Begrebsforståelse i matematik

Transkript

1 Begrebsforståelse i matematik Navn: Studienr.: Sidse Aabrandt Thorup A Stamhold: 08-2 Fag: Faglig vejleder: Pædagogisk vejleder: Antal sider i alt, inkl. forsiden Titel på bacheloropgaven Matematik Adrian Rau Bull Jakob Frandsen 31 sider ( anslag) Begrebsforståelse i matematik Min opgave må senere benyttes til undervisningsog/eller udviklingsformål Accept ved min underskrift Side 1

2 Indholdsfortegnelse 1 Indledning Problemformulering Metode Teori To læringsmiljøer Opgaveparadigmet Undersøgelseslandskaber Typer af læringsmiljøer Læringssyn inden for de to undervisningsformer Behaviorisme Socialkonstruktivisme Fire former for didaktik Den didaktiske kontrakt Begrebsforståelse Vygotsky og begrebsudvikling Sprog af 1. orden og 2. orden Læring gennem samtale Delkonklusion Kildekritik Empiri Observeret lektion opgaveparadigmet Udvalgte faglige ord til opgaveparadigmet Besvare 1-2 spørgsmål - opgaveparadigmet Observeret lektion i undersøgelseslandskaber Udvalgte faglige ord til undersøgelseslandskaber Logbog - undersøgelseslandskaber Elevinterview Vurdering af empirien Analyse Den didaktiske kontrakt Begrebsudvikling inden for opgaveparadigmet Begrebsudvikling inden for undersøgelseslandskaber Elevernes opfattelse af de to undervisningsformer Konklusion Handleperspektiv Perspektivering Litteraturliste...31 Bilag Bilag Bilag Bilag Bilag Side 2

3 1 Indledning Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. 1 Som det ses i formålet for matematik, lægges der vægt på sproget som en vigtig faktor for elevens læring, idet der fokuseres på dialog, argumentation og kommunikation. Vigtigheden af sproget i faget understreges yderligere af kompetenceblomstens 8 matematiske kompetencer 2, som er opdelt i de to kategorier: At spørge og svare i, med, om matematik og At omgås sprog og redskaber i matematik 3. Dette er relevant i forhold til matematikfagets begreber, da forståelsen af disse skabes gennem sproget. Dette finder jeg interessant, fordi jeg gennem mit studie og mine praktikker har erfaret, at det ikke altid er nemt for eleverne at forstå de faglige begreber i matematik. Det er vigtigt for mig som lærer at forstå, hvorfor det kan være svært for eleven at lære begreberne, og hvordan jeg kan tilrettelægge min undervisning for at skabe de bedst muligt rammer for elevens begrebsforståelse. Derfor handler denne opgave om faglig læsning i matematik med fokus på begrebforståelse. 2 Problemformulering Jeg vil undersøge faglig læsning i matematik med særligt fokus på, i hvilken grad eleverne tilegner sig begrebsforståelse inden for den didaktiske ramme, som opgaveparadigmet udgør, og hvordan de udvikler begrebsforståelse inden for den didaktiske ramme, som undersøgelseslandskaber udgør. 3 Metode På det overordnede plan er denne opgave overvejende bygget på den hermeneutiske videnskabsmetode, fordi jeg har indsamlet empiri, som analyseres og fortolkes ud fra teori i et forsøg på at nå til en forståelse af mit problemfelt. Men empiri og teori kan siges at være multiparadigmatisk, idet jeg arbejder indenfor to forskellige paradigmer, opgaveparadigmet og undersøgelseslandskaber. 1 Bilag 1: Fælles mål for matematik s. 3 2 De 8 matematiske kompetencer er: tankegangs-, problembehandlings-, modellerings-, ræsonnements-, repræsentations-, symbol- og formalisme-, kommunikations- og hjælpemiddelkompetence 3 Fælles mål matematik, s 39 Side 3

4 I denne opgave er teorien delt i fire dele. I første del af teorien beskrives de to valgte undervisningsformer, opgaveparadigmet og undersøgelseslandskaber ud fra Ole Skovsmoses tekst undersøgelseslandskaber og herefter de 6 typer af læringsmiljøer der kan skabes ud fra disse undervisningsformer. I anden del af teorien redegøres for det behavioristiske læringssyn tilhørende opgaveparadigmet og det socialkonstruktivistiske læringssyn tilhørende undersøgelseslandskaber. Herefter placeres disse i Frede V. Nielsen begrebsapparat. I tredje del af teorien redegøres for teorien om den didaktiske kontrakt. I fjerde del af teorien redegøres for tre forskellige teorier om begrebsudvikling, repræsenteret ved Vygotsky, Høines og Gibbons. Dernæst beskrives min empiri, som jeg har indsamlet gennem min praktik. Den består af både kvantitative og kvalitative data. Så følger analyseafsnittet, som er delt i fire dele, en analyse af den didaktiske kontrakt, en analyse af begrebstilegnelse inden for opgaveparadigmet, en analyse af begrebsudvikling inden for undersøgelseslandskaber og en analyse af elevernes opfattelse af de to undervisningsformer. Efter analysen kommer besvarelsen af min problemformulering i konklusionen og mit bud på et handleperspektiv ud fra denne opgave og slutteligt en perspektivering. 4 Teori 4.1 To læringsmiljøer I formålet for matematik står der i stk. 1: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. 4 Endvidere fokuseres der i stk. 2 og 3 på elevernes selvstændighed og samarbejdsevne samt reflekteret deltagelse i det demokratiske fællesskab 5. Derfor skal den undervisning, en lærer tilrettelægger, kunne bidrage til elevernes udvikling af alle 8 matematiske kompetencer.. Yderligere skal undervisningen også gøre eleverne i stand til at anvende matematik i hverdagen. Hvis man vælger kun at undervise på én måde, kan det være svært at leve op til formålet for matematik. Derfor må man som lærer forsøge at skabe forskellige læringsmiljøer, da disse giver bedre muligheder for, at eleverne tilegner sig alle de matematiske kompetencer. I det følgende vil to typer af læringsmiljøer blive beskrevet, først opgaveparadigmet og så undersøgelseslandskaber. 4 Bilag 1: Fælles mål matematik, s. 3 5 Stk. 2 og 3 af formålet for matematik kan ses i bilag 1 Side 4

