π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
|
|
- Anna Maria Fog
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 π er irrationel Frank Nasser 10. december Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion 1 2 π er irrationel 3 3 Den lille detalje 13
3 Resumé I dette dokument beviser vi at π (den halve omkreds af enhedscirklen) ikke er et rationelt tal. 1 Introduktion Cirkler er noget mærkeligt noget. På den ene side er det noget vi allesammen nemt kan forestille os. Faktisk har mennesker tegnet cirkler lige så længe de har kunnet tegne Måske fordi solskiven er sådan en pæn cirkelagtig figur der nok må siges at springe i øjnene på de fleste. Men på den anden side er cirklen sådan en perfekt figur at den faktisk ikke findes i virkeligheden. Alle vores forsøg på at tegne eller fremstille cirkler viser sig at blive nogle klodsede, kantede figurer hvis man kigger grundigt nok efter. Men ideen om at tage et linjestykke af en bestemt længde og bøje enderne rundt, så de lukker sammen og danner en cirkel, er dog ganske naturlig for os. Og ideen om at gå rundt om et punkt i en bestemt, fast afstand er mindst lige så naturlig. Så både cirkler med en bestemt omkreds og cirkler med en bestemt diameter (eller som her: radius) er meget naturlige objekter. Dermed er forholdet mellem enhver cirkels diameter og omkreds, π, nok det mest naturligt forekommende tal i verden. Sjovt nok er π alligevel ikke et naturligt tal. Men endnu værre end det: Det viser sig at π ikke engang er et rationelt tal Altså en brøk med naturlige tal i både tæller og nævner. Med andre ord findes der ikke en eneste cirkel hvor både diameteren og omkredsen er naturlige tal. Forudsætninger Dette bevis er nok det sværeste du kan finde på Matbog.dk. Vi skal bruge næsten alt det matematik som man plejer at lære de første to år af en gymnasiel uddannelse. side 1
4 For det første har vi brug for nogle objekter som indeholder π i deres identitet. Disse objekter er naturligvis funktionerne sinus og cosinus 1, der jo gentager sig selv periodisk med en periode på netop det dobbelte af π. (Ihvertfald hvis man angiver vinkler på den rigtige måde altså i radianer!) Dernæst har vi brug for nogle egenskaber ved disse objekter som på en tilpas dybsindig måde forbinder dem med de naturlige tal. Det viser sig at blive det faktum at sinus bliver til cosinus når den differentieres 2 (dette er kun rigtigt hvis man bruger bruger radianbegrebet i definitionen af cosinus og sinus). Kombinerer man denne egenskab med analysens fundamentalsætning 3 finder man nemlig ud af at bestemte integraler 4 af cosinus og sinus (altså arealerne mellem deres grafer og x-aksen) har det med at give naturlige tal når man integrerer mellem to nulpunkter altså på et interval af længden π. Til sidst har vi brug for en meget snedig måde at bruge dette på, sådan at hvis π skulle være et rationelt tal, så ville der opstå noget som overhovedet ikke findes 5. I vores tilfælde viser vi hvordan man, hvis π var rationel, kunne bygge en meget snedig funktion (eller rettere: en masse snedige funktioner) som kunne bruges til at udregne et tal med nogle helt umulige egenskaber. Til selve konstruktionen har vi brug for begrebet fakultet af et naturligt tal 6 og for binomialformlen 7. 1 Læs om definitionen af radianbegrebet og funktionerne sinus og cosinus her 2 Læs om differentiation af de trigonometriske funktioner her 3 Læs et bevis for analysens fundamentalsætning her 4 Læs om bestemt integration her 5 Dette er et såkaldt modstridsbevis. Dem kan du læse mere om her 6 Læs om fakultetoperationen her 7 Læs om binomialformlen her side 2
