Opgaver. Oktober 2009

Transkript

1 Opgaver Oktober 2009 Dette er en samling af supplerende opgaver til kurset Programmering 2. I nogle opgaver henvises til filer med Java programmer/klasser. Dette eksempelmateriale kan nås via WWW: Indhold Klassedesign og invarianter assert og implementationsinvariant løkkeinvariant Terminering modspilsstrategi Rekursive metoder potensopløftning binomialkoefficient Euklids algoritme tilfældig sætning Hilbert kurve Rekursive strukturer rekursive udtryk html udtryk videnstræer differentialregning UNIX filsystem Pseudo-reelle tal bisektion ligning stige identitet integral

2 Klassedesign og invarianter Opgave 11 a. Hvis man vil verificere at implementationsinvarianten i kasseeksemplet fra noterne er overholdt, hvor mange steder i Box-klassen skal man så indsætte et check? b. Modificer Box-klassen, så assert-sætningen (Horstmann afsnit 3.6.2) anvendes til at verificere at implementationsinvarianten er overholdt. 2

3 Opgave 12 Denne opgave går ud på at at implementere metoder med hjælp fra visuelle løkkeinvarianter. Signaturen for en metode er følgende public boolean isnaturalnumbers(int[] a) {... Metoden tager et array af heltal og skal returnere true hvis alle tal er positive, men skal returnere false, hvis blot et af tallene er nul eller negativ. Det er naturligt at bruge en løkke i denne metode. Følgende figur angiver et muligt øjebliksbillede lige før (og efter) hver iteration af løkken: 0 kun positive tal i a.length-1 a. Implementer isnaturalnumbers så den visuelle løkkeinvariant afspejles i koden. Signaturen for en anden metode er følgende public boolean issorted(int[] a) {... Metoden tager et array af heltal og skal returnere true hvis tallene står i sorteret (stigende) orden, men skal returnere false, hvis et stort tal kommer før et lille tal. b. Overvej hvorledes metoden kan implementeres med en løkke og lav en tilsvarende visuel løkkeinvariant. c. Implementer issorted med udgangspunkt i b. 3

4 Opgave 13 I noterne introduceres en visuel løkkeinvariant som basis for en implementation af binær søgning 0 e ikke her e ikke her low high a.length-1 Her er alternativ(dårlig implementation): public int loopingbinarysearch(int[] a, int e) { int low = 0; int high = a.length-1; while (low<=high) { int mid = (low+high)/2; if (a[mid]==e) return mid; else if (a[mid]<e) low = mid; else high = mid; return -1; a. Find eksempler på aktuelle parametre, for hvilke ovenstående metode ikke terminerer. b. Hvor ligger årsagen til den uendelige løkke? c. Kan man generelt sikre sig mod uendelige løkker? 4

5 Opgave 14 To spillere, A og B, skiftes til at sætte hhv. en rød og en blå stregaflængde1 på et stykke kvadreret papir. Hver streg må placeres vilkårligt, vandret eller lodret, men selvfølgelig ikke hvor der er en streg i forvejen. A begynder (og tegner med rødt), og hans opgave er at lave en sammenhængende lukket kurve, som fx der udelukkende består af røde streger. B s opgave er at forhindre A i at lave en sådan kurve. a. Lad os antage, at du bliver bedt om at lave et program, der kan spille for B. Programmet indlæser A s træk (i en passende repræsentation), og svarer efter hvert træk med B s efterfølgende træk. Er det muligt at skrive dette program, sådan at A aldrig formår at danne en lukket kurve? Hvordan? Vink: Opstil en passende invariant for spilleplanens udseende efter hvert B-træk. b. Efter at du har lavet a): Lav et design for hele programmet. Implementer og afprøv dit program. 5

6 Rekursive metoder Opgave 21 Lad p være et ikke-negativt heltal. Notationen n p angiver at tallet n skal opløftes til p te potens. Der gælder: 1 for p =0, n p = (n n) p/2 for p>0ogp er lige, n p 1 n for p>0ogp er ulige. a. Skriv en rekursiv metode med 2 parametre n, p som beregner og returnerer n p 6

7 Opgave 22 Binomialkoefficienten ( n k) angiver på hvor mange måder man kan udtage k elementer fra en mængde med n elementer, og den opfylder følgende ligning (for n k 0): ( ) {( n n = k 1) (n k +1)/k for k>0, k 1 for k =0. a. Skriv en rekursiv metode binomial med 2 parametre n, k som beregner og returnerer ( n k). 7