5 Opgaveparadigmet bygger på en deduktiv tilgang til læring, da undervisning baseret på det deduktive princip udformer sig således: gennemgang af nyt stof, gennemgang af eksempler på anvendelse af stoffet, opgaveregning, lærerens kontrol af opgaverne. Undersøgelseslandskaber bygger på en induktiv tilgang til læring, hvor eleverne selv skal undersøge problemer med støtte fra læreren. I en undervisning, der bygger på det induktive princip, er det centrale, at eleverne via selvvirksomhed inddrager egne erfaringer Opgaveparadigmet Opgaveparadigmet er en betegnelse, som er givet den traditionelle matematikundervisning. Indenfor opgaveparadigmet er omdrejningspunktet for undervisningen opgaveløsning, og målet med undervisningen er at kunne besvare bestemte opgaver. Skovsmose beskriver diskursen i opgaveparadigmet således: Her former matematikken sig ofte således: Læreren indleder med at gennemgå nyt stof, derefter gennemgås udvalgte opgaver, hvorefter eleverne regner opgaver, enten individuelt eller i grupper 7. Yderligere tilføjes Opgavediskursen repræsenterer også en facitfokusering. 8 Denne undervisningsform følger lærebogen tæt, og opgaverne har kun ét rigtigt facit. I lærerens forsøg på at få eleven til at lykkes i sin opgavebesvarelse, kan Topaze-effekten 9 forekomme, hvis hun simplificerer opgaven så meget, at svaret er givet. 10 Formålet med undervisningen er:...at få afklaret nogle matematiske forhold, så bestemte opgaver kan besvares Lærerens rolle i en undervisning, der følger opgaveparadigmet, bliver således at være den, der afklarer disse matematiske forhold og hjælper eleven videre i sin opgavebesvarelse. I denne undervisningsform skaber læreren en ydre motivation, hvor eleven belønnes med lærerens anerkendelse i form af et rigtigt eller godt, når hun har svaret korrekt på en opgave 12. Den form for kommunikation, der finder sted, består ofte tre samtaletræk: Først stiller læreren et spørgsmål, som så besvares af en elev, hvorefter dette svar evalueres af læreren, ofte i form af rigtigt/forkert. Kommunikationsmønsteret kan være udformet, så eleverne skal gætte, hvad læreren tænker. Eleverne vil tilstræbe at give læreren det svar, hun forventer, og læreren kan, i sit forsøg på at få eleven til at lykkes, komme til at tillægge elevsvaret en mening, der ikke er elevens 13. Gæt 6 Damberg,1995, s Citat: Skovsmose, 2007, s Citat: Skovsmose, 2007, s Topaze-effekten er forklaret i afsnit 4.3 den didaktiske kontrakt 10 Skovsmose, 2007, s Citat: Skovsmose, 2007, s Larsen, 2008, s Dette er forklaret i afsnit 4.3 den didaktiske kontrakt som Jourdan-effekten Side 5

6 hvad læreren tænker medfører en matematikundervisning, der fokuserer på, hvad der er rigtigt og forkert. Opsamlende kan man sige, at opgaveparadigmet benytter det deduktive princip, idet den synlige elevaktivitet er minimal 14, og kommunikationen er stort set envejs, idet der er høj lærerstyring Undersøgelseslandskaber Et undersøgelseslandskab består af en ramme sat af læreren, og inden for denne ramme skal eleverne arbejde undersøgende med et emne. Et undersøgelseslandskab er karakteriseret ved, at der ikke er nogen på forhånd definerede opgaver, som skal løses. Læreren sætter scenen ved at introducere nogle temaer, som eleverne kan lade sig inspirere af, men de vælger selv deres vej ind i undersøgelseslandskabet 16 Eleverne bestemmer altså selv, hvad de vil undersøge inden for rammen og prøver sig frem. Undersøgelse finder altid sted i samarbejde med andre. Ved denne undervisningsform kan læreren ikke på forhånd vide, hvad eleverne vil arbejde med, men hun kan guide dem ved måden, hvorpå hun har sat rammen. Et undersøgelseslandskab findes i en undersøgende matematikundervisning, hvor læreren stiller spørgsmål af typen hvad nu hvis..? og hvorfor nu det?. Men for at det kan være et undersøgelseslandskab skal lærerens undren overtages og erstattes af elevernes undren. Læreren inviterer altså eleverne til selv at udforske matematikken inden for de givne rammer, men et undersøgelseslandskab fungerer kun, hvis eleverne tager imod udfordringen. 17 Lærerens rolle i en undervisning bygget på undersøgelseslandskaber bliver først at få eleverne til at tage imod undersøgelseslandskabet og efterfølgende at få skabt en indre motivation hos eleven, da det er denne, der er drivkraften for elevens videre undersøgelser. Herefter bliver det lærerens opgave at udfordre disse undersøgelser. Kommunikationen vil være præget af dialog, dels mellem lærer-elev, dels eleverne imellem, fordi alle i fællesskab udforsker undersøgelseslandskabet. 18 Opsamlende kan det siges, at undersøgelseslandskaber benytter det induktive princip, som giver høj elevaktivitet med flervejskommunikation, fordi såvel læreren som eleverne styrer undervisningen. 14 Citat: Skovsmose, 2006, s Skovsmose, 2006, s Citat: Skovsmose, 2006, s Skovsmose, 2007, s Skovsmose, 2006, s. 112 Side 6

7 4.1.3 Typer af læringsmiljøer Ole Skovsmose har i bogen Kan det virkelig passe? opstillet følgende skema, hvor der skelnes mellem 3 typer af referencer mellem matematik og virkelighed. Yderligere skelnes der mellem de to didaktiske rammer, undersøgelseslandskaber og opgaveparadigmet: 6 typer af læringsmiljøer: Figur 1. (Skovsmose, 2007, s. 149) Her forklares først de tre læringsmiljøer inden for den didaktiske ramme, som opgaveparadigmet udgør: 1. Er ren matematik, uden referencer til virkeligheden, og eleverne skal regne mange traditionelle regnestykker. Eksempel: beregn arealet af en retvinklet trekant med siderne 3, 4, Er matematik med referencer til en semi-virkelighed, hvilket vil sige, at her forsøges virkeligheden trukket ned over matematikken, så opgaverne, der har karakter af traditionelle regnestykker, bliver kamufleret i virkeligheden. Eksempel: beregn højden af en flagstang hvor de to andre sider i den retvinklede trekant der kan tegnes er 10,5m og 3m. 5. Er matematik med reelle referencer til virkeligheden. Her benyttes noget data fra virkeligheden i matematikken. For eksempel kunne man indhente oplysninger fra et byggefirma om opsætning af spær på et specifikt hus, og beregne tagspærenes længde. I det følgende forklares de tre læringsmiljøer inden for den didaktiske rammer, som undersøgelseslandskaber udgør: 2. Er ren matematik i undersøgelseslandskaber. Der er ingen referencer til virkeligheden, men eleverne skal arbejde undersøgende med et landskab i ren matematik, som er præsenteret af læreren. 4. Er matematik med referencer til en semi-virkelighed, hvor undersøgelseslandskabets ramme refererer til en virkelighed, eleverne kender. Eksempelvis casino-aften 20 hvor eleverne skal lave deres eget spil, beregne odds og efterfølgende prøve hinandens spil. 19 Skovsmose, 2007, kap Se bilag 2 Side 7