5 2 π er irrationel Denne sætning bør ledsages af lidt musik. Brug lige to minutter her for at komme i den rigtige stemning inden du læser den. Sætning 1. π Q Bevis. Som nævnt vil vi lave et modstridsbevis. Det betyder at vi (i et stykke tid) vil antage at π er rationel, og vise at dette (kombineret med ting som vi ved er rigtige) fører frem til noget som vi ved er forkert. Antag derfor (fra nu af!) at π er et rationelt tal. Dermed er π 2 også et rationelt tal (når man ganger en brøk med sig selv, så bliver resultatet en brøk). Dermed findes der et naturligt tal, a og et naturligt tal, b (hvor b 0) sådan at: π 2 = a b Konstruktionerne i resten af dette kapitel (som selvfølgelig benytter sig af a og b) og egenskaberne ved dem leder frem til et tal, x, som opfylder at: x N og at: 0 < x < 1 Eftersom sådan et tal ikke eksisterer, er sætningen bevist i samme øjeblik dette x dukker op. Vi starter med nogle funktioner som slet ikke har noget med a og b eller π at gøre: side 3
6 Definition 2. For hvert naturligt tal, n, defineres funktionen f n ved: f n (x) = xn (1 x) n n! Lemma 3. For hver eneste værdi af n har funktionen f n følgende egenskaber: 1. f n (x) = f n (1 x). 2. Grafen for f n er symmetrisk omkring den lodrette linje gennem x = For alle x ]0; 1[ er: 0 < f n (x) < 1 n! 4. Hvis man differentierer f n mere end 2n gange, så giver det nulfunktionen. 5. f n og alle dens afledede funktioner; f n, f n,... opfylder at deres værdier i x = 0 og x = 1 er hele tal. Bevis. Den første egenskab kan bevises ved en simpel beregning: f n (1 x) = (1 x)n (1 (1 x)) n n! = (1 x)n x n n! = f n (x) Den anden egenskab er en direkte konsekvens af den første. (Den første egenskab betyder jo at grafen er i samme højde når vi er gået x til højre fra nul som når vi er gået x til venstre fra 1.) Den tredie egenskab kræver at man tænker nøje over hvad f gør ved et tal mellem 0 og 1: Når x ]0;1[ så er (1 x) også i dette interval, så når de begge opløftes i n te potens ligger de stadig mellem 0 og 1. Når man så ganger x n sammen med (1 x) n giver det stadig noget mellem 0 og 1, og når man dividerer dette med n!, havner resultatet mellem 0 og 1 n!. side 4
7 De sidste to egenskaber er de vanskeligste at bevise. Det er nemt at se at f n (0) = 0 og f n (1) = 0 hvilket må siges at være heltal. Men for at differentiere f n er det lettest at omskrive (1 x) n ved hjælp af binomialformlen: ( ) f n (x) = xn n n n! ( 1) i x i i i=0 Det kan hjælpe på overblikket at se på et konkret eksempel, og så holde øje med hvad der sker generelt. Vi ser på n = 3: (( ) ( ) ( ) ( ) ) f 3 (x) = x ! 1 x + x 2 3 x = x3 3! (1 3x + 3x 2 x 3) = 1 3! (x 3 3x 4 + 3x 5 x 6) Ved nærmere eftersyn er f n altså 1 n! ganget med et polynomium som har hele tal som koefficienter og som kun har potenser af x mellem n og 2n. Derfor er det klart at hvis man differentierer mere end 2n gange, så ender man man nulfunktionen. (Graden af et polynomium bliver 1 mindre hver gang man differentierer). Når vi så differentierer f n og sætter x = 0 ind, så giver det nul ved de første n 1 differentiationer (fordi der intet konstantled er), og igen efter 2n + 1 differentiationer (fordi den afledede herefter giver nul). Det mest interessante sker hvis man differentierer et antal gange mellem n og 2n. Så kommer der et konstantled som står tilbage når man indsætter x = 0. Ved nærmere eftersyn kan man dog se at dette konstantled (som jo kommer af at vi har differentieret x k k gange) altid vil være et helt tal ganget med n!. Derfor vil divisionen med n! gå op, og der vil stå et heltal tilbage når x = 0 indsættes. På grund af symmetrien omkring x = 1 gælder det samme i x = 1. 2 side 5