8 Opgave 23 Euklids algoritme til beregning af største fælles divisor af to positive heltal er baseret på reglerne: x for x = y, gcd(x, y) = gcd(x y, y) for x>y, gcd(x, y x) for x<y. a. Skriv en rekursiv metode (med 2 parametre x, y) som beregner og returnerer gcd(x, y). b. Skriv en ny metode, der ligeledes beregner gcd(x, y), men anvender en while-løkke i stedet for rekursion. c. Argumenter for at udførelsen af metoderne fra a og b altid standser. 8

9 Opgave 24 Betragt følgende grammatik, der definerer en lille delmængde af sproget Dansk Sætning ::= Substantiv Bisætning Prædikat Fortsættelse Fortsættelse ::=, Konjunktion Sætning Bisætning ::=, som Substantiv Bisætning TransitivtVerbum,,derIntransitivtVerbum,,derRefleksivtVerbum sig, Prædikat ::= VerbalLed Adverbial VerbalLed ::= TransitivtVerbum Substantiv IntransitivtVerbum RefleksivtVerbum sig Konjunktion ::= og mens hvorimod Substantiv ::= studenten forelæseren instruktoren tutoren Java programmet TransitivtVerbum ::= dumpede roste underviste oversatte IntransitivtVerbum ::= forsvandt bestod drak gik ned RefleksivtVerbum ::= kom dummede forberedte morede Adverbial ::= ret så voldsomt temmeligt hurtigt ganske dårligt helt perfekt Notationen Bisætning betyder at kategorien Bisætning kan udelades. a. Skriv et program, der genererer en tilfældig sætning defineret af ovenstående grammatik. Vink: Skriv en metode for hver kategori. b. Argumenter for, at hvis grammatikken ændres til Sætning ::= Substantiv Bisætning Prædikat Sætning, Konjunktion Sætning så vil den stadig definere de samme sætninger. c. Vil dit program opføre sig anderledes, hvis det ændres i overensstemmelse med b? I bekræftende fald hvordan og hvorfor? 9

10 Opgave 25 En Hilbert kurve af orden n er den n te tegning i følgende række, der nummereres H 1,H 2,H 3,H 4, og så videre. a. Angiv rekursionsformlen for H n. b. Skriv et program, der kan tegne Hilbert kurver. Følgende skabelon med de indbyrdes rekursive metoder west, north, east og south kan evt. benyttes: import java.awt.*; public class Hilbert { private static Crayon pencil = new Crayon(Color.black,1); private static void west(int n, double len) { if (n>0) { south(n-1,len); pencil.turnto(180); pencil.move(len); west(n-1,len); pencil.turnto(90); pencil.move(len); west(n-1,len); pencil.turnto(0); pencil.move(len); north(n-1,len); private static void north(int n, double len) {... private static void east(int n, double len) {... private static void south(int n, double len) {... 10

11 public static void main(string[] args) { pencil.jumpto(100,50); west(1,80/(2-1)); pencil.jumpto(200,50); west(2,80/(4-1)); pencil.jumpto(300,50); west(3,80/(8-1)); pencil.jumpto(400,50); west(4,80/(16-1)); 11

12 Rekursive strukturer Opgave 31 Betragt følgende klasser, der kan repræsentere et logisk udtryk: public interface Expression { public class Const implements Expression { boolean value; public Const (boolean v) { value = v; public class Negation implements Expression { Expression expr; public Negation (Expression e) { expr = e; public class Conjunction implements Expression { Expression left; Expression right; public Conjunction (Expression l, Expression r) { left = l; right = r; public class Disjunction implements Expression { Expression left; Expression right; public Disjunction(Expression l, Expression r) { left = l; right = r; F.eks. kan udtrykket (true false true) der har værdien true repræsenteres ved objektet Expression exp = new Conjunction(new Const(true), new Conjunction(new Negation(new Const(false)), new Const(true) 12

