det vigtigt, at skabe nogle tværgående elementer af læring, der kan sammenkæde læringsrummet i skolen med andre læringsrum. Ifølge Illeris er dette et problem, som skolen altid har haft svært ved at løse (Illeris, Læring, 2006, s. 240). Arbejdet med dynamisk geometri kan være en mulighed for at mindske dette problem, da det giver en række nye muligheder for at udvikle og arbejde med sådanne tværgående elementer. Man kan eksempelvis arbejde med modeller af virkelige bygningskonstruktioner, broer, fliselægninger, grundplaner osv. som man også beskæftiger sig med i arbejds- og erhvervslivet. Ser man nærmere på Per Schultz Jørgensens definition, handler kompetenceudvikling også om mere end udvikling af faglig viden. Tilmed skal man kunne anvende denne viden "i forhold til de krav, der ligger i en situation, der måske oven i købet er usikker og uforudsigelig". Desuden peger matematisk kompetence på noget, der omfatter "matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge". Dermed er der også indlejret tanker om læringens funktion uden for skolen i kompetencebegrebet. Inddragelsen af dynamiske geometriprogrammer indgår allerede som et formelt krav til matematikundervisningen. Under trinmål for 6 klasse står der, at eleverne skal kunne "bruge it til at undersøge og konstruere geometriske figurer" (Undervisningsministeriet, 2009, s. 7) og under trinmål for 9.klasse skal eleverne kunne "bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer" (Ibid. s 9). Ser man på NAVIMATs undersøgelse (Vejbæk, 2011), der er foretaget på baggrund af 1219 besvarelser af danske folkeskolelærere, ser det dog ud til, at dette krav kun opfyldes i ringe grad. I forhold til anvendelsen af programmerne Geometer, Geogebra og DataMeter, viste det sig, at kun 10 % af lærerene anvender et af programmerne "et par gange om måneden eller mere" (Vejbæk, 2011, s. 5). Det betyder at 9 ud af 10 lærere har angivet, at de sjældent eller aldrig anvender programmerne. Undersøgelsen peger endvidere på nogle af de årsager, der ligger til grund for en manglende brug af IT programmer i matematikundervisningen. Blandt disse årsager kan nævnes manglende lyst, evner, kendskab, tid, tilgængelighed samt problemer med hardware eller software. Disse årsager vil vi ikke gå yderligere i dybden med men blot påpege, at der findes mange forskellige årsager. Der 18

19 nævnes dog endnu en årsag, flere har givet udtryk for, som jeg finder særlig vigtig at pointere. En lærer skriver: "[...] de er ikke brugervenlige m.h.t at afsætte afstande f.eks., så resultatet er ofte, at det der skulle blive til en oplevelse af læring forsvinder i praktisk brug af p.c.er" (Vejbæk, 2011, s. 6). Et problem som dette sker når programmets tekniske funktionalitet, bliver det dominerende indhold i elevernes tilegnelsesproces. En norsk undersøgelse viser, at det er en kendsgerning, som mange lærere oplever, når de anvender IT i undervisningen (Sørensen, 2010, s. 63). Man kan således spørge, om man ikke burde nedprioritere brugen af IT, da det optager meget tid, der kunne være brugt mere nyttigt på andre områder? Det er muligt, at målet ikke altid opvejer midlet, og der ligger en stor didaktisk opgave for læreren i at planlægge sig ud af dette problem. Det er dog uundgåligt at bruge noget af tiden på at introducere de nye teknologier og deres funktioner i undervisningen, og som vi har set, er brugen af dem et formelt krav i faghæftet. Desuden kan man forsvare en vis fokusering på den tekniske del af programmerne, ved at betragte det som et semantisk læremiddel. I en sådan sammenhæng vil programmerne være semantiske, fordi de bruges på en fagligt set betydningsbærende måde, der henviser til den professionelle praksis uden for skolen (Hansen I. T., 2010, s. 110 f.). Et udgangspunkt som dette finder man ligeledes i målet om udvikling af hjælpemiddelskompetencen, som blandt andet lyder således i trinmål for 9.klasse: "kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer" (Undervisningsministeriet, 2009, s. 9). Man kan dermed betragte vanskeligheder ved programmernes tekniske funktioner, på lige fod med de vanskeligheder eleverne kan have ved at håndtere konkrete hjælpemidler som passer og vinkelmåler. Dermed ikke sagt at det bør indgå som det primære element i undervisning. En måde at modvirke dette er i øvrigt, at gøre sig selv og eleverne bevidste om de centrale faglige sammenhænge, der skal indgå i undervisningen (Blomhøj, 1999, s. 4). Læreren kan også med fordel lave nogle af konstruktionerne på forhånd, som eleverne kan arbejde ud fra. Man må dog være bevidst