8 6. Her placeres undersøgelseslandskabet således, at det har reelle referencer til virkeligheden. Eksempelvis kunne undervisningen handle om spillet Meyer, hvis eleverne spiller dette spil meget. Oftest befinder traditionelle opgaver sig inden for 1 og 3, kun med få afstikkere til 5. Skovsmose pointerer, at det ikke nødvendigvis er en god ide altid at forsøge og tilrettelægge undervisningen inden for 6. For som han siger, er grundlaget for matematikundervisning ikke godt inden for kun en af disse 6 rammer, men læreren og klassen skal sammen bevæge sig rundt mellem de 6 typer læringsmiljøer Læringssyn inden for de to undervisningsformer Læringssynet inden for de to undervisningsformer præsenteret ovenfor er meget forskelligt. Opgaveparadigmet lægger stor vægt på opgaveløsning, hvor eleven finder det rigtige facit, hvorimod der i undersøgelseslandskaber lægges vægt på elevens selvstændige undersøgelse med lærerens vejledning. Til at beskrive læringssynet inden for opgaveparadigmet har jeg valgt behaviorismen, fordi opgaveparadigmet har træk af stimuli-respons-konsekvens og belønning 22. Og til at beskrive læringssynet i undersøgelseslandskaber har jeg valgt socialkonstruktivismen repræsenteret ved Vygotsky, da viden ifølge socialkonstruktivismen skabes i forbindelse med relationen Behaviorisme Behaviorismen er en læringsteori, der viser, hvordan mennesker lærer bestemte former for adfærd (R) gennem de påvirkninger (S), de udsættes for i det miljø, de lever i. 23 D.v.s at al adfærd kan beskrives som sammensat af uendelige mængder af SàR-forbindelser. I behaviorismen skelnes mellem den klassiske betingning og den operante betingning. Den klassiske betingning, beskrevet af Pavlov og senere Watson, forklarer, hvordan en betinget reaktion opstår. Dette skete med Pavlovs berømte hundeforsøg, hvor en bestemt stimulus (kød) fik hunden til at savle (en ubetinget reaktion ikke tillært). Ved et lignende forsøg brugte han en anden stimulus (en ringende klokke), der fik hunden til igen at reagere ubetinget med at spidse ører. Disse to koblede han sammen, ved gentagne gange at lade klokken ringe, når hunden blev fodret. 21 Skovsmose, 2007, s Kirstein, 1987, s Larsen, 2008, s. 128 Side 8

9 Efterhånden fjernede han maden, men hunden vedblev at reagere på klokkens ringen med at savle. Dermed var der opstået en betinget reaktion, idet hunden nu havde indlært at associere/forbinde klokkens ringen med mad. Denne form for indlært, gentaget associering ser vi også i udenadslæren, som f.eks. 7-tabellen, hvor eleven kan remsen 7,14,21 men måske ikke ved, at 3 x 7 er Skinners 25 teori, som kaldes for radikal behaviorisme 26, tager udgangspunkt i operant betingning, hvilket vil sige, at den der skal lære noget, er aktivt handlende 27 og opnår en forstærkning. Skinner skelner ikke mellem mennesker og dyr, men mener, at vi lærer på samme måde. I sin teori forklarer han, at personligheden ikke kan iagttages, og at menneskers indre følelsesliv ikke er bestemmende for vores handlinger men bestemt af vores handlinger. 28 I nedenstående skema ses de konsekvenser, en bestemt adfærd kan medføre. Figur 3. (Larsen, 1996, s. 55) Hvis skemaet bruges i forhold til børns tilegnelse og udvikling af begrebsforståelse, kan man sige: Læreren gennemgår noget nyt stof (stimulus) eleverne arbejder med det nye stof (respons) læreren retter opgaverne og giver eleven feedback i form af ros/ris (konsekvens) (som måske resulterer i positiv eller negativ forstærkning). Dette kan også benyttes på kommunikationsformen, som ofte består af 3 kommunikationstræk: læreren stiller et spørgsmål (stimulus), eleven svarer på 24 Larsen, 2008, s Burrhus Frederic Skinner ( ) 26 Rantzau-Meyer, 2009, s Larsen, 1996 s Kirstein, 1987, s. 14 og Larsen, 1996 s. 51 Side 9

10 spørgsmålet (respons), lærerens evaluerer elev-svaret med et korrekt/forkert (konsekvens). Ifølge Skinner bør børn opdrages med forstærkning, og ikke med straf, da straf kan medføre fejlindlæring i form af f.eks. uønsket adfærd for at få opmærksomhed, modangreb fra barnet eller løgn. Fejludvikling skyldes altså kort sagt fejlindlæring eller mangelfuld udvikling af et relevant adfærdsrepertoire. 29. For at fjerne en uønsket adfærd skal man belønne barnets ønskede adfærd og ignorere den uønskede, da den så med tiden vil blive udslukket. 30 Ifølge behaviorismen gælder dette for al læring, og derfor også for matematiklæring. En adfærd kan forstærkes på tre forskellige måder: øjeblikkeligt, regelmæssigt eller uregelmæssigt. Ved indlæring af ny adfærd benyttes øjeblikkelig forstærkning. Derefter vedligeholdes adfærden med regelmæssig forstærkning. Når adfærden er helt indlært, benyttes uregelmæssig forstærkning (den stærkeste af de tre), da barnet aldrig ved, hvornår den indfinder sig og derfor hele tiden gør sit bedste. 31 Et eksempel på dette kan være, at øjeblikkelig forstærkning anvendes, når et nyt matematisk emne (eks. geometri) skal læres. Efterfølgende vil eleverne efter hvert nyt matematiske emne blive testet i de foregående emner fra skoleåret, hvilket er regelmæssig forstærkning. Den uregelmæssige forstærkning vil komme i spil, når eleverne i de følgende skoleår blot får en prøve engang imellem, hvor nogle opgaver af typen vil indgå Socialkonstruktivisme Socialkonstruktivisme betyder, som ordet siger, at man konstruerer viden og dét i fællesskab med andre. Vygotsky 32 er en af de mest kendte socialkonstruktivister 33, idet hans teori var banebrydende, fordi den tager udgangspunkt i, hvordan psykiske processer kan opfattes som det, der sker mellem mennesker i stedet for det, der sker inde i det enkelte menneske. Denne teori tager udgangspunkt i, at al læring foregår i fællesskab med andre. Det vil sige, al læring går fra at være interpersonel til senere at blive intrapersonel, hvilket også udtrykkes i Vygotskys mest kendte begreb, zonen for nærmeste udvikling, som defineres således: Zonen for nærmeste udvikling er afstanden mellem det faktiske udviklingsniveau, bestemt ved selvstændig problemløsning, og det potentielle udviklingsniveau, bestemt ved problemløsning under 29 Citat: Jerlang, 2004, s Larsen, 1996, s , Kirstein, 1987, s Kirstein, 1987, s Lev Semenovitj Vygotsky ( ) 33 Rantzau-Meyer, 2009, s. 184 I denne opgave klassificeres Vygotsky som socialkonstruktivist, i lighed med Rantzau-Meyer, selv om nogle vil karakterisere Vygotsky som socialkonstruktionist. Side 10