13 ) ); Negation tager et enkelt argument, hvorimod disjunktion og konjunktion tager to argumenter. Værdien af en konstant er blot dens indhold. Værdien af en negation er true hvis værdien af dens argument er false, ogfalse hvis værdien af dens argument er true. Værdien af en konjunktion er false, hvis mindst et af dens argumenter har værdi false; ellers er værdien af konjunktionen true. Værdien af en disjunktion er true, hvis mindst et af dens argumenter har værdi true; ellers er værdien af disjunktionen false. Man kan vælge at lade Expression-objektet være enten passivt eller aktivt ved beregning af dets værdi: a. Skriv en rekursiv metode public boolean value(expression e) der gennemløber et logisk udtryk og returnerer den modsvarende sandhedsværdi. Dvs. i ovenstående eksempel skal value(exp) returnere true. b. Hvis definitionen af Expression ændres til public interface Expression { public boolean value(); så må der naturligvis defineres en konkret value-metode i hver konkret klasse der implementerer Expression. Skriv alle disse konkrete valuemetoder, så de i hvert enkelt tilfælde returnerer værdien af det pågældende udtryk. Dvs. i ovenstående eksempel skal exp.value() returnere true. c. Vis hvordan man kan bruge visitor mønstret til at beregne værdien af et logisk udtryk, dvs definer et passende interface ExpressionVisitor<T>, tilføj en metode accept(expressionvisitor<t> v) til hver klasse og skrev endelig en klasse, der implementerer ExpressionVisitor<Boolean> og derigennem evaluerer værdien af et logisk udtryk. 13

14 Opgave 32 Et HTML 00 fragmenteretobjektderdannetudfraklassenhtmlstar, hvor public interface HTML { public class HTMLcomposite implements HTML { private HTML left; private HTML right; public HTMLcomposite(HTML l, HTML r) { left = l; right = r; public class HTMLword implements HTML { private String word; public HTMLword(String w) { word = w; public class HTMLanchor implements HTML { private URL url; private HTML html; public HTMLanchor(URL u, HTML h) { url = u; html = h; og klassen URL er identisk med java.net.url. Et korrekt udformet fragment skal tilfredsstille det yderligere krav, at man ikke må definere et anker ( anchor ) inden i et andet anker. Det vil sige, at f.eks. fragmentet: <a href=" Dette er <a href=" </a> der svarer til objektet: 14

15 HTMLSTAR f = new HTMLanchor( new URL(" new HTMLcomposite( new HTMLword("Dette"), new HTMLcomposite( new HTMLword("er"), new HTMLanchor( new URL(" new HTMLword("forbudt") ) ) ) ) ikke er lovligt. Bemærk, at det indre anker kan stå inde i vilkårligt indviklede HTML 00 konstruktioner. a. Antag at definitionen af HTML ændres til public interface HTML { public boolean nestedanchors(); public boolean containsanchor(); Tilføj metoder public boolean nestedanchors() {... public boolean containsanchor() {... til hver klasse, således at metodekaldet f.nestedanchors() for ethvert HTML 00 -fragment f afgør om fragmentet indeholder et anker inden i et andet anker. 15

16 Opgave 33 (NB: du behøver ikke starte fra scratch. Brug de halvfærdige klasser i eksempelkataloget) Et videnstræ er enten en ting eller et spørgsmål om ting, der kan besvares med ja eller nej sammen med to mindre videnstræer. Det følgende er et eksempel på et videnstræ er det gult? ja nej er det krumt? en agurk ja nej en banan en melon Et videnstræ kan repræsenteres med følgende rekursive type public interface Knowledge { public class Question implements Knowledge { String what; Knowledge yes; Knowledge no; public Question(String what, Knowledge yes, Knowledge no) { this.what = what; this.yes = yes; this.no = no; public class Item implements Knowledge { String name; public Item(String name) { this.name = name; 16

17 a. Forklar, hvordan omstående træ kan være et objekt af typen Knowledge. Man kan udspørge et videnstræ gennem en dialog som den følgende, hvor brugeren skriver det understregede og programmet prøver at gætte, hvilken ting man tænker på er det gult? ja er det krumt? nej er det en melon? ja det tænkte jeg nok! b. Hvordan skal et videnstræ se ud, hvis programmet hurtigt skal kunne gætte, hvad man tænker på? Hvis videnstræet ikke kender tingen, man tænkte på, så forløber dialogen på denne måde er det gult? nej er det en agurk? nej hvad er det så? et æble stil et spørgsmål, der skelner en agurk fra et æble Kan man gå det? og hvad er svaret for en agurk? ja Resultatet af denne dialog er, at videnstræet nu er udvidet på følgende måde er det gult? ja nej er det krumt? kan man gå det? ja nej ja nej en banan en melon en agurk et æble c. Skriv et program, der realiserer dialoger som de ovenstående for viden- 17