8 Nu bruger vi så a og b sammen med funktionerne ovenfra til at lave nogle flere funktioner: Definition 4. For hvert naturligt tal, n, defineres funktionen F n ved: F n (x) = b n n ( 1) k π 2n 2k f (2k) (x) k=0 n Dén skal lige forklares: Der er n + 1 led i summen som skiftesvis har positivt og negativt fortegn. Desuden består hvert af disse led af π opløftet i en lige potens (første gang i 2n te, og sidste gang i nul te) ganget med f n differentieret et lige antal gange (første gang nul gange, og sidste gang 2n gange). F.eks. er F 3 givet ved: F 3 (x) = b 3 ( π 6 f 3 (x) π 4 f 3 (x) + π2 f (4) Lemma 5. For hver eneste værdi af n er: F n (0) og F n (1) heltal. 3 (x) f (6) 3 (x) ) Bevis. Ifølge lemma 3 giver alle udtrykkene af typen: f n (2k) (x) heltal hvis man indsætter x = 0 eller x = 1. Hvert af disse heltal ganges så med et udtryk af typen: π 2n 2k = π 2(n k) = ( π 2) n k = ( a b ) n k = a n k b n k Men når så b n ganges ind i parentesen bliver alle disse brøker til heltal, og dermed giver hele udregningen et heltal. Er du med endnu? Godt, for vi skal lige have defineret en sidste portion funktioner: side 6
9 Definition 6. For hvert naturligt tal, n defineret funktionen G n ved: G n (x) = 1 π F n (x) sin(πx) F n(x) cos(πx) Den er i virkeligheden ikke så slem. Vi blander bare F n og dens afledede F n med cosinus og sinus på en smart måde. Nu er vi færdige med at konstruere funktioner! Lad os undersøge hvad der sker når man differentierer G n : Lemma 7. For hver eneste værdi af n er G n (x) = sin(πx) an π f n (x) Bevis. Beviset for dette lemma er klart den længste del af dokumentet. Men det er i virkeligheden den nemmeste del. Man skal bare holde tungen lige i munden og bruge alt hvad vi har gjort klar i det foregående. G n (x) = 1 ( F n π (x) sin(πx) + F n (x) cos(πx) π) ( F n (x) cos(πx) F n(x) sin(πx) π ) (Vi har differentieret hvert led for sig ved at bruge reglen for differentiation af produkter på hvert af dem. Minuset inde i den sidste parentes kommer fra at cosinus differentieret giver minus sinus, og π erne til sidst i begge parenteser kommer fra at vi har brugt kædereglen til at differentiere de sammensatte funktioner cos(πx) og sin(πx).) Nu kan vi se en del af hvorfor G n er defineret som den er. Når man ganger 1 ind i den første parentes, så bliver led nummer 2 nemlig præcis π det samme som bliver trukket fra i begyndelsen af den næste parentes! side 7
10 Det betyder at vi kan omskrive: G n (x) = 1 π F n (x) sin(πx) + F n(x) sin(πx) π Nu laver vi en smart lille manøvre, som vil vise hvorfor F n erne er defineret meget smart. Vi vil gange det sidste led med både π og med 1 π (dermed har vi intet gjort), hvorefter faktoren 1 π kan sættes uden for parentes. Det giver: G n (x) = 1 π = 1 π ( F n (x) sin(πx) + F n(x) sin(πx) π 2) sin(πx) (F n (x) + F n(x) π 2) Nu bliver det rigtig smukt. Hvis man kigger grundigt på definitionen af F n (det er nemmest at se på eksemplet n = 3, men det er vigtigt at indse at det samme sker for alle andre værdier af n også), så opdager man at parentesen: F n (x) + F n(x) π 2 slet ikke er så slem. Hvis man differentierer hvert af leddene i F n to gange, så er det præcis det samme som at tage det næste led i summen og gange det med π 2. (Læs hellere denne sætning tre gange, så du er sikker på at du kan se det!) Eftersom det næste led altid har omvendt fortegn af det foregående, så betyder det at når man lægger F n (x) sammen med F n(x) π 2 så vil næsten alle leddene stå lagt til i den ene halvdel, og trukket fra i den anden, sådan at de tilsammen giver nul. De eneste led som kun står et sted er det sidste led af F n (x) og det første led af F n (x) π 2. Altså: b n π 2n+2 f n (x) side 8
11 og b n ( 1) n f (2n+2) (x) Men den sidste er heldigvis bare nul, fordi f n bliver nul når den differentieres mere end n gange. Så alt i alt har vi bare: G n (x) = 1 π sin(πx) bn π 2n+2 f n (x) = sin(πx) b n π 2n+1 f n (x) at Nu mangler vi kun at indsætte det allerførste vi startede med, nemlig π 2 = a b Det betyder at: π 2n+1 = π (π 2) n ( a ) n = π b = π an b n Hvis vi indsætter det i stedet for π 2n+1 får vi det som lemmaet påstår: G n (x) = sin(πx) an π f n (x) Nu er vi klar til den store finale. Husk at vi helt fra starten har antaget at π var rationel, og læg mærke til at vi har brugt det flere gange undervejs. Nu kan vi vise at dette fører til noget som helt klart er forkert. side 9