11 voksen vejledning eller i samarbejde med mere kompetente jævnaldrende 34 For at muliggøre udvikling og læring hos hver enkelt elev i en klasse, skal alles zoner for nærmeste udvikling rammes. Gruppearbejde giver eleverne mulighed for at udfordre hinandens udviklingszoner. For Vygotsky er sprog og udvikling uadskillelige, fordi det er ved hjælp af sproget, at eleven kan udvikles. Dette taler for en undervisning, der er tilrettelagt som gruppearbejde, hvor eleverne får mulighed for via diskussionen at udvikles (udvikle deres evner inden for faget). Stilladsering er et begreb, der først er udviklet senere af Bruner, men som bygger på zonen for nærmeste udvikling. Stilladsering betyder at undervisningen tilrettelægges, så den rammer elevens zone for nærmeste udvikling, altså man bygger et støttende stillads op om eleven for derefter at fjerne det gradvist igen Fire former for didaktik I det følgende viser jeg de to undervisningsformer og de to læringsteorier i Frede V. Nielsens begrebsapparat. Ifølge Frede V. Nielsen 36 kan man i skolen skelne mellem fire former for didaktik: Basisfags-didaktikken, etno-didaktikken, udfordrings-didaktikken og eksistens-didaktikken. Disse placerer sig således i forhold til hinanden 37 : Didaktiske paradigmer: Figur 2. (Hansen, 2011, s. 141) 34 Citat: Strandberg, 2009, s Larsen, 2008, Frede V. Nielsen er forsker på Århus Universitet inden for didaktik.??!! 37 Hansen, 2011, s. 140 Side 11

12 På figur 2 er det vist vertikalt, at basisfags-didaktikken ses som en modpol til etno-didaktikken. Basisfags-didaktikken tager udgangspunkt i videnskabsfaget, der ligger til grund for undervisningen og præger undervisningsdidaktikken. En undervisning med udgangspunkt i basisfags-didaktikken har fokus på faglige mål og indhold. Etno-didaktikken tager udgangspunkt i eleven og dennes hverdagserfaringer. En undervisning med udgangspunkt i etno-didaktikken har fokus på elevens udvikling af kompetencer. Horisontalt går spændet fra udfordrings-didaktikken til eksistensdidaktikken. Udfordrings-didaktikken har fokus spørgsmål og problemer af samfundsmæssig karakter. Hvorimod eksistens-didaktikken handler om eksistensspørgsmål. 38 Ud fra denne figur vil en undervisningsform med udgangspunkt i opgaveparadigmet hælde mod basisfags-didaktikken, da her er fokus på faglige mål. Som tidligere nævnt har jeg valgt behaviorismen til at beskrive læringssynet inden for opgaveparadigmet, fordi opgaveparadigmet har træk af stimuli-respons-konsekvens og belønning. I figur 2 kan man placere behaviorismen i området mellem udfordrings-didaktikken og basisfags-didaktikken, fordi som Jens Dolin skriver: Behaviorismen beskæftiger sig i mere bred forstand med samspillet mellem menneskers adfærd og faktorer i omgivelserne 39. En undervisningsform i undersøgelseslandskaber hælder mod etnodidaktikken, da undersøgelseslandskaber tager udgangspunkt i elevens nysgerrighed, og det er elevens udvikling af egne kompetencer, der er i centrum. Som tidligere nævnt har jeg valgt socialkonstruktivismen repræsenteret ved Vygotsky til at beskrive læringssynet i undersøgelseslandskaber, da viden ifølge socialkonstruktivismen skabes i relationen. I figur 2 kan man placere socialkonstruktivismen i området mellem etno-didaktikken og udfordringsdidaktikken, for som Rantzau-Meyer skriver: Vygotsky mener, at mennesket ikke vilkårligt og individuelt konstruerer sine egne kognitive skemaer, men konstruerer dem inden for de rammer, kulturen og de sociale fællesskaber har sat op 40. I lærervirksomhed i matematik virker det mest indlysende, at undervisningen bevæger sig rundt i 3 af de didaktiske paradigmer, basisfags-, etno-, og udfordrings-didaktikken, da det er her fælles mål i matematik placerer sig, fordi, som det står i formålet for matematik, skal eleverne udvikle matematiske kompetencer og opnå viden og kunnen, som skal kunne anvendes i deres dagligliv og samfundsliv. 38 Hansen, 2011, s Citat: Damberg, 2006, s Citat: Rantzau-Meyer, 2009, s. 184 Side 12

13 4.3 Den didaktiske kontrakt Begrebet den didaktiske kontrakt stammer fra den franske matematikdidaktiker Guy Brousseau s 41 teori om didaktiske situationer 42. Den didaktiske kontrakt omhandler det gensidige, uudtalte forhold, der er mellem læreren og eleverne i undervisningen. I en generel formulering af den didaktiske kontrakt er der en forventning om at eleven forventes at lære, og læreren forventes at undervise 43 Dermed bygger den didaktiske kontrakt på et gensidigt afhængighedsforhold, i form af det fælles mål, elevens læring. Som en del af den didaktiske kontrakt har læreren og eleverne nogle forventninger til hinanden. Læreren forventer, at eleverne agerer på en bestemt måde ved opgaveløsning, og modsat forventer eleverne, at læreren muliggør læring. Den didaktiske kontrakt er implicit og kommer derfor kun til syne, når den bliver brudt. Læreren kan føle, at eleverne bryder kontrakten, hvis de ikke prøver hårdt nok på at løse en opgave. Omvendt kan eleverne føle at læreren bryder kontrakten, hvis hun giver dem nogle opgaver, de ikke er i stand til at løse. 44 Der er flere faktorer, der har indflydelse på den didaktiske kontrakt, som Morten Blomhøj skriver: En sådan didaktisk kontrakt vil nødvendigvis være præget af de institutionelle rammer men måske i endnu højere grad af den enkelte lærers opfattelse af faget, af det at undervise, og af elevernes forventninger til undervisningen i netop det fag. 45 I citat nævnes lærerens opfattelse af egen virksomhed, hvilket vil sige, at lærerens egen opfattelse af det at undervise og hendes syn på hvordan eleverne lærer er af stor betydning for udformningen af den didaktiske kontrakt. Derfor vil det variere fra klasse til klasse, hvilke læringsformer og læringsmiljøer den didaktiske kontrakt indeholder. Den didaktiske kontrakt kan afføde to effekter i undervisningen: topaze-effekten og jourdaneffekten. Topaze-effekten forekomme altså, når læreren simplificerer oplægget så svaret ligger lige for. 46 Denne kommunikation kan ses som en tragt, der snævres hvor læreren simplificerer opgaven så meget, at læring til sidst umuliggøres. Jourdan-effekten betegner hos Brousseau en situation hvor læreren tillægger et elevsvar en mening, der ikke er elevens. 47 Dette gøres sikkert ubevidst, og en grund til læreren gør det kunne være for at undgå et brud på den didaktiske kontrakt. Hvis denne 41 Guy Brousseau født Dette begreb er beskrevet nærmere i Delta kap Citat: Skott, 2008, s Skott m.fl., 2008, s. 419, Citat: Blomhøj, 1995, s Citat: Skott m.fl., 2008, s Citat: Skott, m.fl., 2008, s. 424 Side 13