18 stræer, der er repræsenterede som objekter af typen Knowledge. Du bør anvende visitormønstret (du kan nøjes med at modificere klasserne i eksempelfolderen). Hvis en del af et videnstræ ser ud som følger er den gul nej kan den spises ja er den rød ja er den aflang nej er den rund ja en tomat så kan man tænke sig følgende dialog, hvor brugeren skriver det understregede hvad vil du gerne vide noget om? en tomat den er rund den er rød den kan spises d. Skriv et program, der realiserer dialoger som den ovenstående for et givet videnstræ. Vink: Et spørgsmål kan (som regel) laves om til et udsagn, ved at man ombytter de to første ord. Du bør anvende visitormønstret (du kan nøjes med at bygge videre på klasserne i eksempelfolderen). 18

19 Opgave 34 (NB: du behøver ikke starte fra scratch. Brug de halvfærdige klasser i eksempelkataloget) Simple udtryk med +, - og * over heltal og en enkelt variabel kan repræsenteres i en rekursiv struktur: public interface Expression { public <T> T accept(expressionvisitor<t> v); public class Const implements Expression { private int val; public Const(int val) { this.val = val; public int val() { return val; public <T> T accept(expressionvisitor<t> v) { return v.visitconst(this); public String tostring() { return val+""; public class X implements Expression { public <T> T accept(expressionvisitor<t> v) { return v.visitx(this); public String tostring() {return "x"; public class Plus implements Expression { private Expression left,right; public Plus(Expression left, Expression right) { this.left =left; this.right = right; public Expression left() { return left; public Expression right() { return right; public <T> T accept(expressionvisitor<t> v) { return v.visitplus(this); public String tostring() { return "(" + left + "+" + right + ")"; public class Minus implements Expression { private Expression left,right; public Minus(Expression left, Expression right) { this.left =left; this.right = right; 19

20 public Expression left() { return left; public Expression right() { return right; public <T> T accept(expressionvisitor<t> v) { return v.visitminus(this); public String tostring() { return "(" + left + "-" + right + ")"; public class Times implements Expression { private Expression left,right; public Times(Expression left, Expression right) { this.left =left; this.right = right; public Expression left() { return left; public Expression right() { return right; public <T> T accept(expressionvisitor<t> v) { return v.visittimes(this); public String tostring() { return left + "*" + right; public interface ExpressionVisitor<T> { public T visitconst(const c); public T visitx(x c); public T visitplus(plus c); public T visitminus(minus c); public T visittimes(times c); Et udtryk kan som bekendt differentieres efter følgende regler: diff(k) = 0 diff(x) = 1 diff(a+b) = diff(a)+diff(b) diff(a-b) = diff(a)-diff(b) diff(a*b) = diff(a)*b+a*diff(b) hvor k er en heltalskonstant. Fx. har vi, at diff((2+x)*(5-x*x)+18) = (5-x*x)-(2+x)*(2*x) (efter lidt simplifikation) a. Lav en klasse DiffVisitor der implementerer ExpressionVisitor<Expression>, sået kalde.accept(new DiffVisitor()) returneret en differentieret version af e (resultatet behøver ikke være simplificeret) 20

21 Et udtryk er lineært hvis den differentierede er en konstant funktion, dvs. at den ikke afhænger af x. Betragt følgende public class NoXVisitor implements ExpressionVisitor<Boolean> { public Boolean visitconst(const c) { return true; public Boolean visitx(x c) { return false; public Boolean visitplus(plus c) { return c.left().accept(this) && c.right().accept(this); public Boolean visitminus(minus c) { return c.left().accept(this) && c.right().accept(this); public Boolean visittimes(times c) { return c.left().accept(this) && c.right().accept(this); b. Er det rigtigt, at kaldet e.accept(new DiffVisitor()).accept(new NoXVisitor()) afgør, om argumentet er et lineært udtryk? Argumentér for dit svar. c. Hvis du har svaret nej i c har du så et alternativt forslag til hvordan man kan afgøre linearitet af et udtryk? 21

22 Opgave 35 (NB: du behøver ikke starte fra scratch. Brug de halvfærdige klasser i eksempelkataloget. Her er også en driverklasse, der tager udgangspunkt i et (del)filsystem fra din egen computer) Betragt følgende klasser, der modellerer et UNIX filsystem: public interface DirectoryEntry { public class File implements DirectoryEntry { private String name; private int size; public class Directory implements DirectoryEntry { private String name; private ArrayList<DirectoryEntry> contents; a. Forbered denne repræsentation af et filsystem til brug af Visitormønstret, dvs definer et interface DirectoryEntryVisitor<T> og tilføj en accept metode i interface DirectoryEntry og klasserne File og Directory. Det er behageligt at have en kommando, der kan finde alle forekomster af et givet filnavn. Følgende tegning repræsenterer et objekt, der er en instans af Directory: users u dprog2 Calc1 mbox programmer opgaver opg14 opg87 obl opg87 H3.22 opg87 Directory-navne tegnes med kasser og filnavne tegnes uden. Filnavnet opg87 har i dette filsystem tre forskellige forekomster, hvis fulde beskrivelser er: /users/u040000/dprog2/programmer/opg87 22