om, at man igen ændrer programmets funktion som læremiddel. Hvis man medtænker didaktiske overvejelser som indhold og mål, ændrer man programmet til at være et didaktisk læremiddel og begrænser derved nogle af elevernes muligheder. Her kan opstå det problem, at eleverne ikke får mulighed for, at tage kontrollen over den undersøgende mulighed programmet giver. (Ibid. s 4.) Konsekvensen af en såden undervisning beskrives i det følgende afsnit. Undersøgende arbejdsformer og kommunikationsformer Under afsnittet om læringens processer og dimensioner så vi, hvordan læringen afhænger af den samspilsproces den indgår i. Hvis eleverne skal lære geometri gennem brugen af DGP, er det vigtigt at se nærmere på, hvordan denne samspilsproces forløber mellem henholdsvis elever og programmer, elever 19

20 indbyrdes samt mellem lærer og elever. Som vi tidligere har set, giver geometriprogrammernes dynamiske funktion mulighed for, at eleverne kan arbejde med geometrien gennem en undersøgende og eksperimenterende arbejdsform. Skal man forstå, hvilke kvaliteter der knytter sig til en sådan arbejdsform, kan man tage udgangspunkt i Ole Skovsmoses begreb om undersøgelseslandskaber (Skovsmose, 2003). Skovsmose giver ikke nogen klar definition på begrebet, da et undersøgelseslandskab er relativt. Man kan dog komme det nærmere ved at se på, hvad det adskiller sig fra. Her nævner han organisering af undervisningen som et opgaveparadigme (ibid. s148). Omdrejningspunktet for en sådan undervisning er opgaver og opgaveløsning på baggrund af et introduceret stof eller emne. Efter opgaverne er løst, kommer turen til at korrigere eventuelle fejl ved elevernes besvarelser. Opgaverne er formuleret, så der er ét muligt svar på et matematisk spørgsmål. Opgaveparadigmet er således stærkt facitorienteret. Anderledes er det for undersøgelseslandskaber, da de ikke på forhånd har nogen formuleret opgave. Det er derimod meningen, at læringsmiljøet eller landskabet inviterer eleverne til at foretage en udforskning på baggrund af deres egen nysgerrighed. I opgaveparadigmet afspejler der sig en bestemt kommunikationsform mellem lærer og elev(er), som Skovsmose kalder GHLT 8 (Alrø & Skovsmose, 2005, s. 5) og som kan sammenlignes med kommunikationsformen i IRE-modellen 9 (Skott, 2008, s. 241). Det typiske for denne kommunikationsform er, at læreren sætter en interaktion i gang, oftest i form af et spørgsmål, som eleverne svarer på, hvorefter læreren evaluerer svaret. Kommunikationsmønsteret stopper her, hvis elevens svar stemmer overens med det læreren søger. Hvis dette ikke er tilfældet, udbygges med en ny igangsætning, der er en gentagelse eller forsimpling af spørgsmålet. På den måde kan det for eleverne blive en undervisningsform, der går ud på, at gætte hvad læreren tænker. En sådan kommunikationsform forekommer stadig hyppigt i meget nyere matematikundervisning (Ibid., s. 244). Dette kan skyldes, at læreren har næsten fuld kontrol over samtalen og således ikke risikerer at komme i uforudsete situationer, som for nogen lærere kan føles ubehagelige. Organiseres undervisningen på denne måde, har det dog nogle konsekvenser man skal være opmærksom på. For det første er elevernes respons på lærerens spørgsmål minimal. Dette er et problem i forhold til læringsteorien, hvor vi har set, at læring kun kan foregå gennem en aktiv proces, som den lærende selv gennemfører. Elevernes mulige udfoldelse er begrænset i forhold til lærerens facit, og dermed skabes der kun i ringe grad en egentlig samspilsproces. For det andet kan en sådan facitorientering føre til, at eleverne udvikler et mekanisk syn på, hvad matematik er, og hvordan matematik løses. For det tredje kan det hæmme drivkraften hos eventuelle svage eller usikre elever, da de sjældnere vil få en anerkendende respons fra læreren som følge af, at der kun findes ét rigtigt svar. Undersøgelseslandskabet tager udgangspunkt i en helt anden kommunikationsform, og faktisk er det 8 "Gæt Hvad Læreren Tænker" 9 Initiation-Reply-Evaluation 20