14 effekt forekommer, er et brud på kontrakten nødvendig, for at læring kan forekomme Begrebsforståelse Inden for behavioristisk læringssyn og tankegang er der tale om tilegnelse af begreber og ikke udvikling af begreber. I afsnittet om behaviorisme er det forklaret, hvorledes eleven tilegner sig viden. Modsat begrebstilegnelse er der i det socialkonstruktivistiske læringssyn tale om begrebsudvikling. I det følgende forklares begrebsudviklingen i matematik, ved først at se på Vygotskys syn på sprog og begrebsdannelse, og efterfølgende kobles dette sammen med Høines teori om sprog af 1. orden og 2. orden. Slutteligt vil læring gennem samtale repræsenteret ved Gibbons blive behandlet Vygotsky og begrebsudvikling Ifølge Vygotsky er sprog og læring uadskillelige. De er dialektisk forbundne, fordi det er ved hjælp af sproget, at eleven kan udvikles. Der findes ifølge Vygotsky to former for begreber: spontane begreber som udvikles i elevens opvækst, og videnskabelige begreber som udvikles i elevens møde med en voksen/mere kompetent. Vygotsky siger, at man kan sammenligne det at lære matematik med det at lære et fremmedsprog, da matematiksproget er et nyt sprog for eleverne. Når eleven skal lære et nyt sprog, mener Vygotsky: at udviklingen af såvel spontane som videnskabelige begreber foregår i en vekselvirkning, og at disse gensidigt beriger hinanden 49. Denne vekselvirkning består i, at elevens spontane begreber fungerer som oversættelsesled til de videnskabelige begreber; omvendt hjælper de videnskabelige begreber eleven til at strukturere sine spontane begreber. Udviklingen af videnskabelige begreber foregår ved, at eleven møder det givne begreb mange gange, og i mødet forklares begrebet med et sprog eleven allerede kender, og dermed får begrebet meningsfylde, og over tid bliver det en del af elevens sprog, ligesom når et fremmedord bliver meningsfyldt ved en forklaring på modersmålet. For at kunne tilegne sig mange videnskabelige begreber kræver det et godt kendskab til modersmålet, da dette er oversættelsesledet. 50 I al undervisning er samtalen et bærende element, hvilket dog ofte er overset. Viden kan ikke uden videre overføres fra en person til en anden, men skabes gennem samtale. Ifølge Vygotsky konstrueres viden intermentalt for senere at blive intramental. Læreprocessen er en social medieret gennem kommunikation og sprog. 51 Derfor er det vigtigt som lærer at have fokus på 48 Skott, m.fl., 2008, s Citat: Johansen, 2007, s Johansen, 2007, s Citat: Andersen, 2008, s. 28 Side 14

15 samtalen i klasserummet, både lærer-elev og elev-elev. For at eleverne får mulighed for at konstruere viden i fællesskab, er det vigtigt, at læreren stilladserer dem 52. Dette tager udgangspunkt i en samtale, der er længere end blot tre samtaletræk, hvor eleven får mulighed for at deltage på egne betingelser Sprog af 1. orden og 2. orden Høines 53 bygger sin teori på Vygotsky og skriver: Vygotsky betrakter ikke språk som resultat av begrepsutvikling, men som en del av selve begrepet. 54 Yderligere skriver hun, at Det å uttrykke seg er en vigtig del av begrebsutviklingen. 55, hvilket vil sige, at sproget er af stor betydning for, om eleven udvikler begrebsforståelse. Ifølge Høines er et begreb sat sammen af to dele, begrebsindhold og begrebsudtryk. Og hun skriver om udviklingen af et begreb: Gjennom språkbruk og erfaring utvikles begrepet, både den innholdsmessige og den språkmessige siden. 56 Den indholdsmæssige del er elevens tanker og mening med begrebet, hvorimod elevens begrebsudtryk er elevens sprog for disse tanker og meninger. Hver elev har forskellige erfaringer med begreber, og disse erfaringer har indflydelse på, hvordan eleven tolker et begreb. Men gennem samtale kan man dele erfaringer og på den måde skabe en fælles tolkning og betydning af et begreb. Dette ligger til grund for en vellykket kommunikation, da Høines skriver, at kommunikation er vellykket, når samtaleparternes baggrund for tolkningen af budskabet ligger tæt op af hinandens. 57 Centralt i Høines teori er begreberne sprog af 1. orden og sprog af 2. orden. Nøglebegrebet i sammenhængen mellem sprog af 1. orden og sprog af 2. orden er oversættelsesledet....sprog af 1. orden skal virke som oversættelsesled for sprog af 2. orden Elevens 1. ordenssprog er det umiddelbare, tilgængelige sprog, som eleven kender og kan benytte, hverdagssproget, som består både af det talte sprog og elevens repræsentationer (også kropslige, som at tælle på fingre). Sprog af 2. orden er matematikkens symbolsprog og begreber. Da dette sprog ikke skaber mange associationer hos eleven, må det, så for at han kan forstå det, i kontakt med hans associationer. Her fungerer elevens sprog af 1. orden som oversættelsesled for sprog af 2. orden. Processen, hvor sprog 52 Larsen, 2008, s Marit Johnsen Høines er norsk matematikdidaktikker 54 Citat: Høines, 1999, s Citat: Høines, 1999, s Citat: Høines, 1999, s Høines, 1999, s Johansen (2), 2007, s. 12 Side 15