12 Lemma 8. For hver eneste værdi af n er giver integralet: 1 0 π sin(πx) a n f n (x)d x et heltal. Men på den anden side kan n vælges så stor at dette integral både er større end nul og mindre end 1. Bevis. Den første del påstand er den nemmeste at bevise. Vi har jo lige set at G n er en stamfunktion til den funktion som integreres. Derfor kan integralet nemt beregnes (ved hjælp af analysens fundamentalsætning, del 3): 1 0 π sin(πx) a n f n (x)d x = G n (1) G n (0) Hvis vi kigger på definitionen af G n så ser vi at det første led forsvinder både når vi indsætter x = 0 og x = 1. (Fordi sin(0) = 0 og sin(π) = 0.) Derfor er det kun det sidste led som skal bruges når vi skal beregne G n (1) G n (0). Det betyder at vi kan omskrive: 1 0 π sin(πx) a n f n (x)d x = F n (1) cos(π 1) ( F n (0) cos(π 0)) = F n (1) + F n (0) Men de giver jo begge heltal! Det viser at integralet er et heltal. Kan du mærke at det bliver spændende? Nu er det sådan at den funktion som integreres er positiv på hele det åbne interval ]0;1[. (Tjek lige efter: Alle de dele som er ganget sammen er positive. π og a n er det selvfølgelig. sin(πx) er det præcis når x er side 10
13 mellem 0 og 1, og f n er det fordi det var noget af det allerførste vi viste i lemma 3. Altså har vi: 1 π sin(πx) a n f n (x)d x > 0 0 Og nu det helt slemme: Eftersom sin(πx) aldrig bliver større end 1, og eftersom på hele intervallet, så har vi at: f n (x) < 1 n! π sin(πx) a n f n (x) < π an på hele intervallet. Vi har skitseret dette på figur 1 nedenfor. Det betyder at integralet (som jo er det skraverede areal på figur 1 må være mindre end arealet af kassen. n! 1, ,25 0,5 0, Figur 1: Grafen for den funktion som integreres, sammen med den vandrette linje y = π an n!. side 11
14 Altså: 1 Nu er det bare så heldigt at brøken 0 π sin(πx) a n f n (x)d x < π an n! 1 nærmer sig nul når n går imod uendelig. Det betyder at hvis vi bare gør n stor nok, så er og derfor er integralet 1 0 a n n! π an n! < 1 π sin(πx) a n f n (x)d x < π an n! < 1 og så har vi vores modstrid! side 12
15 3 Den lille detalje Der var en enkelt detalje som vi (med vilje) glemte at argumentere for i det ovenstående. Den skal du naturligvis ikke snydes for, men for en sikkerheds skyld tager vi den i et afsnit for sig selv, fordi argumentet er ret træls. Lemma 9. Brøken går imod nul når n. a n n! Bevis. Bemærk at brøken kan skrives som: a n n! = a 1 a 2 a 3 a n Hvis vi starter med at gøre n (meget) større end 2a, så kan vi skille det ovenstående produkt i de første 2a faktorer, og dem som kommer bagefter: a n n! = a 1 a 2 a 3 a 2a a 2a + 1 a n side 13
16 Tricket er nu at de første 2a faktorer, dem har vi ikke styr på hvor store de er. Men vi ved at der kun er 2a af dem. Det betyder at uanset hvor stor vi nu finder på at gøre n, så giver disse første faktorer altid det samme. Men alle de efterfølgende faktorer er mindre end 1 2. Det betyder at for hver ekstra faktor der ganges på, bliver det samlede resultat mindre end halvt så stort. Så ved at gange tilpas mange ekstra af disse faktorer på, kan vi gøre det samlede resultat lige så tæt på nul som vi har lyst til. side 14
Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntegration. Frank Nasser. 15. april 2011
Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereIntegration. Frank Villa. 8. oktober 2012
Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFlere ligninger med flere ukendte
Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mere