21 et kriterium for, at der overhovedet kan være tale om et undersøgelseslandskab. Når læreren har introduceret et tema, kan eleverne lade sig inspirere af dette, men målet for undersøgelsen er, at lærerens undringsspørgsmål som Hvad nu hvis.. efterhånden erstattes af elevernes egne Hvad nu hvis.. og Hvorfor nu det?, som herefter bliver retningsgivende for videre undersøgelser. Undersøgelseslandskaber kan naturligvis også skabes uden brug af IT eksempelvis med sømbræt eller centicubes. Som vi allerede har set, er der dog mange oplagte fordele ved værktøjsprogrammer som DGP. De åbne programmer giver uanede muligheder for, at eleverne kan anvende dem til at fortage undersøgelser, med udgangspunkt i konstruktioner de selv har udviklet. På den måde har læreren også mulighed for at udfordre eleverne med spørgsmål og kommentarer uden at overtage styringen af deres virksomhed. Desuden giver de dynamiske funktioner mulighed for, at eleverne kan koncentrere sig om selve processen i stedet for facit. Da jeg præsenterede eleverne for DGP under min praktik, var det helt nyt for dem. Her oplevede jeg, at de var meget fokuserede på at finde et bestemt facit og til tider frustrerede over, at dette ikke kunne lade sig gøre. De opfattede det som helt grundlæggende, at opgaver i matematik var noget man løste med et facit, og det tog derfor en del tid at overbevise dem om, at der fandtes andre måder arbejde med matematikken, som er mindst lige så vigtige. Man kan spørge, om hele matematikundervisningen i stedet burde formes som et undersøgelseslandskab og dermed helt droppe opgaveparadigmet? Som altid er elever forskellige, og nogle vil befinde sig bedre i et opgaveparadigme end i et undersøgelseslandskab. Skovsmose pointerer også, at det ikke er meningen at al undervisning skal formes som et undersøgelseslandskab: "Den enkelte klasse og lærer må finde en fælles rytme og sammen bevæge sig rundt mellem forskellige typer læringsmiljøer" (Skovsmose, 2003, s. 152). Han foreslår seks forskellige miljøer, der på forskellig vis befinder sig under opgaveparadigmet eller undersøgelseslandskabet, og som har mere eller mindre grad af reference til virkeligheden. Det vigtige er, at man udfordrer opgaveparadigmet ved at bevæge sig rundt mellem disse forskellige typer af miljøer. Dermed baserer en større del af undervisningen sig på aktive former for dialog, hvor eleverne deltager på selvstændig vis. Vi har tidligere set, at handling, kommunikation og samarbejde er vigtige elementer i samspilsprocessen for udviklingen af elevernes læring. Helle Alrø og Ole Skovsmose har set nærmere på, hvilke dialogiske talehandlinger der særligt er med til at øge kvaliteten af den matematiklæring, der finder sted. Her har de samlet otte dialogiske talehandlinger, som hermed danner kernen i IC-modellen (Inquiry Cooperation Model). 21

22 Figur 5: IC-modellen (Alrø & Skovsmose, 2005, s. 7) En undervisnings- og læreproces, der er præget af en eller flere af disse dialogiske handlinger i forskellige mønstre og kombinationer, har ifølge Alrø og Skovsmose dialogiske kvaliteter, der fremmer læringen hos eleverne. For at disse dialogiske handlinger kommer i spil mellem lærer og elever eller elever indbyrdes, er det imidlertid en forudsætning, at man inddrager undersøgende aktiviteter i undervisningen. Dialogen spiller også en vigtig rolle i målsætningen om at efterleve princippet om undervisningsdifferentiering. Et afgørende kriterium for at dette princip efterleves er, at undervisningen er "[...] orienteret mod at tage højde for elevernes forskelligheder i et samarbejdende læringsfællesskab" (Rasmussen & Lund, 2006, s. 266). Når læringen er personlig konstrueret, kan undervisningens indhold ikke tilrettelægges, så eleverne tilegner sig den samme læring uanset om undervisningen differentieres. Eleverne vil altid danne deres egen forståelse på baggrund af deres forskellige individuelle forforståelser. Spørgsmålet er så, hvordan disse forskelle kan tænkes ind i en sammenhæng, når man underviser med IT? Man kan finde et muligt svar i en metafor af Jens Lund, hvor han betragter undervisningen som et kollektivt skulpturskaberi 10 (Ibid., s. 276). Alle der er involverede i skabelsen af denne skulptur, vil se skulpturen fra forskellige vinkler, når de betragter den, men det er stadig et fælles projekt. Alle kan se mening i skulpturen, efterhånden som den skabes, men oplevelserne af den vil forblive forskellige, alt efter hvilken vinkel den betragtes fra. Eneste mulighed for at arbejde med skabelsen af skulpturen, er derfor ved at kommunikere om den. Idéen i denne metafor kan på samme måde tænkes ind i elevernes arbejde med DGP. Når eleverne arbejder med dynamiske konstruktioner, kan man ikke eliminere elevernes forskelle, og det er i øvrigt ikke ønskeligt. Eleverne kan selv skabe udgangspunktet for deres aktive undersøgelser, og kommunikere med andre elever om deres tanker, forskellige ræsonnementer og de problemer som de møder og løser undervejs. Nogle elever kan betegenes som power users (Sørensen, 2010, s. 54 f.), hvilket 10 Metaforen knyttes til N. Luhmans forskelsbegreb, men har samme budskab. 22