16 af 2. orden bliver til sprog af 1. orden, tager ikke lige lang tid for alle elever. Høines ligger vægt på, at eleven skal have et ejerforhold til sine kundskaber og skal kunne benytte dem meningsfuldt i sammenhæng med de andre kundskaber eleven har, og ikke kun i undervisningssammenhænge. Det er ifølge hende en modsætning til en undervisning, hvor eleven tilegner sig kundskaber ved at reproducere læreren eller bogen, altså en systematisk udenadslære, som han kan kun bruge i præcis den kontekst, hvor han har opnået kundskaben Læring gennem samtale Vygotsky har også inspireret Gibbons 60, som præsenterer en lidt anderledes vinkel på læring gennem samtale, fordi hun siger, at når det handler om tekst, skelnes der ikke mellem det skrevne sprog og det talte sprog. Hun understreger det således: Sprogændringer sker nærmere over et kontinuum, der i den ene ende spænder fra sprog, der tales i en ansigt-til-ansigt-kontekst, og som refererer direkte til det, der sker i denne kontekst, og i den anden ende sprog, der er refleksivt, og som ikke involverer handling. 61 Yderligere er Gibbons af den holdning, at sprog læres i interaktion med andre, for som hun skriver: At lære sprog sker ikke bare inde i et individ, det sker som et resultat af samtale mellem mennesker. Hvad og hvordan man lærer er et resultat af dem man omgås Hun giver et eksempel på, at tekst kan deles op i 4 trin. Tekst 1 er elevernes samtale, mens de arbejder med opgaven. Her kan henvises til det, de snakker om, blot ved at pege, eller med ord som den der. Tekst 2 er, når eleven skal forklare nogle udenforstående om eksperimentet. Tekst 3 er elevens skrevne sprog om opgaven, og tekst tekst 4 er det sprog, man finder i et leksikon (det videnskabelige sprog). Et eksempel på disse tekstformer kan forklares ud opgaven fra bilag 1. Her var tekst 1 i spil, da eleverne snakkede sammen og opfandt spillet. Under denne handling havde de konkret materialerne i brug. Bevægelsen til tekst 2 skete, da de skulle forklare spillet for læreren og fremlægge det for klassen. Tekst 3 var elevernes nedskrivning af regler til spillet udformet som i et spil, man køber. 63 Gennem de nævne 4 former for tekst sker en bevægelse fra det nære talesprog mod skriftsproget. Når sproget i tid og rum bevæger sig væk fra den hændelse det beskriver, og når de talende 59 Høines, 1999, s Pauline Gibbons er australsk andetsprogsforsker. 61 Citat: Gibbons, 2009, s Citat: Gibbons, 2009, s Gibbons, 2009, s Side 16

17 begynder at referere til hændelser, der ikke deles af de lyttende, så kan mindre tages for givet. Som følge her af bliver den talendes sprog stadigt mere eksplicit og får nogle af det skrevne sprogs kendetegn. 64 Det vil sige, i denne bevægelse, vil eleverne blive i stand til at benytte matematiske begreber, da disse er mere fyldestgørende og koncise end deres hverdagssprog. Gibbons siger, at sproget varierer efter konteksten og skelner mellem to former for sprog, hverdagssproget og videnskabssproget (skolens akademiske sprog), som kan stilles op på følgende måde: Figur 4. Dette skema kan benyttes til at se, hvor langt eleven er nået i sin sprogudvikling og læring. Læreren bliver mediator mellem disse to former for diskurs 65 ifølge Gibbons. Det er altså lærerens opgave at skabe forbindelsen mellem på den ene side elevens viden og hverdagssprog og på den anden side de faglige begreber, hun har til hensigt, at eleven skal lære. I figur 4 ses den vertikale pil som elevernes hverdagsviden og den horisontale pil som skolens akademiske sprog, og det er i spændet mellem disse, at lærerens job ligger, fordi hun skal hjælpe eleverne ud af den horisontale pil ved hjælp af den vertikale Delkonklusion Ifølge Vygotsky sker begrebsdannelse i samspillet med andre, og dette bakkes op af Høines og 64 Citat: Gibbons, 2009, s Citat: Gibbons, 2009, s Gibbons, 2009, s. 36 Side 17

18 Gibbons teorier om begrebsudvikling. Hvis man sammenstiller teorien om sprog af 1. og 2. orden med Gibbons teori om hverdagssprog og videnskabssprog, så er sprog af 1. orden det samme som hverdagssproget. På figur 4 er vist et koordinatsystem, hvor den horisontale pil er videnskabssproget, og den vertikale pil er hverdagssproget. Når en elev lærer flere begreber, vil det svare til, at den vertikale pil bevæger sig mod højre hen af den horisontale pil, altså mere og mere af videnskabssproget bliver til en del af elevens hverdagssprog. Det er denne proces, læreren skal mediere. Ifølge Høines skal læreren gøre dette ved at skabe associationer mellem 2. ordenssproget og elevens 1.ordenssprog. Ifølge Gibbons teori bliver læreren mediator, når hun sætter eleverne i de situationer, hvor de kan bevæge sig gennem de nævnte 4 former for tekst, da det er her de to former for sprog kommer i spil. Ifølge Vygotsky sker begrebsdannelsen når læreren rammer elevens zone for nærmeste udvikling. Eleven skal ifølge Høines have ejerskab over sine kundskaber, og han skal kunne benytte dem meningsfuldt. Dette vil eleven få de bedste muligheder for i en undervisning i undersøgelseslandskaber, da det er elevens egen undren, der er styrende. Det er som nævnt i afsnittet om sprog af 1. orden og 2.orden en modsætning til en undervisning, hvor eleverne tilegner sig kundskaber ved at reproducere læreren eller lærebogen. Da det er en systematisk udenadslære, som kun kan anvendes i matematiktimen, henviser det til en undervisning inden for opgaveparadigmet. Ifølge Gibbons bliver udfordringen for læreren at sætte eleverne i de situationer, hvor de skal benytte koncise matematiske begreber. Ydermere er hendes pointe, at det er sproget og sprogbrugen inden for det enkelte emne, der bør være undervisningens centrum frem for at dække pensum. 4.5 Kildekritik Når man ser kritisk på de teoretikere, jeg har anvendt, bliver det tydeligt, at de kan deles op i to hovedretninger med hver deres fælles grundforestillinger om læring. På den ene side er opgaveparadigmet og behaviorismen, især repræsenteret ved Skinner, hvor læring ses som en konsekvens af en ydre påvirkning. På den anden side er undersøgelseslandskaber og socialkonstruktivismen repræsenteret ved Vygotsky og Høines, hvor læring ses som noget, der sker i et samspil med andre. Hele opgaven er bygget op om disse to paradigmer, hvilket kan være kritisk, da man kan finde mange andre syn på læring, som ikke er repræsenteret her. Side 18