23 /users/u040000/dprog2/opgaver/opg87 /users/u040000/calc1/opg87 b. Lav en klasse FindFileVisitor der implementerer DirectoryEntryVisitor<String>, så et kald f.accept(new FindFileVisitor("opg87")) vil returnere en String indeholdende de fulde beskrivelser af alle filer med navnet "opg87" ifilsystemetf. Antag at vi i stedet ønsker oversigt over pladsforbrug. For filsystemet ønsker vi oversigten: directory A containing directory B containing file X of 102 bytes file Y of 87 bytes total 189 bytes file Z of 23 bytes total 212 bytes A B Z:23 X:102 Y:87 c. Lav en klasse ListFileSizeVisitor der implementerer DirectoryEntryVisitor<Integer>, såetkald f.accept(new ListFileSizeVisitor()) vil returnere størrelsen i byte af f s indhold, og undervejs udskrives en indholdsoversigt som vist. 23

24 Pseudo-reelle tal Opgave 41 Der findes en del numeriske algoritmer i hvilke der indgår beregning af midtpunktet af et interval [a, b], hvor a<b. a. Vis ved et eksempel at den matematiske identitet (a + b)/2 =a +(b a)/2 ikke gælder for flydende komma tal med endelig nøjagtighed. (Vink: find a og b så(a b) 2 <a) b. Skriv en algoritme, som bruger bisection til at finde et nulpunkt for en kontinuert funktion f(x) i et interval [a, b], hvor det vides at f(a) f(b) < 0. Bisection foregår ved successive halveringer af intervallet [a, b]påenmåde, der minder om binær søgning. Dvs. først beregnes intervallets midtpunkt og derefter fortsættes der med det af de to halve intervaller, hvor funktionen vides at skifte fortegn. 24

25 Opgave 42 Skriv en algoritme, der som stimulans tager tre vilkårlige reelle tal, a, b og c og som respons angiver, om 2.gradsligningen ax 2 + bx + c = 0 har reelle løsninger, og i så fald hvilke. Antag, at denne algoritme afvikles på en maskine, som har parametre (β,s,m,m)=(10, 4, 99, 99) og som approximerer v.h.a. afskæring. a. Udfør algoritmen med stimulans a =1, b = 2.136, c = b. Udregn de eksakte løsninger til ligningen x x = 0 og sammenlign disse med dem, der blev fundet under a. Er værdierne fra a tilfredsstillende? c. Såfremt værdierne fra a ikke er tilfredsstillende, hvad er årsagen? Kan løsningerne til en 2.gradsligning findes på en måde, der er mere hensigtsmæssig, numerisk set? 25

26 Opgave 43 Til løsning af følgende iklædte opgave En stige af højde h (mm) stilles lodret op ad en væg, hvorefter dens fod trækkes d (mm) ud fra væggen ad et vandret underlag. Hvor mange mm er stigens top kommet ned i forhold til før? kan man overveje at bruge formlen a. Er det en god ide? b. Hvis ikke, hvad kan man så gøre? f(h, d) =h h 2 d 2 26

27 Opgave 44 Beregn værdierne U 0,U 1,...,U n,..., defineret ved U n+1 = (x +1)U n 1 startende med U 0 =1/x,forx =2, 3, 4,... Forklar de observerede resultater. 27

28 Opgave 45 Betragt følgende integral a. Vis, at I n = I n = 1 0 x n e x 1 dx { 1 e 1 n =0, 1 n I n 1 for n 1. b. Vis, at I n I n 1 = 1 og argumenter for at I n 0forn. 0 (x n x n 1 )e x 1 dx < 0 c. Skriv et program der udregner I 0,I 1,...,I n v.h.a. formlen i a. Konvergerer følgen mod 0? d. En alternativ formel til udregning af integralerne er I k 1 =(1 I k )/k hvor vi starter iterationen med at sætte I n = 0 for en passende stor værdi af n og derefter benytte formlen for i k n. Virker det bedre? 28