19 Kilderne af Skovsmose, Høines og Gibbons er originalkilder, hvilket betyder, at de har høj pålidelighed og troværdighed, da de ikke er fortolkede. Kilderne om Vygotsky, behaviorismen og Frede V. Nielsen er sekundærkilder, hvilket betyder, at andre igennem deres redegørelser af disse teorier kan have forenklet teorierne for meget eller tolket dem forkert. Dette betyder at disse kilder har lavere pålidelighed og troværdighed end originalkilderne. Enkelte af mine kilder ligger i det felt, man kunne kalde anvendt teori, idet anvendelse af psykologisk, pædagogisk eller didaktisk indsigt er brugt til forklaring af bestemte opgaver. Her tænkes eksempelvis på Lene Ø. Johansens artikel Matematiklæreren som sproglærer (2007), hvor forfatteren bruger Vygotskys teori om udvikling af begreber til at forklare sproget betydningen. Generelt er mine kilder af nyere dato, idet eksempelvis Skovsmoses artikel Undersøgelseslandskaber er fra 2008, og Gibbons artikel Læring gennem samtale er fra 2009, hvilket betyder, at jeg bl.a. baserer min opgave på den nyeste forskning inden for læring. 5 Empiri Jeg har indsamlet min empiri i min praktik på Skipper Clement Skolen i 8a i matematik. Inden praktikken observerede jeg en typisk lektion i matematik. Efter observationen og et møde med praktiklæreren, stod det klart, at klassen var vant til at blive undervist inden for opgaveparadigmet og aldrig havde prøvet gruppearbejde i matematik. Derfor ville det blive let for eleverne at følge undervisningen inden for opgaveparadigmet, da de har været vant til denne undervisningsform, hvorimod det ville blive en udfordring at undervise dem inden for undersøgelseslandskaber, da dette er baseret på gruppearbejde og samtale, hvilket klassen så ingen erfaringer havde med. På baggrund af dette valgte jeg først at undervise i opgaveparadigmet og efterfølgende i undersøgelseslandskaber. For at give et overblik over min empiri har jeg lavet følgende skema: Side 19

20 Figur 5. Min empiri består både af kvantitative data i form af optælling af de forskellige elevers kendskab til udvalgte begreber, indsamlet under undervisningen i de to paradigmer og af kvalitative data i form af et fokusgruppe-interview og observationer. Mine observationer er systematisk deltagende, da jeg selv var en del af undervisningssituationerne. Jeg har valgt at være tro imod de rammer, de to paradigmer opstiller. Derfor er måderne, hvorpå min empiri er indsamlet, ikke ens ved opgaveparadigmet og undersøgelseslandskaber. Inden for opgaveparadigmet har eleverne efter hver lektion besvaret et eller to faglige spørgsmål til dagens stof. Desuden havde jeg inden praktikken Side 20

21 udvalgt 27 faglige begreber til emnet og grupperet dem efter sværhedsgrad. Både ved start og slut i forløbet har eleverne noteret de af begreberne, de kender og kan forklare og forklaret dem. Inden for undersøgelseslandskaber har eleverne ført logbog efter hver lektion. Til dette forløb har jeg udvalgt 26 faglige begreber og grupperet dem efter sværhedsgrad, dog uden at gøre eleverne bekendte med denne gruppering. Både til start og slut i forløbet har jeg vist eleverne alle begreber, og de har selv grupperet begreberne i tre grupper, 1. kender/har hørt om, 2. kender og kan forklare, 3. kender ikke. Herefter har de forklaret dem, de har placeret i Observeret lektion opgaveparadigmet Den valgte lektion er observeret onsdag den 9. november. Lektionen handler om beregning af længden af en ukendt side i en retvinklet trekant ved hjælp af Pythagoras læresætning (a 2 + b 2 = c 2 ). Lektionen forløb efter strukturen: gennemgang af lektie, gennemgang af hvordan man bruger Pythagoras læresætning, opgaveregning, to spørgsmål til dagens stof. Lektionen startede med en gennemgang af lektien. De interesserede elever fulgte med og rakte hånden op for at svare. Herefter gennemgik jeg, hvordan man ved hjælp af Pythagoras læresætning kan beregne længden af den ene side i en retvinklet trekant, hvis man kender længden af de to andre sider. Under gennemgangen stillede jeg spørgsmål til klassen om, hvordan man kunne omskrive sætningen og finde en af kateternes længder. De dygtigste elever var straks klar med et svar. Under gennemgangen var de fleste elever interesserede, og nogle få skrev noter. Dog var der også nogle få, der kikkede ned i bordet i stedet for at følge med. Til eksempler på udregninger valgte jeg at spørge de ukoncentrerede for at få dem med i undervisningen. Herefter skulle eleverne individuelt regne opgaver, hvor forskellige retvinklede trekanter havde ukendte sider. Under opgaveregning var de fleste koncentrerede, og der var ikke meget larm i klassen, ud over nogle få der spurgte sidemanden, om han havde samme facit. Jeg gik rundt og hjalp dem, der havde hånden oppe, og gav dem en feedback på deres opgavebesvarelser. Alle gik i gang med opgaveregningen, og de dygtigste fik hurtigt lavet mange opgaver, men jeg observerede flere gange i løbet af timen, at nogle få virkede ukoncentrerede og kikkede ud af vinduet eller snakkede stille med sidemanden i stedet for at regne opgaver. Kun en af disse var blandt de fagligt svage i klassen. Til slut i timen fik eleverne lektie for til dagen efter, og de sidste par minutter skulle de besvare spørgsmålet til dagens stof: Skriv Pythagoras sætning. Side 21

22 5.2 Udvalgte faglige ord til opgaveparadigmet Inden praktikken udvalgte jeg 27 faglige begreber til min undervisning i geometri, både nogle jeg regnede med eleverne kendte og andre jeg formodede var nye begreber. Jeg grupperede begreberne i tre grupper efter sværhedsgrad, således at dem jeg havde i gruppe 1 var de letteste, og gruppe 3 var de sværeste. I starten af forløbet noterede eleverne de begreber, de kendte og kunne forklare, og forklarede dem. Det samme gjorde de i den sidste lektion i forløbet. Herefter har jeg læst elevernes forklaringer og på baggrund af dem givet min vurdering af, om de har tilegnet sig begrebet. På bilag 3 fremgår de udvalgte begreber til emnet, og hvor mange elever der kendte og kunne forklare hvilke begreber ved start og slut. Eksempelvis var der 4 elever, der kendte og kunne forklare begrebet hypotenuse ved forløbets start, og 15 der kunne ved slutningen af forløbet. 5.3 Besvare 1-2 spørgsmål - opgaveparadigmet I slutningen af hver lektion skulle eleverne svare på et eller to faglige spørgsmål til dagens emne. Spørgsmålene var udformede som lukkede spørgsmål, eksempelvis: hvornår er to trekanter ligedannede?. Eleverne er vant til en undervisning, der følger opgaveparadigmets tankegang. I denne evalueringsform kan man enten svare eller ikke svare på de to spørgsmål. Eleverne forstod evalueringsformen og havde ingen spørgsmål til den, selv om de ikke altid kunne svare på dagens spørgsmål. 5.4 Observeret lektion i undersøgelseslandskaber Den udvalgte lektion er observeret tirsdag den 29. november. Lektionen er udformet som et undersøgelseslandskab, hvor eleverne skal forestille sig, at de skal have en forældre aften i klassen og samle penge ind til en klassetur. Dette gøres ved, at eleverne i grupper har lavet et spil. Eleverne skal altså selv opfinde et spil. Dog har jeg sat nogle begrænsninger, f.eks. skal der være 50% overskud på spillet, yderligere skal eleverne både udregne den teoretiske og den statistiske sandsynlighed. Oplægget til undersøgelseslandskabet kan ses i bilag 2. Dette er kun den første af de tre lektioner, eleverne havde til at arbejde i undersøgelseslandskabet. Lektionen startede med, at jeg inddelte eleverne i grupper og gav dem oplægget. Herefter læste jeg det højt, og eleverne gik i gang. Grupperne var inddelt efter niveau, således at eleverne i gruppen Side 22

23 kunne støtte hinandens påfund. De materialer, eleverne kunne lave spillet ud fra, var tilgængelige. Da eleverne skulle i gang med at lave spillet, fandt de det svært og sad først lidt og kikkede på hinanden. Men efter kort tid gik var de fleste grupper i gang med arbejdet. Gruppen med de svageste elever i klassen kom hurtigt i gang med at lave et spil ud fra et sæt spillekort, og de fik afprøvet en masse forskellige måder at lave et spil på med materialet, inden de nåede frem til deres endelige resultat, som var at lægge alle kortene ud på bordet, hvorefter spilleren skulle satse på, hvilket nummer der blev trukket. Større problemer var der hos gruppen med de dygtigste elever, da de gerne ville have præcise retningslinjer for, hvad de skulle løse. Efter nogen tid fandt de dog frem til at lave et spil med to terninger, hvor man vinder, hvis man slår to ens. Min rolle i undervisningen var at gå rundt til grupperne og se/høre, hvor langt de var nået, og hvilke overvejelser de havde gjort sig. Hver gang jeg nåede en af af de to grupper med stærke elever, stoppede de arbejdet og begyndte at stille spørgsmål, hvorimod mellemgrupperne og gruppen med de svageste elever blot arbejdede videre og ikke bemærkede, at jeg observerede dem. De svageste elever var vilde med undervisningsformen og fik meget ud af timen, hvorimod de stærkeste elever fandt det frustrerende, at opgaven var åbent formuleret. 5.5 Udvalgte faglige ord til undersøgelseslandskaber Inden praktikken udvalgte jeg 26 faglige begreber til emnet sandsynlighedsregning. Disse begreber grupperede jeg i tre grupper. Ved starten i forløbet skulle eleverne individuelt selv gruppere disse begreber i grupperne: 1. kender/har hørt om, 2. kender og kan forklare, 3. kender ikke og forklare de begreber, de havde placeret i 2. Til slut i forløbet blev eleverne stillet over for samme opgave. Ud fra disse oplysninger har jeg konstrueret skemaet på bilag 4. Her ses, hvilke begreber eleverne har placeret under kender og kan forklare. Dog er det kun de begreber, eleverne har forklaret rigtigt, jeg har medtaget i optællingen. Ved at eleverne grupperede begreberne, fik jeg et indblik i, hvilke begreber den enkelte allerede havde tilegnet sig, hvilke han var på vej til at tilegne sig, og hvilke han endnu ikke kendte. Dette kendskab gjorde, at jeg fik gode muligheder for at støtte den enkelte elev i hans begrebsudvikling. 5.6 Logbog - undersøgelseslandskaber Ved evaluering med logbog er intentionen, at eleverne skal reflektere over egen udvikling i den forgangne lektion. Dette er en arbejdsform, der skal læres. Eleverne havde ingen tidligere erfaringer Side 23

24 med denne evalueringsform, og på trods af en grundig introduktion havde de nogle spørgsmål til den. Ved gennemlæsning af logbøgernes indhold er det tydeligt, at eleverne har skrevet meget kort, hvad de har lavet den dag faktisk så kort, at det ikke kendetegner dagens indhold. Eksempelvis: vi har lavet sandsynlighedsregning. Eleverne har kun overordnet defineret opgaven, men ikke undersøgelsen. De ser altså ikke deres arbejdsform som noget særligt, og de er ikke i stand til at lave anden-ordens iagttagelser, men kan kun beskrive opgaven kort ved sandsynlighedsregning. Eleverne har altså endnu ikke lært at se med undersøgelsesbriller. 5.7 Elevinterview I slutningen af min praktik lavede jeg et fokusgruppeinterview med 3 elever fra 8a. De havde et forskelligt forhold til matematikundervisning. Elev 1 var en udadvendt, dygtig elev, som altid gjorde sit yderste i undervisningen og ofte bød ind med svar på spørgsmål. Elev 2 var en middeldygtig elev, der ikke var specielt interesseret i matematik. Elev 3 var ikke særligt dygtig til matematik og forholdsvis stille. Jeg har valgt at lave et fokusgruppeinterview af to grunde, dels for at få indblik i elevernes forståelse af forskellen på de to former for undervisning, dels for at få mere forskelligartet empiri. Elevinterviewet kan ses i bilag Vurdering af empirien Designet for min undersøgelse er godt, men selve undersøgelsen er præget af elevernes ringe kendskab til undersøgelseslandskaber. Da praktikken strækker sig over en kortere periode, har dette betydet, at eleverne i arbejdet med undersøgelseslandskaber har observeret, at arbejdsformen var anderledes end den vante og brugt tid på at lære, hvordan man arbejder her. Men da forløbet sluttede, var de endnu ikke trygge ved arbejdsformen. Havde man lavet dette forsøg over et helt år, ville observationerne måske havde været anderledes, da jeg ville have haft en mere passende tidsramme til at lære eleverne at arbejde på en anden form end den vante. En anden faktor, der kan have indflydelse på resultatet af undersøgelsen, er, at de udvalgte begreber i min kvantitative undersøgelse måske ikke været lige svære, i hvert fald kunne eleverne flere begreber ved starten af geometriforløbet end ved sandsynlighedsregning. Opsamlende kan man sige, at min empiri ikke har særligt høj reliabilitet, fordi endnu ikke findes forskning af samme art, som jeg har kunnet sammenligne mine resultater med. Side 24